Filtro+digital

Filtros digitalesLaboratorio No. 4

Análisis de Señales y Sistemas

Walter ZelayaCiclo 11/2005

ResumenEl filtrado es una de las operaciones más importantes del tratamiento de señales de tiempodiscreto. Corno el propio nombre lo indica, un filtro intenta separar componentes de unaseñal de acuerdo con algún criterio (por ejemplo, eliminar un ruido de una señalo separardos emisoras de radio), esto corresponde a cambiar las amplitudes relativas de lascomponentes en frecuencia en una señal.

Para el caso particular de los filtros discretos, se pueden obtener dos clases importantes deestos descritos por ecuaciones en diferencias: los filtros recursivos o de respuesta alimpulso infinita (IIR) y los filtros no recursivos o de respuesta al impulso finita. (FiR)En este laboratorio nos limitaremos a los filtros de respuesta al impulso finita, debido a quepermiten alcanzar los objetivos que se desea enseñar.

Objetivos• Conocer una de las maneras más simples de diseñar un filtro digital, partiendo de su

representación en el dominio de la frecuencia.

• Obtener la respuesta al impulso del filtro, que cumpla con la condición de que el filtrosea de fase lineal.

• Expresar matemáticamente las ventanas para poder realizar el producto con la respuestaal impulso del filtro en el dominio del tiempo.

Fundamento teóricoEn el diseño de un filtro digital FIR, las características deseadas se describen en el dominiode la frecuencia en función de la respuesta del filtro en magnitud y fase. Por lo tanto sedebe especificar una frecuencia de corte, la banda de paso, la banda de rechazo y el rizadodel filtro.Una vez definido esto, se usa la Transformada de Fourier y se obtiene la respuesta alimpulso del filtro diseñado.

Análisis de Señales y Sistemas Filtros digitales 2

Clasificación de los filtros digitalesHay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones; de entre las cuales podemosmencionar:

1. De acuerdo con la parte del espectroque dejan pasar y que atenúan:

.:. Filtros paso altas

.:. Filtros paso bajas

.:. Filtros de banda• Rechaza banda• Paso banda• Pasatodo• Filtro peine (filtro comb)• Filtro ranura (filtro notch)

2. De acuerdo con el tipo de respuestaante la entrada de un impulso:

.:. FIR (Finite Impulse Response)

.:. I1R (Infinite Impulse Response)

3. De acuerdo con la estructura:.:. Cascada (serie).:. Paralelo.:. Laticce

Aunque los filtros I1R presentan características atractivas, tienen algunos inconvenientescomo por ejemplo el no poder aprovechar las ventajas de la FFT en la implementación, yaque en Matlab/Octave, esta función requiere un número finito de puntos. Otra desventajaes que los filtros I1R alcanzan una excelente respuesta en magnitud, casi ideal, a expensasde un comportamiento no lineal en la fase.

En cambio los filtros FIR, poseen características que superan con creces las pocasdesventajas, tenemos:

.:. Facilidad de diseño para filtros de fase lineal

.:. Realización eficiente en forma tanto recursiva como no recursiva

.:. Factible implementación utilizando la FFT

.:. Los filtros FIR no recursivos, son siempre estables, pues los polos que poseen siempreestarán en cero

.:. Mejorar la selectividad requiere un número de puntos M muy grande

.:. El retardo de fase puede no ser entero

Con bastante frecuencia se suelen relacionar los diversos tipos de filtros con el paso bajas,tal como se muestra en la Tabla 1.

T bl 1 D d . d fil b·a a epen encía e tras paso ajas

Tipo de filtro Dominio de la frecuencia Dominio del tiempo CondicióndiscretoPaso altas 1- HLP(eiro)= HLP(ei(ro-1t)) 8[n] - h1p[n]= (-l)n·hlp[n]

Paso banda HLPl(eiro)- HLP2(eiro) hlpl[n] - hlp2[n] (01) (02

Rechaza banda 1- HLP1(eiro)+ HLP2(eiro) 8[n] - h1pl[n]+ h1p2[n] (01< (02

Escuela de Ingeniería Eléctrica - Universidad de El Salvador Ing. Walter Zelaya


Diseño de un filtro paso bajasVeamos como puede diseñarse un filtro digital FIR paso bajas. Al concluir el diseño, seráposible extender los conceptos a otros tipos de filtros.

La ecuación para un sistema FIR, sistema no recursivo es:

1 My[n]=-~)k .x[n-k] (1)

ao k=O

Para caracterizar el sistema obtenemos su respuesta al impulso, al hacer x[n]=8[n].

{

b1 M ~ O<n<L-1

h[n]=~ I>k ·o[n-k]= ao' - - (2)o k=O O , otro caso

Se observa que la respuesta al impulso para este sistema tiene duración finita; es decir, esdiferente de cero sólo dentro de un intervalo finito de tiempo. Debido a esta propiedad, elsistema especificado por la ecuación anterior es llamado con frecuencia sistema derespuesta al impulso finita (FIR).

La respuesta en frecuencia de un filtro FIR de longitud L viene dada por la Transformadade Fourier de tiempo discreto de la respuesta al impulso:

(3)

o •Figura 1. Filtro paso bajas de tiempo discreto y su ecuación.

Partiendo de la ecuación 3, se sabe que, la respuesta al impulso del filtro ideal discreto es:

h[n] = sen(úJe ·n) (4)¡r. n

sine(B) = sen(B· ¡r) (5)B·¡r

En donde esta ecuación se puede expresar en términos de una función sine, dado que,

entonces:

[ ]sen(2 . ¡r. t .n)

h n = 2· fe . e = 2· fe . sinc(2· fe . n) (6)2· m- fe . n



La grafica para esta ecuación es la siguiente:

0.1

0.08

0.06

0.04

~0.02

.0.02

-40 -30 -20 -10 on

10 20 30 40

Figura 2. Respuesta al impulso del filtro paso bajas discreto.

Esta ecuación que vemos representada en la Figura 2, fue encontrada a partir de un filtro detiempo discreto con magnitud unitaria y fase cero. Sin embargo, utilizando un filtropasatodo, esto es cuando el O)e de un filtro paso bajas tiende a infinito (Imel ~ (0), se notóque en un filtro con fase cero, la señal de entrada sufre cambios con respecto a la entrada,cuando tanto la salida como la entrada deberían ser iguales. Luego de diversas pruebas seconcluyó que esto no ocurría cuando la fase era lineal.Considerando este ajuste, tenemos:

H(ejW) = IH(ejW)lejoaow (7)

siendo ce-ro la fase del filtro

Al comparar las ecuaciones 3 y 8 vemos que la magnitud permanece igual. No obstante,este cambio produce un desplazamiento en el tiempo por la propiedad de desplazamientotemporal.

Con este ajuste, la respuesta al impulso deseada es hd [n]= 2 o fe o sinc(2 o fe o (n - a» .

{

M =L/2Dado que la longitud del filtro es L, entonces a = M = L;1

para L par

para L impar

hd[n]=2. fe·sine(2· fe·(n-M)) (9)

De la ecuación 9 vemos que cuando n=M, se verá un máximo en el gráfico, tal como semuestra en la Figura 3.



Si multiplicamos la respuesta al impulso por un pulso rectangular, obtenemos una h[n]desplazada y truncada:

[ ]_ {2. ic- sine(2· [e- (n - M))hd n -

°para °~n ~ L -1

(10)otro easo

(H

0.08

0.06

~ 0.04

Figura 3. Respuesta al impulso del filtro paso bajas discreto desplazado y truncado.

Diseño de filtros FIR con ventanasAunque los resultados anteriores, por su poco esfuerzo matemático y la sencillez de h[n]tienen características muy atractivas, el fenómeno de Gibbs lo hace en algunas ocasionescuestionable, ya que se produce una sobreoscilación relativamente grande en las cercaníasde la discontinuidad de la respuesta ideal. Esta sobreoscilación se debe al truncamientoabrupto de la respuesta al impulso de duración infinita, de manera que usando diversasfunciones ventana se puede truncar la secuencia de manera más suave.Un método para suavizar el rizado causado por la función sine consiste en emplear elcuadrado de ésta en el dominio de la frecuencia. Esto se traduce en el dominio del tiempoque la ventana es una función triangular, también llamada ventana de Barlett.

Las cuatro ventanas coseno generalizadas vienen dadas por:

{

a - b cos( 21m ) + e cos( 41m) para °~n ~ L -1""Ín] = L -1 L -1° .otro easo

(11)

Los nombres de las ventanas y de sus parámetros son:

Tabla 2. Ventanas cosenoidalesVentana Nombre en MATLAB a b eRectangular boxearHann hanningHamming hammingBlackman blackman

10,50,540,42

°-0,5-0,46-0,5

°°°0,08



En la elección de la ventana, hay que llegar a una solución de compromiso entre dosrequisitos estrechamente relacionados, como son:i) Elegir M de forma que W(eiro) sea lo más estrecho posible.ti) Elegir M de forma que la duración de w[n] se lo más corta posible.iii) Otra solución alternativa consiste en escoger ventanas menos abruptas en sus

características en el dominio temporal, en lugar de la ventana rectangular.

La Figura 4 incluye la gráfica de las ventanas más utilizadas, con su representación en eldominio del tiempo discreto y de la frecuencia.

Ventana Rectangular

Ventana Blackman1 --r-----r--

III__ L. _IIII

T-----i----·

III

___1 .IIII

~ 0.5

o 10 20 30Ventana Barlett

1 --r-----r--I II II

0.5 - - ~ - - --III

- T - - - - - l' - - - _.

I III

__ J .III

o 20 3010n

IIIIII11 r 1IIIItll IIIIII11 III1II1I II t+H II1III1 I I I 1III1 I IIIII111111111 I II III1 11111111 I1IIII1

111111111 II IIII I IIIIIII11 IIIIIII120 -~ I--I~ 1-+11-+ - -1- -t +'1-1.14-1- -1-1-1+1+11+ - ~ + 1-1+1

111111111 111111111 J 11111111 11111111Ir 1111111 111111111 111111111 11111111111111111 111111111 111111111 11111111Ir 1111111 111111111 III 11111 II 111t1l

II ti 1111111111111 1111111

-t- r-f-t ttlH - -t -t +1-;1111-IIIIIII11 Ir 11111t1IIIIIII11 111111111 I

-1-- 1-1-+ 1-+11-+ - -+ -+ -J-1-J14U--1111111111 111111111 I111111111 IIIIIII11 J I

.~ 10

~ 5

111111111 11111111111111111 111111111-1-1"t1t11"t - r"t t-l-t-l

11111111 111111111 1 1 11111 1 1 1 11111-14-14-I~ - +- 4- ~14-1

1111111 11111111111111 11111111

OL-~~~~~~W--L~~~~~~

10.3

I 1 I 1 11111 I I 1 1 11111 I 1 1 1 11111 1 1 JI 1I11I 1 11 1I11I 1111 1 1 1 1 IIIJ I 1 1 JI 11111 1 1 1 If 111 1 I 11 11 1 I 1 I 11111 1 I 11 r 111

10 _1_ ~:~ ~:H- J ~ +:~:~:--:-:-:+:+::+ - + + t-:+:::I 111111 I I I IIIII t I I 1 r 111 1 1 1 I 11111111111 t IIIIIII 11111111 1 IIIII!!IIIIIII IIIIIIII 1111111 11I1I11I

Figura 4. Representación de ventanas y sus respuestas en frecuencia.

Cuando se ha obtenido la expresión para h[n] y para w[n], la respuesta al impulso se tienecompleta.Al multiplicar las ecuaciones 10 y 11, podemos obtener una respuesta al impulso mejorada,con una considerable reducción del fenómeno de Gibbs.

h[n] = hd[n]· win] (12)



Desarrollo de la práctica

1. Graficar una ventana• Crear un archivo ventana.m• Leer el valor L, sea este par o impar• Calcular ventana Blackman, Barlett y Hanning• Graficar ventana en le tiempo discreto y frecuencia

2. Digite el siguiente código• ¿Qué clase de filtro es?• ¿Cómo se puede reducir la banda de transición?• Grafique las siguientes señales:

Respuesta al impulso truncada y desplazadaVentanaEl producto de hd[n] w[n]La respuesta en frecuencia de H(~Ol)La respuesta en frecuencia de W(~Ol)

%PASOBAJAS%%SINTAXIS% paso%%%%%%

Filtro paso bajas con una fc digitada por el usuario

bajas+-------------+

1 Filtro 1

x[n] ------>1 +------> y[n]1 F 1 R 1+-------------+

fs = 1C:JC:JC:JC:J;fnyq = fs/2;%fc = 5C:JC:J;L = 128;M=L/2;n=C:J:(L-1);

% frecuencia de muestreo% frecuencia de nyquist% frecuencia de operacion% longitud del filtro% desplazamiento% tiempo discreto

fc = input('Frecuencia de corte(Hz): , )

fcn = fc/fs; % frecuencia normalizadah = 2*fcn*sinc(2*fcn*(n-M»; % funcion sinc desplazada y

% truncadaventana = blackman(L); % Calculos de coeficientes

% para ventana Blackmanhh = h' .*ventana;



Asignaciones

1. Definir las siguientes funciones y escribir sintaxis.

cremezfirlfir2firlsfirclsfirclsl

firrcosintfiltkaiserordremezremezord

2. Completar el filtro paso bajo anterior para una señal de entrada contaminada conruido electrico de 60 Hz.

3. Diseñar un filtro pasa banda en un rango de frecuencias definido por ustedes.

4. Escribir una función, no un programa, que solo requiera la frecuencia de la señal deinterés y contaminarlo con ruido aleatorio y luego realizar el filtrado. .

Esta asignación debe resolverse en pareja de laboratorio, quienes hayan asistido a lapráctica; el contenido del mismo será:

:> Portada:> Índicee Objetivos:> Marco teórico:> Desarrollo de asignacióne Conclusiones:> Bibliografía:> Anexo


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