Centro de Educación Artística David Alfaros Siqueiros (CEDART)

Algebra Primer Semestre Grupo 1

Profe: Víctor Manuel Morales

Alumno: Goretti espindola de la vega

Índice:

1. Algebra (definición)2. Suma y resta (definición y problemas)3. División algebraica (definición y problemas)4. Producto notable (definición y problemas)5. Factorización (definición y problemas)6. Fracciones algebraicas (problemas y definición)7. Ecuaciones lineales (definición y problemas)8. Ecuaciones de 2º grado (definición y problemas)

Algebra: es una de las muchas ramas de las matemáticas en la cual se trabajan los números con letras, por ejemplo: 3x+5xy.

Aplicaciones: se aplica en la vida diaria, tanto como en la tecnología y la ciencia

Términos Algebraicos: Los términos algebraicos forman parte de la Álgebra que se caracteriza por estudiar la forma

de resolver ecuaciones y por poseer para tal fin un lenguaje propio, el cual se conforma primordialmente de letras y números y algunos símbolos con un significado bien definido, como por ejemplo los que se usan en la aritmética para denotar las operaciones básicas: +, -, ( ), /, los cuales representan relaciones matemáticas.

Exponentes: La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente

Grado: en álgebra se tiene la extensión de cuerpo y en ella se define el grado como todo espacio vectorial con base, pudiéndose calcular la dimensión de L como espacio vectorial sobre K, denotado por dimK(L). Se denomina grado de la extensión L: K a la dimensión de L como K-espacio vectorial: [L: K] = dimK (L).

Ejemplos de Suma:(4a2+3a−1 )+(6 a−7 )+(2a2+3 )

6a2+9a+2

( 45 m2−5m+32 )+( 67 m− 3

10m2−1

4 )m2:

45− 310

=40−1550

=2550m2

m :−51+67=−35+6

7=−29

7m

¿ : 32−14=12−2

8=108

2550m2−29

50m+ 10

8

(3 x+5 y2+ y )+(7 y−3 y2−x )+¿−15 y2+8 x+8 y

Ejemplos de Resta:

(5m+4 n— 7 )−(8n−7 )+(4m−3n+5 )− (−6m+4n−3 )=¿15m−3n+8

(4m4−3m3+6m2+5m−4 )−(6m3−8m2−3m+1 )=¿

4m4−9m3+10m2+8m−3

6 x5+3 x2−7 x+2¿−(10 x5+6 x3−6 x2+2m−4)

(−x y4−7 y3+x y2 )+(2 x y4+5 y−2 )−(−6 y3+x y2−5 )x y4− y3+5 y−7

( 16 x+ 38 y−5)−( 83 y−54 )+( 32 x+ 29 )

x :16+ 32=2+1812

=2012x

y :38−83=24−24

24= 124y

¿ :−51+ 54=−20+5

4=−154

2012x+ 124y−15

4

1.- ley de los signos: + (mas) por + igual al +, - (menos) por – igual a +, + por – igual a -, - por + igual a -.2.-Propiedad distributiva: (5+3 )=(5∗4 )+ (3∗4 ) ,se obtiene igual resultado si sumamos 5 mas 3 y luego multiplicamos por 4 o multiplicamos 5 por 4 y le sumamos 3 por 43.-Ley de los exponentes (multiplicación, división, radical y potencia):

Multiplicación: los exponentes de las mismas literales se suman

División: los exponentes se restan indicando el residuo donde estaba el mayor

Radical: se dividen el exponente de adentro por el de afuera

Potencia: se multiplica el exponente de la literal por el de la potencia.

4.- resuelve:(2 x2−x−3 ) (2 x2−5 x−2 )=4 x4−12x3−x2+17 x6

(3 x−1 ) (4 x2−2 x−1 )=12x3−2 x2+2x−1

( 43 a2−54 a−12 )( 25 a+ 32 )= 815a3+ 180

20a2+ 134

80a−34

(9 xy−4 x2 y ) (2x y2+6x2 y2 )=45x 4 y 4−24 x4 y3−8x3 y3+18 x2 y3

(5m12−3m

23 )(4m

−34 −2m5)=20m−¡/4−10m11/2−12m−1 /12+6m12/3

( 25 z2−12 z+ 49 )( 37 z2−72 z−3)= 135z3− 3

70z2−474

270z−12

9

(3 y−5 ) (2 y+4 )=6 y2+2 y−20

(3 x2−x+7 ) (5 x+2 )=15 x3−x2−33 x+14

(3ab+3 ) (6a2b−2ab2 )=24 a3b2−8 a2b3+18a2b2−6 ab3

Definición División Algebraica:

La división algebraica se puede definir como la operación que tiene por objeto, repartir un número en tantas partes iguales, como unidades que tiene el otro o básicamente hallas las veces que un número contiene a otro.

Propiedades de la división Algebraica:

Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división.

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Partes de la División Algebraica:

El producto dado recibe el nombre de dividendo por lo tanto el factor conocido se llama divisor y por último el termino o resultado que se busca recibe el nombre de Cociente.

8m9n2−10m7n4−20m5n6+12m3n8

2m3n3=4m7n−5m5n−10m3n3+6mn5

20x 4−5 x3−10 x2+15 x−5 x

=−4 x4−x3+2x2+3 x

4 a8−10a6−5a4

2a3=2a5−5a3−2a

2x2 y+6 xy2−8 xy+10 x2 y2

2 xy=x+3 y−4+5xy=5 xy+3x+ y−4

3x2+2 x−8x+2

=x+2√3 x2+2x−8

−3 x2+6 x8x−8

−8x−16−8

=3 x+8

2x3−4 x−22x+2

=2 x+2√2 x3−4 x−2−2 x3+2x2

2 x2−4 x−2−2 x2−2 x−6 x−26 x+64

=x2+ x−3

2a4−a3+7a−32a+3

=2a+3√2a4−a3+7 a−3−2a4+3 a3

3a3+7a−3

=a3

14 y2−71 y−337 y+3

=7 y+3√14 y2−71 y−31

−14 y2+6 y−63 y−3363 y−27

−6

=2 y+9

Productos Notables

Se refiere al producto o los productos en cuyo desarrollo o proceso para resolver se, por lo tantos se conoce fácilmente por simple observación.

Reglas para su resolución:

1) Monomio por monomio

A·b = a·b

Ejemplo:

a) (–4x3y) ( –2xy2) = (–4)( –2)( x3x )( yy2 ) = 8x4y3 

b) (ab) (4a2b2)( –5a3b4) = 4(–5)( aa2a3 )( bb2b4 ) = –20a6b7

2) Monomio por polinomio

a(c + d) = ac + ad

Ejemplo:

a) 3x(5 – x) = 3x(5) – 3x(x) = 15x – 3x2 

b) –2(a – b) = –2a + (–2)( –b) = –2a + 2b

3) Polinomio por polinomio

(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

Ejemplo:

4) Binomio cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ejemplo:

5) Suma por diferencia

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Ejemplo:

(3a+4 )2=9a2+24 a+16

¿¿

(7m+8n)2=49m2+112m−64 n2

(4 a+5 )3=64a3+240 a2+300a+125

¿¿

(5m+4 )3=125m3+300m2+240m+64

(3 x+2 )4=162 x4+216 x3+216 x2+96 x+48

¿¿

¿¿

(2 x−3 ) (2x+5 )=4 x2+10 x−6 x+15=4 x2+4 x+15

(x¿¿2−1)( x2+1 )=x4−x2+x2−1=x4−1¿

(m+4 ) (m−2 )=m2−2m+4m−6=m2+2m−6

(3a+7 ) (3 a−7 )=9a2−21a+21a−49=9a2−49

(5a+3b ) (5a−2b )=25a2−10ab+15ab−6b2=25a2+5 ab−6 b2

(4a¿¿3−3)(4a3+3 )=16 a9+12a3+12a3−9=16a9−9¿

(a¿¿2−1)(a2−4 )=a4−4a2−a2−4=a4−5a2−4¿

FACTORIZACIÓN1. Define qué es factorización.- es cambiar una expresión algebraica por el producto de 2 o más factores

2. Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de factorización.-

3. Factoriza las siguientes expresiones:

A. 25a2−64b2=(5a−8b )(5a+8b)B. 8m2−14m−15=(2m−5 )(4m+3)

C. x2−15 x+54= (x+6 )(x+9)D. 5 x2−13 x+6=(5 x−2 )(x−3)E. 27a9−b3=(3a−b )(9 a2+3ab+b2)F. 5a2+10a=5a(a+2)G. n2−14n+49=¿H. x2−20 x−300=( x+10 ) ( x−30 )

I. 9 x6−1=(3 x3−1 )(3 x3+1)J. 64 x3+125=(4 x+5 )(16 x2−20 x+25)K. x2−144=( x−12 )(x−12)

L. 2 x2+11 x+12=(2 x+3 )(x+4 )M.4 x2 y−12 xy2=4 xy (x−2 y)N. xw− yw+xz− yz=(w+z )(x− y )

O. x2+14 x+45=( x+9 )(x+5)P. 6 y2− y−2=(2 y+1 )(3 y−2)Q. 4m2−49=(2m+70 )(2m−7)

R. x2−x−42=( x−7 )(x+6)S. 2m2+3m−35=(m−5 )(2m+7)

T. a2−24a+119= (a−17 )(a−7)

4. Investiga la aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones cuadráticas.

5. Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.

FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Realiza las operaciones con fracciones algebraicas:

A.x2−16

x2+8 x+16=( x+8 )¿¿

B.4 x2−20 xx2−4 x−5

=4 x (x−5)

( x+5 )(x−1)

C.3a−9b6a−18b

=3(a−3b)6(a−3b)

=36

D.

x2−6 x+9x2−7 x+12

∗x2+6 x+5

3 x2+2 x−1=

( x−3 )(x+5)( x−4 )3(x−2)

E.

7 x+21x2−16 y2

∗x2−5 xy+4 y2

4 x2+11 x−3=

7 (x−3 y )(4 x−1 )(x+4 y)

F.

x2−3 x−10x2−25

∗2 x+10

6 x+12=

( x+5 ) ( x−2 )6 ( x+2 )( x+5 ) ( x−5 )2 ( x+5 )

=(x−2 )6 ( x+2 )( x−5 )(x+5)

G.

x−42 x+8

∗4 x+8

x2−16=

(x−4 ) ( x+4 )(x−4)2 ( x+4 )4 (x+2)

=¿¿

H.3x−15x+3

÷12 x+184 x+12

=12(x−5)2 (6 x+9)

I.4 x2−9x+3 y

÷2 x−32 x+6 y

=2(2 x+3)

J.x2−14 x−15x2−4 x−45

÷x2−12x−45x2−6 x−27

=( x+3 )(x−3)( x−9 )(x+5)

K.a−3

a2−3 a+2−

a

a2−4a+3=

(a+3 )(a−3)(a−2 )(a)

L.m

m2−1+ 3mm+1

= 4m2−4m(m−1 )(m+1)

M.2a

a2−a−6− 4a2−7a+12

= 2a2+12a+8(a+2 ) (a−3 )(a+4)

N.2

m2−11m+30− 1

m2−36+ 1

m2−25= 4m−21

(m+6 ) (m+5 )(m−5)

O.x

x2−5x−14+ 2x−7

= x2( x+2)

2. Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.

3. Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas.

ECUACIONES LINEALES

1. Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuáles son los principales métodos de resolución.

Una ecuación lineal representa una línea recta de un modelo: y=a+bx.

Existen varios tipos como: ecuación con una incógnita

2. Resolver la siguientes ecuaciones:

4 (2x−3 )−5 ( x−2 )=7 (x+2 )−(3x+4 ) , x=279

=3

5x−34

+ 2 x3

= x+12, x=30

34=1517

3 (4 x+3 )+2x−3 (2−x )=2+3 ( x−4 )+5 x−2 , x=−159

=−53

2x+57

−3 x5

= x+22

+3 x , x=−2060

=−13

5 (2x−3 )+4 (x+1 )−5=2x−32

+ x3, x=29

32

3. Graficar:a) y = 5x -1

X Y-4 -21-3 -16-2 -11-1 -60 11 42 93 14

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y=-1/2x+2 y

y=-1/2x+2 y

b) y = 2x+3

X Y-4 -5-3 -3-2 -1-1 10 31 52 73 9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5y=2x+3

y=-1/2x+2 y

c) y = -1/2 x + 2

X y-4 4

-3 3 ½-2 3-1 2 ½0 21 1 ½2 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y=-1/2x+2 y

y=-1/2x+2 y

4. Dos automóviles viajan por la misma carretera, uno se encuentra delante del otro. El que va adelante viaja a 60km/h, mientras que el otro lo hace a 70 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo automóvil en rebasar al primero?

2.3 minutos

5. Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500, ¿qué precio pagó al proveedor?

6. Resolver los sistemas de ecuaciones:

1-

2 x−3 y=4x−4 y=7

[2 −31 −4]=47

∆=−8+3=−5

x=[4 −37 −4 ]=−16+21= 5

−5

y=[2 41 7]=14−4= 10

−5

2-

4a+b=63a+5b=10

[4 13 5]= 6

10

∆=20−3=17

a=[ 6 110 5]=30−10=2017

b=[4 63 10]=40−18=2217

3-

m−n=33m+4 n=9

[1 −13 4 ]=39∆=4+3=7

m=[3 −19 4 ]=12+9=217

n=[1 33 9]=9−9=17

4-

5 p+2q=−32 p−q=3

[5 22 −1]=−3

3

∆=−5−4=−9

p=[−3 23 −1]=3−6=−3

9

q=[5 −32 3 ]=15+6=219

5-

x+2 y=83 x−5 y=12

[1 23 −5 ]= 8

12

∆=−5−6=−11

x=[ 8 212 −5]=−40−24=−64

11

y=[1 83 12]=12−24=−12

11

6-

3m+2n=7m−5n=−2

[3 21 −5 ]= 7

−2

∆=−15−2=−17

m=[ 7 2−2 −5]=−35+4=−31

17

n=[3 71 −2]=−6−7=−13

17

7-

2h−i=−53h−4 i=−2

[2 −13 −4]=−5

−2

∆=−8+3=−5

h=[−5 −1−2 −4 ]=20−2= 18

−5

i=[2 −53 −2]=−4+15= 11

−5

7. Graficar los incisos 1, 3, 5 y 7 de los sistemas anteriores.

1.-

2x−3 y=4x−4=7

3x=−4+2 y

y=2x−43

4 y=−7+ x

y=x−74

Y=2x−43 Y=

x−74

x y x y-4 -4 -5 -3-1 -2 -1 -25 2 3 -1

7 0

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Y=Y=

3- x=3, y=0

n=m-3n=(9-3m)÷4

m n -4 5.25-3 -6 3 0-1 -4 5 -1.50 -3 7 -31 -23 0

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

n=m-3 nn=(9-3m)÷4

5.- X=6, y=1

Y=(8-x)÷2y=(3x-12)÷5

x Y x y-4 6 -5 -5.4-2 5 -1 -30 4 3 -0.62 3 7 1.84 26 18 0

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Y=(8-x)÷2y=(3x-12)÷5

7.-

i=(3h+2)/4h i6 52 2-2 -1-6 -4i=2h+5h i4 132 9

0 5-2 1-4 -3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

i=(3h+2)/4 ih

8. Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

9. Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al 40% ¿qué cantidad de cada una debe emplearse?

ECUACIONES DE 2° GRADO1. Definir qué es una ecuación cuadrática.

Es una ecuación cuyo exponente mayor de uno de sus términos es el numero 2

2. Definir qué es un número real y qué es un número imaginarioLos números reales tiene una parte decimal y son tanto los números racionales como los irracionales, y los números imaginarios son cuyos cuadrados son negativos (√−4=2 i¿

3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

7 x2+21x=0

x1=0 , x2=−3

4 x2−16=0

x1=2 , x2=−2

a2−3a+2=0

a1=2 , a2=1

9m2+12m−5=0

m1=13,m2=

53

x2−3 x=0

x1=0 , x2=3

5 x2+10=0

x1=0 , x2=−2

7 y2−3 y+10=0

y1=3+16.46 i14

, y2=3−16.46 i14

2 t2−t+1=0

t 1=1+2.644, t 2=1−

2.644

8 x2−7 x=0

x1=0 , x2=78

a2−25=0

a1=5 , a2=−5

1. Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

y=x2−1

〖y=x〗^2-1

x y-3 8-2 3-1 00 -11 02 33 8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

10

〖 y=-x〗 ^2-1

〖 y=-x〗 ^2-1

X=-1

y=x2+5 x+6

〖y=-x〗^2+5x+6x y

-4 2-3 0-2 0-1 20 6

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 00

1

2

3

4

5

6

7

〖 y=-x〗 ^2+5x+6

〖 y=-x〗 ^2+5x+6

X1=-3

X2=-2

y=− x2−4

〖y=-x〗^2-4x y

-3 -13-2 -8-1 -50 -41 -52 -83 -13

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

〖 y=-x〗 ^2-4

〖 y=-x〗 ^2-4