UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniera Industrial y de Sistemas

REA DE CIENCIAS BSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011-ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 15.12.2011

1.- Dado el tringulo ABC y las rectas 19 18

:5 11

x yL 2z

24 11 8

:7 17 15

x y zL Medianas del tringulo trazadas de los vrtices C y A respectivamente. Si B = (-5, 2, 3),encontrar los vrtices A y C del tringulo.

2.- Calcular la siguiente suma 2 2 2 23 3 51

...

26 26 26 26E sen sen sen sen

3.- a) Encontrar los valores y vectores caractersticos de la matriz

4 3( ) 8 8Tf A A A A I si3 2 42 0 24 2 3

A

b) Diagonalizar la matriz A, si es posible

4.- Cules de las siguientes aplicaciones son T. L

a) 2: /a b a b

T M R Tc d c d

b) 2 22 2: / (2 3 )T P P T c bx ax c b a x c b x c) 2 2: / ( )T M M T A MA AM donde 1 12 2M

d) 2:T C P 22: / ( ) (2 3 ) (3 4 ) ( )T e P T a bi a b a b x a b x

donde M2 es el espacio de las matrices cuadras de orden 2

P2 Es el espacio de los polinomios de grado 2C es el espacio de los nmeros complejos

5.- Sean 1 1 2 3, ,B u u u y 2 1 2 3, ,B v v v bases de 3V donde 1u = (1, 0,1)T,2u = ( 1,1,0)T , 3 (0,1, 1)Tu , 1 (1, 1,2)Tv , 2 (1,1,2)Tv , 3 (0,0,1)v .

a) Hallar la matriz de transicin de la base B1 a la base B2.b) Usando la matriz de transicin obtenida en (a ) calcular (2,5, 7)Tx en la base B1 y

en la base B2.

NOTA: RESOLVER SOLAMENTE 4 PROBLEMAS

EXAMEN FINAL

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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011-ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 14.07.2011

1.- Dadas las rectas 11

: 12

zL x y

21 3

: 42 3

x yL z L es la recta que contiene a la distancia mnima entre 1L y 2L . Hallar la imagen de la rectaL sobre el plano P : 2 0x y z

2.- Si

2

2

2

2

2

1 0 0 0

1 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 1

i i

i i i

i ii B

i i

i i

e e

e e e

e e Ae

e e

e e

Calcule A B.

3.- Si el nmero complejo i es un cero de6 5 4 3 2( ) 120 166 203 48 288 118 35P x x x x x x x

Encontrar todos los ceros de ( )P x .

4.- Sea la matriz

45a a

A b ba a b

, ,a b, los valores propios de la matriz A

satisfacen la ecuacin 3 211 39 45 0 .Encontrar los valores y vectores propios de 1A .

Victoria

EXAMEN FINAL

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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010 IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, G. TAFUR FECHA : 11/03/2011

1.- Calcule el siguiente determinante

2 3 4

3 4 3

4 3 2

5 2 2

1

i i i i

i i i

i i i i

i i i i

e e e e

e e eA

e e e e

e e e e

2.- Bajo que condicin 2( ) 1m mP x x x es divisible por 2( ) 1D x x x ?.3- a) Averiguar si el conjunto de elementos u a bi con las operaciones

1 2 1 2 2 1u u a a b b i u b a i es un espacio vectorial . Justificar

b) Averiguar si el conjunto de elementosa b

uc d

con las operaciones

1 2 1 21 2

1 2 1 2

a a b bu u

c c d d

00 0

a b c du

esun espacio vectorial. Justificar

4.- Pn = { espacio de los polinomios de grado < n}Sea T: P4 P3 una T. L y sea 1 2 3 4, , ,B p p p p una base para P4donde: 2 3 21 2 3 4, 2, , 4p x p x p x x p x donde 21( ) 1T p x x ,

2( ) 4 8T p x ,2

3( ) 2T p x , 24( ) 4 12 8T p x x a) Encontrar ( ( ))T p x donde 3 2( )p x ax bx cx d b) Calcular ( ( ))T q x donde 3( ) 5 2q x x x c) Encontrar una base para el espacio imagen de Td) Encontrar una base para el espacio ncleo de T

EXAMEN FINAL

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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 16.12.2010

1.- Por el punto A(1, 0, 1) se traza un perpendicular al plano : 2 7 0P x y z . Si B esel pie de la perpendicular, determinar un punto C en la recta

: ( 1,1,0) (0,1,5) /L Q t t R , de modo que el volumen del tetraedro cuyos vrticesson A, B, C y D es igual a 3u3, siendo D L P .

2.- Sea 1 2 3( ) ... 1n n n nP z z z z z , n es impar / 1z ,1z , arg( )z

Si ( ) sec2

P z k . Halle K.3.- Dadas las bases (0,1,1),(1,0,0),(1,0,1)S y (1,1,1),(1,2,3),(10,1)S de 3

Sean ( 1,4,5)v y (2,0, 6)u a) Hallar los vectores coordenados de v y u respecto a las bases S y Sb) Determine la matriz de cambio de base P de la base S a la base Sc) Utilizando la matriz P de b) halle los vectores coordenados de v y u respecto a la

base Sd) Determine la matriz de cambio de base S a S

4.- Halle la matriz asociada a la transformacin lineal 3 3:T R R definida por2

3 45 8

x x y zT y x y z

z x y z

Con respecto a la base (1,1,1),(2,2,1),( 1, 2, 2) y halle una base y la dimensin delncleo y la imagen de T.

Victoria

EXAMEN FINAL

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READE CIENCIAS BSICASCURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010 2CODIGO : CB-111DOCENTE : MONCADA CAJAVILCA, Vctor Jos FECHA : 06Dic2010

CICLO 2010-11.- Un plano P pasa por el punto (1, 4, -2) y dista una unidad de la recta : (2,6,5) (2, 4,0)L r , r

i) Calcule la ecuacin del plano Pii) Indique si los puntos (1, 0, 0) y (0, 0, 1) se encuentran arriba o debajo del plano P

iii) Determine de (ii) las proyecciones sobre el plano P2.- Sean 1 1 2 3, ,B u u u y 2 1 2 3, ,B v v v dos bases de 3 donde

1 (1,1,1)u , 2 (1,2,1)u y 3 (2,1, 1)u 1 (1,1,1)v , 2 (0,2,1)v y 3 ( 3,0, 1)v i) Encontrar la matriz de cambio de base de 1B a 2Bii) Usando la matriz obtenida en (i) si (1,0,1)v calcular v en la base 1B y v en la base 2B

3.- Sea 3 2:T una transformacin lineal definida por ( , , ) (2 , 3 2 4 )T x y z x y z x y z ysean las bases 1 (1,1,1),(1,1, 1),(1, 1, 1)B de 3 y 2 (1,2),(3,5)B de 2a) Determine la representacin matricial de T respecto a las bases 1B y 2Bb) Usando la matriz obtenida en a) determine ( )T v si (1,2,3)v

4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta

i) Si a b c y 0a b c entonces c abproy a proy b proy c a

ii) / /rbproy a b b a b

iii) . . . . .a b c d a c b d a d b c

NOTA: ,a b

y c 3

CICLO 2009-3

1.- Sea 2 2:T P P una transformacin lineal y 1 2,B p p una base de 2P donde1( ) 1p x x , 2( ) 1p x x , 1( ) 1T p x , 2( ) 2 1T p x ,

a) Hallar ( )T ax b b) Calcular (2 3)T x c) Encontrar la matriz de T con respecto a la base B.2.- Sea 3 4:T R R una transformacin lineal y 1 2 3, ,B u u u una base para R3 , donde :

1 21,2,3 , 2,5,7T Tu u , 3 2, 4, 5 ,Tu 1( ) 1,2,0, 1 TT u , 2( ) 0,1,0, 1 TT u , 3( ) 0,0,1,1 TT u .

a) Hallar 5,4, 3 TT . b) Hallar una base para el espacio imagen de T.c) Hallar una base para el ncleo de T.

EXAMENES FINALES

3.- 3 3:T R R una transformacin lineal definido por ( , , ) 2 , 4 , 3T x y z y z x y x y sean (1,1,1), (2,2,1), (3,2,2)S (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S dos bases de 3R

a) Determine la matriz de cambio de base P de S a S b) Usando a) Determine ST4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones

a) Si una transformacin T cumple (0) 0T entonces T es linealb) Si 2 3:T R R es lineal tal que T(1, 2) = (3, -1, 5) y T(0,1) = (2, 1, -1) entonces

( , ) (2 , 3 , 7 )T a b b a b a a b c) Sea 3 2:T R R una transformacin lineal definida por: ( , , ) 3 2 4 , 5 3T x y z x y z x y z

y sean (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S (1,3), (2,5)S bases de 3 2yR R entonces larepresentacin matricial de T respecto a las bases S y S es 7 33 13

4 19 8

CICLO 2009-21.- Sean los planos P1: 3 2 5x y z P2 : 3 2 1x y z y A = (8, -5, -5) 3

A1 es proyeccin ortogonal de A sobre P1 A2 es proyeccin ortogonal de A sobre P2. Sobre 1 2P Pencontrar un punto Q de modo que el rea de la regin triangular 1 2A Q A sea mnima.

2.- Sea 1 1 2 3, ,B u u u y 2 1 2 3, ,B v v v dos bases de R3 donde, 1 2 31,1,1 , 1,2,2 , 1,2,3u u u 1 2 3(1, 1, 1) , (0, 2,1) , ( 3,0, 1) ,v v v

a) Encontrar la matriz de cambio de base de B1 a B2 .b) Usando la matriz obtenida en a) halle

1Bv y 2Bv con (1, 2,3)v

3.- Sea 3 3:T una transformacin lineal tal que42 5 2

2

x x y zT y x y z

z x y z

y sea 1 2 3, ,B u u u una base para 3 donde 1 2(1,1,1) , (1, 2,3)T Tu u y 3 (1, 2, 2)Tu .

a) Halle la representacin matricial de T relativo a la base B.b) Usando la parte a) halle ( ) BT v tal que (1, 1,0)v

4.- Sea P3 el espacio de los polinomios de grado 3 y sean 21 ,1 ,B x x x y 21 ,1 2 , 4B x x x x bases del espacio vectorial P3.

a) Encontrar la matriz de transicin de la base B a la Bb) Encontrar la matriz de transicin de la base B a la base Bc) Usando la matriz obtenida en (a ), si 2( ) 7 2p x x x . Hallar ( ) Bp x y ( ) Bp x

CICLO 2009-1

1.- Dados los nmeros complejos 1 21 20z i y 2 15 8z i calcule el rea de la regin formada cuyosvrtices son las races cuadradas de los nmeros complejos dados.

2.- Un plano P : ax by cz d con , , ,a b c d contiene a la recta 8: 1 13

yL x z y forma un

ngulo de3

con el plano P1: 2 7x y z . Determine la proyeccin de la recta

11 2 1

:2 1 2

x y zL sobre el plano P.3.- Pn = espacio de los polinomios de grado < n . Sea 3 3:T P P una Transformacin Lineal tal que : 2 2T a bx cx a b c b c x cx y sea 1 2 3, ,B p p p una base de P3 donde:

21( ) 1 2p x x x , 2 ( )p x x , 23( ) 1 2p x x x

a) Encontrar la matriz de T con respecto a la base B.b) Usando la matriz obtenida en (a ), calcular (7 5 )T x

4.- M 2 = espacio de las matrices cuadradas de orden 2 y sean 1 2 3 4, , ,B M M M M y 1 1 2 3 4, , ,B N N N N bases de M 2 donde: 1 1 00 0M

, 21 10 0

M , 3

1 11 0

M , 4

1 11 1

M

11 10 0

N , 2

2 31 0

N , 3

0 10 0

N , 4

1 31 1

N

a) Encontrar la matriz de transicin de la base B a la base B1b) Encontrar la matriz de transicin de la base B1 a la base B

c) Usando las matrices obtenidas en (a ) y (b). Calcule (M)B y 1B

M , cuando3 14 2

M

CICLO 2008-3

1.- Sea Pn el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que n, 3 2:T P P una transformacinlineal tal que A es la matriz de transformacin respecto a las bases S y S donde 1 2 3, ,S p p p ,

1 2,S q q , 2 /17 8 /17 13/1710 /17 23/17 14 /17A , 1 2 3q x , 2 3 4q x , hallar una base para el espacio

imagen de T.

2.- Sea 3 3:T R R una Transformacin Lineal tal que:4 4 8

4 6 46 4 10

x x y zT y x y z

z x y z

y sea 1 2 3, ,B u u u

una base para R3 en donde: 1u (-1 , 1 , 1)T , 2u = (1 , 0 , -1)T , 3u (2 , -1 , -1)T .a) Hallar la matriz de la transformacin respecto a la base B.b) Encontrar una base para la imagen de la transformacin.

3.- Dada una recta 10 7 9:1 2 1

x y zL y un punto Q(13, 1, 0) a la recta L . Halle dos puntos Ay B en L que forman con Q un tringulo equiltero.

4.- Sea 3 3:T una T.L. definido por: ( , , ) ( 2 , , 2 )T x y z x y z y z x y z y considrense lasbases 1 2 3(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S w w w y 1 2 3(2,0,1), (1,1, 1), (1,0,1)S de 3a) Encontrar la matriz de cambio de base de S a S b) Usando ( a) calcule ST

CICLO 2008-21.- Consideremos las bases S y S de 3 tal que

1 2 3(1, 2,0), (1,3, 2), (0,1,3)S u u u 1 2 3' (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S v v v a) Halle la matriz de cambio de base P de S a S b) Usando a) halle / (0,1,1)Sv v

2.- Sea 4 3:T R R una T. L. definida por: ( , , , ) ( , 2 , 3 2 )T x y s t x y s t x s t x y s t a) Encontremos una base y la dimensin de la imagen de T

Si 1 2 3 4(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0)S u u u u es una base de 4 .b) Encontrar una base y la dimensin del ncleo de T.

3.- L1 es una recta que intercepta perpendicularmente a las rectas L2 y L3 en Q y T respectivamente donde3 : 4 4 2

zL x y , 2L A t a , A = (4, 8, 4) . La recta 4 : 8, 0L x y z es secante con L1.Calcular QT.

4.- Calcular:1 1

2 210 6cos 10 6cos2 1 2 1

n n

k k

k kn n

CICLO 2008-1

1.- Sea la matriz0

1 11

b bA a

b a

donde a y b son enteros, los valores propios de A satisfacen la ecuacin

3 28 27 10 0 a) Encontrar los valores y vectores propios de 4 2( ) (3 ) (10 ) 5 8f A A A A I b) Diagonalizar A-1 si es posible.

2.- Sea 3 3:T una T. L definida por:2 22

4

x x y zT y x y z

z x y z

y

sea 1 2 3, ,B u u u una base de 3 tal que 1 2 3(1,0,0) , (1,1,0) , (1,1,1)T T Tu u u a) Encontrar los valores y vectores propios de Tb) Encontrar una nueva base de modo que la representacin matricial de T sea diagonal

3.- Sea 2 2xM = {espacio de las matrices cuadradas de orden 2 } y sean: ' ' ' '1 1 2 3 4 2 1 2 3 4, , , , , , ,B M M M M B M M M M bases de M2x2 donde:

1 1 0 0 0 0 1 01 2 3 40 0 1 0 0 1 0 0

M M M M 1 0 0 1 0 2 0 0

' ' '

1 2 3 40 0 1 0 0 1 1 1M M M M

a) Encontrar la matriz de transicin de la base de B1 a la base B2b) Encontrar la matriz de transicin de la base de B2 a la base B1c) Si 1 2

3 4M

. Calcular 1 2( ) ( )B BM y M usando las matrices de transicin halladas en (a) y (b)

4.- Sean las rectas 15

:2

xL y , z = 0, 2 : 9L x , 8y , z t , t donde 1A L , 2B L , AB esperpendicular 1 2L y a L , M y N son puntos de 1 2L y L respectivamente 2 . .AM BN AB AB

, si M

es punto medio de AB y L contiene a MN . Calcular la distancia d (M, L).

CICLO 2007-1

1.- 16 8

:12 9

x yL , z = 0 , 26 8 10

:3 4 5

x y zL son rectas donde AB es la distancia mnima, 1A Ly 2B L , D y O (origen de coordenadas) son puntos de L1 y L2 respectivamente y C , W sonpuntos de yDO AO en ese orden tal que BW es perpendicular al plano AOD, P: 7 24 15 150 0x y z es el plano que contiene a ABC donde D y O estn a uno y otro lado dedicho plano, si el plano que contiene a BCW es: 3 4 25 0x y , hallar D.

2.- Calcular a) A = 2 3cos cos cos cos2 1 2 1 2 1 2 1

n

n n n n

b) Si n = 7 que valor toma A?.

3.- Sea la matriz5

3 41 2

b bA a

a

donde los valores propios de A satisfacen la ecuacin

3 2 7 0B C , B > 0 , C >0.

Para 0 el vector propio asociado es10 , 0

1X t t

a) Encontrar los valores y vectores propios de A-1 b) Calcular 15A

4.- a) Pn es el espacio de los polinomios de grado < n.Sea 1 2 3( ), ( ), ( )A p x p x p x un conjunto de polinomios de P3 donde

1( )p x 2 2 3x x , 22 ( ) 2 5 7p x x x , 3( ) 2p x x Averiguar si A es un conjunto linealmente independiente.

b) Sea :oG F V W una transformacin definida por: ( )oG F v G F v , donde G y F son transformaciones lineales oG F es una transformacinlineal?. Justificar la respuesta.

CICLO 2006-21.- Dados los nmeros complejos 1 2 3, yz z z donde 1 2 3 1z z z . Demostrar que:

2 222 3 3 11 2

3 3 3 33 31 23 1 2 3

1 11 18z z z zz z

z zz z z z

2.-Sea el polinomio 5 4 3 22 1 0( ) 8 3P x x x x a x a x a cuyos ceros estn en progresin aritmtica,hallar el menor cero de ( )P x .

3.- Pn = espacio de los polinomios de grado n Sea 2 1:T P P una T.L y sea 1 2 3, ,B p p p una base de P2 donde 21 1p x , 2 3 1p x ,

3 4 1p x , se sabe que 1( ) 3 1T p x , 2( ) 2T p x , 3( )T p x a) Encontrar ( )T p x donde 2( )p x ax bx c b) Hallar 2(3 2 4)T x x

4.- Sea 2 3:T una T. L definida por 23

x yx

T x yy

y

y sean 1 2,B u u y 1 2 3, ,B v v v

bases de 2 3y respectivamente, tal que 112

u , 2

30

u ,

1

121

v

, 2

110

v

3

1 0

1v

a) Encontrar la matriz de T con respecto a las bases yB B .b) Usando la matriz obtenida en (a). Calcular 5

3T

CICLO 2006-11.- Sea qpnm DxCxBxAxxP )( , donde (-1) es un cero de multiplicidad 3; m y p son pares, n

y q impares. Si qnm

.. CalcularCB

2.- Sea

abaaba

bbA

2

3con a, b Z, los valores propios de A son tales que 132 22

1 y

satisfacen la ecuacin 0825 23 a) Hallar los valores y vectores propios de Ab) Calcular 30 A-30 .

3.- D-ABC es una pirmide en donde AD = 6 , BC = 5 , A = (5, 6, 3), las rectas que contienen a AD yBC distan en 6 u y forman un ngulo tal que = arc.

53

cos . El plano que contiene al tringulo

acutngulo DBC es: 0132856 zyx ;

6,9,2

13 y (6, 12, 9/2) son puntos medios de DB y

BC respectivamente. Hallar las coordenadas de B y C .

4.- a) P3 = espacio de los polinomios < 3 3211 ,, pppB y 3212 ,, qqqB son bases de P3 donde 21 1 xxp ,

22 xxp , 23 xp , 21 43 xxq , 22 25 xxq , 23 61 xxq i. Encontrar la matriz de transicin de la base B1 a la base B2

ii. Encontrar la matriz de transicin de la base B2 a la base B1iii. Usando la matriz obtenida en (i). Calcular xxp 2)( en la base B1 .

b) Calcular )1.....()1()1()1()1( 73289

7313

739

735

73iiiii

eeeeeE

CICLO 2005-2

1.- Si

5711

A

a) Encontrar los valores y vectores propios de 12 A-1

b) Si IAAAf 2)( . Hallar 36)( Af

2.- Sea

1321219

67

c

ddc

A la matriz de orden 3, donde dc , 2 dc

Los valores propios de A satisfacen la ecuacin 088 23 baa) Encontrar los valores y vectores propios de Ab) Diagonalizar A, si es posible

3.- Si

311131113

A diagonalizar ortogonalmente la matriz A

4.- Hallar

1

122

cos1

2

1n

t

n

t

, Zn

2008-I

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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-ICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 15.07.2010

1.- Un plano P pasa por el punto (1, 4, -2) y dista una unidad de la recta: (2,6,5) (2, 4,0)L r , r

i) Calcule la ecuacin del plano Pii) Indique si los puntos (1, 0, 0) y (0, 0, 1) se encuentran arriba o debajo del plano Piii) Determine de (ii) las proyecciones sobre el plano P

2.- Sean 1 1 2 3, ,B u u u y 2 1 2 3, ,B v v v dos bases de 3 donde1 (1,1,1)u , 2 (1,2,1)u y 3 (2,1, 1)u 1 (1,1,1)v , 2 (0,2,1)v y 3 ( 3,0, 1)v

i) Encontrar la matriz de cambio de base de 1B a 2Bii) Usando la matriz obtenida en (i) si (1,0,1)v calcular v en la base 1B y v en la

base 2B

3.- Sea 3 2:T una transformacin lineal definida por( , , ) (2 , 3 2 4 )T x y z x y z x y z y sean las bases 1 (1,1,1),(1,1, 1),(1, 1, 1)B de 3 y 2 (1,2),(3,5)B de 2

a) Determine la representacin matricial de T respecto a las bases 1B y 2Bb) Usando la matriz obtenida en a) determine ( )T v si (1,2,3)v

4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta

i) Si a b c y 0a b c entonces c abproy a proy b proy c a

ii) / /rbproy a b b a b

iii) . . . . .a b c d a c b d a d b c NOTA: ,a b

y c

3

Victoria

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniera Industrial y de Sistemas

REA DE CIENCIAS BSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. VASQUEZ FECHA : 12.03.2010

1.- Sea 2 2:T P P una transformacin lineal y 1 2,B p p una base de 2P donde1( ) 1p x x , 2( ) 1p x x , 1( ) 1T p x , 2( ) 2 1T p x ,

a) Hallar ( )T ax bb) Calcular (2 3)T x c) Encontrar la matriz de T con respecto a la base B.

2.- Sea 3 4:T R R una transformacin lineal y 1 2 3, ,B u u u una base para R3 ,donde : 1 21,2,3 , 2,5,7T Tu u , 3 2, 4, 5 ,Tu 1( ) 1,2,0, 1 TT u ,

2( ) 0,1,0, 1 TT u , 3( ) 0,0,1,1 TT u .a) Hallar 5,4, 3 TT .b) Hallar una base para el espacio imagen de T.c) Hallar una base para el ncleo de T.

3.- 3 3:T R R una transformacin lineal definido por ( , , ) 2 , 4 , 3T x y z y z x y x y sean (1,1,1), (2,2,1), (3,2,2)S (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S dos bases de 3R

a) Determine la matriz de cambio de base P de S a Sb) Usando a) Determine ST

4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmacionesa) Si una transformacin T cumple (0) 0T entonces T es linealb) Si 2 3:T R R es lineal tal que T(1, 2) = (3, -1, 5) y T(0,1) = (2, 1, -1) entonces

( , ) (2 , 3 , 7 )T a b b a b a a b c) Sea 3 2:T R R es una transformacin lineal definida por ( , , ) 3 2 4 , 5 3T x y z x y z x y z y sean (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S

(1,3), (2,5)S bases de 3 2yR R entonces la representacin matricial de Trespecto a las bases S y S es 7 33 13

4 19 8

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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, C. MENDOZA FECHA : 18.12.09

1.- Sean los planos P1: 3 2 5x y z P2 : 3 2 1x y z y

A = (8, -5, -5) 3A1 es proyeccin ortogonal de A sobre P1A2 es proyeccin ortogonal de A sobre P2.

Sobre 1 2P P encontrar un punto Q de modo que el rea de la regin triangular 1 2A Q Asea mnima

2.- Sea 1 1 2 3, ,B u u u y 2 1 2 3, ,B v v v dos bases de R3 donde, 1 2 31,1,1 , 1,2,2 , 1,2,3u u u

1 2 3(1, 1, 1) , (0, 2,1) , ( 3,0, 1) ,v v v

a) Encontrar la matriz de cambio de base de B1 a B2 .b) Usando la matriz obtenida en a) halle

1Bv y 2Bv con (1, 2,3)v

3.- Sea 3 3:T una transformacin lineal tal que42 5 2

2

x x y zT y x y z

z x y z

y sea 1 2 3, ,B u u u una base para 3 donde 1 2(1,1,1) , (1, 2,3)T Tu u y 3 (1, 2, 2)Tu .

a) Halle la representacin matricial de T relativo a la base B.b) Usando la parte a) halle ( ) BT v tal que (1, 1,0)v

4.- Sea P3 el espacio de los polinomios de grado 3y sean 21 ,1 ,B x x x y 21 ,1 2 ,4B x x x x bases del espacio vectorial P3.a) Encontrar la matriz de transicin de la base B a la Bb) Encontrar la matriz de transicin de la base B a la base Bc) Usando la matriz obtenida en (a ), si 2( ) 7 2p x x x . Hallar ( ) Bp x y ( ) Bp x

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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 ICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 17.07.09

1.- Dados los nmeros complejos 1 21 20z i y 2 15 8z i calcule el rea de laregin formada cuyos vrtices son las races cuadradas de los nmeros complejosdados.

2.- Un plano P : ax by cz d con , , ,a b c d contiene a la recta8

: 1 13

yL x z y forma un ngulo de 3

con el plano P1: 2 7x y z .

Determine la proyeccin de la recta 11 2 1

:2 1 2

x y zL sobre el plano P.

3.- Pn = espacio de los polinomios de grado < nSea 3 3:T P P una T. L tal que 2 2T a bx cx a b c b c x cx y sea 1 2 3, ,B p p p una base de P3 donde 21( ) 1 2p x x x , 2 ( )p x x ,

23( ) 1 2p x x x a) Encontrar la matriz de T con respecto a la base B.b) Usando la matriz obtenida en (a ), calcular (7 5 )T x

4.- M 2 = espacio de las matrices cuadradas de orden 2 y sean 1 2 3 4, , ,B M M M My 1 1 2 3 4, , ,B N N N N bases de M 2 donde

11 00 0

M , 2

1 10 0

M , 3

1 11 0

M , 4

1 11 1

M

11 10 0

N , 2

2 31 0

N , 3

0 10 0

N , 4

1 31 1

N

a) Encontrar la matriz de transicin de la base B a la base B1b) Encontrar la matriz de transicin de la base B1 a la base Bc) Usando las matrices obtenidas en (a ) y (b) .

Calcular (M)B y 1B

M , cuando3 14 2

M

Victoria

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CURSO : ALGERA LINEAL CICLO : 2008 IIICODIGO : CB-111DOCENTE : ALEJANDRO HUAMAN, RIQUELMER

VASQUEZFECHA : 10.03.09

1.- Sea Pn el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que n, 3 2:T P P unatransformacin lineal tal que A es la matriz de transformacin respecto a las bases S y S donde 1 2 3, ,S p p p , 1 2,S q q , 2 /17 8 /17 13/1710 /17 23/17 14 /17A

, 1 2 3q x ,

2 3 4q x , hallar una base para el espacio imagen de T.

2.- Sea 3 3:T R R una T.L tal que4 4 8

4 6 46 4 10

x x y zT y x y z

z x y z

y sea 1 2 3, ,B u u u una

base para R3 en donde 1u (-1 , 1 , 1)T , 2u = (1 , 0 , -1)T , 3u (2 , -1 , -1)T .a) Hallar la matriz de la transformacin respecto a la base B.b) Encontrar una base para la imagen de la transformacin.

3.- Dada una recta 10 7 9:1 2 1

x y zL y un punto Q(13, 1, 0) a la recta L . Halledos puntos A y B en L que forman con Q un tringulo equiltero

4.- Sea 3 3:T una transformacin lineal definido por( , , ) ( 2 , , 2 )T x y z x y z y z x y z y considrense las bases 1 2 3(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S w w w y 1 2 3(2,0,1), (1,1, 1), (1,0,1)S de 3

a) Encontrar la matriz de cambio de base de S a Sb) Usando ( a) calcule ST

Victoria

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REA DE CIENCIAS BSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 IICODIGO : CB-111DOCENTE : R. VASQUEZ, A. HUAMAN FECHA : 19.12.08

1.- Consideremos las bases S y S de 3 tal que

1 2 3(1,2,0), (1,3,2), (0,1,3)S u u u 1 2 3' (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)S v v v

a) Halle la matriz de cambio de base P de S a Sb) Usando a) halle / (0,1,1)Sv v

2.- Sea 4 3:T R R una trasformacin lineal definida por:( , , , ) ( , 2 , 3 2 )T x y s t x y s t x s t x y s t

a) Encontremos una base y la dimensin de la imagen de TSi 1 2 3 4(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0)S u u u u es una base de 4 .

b) Encontrar una base y la dimensin del ncleo de T.

3.- L1 es una recta que intercepta perpendicularmente a las rectas L2 y L3 en Q y Trespectivamente donde 3 : 4 4 2

zL x y , 2L A t a , A = (4, 8, 4) . La recta4 : 8, 0L x y z es secante con L1. Calcular QT.

4.- Calcular:1 1

2 210 6cos 10 6cos2 1 2 1

n n

k k

k kn n

Victoria

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniera Industrial y de Sistemas

REA DE CIENCIAS BSICASCURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 ICODIGO : CB 111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA, R. VASQUEZ FECHA : 18.07.08

1.- Sea la matriz0

1 11

b bA a

b a

donde a y b son enteros, los valores propios de A

satisfacen la ecuacin 3 28 27 10 0 a) Encontrar los valores y vectores propios de

4 2( ) (3 ) (10 ) 5 8f A A A A I b) Diagonalizar A-1 si es posible.

2.- Sea 3 3:T una T. L definida por:2 22

4

x x y zT y x y z

z x y z

y

sea 1 2 3, ,B u u u una base de 3 tal que 1 2 3(1,0,0) , (1,1,0) , (1,1,1)T T Tu u u a) Encontrar los valores y vectores propios de Tb) Encontrar una nueva base de modo que la representacin matricial de T sea

diagonal

3.- Sea 2 2xM = {espacio de las matrices cuadradas de orden 2 }y sean: ' ' ' '1 1 2 3 4 2 1 2 3 4, , , , , , ,B M M M M B M M M M bases de M2x2

donde1 1 0 0 0 0 1 0

1 2 3 40 0 1 0 0 1 0 0M M M M

1 0 0 1 0 2 0 0' ' '

1 2 3 40 0 1 0 0 1 1 1M M M M

a) Encontrar la matriz de transicin de la base de B1 a la base B2b) Encontrar la matriz de transicin de la base de B2 a la base B1c) Si 1 2

3 4M

. Calcular 1 2( ) ( )B BM y M usando las matrices de transicinhalladas en (a) y (b)

4.- Sean las rectas 15

:2

xL y , z = 0, 2 : 9L x , 8y , z t , t donde1A L , 2B L , AB es perpendicular 1 2L y a L , M y N son puntos de

1 2L y L respectivamente 2 . .AM BN AB AB

, si M es punto medio de AB y Lcontiene a MN . Calcular la distancia d (M, L).

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REA DE CIENCIAS BSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 IICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. VASQUEZ FECHA : 16.12.08

2005-II

1.- Si

5711

A

a) Encontrar los valores y vectores propios de 12 A-1

b) Si IAAAf 2)( . Hallar 36)( Af

2.- Sea

1321219

67

c

ddc

A la matriz de orden 3, donde dc , 2 dc

Los valores propios de A satisfacen la ecuacin 088 23 baa) Encontrar los valores y vectores propios de Ab) Diagonalizar A, si es posible

3.- Si

311131113

A diagonalizar ortogonalmente la matriz A

4.- Hallar

1

122

cos1

2

1n

t

n

t

, Zn

2006-I1.- Sea qpnm DxCxBxAxxP )( , donde (-1) es un cero de multiplicidad 3; m y p

son pares, n y q impares. Si qnm

.. CalcularCB

EXAMEN FINAL

2.- Sea

abaaba

bbA

2

3con a, b Z, los valores propios de A son tales que

132 221

y satisfacen la ecuacin 0825 23 a) Hallar los valores y vectores propios de Ab) Calcular 30 A-30 .

3.- D-ABC es una pirmide en donde AD = 6 , BC = 5 , A = (5, 6, 3), las rectas quecontienen a AD y BC distan en 6 u y forman un ngulo tal que = arc.

53

cos . El

plano que contiene al tringulo acutngulo DBC es: 0132856 zyx ;

6,9,2

13 y

(6, 12, 9/2) son puntos medios de DB y BC respectivamente. Hallar las coordenadas deB y C .

4.- a) P3 = espacio de los polinomios < 3 3211 ,, pppB y 3212 ,, qqqB son bases de P3 donde 21 1 xxp ,

22 xxp , 23 xp , 21 43 xxq , 22 25 xxq , 23 61 xxq i. Encontrar la matriz de transicin de la base B1 a la base B2

ii. Encontrar la matriz de transicin de la base B2 a la base B1iii. Usando la matriz obtenida en (i). Calcular xxp 2)( en la base B1 .

b) Calcular )1.....()1()1()1()1( 73289

7313

739

735

73iiiii

eeeeeE 2006-II

1.- Dados los nmeros complejos 1 2 3, yz z z donde 1 2 3 1z z z . Demostrar que:2 22

2 3 3 11 23 3 3 33 3

1 23 1 2 3

1 11 18z z z zz z

z zz z z z

2.-Sea el polinomio 5 4 3 22 1 0( ) 8 3P x x x x a x a x a cuyos ceros estn en progresinaritmtica, hallar el menor cero de ( )P x .

3.- Pn = espacio de los polinomios de grado n Sea 2 1:T P P una T.L y sea 1 2 3, ,B p p p una base de P2 donde 21 1p x ,

2 3 1p x ,

3 4 1p x , se sabe que 1( ) 3 1T p x , 2( ) 2T p x , 3( )T p x a) Encontrar ( )T p x donde 2( )p x ax bx c b) Hallar 2(3 2 4)T x x

4.- Sea 2 3:T una T. L definida por 23

x yx

T x yy

y

y sean 1 2,B u u y

1 2 3, ,B v v v bases de 2 3y respectivamente, tal que 1 12u , 2

30

u ,

1

121

v

, 2

110

v

3

1 0

1v

a) Encontrar la matriz de T con respecto a las bases yB B .b) Usando la matriz obtenida en (a). Calcular 5

3T

2007-I

1.- 16 8

:12 9

x yL , z = 0 , 26 8 10

:3 4 5

x y zL son rectas donde AB es la distanciamnima, 1A L y 2B L , D y O (origen de coordenadas) son puntos de L1 y L2respectivamente y C , W son puntos de yDO AO en ese orden tal que BW esperpendicular al plano AOD, P : 7 24 15 150 0x y z es el plano que contiene a ABCdonde D y O estn a uno y otro lado de dicho plano, si el plano que contiene a BCW es:3 4 25 0x y , hallar D.

2.- Calcular a) A = 2 3cos cos cos cos2 1 2 1 2 1 2 1

n

n n n n

b) Si n = 7 que valor toma A?.

3.- Sea la matriz5

3 41 2

b bA a

a

donde los valores propios de A satisfacen la ecuacin

3 2 7 0B C , B > 0 , C >0.

Para 0 el vector propio asociado es10 , 0

1X t t

a) Encontrar los valores y vectores propios de A-1 b) Calcular 15A

4.- a) Pn es el espacio de los polinomios de grado < n.Sea 1 2 3( ), ( ), ( )A p x p x p x un conjunto de polinomios de P3 donde

1( )p x 2 2 3x x , 22 ( ) 2 5 7p x x x , 3( ) 2p x x Averiguar si A es un conjunto linealmente independiente.

b) Sea :oG F V W una transformacin definida por: ( )oG F v G F v , donde G y F son transformaciones lineales oG F es unatransformacin lineal?. Justificar la respuesta.

2008-I

1.- Sea la matriz0

1 11

b bA a

b a

donde a y b son enteros, los valores propios de A satisfacen

la ecuacin 3 28 27 10 0 a) Encontrar los valores y vectores propios de

4 2( ) (3 ) (10 ) 5 8f A A A A I b) Diagonalizar A-1 si es posible.

2.- Sea 3 3:T una T. L definida por:2 22

4

x x y zT y x y z

z x y z

y

sea 1 2 3, ,B u u u una base de 3 tal que 1 2 3(1,0,0) , (1,1,0) , (1,1,1)T T Tu u u a) Encontrar los valores y vectores propios de Tb) Encontrar una nueva base de modo que la representacin matricial de T sea diagonal

3.- Sea 2 2xM = {espacio de las matrices cuadradas de orden 2 }y sean: ' ' ' '1 1 2 3 4 2 1 2 3 4, , , , , , ,B M M M M B M M M M bases de M2x2

donde1 1 0 0 0 0 1 0

1 2 3 40 0 1 0 0 1 0 0M M M M

1 0 0 1 0 2 0 0' ' '

1 2 3 40 0 1 0 0 1 1 1M M M M

a) Encontrar la matriz de transicin de la base de B1 a la base B2b) Encontrar la matriz de transicin de la base de B2 a la base B1c) Si 1 2

3 4M

. Calcular 1 2( ) ( )B BM y M usando las matrices de transicin halladasen (a) y (b)

4.- Sean las rectas 15

:2

xL y , z = 0, 2 : 9L x , 8y , z t , t donde 1A L ,2B L , AB es perpendicular 1 2L y a L , M y N son puntos de 1 2L y L

respectivamente 2 . .AM BN AB AB , si M es punto medio de AB y L contiene a MN .Calcular la distancia d (M, L).

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