Alg Lineal 04 lic PARIZACA

Indice general

1. Transformaciones lineales 21.0.1. Propiedades de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1. Conjunto Imagen e imagen inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.1. Propiedades de TA : V!W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Dimensiones del nucleo y de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3. Transformaciones lineales de IRn hacia IRm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4. Representacion matricial de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . 37

1.4.1. Representacion matricial de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . 381.5. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.8. Diagonalizacion de matrices simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.9. Formas cuadraticas, aplicacion a las secciones

cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.10.Formas cuadraticas: Aplicacion a las superficies cuadricas . . . . . . . . . . 581.11.Trabajo Encargado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1

Captulo 1

Transformaciones lineales

IntroduccionHemos dedicado bastante tiempo trabajando con espacios vectoriales, en particular

con el espacio vectorial IRn, ahora es el momento de pasar a las relaciones entre dos espa-cios vectoriales.

Por lo general, las relaciones entre dos conjuntos X e Y se estudian mediante funcio-nes. Ya conocemos, la nocion de funcion o transformacion f : X ! Y que transforma elconjunto X en el conjunto Y. Ademas las funciones reales son bien conocidas por los estu-diantes. Por ejemplo, las funciones trigonometricas Senx y Cosx, o la funcion exponencialex son funciones de las que se conocen sus propiedades. Estas funciones hacen correspon-der a un numero real otro numero real mediante una regla preestablecida. Tambienposiblemente sean conocidas las funciones de dos o mas variables, como por ejemplo lafuncion f(x; y) = x2 + y2, definida en IR2 y con valores en IR. Podemos recordar tambienfunciones complejas eix o la funcion modulo de un numero complejo. En los ejemplos an-teriores siempre se obtiene, con la aplicacion de la regla, un numero real (o compleja)llamado imagen. Cuando la imagen no es un numero real o compleja a las funciones seles denomina aplicaciones. Veamos algunos ejemplos de aplicaciones definidas en IR2.

Sean V yW dos espacios vectoriales. En este captulo se trata de cierto tipo de aplica-ciones

T : V!WTanto V yW estan dotados de una estructura algebraica resultante de las operaciones desuma vectorial y multiplicacion por un escalar. Trabajaremos con aplicaciones T : V!Wque, en cierto modo, preservan esta estructura algebraica. Estas aplicaciones se conocencomo transformaciones lineales. En la seccion 1 definimos las transformaciones linealesque transforman un espacio vectorial en otro, daremos varios ejemplos y estableceremosalgunas propiedades elementales de las transformaciones lineales. En las secciones si-guientes se tratan de transformaciones lineales y su relacion con los conceptos matricialesque hemos estudiado.

2

CAPITULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES 3

Definicion 1.1. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre IR. Una transformacion li-neal T de V enW es una aplicacion que asigna a cada vector v 2 V un unico vector w 2Wy que satisface, para cualquier par de vectores u; v y todo escalar 2 IR, dos condiciones:a) T(u+ v) = T(u) + T(v) (Preservacion de la suma)

b) T(u) = T(u) (Preservacion de la multiplicacion por un escalar)

Ejemplo 1.1. Determinar si la siguiente funcion h : IR ! IR, donde h(x) = Senx, es unatransformacion lineal.

Solucion. Sabemos queSen

4+

4

6= Sen

4+ Sen

4

porque Sen4+

4

= Sen

2= 1, mientras que Sen

4+ Sen

4=

p2

2+

p2

2=p2

As que, h(x) = Senx no es una transformacion lineal, pues no preserva la suma.

El siguiente ejemplo describe todas las transformaciones lineales T : IR ! IR, que comose puede ver son todas funciones sencillas.

Ejemplo 1.2. Sean V = W = IR. Demostrar que la siguiente funcion T : IR ! IR es unatransformacion lineal,

T(x) = ax; 8x 2 IR^ a 2 IR (1.1)En efecto.

Sean x; y dos numeros reales arbitrarios, entonces

T(x+ y) = a(x+ y)

= ax+ ay

= T(x) + T(y)

as T preserva la suma.

Sean 8 x 2 IR;8 2 IRT(x) = a(x)

= (ax)

= T(x)

As T preserva la multiplicacion por escalares.

Por lo tanto T es una transformacion lineal.

J. R. Ticona Parisaca Espacios vectoriales y transformaciones lineales


Ejemplo 1.3. Consideremos en IR2 la proyeccion ortogonal sobre el eje de abscisas (verFigura.1.1) que representa una aplicacion P : IR2 ! IR definida por P(x; y) = x es unatransformacion lineal. Esquematicamente lo representamos por:

P : IR2 ! IR(x; y) ! P(x; y) = x

Se observa que P es una transformacion lineal.

En efecto. Sean u = (x1; y1) y v = (x2; y2) dos vectores arbitrarios de IR2, entonces u+ v =(x1 + x2; y1 + y2) de modo que

P(u+ v) = P(x1 + x2; y1 + y2) = x1 + x2 = P(x1; y1) + P(x2; y2) = P(u) + P(v)

As P preserva la suma.

P[(u)] = P( x; y) = x = P(x; y) = P(u).

As P preserva la multiplicacion por escalares.

Figura 1.1: Proyeccion ortogonal sobre el eje de abscisas

Por lo tanto P es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.4. Demostrar que la funcion Pxi : IRn ! IR definida por Pxi(x1; x2; : : : ; xn) = xi esuna transformacion lineal.

Solucion. La solucion es analoga a la del ejemplo anterior.

Ejemplo 1.5. Sea V cualquier espacio vectorial. La aplicacion T : V ! V definida porT(u) = u se conoce como la transformacion identidad sobre V, el cual denotaremos porId = T . Es facil de mostrar que Id = T es una transformacion lineal.

Nota. Si T : V ! V es una transformacion lineal definida de un espacio vectorial V ensi mismo, entonces T es llamado un operador lineal sobre V.



Ejemplo 1.6. Consideremos la aplicacion de IR2 que a cada vector le hace corresponderel simetrico respecto del eje horizontal (ver Figura.1.2). Si u = (x; y) 2 IR2, la simetrarespecto de este eje se puede escribir como

Sx : IR2 ! IR2

(x; y) ! Sx(x; y) = (x;-y)Otra vez observamos que se cumplen las propiedades

Si x = (x1; y1) e y = (x2; y2) son dos vectores arbitrarios de IR2 entonces

Sx(x+ y) = Sx(x1 + x2; y1 + y2)

= (x1 + x2;-[y1 + y2])

= (x1;-y1) + (x2;-y2)

= Sx(x) + Sx(y)

Por otro lado si x = (x1; y1) vector arbitrario de IR2 y es un escalar arbitrario de IR setiene:

Sx(x) = Sx[(x; y)]

= Sx(x; y)

= (x;-y)

= (x;-y)

= Sx(x)

As Sx es una transformacion lineal.

Figura 1.2: Simetra respecto al eje de abscisas

Ejemplo 1.7. Sea V cualquier espacio vectorial y k 2 IR cualquier escalar fijo. La aplica-cion definida de un espacio vectorial en si mismo, es decir, si:

T(u) = ku

es llamado operador lineal sobre V.



Si k > 1; T es una dilatacion de V,

Si 0 < k < 1, entonces T es una contraccion de V,

Si k < -1; T es una dilatacion de sentido opuesto de V,

Si -1 < k < 0, entonces T es una contraccion de sentido opuesto de V.

Geometricamente, una dilatacion estira cada vector que esta enV en un factor k, mientrasque una contraccion de V comprime cada vector en un factor de k.

Figura 1.3: Dilatacion y contraccion

Ejemplo 1.8. Transformacion mediante una matriz. Sea A 2 IRmn y consideremosTA : IR

n ! IRm son espacios de vectores columnas. Demostrar que la aplicacion TA : IRn ! IRmdefinida por

TA(x) = Ax

es una transformacion lineal.En efecto.

TA(x+ y) = A(x+ y) = Ax+Ay = TA(x) + TA(y) 8x; y 2 IRn

TA(x) = A(x) = A(x) = TA(x)

As TA es una transformacion lineal.

Nota. En la siguiente seccion mostraremos que esta transformacion lineal, es del tipomas general en espacios vectoriales de IRn en IRm



Ejemplo 1.9. Rotacion del plano Demostrar que la aplicacion T : IR2 ! IR2 al rotarel plano en el sentido al que giran las manecillas del reloj un angulo positivo , es unatransformacion lineal.

Como caso especial del ejemplo anterior, sea un angulo fijo, supongase que T : IR2 ! IR2es la multiplicacion por la matriz

A =

"Cos -Sen

Sen Cos

#

si v es el vector

v =

"x

y

#entonces

T(v) = Av =

"Cos -Sen

Sen Cos

#"x

y

#=

"xCos- ySen

xSen+ yCos

#Geometricamente, T(v) es el vector que se obtiene si se hace girar v hasta describir unangulo . A fin de comprobarlo, sea el angulo entre v y el eje X positivo y supongase que

v 0 =

"x 0

y 0

#

es el vector que se obtiene al girar v hasta que describe un angulo . Se demostrara quev 0 = T(v). Si r denota la longitud del vector v, entonces

x = rCos; y = rSen

De modo semejante, supuesto que v 0 tiene la misma longitud que v, se tiene

x 0 = rCos(+ ); y 0 = rSen(+ )

Por lo tanto,

v 0 =

"x 0

y 0

#=

"rCos(+ )

rSen(+ )

#

=

"rCosCos- rSenSen

rCosSen+ rCosSen

#=

"rCosCos- rSenSen

rSenCos+ rCosSen

#

=

"xCos- ySen

xSen+ yCos

#=

"Cos -Sen

Sen Cos

#"x

y

#

La transformacion lineal de este ejemplo se conoce como rotacion de IR2 hasta describir elangulo . Ver Figura



Figura 1.4: Rotacion en un angulo

Ejemplo 1.10. Determinar si la aplicacion T : IR3 ! IR2 definida porT(x; y; z) = (x- 2y; y+ 3z)


Sean u = (x1; y1; z1) y v = (x2; y2; z2) vectores arbitrarios del espacio vectorial IR3, talque u+ v = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2), entonces

T(u+ v) = T(x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2)

= (x1 + x2 - 2(y1 + y2); y1 + y2 + 3(z1 + z2))

= (x1 - 2y1; y1 + 3z1) + (x2 - 2y2; y2 + 3z2)

= T(u) + T(v)

Cumple la linealidad

Sean u = (x; y; z) y 2 IR escalar arbitrario, entonces u = (x; y; z)T(u) = T(x; y; z) = (x- 2y; y+ 3z)

= (x- 2y; y+ 3z) = T(u)

Ejemplo 1.11. Sea V = C 0[a; b] yW = C[a; b] dos espacios vectoriales, y seaD : C 0[a; b] ! C[a; b] tal que a la funcion derivable h le hace corresponder su derivada,es decir D(h(x) = h 0(x), para todo x 2 R. Demostrar que D es una transformacion lineal.

En efecto. Sean g; h funciones derivables y escalar arbitrario, entonces:

D[g(x) + h(x)] = [g(x) + h(x)] 0

= g 0(x) + h 0(x)

= D[g(x)] +D[h(x)]

D[g(x)] = (g(x)) 0

= g 0(x)

= D[g(x)]



As D es una transformacion lineal.

En general si V = C[a; b] el espacio vectorial de todas las funciones con valor real conti-nuas sobre el intervalo a x b yW = C 0[a; b] el subespacio de las funciones con primeraderivada continua, entonces la funcion derivada D es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.12. Sea T : IR2 7! IR, definida por T(x; y) = xy; T no es una transformacionlineal.En efecto.

T(4(1; 2)) = T(4; 8)

= 32;

4T(1; 2) = 4(2)

= 8:

Por lo que T(4(1; 2)) 6= 4T(1; 2) .Ejemplo 1.13. (Transformacion integracion) Sea T : C[a; b] 7! IR definida por

T(f) =

Zba

f(x)dx


1. Sean f; g 2 C[a; b],

T(f+ g) =

Zba

(f+ g)(x)dx

=

Zba

(f(x) + g(x))dx

=

Zba

f(x)dx+

Zba

g(x)dx

= T(f) + T(g):

2. Sean 8 f 2 C[a; b]; 8 2 IR

T(f) =

Zba

(f)(x)dx

=

Zba

f(x)dx

=

Zba

f(x)dx

= T(f):

As T es una transformacion lineal.



Ejemplo 1.14. SeaV un espacio vectorial arbitrario de dimension finita y = fu1; u2; : : : ; unguna base de V. Probar que la aplicacion T : V ! IRn definida por

T(x) = C[x]

es una transformacion lineal.

En efecto. Supongamos que

C[x] =

26664x1x2...xn

37775 ; C[y] =26664y1y2...yn

37775entonces

x+ y = (x1u1 + x2u2 + + xnun) + (y1u+ y2u2 + + ynun)= (x1 + y1)u1 + (x2 + y2)u2 + + (xn + yn)un

con lo que

T(x+ y) = C[x+ y]

=

26664x1 + y1x2 + y2

...xn + yn

37775 =26664x1x2...xn

37775+26664y1y2...yn

37775= C[x] + C[y]

= T(x) + T(y)

Por otro lado

x = (x1u+ x2u2 + + xnun)= x1u+ x2u2 + + xnun;

luego

T(x) = C[x]

=

26664x1x2...

xn

37775 = 26664x1x2...xn

37775= C[x]

= T(x)

En consecuencia, T es una transformacion lineal.



Ejemplo 1.15. Sea V un espacio vectorial euclidiano y supongase queW es un subes-pacio con dimension finita de V y que tiene a

S = fw1; w2; : : : ; wrg

como una base ortonormal, tal que T : V!W es la funcion que aplica sobre un vector v enV hacia su proyeccion ortogonal sobreW, es decir

T(v) = hv; w1iw1 + hv; w2iw2 + + hv; wriwr

Esta aplicacion T recibe el nombre de proyeccion ortogonal de V sobreW, su linealidadse deduce a partir de las propiedades basicas del producto interior.

Por ejemplo:

T(u+ v) = hu+ v; w1iw1 + hu+ v; w2iw2 + + hu+ v; wriwr= hu; w1iw1 + hu; w2iw2 + + hu; wriwr +

+hv; w1iw1 + hv; w2iw2 + + hv; wriwr= T(u) + T(v)

De manera analoga se demuestra T(v) = T(v).

T(v) = hv; w1iw1 + hv; w2iw2 + + hv; wriwr= hv; w1iw1 + hv; w2iw2 + + hv; wriwr= [hv; w1iw1 + hv; w2iw2 + + hv; wriwr]= T(v)

As, T es una transformacion lineal.

Ejemplo 1.16. Como caso especial del ejemplo anterior, supongase que V = IR3 tiene elproducto interior euclidiano. Los vectores w1 = (1; 0; 0) y w2 = (0; 1; 0) forman una baseortonormal para el plano P : z = 0. Por lo tanto, si v = (x; y; z) es cualquier vector de IR3,la proyeccion ortogonal de IR3 sobre el plano P : z = 0 esta dado por:

T(v) = hv; w1iw1 + hv; w2iw2= x(1; 0; 0) + y(0; 1; 0)

= (x; y; 0)

Ejemplo 1.17. Sean V y W dos espacios vectoriales. La aplicacion T : V ! W tal queT(v) = 0W para todo v 2 V es una transformacion lineal conocida como la transforma-cion cero. Verifiquemos que esta funcion es una transformacion lineal.

En efecto.



1. Sean u; v vectores arbitrarios de V tal que: T(u) = 0W; T(v) = 0W, entonces

T(u+ v) = 0W

= 0W + 0W

= T(u) + T(v)

2. Sea u vector arbitrario de V y escalar arbitrario de IR, entonces

T(u) = 0W

= (0W)

= T(u)

Por lo tanto se cumplen:

T(u+ v) = T(u) + T(v); T(u) = T(u)

Ejemplo 1.18. Sea T : IR3 ! IR2 la transformacion lineal definida porT(x; y; z) = (x+ y; z)

Sea u = 2v1 - v2 + v3, donde v1 = (1; 0; 0); v2 = (1; 1;-1) y v3 = (1; 0; 1).Halle:

1. T(v1); T(v2) y T(v3)

2. T(u)

3. Comprobar que el conjunto fT(v1); T(v2); T(v3)g es linealmente dependiente.

Solucion.

1. De la definicion de T se tiene

T(v1) = T(1; 0; 0) = (1+ 0; 0) = (1; 0)

T(v2) = T(1; 1;-1) = (1+ 1;-1) = (2;-1)

T(v3) = T(1; 0; 1) = (1+ 0; 1) = (1; 1)

2. Como T es lineal, tenemos:

T(u) = T(2v1 - v2 + v3)

= 2T(v1) - T(v2) + T(v3)

= 2(1; 0) - (2;-1) + (1; 1)

= (1; 2)


Algebra lineal 13

3. De acuerdo con los calculos realizados tenemos

fT(v1); T(v2); T(v3)g = f(1; 0); (2; 1); (1;-1)g

Este conjunto es linealmente dependiente ya que esta formado por tres vectores de IR2.Observese que el conjunto fv1; v2; v3g IR3 es linealmente independiente.Pues

Det[v1 v2 v3] =

1 1 1

0 1 0

0 -1 1

= 1 6= 01.0.1. Propiedades de las transformaciones lineales

Las dos propiedades de las transformaciones lineales del siguiente teorema son utiles yfaciles de probar.

Teorema 1.1. Sean V yW dos espacios vectoriales sobre IR, y T : V ! W una transforma-cion lineal entonces:

1. T(0V) = 0W Preservacion del cero

2. T(u- v) = T(u) - T(v) Preservacion de la resta

3. T(-u) = -T(u); 8u 2 V4. T(u+ v) = T(u) + T(v); 8u; u 2 V; 8; 2 IR

para vectores arbitrarios u; v 2 VEn efecto.

1) T(v+ 0V) = T(v)) T(v) + T(0V) = T(v)) T(0V) = 0W2) T(u-v) = T(u+([-1]v)) = T(u)+T([-1]v)) T(u-v) = T(u)+ [-1]T(v) = T(u)-T(v)

Ejemplo 1.19. Determinar si la aplicacion f : IR2 ! IR2, definida por f(x; y) = (x+y; x+ 1)es una transformacion lineal.Solucion. Usando el teorema.1.1, como f(0; 0) = (0; 1), vemos que f no preserva el cero, ypor lo tanto no puede ser una transformacion lineal.

1.1. Conjunto Imagen e imagen inversaSea f : X! Y una funcion, Q X y S Y. Recordemos los siguientes conjuntos:

f(Q) = ff(q) = q 2 Qg Y Imagen de Q bajo f

yf-1(S) = fx 2 X = f(x) 2 Sg X Imagen inversa de S bajo f

Por ejemplo, sea la funcion f : IR! R; f(x) = x2, entoncesJ. R. Ticona Parisaca Espacios vectoriales y transformaciones lineales

Algebra lineal 14

f(f1; 2; 3g) = f1; 4; 9g

f-1(f1; 4; 9g) = f1; -1; 2; -2; 3; -3g

Recuerdese tambien que para f : X ! Y, el conjunto f(X) Y se llama conjunto imagende f o tambien es el Rango de la aplicacion f. Y el conjunto f-1(Y) X se llama conjuntoimagen inversa de f. Nos ocuparemos el conjunto imagen de una transformacion lineal.

Teorema 1.2. Preservacion de subespaciosSean V yW dos espacios vectoriales sobre IR, sea T : V!W una transformacion lineala) Si Q es un subespacio de V, entonces T(Q) es un subespacio deW

b) Si S es un subespacio deW, entonces T-1(S) es un subespacio de V

En efecto.

a) Basta demostrar que T(Q) es cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicacion porescalares. Sean T(v1); T(v2) vectores arbitrarios del conjunto T(Q), donde v1; v2 sonvectores de Q, entonces,

T(v1) + T(v2) = T(v1 + v2)

por la preservacion de la suma. Ahora bien v1 + v2 esta en Q, pues Q es cerrado bajola suma, de modo que T(v1 + v2) 2 T(Q). Esto demuestra que T(Q) es cerrado bajo lasuma vectorial.

Ademas, si 2 IR escalar arbitrario, entonces v 2 Q, y esta claro que:

T(v) = T(v)

Esto demuestra que T(v) 2 T(Q), de modo que T(Q) es cerrado bajo la multiplicacionescalar. As, T(Q) es un subespacio deW.

b) Sean x y y vectores arbitrarios de T-1(S), de modo que T(x); T(y) 2 S.Entonces,

T(x+ y) = T(x) + T(y)

tambien esta en el subespacio S, de modo que x+ y esta en T-1(S).

Para cualquier escalar , sabemos que

T(x) = T(x)

y T(x) 2 S, As, x tambien esta en T-1(S). Esto demuestra que T-1(S) tambien escerrado bajo la suma y multiplicacion escalar, de modo que el conjunto T-1(S) es unsubespacio de V.

Hay dos casos particulares del teorema.1.2 que son basicos para el estudio de las trans-formaciones lineales.


Algebra lineal 15

Definicion 1.2. Los subespacios Im(T) y Ker(T)Sean V y W dos espacios vectoriales sobre IR, sea T : V ! W una transformacion lineal,entonces:

a) El subespacio T(V) W, es el conjunto imagen de V va la transformacion lineal Ty se denota por Im(T) = T(V) W

Nota. Si T(V) =W, entonces T es una aplicacion sobreyectiva.

b) El subespacio T-1(f0Wg) = fv 2 V = T(v) = 0Wg, se llama nucleo o espacio nulo de Ty se denota por Ker(T)

1.1.1. Propiedades de TA : V!W1. La imagen de TA es el espacio columna

2. El nucleo de TA es el espacio nulo de A

lo ilustraremos con los siguientes ejemplos

Ejemplo 1.20. Supongase que T : V ! W es la transformacion cero. Supuesto que Taplica a cada vector de V hacia el vector cero 0W, entonces Ker(T) = V. Ya que 0W es launica imagen posible bajo de T , entonces Im(T) = f0Wg

Ejemplo 1.21. Sea T : IRn ! IRm la multiplicacion porA =

26664a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

a11 a12 : : : a1n

37775El nucleo de T consta de todos los

x =

26664x1x2...xn

37775que son solucion del sistema lineal homogeneo siguiente:

A

26664x1x2...xn

37775 =266640

0...0

37775Y el conjunto imagen de T consta de los vectores

b =

26664b1b2...bm

37775


Algebra lineal 16

tales que el sistema lineal no homogeneo

A

26664x1x2...xn

37775 =26664

b1b2...bm

37775sea consistente.

Ejemplo 1.22. Determine el nucleo de la transformacion lineal T : IR3 ! IR2 definida porT(x; y; z) = (x- 2y; y+ 3z), sea el vector cero. As, se debe resolver el sistema de ecuaciones

x- 2y = 0

y+ 3z = 0;

que se puede escribir en forma matricial como

A

0B@ xyz

1CA = 00

!; donde A =

1 -2 0

0 1 3

!

La solucion del sistema lineal homogeneo"1 -2 0 0

0 1 3 0

#

"1 0 6 0

0 1 3 0

#

es (x; y; z) = (-6t; -3t; t) para cualquier escalar t. As, el nucleo de T es el subespaciounidimensional de IR3 generado por el vector (-6; -3; 1), es decir:

Ker(T) = h(-6; -3; 1)i

Ejemplo 1.23. Hallar la imagen de la transformacion lineal T : IR3 ! IR2 definida porT(x; y; z) = (x- 2y; y+ 3z)

Solucion. Debemos hallar el conjunto de todos los T(v) para v 2 IR3. Escribiendo los vec-tores como vectores columnas, debemos hallar todos los vectores de la forma

T

0B@ xyz

1CA = x- 2yy+ 3z

!= x

1

0

!+ y

-2

1

!+ z

0

3

!

Por lo tanto, la imagen de T es el espacio columna de la matriz

A =

1 -2 0

0 1 3

!

1 0 6

0 1 3

!

Como cualesquiera dos columnas de A son linealmente independientes, concluimos queIm(T) = IR2.


Algebra lineal 17

Ejemplo 1.24. Sea T : IR3 ! IR3 la transformacion linealT(x; y; z) = (x+ 2y+ z; 3x+ y- 2z;-x- 7y+ 6z)

Determine explcitamente su nucleo y su imagen (Hallar, una base para cada subespacio)

Solucion.

Por definicion

Ker(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = T(x; y; z) = (0; 0; 0)g= f(x; y; z) 2 IR3 = (x+ 2y+ z; 3x+ y- 2z;-x- 7y+ 6z) = (0; 0; 0)g

Este es un sistema lineal homogeneo en las incognitas cuyo espacio solucion es preci-samente Ker(T), entonces264 1 2 1 03 1 -2 0

-1 -7 6 0

375 264 1 0 -1 00 1 1 00 0 0 0

375de donde x = t; y = -t; z = t;8 t 2 IR, representa la solucion del sistema.

Entonces se concluye que (x; y; z) 2 Ker(T) si, y solo si

Ker(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = (x; y; z) = t(1;-1; 1)g

El vector v = (1;-1; 1) es entonces una base para el subespacio vectorial Ker(T), quegeometricamente representa una recta que pasa por el origen y sigue la direccion delvector v.

El vector b = (b1; b2; b3) 2 Im(T) si, y solo si existe (x; y; z) 2 IR3, tal que T(x; y; z) =(b1; b2; b3), es decir 8>:

x+ 2y+ z = b13x+ y- 2z = b2

-x- 7y+ 6z = b3

Procedase por operaciones elementales, para que el sistema lineal no homogeneo ten-ga solucion, entonces264 1 2 1 b13 1 -2 b2

-1 -7 6 b3

375 264 1 0 -1 - 15b1 + 25b20 1 1 35b1 - 15b20 0 0 - 4

5b1 +

15b2 -

15b3

375Por lo tanto, el sistema lineal no homogeneo tiene solucion si, y solo si

-4

5b1 +

1

5b2 -

1

5b3 = 0() -4b1 + b2 - b3 = 0


Algebra lineal 18

O sea(x; y; z) 2 Im(T)() 4x- y+ z = 0

o bien,Im(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = 4x- y+ z = 0g

(subespacio de IR3 que geometricamente representa un plano que pasa por el origen;el plano es P : 4x- y+ z = 0)

Una base de este subespacio se puede obtener si se escribe (x; y; z) 2 Im(T) como

(x; 4x+ z; z) = x(1; 4; 0) + z(0; 1; 1)

los vectores v1 = (1; 4; 0) y v2 = (0; 1; 1) constituyen una base del subespacio Im(T).

Recordemos que:

1. Una funcion f : X! Y es uno a uno o inyectiva si x1 6= x2 entonces f(x1) 6= f(x2). O,equivalentemente: Si f(x1) = f(x2) entonces x1 = x2

2. Una funcion f : X ! Y es sobreyectiva si para cada y 2 Y, existe un x 2 X tal quey = f(x).

Entonces la definicion de la inyectividad y sobreyectividad para transformaciones linealeses la misma

Sean V yW dos espacios vectoriales y T : V!W una transformacion lineal, entoncesse llaman:

T es unmonomorfismo() T es inyectiva T es un epimorfismo() T es sobreyectiva T es un isomorfismo() T es biyectiva

Sean V yW dos espacios vectoriales, el conjunto de todas las transformaciones linea-les T : V!W, lo denotaremos por L(V; W)

L(V; W) = f T : V!W = T es una transformacion lineal gSiW = V, entonces el conjunto de todas las transformaciones de un espacio vectorialen si mismo, es llamado el conjunto de los operadores lineales y es denotado porL(V) = L(V; W)Si W = IR entonces el conjunto de todas las transformaciones de un espacio vecto-rial en el campo de los numeros reales, es llamado el conjunto de los funcionaleslineales y es denotado por L(V; IR)


Algebra lineal 19

Ejemplo 1.25. Sea el operador lineal en el espacio vectorial IR3, definido por

T(x; y; z) = (y;-x; z)

es biyectiva el operador lineal?Solucion.

T es inyectiva?Sean u = (x1; y1; z1) y v = (x2; y2; z2), tales que:

T(u) = T(v) () T(x1; y1; z1) = T(x2; y2; z2)() (y1;-x1; z1) = (y2;-x2; z2)) x1 = x2 ^ y1 = y2 ^ z1 = z2luego

T(u) = T(v) ) u = v) T es inyectiva.

T es sobreyectiva?

8 (x; y; z) 2 IR3; 9 (a; b; c) 2 IR3 = T(a; b; c) = (x; y; z)En efectoT(a; b; c) = (x; y; z)() (b;-a; c) = (x; y; z)) b = x; a = -y; c = zLuego 8(x; y; z) 2 IR3; 9 (a; b; c) = (-y; x; z) 2 IR3 tal que

T(a; b; c) = T(-y; x; z) = (x; y; z)

) T es sobreyectiva.

As T es biyectiva.

Teorema 1.3. Sean V yW dos espacios vectoriales y T : V!W una transformacion lineal,entonces:

T es inyectiva() T(u) = 0W ) u = 0VEn efecto.

Supongamos que T es inyectiva y sea T(u) = 0W y por otra parte T(0)V = 0W,entonces

T(u) = T(0V)) T(u) - T(0V) = T(u- 0V) = 0W ) u- 0V = 0V ) u = 0VSupongamos queT(u) = 0W ) u = 0Wy supongamos queT(u) = T(v)) T(u) - T(v) = 0W ) T(u- v) = 0W ) u- v = 0W ) u = vJ. R. Ticona Parisaca Espacios vectoriales y transformaciones lineales

Algebra lineal 20

Ejemplo 1.26. Sea T : IR22 ! IR2 una transformacion linealT

"a11 a12a21 a22

#!= (a11 + a22; a21)

T es inyectiva?Solucion. T es inyectiva si T(u) = 0W ) u = 0W

u 2 IR22; u ="a11 a12a21 a22

# ) T " a11 a12a21 a22

#!= (0; 0)

(a11 + a22; a21) = (0; 0)) a11 + a22 = 0;a21 = 0) a11 = -a22 ^ a21 = 0

Luego el sistema lineal homogeneo tiene infinitas soluciones, es decir:"a11 a12a21 a22

#6="0 0

0 0

#) T no es inyectiva Ejemplo 1.27. Sea la transformacion lineal T : IR4 ! IR6; T(x1; x2; x3; x4) = (0; x1; 0; x2; x3; x4)T es inyectiva?Solucion

T(x1; x2; x3; x4) = (0; 0; 0; 0; 0; 0) ) (0; x1; 0; x2; x3; x4) = (0; 0; 0; 0; 0; 0)) x1 = x2 = x3 = x4 = 0) (x1; x2; x3; x4) = (0; 0; 0; 0)) T es inyectiva Ejemplo 1.28. Determinar el nucleo de la transformacion lineal

T : IR3 ! IR2; T(x; y; z) = (x- z; y- z)como (x; y; z) 2 Ker(T) () T(x; y; z) = (0; 0) de donde (x - z; y - z) = (0; 0) por igualdadde vectores se tiene:

x- z = 0;

y- z = 0) x = y = z

Luego Ker(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = x = y = z = t; 8 t 2 IRg

El nucleo de T representa una recta, es decir: Ker(T) = h(1; 1; 1)i = L IR3 Ejemplo 1.29. Sea T : IR2 ! IR3 la transformacion lineal definida por

T(x; y) = (x+ y; x- y; x+ 2y):


Algebra lineal 21

Determine Im(T)Solucion

Im(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = 9 (a; b)IR2 ^ T(a; b) = (x; y; z)gentoncesT(a; b) = (x; y; z)) (a+ b; a- b; a+ 2b) = (x; y; z) por igualdad de vectores se tiene:8>:

a+ b = x

a- b = y

a+ 2b = z

) 2a = x+ y3a = 2y+ z

)8>:

a =x+ y

2

a =2y+ z

3) x+ y2

=2y+ z

3) 3x+ 3y = 4y+ 2z) 3x- y- 2z = 0

) Im(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = 3x- y- 2z = 0gGeometricamente este subespacio es un plano en el espacio vectorial IR3 con vector normaln = (3;-1;-2).

Teorema 1.4. Sean V yW dos espacios vectoriales y T : V!W una transformacion lineal,se cumple las siguientes proposiciones:

1. T es inyectiva si y solo si Ker(T) = 0V

2. Sea M = fv1; v2; : : : ; vng un conjunto de vectores L. D. en V, entonces el conjuntoT(M) = fw1 = T(v1); w2 = T(v2); : : : ; wn = T(vn)g es L. D. enW

3. Si fv1; v2; : : : ; vng es un conjunto de vectores en V tales que fT(v1); T(v2); : : : ; T(vn)g sonL. I. enW, entonces fv1; v2; : : : ; vng son linealmente independiente.

4. Si fv1; v2; : : : ; vng es un conjunto L. I. en V y T es una transformacion inyectiva, en-tonces fT(v1); T(v2); : : : ; T(vn)g es linealmente independiente enW.

En efecto.

1. Ver el teorema.1.3.

2. Como el conjunto M = fv1; v2; : : : ; vng es L. D. en V, entonces existe algun escalari 6= 0; i 2 IR tal que:

1v1 + 2v2 + + ivi + + nvn = 0VT(1v1 + 2v2 + + ivi + + nvn) = T(0V) = 0W

1T(v1) + 2T(v2) + + iT(vi) + + nT(vn) = 0W

como i 6= 0 entonces el conjunto fT(v1); T(v2); : : : ; T(vn)g es L. D. enW3. Consideremos una combinacion lineal en V;

Pni=1 ivi = 0V, por demostrar que:

1 = 2 = = n = 0


Algebra lineal 22

Aplicando la transformacion lineal T se tiene:

T

nXi=1

ivi

!= T(0V) = 0W ) nX

i=1

iT (vi) = 0W

como fT(v1); T(v2); : : : ; T(vn)g son L. I. entonces los escalares i = 0, es decir: 1 =2 = = n = 0, entonces el conjunto de vectores fv1; v2; : : : ; vng son linealmenteindependiente.

4. Consideremos una combinacion lineal de vectores en el espacio vectorialW, es decir:

T

nXi=1

ivi

!= 0W

aplicando propiedades de la transformacion lineal,nXi=1

T (ivi) = 0W ) ivi 2 Ker(T)como T es inyectiva, por la parte (1) se tiene:

nXi=1

ivi = 0V ) i = 0; i = 1; 2; : : : ; npues los vectores fv1; v2; : : : ; vng son L. I., por lo tanto los vectores fT(v1); T(v2); : : : ; T(vn)gson L. I.

Ejemplo 1.30. Sea T : IR2 ! IR2 una transformacion lineal, probar que T es inyectiva() T(1; 0) y T(0; 1) es linealmente independienteEn efecto

T es inyectiva() T(1; 0) y T(0; 1) son linealmente independiente.Consideremos la combinacion lineal en IR2

T(1; 0) + T(0; 1) = (0; 0)) por demostrar = = 0como T es una transformacion lineal, entonces:

T(1; 0) + T(0; 1) = (0; 0) () T [(1; 0) + (0; 1)] = (0; 0)() T(;) = (0; 0) como T es inyectiva() (;) = (0; 0)) = = 0Por lo tanto T(1; 0) y T(0; 1) son linealmente independiente.

Como hallar la transformacion lineal conociendo los vectores de la imagen de unabase?Supongase que fv1; v2; : : : ; vng es una base para el espacio vectorial V y T : V ! W es una


Algebra lineal 23

transformacion lineal. Si sucede que se conocen las imagenes de los vectores de esta base,esto es

T(v1); T(v2); : : : ; T(vn)

entonces se puede obtener la imagen T(v) de cualquier vector v, expresando primero v comocombinacion lineal de los vectores de la base, por ejemplo

v = 1v1 + 2v2 + + nvn

y luego usar la linealidad de la transformacion lineal, es decir:

T(v) = 1T(v1) + 2T(v2) + + nT(vn)

En pocas palabras, una transformacion lineal esta completamente determinada por susvalores en una base.

Ejemplo 1.31. Considerese la base = fv1; v2; v3g para el espacio vectorial IR3, donde

v1 = (1; 1; 1); v2 = (1; 1; 0); v3 = (1; 0; 0)

y sea T : IR3 ! IR2 una transformacion lineal tal que:T(v1) = (1; 0); T(v2) = (2;-1); T(v3) = (4; 3)

Hallese T(2;-3; 5)

Solucion. Expresemos el vector v = (2;-3; 5) como combinacion lineal de los vectoresde la base = fv1; v2; v3g. Por lo tanto,

(2;-3; 5) = 1v1 + 2v2 + 3v3 = 1(1; 1; 1) + 2(1; 1; 0) + 3(1; 0; 0)

resolviendo el sistema lineal no homogeneo obtenemos

1 + 2 + 3 = 2

1 + 2 = -3

1 = 5

lo cual conduce a 1 = 5; 2 = -8; 3 = 5 de modo que

(2;-3; 5) = 5v1 - 8v2 + 5v3

entonces,

T(2;-3; 5) = 5T(v1) - 8T(v2) + 5T(v3)

= 5(1; 0) - 8(2;-1) + 5(4; 3)

= (9; 23)


Algebra lineal 24

1.2. Dimensiones del nucleo y de la imagenDefinicion 1.3. Si T : V ! W es una transformacion lineal, entonces la dimension delsubespacio Im(T) se conoce como el rango de T , y la dimension del subespacio nucleo sedenomina nulidad de T .

El siguiente teorema que sigue establece una relacion entre el rango y la nulidad deuna transformacion lineal definida sobre un espacio vectorial de dimension finita.

Teorema 1.5. (Teorema de la dimension.) Sea T : V ! W una transformacion linealdesde un espacio vectorial V con dimension finita n hacia un espacio vectorialW, entonces

dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = n

Ejemplo 1.32. Dada la transformacion lineal

T : IR4 ! IR3; T(x; y; z;w) = (x- y+ 2z+ 3w; y+ 4z+ 3w; x+ 6z+ 6w):Determine Ker(T); Im(T) y sus respectivas dimensiones.

Solucion

Calculando el nucleo de la transformacion

Ker(T) = f (x; y; z;w) 2 R4 = T(x; y; z;w) = (0; 0; 0)g

entonces

T(x; y; z;w) = (x- y+ 2z+ 3w; y+ 4z+ 3w; x+ 6z+ 6w) = (0; 0; 0)

por igualdad se tiene:8>:x- y+ 2z+ 3w = 0

y+ 4z+ 3w = 0

x+ 6z+ 6w = 0

()264 1 -1 2 3 00 1 4 3 01 0 6 6 0

375 264 1 0 6 6 00 1 4 3 00 0 0 0 0

375Si (x; y; z;w) 2 Ker(T) ) (x; y; z;w) = (-6z - 6w;-4z - 3w; z;w) equivalentementetenemos:

(x; y; z;w) = (-6z;-4z; z; 0) + (-6w;-3w; ;w) = z(-6;-4; 1; 0) +w(-6;-3; 0; 1)

Luego Ker(T) = h(-6;-4; 1; 0); (-6;-3; 0; 1)i de donde una base de Ker(T) es el con-junto de vectores dado por

Ker(T) = f(-6;-4; 1; 0); (-6;-3; 0; 1)g;

de donde dim[Ker(T)] = 2


Algebra lineal 25

Calculando Im(T)

Im(T) = f (x; y; z) 2 R3 = 9 (a; b; c; d) 2 IR4 ^ T(a; b; c; d) = (x; y; z)g

T(a; b; c; d) = (x; y; z)) (a-b+2c+3d; b+4c+3d; a+6c+6d) = (x; y; z) por igualdad8>:a- b+ 2c+ 3d = x

b+ 4c+ 3d = y

a+ 6c+ 6d = z

) a+ 6c+ 6d = x+ ya+ 6c+ 6d = z

) P : x+ y = zentonces

Im(T) = f (x; y; z) 2 R3 = P : x+ y = zgO equivalentemente8>:

a- b+ 2c+ 3d = x

b+ 4c+ 3d = y

a+ 6c+ 6d = z

()264 1 -1 2 3 x0 1 4 3 y1 0 6 6 z

375Realizando operaciones elementales tenemos:264 1 -1 2 3 x0 1 4 3 y

1 0 6 6 z

375 264 1 -1 2 3 x0 1 4 3 y0 1 4 3 z- x

375

264 1 -1 2 3 x0 1 4 3 y0 0 0 0 z- x- y

375Para que el sistema lineal dado sea consistente, esto implica que z - x - y = 0, esdecir:

Im(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = z- x- y = 0g

Ahora calculemos una base para el subespacio Im(T) IR3; z = x+ y, entonces

(x; y; z) = (x; y; x+ z) = (x; 0; x) + (0; y; y) = x(1; 0; 1) + y(0; 1; 1)

Luego Im(T) = h(1; 0; 1); (0; 1; 1)i de donde una base para Im(T) es el conjunto devectores f(1; 0; 1); (0; 1; 1)g) dim[Im(T)] = 2

Verificandose el teorema.1.5, es decir:

dim[IR4] = dim[Ker(T)] + dim[Im(T)]() 4 = 2+ 2Teorema 1.6. (Teorema fundamental de las transformaciones lineales)Sean V y W dos espacios vectoriales y = fv1; v2; : : : ; vng una base del espacio vectorialV. Si w1; w2; : : : ; wn un conjunto arbitrario de vectores de W entonces existe una unicatransformacion lineal T : V!W tal que wi = T(vi); 8 i = 1; 2; : : : ; n


Algebra lineal 26

Ejemplo 1.33. Sea T : IR3 ! IR2 una transformacion lineal de tal manera que a los elemen-tos de la base = fv1 = (1; 1; 0); v2 = (1; 2; 1); v3 = (0; 1; 3)g de IR3 le hace corresponder losvectores w1 = (1; 3); w2 = (5; 1); w3 = (0; 1) respectivamente.

Determine la imagen de un vector cualquiera de IR3 bajo esta transformacion lineal

Determine la imagen del vector (3;-1; 5), es decir halle T(3;-1; 5) y Ker(T).

Solucion.

A) Como es una base de IR3 y sea (x; y; z) un vector arbitrario de IR3, expresemos comocombinacion lineal de los elementos de la base, es decir

(x; y; z) = (1; 1; 0) + (1; 2; 1) + (0; 1; 3) = (+ ;+ 2+ ; + 3)

por igualdad de vectores tenemos el sistema lineal no homogeneo8>:x = +

y = + 2+

z = + 3

()8>>>>>>>:

=5x- 3y+ z

2

=3y- z- 3x

2

=x- y+ z

2

(x; y; z) =(5x- 3y+ z)

2(1; 1; 0) +

(3y- z- 3x)

2(1; 2; 1) +

(x- y+ z)

2(0; 1; 3)

como T(1; 1; 0) = (1; 3); T(1; 2; 1) = (5; 1); T(0; 1; 3) = (0; 1) como T es una transforma-cion lineal, tenemos

T(x; y; z) =5x- 3y+ z

2T(1; 1; 0) +

3y- z- 3x

2T(1; 2; 1) +

x- y+ z

2T(0; 1; 3)

=5x- 3y+ z

2(1; 3) +

3y- z- 3x

2(5; 1) +

x- y+ z

2(0; 1)

=

6y- 5x- 2z;

13x- 7y+ 3z

2

B) Calculando T(3;-1; 5) =-31;

61

2

y

Ker(T) = f(x; y; z) 2 IR3 = T(x; y; z) = (0; 0)gentonces

T(x; y; z) = (0; 0)() 6y- 5x- 2z; 13x- 7y+ 3z2

= (0; 0)

por igualdad de vectores tenemos6y- 5x- 2z = 0

13x- 7y+ 3z = 0)8>:

x = -4

43z

y =11

43z

) (x; y; z) = 443z;-

11

43z; z

= z

4

43;-

11

43; 1

Luego el nucleo esta generado por el vector

Ker(T) =

-4

43;11

43; 1

= h(-4; 11; 43)i


Algebra lineal 27

1.3. Transformaciones lineales de IRn hacia IRm

En esta seccion se estudian las transformaciones lineales de IRn hacia IRm y se obtienenlas propiedades geometricas de las transformaciones de IR2 hacia IR2.

Primero se demuestra que toda T 2 L(IRn; IRm) es una transformacion matricial. Masconcretamente, se demuestra que si T : IRn ! IRm es una transformacion lineal arbitraria,entonces es posible encontrar una matriz A 2 IRmn tal que T es la multiplicacion por A. Afin de verificarlo, sea

= fe1; e2; : : : ; eng

la base canonica de IRn y supongase que A es la matriz de IRmn que tiene a

T(e1); T(e2); : : : ; T(en);

como sus vectores columnas.

Por ejemplo, si T : IR2 ! IR2 esta dado porT

"x1x2

#!=

"x1 + 2x2x1 - x2

#entonces

T(e1) = T

"1

0

#!=

"1

1

#y T(e2) = T

"0

1

#!=

"2

-1

#entonces

A =

"1 2

1 -1

#= [ T(e1) j T(e2) ]

De modo mas general, si

T(e1) =

26664a11a21...

am1

37775 ; T(e2) =26664

a12a22...

am2

37775 ; : : : ; T(en) =26664

a1na2n...

amn

37775entonces

A = [ T(e1) j T(e2) j : : : jT(en) ] =

26664a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

am1 am2 : : : amn

37775 (1.2)Se demostrara que la transformacion lineal T : IRn ! IRm es la multiplicacion por la

matriz A. Para verificarlo, observemos primero que

x =

26664x1x2...xn

37775 = x1e1 + x2e2 + + xnen


Algebra lineal 28

Por lo tanto por la linealidad de T , tenemos:

T(x) = x1T(e1) + x2T(e2) + + xnT(en) (1.3)Por otra parte,

Ax =

26664a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

am1 am2 : : : amn

3777526664x1x2...xn

37775 =26664

x1a11 + x2a12 + + xna1nx1a21 + x2a22 + + xna2n

...x1am1 + x2am2 + + xnamn

37775

= x1

26664a11a21...

am1

37775+ x226664

a12a22...

am2

37775+ + xn26664

a1na2n...

amn

37775= x1T(e1) + x2T(e2) + + xnT(en)

Al comparar esta ultima ecuacion se llega a T(x) = Ax, es decir, T es la multiplicacion porA.

A la matriz A que se da en (1.2) se le llamara lamatriz estandar para T

Ejemplo 1.34. Hallese la matriz estandar para la transformacion lineal T : IR3 ! IR4definida por

T

0B@264 xyz

3751CA =

26664x+ y

x- y

z

x

37775Solucion. Hallemos la imagen de los vectores de la base canonica del espacio vectorial IR3,es decir:

T(e1) = T

0B@264 100

3751CA =

266641

1

0

1

37775 ; T(e2) = T0B@264 010

3751CA =

266641

-1

0

0

37775 ; T(e3) = T0B@264 001

3751CA =

266640

0

1

0

37775entonces utilizando a T(e1); T(e2) y T(e3) como vectores columnas, se obtiene la matrizestandar de T ,

A =

266641 1 0

1 -1 0

0 0 1

1 0 0

37775Como una verificacion, observese que

A

264 xyz

375 =26664x+ y

x- y

z

x

37775


Algebra lineal 29

En el resto de esta seccion se estudian las propiedades geometricas de las transformacioneslineales en el plano, es decir, transformaciones lineales de IR2 hacia IR2. Si T : IR2 ! IR2 esuna transformacion lineal en general

A =

"a b

c d

#

sea la matriz estandar para T , entonces

T

"x

y

#!=

"a b

c d

#"x

y

#=

"ax+ by

cx+ dy

#

Ejemplo 1.35. Sea T : IR2 ! IR2 la transformacion lineal que aplica cada vector en suimagen simetrica respecto al eje Y. Hallese la matriz estandar para TSolucion

Figura 1.5: Transformacion lineal simetrica con respecto al eje y

T(e1) = T

"1

0

#!=

"-1

0

#; T(e2) = T

"0

1

#!=

"0

1

#utilizando a T(e1) y T(e2) como vectores columna, se obtiene la matriz estandar

A =

"-1 0

0 1

#

Como una multiplicacion, "-1 0

0 1

#"x

y

#=

"-x

y

#De modo que la multiplicacion por A aplica el punto P = (x; y) en su imagen simetrica(-x; y) respecto al eje Y. Es decir, su regla de correspondencia es:

T : IR2 7! IR2; T(x; y) = (-x; y)Ahora se enfoca la atencion sobre cinco tipos de transformaciones lineales planas que

tienen importancia especial: rotaciones, reflexiones, expansiones y deslizamientos cortan-tes.


Algebra lineal 30

Rotaciones. Si T : IR2 ! IR2 hace girar cada punto en el plano alrededor del origen,hasta describir un angulo , entonces sabemos que la matriz estandar de T es"

Cos -Sen

Sen Cos

#

Figura 1.6: Rotacion en un angulo

Reflexiones. Una reflexion respecto a una recta L que pasa por el origen, es unatransformacion que aplica cada punto del plano en su imagen como un espejo, res-pecto de la recta L. Se puede demostrar que las reflexiones son transformaciones li-neales. Los casos mas importantes son las reflexiones respecto a los ejes coordenados yrespecto a la recta L : y = x. Siguiendo el ejemplo(1.35), entonces se puede demostrarque las matrices estandar para estas transformaciones son:

Reflexion respecto al eje Y es"

-1 0

0 1

#

Reflexion respecto al eje X es"1 0

0 -1

#


Algebra lineal 31

Reflexion respecto a la recta L : y = x es"0 1

1 0

#

Reflexion respecto a la recta L : y = 2x es"

-3=5 4=5

4=5 3=5

#

x

y

v

w

L y: = 2x

Expansiones y comprensiones Si la coordenada x de cada punto del plano se mul-tiplica por una constante positiva k, entonces el efecto es dilatar o comprimir cadafigura plana en la direccion del eje X. Si 0 < k < 1, el resultado es una comprensiony si k > 1, una expansion en la direccion del eje X, con un factor k.


Algebra lineal 32

De manera analoga, si la coordenada y de cada punto del punto se multiplica poruna constante positiva k, se obtiene una expansion (o comprension) en la direccion ycon el factor k. Estas expansiones y comprensiones son transformaciones lineales.

Si T : IR2 ! IR2 es una expansion o comprension en la direccion del eje X, con el factork, entonces

T(e1) = T

"1

0

#!=

"k

0

#; T(e2) = T

"0

1

#!=

"0

1

#

de modo que la matriz estandar para T es"k 0

0 1

#

De manera analoga, la matriz estandar para una expansion o comprension en ladireccion del eje Y, con el factor k, es "

1 0

0 k

#


Algebra lineal 33

Deslizamientos cortantes

Un deslizamiento cortante en la direccion del eje X, con factor k, es unatransformacion que mueve cada punto (x; y) paralelo al eje X, en una cantidadky, hacia la posicion (x+ky; y). Bajo una transformacion de este tipo, los puntosque estan sobre el eje X no se mueve mueven puesto que y = 0. Sin embargo,conforme se avanza alejandose del eje X, la magnitud de y aumenta, por tanto,aquellos puntos mas alejados del eje X se mueven una distancia mayor que losque se encuentran mas cercanos.

Un deslizamiento cortante en la direccion del eje Y, con factor k, es unatransformacion que mueve cada punto (x; y) paralelo al eje Y, en una cantidadk x, hacia la posicion (x; y+k x). Bajo una transformacion de este tipo, los puntossobre el eje Y permanecen fijos y los que se encuentran mas alejados del eje Y semueven una distancia mayor que los que estan mas cercanos.

Se puede demostrar que los deslizamientos cortantes son transformaciones lineales.

Si T : IR2 ! IR2 es un deslizamiento cortante en un factor k en la direccion del ejeX, entonces

T(e1) = T

"1

0

#!=

"1

0

#; T(e2) = T

"0

1

#!=

"k

1

#


Algebra lineal 34

De modo que la matriz estandar para T es"1 k

0 1

#De modo analogo, la matriz estandar para un deslizamiento cortante en la direccion deleje Y, de factor k es: "

1 0

k 1

#Observacion. La multiplicacion por la matriz identidad de orden 2 2 aplica a cadapunto en s mismo. A esta transformacion se le denomina transformacion identidad.Si se desea, es posible imaginar esta transformacion como una rotacion que describe unangulo de 0, o bien, como un deslizamiento cortante a lo largo de cualquiera de los ejes,con k = 1, o bien, como una comprension o una expansion a lo largo de cualquiera de losejes, con un factor k = 1.

Si se efectuan una sucesion finita de transformaciones de IRn hacia IRn, entonces es po-sible obtener el mismo resultado, mediante una sola transformacion matricial, veamos elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 1.36. Supongase que se hace girar el plano hasta que describe un angulo y, acontinuacion, se sujeta a un deslizamiento cortante en un factor k en la direccion del eje X.Encuentrese una sola transformacion matricial que produzca el mismo efecto que el de lasdos transformaciones sucesivas.

Solucion.Bajo la rotacion de un angulo , el punto (x; y) se transforma en el punto (x 0; y 0), cuyatransformacion esta dado por"

x 0

y 0

#=

"Cos -Sen

Sen Cos

# "x

y

#(1.4)

Bajo el deslizamiento cortante, el punto (x 0; y 0) se transforma entonces en el punto (x 00; y 00)con las coordenadas dadas por "

x 00

y 00

#=

"1 k

0 1

# "x 0

y 0

#(1.5)

Al reemplazar (1.4) en (1.5) se llega a"x 00

y 00

#=

"1 k

0 1

# "Cos -Sen

Sen Cos

# "x

y

#o equivalentemente,"

x 00

y 00

#=

"Cos+ kSen -Sen+ kCos

Sen Cos

# "x

y

#


Algebra lineal 35

Por lo tanto, la rotacion seguida por el deslizamiento cortante se pueden efectuar por mediode la transformacion matricial con matriz"

Cos+ kSen -Sen+ kCos

Sen Cos

# "x

y

#

En general, si se llevan a cabo una sucesion finita de transformaciones matriciales

T1(x) = A1x; T2(x) = A2x ; : : : ; Tn(x) = Anx

de IRn hacia IRn (primero T1; a continuacion T2, y as sucesivamente), entonces se obtiene elmismo resultado por medio de la transformacion matricial unica T(x) = Ax , en donde

A = Ak A2 A1 (1.6)

Notese que se obtiene el orden en el que se llevan a cabo las transformaciones al leer dederecha a izquierda en (1.6).

Ejemplo 1.37. .

a) Hallese una transformacion matricial de IR2 hacia IR2 que primero lleve a cabo undeslizamiento cortante en un factor de 2 en la direccion del eje X y, a continuacion,realice una reflexion respecto a la recta L : y = x.

b) Hallese una transformacion matricial de IR2 hacia IR2 que primero realice una refle-xion respecto a la recta L : y = x, y a continuacion lleve a cabo un deslizamientocortante en un factor de 2 en la direccion del eje X.

Solucion.

a) La matriz estandar para el deslizamiento cortante es

A1 =

"1 2

0 1

#

y para la reflexion es

A2 =

"0 1

1 0

#de modo que la matriz estandar para el deslizamiento cortante seguido por la refle-xion es:

A2A1 =

"0 1

1 0

# "1 2

0 1

#=

"0 1

1 2

#

b) La reflexion seguida por el deslizamiento cortante se representa por medio de:

A1A2 =

"1 2

0 1

# "0 1

1 0

#=

"2 1

1 0

#


Algebra lineal 36

Observacion. En este ultimo ejemplo, vemos que A1A2 6= A2A1, de manera que el efectode realizar primero un deslizamiento cortante y, a continuacion, una reflexion es diferentede realizar la reflexion y, a continuacion, el deslizamiento cortante.

Teorema 1.7. Si T : IR2 7! IR2 es la multiplicacion por una matriz inversible, entonces:a) La imagen de una recta es otra recta.

b) La imagen de una recta que pasa por el origen es otra recta que pasa por el origen.

c) Las imagenes de rectas paralelas son rectas paralelas.

d) La imagen del segmento rectilneo que une los puntos P y Q es el segmento rectilneoque une las imagenes de P y Q.

e) Las imagenes de tres puntos estan sobre una recta si y solo si los puntos tambien loestan.

Ejemplo 1.38. Tracese el esquema de la imagen del cuadrado con verticesP1(0; 0); P2(1; 0); P3(0; 1) y P4(1; 1) bajo la multiplicacion por

A =

"-1 2

2 -1

#Solucion. Puesto que"

-1 2

2 -1

#"0

0

#=

"0

0

#;

"-1 2

2 -1

#"1

0

#=

"-1

2

#

"-1 2

2 -1

#"0

1

#=

"2

-1

#;

"-1 2

2 -1

#"1

1

#=

"1

1

#La imagen del cuadrado unitario es el paralelogramo con vertices (0; 0); (-1; 2); (2;-1) y(1; 1) (Ver Figura.1.7)

x

y( ) ( )2 2T x,y x y, x y= - + -

x

y

( )1 0,

( )0 1, ( )11,

( )2 1,-

( )11,

( )1 2,-

Figura 1.7:


Algebra lineal 37

Ejemplo 1.39. Sea la transformacion lineal T : IR2 7! IR2; T(x; y) = (3x + y; 2x + y). Deter-mine la imagen de la recta L : y = 2x+ 1.Solucion. La representacion matricial de T en las bases canonica es la matrizA =

"3 1

2 1

#,

cuyo determinante es Det(A) = 1 6= 0, entonces la matriz A es inversible, de acuerdo alteorema.1.7, la imagen de esta recta es otra recta.Solucion. Sea (x; y) 2 L : y = 2x + 1 y (x 0; y 0) su imagen bajo la transformacion lineal,entonces "

3 1

2 1

#"x

y

#=

"x 0

y 0

#y "

x

y

#=

"3 1

2 1

#-1 "x 0

y 0

#=

"1 -1

-2 3

#"x 0

y 0

#de donde,

x = x 0 - y 0

y = -2x 0 + 3y 0

Al sustituir en y = 2x+ 1 da

-2x 0 + 3y 0 = 2(x 0 - y 0) + 1) L 0 : y 0 = 45x 0 +

1

5

lo cual es la recta que se desea.

1.4. Representacion matricial de una transformacionlineal

Teorema 1.8. Sea 1 = fu1; u2; : : : ; ung y 2 = fv1; v2; : : : ; vng dos bases ordenadas delespacio vectorial V. Sean aij 2 IR escalares tales que:

v1 = a11u1 + a12u2 + + a1nunv2 = a21u1 + a22u2 + + a2nun...

...vn = an1u1 + an2u2 + + annun

y sea

P =

26664a11 a21 an1a12 a22 an2...

... . . ....

a1n a2n ann

37775Entonces, la matriz P es invertible y para todo v 2 V se tiene:


Algebra lineal 38

1. C1[v] = P C2 [v].

2. C2[v] = P-1 C1 [v]

Definicion 1.4. Sean las condiciones del teorema anterior,

1. A la matriz P se le dicematriz de cambio de base de la base 2 a la base 1

2. A la matriz P-1 se le dicematriz de cambio de base de la base 1 a la base 2

1.4.1. Representacion matricial de un operador lineal

1.5. Valores y vectores propiosSean los operadores lineales T1 : IR2 7! IR2; T1(x; y) = k(x; y), T2 : IR2 7! IR2; T2(x; y) =

(y; x) y T3 : IR2 7! IR2; T3(x; y) = (-x;-y) y T : IR2 7! IR2; T(x; y) = (xCos- ySen; xCos+ySen). Consideremos los subespacios vectoriales siguientes:

W1 = f(x; y) 2 IR2 = y = xgW2 = f(x; y) 2 IR2 = y = 2xg

As pues, los subespacios W1 y W2 se transforman en s mismos por la homotecia T1, lasimetra por el origen, es decir T3(W1) = W1 y T3(W2) = W2, sin embargo T2(W1) = W1 yT2(W2) 6=W2, y si con 6= 0, este no deja invariante ningun subespacio vectorial de IR2.

El problema planteado es encontrar subespacios vectorialesW V que sean invarian-tes al transformarlo por un operador lineal T : V 7! V. As pues, habra que determinarvectores v 2 V tales que v y T(v) sean proporcionales y por ello pertenecientes al mismosubespacio vectorial. Con esta finalidad se introducen la siguiente definicion.

Definicion 1.5. Sea T 2 L(V) y V un espacio vectorial, dim(V) = n < 1, el numero sellama valor propio de T si

T(v) = v (1.7)

para algun vector v 6= 0; v 2 V.

El vector no nulo v que cumple (1.7) se llama vector propio de T asociado a

Sea la matriz A asociado al operador T en alguna base de V, entonces (1.7) se puedeescribir del modo siguiente:

A(v) = v (1.8)

Ejemplo 1.40. Sean T : IR3 7! IR3; T(x; y; z) = (-2x; y+ z; x+ z).Los valores propios y vectores propios asociados al operador T son:

1 = -2 y v1 = (-9;-1; 3), pues T(v1) = T(-9;-1; 3) = (18; 2;-6) = -2(-9;-1; 3) )T(v1) = 1 v1


Algebra lineal 39

2 = 1 y v2 = (0; 1; 0), pues T(v2) = T(0; 1; 0) = (0; 1; 0) = 1(0; 1; 0)) T(v2) = 2 v2Ejemplo 1.41. Sean T : IR2 7! IR2; T(x; y) = (3x; 8x- y).Si = 3 y v = (1; 2), vemos que:

T(v) = T(1; 2) = (3; 6) = 3(1; 2)) T(v) = 3 (1; 2) = vAs, = 3 y v = (1; 2) son valor propio y vector propio asociado al operador T .

Ejemplo 1.42. Sean T : IR2 7! IR2; T(x; y) = (-2x- y; 5x+ 2y).Los numeros 1 = i; 2 = -i son los valores propios y los vectores propios son:

w1 =

-2+ i

5; 1

; w2 =

-2- i

5; 1

son los vectores propios asociados a los valores propios respectivamente.

Observaciones.

1. El autovector v asociado a un valor propio no es unico, ya que si T(v) = v y para 6= 0 el vector w = v tambien es un vector propio asociado a .En efecto Ya que si T(v) = v, entonces para todo 2 IR se verifica que si w = vT(w) = T(v) = (v) = w y, por lo tanto, v es un vector propio de T asociado a .

2. Un vector v; v 6= 0 no puede ser asociado a dos valores propios de T diferentes.

En efecto, si existen escalares ; 2 IR tales queT(v) = v; T(v) = v

restando tenemos:T(v) - T(v) = T(0) = (- )v

en consecuencia, tenemos que, = pues v 6= 0.La ecuacion (1.8) que sirve para definir los valores propios y vectores propios se puedeescribir como:

(I-A)v = 0; (1.9)

con lo que los vectores propios, si existen, son los vectores no nulos solucion del sistemalineal homogeneo

(I-A)x = 0

Sabemos que este sistema tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si, la matriz I-Ano es inversible, o equivalentemente si

Det(I-A) = 0 (1.10)

As pues, los valores propios de la matriz A, son todos los escalares que verifican laecuacion (1.10). Esta observacion induce la siguiente definicion.


Algebra lineal 40

Definicion 1.6. Se llama polinomio caracterstico de una matriz cuadrada A al poli-nomio

pA() = Det(I-A)

Nota.

1. El grado del polinomio caracterstico es igual a la dimension del espacio vectorial V,es decir:

grad(pA() = n = dim(V)

2. Notese que los valores propios de T son las races del polinomio caractersticos. Ademasestas races son numeros reales o numeros complejos. Los valores propios pueden serrepetidos, con lo que podemos dar la siguiente definicion.

Definicion 1.7. Se llamamultiplicidad algebraica de un valor propio, a su multiplici-dad como raz del polinomio caracterstico, es decir, al numero de veces que aparece comoraz de dicho polinomio.

Ejemplo 1.43. Calcular los valores propios y vectores propios del operador

T : IR3 7! IR3; T(x; y; z) = (-2x; y+ z; x+ z);cuya representacion matricial en la base canonica de IR3 es:

A =

264 -2 0 00 1 11 0 1

375Solucion. El polinomio caracterstico de la matriz A es:

pA() = Det(I-A) = (+ 2)(- 1)2

Luego los valores propios de A son:

1 = -2 de multiplicidad algebraica 1

2 = 1 de multiplicidad algebraica 2

y los vectores propios asociados a sus valores propios son:

Si 1 = -2 entonces v1 = (-9;-1; 3)

Si 2 = 1 entonces v2 = (0; 1; 0)

Nota. En este ultimo ejemplo, vimos que las soluciones del sistema lineal homogeneo sonlos vectores del nucleo de la matriz de coeficientes del sistema. Entonces sabemos que elnucleo de una matriz de tamano n n es un subespacio vectorial de IRn, por lo tantopodemos dar la siguiente definicion.


Algebra lineal 41

Definicion 1.8. Sea un valor propio asociado a la matriz A de tamano n n. Se llamasubespacio propio de A asociado a al subespacio vectorial

EA() = Ker(I-A) = fx 2 IRn = (I-A)x = 0gEjemplo 1.44. Calcular los valores propios, vectores propios y los subespacios vectorialesde la matriz A

A =

264 2 2 11 3 11 2 2

375solucion. El polinomio caracterstico de la matriz A es:

pA() = Det(I-A) = (- 5)(- 1)2

Por lo tanto los valores propios son 1 = 5 y 2 = 1, este ultimo con multiplicidad algebrai-ca 2.

Calculamos los vectores propios.

Para 1 = 5 los vectores propios son las soluciones no nulas del sistema lineal homogeneo(5I-A)x = 0, es decir, del sistema264 3 -2 -1-1 2 -1

-1 -2 3

375264 x1x2x3

375 =264 000

375()264 1 0 -10 1 -10 0 0

375264 x1x2x3

375 =264 000

375cuyo conjunto solucion es

f(1; 1; 1) = 2 IRgPor lo tanto, el subespacio propio es:

EA(5) = h(1; 1; 1)isiendo f(1; 1; 1)g base para el subespacio EA(5).

Para 1 = 1 los vectores propios son las soluciones no nulas del sistema lineal homogeneo(I-A)x = 0, es decir, del sistema264 -1 -2 -1-1 -2 -1

-1 -2 -1

375264 x1x2x3

375 =264 000

375()264 1 2 10 0 00 0 0

375264 x1x2x3

375 =264 000

375siendo

f(-2a- b; a; b) a; b 2 IRgel conjunto de soluciones, por lo tanto el subespacio propio es

EA(1) = h(-2; 1; 0); (-1; 0; 1)iy f(-2; 1; 0); (-1; 0; 1)g es una base del subespacio vectorial EA(1):


Algebra lineal 42

Teorema 1.9. Sea A 2 IRnn. Entonces1. A yAT tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas.

2. Si es un valor propio de A y k 1, entonces k es un valor propio de Ak.Teorema 1.10. Si A 2 IRnn es una matriz triangular (superior o inferior) entonces susvalores propios son los elementos de la diagonal.

Definicion 1.9. Sean A; B 2 IRnn. Se dice que A y B son matrices semejantes si existeuna matriz inversible P 2 IRnn tal que:

B = P-1AP

Ejemplo 1.45. Comprobar que B = P-1AP, es decir las matrices A y B son matrices seme-jantes, siendo:

A =

264 1 0 2-1 1 10 0 2

375 ; B =264 1 -1 10 2 10 0 1

375 ; P =264 0 2 01 0 -10 1 1

375Solucion. Determinando la matriz inversa de P, tenemos:

P-1 =

264 -12 1 112 0 0-1

20 1

375Luego multiplicar:

P-1AP =

264 - 12 1 112 0 0- 1

20 1

375264 1 0 2-1 1 1

0 0 2

375264 0 2 01 0 -10 1 1

375=

264 1 -1 10 2 10 0 1

375= B

Teorema 1.11. Sean A y B dos matrices semejantes, entonces:1. A y B tienen el mismo polinomio caractersticos

2. A y B tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas.

En efecto. Si B es semejante a A, entonces existe P 2 GL(IRn), tal que: B = P-1AP, luego:pB() = Det(BI)

= Det(P-1AP - P-1P)

= Det(P-1(A- I)P)

= Det(P-1)Det(A- I)Det(P)

= Det(P-1)Det(P)Det(A- I)

= Det(I)Det(A- I)

= Det(A- I) = pA()


Algebra lineal 43

Ejemplo 1.46. Sabiendo que A = PBP-1 con

A =

26664-1 -4 0 -2

8 13 4 8

4 6 3 4

-12 -20 -8 -13

37775 ; B =266641 0 0 0

0 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

37775 ; P =266641 0 4 1

1 1 2 1

2 3 1 2

0 1 1 1

37775Calcular: A6 y 2A5 - 4A2

Son varias las propiedades que comparten las matrices semejantes. A continuacionestudiamos algunas de ellas, pero primero necesitamos recordar la definicion de la trazade una matriz y una propiedad de la misma dada.

Definicion 1.10. Sean A 2 IRnn. Se llama traza de la matriz A a la suma de los elemen-tos de la diagonal principal de A, escribimos

tr(A) =

nXi=1

aii

Lema 1.11. Sean P; Q 2 IRnn, entonces

tr(PQ) = tr(QP)

Teorema 1.12. Sean A y B dos matrices semejantes de tamano n n, entonces:i) Det(A) = Det(B)

ii) Rang(A) = Rang(B)

iii) tr(A) = tr(B)

En efecto. Como A y B es semejante, entonces existe una matriz P inversible tal que:B = P-1AP

i) Det(B) = Det(P-1AP) = Det(P-1)Det(A)Det(P) = Det(A)

ii)

iii)

1.6. DiagonalizacionUna clase particular de matrices la constituyen aquellas que son semejantes a una ma-

triz diagonal. Justamente este hecho es el que aparece en la introduccion de este captulo.Vamos a estudiar condiciones necesarias y suficientes para que una matriz cuadrada Asea semejante a una matriz diagonal D. Empezaremos dando algunos resultados previos.


Algebra lineal 44

Teorema 1.13. Sea A una matriz cuadrada de tamano n n y sean 1; 2; : : : ; s los dis-tintos valores propios de A. Entonces la suma de los correspondientes subespacios propiosEA(i); i = 1; 2; : : : ; s, es directa.

Podemos deducir, como consecuencia del teorema anterior, que los vectores propios deuna matriz, asociados a valores propios distintos, son linealmente independientes.

Definicion 1.12. Una matriz A de tamano n n se dice que es diagonalizable si essemejante a una matriz diagonal, es decir, si existe una matriz P 2 GL(IRn) tal que:

P-1AP = D

siendo D una matriz diagonal.

Teorema 1.14. Una matriz A de tamano n n es diagonalizable si y solo si, tiene n vec-tores propios linealmente independientes.

Demostracion. Sean u1; u2; : : : ; un los n vectores propios linealmente independientes, ta-les que:

Aui = iui; i = 1; 2; : : : ; n

Podemos escribir equivalentemente del modo siguiente:

Aui = iui () A[u1 u2 : : : un] = [1u1 2u2 : : : nun] = [u1 u2 : : : un]266641

2. . .

n

37775que denotamos como AP = PD, donde

P = [u1 u2 : : : un] y D =

266641

2. . .

n

37775Claramente P es inversible ya que los vectores u1; u2; : : : ; un son linealmente independien-tes. Luego

D = P-1AP

es decir A es diagonalizable.

Recprocamente, supongamos que A es diagonalizable, entonces podemos encontrar unamatriz inversible P tal que:

P-1AP = D

es una matriz diagonal, o equivalentemente

AP = PD (1.11)


Algebra lineal 45

Si escribimos P por columnas como

P = [u1 u2 : : : un]

se sigue de (1.11) queAui = iui; i = 1; 2; : : : ; n

donde i es el i-esimo elemento de la matriz diagonal de D. Luego las columnas de lamatriz P son n vectores propios de A, que seran linealmente independientes ya que P esinversible.

Cuando A es diagonalizable entonces el conjunto de los n vectores propios son una basepara el espacio vectorial IRn.

Ejemplo 1.47. Diagonalizar la matriz

A =

264 1 1 10 3 02 -1 2

375Solucion Calculemos en primer lugar los valores propios de A. Para ello hallemos lasraces del polinomio caracterstico

pA() = Det(A- I) =

1- 1 1

0 3- 0

2 -1 2-

= 0= (- 3)2 = 0

Por lo tanto, los valores propios de A son 1 = 0 y 2 = 3, este ultimo con multiplicidadalgebraica 2.

En segundo lugar hallaremos los vectores propios. Para 1 = 0, los vectores propios sonlas soluciones no triviales del sistema lineal homogeneo (A- 0 I)x = 0, es decir:264 1 1 10 3 0

2 -1 2

375264 xyz

375 =264 000

375cuyo conjunto solucion es

EA(0) = Envf(-1; 0; 1)g:

Una base de vectores propios de EA(0) esta formado por el vector u1 = (-1; 0; 1). La dimen-sion geometrica de este subespacio EA(0) es 1.


Algebra lineal 46

Para 2 = 3 los vectores propios son las soluciones del sistema lineal homogeneo (A -3I)x = 0, es decir: 264 -2 1 10 0 0

2 -1 -1

375264 xyz

375 =264 000

375siendo

EA(3) = Envf(1; 2; 0); (1; 0; 2)g

el conjunto de soluciones. Una base para el subespacio EA(3) esta formado por los vectoresu2 = (1; 2; 0) y u3 = (1; 0; 2), por lo tanto la dimension geometrica del subespacio EA(3) es2.

Por el teorema.1.14 el conjunto fu1; u2; u3g, es linealmente independiente, con lo que lamatriz

P = [u1 u2 u3]

es inversible.

Observese por ultimo que A = PDP-1 siendo

P =

264 -1 1 10 2 01 0 2

375 ; P-1 =264 -2=3 1=3 1=30 1=2 0

1=3 -1=6 1=3

375 y D =264 0 0 00 3 00 0 3

375El orden de las columnas de P esta en funcion del orden de colocacion de los valores propiosen D ya que

A[u1 u2 u3] = [u1 u2 u3]D

Si tomamos los valores propios en otro orden, por ejemplo construimos

D1 =

264 3 0 00 0 00 0 3

375entonces la matriz de vectores propios correspondientes es

P1 = [u2 u1 u3]() P1 =264 1 -1 12 0 00 1 2

375ya que

A[u2 u1 u3] = [u2 u1 u3]D1

Las matrices D y D1 tienen los mismos elementos en la digonal principal. Aun podemosdecir mas, dada la matriz D, si definimos

P2 =

264 -1 1 10 0 21 2 0

375


Algebra lineal 47

se verifica que A = P2DP-12 . Lo cual nos permite afirmar que dada la matriz diagonal D,la matriz P formada por los vectores propios no es, en general unica.

Ejemplo 1.48. Dada la matriz

A =

264 1 0 60 -1 01 1 2

375diagonalizarla si es posible.

Solucion. Realizaremos el problema en dos etapas.Primero calculemos los valores propios de A

pA() = Det(A- I) = (+ 1)2(- 4) = 0

Los valores propios son 1 = -1 con multiplicidad algebraica 2 y 2 = 4 con multiplicidadalgebraica 1.En segundo lugar obtendremos los vectores propios asociados a cada uno de los valorespropios.

Para 1 = -1, se resuelve el sistema lineal homogeneo (A+ I)x = 0, es decir264 2 0 60 0 01 1 3

375264 xyz

375 =264 000

375obteniendo

EA(-1) = Envf(-3; 0; 1)g

Claramente dim(EA(-1)) = 1 y el vector u1 = (-3; 0; 1) constituye una base para el subes-pacio EA(-1).

Para 2 = 4, se resuelve el sistema lineal homogeneo (A- 4I)x = 0, es decir264 -3 0 60 -5 01 1 -2

375264 xyz

375 =264 000

375obteniendo

EA(4) = Envf(2; 0; 1)g

Claramente dim(EA(4)) = 1 y el vector u2 = (2; 0; 1) constituye una base para el subespacioEA(4).

El conjunto de vectores propios fu1; u2g es linealmente independiente. Sin embargo, elconjunto fu1; u2; zg donde z es otro vector propio de A, es linealmente dependiente, ya quez o es un multiplo de u1 o es multiplo u2. Por lo tanto no existe una base de IR3 formada por


Algebra lineal 48

los vectores propios de A, en consecuencia A no es diagonalizable.

Observando con detalle estos dos ultimos ejemplos se puede deducir que la matriz dia-gonalizable A del ejemplo.1.47 tiene la siguiente propiedad: la suma de las dimensionesde los subespacios propios es justamente la dimension del espacio IR3. Mientras que es-ta propiedad no se da en el ejemplo.1.48 puesto que la suma de las dimensiones de lossubespacios es 2. Este hecho es basico para caracterizar las matrices diagonalizables.

Teorema 1.15. Una matriz A de tamano n n es diagonalizable, si y solo si, la suma delas dimensiones de los subespacios propios es n.Es decir: Si 1; 2; : : : ; s son los valores propios de A, entonces A 2 IRnn es diagonalizablesi

dim(EA(1)) dim(EA(2)) dim(EA(s))Para obtener caracterizaciones mas directas de diagonalizacion necesitamos el siguien-

te resultado.

Teorema 1.16. Sea A una matriz de tamano n n. Si 0 es un valor propio de A demultiplicidad algebraica m0, entonces

1 dim(EA(0)) m0Teorema 1.17. Sea A una matriz de tamano n n. A es diagonalizable si, y solo si, severifican las dos condiciones siguientes:

i) El polinomio caracterstico pA() tiene n races reales no necesariamente distintas, esdecir

pA() = (- 1)m1(- 2)

m2 (- s)mscon m1 +m2 + +ms = n

ii) La multiplicidad algebraica de cada valor propio de A, coincide con la dimension delsubespacio propio correspondiente.

Ejemplo 1.49. Hallar los valores y vectores propios de la matriz

A =

266640 0 -1 0

-3 2 2 2

1 0 0 0

1 2 -2 2

37775diagonalizarla si es posible.Solucion El polinomio caracterstico es

pA() = (- 4)(2 + 1) = 0

Observese que el polinomio caracterstico pA() tiene solamente dos races reales 1 = 0y 2 = 4, el factor (2 + 1) solo tiene races complejas. En consecuencia la matriz A no esdiagonalizable de acuerdo al teorema.1.17. Los vectores propios son:


Algebra lineal 49

1. Para 1 = 0 entonces EA(0) = h(0;-1; 0; 1)i2. Para 2 = 4 entonces EA(4) = h(0; 1; 0; 1)i

Una consecuencia inmediata del teorema.1.17 es que las matrices cuadradas de tamanon n que tiene n valores propios distintos son diagonalizables, es decir.Corolario 1.50. Sea A una matriz de tamano nn. Si A tiene n valores propios distintos,entonces A es diagonalizable.

Ejemplo 1.51. Comprobar que la matriz

A =

266642 -2 3 1

1 1 1 -1

1 3 -1 3

0 0 0 2

37775es diagonalizable.Solucion. Calculando los valores propios de A, es decir, las races del polinomio carac-terstico

pA() = Det(A- I) = (+ 2)(- 1)(- 2)(- 3) = 0

As pA() posee cuatro races distintas: -2; 1; 2; 3 y por el corolario, A es diagonalizable.Veamos

1 = 3) !v 1 = (1; 1; 1; 0)2 = -2) !v 2 = (-11;-1; 14; 0)3 = 2) !v 3 = (0;-4;-3; 1)4 = 1) !v 4 = (-1; 1; 1; 0)

entonces la matriz de inversible es

P =

266641 -11 0 -1

1 -1 -4 1

1 14 -3 1

0 0 1 0

37775 ;) P-1 =26664

12

110

25

85

0 - 115

115

- 115

0 0 0 1

- 12

56

-13

73

37775luego calculando el producto de las matrices, tenemos:

P-1A:P =

266643 0 0 0

0 -2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

37775


Algebra lineal 50

1.7. Ejercicios1. Sea

A =

"a b

c d

#demuestre que:

a) A es diagonalizable si: (a- d)2 + 4bc > 0

b) A no es diagonalizable si: (a- d)2 + 4bc < 0

2. Calcular A10, en donde A =

"1 0

-1 2

#

1.8. Diagonalizacion de matrices simetricasMediante ejemplos hemos comprobado que no todas las matrices cuadradas son dia-

gonalizables, ahora veremos una clase especial de matrices que verifican dichas condicio-nes la forman las matrices simetricas. Probaremos en esta seccion que dada una matrizsimetrica cuadrada existe una base de vectores propios de A. En realidad comprobaremosque existe una base de vectores propios ortonormales. Empezaremos dando un resultadosobre la ortogonalidad de vectores propios asociados a valores propios distintos.

Teorema 1.18. Sea A una matriz simetrica de tamano nn. Entonces los vectores propiosasociados a valores propios son ortogonales respecto al producto interno escalar canonicodel espacio vectorial IRn

En efecto. Supongamos que Au = u y Av = v, con 6= . Realicemos los siguientescalculos

hAu; vi = hu; vi = hu; vi;hAu; vi = (Au)Tv = uTATv

= uTAu = hu; Avi = hu; viLuego (- )hu; vi = 0, y como 6= , se tiene que hu; vi = 0, es decir los vectores u y v sonortogonales.

Lema 1.13. Toda matriz simetrica tiene, al menos, un valor propio real.Teorema 1.19. Sea A una matriz cuadrada de tamano nn. La matriz A es simetrica si,y solo si, A es diagonalizable mediante una matriz ortogonal. Es decir, existe una matrizortogonal Q. Es decir, existe una matriz ortogonal Q tal que Q-1AQ es diagonal.

Nota. Puesto que se puede construir una base de vectores propios ortonormales de unamatriz simetrica, diremos que toda matriz simetrica es diagonalizable por una ma-triz ortogonal. Es decir si A es simetrica entonces existe una matriz ortogonal Q tal queQ-1AQ es diagonal.


Algebra lineal 51

Ejemplo 1.52. Diagonalizar la matriz simetrica.

A =

264 2 0 00 3 -10 -1 3

375Solucion. El polinomio caracterstico es

pA() = det(A- I) = 3 - 82 + 20- 16 = (- 2)2(- 4) = 0

Los valores propios son 1 = 2 con multiplicidad algebraica 2 y 2 = 4.

Para 1 = 2, los vectores propios son las soluciones del sistema lineal homogeneo (A -2I)x = 0, es decir, de 264 0 0 00 1 -1

0 -1 1

375264 xyz

375 =264 000

375por lo tanto

EA(2) = h(1; 0; 0); (0; 1; 1)iLa base del subespacio propio EA(2) es, por tanto fu1; u2g, donde u1 = (1; 0; 0) y u2 = (0; 1; 1)

Para 2 = 4 hemos de resolver el sistema (A- 4I)x = 0, es decir264 2 0 00 1 10 1 1

375264 xyz

375 =264 000

375cuyo conjunto de soluciones es

EA(4) = h(0;-1; 1)i

Por lo tanto, una base de EA(4) esta formado por el vector u3 = (0;-1; 1).

As,fu1; u2; u3g es una base de IR3. Para construir la matriz ortogonalQ tal queQTAQ =D sea diagonal, necesitamos una base ortonormal de vectores propios. Como el conjuntofu1; u2; u3g ya es ortogonal, solo hace falta normalizarlo.

Los vectores ortonormales son:

w1 =1

jju1jju1 = (1; 0; 0)

w2 =1

jju2jju2 =

0;

1p2;1p2

w3 =

1

jju3jju3 =

0;-

1p2;1p2


Algebra lineal 52

La matriz ortogonal es

Q = [w1 w2 w3] =

264 1 0 00 1p2 - 1p20 1p

2

1p2

375) Q-1 =264 1 0 00 1p2 1p20 - 1p

2

1p2

375Luego calculamos y tenemos:

QTAQ =

264 2 0 00 2 00 0 4

375es la matriz diagonal semejante a la matriz A:

Ejemplo 1.53. Dada la matriz simetrica

A =

264 1 1 11 1 11 1 1

375Hallar una matriz ortogonal Q tal que QTAQ es diagonal.

Solucion Hallemos primero los valores propios de A, entonces el polinomio caractersticoes:

pA() = 3 - 32 = 2(- 3) = 0

Luego los valores propios son 1 = 0 de multiplicidad algebraica 2 y 2 = 3 con multiplici-dad algebraica 1.

Para 1 = 0 los vectores propios son: u1 = (-1; 1; 0); u2 = (-1; 0; 1)

Para 2 = 3 el vector propio es: u3 = (1; 1; 1)

Los vectores fu1; u2; u3g constituyen una base del espacio vectorial IR3.

Para hallar la matriz Q tenemos que obtener una base de vectores ortonormales. Sa-bemos que el conjunto fu1; u2g es ortogonal a fu3g porque son vectores propios asociados avalores propios distintos. as pues, ortogonalizamos solamente el conjunto fu1; u2g por elalgoritmo de Gram-Schmidt.Tenemos los vectores normalizados, estos son:

!v 1 = (-1; 1; 0)) !w1 = - 1p2;1p2; 0

!v 2 = (-1; 0; 1)) !w2 = - 1p

6;-

1p6;

r2

3

!!v 3 = (1; 1; 1)) !w1 = 1p

3;1p3;1p3


Algebra lineal 53

Entonces la matriz P es:

P =

2664- 1p

2- 1p

6

1p3

1p2

- 1p6

1p3

0q

23

1p3

3775 ; donde Det(P) = 1;y la matriz inversa de P es P-1 = PT , realizando calculos se comprueba

P-1 =

2664- 1p

2

1p2

0

- 1p6

- 1p6

q23

1p3

1p3

1p3

3775Luego calculamos el producto de las siguientes matrices, tenemos:

P-1A:P =

264 0 0 00 0 00 0 3

375 = D1.9. Formas cuadraticas, aplicacion a las secciones

cuadraticasEn esta seccion se aplican los resultados obtenidos acerca de las transformaciones

ortogonales de coordenadas, para el estudio de las ecuaciones cuadraticas, las formascuadraticas y las secciones conicas. Las formas cuadraticas surgen en una diversidad deproblemas importantes referentes a areas tan diversos como las vibraciones, la relatividady la geometria.

Una ecuacion de la forma

ax2 + 2bxy+ cy2 + dx+ ey+ f = 0 (1.12)

en donde a; b; c; : : : ; f son numeros reales, y al menos uno de los numeros a; b; c no es cero,se denomina ecuacion cuadratica en x e y; la expresion

ax2 + 2bxy+ cy2

se llama forma cuadratica asociada.

Ejemplo 1.54. En la ecuacion cuadratica

3x2 + 5xy- 7y2 + 2x+ 7 = 0

las constantes que se mencionan en (1.12) son:

a = 3 b =5

2c = -7 d = 2 e = 0 f = 7


Algebra lineal 54

Ejemplo 1.55. ecuacion cuadratica forma cuadratica asociada

3x2 + 5xy- 7y2 + 2x+ 7 = 0 ) 3x2 + 5xy- 7y24x2 - 5y2 + 8y+ 9 = 0 ) 4x2 - 5y2

xy+ y = 0 ) xyLas graficas de las ecuaciones cuadraticas en x e y se llaman conicas o secciones

conicas. Las conicas mas importantes son las elipses, las hiperbolas y las parabolas, sedice que estas conicas son conicas no degeneradas. Las conicas restantes se calificancomo degeneradas e incluyen puntos aislados y parejas de rectas.

Se dice que una conica no degenerada se encuentra en posicion estandar, con relaciona los ejes de coordenadas, si su ecuacion se pueden expresar en una de las formas dadasen la Figura.

Ejemplo 1.56. La ecuacionx2

4+y2

9= 1 es de la forma

x2

a2+y2

b2= 1 con b = 2 y a = 3

Por lo tanto, su grafica es una elipse en posicion estandar, la cual se intersecta con eleje X en los puntos (-2; 0) y (2; 0), y se intersecta con el eje Y en los puntos (0;-3) y (0; 3).

La ecuacion x2 - 8y2 = -16 se puede reescribir comoy2

2-x2

16= 1, la cual de la forma

y2

a2-

x2

b2= 1 con a =

p2 y b = 4. As entonces, su grafica es una hiperbola en posicion

estandar que se intersecta con el eje Y en los puntos (0;-p2) y (0;

p2).

La ecuacion 5x2 + 2y = 0 se puede volver a escribir como x2 = -2

5y, la cual es de la for-

ma x2 = ky con k = -2

5. Dado que k < 0, su grafica es una parabola en posicion estandar

que se abre hacia abajo.

Observese que ninguna conica en posicion estandar tiene el termino xy (conocido comoel termino de producto cruzado) en su ecuacion, la presencia de un termino xy, en laecuacion degenerada, indica que tal conica esta girada a su posicion estandar. (Ver Figu-ra). Tambien, ninguna conica en posicion estandar tiene tanto un termino x2 como en x,uno en y2 y en y. Si no existe termino de producto cruzado, la presencia de cualquiera deestos dos pares de terminos en la ecuacion de una conica no degenerada indica que talconica esta trasladada respecto a su posicion estandar (Ver Figura).

Una tecnica para identificar la grafica de una conica no degenerada, que no se encuen-tra en la posicion estandar, consiste en hacer girar y trasladar los ejes coordenados xy,para obtener un sistema de coordenadas x 0y 0, con relacion al cual la conica este en la po-sicion estandar. Una vez que se hace lo anterior, la ecuacion de la conica en el sistema x 0y 0

tendra una de las formas dadas en la Figura y, por consiguiente, es posible identificarlacon facilidad.


Algebra lineal 55

Ejemplo 1.57. Dado la ecuacion cuadratica

2x2 + y2 - 12x- 4y+ 18 = 0

contiene terminos en x2; x; y2 e y, pero ningun termino con producto cruzado, su grafica esuna conica que esta traslada respecto de la posicion estandar, pero no esta girada.

Esta conica se puede llevar a la posicion estandar, trasladando apropiadamente los ejescoordenados. Para hacerlo, agrupense primero los terminos en x e y. Esto conduce a

(2x2 - 12x) + (y2 - 4y) + 18 = 0

o bien2(x2 - 6x) + (y2 - 4y) = -18

al completar cuadrados en las dos expresiones que estan entre parentesis, se obtiene

2(x2 - 6x+ 9) + (y2 - 4y+ 4) = -18+ 18+ 4

o bien2(x- 3)2 + (y- 2)2 = 4 (1.13)

si se trasladan los ejes de coordenadas por medio de las ecauciones de traslacion

x 0 = x- 3 y 0 = y- 2

entonces (1.13) queda

2x 02 + y 02 = 4() x 022

+y 02

4= 1

que es la ecuacion de una elipse en posicion estandar, en el sistema x 0y 0. En la Figura setiene un esquema de esta elipse.

Ahora se considera la identificacion de las conicas que estan giradas respecto de laposicion estandar. En el resto de este seccion se sigue una convencion estandar de omitirlos corchetes en todas las matrices de orden 11. Por lo tanto, el numero 8 se puede escribircomo la matriz [8] que es una matriz de orden 11. Con esta convencion la expresion (1.12)se puede escribir en la forma matricialh

x yi " a b

b c

#"x

y

#+hd e

i " xy

#+ f = 0

o bienXtAX+ KX+ f = 0 (1.14)

en donde

X =

"x

y

#; A =

"a b

b c

#; K =

hd e

icon esta notacion, la forma cuadratica asociada a (1.14) es

XtAX

La matriz simetrica A se denominamatriz de la forma cuadratica XtAX


Algebra lineal 56

Ejemplo 1.58. Las matrices de las formas cuadraticas

3x2 + 5xy+ 7y2 y 8x2 - 4y2

son "3 5=2

5=2 7

#y

"8 0

0 -4

#Considerese una conica C con la ecuacion

XtAX+ KX+ f = 0 (1.15)

Ahora se demostrara que es posible hacer girar los ejes de coordenados xy de modo que laecuacion de la conica, en el sistema de coordenadas x 0y 0, no tenga termino con productocruzado.

Paso 1. Se halla una matriz

P =

"p11 p12p21 p22

#que diagonaliza ortogonalmente a A.

Paso 2. Se intercambian las columnas de P, si es necesario, para hacer que Det(P) = 1. Estoasegura que la transformacion ortogonal de coordenadas

X = PX 0 es decir

"x

y

#= P

"x 0

y 0

#(1.16)

es una rotacion

Paso 3. A fin de obtener la ecuacion para C en el sistema x 0y 0, se sustituye (1.16) en (1.15).Esto conduce a

(PX 0)tA(PX 0) + K(PX 0) + f = 0

o bien,X 0t(PtAP)X 0 + K(PX 0) + f = 0 (1.17)

Puesto que P diagonaliza ortogonalmente a A,

PtAP =

"1 0

0 2

#

en donde 1 y 2 son los autovalores de A. Por lo tanto, (1.17) se puede volver a escribircomo h

x 0 y 0i " 1 0

0 2

#"x 0

y 0

#+hd e

i " p11 p12p21 p22

#"x 0

y 0

#+ f = 0

o bien,1x

02 + 2y 02 + d 0x 0 + e 0y 0 + f = 0


Algebra lineal 57

(en donde d 0 = dp11 + ep21 y e 0 = dp12 + ep22). Esta ecuacion no tiene termino de productocruzado.

En el siguiente teorema se resume este analisis.

Teorema 1.20. (Teorema de los ejes coordenados para IR2). Sea

ax2 + 2bxy+ cy2 + dx+ ey+ f = 0

la ecuacion de una conica C, y supongase que

XtAX = ax2 + 2bxy+ cy2

es la forma cuadratica asociada. Entonces se puede hacer girar los ejes coordenados demodo que la ecuacion para C en el nuevo sistema de coordenadas x 0y 0 tenga la forma

1x02 + 2y 02 + d 0x 0 + e 0y 0 + f = 0

en donde 1 y 2 son los autovalores de A. Se puede llevar a cabo la rotacion por medio dela sustitucion

X = PX 0

en donde P diagonaliza ortogonalmente a A y det(P) = 1.

Ejemplo 1.59. Describase la conica C cuya ecuacion es 5x2 - 4xy+ 8y2 - 36 = 0Solucion. Escribamos la ecuacion cuadratica en forma matricial

hx y

i " 5 -2-2 5

#"x

y

#= [36]

donde la matriz A es la matriz simetrica, A =

"5 -2

-2 5

#, esta matriz podemos diago-

nalizarlo, para el cual consideremos la matriz de cambio de coordenadas

X = PX 0 () " xy

#= P

"x 0

y 0

#

Luego determinemos los valores propios y vectores propios ortonormales

pA() = det(A- I) = 2 - 13+ 36 = (- 4)(- 9) = 0

entonces tenemos:

1 = 4) !v 1 = (2; 1)) !w1 = 2p5;1p5

2 = 9) !v 2 = (-1; 2)) !w2 = -1p

5;2p5


Algebra lineal 58

Ahora la matriz inversible P es:

P =

"2p5

- 1p5

1p5

2p5

#; donde Det(P) = 1

y la matriz inversa de P es

P-1 = PT =

"2p5

1p5

- 1p5

2p5

#Ahora calcul

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