Fis i Final Apunte Mc

Mariano Calcabrini ‐1‐

Física I (Q)

Primer Cuatrimestre 2014

Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas de un espacio n‐dimensional es una construcción que nos permite

ubicarnos en ese espacio. Está constituido por n familias de curvas (no necesariamente rectas)

que cubren todo el espacio y por un origen a partir del cual se toman estas referencias.

Por ejemplo:

En este marco cabe definir lo que es un vector. La definición de un vector como un segmento

orientado con módulo, origen dirección y sentido es escueta.

Un vector es un elemento de un espacio vectorial, y esto implica que si y son vectores del

mismo espacio, entonces:

1) , es un vector del mismo E.V.

2) . , , … donde el nuevo vector también es del mismo E.V

3) Si es un vector tal que sus coordenadas en una base del EV son , , las coordenadas

del mismo vector en otra base, , son una combinación lineal de , .


Dinámica del punto

Principio de inercia

Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de MRU siempre que esté libre de acciones

exteriores (Newton‐Galileo no define fuerza antes de postular este principio, por lo que

resulta erróneo – para Chimento‐ hablar de fuerzas)

Principio de masa

La suma de todas las acciones exteriores a un cuerpo (fuerzas) es proporcional a la aceleración

del mismo. La constante de proporcionalidad de esta relación es la masa inercial. La masa que

se mide en una balanza no requiere de un movimiento para ser medida por lo que se la llama

masa gravitatoria. Ningún experimento de mecánica clásica encontró hasta ahora diferencias

entre ambas masas.

Wiki: Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de

movimiento o la forma de los materiales.

Principio de acción y reacción

Para cada acción que se observa en un cuerpo que interactúa con otro se observa una

reacción de igual magnitud y dirección pro de sentido opuesto sobre el segundo cuerpo.

Para analizar esta interacción se estudia con frecuencia el d.c.l. de un cuerpo sobre la tierra

(2). Pero primero conviene analizar un cuerpo cayendo (1).

Cuando el cuerpo está cayendo solo actúa la fuerza de gravedad (rojo) sobre ambos cuerpos.

Cuando los cuerpos están en contacto aparecen fuerzas de vínculo normales a la superficie

(azul)

Fuerzas de vínculo

No hay una teoría general sobre las interacciones de vínculo, son fuerzas que aparecen

cuando hay cuerpos vinculados (en contacto o por medio de sogas, vigas, varas...).


Fuerza de rozamiento

Cuando hay fuerzas tangentes a dos superficies en contacto aparecen fuerzas que se oponen

al desplazamiento de las superficies.

Si quiero mover un cuerpo, en un primer momento, el cuerpo no se mueve, sin importar que

fuerza le aplique. Estos sucede hasta que se logra una fuerza límite, la Frmáx, una vez que se

superó este valor de fuerza el cuerpo comienza a moverse con una aceleración que crece con

la fuerza aplicada.

.

.

Estas fuerzas dependen de las superficies en contacto, y de la normal del cuerpo sobre la

superficie, un cuerpo que ejerce más fuerza sobre la superficie “se queda más pegado”.

Ley de Hooke

Hooke estudió materiales con comportamiento elástico. Estos materiales, por ejemplo un

resorte o una bandita elástica se deforman al aplicarse una fuerza y luego vuelven a su forma

original, ejerciendo una fuerza. Después de determinada fuerza límite, las deformaciones son

plásticas e irreversibles. Los materiales plásticos se deforman (módulo de Young) hasta

romperse.


Hooke colgó pesas de resortes para aplicar sobre ellas distintas fuerzas.

Sobre la masa actúan el peso y la fuerza elástica, y como las masas están en una condición

estática, peso y fuerza elástica coinciden en módulo.

Hooke observó una relación proporcional entre la fuerza elástica y el estiramiento del resorte.

Además la fuerza elástica se opone al desplazamiento, por lo que planteo:

. ∆

Donde K, la constante elástica, depende solamente del resorte.

Resortes en condición estática

El estudio de resortes en condiciones estáticas se centra en dos condiciones bien estudiadas:

resortes en serie y resortes en paralelo.

En serie:

Si tenemos resortes en serie y queremos estudiar al sistema como un único resorte tenemos:

∆ ∆ ∆


El primer resorte funciona como un vínculo transmitiendo la fuerza, entonces: .

De ahí se deduce:

1 1 1

.

En paralelo:

∆ ∆ ∆

Y además:

. ∆ ∆ ∆

Resortes en movimiento – Modelo oscilatorio

Si se comprime o estira un resorte y se lo suelta, este oscila alrededor de una posición de

equilibrio.

Planteando Newton:

.

.

La solución de esta ecuación diferencial debe ser una función que cambie de signo una vez al

derivarla dos veces… seno y coseno resuelven la ecuación… y con un poco de algebra…


. cos .

A y ϕ son las dos “constantes de integración” (son las constantes de la CL de las soluciones.

A, la amplitud, da cuenta de que tan grande es la oscilación alrededor del punto de equilibrio.

El término que acompaña a t, es la frecuencia de oscilación, y da cuenta de que tan

rápido cambia de fase el seno o coseno que solucionan la ecuación diferencial. Por último, ϕ,

la fase o desfasaje, indica donde comienza la oscilación. A y ϕ dependen de las condiciones

iniciales del sistema.

Energía y trabajo

Definición: el trabajo de una fuerza es la integral de línea de la fuerza sobre la trayectoria

donde se aplica la misma.

Se define la energía cinética como el trabajo de todas las fuerzas:

∆ . . .

Para resolver esta integral tenemos que utilizar el siguiente cambio de variables:

. .

∆ . . .

∆ . .

∆12

Por otra parte, todas las fuerzas conservativas derivan de un campo conservativo (es

gradiente de una función C1, la difergencia del campo es 0 y la integral del campo sobre

cualquier curva cerrada da 0). Se define entonces la energía potencial (Chimento usa V, pero

V también se usa para potencial gravitatorio… otros autores usan U).

∆ .


. ∆

Entonces:

∆ ∆

A esta suma de energías se la denomina energía mecánica. Si el trabajo de las fuerzas no

conservativas en nulo, ya sea porque no las hay o porque no realizan trabajo, entonces, la

energía mecánica no varía, se conserva.

Puntos de equilibrio estables e inestables

Si ∑ 0en un sistema, entonces 0 y se dice que ese punto es un punto de equilibrio.

En los puntos de equilibrio se extrema la energía potencia. Estos puntos pueden ser máximos

o mínimos de energía, para estudiarlo aproximamos la energía potencial con su polinomio de

Taylor alrededor del punto de equilibrio.

12

Derivando la expresión anterior:

0 012

. 2

. .

. .

Si realizamos el cambio de variablo , .

. 0

La ecuación corresponde a la ecuación de un oscilador armónico si el factor que acompaña a

Z es positivo. Si se da esto, tenemos un mínimo de energía, la posición oscila y el equilibrio es

estable.


Si tuviésemos un máximo de energía la ecuación se resuelve con cosh y senh y la solución no

tiene un comportamiento oscilante. Entonces el equilibrio es inestable.

Conservación del impulso lineal

. .

Derivando :

. .

.

Todas las fuerzas internas son pares de acción y reacción (por eso son internas), entonces

∑ 0.

Si ∑ 0, entonces ∑ .

(El análisis correcto debe hacerse con vectores, pero es similar, y se concluye con él que la

conservación puede darse en algunas direcciones y en otras no.)

Choque unidimensional

Choque elástico

Si chocan dos cuerpos con velocidad constante, las únicas fuerzas exteriores son peso y

normal que se cancelan en todo momento, entonces hay conservación del impulso lineal

. . . .

. .


Por otra parte, como el choque es elástico los cuerpos no se deforman, entonces no aparecen

fuerzas no conservativas que disipen trabajo (las normales son ortogonales a la trayectoria),

se conserva la energía cinética.

∆ 012

12

Dividiendo la expresión anterior por la obtenida planteando conservación del impulso lineal:

Choque plástico

En este choque no hay conservación de la energía. Las partículas se unen en una sola masa

con una única velocidad final.

. . .

. .

Se puede calcular la energía disipada en el choque planteado ∆ y reemplazando.

Conservación del impulso angular

0

Para un sistema de dos partículas 0 porque las fuerzas internas están en dirección radial y coinciden en módulo, entonces:

∆ . . 0

Si 0, entonces .


Teorema de las áreas‐ Velocidad areolar

Consideremos un sistema de dos masas rotando.

Si Δt→0, las trayectorias se asemejan a una recta.

∆∆

2. . ∆ .

2

∆. . ∆ .

2

∆ ∆. . . ∆ .

2. . . ∆ .

2

∆ ∆∆2. . . . . . .

∆ ∆∆2.

Como no hay fuerzas externas, su momento es nulo entonces se conserva el impulso angular,

.

es la velocidad areolar.

Si consideramos el caso de la tierra orbitando alrededor del sol, es constante, y si la tierra

está más cerca del sol, debe ir más rápido, para cubrir la misma área, de ahí la diferencia en

la duración del verano en los hemisferios norte y sur.


Cálculo del impulso angular desde un punto fijo respecto al CM

(Se puede probar que hay conservación con respecto a un punto fijo al CM o que se mueve

con el CM pero no se dio en la teórica, es algo similar a esto pero derviando…)

El último término es el momento angular del centro de masa y es constante.

Introducción al momento de inercia (comparar L con Ω)

La velocidad angular para un cuerpo rígido es una omega mayúscula porque físicos.

. . .

ΩΔΔ

≅ .1∆

≅ .∆

∆.

∆.

Entonces….


Ω.

Por otro lado tenemos:

ΩΩ

AXBXC=(B.A)xC‐(C.A)xB

. Ω . Ω

En un MCU el impulso angular y la velocidad angular son colineales, pero en el caso más

general no, entonces podemos pensar en el momento de inercia como un operador que

transforma un vector en otro. Como es una transformación lineal es lógico pensar que este

operador, el momento de inercia (I), es una matriz (o un tensor si consideramos cuerpos

tridimensionales).

Momento de inercia

. . Ω

. . Ω. .

.

. . . 0

.


. Ω

Hay ua TL sobre la velocidad angular… entonces es lógico pensar en un tensor.

Ω. .

/2(pero Chimento no lo aclara, define I como un mb^2 , pero ese b siempre es r porque

son ortogonales r y omega en un cuerpo en 2D…)

Para un cuerpo bidimensional el momento de inercia . es una matriz,

diagonalizable. Si la rotación se da en una única dirección se puede escribir a la misma en la

base de autovectores de la matriz

0 00 00 0

0 00 00 0

ΩΩΩ

Entonces cada coordenada es un producto de un escalar por la coordenada correspondiente

de la velocidad angular y se puede tratar al momento de inercia como un escalar.

Gravitación

Newton planteó que entre dos masas aparece una fuerza atractiva proporcional a las masas

e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las masas.

∝.

(no confundir con ley de Coulomb, esta fuerza es atractiva en todos los casos)

..

6.67 10.

Para masas que se mueven cerca de la superficie de la tierra es válido considerar que la

distancia es constante y coincide con el radio de la tierra, entonces todos los cuerpos tienen

la misma aceleración, g.


. ..

⇒

.

¿Cómo varía la aceleración de la gravedad con la distancia?

Dentro de la tierra, asumimos una densidad uniforme (y que la masa que está más alla de la

distancia donde se estudia G no influye, esto es válido porque la densidad aumenta al

acercarse al núcleo y los errores introducidos por la hipótesis se compensan).

DENTRO:

. . . 43 . .43 .

. .43 .

1. . .

1. .

FUERA

.

Velocidad de escape

¿Qué velocidad de escape tiene que tener una masa m para escapar de una masa M?

.

. ..

Haciendo un reemplazo ya explicado .

. .

Integrando…


.2

Cuando 0, ,

.2

Chimento hace otra cosa

Satélite sincrónico

.

. .

. . 2 .

En este caso queremos que la velocidad angular sea constante y que la distancia sea constante

(sincrónico), entonces:

.

Fm.M. Gr

. .

Despejando: .


Teorema de Steiner o de ejes paralelos

. . ′

. . . ′. .

.

. ′. . 0, . . 2

Condición de rigidez

La distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido es constante.

‖ ‖

Como la distancia entre dos puntos del rígido siempre es constante, entonces un punto solo

pude rotar con respecto a otro, pero no trasladarse.

Ω r

Ω r

Ω , (Eq. 1)

Como el CM puede trasladarse, se suele escribir la velocidad de un punto del cuerpo como:

Ω r (Eq. 2)

CONDICIÓN DE RIGIDEZ

. 0 r . Ω r


Veamos ahora que la velocidad angular es la misma desde cualquier punto. Si coinciden, se

pude escribir la ecuación (1) a partir de la (2).

Ω

Ω r

Ω Ω r

Ω r

Ω r ,

Teorema fundamental de la hidrostática

Como estudiamos un caso estático, la suma de las fuerzas es nula:

0 ∆ . .

∆ .

∆ . ∆ .

∆∆

En el caso límite:

0


Arquimedes

Todo cuerpo sumergido en un fluido recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del

volumen de fluido desplazado (fuente: la gallinita dijo eureka)

Pascal

En un fluido la presión se transmite a todas las partículas del fluido y a las paredes del

recipiente que lo contiene. Esto tiene aplicaciones interesantes como: la prensa hidráulica.

Torricelli

Tubo de Torricelli, la medición se basa en el teorema fundamental de la hidrostática.

Enunció un teorema (wiki) que no se ve en clase pero se aplica en los problemas:

La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo

cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de

gravedad del orificio.

Tubos de Venturi y Pitot

Venturi: permite medir la diferencia de presiones, que viene dada por un cambio en la velocidad del

fluido. Hay que plantear: Bernoulli, conservación del caudal e igular las presiones en el tubo en U.

Pitot: Permite medir la velocidad de un fluido planteando Bernoulli.


Meniscos y capilaridad

Θ es el ángulo de contacto, si la superficie se dice hidrofóbica, y no se moja (1). Si

la superficie se dice hidrofílica y se moja (2).

Si la superficie se moja se forma un menisco, y la deformación en la superficie viene dada por

una fuerza. Esta fuerza no puede ser racionalizada como una fuerza discreta porque se da en

todos los puntos del perímetro, por eso se define una tensión:

2

Esta tensión da lugar al fenómeno de capilaridad.

Debido a esta tensión aparece una presión complementaria.

Por el teorema fundamental de la hidrostática:

. cos . 2

1.2 . cos


La altura que alcanza un líquido dentro de un tubo capilar es inversamente proporcional al

radio del tubo.

Hidrodinámica

Nosotros estudiamos fluidos bajo las siguientes suposiciones:

1‐ Flujo estacionario: para un punto determinado del fluido la velocidad no varía con el

tiempo

2‐ Fluido irrrotacional: en todo punto del fluido la velocidad angular es nula

3‐ Fluido incompresible: ∆ 0. Sirve cuando se estudian líquidos, o gases en condiciones isocóricas o isobáricas (trabajo reversible). Se considera que si la

velocidad del gas es 0,3 se puede aplicar la suposición.

4‐ Fluido no viscoso. La viscosidad introduce fuerzas tangentes al flujo y disipa energía

(no se puede aplicar Bernoulli)

Líneas de corriente

Las líneas de corrientes son las familias de curvas que son instantáneamente tangentes al

vector velocidad en cada punto del fluido.

((streaklines son las líneas que dan cuenta de la trayectoria de una partícula en el fluido))

¿Es posible que dos líneas de corriente se intersecten? No, por definición las L.C. son

tangentes a la velocidad, si se intersectan en el punto P, entonces no está definida.

Conservación del caudal

Como las líneas de corriente no se intersectan, no entran ni salen del tubo, entonces la masa

permanece constante.

∆ . . ∆ . .

. . á


Si se traba con fluidos incompresibles, la densidad es constante y se utiliza el caudal

volumétrico:

. é

Teorema de Bernoulli

El Teorema de Bernoulli plantea conservación de la energía para fluidos sobre una misma

línea de corriente.

∆12∆ .

∆ . .

. . . ∆ .∆

. . . ∆ .∆

12∆ . ∆ . . .

∆.∆

Reordenando los términos:

2.

2

¿Por qué vuela un avión?


→

Por Bernoulli:

2 2

2

0

Entonces el ala experimenta una fuerza neta hacia arriba.

Viscosidad y fluidos turbulentos

. .

La fuerza viscosa genera un gradiente de velocidades en un tubo se sección S.

Se estudia el flujo laminar como un flujo de Couette, donde hay dos platos y el superior se

mueve arrastrando al fluido.

La fuerza que aparece es proporcional a la sección y a la velocidad del plato superior, e

inversamente proporcional al diámetro del tubo.

. .

Stokes:

6


La velocidad límite para una esfera que cae en un líquido sale de plantear Newton (peso

empuje y fricción) y considerar que cuando se alcanza la velocidad límite la aceleración es

nula.

Fluidos turbulentos

Los fluidos turbulentos se pueden estudiar con el modelo experimental de Reynolds.

. .

Si 2000

3000 é

é

Reflexión

En el año 200AC Hero estudió el fenómeno de reflexión. ¿Qué camino hace la luz desde un

objeto hasta el ojo cuando la imagen se ve en un reflejo? …el de menor distancia.

Si la luz se refleja en el punto A, la distancia que recorre la luz es .

Nosotros sabemos que al reflejarse una imagen en un espejo plano la vemos al doble de la

distancia que hay entre nosotros y el espejo, entonces los triángulos y ’ son

congruentes.

Entonces: ′ Por la desigualdad triangular ′ ′, entonces la menor

distancia se logra cuando P, A y S’ están alineados.


Se observa entonces que

Refracción: Ley de Snell

En 1657 Fermat estudió el comportamiento de rayos que penetran en otro medio.

Él propuso que el tiempo que tardaba un rayo en ir de un punto a otro era mínimo. Esta idea

implica diferentes velocidades de propagación en los distintos medios, porque sino no se

diferenciaría del primer principio de la reflexión.

√

X parametriza o “individualiza” (versión chimento) a las trayectorias. Al derivar busco la

trayectoria donde el tiempo es mínimo (no hay que decir que se minimiza el tiempo).


Como busco la trayectoria de tiempo mínimo, 0.

012

.2

√

12

.2

1.√

1.

1.

1.

, í ó

Entonces se puede reescribir la igualdad como:

. .

Principio de Fermat

El camino óptico la longitud del camino que recorrería la luz en el vacío en el tiempo

transcurrido en ir desde el punto A hasta el punto B.

. .

En la refracción se minimiza el tiempo transcurrido, entonces se minimiza también el camino

óptico.

En la reflexión, n=cte, entonces al minimizar la distancia, también se minimiza el camino

óptico.

En ninguno de los casos fue necesario verificar que era un mínimo, por ende se habla de

extremar el camino óptico.

El Principio de Fermat establece que al ir un rayo de luz del punto al punto , debe

recorrer una longitud de camino óptico, tal que la misma sea estacionara con respecto a

variaciones del mismo ( 0).

Si el cambio de índice de refracción se da por un cambio gradual el mismo medio, como por

ejemplo un gradiente de temperaturas, entonces la luz se desvía dando lugar a lo que

conocemos como “espejismos”.


Reflexión total interna

Si un rayo incide en un medio de menor índice de refracción, al aumentar el ángulo de

incidencia, el ángulo de reflexión aumenta cada vez más hasta que sale perpendicular a la

normal, tangente a la superficie. El ángulo de incidencia que logra esto se llama ángulo crítico.

Los rayos que inciden con un ángulo mayor que el ángulo crítico no son transmitidos, y toda

la luz se refleja. Esto se conoce como fenómeno de reflexión total interna y está presente en

iluminación de piletas y en los cables de fibra óptica.


Dioptras

Una dioptra es un aparato óptico de forma esférica.

. . . .

2 . . cos

2 . . cos

(ϕ es ahora el ángulo de la parametrización, el que “individualiza” las trayectorias)

. .0 .

12 .1. 2 . . .

12.1. 2 . .

. . . .

. 1 . 1

1 . .

Bajo la aproximación paraxial, los ángulos de incidencia son muy pequeños, pegan casi en el

centro de la dioptra y entonces ~ ~ .

El FOCO OBJETO es el punto donde, de encontrarse el objeto, la imagen se formaría en el

infinito, entonces:

0

.

El FOCO IMAGEN es el punto donde se forma una imagen si los rayos provienen del infinito:


0

.

Vemos que para una dioptra, foco objeto y foco imagen difieren.

Lentes delgadas

Para estudiar lentes delgadas asumimos que la imagen de la primera dioptra es el objeto de

la segunda.

1‐

1′′

1

2‐

S’’ es la posición de la imagen de la primera dioptra, como se encuentra en el espacio imagen

de la segunda, ‐S’’ es la posición del objeto de la segunda dioptra.

′′1 1

Sumando las expresiones anteriores:

1 11

1 1

En este caso los focos coinciden:

.11


Aumentos

Hay dos tipos de aumentos, un aumento transversal, que en todos los casos es , y

se puede calcular a partir de triángulos semejantes.

Se define el aumento angular que produce el sistema óptico para el observador como el

cociente entre el ángulo que ocupa en el campo de visión la imagen y el ángulo que ocupa el

objeto visto sin el sistema óptico.

≅tantan

Xpp es la distancia focal normal del ojo, el valor estándar para Xpp es 10in=254mm.

Lupas, microscopios y telescopios

Una lupa consiste en una lente que tiene un aumento angular, al llegar con otro ángulo al ojo,

la imagen que se forma sobre la retina es más grande, para que funcione el objeto debe

encontrarse en el foco, sino el aumento sería transversal (en la práctica no se ve nada por las

aberraciones cromáticas).

Un microscopio está compuesto por dos lentes, un objetivo, que es una lente delgada

convergente, y un ocular, que funciona como una lupa. Es importante que la imagen del

objetivo se forme en el foco del ocular.

Microscopio

El telescopio galileano o refractario consiste en una gran lente convergente que junta los

rayos – que provienen del infinito‐ en el foco imagen, luego un ocular agranda la imagen

formada. En estos aparatos, el foco objeto del ocular debe coincidir con el foco imagen del

objetivo.


Telescopio refractor

El gran problema de estos microscopios es la fabricación del objetivo, deben ser lentes muy

grandes y sin imperfecciones y son tan pesadas que se rompen fácilmente…

Un telescopio newtoniano o reflector consiste en un único espejo cóncavo, convergente que

concentra los rayos casi paralelos en su foco. La imagen formada se puede ver directamente

o puede ser reflejada en un pequeño espejo plano.

Telescopio reflector

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