INTRODUCCION La Física trata sobre las relaciones entre cantidades observadas. Establecer estas relaciones

permite que podamos anticipar lo que ocurrirá con una cantidad cuando la otra varía de una

forma determinada. Una forma básica para establecer la relación entre dos cantidades

medidas es representarlas mediante una gráfica. En el caso del estudio del movimiento de los

objetos, vamos a querer establecer relaciones entre las siguientes cantidades: el tiempo que le

toma a un objeto moverse de un punto a otro, la rapidez con que se mueve y su aceleración, si

tiene alguna.

Las gráficas son representaciones pictóricas de pares ordenados de puntos. En cinemática se

refiere a la representación de la relación de tiempo y espacio del movimiento de los

objetos. Esta representación se hace en un plano cartesiano. El movimiento de una partícula

se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo momento. Las gráficas

presentan la relación entre los datos de la posición, velocidad y aceleración del objeto. Debes

observar muy bien los ejes, las variables y las unidades utilizadas en las gráficas que analizarás.

OBJETIVOS Conocer las bases para una buena representación gráfica.

Utilizar adecuadamente el papel milimétrico, logarítmico y semilogarítmico.

Descubrir el comportamiento de un sistema físico a partir de la evaluación de los datos

obtenidos en un experimento.

Hacer uso de las técnicas del análisis gráfico, incluyendo las técnicas de linealización y

ajuste por el método de cuadrados mínimos para un comportamiento lineal de los

datos.

Obtener nuevos datos por interpolación y extrapolación.

DESCRIPCION TEORICA DEL TEMA Las gráficas más comunes son las que se obtienen usando un sistema de ejes cartesianos. Es

costumbre que el eje de las abscisas (eje x) represente a la variable independiente o la variable

controlada y en el eje de las ordenadas (eje y) la variable dependiente, aunque en algunos

casos podría convenir lo contrario. Se hace referencia a la gráfica como Y en función de X, Y

contra X, Y versus X o como Y vs. X. Las cantidades que representan los ejes se escriben,

preferentemente, con símbolos seguidos de las unidades entre paréntesis o después de una

diagonal. Las escalas se deben escoger de modo que se utilice eficientemente el espacio

destinado a la gráfica, y que permitan una lectura fácil de los puntos experimentales; la

mínima división de la escala debe ser en números sencillos (múltiplo de 2, 5, o 10).

DESCRIPCION DE LOS INSTRUMENTOS PAPEL MILIMETRADO:

Es papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas según una distancia determinada

(normalmente 1 mm en la escala regular). El papel milimetrado se usa para graficar las

variables X; Y, cuando estas cumplen con la ecuación de una recta:

Y=mX+b

donde:

m es la pendiente de la recta; y b es el valor del término independiente, correspondiente

al punto de corte con el eje Y de la extrapolación de la recta óptima.

PAPEL LOGARITMICO:

Los datos que siguen una variación similar a una función potencial, y=a·xn, o aquella serie de

datos cuyo rango abarca varios órdenes de magnitud son apropiados para una representación

logarítmica. Por ello, este tipo de representación es muy usada en ciencias e ingeniería.

Cualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la expresión podrá

representarse en forma de línea recta, , si usamos

representación logarítmica ya que ambas expresiones son equivalentes.

PAPEL SEMILOGARITMICO:

Es una representación gráfica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que

el eje de abscisas o el eje de ordenadas tienen escala logarítmica mientras el otro eje tiene

una escala lineal o proporcional.

Si la representación se hace manualmente, se emplea papel semilogarítmico, que posee la

escala con las marcas adecuadas para este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos

decimales, de base 10.

PROCEDIMIENTO 1. En la siguiente tabla se muestran datos experimentales de pulsaciones cada 10 segundos

de adulto promedio en estado basal.

A partir de la tabla construimos el siguiente gráfico (4.1.1.): (eje de ordenadas= tiempo en

segundos; eje de las abscisas=número de pulsaciones)

en seg

Σ

Xi (Tiempo en s) 10 20 30 40 50 60 70 280

Yi ( No. de pulsos) 13 25 39 53 64 79 91 364

A partir del gráfico:

𝑚 = tan𝜃 =∆𝑦

∆𝑥 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

⇒ 78

60= 1.3

𝑏 = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠:

⇒ 0

Para comprobar aplicamos el método de ajuste por mínimos cuadrados (4.1.2.), donde

primero rellenamos la tabla anterior de la siguiente manera para facilitar el procedimiento:

Σ

Xi (Tiempo en s) 10 20 30 40 50 60 70 280

Yi ( No. de pulsos) 13 25 39 53 64 79 91 364

Xi2 100 400 900 1600 2500 3600 4900 14000

XiYi 130 500 1170 2120 3200 4740 6370 18230

𝑚 =𝑁.∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖

𝑁.∑ 𝑥𝑖2

𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2

𝑚 =7 × 18230 − 280 × 364

7 × 14000 − (280)2

𝑚 =127610 − 101920

98000 − 78400

𝑚 =25690

19600= 1.31…

𝑏 =∑ 𝑥𝑖

2𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖 −∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑖 ∑ 𝑥𝑖𝑖

𝑁.∑ 𝑥𝑖2

𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2

𝑏 =14000.364 − 18230.280

7.14000 − (280)2

𝑏 =5096000 − 5104400

98000 − 78400

𝑏 =−8400

19600= −0.14…

𝑦 = 𝑚. 𝑥 + 𝑏

𝑦 = 1.3𝑥 − 0.14

2. En la siguiente tabla se muestra la rapidez de propagación de un pulso eléctrico a lo largo

de una fibra nerviosa en función de su diámetro.

V (m/s) 15,8 18,8 25,1 30,2 37,6 45,7 50,1 63,1 70,8 79,4

d (m) 2,0 3,2 5,0 7,9 11,2 15,8 20,0 28,2 39,8 50,1

El siguiente gráfico corresponde a los datos en un papel milimetrado (4.2.1.):

El gráfico de los datos sobre el papel logarítmico se adjunta al final del informe (4.2.2.), a partir

del gráfico se determina la Función potencial:

𝑦 = 𝑘. 𝑥𝑛

Desarrollando:

log 𝑦 = log 𝑘. 𝑥𝑛

log 𝑦 = log 𝑘 + log 𝑥𝑛

log 𝑦 = log 𝑘 + 𝑛. log 𝑥

log 𝑦 = 𝑛. log 𝑥 + log 𝑘 Lo cual tiene la forma de: 𝑦 = 𝑚 . 𝑥 + 𝑏

Por lo tanto:

𝑚 =∆log𝑦

∆log𝑥= 𝑛

log 𝑘 = 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = 𝑏

Reemplazando los datos numéricos en las ecuaciones:

𝑛 =log 79,4 − log 15,8

log 50,1 − log 2,0= 0,5…

Del gráfico obtenemos que k=11; por lo tanto:

𝑦 = 11𝑥0,5

3. En la siguiente tabla se muestra la tasa de recuento de una sustancia radiactiva en el

tiempo.

t(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cuentas/min 455 402 356 315 278 246 218 193 171 151 133

Función potencial:

𝑦 = 𝑦0. 𝑒−𝜇𝑥

Desarrollando:

log 𝑦 = log 𝑦0. 𝑒−𝜇𝑥

log 𝑦 = log 𝑦0 + log 𝑒−𝜇𝑥

log 𝑦 = log 𝑦0 − 𝜇𝑥. log 𝑒

log 𝑦 = log 𝑦0 − (𝜇. log 𝑒)𝑥

log 𝑦 = −(𝜇. log 𝑒)𝑥 + log 𝑦0

𝑦 = 𝑚 . 𝑥 + 𝑏

Por lo tanto:

𝑚 =∆log𝑦

∆𝑥= 𝜇. log 𝑒

𝑏 = 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = log 𝑦0

De la gráfica (ver gráficas adjuntas al final del informe) reemplazando:

𝑚 =log133 − log 455

10 − 0= 𝜇. log 𝑒

μ = −0,05…

𝑏 = 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = log 𝑦0

Dando la forma:

𝑦 = 510. 𝑒−0.05𝑥

CUESTIONARIO 1) Utilizando la gráfica obtenida en 4.1.1. y 4.1.2. Hallar:

Para t = 75 s, el número de pulsos arteriales. (Observación y desarrollo a partir de la

gráfica)

1.3 =75 − 70

𝑦 − 91

1.3(𝑦 − 91) = 5

1.3𝑦 − 118.3 = 5

𝑦 =123.3

1.3= 94.84

Para t = 120 s, el número de pulsos arteriales. (método de mínimos cuadrados)

𝑦 = 1.3 × 120 + (−0.14)

𝑦 = 155,86

De los resultados anteriores, ¿Cuál de ellas es el más confiable?

El más confiable es el segundo, debido a que utiliza el método de ajuste por mínimos

cuadrados, debido a que este método disminuye la desviación entre los datos de la recta y

mantiene un perfil confiable de respuesta comparando con la utilización directa de

ecuaciones que parten del mismo gráfico. En caso de utilizar el método de desarrollo a

partir del gráfico, se debe tener en consideración la cercanía del punto respecto a la

pendiente que cruza sobre los demás puntos para obtener un resultado más o menos

confiable.

2) Utilizando la gráfica obtenida en 4.2.1 y 4.2.2. Hallar:

Para d = 6,0 µm, la rapidez del impulso eléctrico.

Para d = 54 µm, la rapidez del impulso eléctrico.

De los resultados anteriores, ¿Cuál de ellas es el más confiable?

3) Halle la ecuación empírica de las variables presentes en la tabla 2.2 utilizando el método

de ajuste por mínimos cuadrados.

d (m) 2,0 3,2 5,0 7,9 11,2 15,8 20,0 28,2 39,8 50,1

V (m/s) 15,8 18,8 25,1 30,2 37,6 45,7 50,1 63,1 70,8 79,4

Convirtiendo en logaritmos:

Σ

d

(m) 0,30 0,51 0,70 0,90 1,05 1,20 1,30 1,45 1,60 1,70 10,70

V (m/s)

1,20 1,27 1,40 1,48 1,58 1,66 1,70 1,80 1,85 1,90 15,84

𝑥2 0,09 0,26 0,49 0,81 1,10 1,44 1,69 2,10 2,56 2,89 13,42

x.y 0,36 0,64 0,98 1,33 1,65 1,99 2,21 2,61 2,96 3,23 17,96

𝑛 = 𝑚 =𝑁.∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖

𝑁.∑ 𝑥𝑖2

𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2

𝑛 =10 × 17,96 − 10,7 × 15,84

10 × 13,42 − (10,7)2= 0,5…

𝑏 =∑ 𝑥𝑖

2𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑖 ∑ 𝑥𝑖𝑖

𝑁.∑ 𝑥𝑖2

𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2

𝑘 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 =13,42 × 15,84 − 17,96 × 10,7

10 × 13,42 − (10,7)2= 1,04…

𝑘 = 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 (1,04)

𝑘 = 10,96

4) Halle la ecuación empírica de las variables presentes en la tabla 2.3 utilizando el método

de ajuste por mínimos cuadrados.

t(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cuentas/min 455 402 356 315 278 246 218 193 171 151 133

Σ

t(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

Cue/m 2,66 2,60 2,55 2,50 2,44 2,39 2,34 2,29 2,23 2,18 2,12 26,31

𝑥2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

x.y 0 2,60 5,10 7,49 9,78 11,95 14,03 16,00 17,86 19,61 21,24 125,68

𝑛 = 𝑚 =𝑁.∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖

𝑁.∑ 𝑥𝑖2𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2

𝑛 =11 × 125,68 − 55 × 26,31

11 × 385 − (55)2 =→ 𝜇. log 𝑒 = −0,05…

𝑏 =∑ 𝑥𝑖

2𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑖 ∑ 𝑥𝑖𝑖

𝑁.∑ 𝑥𝑖2𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2

𝑘 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 =385 × 26,31 − 125,68 × 55

11 × 385 − (55)2= 2,66…

𝑘 = 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 2,66

𝑘 = 457,09

CONCLUSIONES Para analizar los datos experimentales, siempre conviene graficarlos. Si los puntos están

contenidos en una recta lo que resta por hacer es determinar, a partir de la gráfica, los

parámetros que la describen. Por el contrario, si los puntos experimentales nos e ajustan a una

recta, sino más bien a una curva, entonces se recurre a graficarlos usando escalas logarítmicas

en ambos ejes coordenados o solamente en uno y escala lineal en el otro. El propósito es que,

con el uso de gráficas log-log o semilog, los puntos describan una recta ya que su identificación

es muy fácil e indudable. Otra manera de lograr que los puntos experimentales estén sobre

una recta es mediante un adecuado cambio de variables, el cual usualmente es sugerido por el

análisis teórico del problema.

Todas las curvas de la forma y=axn pueden ser transformadas para que sean líneas rectas

usando escalas logarítmicas en ambos ejes coordenados. La otra familia de curvas que pueden

ser convertidas en rectas son las que tienen la forma analítica y=abcx. Es usual que el

parámetro b sea sustituido por el número 10 o por el número e; en el primer caso el cálculo se

facilita usado logaritmos decimales y en el segundo al usar logaritmos naturales. Se obtiene

una recta al graficar con escala logarítmica en uno de los ejes coordenados.

BIBLIOGRAFÍA Análisis gráfico. Parte I. Escalas lineales y logarítmicas. Angel Manzur Guzmán (Depto. de

Física ) http://www.izt.uam.mx/newpage/contactos/anterior/n75ne/analisis-grafico1.pdf

ANÁLISIS DE GRAFICAS http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/irs-

306/contenido/lab3.html

Margarita E. Patiño Jaramillo. APRENDIENDO A GRAFICAR Y ANOTAR MEDIDAS

http://www.slideshare.net/margaritapatino/aprendiendo-a-graficar