ANALISIS GRAFICO

Anlisis de las grficasdel movimiento rectilneo uniforme.

Considera a un objeto que se mueve en lnea recta, como por ejemplo un automvil que viaja por una autopista recta. Imagina que tomamos alguna informacin, tal como su posicin en momentos distintos y de acuerdo a la siguiente figura:

El Punto A ser el punto el que tomaremos como referencia, o como origen. La siguiente tabla ilustra los datos de posicin y tiempo observados.

Observa que a medida que el tiempo transcurre el auto se mueve de una forma uniforme. Si tomamos una foto del auto cada 10 segundos de su movimiento rectilneo y sobreponemos cada foto sobre la otra obtendramos la imagen que ves a la derecha. Podemos incluir unos puntos rojos para marcar su posicin promedio cada 10 segundos como ilustrado. Si eliminamos el auto y simplificamos nuestro modelo obtenemos la siguiente figura:Esto significa que podemos marcar puntos a travs del transcurso del tiempo. Debemos mantener el incremento del tiempo constante para observar si hay cambios en el incremento de la posicin del objeto.Posicin y desplazamientoDebemos diferenciar entre lo que es posicin y desplazamiento. La posicin de acuerdo al diccionario de la Real Academia es la postura, actitud o modo en que alguien o algo est puesto, es decir, tiene que ver con la localizacin de ese punto en el espacio. En Fsica la posicin es determinada con relacin a un eje el cual es marcado en unidades de longitud en el caso del ejemplo es en metros y se extiende indefinidamente en posiciones opuestas. En la siguiente imagen vemos que le podemos dar un nombre a ese eje. Podemos llamarlo x y a la derecha tiene la direccin positivas, a la izquierda la direccin es negativa, por lo tanto en el caso del movimiento rectilneo medimos la posicin con relacin al origen.

Con los datos del ejemplo anterior, hagamos una grfica de posicin versus tiempo. La grfica tiene la siguiente forma:

Con este grafico nos preguntamos los siguientesQu podemos decir sobre la forma en que se mueve el objeto? Cmo podemos representar este movimiento mediante una ecuacin matemtica? En cual posicin se encuentra el auto, luego de 20 segundos?LAS FUERZAS Y SU MEDICIN: LEY DE HOOKE

INTRODUCCIN

Para poder desarrollar esta actividad debemos tener presente que la parte de la mecnica que estudia el equilibrio de los cuerpos, bajo la accin de fuerzas, se denomina ESTTICA, y se la puede definir como: parte de la Mecnica que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo, sobre el que actan fuerzas, permanezca en equilibrio. Para comprender esta experiencia, ser necesario tener conocimientos bsicos de Fuerza (representacin grfica, unidades, efectos que produce sobre los cuerpos, peso, etc) La Ley de Hooke describe fenmenos elsticos como los que exhiben los resortes. Esta ley afirma que la deformacin elstica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformacin, siempre y cuando no se sobrepase el lmite de elasticidad.

Robert Hooke (1635-17039, estudi, entre otras cosas, el resorte. Su ley permite asociar una constante a cada resorte. En 1678 publica la ley conocida como Ley de Hooke: La Fuerza que devuelve un resorte a su posicin de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza de esa posicin.

F = K. D X

Donde: F = fuerza aplicada al resorteK = constante de proporcionalidadD x = variacin de longitud del resorte

ELASTICIDADYa que en el armado del dispositivo utilic un material elstico (resorte).La elasticidad es la propiedad de un material que le hace recuperar su tamao y forma original despus de ser comprimido o estirado por una fuerza externa. Cuando una fuerza externa acta sobre un material causa un esfuerzo o tensin en el interior del material que provoca la deformacin del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformacin es directamente proporcional al esfuerzo. Esta relacin se conoce como ley de Hooke, as llamada en honor del fsico britnico Robert Hooke, que fue el primero en expresarla. No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es vlida. El mximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina lmite de elasticidad.

La relacin entre el esfuerzo y la deformacin, denominada mdulo de elasticidad, as como el lmite de elasticidad, estn determinados por la estructura molecular del material. La distancia entre las molculas de un material no sometido a esfuerzo depende de un equilibrio entre las fuerzas moleculares de atraccin y repulsin. Cuando se aplica una fuerza externa que crea una tensin en el interior del material, las distancias moleculares cambian y el material se deforma. Si las molculas estn firmemente unidas entre s, la deformacin no ser muy grande incluso con un esfuerzo elevado. En cambio, si las molculas estn poco unidas, una tensin relativamente pequea causar una deformacin grande. Por debajo del lmite de elasticidad, cuando se deja de aplicar la fuerza, las molculas vuelven a su posicin de equilibrio y el material elstico recupera su forma original. Ms all del lmite de elasticidad, la fuerza aplicada separa tanto las molculas que no pueden volver a su posicin de partida, y el material queda permanentemente deformado o se rompe.Como ya dije anteriormente, la deformacin que experimenta un cuerpo es directamente proporcional al esfuerzo producido. Dicha relacin entre ambas magnitudes se la conoce como LEY de HOOKE

En este grfico se muestra una sntesis de lo que trata dicha ley:

Esta grfica muestra el aumento de longitud (alargamiento) de un alambre elstico a medida que aumenta la fuerza ejercida sobre el mismo. En la parte lineal de la grfica, la longitud aumenta 10mm por cada newton (N) adicional de fuerza aplicada. El cambio de longitud (deformacin) es proporcional a la fuerza (tensin), una relacin conocida como ley de Hooke. El alambre empieza a estirarse desproporcionadamente para una fuerza aplicada superior a 8 N, que es el lmite de elasticidad del alambre. Cuando se supera este lmite, el alambre reduce su longitud al dejar de aplicar la fuerza, pero ya no recupera su longitud original.

EL PNDULO SIMPLE:

RESUMENSe estudia la relacin que existe entre el perodo de un pndulo con el largo del hilo y con su masa. Tambin se estudia la dependencia de la amplitud con la masa y se encuentra una relacin entre ambas.

INTRODUCCINEl fin de este experimento es analizar el comportamiento de un pndulo simple ante la variacin de su largo y su masa. Para ello se miden el perodo (T) en distintas ocasiones. Esto se realiza variando dichos parmetros por separado, es decir, se realiza una medicin donde se vara el largo de la cuerda y otra en donde se vara la masa.Con los datos obtenidos, se desea realizar un anlisis grfico. El mismo se utiliza para averiguar la expresin analtica que relaciona dichos parmetros y el perodo de oscilacin.

PROCEDIMIENTOPara medir los perodos en funcin del largo del pndulo (L), se cuelga una masa de valor constante de una cuerda y a esta se la hace oscilar sin que el ngulo de desplazamiento supere los 10. Luego se toman los perodos de oscilacin para distintos largo de la cuerda.Para medir el perodo del pndulo en funcin de la masa (m) se procede de manera similar al caso anterior pero, esta vez, dejando el largo fijo y cambiando el valor de la masa colgada.Con los datos obtenidos se realizan los grficos de T en funcin de L y de T en funcin de m, tanto en escalas logartmicas como lineales. Tambin se realiza el grfico de en funcin de L.Para estudiar la dependencia de la amplitud con respecto a la masa, se deja constante el largo del hilo y se varan las masas, se intenta obtener por observacin directa alguna relacin lgica entre ambas.Mediante el anlisis de los grficos se averigua si las curvas ajustan a alguna funcin en particular, y luego se procede a determinar la expresin analtica que relaciona los parmetros en cuestin.

RESULTADOS

Al graficar el perodo en funcin de la longitud de la cuerda se obtiene como grfico una curva. Al aplicar ejes logartmicos obtenemos como resultado grfico una recta, de esto concluimos, por observacin directa, que:

T = a

Pndulo Simple Sztejnberg, Rautenberg, Castillo y Ferreira Pons

Figura 1: Log(T) vs Log(L). Observar que el valor del coeficiente de correlacin es prcticamente igual a 1.

Al elevar al cuadrado el perodo y graficarlo en funcin del largo de la cuerda obtenemos como resultado otra recta, de lo que se concluye, por observacin directa, que: T = a

Figura 2: T^2 vs L . Observar el coeficiente de correlacin y la existencia de una ordenada al origen en la regresin.En los grficos de ejes logartmicos tanto como en el que se eleva el perodo al cuadrado los coeficientes de correlacin dan valores prcticamente iguales a uno. Con esto podemos concluir que lo supuesto por observacin directa con los grficos es cierto.Al investigar la dependencia del perodo en funcin de la masa se obtiene un grfico con una recta casi paralela al eje x, con un coeficiente de regresin cercano a uno (R2=0,973).

DISCUSIN Y CONCLUSIN

Se concluye que el perodo en funcin del largo de la cuerda sigue la siguiente relacin:

Donde cada constante tiene un error de 4%. Debido al instrumental utilizado para hacer las mediciones (del perodo y del largo de la cuerda) y a la inelasticidad del hilo utilizado se puede concluir que esta relacin es suficientemente aceptable. Tambin se observa que al haber utilizado una cantidad considerable de largos de hilo distintos la relacin se vuelve ms fidedigna.En cuanto al perodo en funcin de la masa se puede aseverar que la incidencia es mnima. Aunque esto es discutible puesto que slo se pudieron utilizar 3 masas diferentes y no se puede hacer un anlisis representativo con solo 3 masas diferentes.Al observar ambos resultados podemos concluir con cierta veracidad que el pndulo utilizado se comporta prcticamente como un pndulo simple.Cuando se eleva al cuadrado el perodo y se realiza la regresin lineal se obtiene una ordenada al origen que no tiene que aparecer, puesto que si la longitud del hilo es cero no puede haber perodo. Este error se introduce debido a que se mide mal el centro de masa del objeto al final del hilo. La constante aparece indicando la diferencia que existe entre el centro de masa medido experimentalmente y el verdadero centro de masa. Se puede calcular de la siguiente manera: = k(l + l)Ya que la formula obtenida es: = C1 .l +CPara llegar a calcular el l se hace C2/C1

En nuestro caso la diferencia es 0,65 cm.. Esta resulta una buena manera para determinar el centro de masa de cuerpos que conservan simetra con respecto al eje del hilo.Cuando se observan los perodos del pndulo con distintas masas no se observa variacin. En aquellos en donde se aplican masas pequeas la amplitud disminuye considerablemente con respecto a los de mayor masa. Esto se debe a que la prdida de energa, por ms que sea pequea, se vuelve considerable cuando la masa es chica por la poca energa cintica que tiene la masa. Si la masa se hace nula no hay oscilacin, aunque esto no es observable puesto que el hilo posee masa y oscila un poco, pero es posible inferir que si el hilo no tuviese masa no existira la oscilacin.

(A) FUNDAMENTOSe denomina pndulo simple (o pndulo matemtico) a un punto material suspendido de un hilo inextensible y sin peso, que puede oscilar en torno a una posicin de equilibrio. Un pndulo matemtico no tiene existencia real, ya que los puntos materiales y los hilos sin masa son entes abstractos. En la prctica: se considera un pndulo simple un cuerpo de reducidas dimensiones suspendido de un hilo inextensible y de masa despreciable comparada con la del cuerpo. En el laboratorio emplearemos como pndulo simple una esfera metlica suspendida de un fino hilo.

El pndulo matemtico describe un movimiento armnico simple en torno a su posicin de equilibrio, y su periodo de oscilacin alrededor de dicha posicin est dado por la ecuacin siguiente:El Pndulo Simple: determinacin del valor de (g).

siendo L: longitud del pndulo. g: aceleracin de la gravedad local. T: periodo del movimiento para pequeas oscilaciones. Despejando g obtenemos:

Utilizando esta expresin se puede calcular el valor de g sin ms que determinar, para un pndulo dado, la longitud y el periodo. Para obtener mayor precisin, se suelen medir los periodos correspondientes a varias longitudes de pndulo.

ENFRIAMIENTO DE UN CUERPO ESTUDIO DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Estudiamos el enfriamiento de un cuerpo, en nuestro caso un termmetro de mercurio. Para ello calentamos el termmetro y lo dejamos enfriar hasta la temperatura ambiente. Medimos la en funcin del tiempo. Observamos que la temperatura en funcin del tiempo decae exponencialmente. Analizamos este caso usando la expresin de la ley de enfriamiento de Newton.

Introduccin

El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interes por la temperatura, el calor y el punto de fusin de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuacin mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observ que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba ms rpidamente cuando estaba muy caliente, y ms lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton se escribe como:

donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo dT/dt representa la rapidez del enfriamiento, T es la temperatura instantnea del cuerpo, k una constante que define el ritmo de enfriamiento y To es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo.Nuestra tarea en este trabajo es estudiar si la mencionada ley se ajusta a la observacin en el caso del enfriamiento de un termmetro de mercurio.

Si el cuerpo se enfra a partir de una temperatura Ti hasta To y la ley de enfriamiento de un cuerpo es vlida, la ecuacin:

T To = (Ti To) (2)

deber ser adecuada para representar la evolucin de la temperatura, dado que esta ecuacin es solucin de (1).

Mtodo experimental

El cuerpo en estudio es un termmetro de mercurio que mide entre 10C y 110 C con una resolucin de 1 C. Para el experimento calentamos agua hasta que el punto de ebullicin y la colocamos en un termo. Sumergimos el termmetro en el agua y esperamos a que la lectura sea la mxima posible; en nuestro caso: Ti = 76 C. Sacamos el termmetro del agua, lo secamos y comenzamos la lectura y el registro de su temperatura en funcin del tiempo. Al comienzo del experimento lemos el termmetro a intervalos de 3 segundos; luego cada 5, 10, 20 y 30 segundos (dependiendo de la velocidad del enfriamiento) hasta que alcanz la temperatura del medio (aire), To = 26,5 C.

Para graficar descartamos los primeros tres registros, debido a que consideramos muy grande al error de lectura en el tramo inicial de enfriamiento rpido.

Resultados y discusin

En primer lugar graficamos la diferencia de temperatura DT = T To, en funcin del tiempo t, y obtuvimos lo que se observa en la figura 2. Vemos que esta diferencia de temperatura tiende a cero a tiempos largos, cuando el termmetro tiende a estabilizar su lectura al valor de la temperatura del medio circundante.

Figura 2 Grfico en escalas lineales de la diferencia de temperatura T To en funcin del tiempo.

Vemos que si tomamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuacin (2), obtenemos: ln DT = ln (Ti To) kt (3)

La ecuacin (3) indica que un grfico semi logartmico de DT en funcin del tiempo linealiza la representacin grfica (pendiente k y ordenada al origen ln (Ti To)). Entonces, para analizar nuestros datos en el marco de la ley de enfriamiento de Newton, representamos en un nuevo grfico (figura 3) el eje vertical de las temperaturas en escala logartmica y mantenemos al eje de los tiempos en escala lineal.

Figura 3 Grfico semilogartmico de DT en funcin del tiempo.

DiscusinEl grfico semilogartmico de la diferencia de temperatura en funcin del tiempo nos permiti encontrar la ecuacin de la exponencial que queramos verificar. Obteniendo un valor de Ti To 46 C.Por ltimo, encontramos el valor de k = 0,0083 s-1, con el que obtenemos un tiempo caracterstico para el enfriamiento del termmetro:= 1/k = 120 s.El parmetro nos da idea de la rapidez del enfriamiento.GRAFICAS DE ALGUNOS MOVIMIENTOS