Leccion 02 Analisis Grafico

ANALISIS GRAFICO

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)

FACULTAD DE ODONTOLOGADEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS BSICAS

Dr.Erwin F.Haya E.

Cuando estudiamos un sistema biofsico cualquiera,buscamos obtener cambios o respuestas del sistemaante perturbaciones que podemos aplicar en formacontrolada. El anlisis de los resultadosexperimentales nos permitir establecer la relacinentre las variables, para ello, ser muy til obteneruna buena representacin grfica de los datos

Anlisis grafico

una buena representacin grfica de los datosobtenidos.

El mtodo grfico se utiliza para obtener laecuacin entre dos variables que guardan entres una relacin lineal, potencial exponencial ,etc.

Dr.Erwin F.Haya E.

TABLA DE DATOS Para encontrar la relacin entre dos cantidades

fsicas, debemos realizar mediciones experimentalessiguiendo procedimientos y/o protocolos establecidos.

El conjunto de datos se organiza en forma de tablero ados columnas o filas, conocida como tabla de datos.Estos datos contienen toda la informacin del sistemafsico y no deben ser modificadas a pesar que losfsico y no deben ser modificadas a pesar que losresultados no concuerden con nuestras suposicionesiniciales.

Ejm. Que pueden decir sobre la velocidad?

Tiempo (s) 5.49 5.43 5.38 5.61 5.45 5.52 5.53 5.38 5.40 5.27Espacio

recorrido(m.)

27.6 26.8 27.2 28.2 26.7 27.1 27.7 26.5 26.9 26.8

Dr.Erwin F.Haya E.

Variables Son las cantidades fsicas que intervienen en el

experimento y cuyo comportamiento se desea conocer.Las variables pueden ser: dependientes eindependientes.

- Variable Independiente Es la variable que podemos controlar, Se llama

tambin variable de entrada.tambin variable de entrada.- Variable Dependiente

Es aquella variable cuyo valor depende del valor quetoma la variable independiente, es la respuesta delsistema fsico a un cambio en la variableindependiente. Se llama tambin como variable desalida.

Dr.Erwin F.Haya E.

REGLAS PARA TRAZAR GRAFICAS Regla 1. Decidir cual variable es independiente y cual es dependiente. Los

valores que toma la variable independiente se deben representar en el ejehorizontal y los de la variable dependiente en el eje vertical. Junto a cada eje debeaparecer en forma clara el nombre de la variable representada sobre l, con susunidades correspondientes. El origen de los ejes no tiene que coincidirnecesariamente con el (0,0).

Regla 2. Escoger las escalas de tal forma que se puedan representar todos losdatos y la grfica ocupe la mayor parte de la pgina. No es necesario utilizar lamisma escala en ambos ejes.

Regla 3. Localice cada dato en el papel y seale con el lpiz (use smbolos), una Regla 3. Localice cada dato en el papel y seale con el lpiz (use smbolos), unavez que est seguro de no haber cometido error en la localizacin, remarque continta cada punto. Si tiene otro juego de datos para las mismas variables utiliceotro smbolo o color.

Regla 4. Con un lpiz muy agudo trace la lnea que mejor se ajuste a los puntosde los datos. No trate de forzar a la curva para que pase por todos los puntos,algunos de ellos debido a las incertidumbres experimentales quedarn fuera de lalnea.

Regla 5. Titule la grfica, un ttulo adecuado debe resumir de lo que trata lagrfica.

Dr.Erwin F.Haya E.

Dr.Erwin F.Haya E.

Las variables,dependiente eindependiente,obedecen a laecuacin generalde una recta:

y = ax

a = constante

Las variables,dependiente eindependiente,obedecena la ecuacinde una hiprbola:

y =

a = constantexa

La lnea recta no pasapor el origen decoordenadas.La relacinmatemtica queexiste entre lasvariables es:

y = ax + b

a y b = constantes

Las variables,dependiente eindependiente,obedecena la ecuacinde una parbola:

y = ax2

a = constanteDr.Erwin F.Haya E.

FUNCIONES LINEALES Y POTENCIALESFunciones lineales

Una funcin es lineal cuando queda representada enla forma:

y mx b

y mx b

xy

xxyy

m

12

12

y mx b

Dr.Erwin F.Haya E.

ProcedimientoPor ejemplo, se midi la resistencia como funcin de latemperatura para un material hmico y se obtuvo:

(VI) (VD)

# \ cantidad T, 0.1, C R, 0.5, W

1 10 12.3

2 20 12.92 20 12.9

3 30 13.6

4 40 13.8

5 50 14.5

6 60 15.1

7 70 15.2

8 80 15.9

9 90 16.4

10 100 16.9

Dr.Erwin F.Haya E.

GRFICA TEMPERATURA VS RESISTENCIA ii) En un papel milimtrico sedibujan unos ejes cartesianosque ocupen TODA la hojaespecifican-do:

Nombre de la grfica.

Nombres de los ejes con susunidades.

La variable dependiente se

Procedimiento

TEMPERATURA EN C

0

La variable dependiente segrfica en el eje y.

La variable independiente segrafica en el eje x.

La posicin del origen.

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GRFICA TEMPERATURA VS RESISTENCIA iii) Se elige una escala adecuada,procurando ocupar TODA lahoja.No necesariamente tiene queser la misma escala en ambosejes, pero s:Ambas escalas debencomenzar en cero.En este caso se eligi lasiguiente escala:

Procedimiento

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

Eje y: 1.0 cm = 1.

Eje x: 1.5 cm = 10 C

PRECAUCIN: una vez elegida laescala, ya no la debersmodificar.

1

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GRFICA TEMPERATURA VS RESISTENCIA iv) Se grafican los puntos:SOLAMENTE con laincertidumbre de la variabledependiente.En este caso, de acuerdo conla escala, la incertidumbreocupa 0.5 cm hacia arribay 0.5 cm hacia abajo.

Suponemos que la variableindependiente se midi con

Procedimiento

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

independiente se midi contan buena precisin que,comparativamente, no poseeerror, o lo posee mnimo.

Dr.Erwin F.Haya E.

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GRFICA TEMPERATURA VS RESISTENCIA

L

v) Se traza la mejor recta entre elintervalo de puntos y hasta quecorte al eje de las ordenadas,procurando que:

v.1) Pase por el mayor nmero depuntos experimentales (centrosde los puntos).

vi.2) Pase por todos los intervalos deincertidumbre.

v.3) Est equilibrada: los puntos quecaen fuera de la mejor recta

Procedimiento

Puntos por arriba

Puntos por abajo

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

caen fuera de la mejor rectaestn balanceados, es decir, quehaya tantos puntosexperimentales por arriba comopor abajo de la mejor recta.En este caso, caen tres puntospor arriba, tres puntos por abajoy cuatro puntos coinciden con larectaLa condicin ms importante esla v.3).Le llamaremos la recta L.Dr.Erwin F.Haya E.

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L

L2 = (24.6, 13.1)

L1 = (16.6, 12.7)

L

vi) Se calcula la pendiente y laordenada al origen de lamejor recta.Para la pendiente se tomandos puntos que no seanexperimentales. Por ejemplo,los puntos L1 y L2.De esta manera:

Procedimiento

Cm /05.0

6.166.247.121.13b = 11.9

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

Le llamaremos entonces,pendiente promedio.La ordenada al origen se leedirectamente en el papel,donde la mejor recta cruce eleje y.En este caso, la ordenada alorigen promedio ser:

6.166.24

= 11.9bDr.Erwin F.Haya E.

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L

vii) Calcular la incertidumbre de lapendiente y de la ordenada alorigen.

PASOS:

vii.1. Trazar dos paralelas a la mejorrecta que pasen por lospuntos de mayor y de menorincertidumbre. (OJO,dibujarlas punteadas entre el

Procedimiento

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

dibujarlas punteadas entre elprimero y el ltimo punto)

Dr.Erwin F.Haya E.

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L


PASOS:


Procedimiento

c

b

a

d

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

dibujarlas punteadas entre elprimero y el ltimo punto)

Esto me determina elparalelogramo abcd. OJO, NOLO DIBUJES.

Dr.Erwin F.Haya E.

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L


PASOS:


Procedimiento

c

b

a

d

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

dibujarlas punteadas entre elprimero y el ltimo punto)Esto me determina elparalelogramo abcd. OJO, NOLO DIBUJES.

vii.2. Trazar las diagonales alparalelogramo y prolongarlashasta que corten al eje de lasordenadas.

Dr.Erwin F.Haya E.

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LLs

Li


PASOS:


Procedimiento

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

dibujarlas punteadas entre elprimero y el ltimo punto)Esto me determina elparalelogramo abcd.

vii.2. Trazar las diagonales alparalelogramo y prolongarlashasta que corten al eje de lasordenadas.

Ahora tenemos la recta demayor pendiente Ls, y la rectade menor pendiente Li.

Dr.Erwin F.Haya E.

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LLs

Li

Li1 = (15.3, 13.1)

Li2 = (33.3, 13.8)

Ls1 = (65.3, 15.3)

Ls2 = (93.3, 17.0)

bs = 11.3

viii) Calcular las pendientes yordenadas al origen de lasrectas de mayor y menorpendiente.

Para las pendientes, tomardos puntos que no seanexperimentales, tal comosemuestra en la grfica, ycalcular.

Los puntos de la recta demayor pendiente sern L y

Procedimiento

bi = 12.0

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

TEMPERATURA EN C

0

mayor pendiente sern Ls1 yLs2.

Los puntos de la recta demenor pendiente sern: Li1 yLi2.

Para las ordenadas al origen,simplemente leerlasdirectamente en el papel.

Segn las lecturas sern: bs ybi.

Dr.Erwin F.Haya E.

CALCULANDO

Para calcular las pendientes, de la grfica obtenemos:

Li1 = (15.3, 13.1) y Li2 = (33.3, 13.8), de aqu:

13.8-13.1

Ls1 = (65.3, 15.3) y Ls2 = (93.3, 17.0), de aqu:

mi =13.8-13.133.3-15.3

=0.04 W / C

ms =17.0-15.393.3-65.3

= 0.06 W / C

Dr.Erwin F.Haya E.

Ahora podemos observar un ejemploreal de cmo quedara la grfica.Su ecuacin ser (ojo, as se deberreportar la ecuacin):

R = [0.050 0.004] T + [11.9 0.6]

Donde R est medida en ohms (), yT en grados centgrados (C).

LA ECUACIN ES LA INFORMACIN MS

FINALMENTE

LA ECUACIN ES LA INFORMACIN MSIMPOR-TANTE QUE SE OBTIENE DE LAGRFICA.

Adicionalmente, la grfica se puede usarpara controlar el experimento midiendo,bajo las mismas circunstanciasexperimentales, los puntos que salgan dela tendencia lineal esperada.

Dr.Erwin F.Haya E.

Funciones Potenciales Cuando la grfica en el papel milimtrico de y = f(x), no resulta

lineal podemos sospechar de una relacin potencial, es decir,que las variables estn afectadas de algn exponente diferentede la unidad. Esta funcin potencial viene representada por lasiguiente ecuacin: ny kx

Para hallar la pendiente de la recta en este grfico, se hace dela siguiente forma

ny kx

2

2 1 1

loglog loglog log

yy y y

nxx x

2 2,x y

22 1

1

log log logn

xx xx

1 1,x yy tomando, por ejemplo, los puntos (1, 10) y (20, 4000), tenemos

4000log 2.610 220 1.3log1

n

Dr.Erwin F.Haya E.

Funciones exponenciales Las funciones exponenciales son de la forma

representada en la Figura y la ecuacin que larepresenta tiene la forma: nxy ka

Para hallar la pendiente de la recta en este grfico, se hace dela siguiente forma 2 2,x y

nxy ka

log log loglog

y k nx am n a

1 1,x y

2

2 1 1

2 1 2 1

loglog log

yy y y

mx x x x

Para obtener el valor m de la pendiente tomamos,por ejemplo, los puntos: (2, 10), (10, 1000) yoperando:

1000log 210 0.2510 2 8

m

Dr.Erwin F.Haya E.

SISTEMA INTERNACIONAL DEUNIDADES (SI)

UNIDADES FUNDAMENTALES:metro, kilogramo, segundo, amperio,kelvin, mol y candela.kelvin, mol y candela.

UNIDADES DERIVADAS.

UNIDADES SUPLEMENTARIAS.

Dr.Erwin F.Haya E.

MAGNITUD NOMBRE SMBOLOlongitud metro mmasa kilogramo kgtiempo segundo sintensidad de

UNIDADES FUNDAMENTALES

intensidad decorriente elctrica amperio Atemperaturatermodinmica kelvin Kcantidad desustancia mol molintensidad luminosa candela cd

Dr.Erwin F.Haya E.

RECOMENDACIONES SOBRE SMBOLOS

Los smbolos de las unidades se expresarn encaracteres romanos, en general minsculos.

( m, kg, s, etc.) Si los smbolos derivan de nombres propios, se

utilizarn los caracteres romanos maysculos para laprimera letra.

( A, K, etc.)( A, K, etc.)

Estos smbolos NO irn seguidos de un punto.... mide 5 m y su masa es de 4 kg,

pero NO ... mide 5 m. y su masa es de 4 kg.,Los smbolos de las unidades permanecern invariablesen plural.

kg pero no kgsDr.Erwin F.Haya E.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Unidad de longitud: metroLongitud de la distancia recorrida por la luz en el vacoen un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 segundos.(1983)

Unidad de masa: kilogramoMasa del prototipo de platino iridiado al 10%,depositado en la Oficina Internacional de Pesas ydepositado en la Oficina Internacional de Pesas yMedidas en el pabelln de Breteuil, Svres (1889)

Unidad de tiempo: segundo

Duracin de 9 192 631 770 perodos de la radiacincorrespondiente a la transicin entre los dos niveleshiperfinos del estado fundamental del tomo de cesio 133(133Cs) (1967) Dr.Erwin F.Haya E.


Unidad de intensidad de corriente elctrica:amperioIntensidad de una corriente elctrica constante que,mantenida en dos conductores paralelos rectilneos,de longitud infinita, de seccin circular despreciable ycolocados en el vaco a una distancia de un metro unode otro en el vaco, produce entre estos conductoresde otro en el vaco, produce entre estos conductoresuna fuerza igual a 2.E-7 newton por metro delongitud (1948)

Dr.Erwin F.Haya E.

Unidad de temperatura termodinmica:kelvin

Fraccin 1/273,16 de la temperatura termodinmicadel punto triple del agua (1967)


La unidad kelvin y el smbolo K se utilizan paraexpresar un intervalo o una diferencia detemperaturas.

Se utiliza tambin la temperatura Celsius (smbolo t)definida por la ecuacin t=T-T0, donde T0=273,15 Kpor definicin. La temperatura Celsius se expresa engrados Celsius (smbolo C).

Dr.Erwin F.Haya E.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES(SI)

Unidad de cantidad de sustancia: molCantidad de sustancia de un sistema que contienetantas entidades elementales como tomos hay en0,012 kilogramos de carbono 12 (12C) (1971).Cuando se emplea el mol, las entidades elementales(tomos, molculas, iones, etc.) deben ser especificadas.(tomos, molculas, iones, etc.) deben ser especificadas.

Unidad de intensidad luminosa: candela

La candela es la intensidad luminosa, en una direccindada, de una fuente que emite una radiacinmonocromtica de frecuencia 540.1012 hercios y cuyaintensidad radiante en esa direccin es 1/683 W/sr (1979)

Dr.Erwin F.Haya E.

ALGUNAS UNIDADES DERIVADAS

MAGNITUD NOMBRE SMBOLOSuperficie metro cuadrado m2

Volumen metro cbico m3

Velocidad metro por m/ssegundo

Masa volmica(densidad)

kilogramo pormetro cbico

kg/m3

Densidad decorriente

amperio pormetro cuadrado

A/m2

Dr.Erwin F.Haya E.

UNDADES DERIVADAS CON NOMBREESPECIAL

MAGNITUD NOMBRE SMBOLOfrecuencia hercio Hzpresin pascal Paenerga, trabajo julio Jenerga, trabajo julio Jpotencia vatio Wcarga elctrica culombio Cpotencial elctrico voltio V

Dr.Erwin F.Haya E.

Cuando una unidad derivada es cociente de otras dosse puede utilizar cualquiera de las siguientes formas:

1m m m.sss


Nunca se debe introducir en una misma lnea ms de unabarra oblicua a menos que se coloquen los parntesiscorrespondientes para evitar toda ambigedad posibleAs, se puede escribir

m/s2 , m.s-2 , m.kg/(s3.A)

pero NO m/s/s , ni m.kg/s3/ADr.Erwin F.Haya E.

1018 = 1 000 000 000 000 000 000 exa E1015 = 1 000 000 000 000 000 peta P1012 = 1 000 000 000 000 tera T109 = 1 000 000 000 giga G

MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS

109 = 1 000 000 000 giga G106 = 1 000 000 mega M103 = 1 000 kilo k102 = 100 hecto h101 = 10 deca da

Dr.Erwin F.Haya E.

10-1 =0,1 deci d10-2 =0,01 centi c10-3 =0,001 mili m10-6 =0,000 001 micro

MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS

10 =0,000 001 micro 10-9 =0,000 000 001 nano n10-12=0,000 000 000 001 pico p10-15=0,000 000 000 000 001 femto f10-18=0,000 000 000 000 000 001 atto a

Dr.Erwin F.Haya E.

No se pueden emplear prefijos compuestos formados por la

yuxtaposicin de varios prefijos SI

Se puede escribir 1 nm pero no 1 mm

Por razones histricas se ha respetado el nombre de

kilogramo para una unidad fundamental a pesar de que en


kilogramo para una unidad fundamental a pesar de que en

su nombre contiene un prefijo. Por ello y para evitar

errores, los mltiplos y submltiplos decimales de la

unidad de masa se formarn aadiendo prefijos a la

palabra gramo. As

1 Mg=106 g=103 kg 1 mg=10-3 g=10-6 kgDr.Erwin F.Haya E.

SISTEMA CGSUNIDADES FUNDAMENTALES

MAGNITUD NOMBRE SMBOLO

LONGITUD centmetro cm

MASA gramo g

TIEMPO segundo s

Dr.Erwin F.Haya E.

SISTEMA CGSALGUNAS UNIDADES DERIVADAS


FUERZA dina dynTRABAJO ergio ergPRESIN baria baria

1 dyn = 1 g . 1 cm/s2

1 dyn = 10-5 N1 erg = 1 dyn . 1cm1 erg = 10-7 J

PRESIN baria baria

1 baria = 1 dyn/cm2

1 baria = 10-1 Pa

SISTEMA TCNICOUNIDADES FUNDAMENTALES


LONGITUD metro m

FUERZA kilogramo-fuerza kgf (kg*)FUERZA kilogramo-fuerza kgf (kg*)

TIEMPO segundo s

El kilogramos-fuerza se define como el peso del prototipokilogramo patrn en Postdam, donde la aceleracin de la

gravedad tiene un valor g = 9,812 60 m s-2 (1968)Dr.Erwin F.Haya E.


MASA unidad tcnica de masa utm

SISTEMA TCNICOALGUNAS UNIDADES DERIVADAS

1 utm = 1 kgf/(1m.s-2) 1 utm = 9,81 kg

Se define a partir de la frmula F = m a, como lamasa a la que una fuerza aplicada de 1 kilogramo-fuerza le produce una aceleracin de 1 metro porsegundo en cada segundo

Dr.Erwin F.Haya E.

Leccion 02 Analisis Grafico

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