Fisica de Las Ondas - Hector Alzate

Fsica de las ondas

Fsica de las ondas

Hector Alzate Lopez

Primera edicion, febrero de 2007

Todos los derechos reservados. No se permite la reproduccion, archivo o transmision total o parcial de estetexto mediante ningun medio, ya sea electronico, mecanico, optico, de fotorreproduccion, memoria o cualquierotro sin permiso de los editores de Ude@.

Impreso en Medelln, Colombia.

Sobre el autor

Hector Alzate Lopez

Graduado en Fsica de la Universidad de Antioquia, se ha desempenado como docente en la misma universidad enlos cursos basicos de fsica y sus laboratorios.

Como usar este libro

Como estudiante del programa de Educacion a Distan-cia de la Universidad de Antioquia, Ude@, usted es elcentro del modelo educativo y puede controlar el proce-so de aprendizaje mediante la organizacion del tiempoalrededor de sus intereses. La autonoma, la disciplina,la creatividad y el trabajo en equipo son caractersticasque le ayudaran en su formacion para solucionar proble-mas reales de la sociedad, recurriendo al metodo de laingeniera.

Los cursos Ude@ permiten fortalecer estas caractersti-cas mediante el desarrollo de diferentes actividades:

Estudio individual, apoyado en diferentes medios(impresos, audiovisuales, multimedia).

Estudio en grupo y acompanamiento del profesora traves del aula virtual.

Tutoras presenciales, cuya finalidad es apoyar elaprendizaje y afianzar los temas estudiados.

El texto Ude@

En el modelo Ude@ los contenidos educativos son apor-tados por cada medio teniendo en cuenta las fortalezaspropias de cada uno de ellos. Desde el punto de vistapedagogico, el texto impreso es por tradicion un medioidoneo para los procesos educativos ya que facilita elaprendizaje de hechos, la compresion de principios ge-neralizados o abstractos y el desarrollo del razonamien-to logico. En estos aspectos, el texto Ude@ es un mediomuy eficaz para desarrollar y adquirir tales destrezas.

Estructura del texto

El texto Fsica de las ondas ha sido desarrollado comoparte del material educativo de los estudiantes del pro-grama; sin embargo, su contenido puede ser de gran uti-lidad para cualquier persona que desee estudiar este te-ma. La estructura del texto es lineal, con una progresiongradual de cada tema, lo cual hace mas facil la transmi-sion del contenido de una manera logica.

La division del texto esta dada por captulos que, a suvez, agrupan modulos o temas. Al empezar cada captu-lo se encuentra un contenido breve que muestra el nume-ro y el ttulo de los modulos que componen el captulo.Por su parte cada modulo contiene, en su primera pagi-na, una introduccion, los objetivos de aprendizaje, unaspreguntas basicas (relacionadas con los conocimientos

previos requeridos) y el ndice tematico del contenido,que le guiaran en el proceso de aprendizaje sobre el te-ma en particular de cada sesion de clase.

Sugerencias para los estudiantes

En la lectura del libro:

Antes de iniciar el estudio de un captulo, lea elcontenido breve y la presentacion.

Trate de resolver las preguntas basicas de cadamodulo; estas preguntas estan disenadas para ayu-darle a comprender los conceptos o temas presen-tados a lo largo del mismo.

Lea los ejemplos intercalados en los bloques detexto y trate de resolver los ejercicios con el finde mejorar sus habilidades en la solucion de pro-blemas reales.

Complemente la lectura del libro con las herra-mientas de comunicacion que posee en el aula vir-tual y en su correo electronico.

Recuerde que sobre el tema que esta estudiandoen el modulo impreso tambien existe material dis-ponible en otros medios, y que ese material repre-senta valor agregado puesto que el contenido delos diferentes formatos no se repite sino que secomplementa.

En el aula virtual:

Aprenda como funcionan las herramientas indis-pensables para participar en un curso por red: sis-tema de correo electronico, sistema de chat, gru-pos de discusion, busquedas en Internet, consultaen bases de datos especializadas, entre otras.

Revise el correo electronico todos los das.

Visite con relativa frecuencia el sitio Ude@ y laplataforma donde se publica el curso en Internetpara enterarse de cualquier nueva informacion.Apoyese en la red como un sistema de consultay establezca criterios para seleccionar la informa-cion requerida.

Introduzca sus datos personales en el aula virtualpara que sus tutores y companeros tengan accesoa ellos.

Desarrolle, en la primera semana, las actividadespreparativas para el curso indicadas en el aula vir-tual.

Dedique al menos tres horas semanales por cadacredito asignado al curso para leer los modulos,realizar trabajos, participar en los foros de discu-sion y presentar evaluaciones, de acuerdo con loestablecido en el cronograma.

Planee su agenda personal para participar activa-mente en cada curso y entregar oportunamente sustareas. En caso de algun imprevisto, debe comu-nicarse inmediatamente con el tutor.

Participe de las actividades propuestas para rea-lizar en forma individual y en grupos de trabajo.Haga parte de grupos de trabajo conformados consus companeros de curso y en ningun caso preten-da realizar todas las actividades sin ayuda de losdemas.

Manifieste oportunamente a sus companeros y alprofesor las dificultades que se le presentan conlas actividades propuestas.

Elabore su propio horario de trabajo independien-te para el curso y cumpla con el cronograma pro-puesto.

Realice con honradez las actividades de evalua-cion, autoevaluacion y coevaluacion que encuen-tre programadas en el curso.

Durante su proceso de aprendizaje trate de adqui-rir autonoma con el conocimiento, es decir, in-tente construir nuevos conocimientos recurriendoa fuentes de informacion bibliografica y a sus ha-bilidades de comparacion, analisis, sntesis y ex-perimentacion.

Mantenga una actitud de colaboracion con com-paneros, tutores y monitores, y este siempre dis-puesto a realizar las actividades de aprendizaje.

Relacionese de manera respetuosa y cordial conlos demas estudiantes, con el tutor y con los mo-nitores.

PrologoEl presente libro expone los fundamentos de la fsica de las ondas a un nivel apropiado para estudiantes de unacarrera de ciencias o de ingenieras.

En el primer captulo, Ondas elasticas, se exponen la mayora los conceptos basicos aplicables a cualquiertipo de onda y cubre cerca de un tercio de todo el libro. Por la importancia del sonido se da especial enfasis a ladescripcion de las ondas sonoras. Las ecuaciones de onda en diferentes medios, como una cuerda tensa, el aire ouna barra, se obtienen a partir de las leyes de Newton.

El segundo captulo, Ondas electromagneticas, halla las ecuaciones de onda para los campos electricos ymagneticos en el vaco a partir de las leyes de Maxwell y trata sobre la energa, la presion y la polarizacion de lasondas electromagneticas; este tema de la polarizacion se trata con mayor detalle que en Ondas elasticas, dondesolo se menciona.

El tercer captulo, Reflexion y refraccion, trata sobre como cambian algunas caractersticas de las ondasreflejada y transmitida respecto a una onda incidente.

El cuarto captulo, Optica geometrica, expone las bases para la comprension fsica de la vision humana y deotros instrumentos opticos, como espejos, lentes, microscopios y telescopios.

Los captulos quinto y sexto, Interferencia y Difraccion, comprenden el tema de optica fsica y examinanel fenomeno de superposicion de varias ondas electromagneticas.

A lo largo del libro se encuentran ejemplos resueltos con gran detalle, ya que el objetivo no es hallar tanto unarespuesta sino promover la comprension conceptual de los fenomenos fsicos por parte del estudiante. Al final decada captulo estan los problemas en cuya solucion se espera que el estudiante se valga de los conceptos adquiridosy no de una aplicacion ciega de formulas o recetas.

Este libro es el resultado de las notas que he puesto a disposicion de mis estudiantes en el curso de Fsica IIIy su respectivo laboratorio que he ensenado durante muchos anos en la Universidad de Antioquia; por ello misestudiantes han sido correctores de innumerables errores y les estoy inmensamente agradecido. A ellos les dedicoel presente texto.

Agradezco al equipo de Ude@ por la elaboracion de algunas figuras y el montaje de las fotos, y a Daniel Aldanapor la revision cuidadosa del texto.

Hector Alzate Lopez

Contenido

Captulo 1 Ondas elsticas 1

Mdulo 1 Ondas armnicas y periodicidad 31.1 Descripcin matemtica de las ondas 51.2 Periodicidades de una onda armnica 7

1.2.1 Periodicidad espacial 71.2.2 Periodicidad temporal 8

Mdulo 2 Fase. Ecuacin de onda 92.1 Fase 11

2.1.1 Desfase 112.1.2 Rapidez de fase 13

2.2 Crtica a la onda armnica 142.3 La ecuacin de onda 14

Mdulo 3 Ondas en una barra 173.1 Ondas longitudinales 193.2 Medida del mdulo de Young 213.3 Ondas transversales 22

Mdulo 4 Ondas en un fluido 254.1 Ondas en un fluido 274.2 Dependencia de la rapidez con la temperatura 314.3 Ondas ssmicas 32

Mdulo 5 Ondas en una cuerda 395.1 Ondas transversales en una cuerda ideal 41

5.1.1 Polarizacin 425.2 Reflexin y transmisin en una cuerda compuesta 43

5.2.1 Casos particulares de los coeficientes 465.3 La rapidez de una onda y las propiedades del medio 47

Mdulo 6 Energa del movimiento ondulatorio 496.1 Propagacin de energa en una onda 516.2 Audicin binaural 53

Mdulo 7 Ondas en tres dimensiones 637.1 Ondas en varias dimensiones 65

7.1.1 Ondas planas 657.1.2 Ondas esfricas 66

7.2 El principio de superposicin y la ecuacin de onda 67

i

ii CONTENIDO

Mdulo 8 Ondas estacionarias 698.1 Ondas estacionarias en una cuerda semiinfinita 718.2 Ondas estacionarias en una cuerda finita 738.3 Ondas estacionarias y condiciones de frontera 75

Mdulo 9 Ondas estacionarias en un tubo. Efecto Doppler 799.1 Tubo abierto en ambos extremos 819.2 Tubo con un extremo abierto y el otro cerrado 829.3 La voz 849.4 Efecto Doppler 88

9.4.1 Ondas de choque 89

Mdulo 10 Anlisis de Fourier. Velocidades de fase y de grupo 9310.1 Anlisis de Fourier 9510.2 Velocidad de fase y velocidad de grupo. Pulsos 97

Problemas del captulo 1 103

Captulo 2 Ondas electromagnticas 109

Mdulo 11 La ecuacin de onda en el vaco 11111.1 Las ecuaciones de onda en el vaco 11311.2 Algunos comentarios a raz de las ecuaciones de onda 115

11.2.1 Breve historia de algunos smbolos 117

Mdulo 12 Ondas planas 11912.1 Solucin en ondas planas 12112.2 El espectro electromagntico 12212.3 Rango de validez de las leyes 124

Mdulo 13 Energa de una onda electromagntica 12513.1 Conservacin de la energa 12713.2 Las leyes de Maxwell y la conservacin de la energa 12713.3 Fuerza de una onda sobre una carga 129

Mdulo 14 Polarizacin. Presin de radiacin 13114.1 Polarizacin 133

14.1.1 Componentes en fase 13314.1.2 Componentes en cuadratura 13414.1.3 Componentes en contrafase 13414.1.4 Componentes con otros desfases 13514.1.5 Componentes con desfase aleatorio 13514.1.6 Intensidad 135

14.2 Presin de radiacin 136


Captulo 3 Reflexin y refraccin 145

Mdulo 15 Leyes de reflexin y refraccin 14715.1 Principio de Huygens 149

CONTENIDO iii

15.2 Definiciones 14915.2.1 Plano de incidencia. ngulos de incidencia,

reflexin y refraccin 14915.2.2 ndice de refraccin 150

15.3 Leyes de reflexin y refraccin 150

Mdulo 16 Prueba de las leyes de reflexin y refraccin 15316.1 Prueba basada en un modelo ondulatorio 155

16.1.1 Propagacin de la luz en la materia 15616.1.2 Reflexiones especular y difusa 156

16.2 ngulo crtico 15616.3 Principio de Fermat 156

Mdulo 17 Reflexin y transmisin electromagnticas 16117.1 Coeficientes de Fresnel 16317.2 Interpretacin de los signos de los coeficientes 16617.3 ngulo de polarizacin. Ley de Brewster 171


Captulo 4 ptica geomtrica 175

Mdulo 18 Convencin de signos. Objeto e imagen 17718.1 Convencin de signos 17918.2 Concepto de objeto 17918.3 Concepto de imagen 180

Mdulo 19 Formacin de una imagen por reflexin 18319.1 Reflexin en una superficie esfrica 18519.2 Aumentos 186

Mdulo 20 Formacin de una imagen por refraccin 19120.1 Refraccin en una superficie esfrica 19320.2 Focos de un sistema ptico. Aumento 194

Mdulo 21 Formacin de una imagen por un sistema compuesto:lentes 197

21.1 Lentes delgadas en aire 19921.2 Principio de reversibilidad ptica 201

Mdulo 22 El ojo. Descomposicin de la luz 20522.1 El ojo humano 207

22.1.1 Los puntos cercano y lejano 20822.2 Descomposicin de la luz: el prisma, el arco iris 209

Mdulo 23 Instrumentos pticos 21923.1 La lupa 22123.2 El microscopio 22223.3 El telescopio refractor 223


iv CONTENIDO

Captulo 5 Interferencia 231

Mdulo 24 Desfase entre campos 23324.1 La interferencia y el desfase 235

24.1.1 Incoherencia: dependencia temporal del desfase 23624.1.2 Coherencia: independencia temporal del desfase 23624.1.3 Plan para analizar la interferencia de dos campos 236

24.2 El principio de superposicin y la ecuacin de onda 23724.3 Desfase entre dos puntos en un mismo rayo 237

Mdulo 25 Interferencia de ondas de dos fuentes 23925.1 Desfase entre las ondas 24125.2 Patrn de interferencia 24225.3 Mximos y mnimos de intensidad 24325.4 Intensidad debida a dos ondas incoherentes 245

Mdulo 26 Interferencia de ondas de ms de dos fuentes 24926.1 Patrn de interferencia 25126.2 Mximos y mnimos de intensidad 252

Mdulo 27 Interferencia en pelculas delgadas 25727.1 Mximos y mnimos en la reflexin y la refraccin 25927.2 Recubrimientos reflectivos y antirreflectivos 261


Captulo 6 Difraccin 271

Mdulo 28 Difraccin por una rendija 27328.1 Consideraciones generales 27528.2 Difraccin de Fraunhofer por una rendija 27628.3 Poder de resolucin 279

Mdulo 29 Abertura circular. Experimento de Young 28129.1 Difraccin de Fraunhofer por una abertura circular 28329.2 Experimento de Young 285

Mdulo 30 Difraccin por ms de dos rendijas 28930.1 La rejilla de difraccin 29130.2 Poder de resolucin 292


Respuestas a los problemas 298

Bibliografa 302

Captulo 1Ondas

elsticas

Contenido

Mdulo 1Ondas armnicas y periodicidad

Mdulo 2Fase. Ecuacin de onda

Mdulo 3Ondas en una barra

Mdulo 4Ondas en un fluido

Mdulo 5Ondas en una cuerda

Mdulo 6Energa del movimientoondulatorio

Mdulo 7Ondas en tres dimensiones

Mdulo 8Ondas estacionarias

Mdulo 9Ondas estacionarias en un tubo.Efecto Doppler

Mdulo 10Anlisis de Fourier. Velocidades defase y de grupo

La riqueza sonora de la msica tiene como base material la vibracin de los distintoscomponentes de los instrumentos y del aire, que obedecen leyes precisas de la fsica.

Presentacin

Vivimos sumergidos en unmar de ondas: los seres humanos adquirimosla mayor parte de la informacin sobre el mundo a travs del sonidoy de la luz; convivimos con millones de ondas electromagnticas prove-nientes de las estrellas, de emisoras, de telfonos celulares. . . Entender elfenmeno ondulatorio es esencial para una comprensin del mundo fsico,ya sea la comprensin de los instrumentos musicales, la propagacin deuna seal elctrica en un conductor, o la estructura del tomo.

En este primer captulo centramos la atencin en las ondas que son lavibracin de un medio, llamadas ondas mecnicas o elsticas, de las cualesel sonido es el ejemplo ms notable; las ondas elsticas nos servirn paraentender las caractersticas generales de cualquier onda. Los dems cap-tulos estn dedicados a otra clase de ondas, las electromagnticas, que noson la vibracin de un medio material.

Las ondas, adems de clasificarse como mecnicas y no mecnicas, ad-miten otras clasificaciones: viajeras, estacionarias, longitudinales, transver-sales, peridicas, no peridicas, planas, cilndricas, esfricas, . . . Una ondapuede tener varios de los anteriores adjetivos simultneamente.

Los principales parmetros de una onda son su amplitud, su frecuenciay su fase. Exploraremos cmo cambian cuando las propiedades del mediocambian, por ejemplo, cuando la onda en una cuerda llega a uno de sus

1

2 Hctor Alzate L., Universidad de Antioquia Captulo 1 Ondas elsticas

extremos o cuando un sonido pasa del aire al agua. Es importante, en estecontexto, indagar qu ocurre con la energa de las ondas; introduciremosvarias cantidades que nos permitan hablar de la energa de las ondas, comola potencia, la densidad de energa, la intensidad, la reflectancia y la trans-mitancia. Tambin veremos cmo representar cualquier onda, sin importarlo complicada que sea, en trminos de ondas sencillas.

La mayor parte del curso anterior de fsica gir alrededor de camposestticos, esto es, de cantidades fsicas definidas en una regin del espacioque pueden cambiar de punto a punto, pero que no cambian con el tiempo.El campo elctrico alrededor de un cuerpo esttico cargado elctricamentedepende de la posicin pero no del tiempo; su estudio se llama electros-ttica. El campo magntico alrededor de un cuerpo magnetizado estticotampoco depende del tiempo; su estudio se llama magnetosttica. Pero sitales cuerpos se mueven los campos entran a depender del tiempo y estadependencia no semanifiesta instantneamente en todo el espacio, sino queva llegando con determinada velocidad a los distintos puntos a partir de lafuente el cuerpo que se mueve. Por ejemplo, cuando la corriente elc-trica en un conductor cambia, se halla que el campo magntico empieza acambiar en un punto a una distancia r de la corriente un tiempo t = r/vdespus de que la corriente haya cambiado, en donde v es la velocidad dela luz en el medio en que se encuentren el conductor y el punto. Cuan-do un cuerpo cae en un estanque, la perturbacin no se siente en todo elestanque instantneamente, sino que se va propagando con determinadarapidez hasta alcanzar cualquier punto del estanque. Cuando un campodepende del tiempo, como en estos ejemplos, entramos en el campo de lasondas, que es el objetivo de este curso.

Mdulo

1

Ondas armnicas y periodicidad

Las ondas en la superficie del agua son unejemplo visible de que las ondas elsticasson la perturbacin de un medio.

Contenido

1.1 Descripcin matemtica de las ondas1.2 Periodicidades de una onda armnica

1.2.1 Periodicidad espacial1.2.2 Periodicidad temporal

Objetivos

1. Diferenciar entre velocidad de un punto del medio y velocidad depropagacin.

2. Definir una onda de desplazamiento y una onda viajera.3. Definir una onda armnica.4. Identificar las periodicidades de una onda armnica.5. Comprender qu es una funcin de dos variables: la posicin de

equilibrio y el tiempo.

Preguntas bsicas

1. Qu es una onda?2. Qu es una onda peridica y qu es una onda no peridica?3. Qu son la amplitud, la longitud de onda, el perodo?

Introduccin

El cambio que produzcamos en un campo en un punto del espacio no sequeda confinado en ese punto sino que dicho cambio provoca cambios enlos puntos vecinos y estos en sus vecinos y as sucesivamente. Decimos quese ha generado una onda. Cuando palmoteamos producimos cambios enla presin y densidad del aire, cambios que se van propagando a partir delas manos con la velocidad del sonido. Debemos distinguir entre la rapidezcon que se mueve el aire y la rapidez con se propaga la onda sonora. Supo-nemos que el movimiento de los diferentes elementos de volumen del airey los cambios de presin y de densidad se pueden obtener a partir de unafuncin matemtica, llamada funcin de onda . Iniciemos el estudio delas ondas cuando los cambios son peridicos.

3

Mdulo 1 Ondas armnicas y periodicidad 5

Algunas convenciones sobre notacin

El tipo de letra utilizado en un escrito impreso se llama redondo o normalsi no tiene ninguna inclinacin en especial, y es el ms comn; se llamacursivo si est inclinado hacia la derecha. Si el carcter se destaca por serms negro, se dice que est en negrilla.

En este curso se sigue la convencin de escribir las variables escalarescon letra cursiva o itlica, p. ej., m, x, t, F, v (no se escribe: m, x, t, F, v),mientras que los vectores se denotan con letra redonda y negrilla, p. ej., F, v(no se escribe: F, v). Las funciones sen, tan, log, etc., siempre se escriben conminsculas redondas, p. ej., sen x, tan y, log 100, arc cos, limx f (x)(no se escribe: Sen x, sen x). Los nmeros deben ir en letra redonda: 1, 2, 3,. . .

+

Es indispensable, cuando se escribe a mano, diferenciar entrevectores y escalares escribiendo una flecha sobre los vectores,p. ej., ~F; cuando el vector es unitario, se debe escribir, en sulugar, un gorro, p. ej., ux, k.

1.1 Descripcin matemtica de las ondas

Figura 1.1 Definicin de .

En la figura 1.1 la lnea horizontal representa una cuerda esttica, con suspuntos en sus respectivas posiciones de equilibrio, caracterizadas por elvector posicin r. Una fuente de ondas en el extremo izquierdo oscila ver-ticalmente y produce una perturbacin que avanza horizontalmente concierta rapidez, haciendo que cada punto se mueva alrededor de su posi-cin de equilibrio.

La lnea curva representa la seccin de la cuerda que ha sido pertur-bada, en cierto instante. En ondas elsticas, por el vector r no indicamos laposicin de un punto del medio, sino la posicin de equilibrio del punto. Lo queun punto se separa de su posicin de equilibrio lo denotamos con la letra ,1 que es un vector dependiente de r y t. La posicin R de un punto delmedio es, as, su posicin de equilibrio ms lo que se haya apartado de l,

R = r+(r, t). (1.1)

es un campo (vectorial) por estar definido en toda una regin delespacio, y lo llamamos campo de desplazamiento. Ms generalmente, respecifica el punto del espacio donde se calcula un campo; por ejemplo,E(r, t) es el campo elctrico en el punto r. En resumen,

(r, t) es lo que un punto del medio con posicin de equilibrior se ha separado de esa posicin de equilibrio en el instante t.

La velocidad de un punto del medio, vp, es, entonces,

vp(r, t) =(r, t)t

, (1.2)

y no vp = dr/dt. La aceleracin es

a(r, t) =vpt

=2(r, t)t2

. (1.3)

1 es una letra del alfabeto griego que corresponde a la x del latino; pronnciese csi.


Debemos distinguir claramente entre velocidad de la onda, v, y velo-cidad de un punto del medio vp. La onda en la cuerda de la figura sepropaga hacia la derecha con v constante, mientras que un punto del me-dio se mueve de una forma mucho ms compleja, aproximadamente a 90respecto a v, con movimiento armnico simple.

Mientras que la onda avanza a lo largo de la cuerda, sin importar sulongitud, cualquier punto de ella ejecuta pequeas oscilaciones alrededorde su posicin de equilibrio, sin que haya transporte de masa. Una ondatransporta energa, momento lineal y momento angular pero no masa; enun temblor de tierra, la onda avanza a partir del foco2 del temblor conuna rapidez cercana a 20 000 km/h y recorre centenares o miles de kilme-tros, mientras que los lugares por donde va pasando solo oscilan algunoscentmetros; las ruinas que produzca el temblor no recorren kilmetros!Aqu distinguimos claramente entre velocidad de la onda y velocidad deun punto del medio. De igual manera, cuando escuchamos el ruido de unavin es el aire en contacto con nuestro tmpano el que nos produce el so-nido, no el aire que ha estado en contacto con el avin.

Adems de clasificar las ondas en elsticas y no elsticas, se puedenclasificar de acuerdo al ngulo que formen el campo y la velocidad de pro-pagacin de la onda. Cuando son perpendiculares, la onda es transversal;cuando son paralelos, es longitudinal. El ejemplo ms notable de ondastransversales es la luz y de ondas longitudinales es el sonido. Hay ondasque no son transversales ni longitudinales, como las ondas en la superficiedel agua, ya que tienen ambas componentes.

Figura 1.2 Traslacin de la onda.

Para simplificar el tratamiento matemtico, consideremos una ondaque se propaga en una sola direccin, y llamemos x esa direccin; las part-culas del medio en que avanza la onda pueden moverse de cualquier otramanera. En cierto instante, al campo de desplazamiento (x, t) le corres-ponde la curva central (x) de la figura 1.2. De esta figura no se puede saberla direccin de , pues sera la misma para una onda longitudinal o transver-sal. Sin embargo, para tener una imagen concreta podemos imaginar quecorresponde a un pulso de onda que avanza por una cuerda tensionada, oa una ola en el mar. La curva de la derecha corresponde al pulso cuandoha avanzado una distancia a (a > 0) y la de la izquierda si ha avanzadola misma distancia pero hacia la izquierda. Las curvas de los extremos soniguales a la curva central, son una mera traslacin de la curva central unadistancia a, lo que quiere decir que la curva no cambia su perfil a medi-da que se propaga, situacin que es irreal: la ola en el mar, la onda en lacuerda o un sonido en el aire se van desvaneciendo a medida que se pro-pagan. Adems de ser una mera traslacin, supongamos tambin que laonda avanza con rapidez constante v, y entonces se cumple que a = vt,con v > 0. La velocidad de propagacin, v, es un vector; a su mdulo, v, lollamamos rapidez de la onda, y es un escalar.

Para una onda que avanza hacia la derecha, sin cambios y con rapidezconstante, la ecuacin es

(x, t) = (x vt), v > 0;cuando avanza hacia la izquierda es

(x, t) = (x+ vt), v > 0.

Las dos ltimas familias de funciones se llaman ondas viajeras, porque

2 El epicentro es el puntoms cercano sobre la superficie terrestre al lugar donde se originael temblor, o foco; con frecuencia se confunde epicentro con foco.

FISICOSHighlight

FISICOSNoteerror tipogrfico: doble coma

Mdulo 1 Ondas armnicas y periodicidad 7

describen ondas o perturbaciones que avanzan sin cambio, indefinidamente,en la misma direccin.

El nmero de funciones que tienen como argumento a (x vt) es in-finito. Escojamos la funcin seno o coseno, que son funciones peridicas(la funcin de la figura 1.2 no lo es). No escribimos sen(x vt) porqueno existe el seno de una longitud y debemos multiplicar primero por unaconstante k de dimensin L1 a (x vt); adems, [ ] = L, y el seno esadimensional, por lo que debemos multiplicar por una constante 0 de di-mensin L el seno,

(x, t) = 0 sen k(x vt). (1.4)Las ondas que se describenmediante las funciones seno o coseno se llamanondas armnicas. 0 se denomina amplitud de la onda, k es el nmero deonda (no confundir con el nmero de ondas, en plural). La ecuacin en un xen particular, x = x0, es

(t) = 0 sen k(x0 vt) = 0 sen(kx0 kvt).Esta es la ecuacin de un oscilador armnico simple con constante de fase = kx0 y frecuencia angular = kv,

(t) = 0 sen( t).De = kv despejemos la rapidez de propagacin,

v =/k.

Una onda armnica es un conjunto infinito de osciladores armnicossimples acoplados, cada uno con una constante de fase distinta, pero todoscon la misma amplitud. es la elongacin, su mximo valor es la amplitud0 y su mnimo valor es0. (Mantenga presente la diferencia entre elongaciny amplitud). Es claro que el instante en que la elongacin es mxima depen-de de x ya que tambin depende de x; cuando un punto de la cuerdaest en su mximo, otro est en su mnimo, o es cero, o cualquier otro valorentre 0 y 0, dependiendo de la coordenada x.

Adoptemos la ecuacin 1.4 como expresin estndar para una onda ar-mnica,

(x, t) = 0 sen(kxt), con = kv. (1.5)

1.2 Periodicidades de una onda armnica

La funcin seno es peridica,

(x, t) = 0 sen(kxt) = 0 sen(kxt+ 2mpi); m = 0,1,2, . . .(1.6)

1.2.1 Periodicidad espacialAgrupemos a 2mpi con la variable espacial x,

(x, t) = 0 sen[k(x+ 2mpi/k)t].El miembro derecho es el campo evaluado en x+ 2mpi/k en el instante t,

(x, t) = (x+ 2mpi/k, t), (1.7)

lo que nos dice que en el mismo instante t el campo se repite cuando x secambia en 2mpi/k. El mnimo cambio se obtiene con m = 1: la mnima


distancia en que se puede cambiar a x sin que el campo cambie es 2pi/k.Se denomina periodicidad espacial o, ms comnmente, longitud de onda a 2pi/k;

= 2pi/k.

Figura 1.3 Periodicidad espacial de unaonda armnica.

Reemplacemos en la ecuacin 1.7,

(x, t) = (x+m, t); m = 0,1,2, . . . (1.8)Si en cierto punto con abscisa x0 (figura 1.3) la cuerda se ha separado desu posicin de equilibrio 1mm, cuando avanzamos o retrocedemos en-contramos que los puntos respectivos estn separados tambin 1mm de laposicin de equilibrio.

Vimos que = vk; adems, = 2pi y k = 2pi/. Reemplazando lasdos ltimas ecuaciones en la primera obtenemos

v = . (1.9)

Despejemos la longitud de onda: = v/ = vP; esto nos dice que la lon-gitud de onda es el espacio que la onda recorre en un perodo.

1.2.2 Periodicidad temporalEn la ecuacin 1.6 agrupemos a 2mpi con la variable temporal t,

(x, t) = 0 sen[kx(t+ 2mpi/)].El miembro derecho es el campo evaluado en t+ 2mpi/ en el punto x,

(x, t) = (x, t+ 2mpi/). (1.10)

La ecuacin nos dice que en el punto x el campo se repite cuando t cambiaen 2mpi/. El menor cambio se obtiene con m = 1: el mnimo tiempoque tarda el campo en repetirse, con x fijo, es 2pi/. Se denomina perio-dicidad temporal o perodo P a 2pi/;

P = 2pi/.

Figura 1.4 Periodicidad temporal de unaonda armnica.

Reemplacemos en la ecuacin 1.10,

(x, t) = (x, t+mP); m = 0,1,2, . . . (1.11)Si en un instante t0 (figura 1.4) cierto punto de la cuerda est a 1mm

de su posicin de equilibrio, entonces un tiempo P antes o despus de t0 elcampo fue o ser, en el mismo lugar de la cuerda, 1mm.

Resumen

Aunque en una onda mecnica los puntos del medio vibren alrededor desus posiciones de equilibrio, no hay transporte de masa; la onda puede re-correr grandes distancias comparadas con la amplitud de vibracin. Exis-ten infinitas funciones para describir una onda, pero las funciones seno ycoseno se destacan entre ellas. Estas tienen una longitud de onda y un pe-rodo.

La velocidad de un punto del medio y la velocidad de propagacin sonmuy diferentes; aquella cambia con el tiempo mientras que esta es cons-tante.

FISICOSHighlight

FISICOSHighlight

FISICOSNoteMe parece que existe cierta ambigedad en este prrafo. Como sugerencia, considero que queda correcto de la siguiente manera:

"La velocidad de un punto del medio y la velocidad de propagacin son muy diferentes: la primera cambia con el tiempo, mientras que la velocidad de propagacin permanece constante."

Mdulo

2

Fase. Ecuacin de onda

Contenido

Jean le Rond dAlembert (1717-1783),filsofo y cientfico francs, public enel Trait de dynamique su famoso prin-cipio de DAlembert. Inici la teora delas ecuaciones diferenciales parciales y laaplic al problema de la cuerda vibrante,para la que hall la ecuacin diferencialde onda; encontr, adems, una explica-cin para la precesin de los equinocciosy estudi las perturbaciones gravitaciona-les y los fluidos.

2.1 Fase2.1.1 Desfase2.1.2 Rapidez de fase

2.2 Crtica a la onda armnica2.3 La ecuacin de onda

Objetivos

1. Definir la fase y el desfase.2. Definir qu es estar en fase, en contrafase o en cuadratura dos va-

riables.3. Mostrar que la onda armnica es una idealizacin.4. Deducir la ecuacin lineal de onda.

Preguntas bsicas

1. El desfase es un ngulo entre dos vectores?2. Por qu a la rapidez con que se propaga una onda armnica, mo-

nocromtica, se le llama rapidez de fase?3. Se puede obtener una onda armnica en el laboratorio?4. Por qu la ecuacin de onda que deduciremos es lineal?

Introduccin

Adems de la posicin, un campo dinmico, no esttico, depende del tiem-po. El campo se puede expresar en funcin de una nueva variable, la fase,que a su vez es funcin de la posicin y del tiempo. La fase es un conceptotan fundamental en la fsica de las ondas, que a menudo el anlisis de un fenmenoondulatorio lo reducimos a una discusin de fases.

Estudiar una situacin fsica se puede ver como una tarea consisten-te en hallar la ecuacin diferencial que la rige y en su posterior solucin.Hallaremos la ecuacin diferencial de onda para ondas que se propaganen una sola direccin, en condiciones ideales sin prdida de energa y enmedios continuos.

9

Mdulo 2 Fase. Ecuacin de onda 11

2.1 Fase

El campo de una onda que se propaga paralelo al eje x depende de x yde t. En el caso particular que estas variables estn acopladas a travs deuna suma o de una resta, (x, t) = (x vt), la onda se llama viajera porrazones ya expuestas.

Introduzcamos el concepto de fase, esencial en la fsica de las ondas:

La fase de una onda armnica es el argumento de la funcinseno cuando su coeficiente es positivo.

Segn la ecuacin 1.5,

(x, t) = kxt. (2.1)La ecuacin de la onda de desplazamiento la podemos escribir como

= (). (2.2)

Amenudo no interesa saber qu valores en particular de x y de t corres-ponden a tal valor de ; importa, ms bien, saber el valor de la combinacinde ellos llamada fase ; se debe hacer lo posible por hablar de antes quede x y de t. Otros textos definen la fase como el argumento del coseno.

Reinterpretando lo dicho sobre periodicidades, decimos que el campose repite cuando la fase cambia en 2mpi . El mnimo cambio, 2pi , cuandose asocia a t, con x fijo, lleva al concepto de perodo P; cuando se asocia ax, con t fijo, lleva al concepto de longitud de onda . Se puede imaginar,cuando decimos t fijo, que tomamos una fotografa o instantnea al sistemaondulatorio.

Ejemplo 2.1 Halle la fase de la onda de desplazamiento = 0 cos(kxt).Solucin. Con la identidad sen( + ) = sen cos + sen cos se prueba que = 0 cos(kxt) = 0 sen(kxt+pi/2); segn la definicin de fase,(x, t) =kxt+ pi/2. Concluimos que escribir coseno en lugar de seno equivale a un cambiode pi/2 en la fase.

Ejemplo 2.2 Halle la fase de la onda = 0 sen(kxt).Solucin. = 0 sen(kxt) = 0 sen(kxt pi); de donde (x, t) = kxt pi . Concluimos que escribir () antes de la amplitud equivale a un cambio de pien la fase.

2.1.1 DesfaseEl desfase es una resta entre dos fases.

Podemos preguntarnos por el desfase entre el valor del campo en unpunto y el valor del campo en otro punto, con posiciones de equilibrioseparadas x, en un intervalo t. Si = kx t + , con constante,aplicando el operador a esta ecuacin obtenemos

= kxt. (2.3)En un mismo instante, t = 0 y = kx = (2pi/)x. Evaluemos estedesfase para algunos valores de x,

=

(2pi/)(/4) = pi/2 = 90, x = /4;(2pi/)(/2) = pi = 180, x = /2;(2pi/)() = 2pi = 360, x = .


Cuando = pi/2,3pi/2,5pi/2, . . . , decimos que los campos es-tn en cuadratura; cuando = pi ,3pi ,5pi , . . . , decimos que estn encontrafase entre s; cuando = 0,2pi ,4pi , . . . , decimos que estn enfase entre s.

Figura 2.1 Desfase con t fijo.

Estar en fase quiere decir que ambos campos (el campo en un punto y elcampo en el otro punto) se hacen cero simultneamente, esto es, cuando unpunto pasa por su posicin de equilibrio, el otro tambin; ambos alcanzansu mnimo o su mximo simultneamente. En la figura 2.1, A, D y E estnen fase entre s.

Estar desfasados pi significa que cuando un campo es mximo el otroes mnimo, y viceversa; ambos se hacen cero simultneamente. A est encontrafase con C, y C est en contrafase con D (vea el ejemplo 2.2).

Estar desfasados pi/2 o 90, o en cuadratura, quiere decir que cuandoun campo es mximo o mnimo, el otro es cero. A est en cuadratura conB, y B est en cuadratura con C. Si el campo en un punto se describe conla funcin sen(kxt), en el otro punto con el que est en cuadratura sedescribe con la funcin cos(kxt); el desfase entre seno y coseno es 90(vea el ejemplo 2.1). En lugar de definir la fase como el argumento del seno,se puede definir como el argumento del coseno; quien as proceda, el valorque reporte de una fase diferir en pi/2 de quien haya optado ms bien porseno, suponiendo que ambos toman el mismo sistema de referencia.

En la misma posicin de equilibrio x (x fijo), x = 0 y el desfase tie-ne una interpretacin puramente temporal. Segn la ecuacin 2.3, =t = (2pi/P)t. Evaluemos el desfase para varios t,

=

(2pi/P)(P/4) = pi/2 = 90, t = P/4;(2pi/P)(P/2) = pi = 180, t = P/2;(2pi/P)(P) = 2pi = 360, t = P.

Ejemplo 2.3 La elongacin de un bloque (figura 2.2) es (t) = 0 sen(t +).Halle el desfase entre (a) la elongacin y la velocidad, (b) la elongacin y la acele-racin.

Solucin

(a) Segn la anterior ecuacin, la fase de la elongacin es =t+. La velocidaddel bloque es

Figura 2.2v = d(t)/dt =0 cos(t+) = 0 sen(t+ + pi/2);

la fase de la velocidad esv =t+ + pi/2; el desfase entre v y es

v = v = (t+ + pi/2) (t+) = pi/2.Cuando una variable es la derivada de otra, y esta se expresa con seno o coseno,

ya se sabe que el desfase entre ambas espi/2, debido a que la derivada del seno esel coseno, y del coseno esseno. Un desfase de 90 (ms generalmente, un desfasede (pi/2)mpi , m entero) entre dos variables (figura 2.3) significa que cuando unaes mxima o mnima, la otra est en su valor central, que generalmente es cero:cuando el bloque pasa por la posicin de equilibrio, movindose hacia la derecha,v es mxima, v =0, y x = 0; cuando el bloque pasa por la posicin de equilibrio,

Figura 2.3 movindose hacia la izquierda, v es mnima, v = 0, y x = 0. En el punto deretorno A, es mxima, = 0, y v = 0; en B, es mnima, = 0, y v = 0.(b) La aceleracin es

a = dv(t)/dt = 20 sen(t+) = 20 sen(t+ pi);la fase de la aceleracin esa =t+ pi ; el desfase entre a y es

a = a = (t+ pi) (t+) = pi .


Un desfase de 180 (de forma ms general, un desfase de pi 2mpi , m ente-ro) entre dos variables (figura 2.4) significa que cuando una es mxima la otra esmnima, y ambas se hacen cero simultneamente: cuando el bloque llega a A, aes mnima, a = 20, y es mximo, = 0; cuando est en B, a es mxima,a =20, y es mnima, = 0.

Figura 2.4

No se debe confundir ngulo entre dos campos vectoriales con desfase entreellos. Las lneas L1 y L2 de la figura 2.5 forman un ngulo arbitrario de 60entre ellas; el campo 1 est en la direccin de L1, el campo 2 est en ladireccin de L2. El desfase en la figura 2.5a es 0, en b es 90, en c es 180,en d es 45.

Figura 2.5 El desfase y el ngulo entre los campos son independientes.

2.1.2 Rapidez de fase

Figura 2.6 Rapidez de fase.

La figura 2.6 representa una ola que se acerca a la playa; cuando la ola pasapor determinado lugar, el agua all presente se desplaza de su posicinde equilibrio y regresa a ella una vez haya pasado; no hay transporte demasa. Fijmonos en el punto x de la figura con = 1m en cierto instante.Como = (), a un valor particular de le corresponde cierto valor dela fase. Nos podemos preguntar con qu rapidez avanza el campo de 1m,o equivalentemente, con qu rapidez se propaga la fase que hace que elcampo valga 1m. Como = 1m es constante, entonces el respectivotambin es constante. Sea = kx t + , con constante. Como escontante su derivada es cero,

ddt

= kdxdtdt

dt+ 0 = 0;

de donde

k=

dxdt

= v.

La rapidez de fase, v, es la rapidez con que la perturbacin u onda vallegando a los distintos puntos de equilibrio, x. Tambin se puede ver comola rapidez con que se propaga una fase constante; de ah su nombre rapidezde fase o, ms comnmente, velocidad de fase. El que la propagacin deun valor del campo se vea como la propagacin de una fase constante noquiere decir que donde llega cierto valor de la fase all se mantenga esevalor, pues el tiempo sigue transcurriendo, y aunque x sea constante, lafase sigue cambiando, siguen llegando al mismo punto otros valores delcampo.

Estrictamente, por velocidad nos debemos referir a un vector y no aun escalar, pero el uso de la palabra velocidad se ha generalizado en estecontexto para referirse al escalar v.


Ejemplo 2.4 Con base en lo expuesto sobre rapidez de fase, halle en qu sentidose propagan las ondas (a) = 0 sen(kxt), (b) = 0 sen(t kx) y (c) =0 sen(kx+t).

Solucin. Como v es la rapidez con que se propaga constante (o su respectivo constante) centremos el anlisis en . Lo primero de importancia en el anlisis escomprender que t siempre crece.(a) = kxt; como t crece, x debe crecer para que se mantenga constante; loque nos dice que la onda se propaga hacia la derecha, en sentido de x creciente.(b) =t kx; igual sustentacin que en (a).(c) = kx +t; como t crece, x debe disminuir para que se mantenga cons-tante; lo que nos dice que la onda se propaga hacia la izquierda, en sentido de xdecreciente.

2.2 Crtica a la onda armnica

Figura 2.7 (a) Onda no existente, (b)onda real.

La funcin monocromtica1

= 0 sen(kxt) (2.4)est definida para x (,+) y t (,+); pero ninguna onda, deningn tipo, existe en todo el universo desde x = hasta x = +, ni haexistido ni existir por siempre desde t = hasta t = + (figura 2.7a).En consecuencia, tal funcin (igual se puede decir del coseno) no puederepresentar una onda en la naturaleza, pues una onda en el mundo fsicoempieza a existir en algn momento, y ocupa una regin finita del espacio(figura 2.7b), as sea muy grande.

Aunque un ciclo de la figura 2.7a sea idntico a uno de la figura 2.7b,se puede demostrar2que se necesitan infinitas ondas del tipo de la ecuacin 2.4,cada una con su frecuencia y amplitud, para representar la onda, o mejor trende onda finito, de la figura 2.7b; de esto se ocupa el anlisis de Fourier.Por consiguiente, cuando se habla de una onda de una nica frecuencia,nos referimos a la onda imposible expresada por la ecuacin 2.4, y cuandose habla de velocidad de fase tambin nos referimos es a esa onda. Por quen un curso de fsica darle tanta importancia a la onda de la ecuacin 2.4,sabiendo que no representa ninguna onda fsica? La respuesta es doble:porque es la base para representar ondas que s existen y, adems, algunasondas reales se pueden representar, aproximadamente, mediante ella.

La relatividad especial (Einstein, 1905) predice que en la naturaleza nose presentan velocidades mayores que la de la luz, c. No hay contradiccincon esta prediccin que para una onda armnica (ecuacin 2.4) su rapidezde fase, v = /k, sea mayor que c ya que, a fin de cuentas, estrictamenteuna onda armnica no existe. Tengamos presente que cuando decimos unaonda armnica estamos hablando de una sola frecuencia.

2.3 La ecuacin de onda

Continuamos en esta seccin restringidos a una onda que tiene una soladireccin de propagacin, identificada con el eje x.

1 Monocromtica quiere decir una sola frecuencia.2 George Arfken y Hans Weber,Mathematical methods for physicists, 5.a ed., Academic Press,

San Diego, 2001, p. 913.


Cuando encontramos la ecuacin diferencial (d2y/dt2) +2y = 0, re-conocemos inmediatamente que y corresponde al oscilador armnico sim-ple y = y0 sen(+t). A continuacin hallaremos un ecuacin diferencialpara (puede ser otra variable), llamada ecuacin de onda, tal que cuan-do la encontremos inmediatamente sabemos que su solucin es la funcinde onda = (x vt). Esta es una onda viajera que se propaga con ra-pidez uniforme v, sin cambios, como una mera traslacin de la funcin = (x). Quiere decir que si el medio est en reposo y en algn lugar del producimos una perturbacin (x), la perturbacin no se queda dondela produjimos, sino que empieza a viajar con rapidez constante y sin cam-bios a travs del medio. Ejemplos: cuando un guitarrista perturba en algnpunto una cuerda de su guitarra, la perturbacin no se queda en ese puntosino que se propaga a lo largo de la cuerda; cuando lanzando una piedraperturbamos la superficie quieta de un estanque lleno de agua, la pertur-bacin no se queda en el lugar donde cay la piedra sino que se propagaen todas las direcciones en la superficie del estanque; cuando con nuestrascuerdas vocales producimos una compresin del aire, esa perturbacin nose queda en nuestra boca, sino que se propaga como sonido en todas lasdirecciones, con una rapidez de 340m/s (realmente, con una rapidez quedepende de la temperatura). Pero si hacemos una depresin en un pedazode plastilina, esta depresin no viaja a travs de ella; en la plastilina no secumple la ecuacin de onda por hallar.

Para el oscilador armnico simple, y depende solo de una variable, t;su ecuacin diferencial es ordinaria, esto es, nicamente contiene deriva-das totales, y su solucin es una funcin en particular. En cambio , cuandose propaga nicamente en la direccin x, depende de dos variables, x y t;su ecuacin diferencial contiene derivadas parciales respecto a x y a t, y susolucin no es una funcin en particular, sino la familia de funciones conargumento (x vt) o (x+ vt), compuesta por infinito nmero de funcio-nes.

Seau x vt.

Con esta definicin, (x, t) = (x vt) = (u). Derivemos a respecto ax con la regla de derivacin en cadena,

(x, t)x

=(u)x

=(u)u

ux

.

Pero (u)/u = d(u)/du y u/x = 1;

(x, t)x

=d(u)du

.

En consecuencia,2(x, t)x2

=d2(u)du2

. (2.5)

Derivemos respecto a t,

(x, t)t

=(u)t

=(u)u

ut

.

Pero (u)/u = d(u)/du y u/t = v,(x, t)t

= vd(u)du

.


En consecuencia,2(x, t)t2

= v2d2(u)du2

.

Reemplazando la ecuacin 2.5 en la anterior ecuacin obtenemos laecuacin de onda unidimensional para el desplazamiento,

2(x, t)t2

= v22(x, t)x2

. (2.6)

Esta ecuacin la hall, por primera vez, Jean le Rond dAlembert en 1747para las ondas en una cuerda, aunque con una notacin diferente.3 La so-lucin que l plante, (x, t) = 1(x vt) +2(x+ vt), se llama solucinde DAlembert. Cuando se rasga una cuerda de una guitarra en un punto,se producen, simultneamente, una onda hacia la derecha 1(x vt), y otrahacia la izquierda 2(x+ vt).

A continuacin hallamos la ecuacin de onda unidimensional para va-rios medios continuos: una barra, un gas y una cuerda. Por medio continuoqueremos decir un medio donde no tenemos en cuenta su constitucin dis-continua, atmica, tratamiento que es vlido mientras sea mucho mayorque la separacin promedio entre los tomos o molculas del medio. Pa-ra hallar la ecuacin nos basamos en la segunda ley de Newton, F = ma:la suma de fuerzas externas sobre un cuerpo es igual al producto de sumasa por su aceleracin. La relacin entre la segunda ley de Newton y laecuacin de onda se consigue con la aceleracin, pues esta es el miembroizquierdo de la ecuacin 2.6.

Resumen

El campo de una onda armnica es funcin de la fase; esta nos dice la direc-cin de propagacin de la onda, pero no la direccin del campo. Cuando sufre un cambio de 2mpi , con m entero, el campo se repite, ya sea espa-cial o temporalmente, en cuyo caso hablamos de periodicidad espacial otemporal P, respectivamente.

Un desfase entre dos variables es la resta entre sus respectivas fases.Los desfases ms notables son: cuando es un par por pi las variables estnen fase, cuando es un impar por pi estn en contrafase, cuando es un imparpor pi/2 estn en cuadratura.

La onda armnica es una idealizacin; su rapidez se llama rapidez defase, y es la rapidez con que se propaga un valor fijo de la fase, o un valorfijo del campo al que le corresponde esa fase.

Una funcin de onda que es solo una traslacin con rapidez constante vde la funcin se llama onda viajera y cumple la ecuacin de onda lineal(ecuacin 2.6).

3 Elizabeth Garber, The language of physics. The calculus and the development of theoretical

physics, Ed. Birkhuser, Boston, 1999, p. 32: ddydt2

=Tddyds2

.

Mdulo

3

Ondas en una barra

Contenido

Thomas Young (1773-1829), mdico y f-sico ingls, hizo trabajos para medir el ta-mao de las molculas y la tensin super-ficial en los lquidos. En reconocimiento asu trabajo en elasticidad se llama mdulode Young Y a una cantidad que mide larigidez de una barra. Estableci la natu-raleza ondulatoria de la luz con su impor-tantsimo experimento de la doble rendi-ja, calcul la longitud de onda de varioscolores y propuso que la luz era una ondatransversal.

3.1 Ondas longitudinales3.2 Medida del mdulo de Young3.3 Ondas transversales

Objetivos

1. Obtener las ecuaciones de onda para las ondas longitudinales ytransversales en una barra slida con la segunda ley de Newton yuna relacin simple entre la deformacin y la causa que la produce(ley de Hooke).

2. Disear un mtodo experimental para medir el mdulo de Youngde una barra.

Preguntas bsicas

1. Cules son las principales variables para estudiar la propagacinde ondas en una barra?

2. Por qu las ondas longitudinales se propagan ms rpidamenteque las transversales?

3. Qu significa el que un material sea ms rgido que otro?4. Qu aproximaciones se hacen en el modelo fsico utilizado para

estudiar las ondas en una barra?

Introduccin

Cuando dejamos de presionar con la mano una mesa, aparece una fuerzaneta recuperadora sobre las molculas de la mesa que haban dejado susposiciones de equilibrio, y se aceleran hacia ellas. El tiempo que tardan enalcanzarlas depende de la rigidez de la mesa y de su densidad. En su mo-vimiento alteran el equilibrio de molculas vecinas y as se propaga unaperturbacin por toda la mesa. En un slido se propagan ondas longitudi-nales y transversales, a diferencia de un fluido homogneo e ideal como ungas o un lquido, en el que solo se propagan ondas longitudinales. Un estu-dio riguroso de la propagacin ondulatoria en un slido real y de cualquiertamao y forma es muy complejo; para iniciarlo es necesario restringirlo auna barra, donde la propagacin es solo en la direccin de la barra y lasfuerzas deformantes se pueden expresar con ecuaciones muy simples. Unavez entendido este caso sencillo, se pueden estudiar casos ms complejos,como las ondas en un bloque slido, en libros de elasticidad ms avanza-dos.

17

Mdulo 3 Ondas en una barra 19

3.1 Ondas longitudinales

Cuando golpeamos un slido, a travs suyo se propagan ondas longitu-dinales y transversales. Para su estudio dinmico adoptamos un modelomuy simple sobre el tipo de fuerza que se genera a medida que la ondaavanza. Una suposicin fundamental es que se generan fuerzas longitudi-nales independientes de las transversales, situacin que nunca se presenta.Se deben utilizar tensores1 para describir ms fielmente el fenmeno de lapropagacin en slidos. Aqu trabajaremos con una relacin lineal entre ladeformacin y la fuerza recuperadora, o ley de Hooke. A pesar de lo sim-ple, el modelo es muy til para ahondar en la comprensin de las ondas;adems, muchas situaciones reales se aproximan a sus predicciones teri-cas.

Figura 3.1 Barra dividida en elementosde volumen.

En la figura 3.1 se ilustra una barra de seccin transversal constante A,dividida en elementos de volumen de grosor x. Cuando nos refiramos aun elemento en particular, nos referimos es a su centro de masa. Por la ac-cin de un golpe en el extremo izquierdo, el primer elemento se comprimeun poco y su centro de masa se desplaza hacia la derecha. Al separarse desu posicin de equilibrio, sobre el elemento aparecen fuerzas recuperado-ras que lo regresan a su situacin inicial, pero en el proceso transfiere al se-gundo elemento el momento lineal p que le fue dado con el golpe. Despusel segundo elemento le hace al tercero, lo que el primero le hizo a l, y assucesivamente . . . la onda se va propagando hacia la derecha. Si ante unadeformacin no se generaran fuerzas recuperadoras, el primer elemento sequedara comprimido sin regresar a su posicin inicial, y no se propagarauna onda. Para la propagacin es necesario que el medio sea elstico, estoes, que se generen fuerzas recuperadoras; lo contrario a elstico es pls-tico, y como ejemplo de material plstico tenemos a la plastilina. Por loanterior, a las ondas en los medios materiales se les llama ondas elsticas,u ondas mecnicas por seguir las leyes de la mecnica de Newton.

Figura 3.2 del primer elemento.

En la figura 3.2 se amplifica, sin perspectiva, el primer elemento de vo-lumen de la barra. El punto 1 es el centro de masa antes de que la barrasea golpeada, el punto 2 es el centro de masa del elemento comprimidopor el golpe a lo largo del eje de la barra. El segmento 1-2 es ; este cam-po de desplazamiento se propaga con una rapidez v que depende de laspropiedades fsicas de la barra. La onda avanza en sentido+x, y2 est endireccin x, lo que define a estas ondas como longitudinales; con notacinvectorial, v = uxv y = ux . La velocidad v siempre est dirigida haciala derecha; en cambio est dirigido hacia la derecha o hacia la izquierda,dependiendo de x y de t.

La fuerza sobre una cara de un elemento de volumen vara a lo largode la barra y siempre acta sobre toda el rea A. Definimos el esfuerzode tensin o esfuerzo normal, Sl , como la fuerza perpendicular al rea,dividida por el rea,

Sl = F/A. (3.1)

El esfuerzo tiene unidades de presin, [Sl ] = N/m2.En la figura 3.3 se muestra un elemento de volumen de grosor x con

su cara izquierda en la posicin de equilibrio x y la derecha en la posicinde equilibrio x + x; tambin se muestra la posicin del mismo elemen-to un poco ms tarde, en el tiempo t. Bajo la accin de fuerzas, la cara

1 William Elmore y Mark Heald. Physics of waves, Dover Publications, Nueva York, 1969,caps. 3 y 7.

2 Note que est en negrilla, y por lo tanto es un vector. Al escribir a mano, en lugar denegrilla, para los vectores se debe utilizar una flecha, y para los vectores unitarios un gorro.


izquierda se desplaza (x, t) y la derecha (x+ x, t); si estos valores fue-ran iguales, no habra onda sino una simple traslacin de la barra en lacantidad . Por ejemplo, cuando empujamos una mesa de largo L, el la-do donde empujamos y el lado opuesto se trasladan, aproximadamente, lamisma cantidad, y as la mesa permanece inalterada, sin comprimirse niexpandirse: (x, t) = (x + L, t). Pero una onda elstica es precisamentela propagacin de deformaciones, de compresiones y expansiones: cuandouno mueve un bolgrafo que tiene sobre la mano, todos sus puntos experi-mentan el mismo y no hay onda a travs de l.

Figura 3.3 Deformacin de un elemento.

El nuevo grosor del elemento por fuera de su posicin de equilibrioes x+ , donde x es el grosor inicial y la deformacin es = (x+x, t)(x, t). La deformacin por unidad de longitud o deformacin portensin, l , es, entonces,

l =

x=(x+ x, t)(x, t)

x. (3.2)

Vemos que l > 0 implica que > 0 y (x + x, t) > (x, t), y por lotanto el elemento de volumen a la derecha en la figura 3.3 est expandidoa lo largo del eje x; l < 0 quiere decir que est comprimido.

Tomando el lmite en la ecuacin 3.2 cuando x 0, notamos que elmiembro derecho es la definicin de /x,

l = limx0

x= limx0

(x+ x, t)(x, t)x

=x

. (3.3)

La deformacin por tensin es causada por el esfuerzo de tensin. Su-pongamos que la relacin entre ellos es lineal, esto es, supongamos que secumple la ley de Hooke en la barra, Sl l . La constante de proporciona-lidad es elmdulo de Young, Y, de la barra,

Sl = Yl oFA

= Yx

. (3.4)

La anterior ecuacin nos da el tipo de fuerza que acta sobre el elemento demasa y podemos proceder a aplicarle la segunda ley de Newton al elemen-to: la fuerza neta es la fuerza F = F(x+x, t) que la seccin derecha de labarra le ejerce, menos la fuerza F = F(x, t) que le ejerce la seccin izquier-da; la masa m es la densidad por el elemento de volumen V = Ax; laaceleracin a es 2/t2 (ecuacin 1.3, p. 5),

Fexterna = F F = ma = F(x+ x, t) F(x, t) = (Ax)2

t2.

Cuando x 0, F F = dF y x = dx,

dF = (A dx)2t2

.

Como depende de x y t, es claro que F tambin, y su diferencial totales

dF =Fx

dx+Ft

dt.

Las dos ltimas ecuaciones son iguales,

(A dx)2t2

=Fx

dx+Ft

dt.


Como el desplazamiento de las caras derecha e izquierda es medido en elmismo t en la figura 3.3, a la cual hemos referido la segunda ley deNewton,entonces dt = 0 y cancelamos dx,

A2t2

=Fx

. (3.5)

Despejemos a F de la ecuacin 3.4 y derivemos respecto a x,

Fx

=x

(AY

x

). (3.6)

Cuando aplicamos una fuerza a un slido, el cambio relativo de volu-men es muy bajo, es muchsimo menor que 1; para un gas o un lquido, enlas mismas condiciones que el slido, el cambio relativo es mucho mayor.En la figura 3.3 el volumen del elemento inicial y del elemento deformadoson, con muy buena aproximacin, iguales, aunque por claridad en la fi-gura no lo sean. Como el grosor de ambos elementos es distinto, entoncessus secciones transversales tambin lo son. Estrictamente, el rea dependede x: A = A(x, t); la deformacin longitudinal conlleva una deformacintransversal. Vamos a suponer deformaciones muy bajas, donde bajas quieredecir x, esto es, l 1 (ecuacin 3.2). (Por supuesto que la defor-macin en la figura citada est exagerada; vea el ejemplo 3.1, p. 23). Eneste caso de baja deformacin, podemos tratar a A como constante y sacar-la de la derivada. Como estamos desarrollando la fsica para un materialhomogneo, Y tampoco depende de x y la ecuacin 3.6 toma la forma

Fx

= AY2x2

.

Igualemos esta ecuacin a la ecuacin 3.5, cancelemos A y despejemos laaceleracin,

2t2

=Y

2x2

. (3.7)

Esta ecuacin (comprela con la ecuacin 2.6, p. 16) nos dice que la pertur-bacin de la figura 3.2 no se queda en el sitio donde se produjo, sino queviaja con rapidez v constante,

v =Y/. (3.8)

En la tabla 4.1, p. 29, se da el mdulo de Young de algunos materiales.El valor predicho por la ecuacin anterior se cumple bastante bien en unabarra delgada, pero es notablemente inferior a la rapidez con que se propa-gan las ondas longitudinales en un bloque, pues las fuerzas recuperadorasya no se pueden expresar de una forma tan sencilla como hicimos en laecuacin 3.4.

3.2 Medida del mdulo de Young

Para medir el mdulo de Young de un material, se suspende de un soportefijo (x = 0 en la figura 3.4) un alambre de longitud L0 y dimetro o seccintransversal A conocida (figura 3.4a). Luego se le suspende una masa M,mucho mayor que la masa del alambre, y se mide el estiramiento ` (figu-ra 3.4b).


Figura 3.4 Medicin de Y.

Recuerde que x no indica la posicin de un punto de la cuerda, sinola posicin de equilibrio de un punto de ella. Homologando3 la figu-ra 1.1, p. 5, con la figura 3.4, en aquella hacemos coincidir el eje x con lacuerda, el origen de coordenadas con el punto de suspensin, y (x) lohacemos paralelo al eje x en lugar de perpendicular.

La posicin de equilibrio vara entre x = 0 y x = L0. La posicin deequilibrio x = L0 + ` no existe, ya que en la figura 3.4b todos los puntosestn desplazados de su posicin de equilibrio respecto a la figura 3.4a.Como la cuerda sigue unida al punto de suspensin cuando se le agregala carga M, quiere decir que el punto x = 0 no se desplaza de ese sitio:(0) = 0. En cambio el punto con x = L0 sufre el mximo desplazamientode esta posicin de equilibrio, (L0) = `.

La tensin es mayor en x = 0 que en el resto de la cuerda, ya quepor debajo del origen est la masa de la cuerda ms la carga; pero comomcuerda M, es buena aproximacin tomar como tensin en la cuerdasolo el peso de M. Sea F la tensin del alambre, F = Mg.

Despejemos a F de la ecuacin 3.4 y multipliquemos por dx,

F dx = AYx

dx. (3.9)

depende de x y de t, y su diferencial total es d(x, t) = (/x) dx+(/t) dt. Pero t es fijo, dt = 0; esto quiere decir que en el instante enque medimos (0) en la figura 3.4b, tambin medimos a (L0) y d(x, t) =(/x) dx. Reemplacemos esta ecuacin en la ecuacin 3.9,

F dx = AY d .

Integrando, F sale de la integral, al igual que A y Y. Realmente A debedisminuir cuando el alambre se alarga, pero en un experimento real unalambre de 2m de longitud se puede alargar solo 0.5mm, de modo que elcambio del dimetro del alambre es despreciable respecto a su valor inicial,

F L00

dx = AY `0d , (3.10)

FL0 = AY`,

de dondeY =

FL0A`

. (3.11)

Las cuatro cantidades F, L0, A y ` son fcilmente medibles, y as se pue-de averiguar en el laboratorio el mdulo de Young del material del queest hecho el alambre. Note que de varias muestras de materiales distin-tos, pero con iguales F, L0 y A, el que menos se alargue es el de mayor Y.Por ejemplo, como Y del hierro es mayor que Y del aluminio, quiere decirque en igualdad de condiciones, ante una fuerza igual, se deforma ms lamuestra de aluminio que la de hierro; otra manera de verlo es as: ante unamisma deformacin, la fuerza recuperadora que aparece en el hierro es mayor queen el aluminio.

3.3 Ondas transversales

En la figura 3.5 se ilustra una seccin de una barra horizontal sin pertur-bar. En el extremo izquierdo, mediante una fuerza perpendicular al eje de

3 Homologar: equiparar, poner en relacin de igualdad dos cosas.


la barra, se producen ondas que, cuando llegan al elemento de grosor x,desplazan transversalmente su cara izquierda en(x, t) y su cara derecha en(x+ x, t). Mientras que la onda avanza horizontalmente, los diferenteselementos de masa se desplazan transversalmente; con notacin vectorial,v = uxv y = uy . Esto corresponde a una onda transversal. Las fuerzasson perpendiculares al eje de la barra, y por esta razn se les llama fuerzasde corte o de cizalladura. Las deformaciones y fuerzas son, en la realidad,ms complejas que lo dicho y mostrado en la figura; sin embargo, este mo-delo da buenos resultados en muchas situaciones prcticas.

Figura 3.5 Onda transversal en una barra.

El esfuerzo de corte o de cizallamiento St se define como la fuerza pa-ralela o tangencial a las caras sobre el rea transversal de la barra (comparecon la ecuacin 3.1),

St = F/A. (3.12)

La deformacin de corte o de cizallamiento t es

t = limx0

x= limx0

(x+ x, t)(x, t)x

=x

. (3.13)

Matemticamente esta ecuacin es idntica a la ecuacin 3.3; la diferenciaes fsica: en la primera, los estn en la direccin x; en la ltima, los sonperpendiculares a x, tal vez con componentes y y z.

Dentro de los lmites elsticos del material, se cumple la ley de Hooke,

St = St, oFA

= Sx

. (3.14)

S se llamamdulo de corte del material; en la tabla 4.1, p. 29, se da el m-dulo de corte de algunas sustancias. Ante una deformacin longitudinaligual a una deformacin transversal, siempre es mayor la fuerza recupera-dora en el primer caso, ya que Y > S.

Segn la segunda ley de Newton, dF = (dm)a:

Fx

dx = (A dx)2t2

.

Cancelemos dx,Fx

= A2t2

.

Despejemos a F de la ecuacin 3.14, derivemos respecto a x, igualemosa la anterior ecuacin y cancelemos A para obtener

2t2

=S

2x2

. (3.15)

Esta ecuacin nos dice que la perturbacin de la figura 3.5 no se queda enel sitio donde se produjo en la barra, sino que viaja con rapidez v constanteigual a

v =S/. (3.16)

Como siempre Y > S, la rapidez de las ondas longitudinales siemprees mayor que la de las transversales en un mismo material.

Ejemplo 3.1 Una esfera de hierro de 10.0 kg se une a un extremo de un alambre deacero de 3.00m de longitud; el otro extremo se suspende del techo, y se hace oscilarel pndulo as formado con una amplitud de 60.0 (figura 3.6). La seccin transver-sal del alambre es de 1.00mm2, acero = 7.80 g/cm3 y Yacero = 2.0 1011 N/m2.Halle el estiramiento del alambre cuando pasa por la posicin ms baja.


Solucin. Cuando una barra se somete a un tensin longitudinal T, el estiramientol se despeja de la ecuacin 3.11, reemplazando a F por T. La tensin depende delngulo y l() = T()L/YA. En el punto ms bajo,

l(0) = T(0)L

YA. (3.17)

Sea m la masa de la esfera. Se podra pensar que T(0) = mg, pero la posi-cin ms baja no es de equilibrio, puesto que la esfera se mueve en un arco decircunferencia, y la aceleracin centrpeta, v2/r, es diferente de cero; la aceleracintangencial s es cero en = 0. El estudiante debe comprobar que el radio de laesfera (hierro acero) es cerca de 6.7 cm y que malambre 23 g. Podemos enton-ces despreciar, respecto a L, a resfera; respecto a m podemos despreciar a malambre.Tambin debe demostrar que 1mm2 = 106m2.

Figura 3.6 La longitud depende de . Con base en el anterior prrafo, y puesto que el problema es especialmente dedinmica y no de ondas, el estudiante debe demostrar que si mx = 60, entoncesT(0) = 2mg. Reemplazando en la ecuacin 3.17 obtenemos

l(0) = 2mgLYA

=2(10 kg)(9.76m/s2)(3m)

(2.0 1011 N/m2)(106 m2) 3 103 m = 3mm.

El alambre en su posicin ms baja se estira una milsima de su longitud inicial ymide 3m+ 3mm.

Resumen

En una barra podemos utilizar la aproximacin de que las deformacioneslongitudinales y transversales son independientes. Planteamos una ley deHooke para ambas; mientras ms baja la deformacin, ms cercanas estnlas predicciones tericas a los resultados experimentales. Las ecuacionesde onda 3.7 y 3.15 son matemticamente idnticas a la ecuacin 2.6.

La ley deHooke, ecuacin 3.4, es una definicin operacional del mdu-lo de Young. Se llama operacional porque a partir de ella podemos disearlas operaciones experimentales necesarias para cuantificarlo, diseo quehicimos en la seccin 3.2: se suspende una masa M de un alambre de lon-gitud L0 y rea transversal A, se mide el estiramiento ` causado por el pesode M y se aplica la ecuacin 3.11.

Mdulo

4

Ondas en un fluido

Contenido

Cuando alguien habla, produce fluctua-ciones o perturbaciones en la presin ydensidad del aire en su boca, las cualesse propagan en todas las direcciones conuna rapidez que depende de las propieda-des del aire, no de qu tan fuerte hableo de qu frecuencias tenga el sonido quepronuncie.

4.1 Ondas en un fluido4.2 Dependencia de la rapidez con la temperatura4.3 Ondas ssmicas

Objetivos

1. Determinar la ley de Hooke para un fluido.2. Hallar la relacin entre las ondas de desplazamiento, presin y

densidad en un fluido.3. Encontrar la dependencia de la rapidez del sonido en un gas con

la temperatura.4. Comprender por qu una onda de desplazamiento genera ondas

de presin y de densidad.

Preguntas bsicas

1. Cmo se propaga el sonido en el aire?2. Son independientes entre s las diferentes ondas en un fluido, o

son diferentes aspectos de un solo proceso?3. Qu significan amplitud de presin y amplitud de densidad?4. Por qu a mayor temperatura de un medio mayor la rapidez de

las ondas en l?5. Qu significa que la onda de desplazamiento est desfasada 90

con las de densidad y de presin y estas estn en fase entre s?

Introduccin

Una diferencia muy notable entre un slido y un fluido, como un gas oun lquido, es la compresibilidad. Consideraremos fluidos ideales, esto es,no viscosos. En condiciones comunes de presin y temperatura, los resul-tados que obtendremos con el tratamiento terico que haremos coincidemuy bien, en especial para los gases, con medidas experimentales. Supon-dremos que el fluido est encerrado en un cilindro metlico de seccintransversal A, lo que nos facilita el tratamiento terico. Las relaciones queobtendremos entre desplazamiento, presin y densidad para el sonido enel aire, son iguales a si el aire est encerrado en un cilindro, o si el sonidose propaga en un espacio abierto.

25

Mdulo 4 Ondas en un fluido 27

4.1 Ondas en un fluido

Figura 4.1 Onda en un gas.

En la figura 4.1 se muestra un cilindro que se llena con un gas hasta unadensidad 0 y presin p0; estos parmetros reciben el nombre de densidadesttica o de equilibrio y de presin esttica o de equilibrio respectiva-mente; en el lugar donde vivamos corresponden con la densidad y presinatmosfricas.1

El sonido es fluctuaciones de la presin y la densidad alrededor desus valores estticos.

Tambin se muestra un elemento de volumen, cuando no hay ondas,de grosor x, con presin y densidad, obvio, p0 y 0. En la izquierda delcilindro se produce, con un pistn o un parlante, una perturbacin que,cuando llega a tal elemento, lo saca de su posicin de equilibrio x, lo llevaa una nueva posicin un tiempo ms tarde, cambindole la presin a unnuevo valor p y la densidad a un valor . Estos son los valores absolutoso instantneos de la presin y la densidad, dependientes de x y de t. Elcambio de presin y de densidad es lo que constituye el sonido; a p =p p0 se le llama presin acstica u onda de presin, a = 0 se lellama densidad acstica u onda de densidad.

Cuando la frecuencia con que p y cambian es de 440Hz, al soni-do se le llama la central, y corresponde al sonido que se escucha cuan-do levantamos el telfono; cuando cambia a 261.6Hz, se le llama do cen-tral. El odo humano normal escucha frecuencias en el rango 20-20 000Hz.2

En ecografas y exmenes de tejidos se utiliza ultrasonido de alrededor de4MHz; en unmicroscopio acstico las ondas sonoras pueden ser de 4GHz.Con sonido se trazan mapas del fondo del mar, ya que no se pueden usarondas electromagnticas debido a que el agua salada las absorbe comple-tamente a los pocos centenares de metros de profundidad. Ultrasonido de35 kHz se utiliza en el agua para producir cambios de presin que provo-can la aparicin de pequeas cavidades de vapor que al sufrir implosinlimpian las superficies de los cuerpos sumergidos; a este fenmeno de for-macin de cavidades o burbujas se le llama cavitacin.

Iniciemos la tarea de encontrar la ecuacin de onda para el fluido (ecua-cin 2.6, p. 16): como la densidad de un gas cambia notablemente ante uncambio de presin, no la podemos aproximar a una constante como hici-mos con la barra. La masa del elemento en su posicin de equilibrio (figu-ra 4.1) es igual a la masa fuera de ella,

0V0 = V,0(Ax) = [A(x+ )].

Cancelemos A. En el lmite cuando x 0, hacemos x = dx y = d ,0 dx = (dx+ d). (4.1)

Como t es fijo, esto es, en el instante en que medimos a (x, t) tambinmedimos a (x+ dx, t), entonces dt = 0 y d = (/x) dx. Despus dereemplazar en la ecuacin 4.1 y cancelar a dx obtenemos que la densidadinstantnea es

=0

1+ /x= 0(1+ /x)1. (4.2)

1 En Medelln, patm = p0 = 640mmHg, atm = 0 1.0 kg/m3.2 Algunos rangos de audicin: perro 60Hz-45 kHz, gato 40Hz-60 kHz, vaca 20Hz-35 kHz,

caballo 50Hz-33 kHz, rata 200Hz-76 kHz, murcilago 2 kHz-140 kHz, ballena beluga 1 kHz-125 kHz, atn 50Hz-1.1 kHz, pollo 120Hz-2 kHz.


Suponemos que la onda transporta bajas energas, donde bajas quieredecir que el volumen del elemento no perturbado difiere muy poco del vo-lumen del elemento perturbado; grficamente, en la figura 4.1 esto quieredecir que x. Tomando el lmite,

d dx,(/x) dx dx.

Cancelando dx, obtenemos que bajas deformaciones o bajas energas quieredecir

/x 1.Con el binomio de Newton se puede probar que cuando a 1, (1 +

a)1 1 a. Aplicando esta aproximacin a la ecuacin 4.2, con a =/x, obtenemos

= 0(1 /x).Despejemos la onda de densidad,

= 0 = 0 /x. (4.3)Esta ecuacin inmediatamente implica que el desfase entre las ondas dedesplazamiento y de densidad es pi/2, ya que si una de ellas est expresadacon seno, la otra lo est con coseno, debido a que y estn relacionadasa travs de una derivada, y la derivada de seno es coseno, y de coseno esseno. Para (x, t) = 0 sen(kxt),

= 00k cos(kxt). (4.4)El coeficiente del coseno se llama amplitud de densidad, R0,

R0 = k00.

La densidad acstica es

= R0 cos(kxt).La mxima densidad acstica se obtiene con cos(kxt) = 1,

mx = ( 0)mx = R0.De donde

mx = 0 +R0.

Figura 4.2 Variacin de .

La densidad mnima esmn = 0 R0.

La densidad vara entre mx y mn, fluctuando alrededor del valor 0 (fi-gura 4.2). En la vida cotidiana (por ejemplo, cuando hablamos), 0 es ladensidad atmosfrica y R0 puede tener un valor cercano a 105 kg/m3, yesto es unas cien mil veces menor que 0!; realmente el sonido es peque-as fluctuaciones de la densidad (pequeas quiere decir /0 1, o seacambios relativos pequeos).

Procedamos a obtener la ley de Hooke para el gas: la presin es funcinde la densidad, p = p().3 Como el sonido es pequeas fluctuaciones de py , es til expresar a p en series de Taylor alrededor de 0,

p() = p(0) + ( 0)(dpd

)0

+ 12 ( 0)2(d2pd2

)0

+ .

3 Para la atmsfera, que se comporta muy aproximadamente como un gas ideal, pV =nRT; de esta ecuacin se puede obtener una relacin entre p y .


Tabla 4.1 Densidad y mdulos de algunas sustancias.

Material (103 kg/m3) Y (1010 Pa) S (1010 Pa) B (1010 Pa)Agua 1.0 0.21Acero 7.8 20 7.5 16Aluminio 2.7 7.0 2.5 7.5Cobre 8.9 11 4.4 14Latn 8.6 9.0 3.5 6.0Hierro 7.8 21 7.7 16Mercurio 13.6 2.8Plomo 11.3 21 7.8 17

Cuando la densidad es 0 la presin es p0, p(0) = p0. Reemplacemos = 0 en la anterior expansin y multipliquemos y dividamos por0 a partir del segundo trmino del miembro derecho para obtener

p = p0 +

00

(dpd

)0

+ 12

(

0

)220

(d2pd2

)0

+ .

Para cambios relativos pequeos de la densidad, /0 1, (/0)2 1 . . . y en la anterior expansin conservamos solo hasta el segundo trmino,

p = p0 +

00

(dpd

)0

.

Elmdulo volumtrico del fluido es B = 0(dp/d)0 ,

p = p0 + (B/0).

Por definicin, p = p p0. Llegamos as a la ecuacin que nos relacionala onda de presin con la onda de densidad,

p = (B/0).

Esta ecuacin nos dice que la onda de presin est en fase con la de densi-dad; si se expresa con seno, p se expresa con la misma funcin. Reem-placemos en la anterior ecuacin la ecuacin 4.3,

p = p p0 = B/x. (4.5)La anterior ecuacin corresponde a la ley de Hooke para un fluido. Con = 0 sen(kxt),

p = Bk0 cos(kxt).El coeficiente del coseno se llama amplitud de presin, P0,

P0 = Bk0. (4.6)

La presin acstica es

p = P0 cos(kxt).

FISICOSHighlight

FISICOSNoteNo es sto un abuso de notacin? porque creo que con >>


Figura 4.3 Variacin de p.

La presin mxima es pmx = p0 + P0; la presin mnima es pmn =p0 P0. La presin vara entre pmx y pmn, fluctuando alrededor de p0(figura 4.3).

Estar en fase la presin y la densidad significa que en los puntos e ins-tantes cuando la presin es mxima, la densidad tambin lo es. El que estnen fase est de acuerdo con nuestra experiencia cotidiana: cuando aumen-tamos la presin sobre un cuerpo, disminuye su volumen y en consecuen-cia aumenta la densidad.

En nuestro objetivo de hallar la ecuacin de onda an nos falta aplicarla segunda ley de Newton al elemento de masa de la figura 4.1: como ungas tiende a ocupar el mximo volumen, sobre la cara derecha acta unafuerza compresiva F dirigida hacia la izquierda, F = pA; sobre la caraizquierda acta otra fuerza F compresiva dirigida hacia la derecha, F =pA. La fuerza resultante es F + F = pA + pA = A(p p); esta restade presiones es la presin en la cara izquierda menos la presin en la caraderecha, y por lo tanto esp, ya que el de una funcin se define como lafuncin evaluada a la derecha menos la funcin evaluada a la izquierda: lafuerza neta es pA; la masa es 0Ax y la aceleracin es 2/t2. Segnla segunda ley de Newton, cuando x 0,

A dp = (0A dx)2

t2. (4.7)

La presin depende de x y t. Para t fijo, dt = 0 y el diferencial total de p esdp = (p/x) dx. Reemplazando en la ecuacin 4.7 y cancelando A y dxobtenemos

px

= 0 2

t2. (4.8)

Segn la ecuacin 4.5, p = p p0 = B/x; derivemos respecto ax, y tengamos en cuenta que p0 es constante a lo largo del tubo,

px

= B2

x2.

Igualemos esta ecuacin a la ecuacin 4.8 y despejemos la aceleracin,

2t2

=B0

2x2

. (4.9)

Esta ecuacin de onda nos informa que cuando perturbamos un fluido, laperturbacin no se queda en el sitio que se produce, sino que se propagaondulatoriamente con rapidez4

v =B/0. (4.10)

Tambin se puede demostrar que la presin y la densidad cumplen lasecuaciones de onda,

2pt2

=B0

2px2

,2t2

=B0

2x2

.

4 La expresin v =B/0 la obtuvo Newton, pero utiliz un valor de B que corresponde

a un proceso isotrmico, cuando a frecuencias audibles el sonido en el aire es un procesoadiabtico, y por lo tanto el valor que predijo para la rapidez del sonido es considerablementeinferior al valor real. Solo en 1816 Laplace trat correctamente como adiabtica la propagacinsonora.


Como p0 y 0 son constantes, sus derivadas espaciales y temporales soncero y podemos reemplazar a p por p p0 = p y a por 0 = ,

2pt2

=B0

2px2

,2t2

=B0

2x2

.

Figura 4.4 Ondas de desplazamiento, pre-sin y densidad.

Figura 4.5 Un fluido no transporta esfuer-zos transversales.

Es claro que en el fluido se propagan, simultneamente, ondas de des-plazamiento longitudinales, de presin y de densidad, desfasadas entre s(figura 4.4) y con rapidez v =

B/.

Si no hay fuerzas recuperadoras ante una deformacin, no hay ondas.Como un fluido ideal, o sea no viscoso, no puede transmitir esfuerzostransversales ni deformaciones transversales, entonces tampoco es posibleque en l se propaguen ondas transversales. En un fluido solo se propaganondas longitudinales. Vemoslo as: una lmina tapa el extremo izquierdo deun tubo lleno de un fluido, como aire o agua (figura 4.5). Con la intencinde producir una deformacin transversal, movemos hacia arriba la lmina,pero el fluido sigue inalterado, como si la lmina estuviera quieta. En cam-bio, si en lugar del tubo hubiera una barra, al mover la lmina, por merafriccin, los tomos en contacto con la lmina se desplazaran ligeramentede su posicin de equilibrio, generndose una fuerza recuperadora ante taldeformacin, y dando origen a una onda transversal.

4.2 Dependencia de la rapidez con latemperatura

La gran mayora de ondas elsticas en un gas, en particular en el aire, tie-nen frecuencias inferiores a 109Hz. Hasta esta frecuencia el proceso de pro-pagacin ondulatoria es un fenmeno adiabtico, por encima de ella es unproceso isotrmico.5

En la aproximacin adiabtica, B = p0, donde = Cp/CV (Cp es lacapacidad calorfica molar a presin constante y CV es a volumen constan-te),

=

1.67, gases monoatmicos,1.40, gases diatmicos,1.33, gases poliatmicos.

Reemplacemos B = p0 en la ecuacin 4.10,

v =p0/0. (4.11)

Figura 4.6 Un cubo de gas.

La presin del gas de la figura 4.6 es p0, el volumen es V, el nmero demoles es n, la temperatura es T, la masa total es m. La ecuacin de estadopara un gas ideal es

poV = nRT,

donde R = 8.31 J/mol K es la constante universal de los gases ideales.Dividamos por m,

pom/V

=RTm/n

.

La densidad es 0 = m/V y la masa molar es M = m/n,

p00

=RTM

.

5 Allan Pierce, Acoustics, Acoustical Society of America, Nueva York, 1994, p. 36.


Por lo tanto p0 = 0RT/M. Reemplacemos en la ecuacin 4.11 y cancele-mos 0,

v =RT/M =

(R/M)T.

R es constante, solo depende del nmero de tomos de cada molcula; lamasa molar M s es caracterstica de cada gas. Definamos para un gas enparticular la constante,

gas =R/Mgas. (4.12)

La penltima ecuacin la expresamos como

v = gasT.

Aunque la densidad de la atmsfera disminuye notablemente con laaltura, su composicin porcentual es muy uniforme hasta poco menos delos 100 km: el aire est compuesto de 78% de N2, 21% de O2, 1% de agua,argn, dixido de carbono y otros compuestos menos abundantes. La tem-peratura tambin decrece rpidamente hasta una altura de 17 km (comparecon la altura del Everest: 8748m).

Vemos que el aire est compuesto en un 99% por gases diatmicos, porlo que aire = 1.40. Su masa molar equivalente es Maire 0.78MN2 +0.21MO2 = 0.78 0.028 + 0.21 0.032 0.029 kg/mol. Reemplacemosen la ecuacin 4.12,

aire =

RMaire

=

1.40(8.31 J/mol K)

0.029 kg/mol= 20m/s K1/2.

La rapidez del sonido en el aire es

vaire = aireT, con aire = 20m/s K1/2. (4.13)

Hasta una altura cercana a los 100 km en la atmsfera, la concordancia delas predicciones de esta ecuacin terica con las medidas experimentaleses excelente.

4.3 Ondas ssmicas

Figura 4.7 Interior de la Tierra.

Cuando golpeamos un slido, se propagan en l ondas longitudinales (l) yondas transversales (t). Solo si el slido tiene la forma de una barra delga-da, la rapidez est dada por las ecuaciones vl =

Y/ y vt =

S/. Para

un bloque, el estudio de las ondas es ms complejo que el visto aqu, deuna barra, pero se sigue cumpliendo que vl > vt.

En el foco A (la figura 4.7 representa a la Tierra y no est a escala) deun terremoto se producen ondas longitudinales y ondas transversales. Alas longitudinales se les llama ondas P y a las transversales ondas S. A unpunto en la superficie terrestre, como al epicentro C, llegan primero las on-das P (P de primero) que las S (S de segundo o del ingls shear, que significacortar). Conociendo la diferencia de tiempo en la llegada de las dos ondas,se puede saber la distancia del foco.

Las ondas ssmicas P se propagan con v 6 km/s o poco ms de20 000 km/h (dimetro terrestre 13 000 km). Note que 20 000 km/h esun nmero cercano a la rapidez de las ondas L en una barra de hierro o dealuminio.


Adems de conocer la distancia del foco al lugar de recepcin de lasondas, tambin se puede saber su direccin. Se ha notado que en la direc-cin de A a un punto B situado sobre la superficie entre el arco DE, nuncase propagan ondas transversales sino longitudinales. Como vimos, esto escaracterstico de un fluido, por lo que se ha concluido que hay un ncleofluido en el interior de nuestro planeta. Las lneas AD y AE son tangentesa dicho ncleo.

Ejemplo 4.1 Combinando las ecuaciones

p = p0 B x ypx

= 0 2

t2,

obtenga la ecuacin de onda para la presin en una columna de gas.

Solucin. Tomemos la segunda derivada respecto al tiempo de la primera ecuaciny conmutmosla con la derivada espacial,

2pt2

= B x

(2t2

).

Despejemos a 2/t2 de la segunda ecuacin y reemplacemos en la anterior,

2pt2

= B x

( 10

px

)=

B0

2px2

.

Ejemplo 4.2 Con este ejemplo queremos ilustrar el proceso de produccin de so-nidos al tocar (a) una flauta, (b) una trompeta.6

(a) En la figura 4.8a, correspondiente a un corte transversal, la presin dentro de laflauta es la presin atmosfrica p0, la corriente de aire producida por el msico dasobre la boquilla y entra con mxima velocidad a la flauta. Definamos como cero lafase de la presin en su interior.

En la figura 4.8b ha transcurrido un cuarto de perodo, la presin llega al m-ximo pmx = p0 +P0 (P0: amplitud de presin), deja de entrar aire y un instantedespus empieza a salir aire por la boquilla. La fase vale pi/2.

Figura 4.8 Un ciclo de la emisin de unanota.

En la figura 4.8c ha transcurrido otro cuarto de perodo, la presin ha mermadohasta p0, el aire sale con mxima velocidad. La fase vale pi .

En la figura 4.8d ha transcurrido un cuarto de perodo ms, la presin llega almnimo pmn = p0P0, el aire deja de salir y un instante despus empieza a entrar.La fase vale 3pi/2.

Entre las figuras 4.8d y 4.8a transcurre otro cuarto de perodo, la presin aumen-ta hasta p0, el aire entra al mximo, la fase vale 2pi y se completa un ciclo. Cuando elmsico toca un la central, este proceso se repite 440 veces en un segundo. Comparela figura 4.8 con la figura 4.4.(b) En la figura 4.9a, inicio de un ciclo, definimos la fase como cero, los labios estncerrados y dan contra la boquilla de la trompeta. La presin del aire sobre los labioses mxima.

En la figura 4.9b ha transcurrido un cuarto de perodo, la fase es 90, los labiosestn abiertos, y debido a su inercia continan abrindose hasta un mximo que sealcanza otro cuarto de perodo ms tarde, figura 4.9c; la fase es 180. La rapidezdel aire a travs de los labios es mxima y, de acuerdo con la ecuacin de Bernoulli,la presin es mnima. Al ser mxima la separacin entre los labios la fuerza mus-cular que tiende a cerrarlos tambin es mxima porque estn sometidos al mayoresfuerzo, y se inicia el proceso de cierre de los labios.

En la figura 4.9d ha transcurrido un cuarto de perodo ms y los labios estnparcialmente cerrados; la fase vale 270.

Figura 4.9 Un ciclo de la emisin de unanota.

Entre d y a transcurre el ltimo cuarto de perodo, los labios se cierran, la pre-sin se hace mxima. La fase vale 360 y se completa un ciclo que se repite segn

6 Harry Olson, Music, physics and engineering, Dover Publications, Nueva York, 1967,pp. 133-134, 161-162.


la frecuencia de la nota emitida. La onda producida por los labios se asemeja a unaseal diente de sierra y no a una funcin armnica. Si fuera un do central los la-bios vibraran con una frecuencia de 261.6Hz y, en consecuencia, la presin del airetambin cambiara con igual frecuencia. El msico puede variar modificando latensin de los labios.

Ejemplo 4.3 Suponga que las ondas de presin en una columna de gas tienen laforma

p = p p0 = P0 sen(kxt). (4.14)(a) Usando las ecuaciones 4.3, p. 28, y 4.5, obtenga la expresin para la onda dedesplazamiento. (b) Muestre que las ondas de desplazamiento y de presin estndesfasadas entre s un cuarto de longitud de onda, e interprete fsicamente y en larepresentacin grfica de esas ondas, el desfase. (c) Obtenga la expresin para laonda de densidad y muestre que est en fase con la onda de presin. (d) Encuentrela relacin entre la amplitud de la onda de densidad y la amplitud de la onda depresin, y entre las amplitudes de densidad y de desplazamiento.

Solucin

(a) Igualemos la ecuacin 4.5 a la ecuacin 4.14 y multipliquemos por dx,

B(/x), dx = P0 sen(kxt) dx. (4.15)

El diferencial de (x, t) es d = (/x) dx+ (/t) dt. En un t fijo, dt = 0, yd = (/x) dx. Introduzcamos este diferencial en la ecuacin 4.15 e integremos,

Bd = B = P0

sen(kxt) dx = (P0/k) cos(kxt).

Despejemos la onda de desplazamiento,

(x, t) =P0Bk

cos(kxt) = 0 cos(kxt). (4.16)

La amplitud de las oscilaciones es 0 = P0/Bk. Reemplazando a B = v20, y ak = 2pi/v, la amplitud toma la forma

0 =P0

2pi v0. (4.17)

(b) La onda de presin, ecuacin 4.14, est expresada en trminos de la funcinseno, mientras que la onda de desplazamiento, ecuacin 4.16, est expresada concoseno. Puesto que el desfase entre ambas funciones es pi/2, este tambin es eldesfase entre dichas ondas.Un desfase se expresa, estrictamente, en radianes, pero comola mnima distancia x, con t fijo, entre un mismo valor arbitrario de las funcionesseno y coseno es /4 (figura 4.10a), se dice a veces, hablando sin total rigor, que eldesfase es /4, con unidades de longitud.

Figura 4.10 Desfase de pi/2 entre las ondasde desplazamiento y de presin. (a) Interpre-tacin espacial, (b) interpretacin temporal.

El desfase se puede ver tambin en trminos temporales en lugar de espacialescomo en el anterior prrafo. Es vlido darlo con unidades de tiempo, y decir que esP/4, ya que en un punto fijo x hay que esperar un tiempo mnimo de P/4 (figura4.10b) para que un valor arbitrario de la funcin seno sea igual al de la funcincoseno.

Un desfase de pi/2 (o /4 o P/4 segn se prefiera) entre dos variables, quieredecir, segn las familiares grficas

Fisica de Las Ondas - Hector Alzate

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