Fisica Ejercicios Resueltos Soluciones La Interaccion Gravitatoria-Gravedad Selectividad
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La interacción gravitatoria
1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.
DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestáenposiciónopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,épocadelasestacionesotoño-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoño-inviernoduraseisdíasmenosqueeldeprimavera-verano.
2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:
Tr
2
3= cte.
Portanto,TrT
T
cte.2
3=
TrM
M
cte.2
3=
Además,sabemosquer rM T= 1 468, ⋅ .Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T
M
M
T
T
M
T
T
T
M
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 468
1 4
= =→ →
→
( , )
,
⋅
6681 468 1 468 1 78
32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT
Porlotantohay1,78añosterrestresencadaañomarciano.
3. El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:
Portanto,
Además,sabemosque .Igualando:
Porlotanto,ladistanciadeJúpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.
4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 ⋅ 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)
Elmomentoangularseconserva:
Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.
5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.
Dato: 1 UA = 1,496 ⋅ 1011 m.
Denuevoseconservaelmomentoangular:
Además,sabemosque:
23,5°23,5°
SolAfelio(veranoen
elhemisferionorte)
Perihelio(inviernoenelhemisferio
norte)
(El dibujo no está a escala.)
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1
La interacción gravitatoria
Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.
DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestáenposiciónopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,épocadelasestacionesotoño-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoño-inviernoduraseisdíasmenosqueeldeprimavera-verano.
La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:
Portanto,
Además,sabemosque .Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T
M
M
T
T
M
T
T
T
M
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 468
1 4
= =→ →
→
( , )
,
⋅
6681 468 1 468 1 78
32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT
Porlotantohay1,78añosterrestresencadaañomarciano.
El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:T
r
2
3= cte.
Portanto,T
rT
T
cte.2
3=
TrJ
J
cte.2
3=
Además,sabemosqueT TJ T= 12 ⋅ .Igualando:
T
rTr
Tr
T
r
r r
J
J
T
T
T
J
T
T
J
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
12
12 1
= =
=
→ →
→
( )⋅
TTJ T J T T33 2 3 2312 12 5 24→ →r r r r r= = =⋅ ⋅ ⋅,
Porlotanto,ladistanciadeJúpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.
4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 ⋅ 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.
Elmomentoangularseconserva:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio
afelio perkm
⋅
⋅ ⋅
r
v v
→
→ 5 26 109, = iihelio
perihelio afelio
km⋅ ⋅8 75 10
5 26
7,
,
→
→ v v= ⋅⋅⋅⋅10
8 75 1060 11
9
7,,= ⋅ vafelio
Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.
5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.
Dato: 1 UA = 1,496 ⋅ 1011 m.
Denuevoseconservaelmomentoangular:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio
afelio pem/s
⋅
⋅ ⋅
r
r r
→
→ 3 48 104, = rrihelio m/s⋅ ⋅3 53 104,
Además,sabemosque:
r r
rafelio perihelio
af
UA m+ = =1 446 216 32 109, , ⋅ →→ eelio periheliom= −216 32 109, ⋅ r
Perihelio(inviernoenelhemisferio
norte)
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2
La interacción gravitatoria
Sustituyendo:
( , ) ,216 32 10 3 48 109 4⋅ ⋅ ⋅m m/sperihelio perih− =r r eelio
perihelio
m/s
m
⋅ ⋅
⋅ ⋅
3 53 10
216 32 10 3
4
9
,
,
→
→ r =,,
, ,,
48 10
3 48 10 3 53 10107 38 1
4
4 4
⋅⋅ ⋅
⋅m/s
m/s m/s+= 009 m
Entonces:
rperihelio m m= − =216 32 10 107 38 10 108 94 19 9, , ,⋅ ⋅ ⋅ 009 m
6. Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular?
UnaconclusióndelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio⋅ r
Silaórbitaeselíptica,suvelocidadlinealserámáximaenelperihelio,yaqueahíladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.
Silaórbitafueracircular,suvelocidadlinealserálamismaentodalaórbita.
7. Un cuerpo de masa m1 está separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atracción WF. Calcula el valor de la fuerza si:
a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce
a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.
a) Sim m'1 12= ⋅ :
F Gm m
dF G
m m
d
F Gm m
d
''
'
'
= =
=
⋅⋅
⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅
1 22
1 22
1 2
2
2
→ →
→22
2→ F F' = ⋅
Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.
b) Sim m'1 11
2= ⋅ :
F Gm m
dF G
m m
d
F Gm m
''
'
'
= =
=
⋅⋅
⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅
1 22
1 2
2
1
12
12
→ →
→ 222
12d
F F→ ' = ⋅
Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambiénsereducealamitad.
c) Si :
Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.
d) Si :
Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.
8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compró en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. ¿Cuánto pesará en la Luna si la mide con una balanza de resorte? ¿Y si la mide con una balanza de platos?
Conunabalanzadeplatospesaráexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.
Conunabalanzaderesortelamedidaseveríaafectadaporlagravedad.
9. ¿Dónde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? ¿Dónde pesará más?
TendrálamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarámásenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.
10. La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su diámetro es 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Júpiter es gaseoso y no tiene una superficie sólida como la Tierra o Marte.)
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La interacción gravitatoria
Sustituyendo:
( , ) ,216 32 10 3 48 109 4⋅ ⋅ ⋅m m/sperihelio perih− =r r eelio
perihelio
m/s
m
⋅ ⋅
⋅ ⋅
3 53 10
216 32 10 3
4
9
,
,
→
→ r =,,
, ,,
48 10
3 48 10 3 53 10107 38 1
4
4 4
⋅⋅ ⋅
⋅m/s
m/s m/s+= 009 m
Entonces:
Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular?
UnaconclusióndelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:
Silaórbitaeselíptica,suvelocidadlinealserámáximaenelperihelio,yaqueahíladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.
Silaórbitafueracircular,suvelocidadlinealserálamismaentodalaórbita.
Un cuerpo de masa m1 está separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atracción WF. Calcula el valor de la fuerza si:
a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce
a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.
a) Si :
Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.
b) Si :
Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambiénsereducealamitad.
c) Sid d' =1
2⋅ :
F Gm m
d
F Gm m
d' '=
=⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
1 2
2
1 2
212
14
→ →
→→ →F Gm m
dF F' '= =4 41 2
2⋅ ⋅
⋅⋅
Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.
d) Sid d' = 2 ⋅ :
F Gm m
dF G
m md
F Gm
' '
'
= =
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅ ⋅
1 22
1 2
2
1
2 41
4
( )→ →
→ ⋅⋅⋅
md
F F22
1
4→ ' =
Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.
8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compró en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. ¿Cuánto pesará en la Luna si la mide con una balanza de resorte? ¿Y si la mide con una balanza de platos?
Conunabalanzadeplatospesaráexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.
Conunabalanzaderesortelamedidaseveríaafectadaporlagravedad.
P m gP m g PTierra Tierra
Luna LunaLuna
==
⋅⋅ → == P
ggTierra
Luna
Tierra⋅
9. ¿Dónde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? ¿Dónde pesará más?
TendrálamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarámásenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.
10. La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su diámetro es 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Júpiter es gaseoso y no tiene una superficie sólida como la Tierra o Marte.)
P F GM m
R= G = ⋅
⋅2
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4
La interacción gravitatoria
EnlaTierraPT=750N.EnJúpiter:
P GM m
RG
M mR
GM
JJ
J
T
T
T= = ⋅⋅ ⋅⋅
= ⋅ ⋅⋅⋅2 2 2
318
11
318
11( )
⋅⋅=
= ⋅ = ⋅ =
mR
P P
( )T
T J750 N 1971 N
2
2 2
318
11
318
11→
11. En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.
a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del triángulo.
b) ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un triángulo.)
Elbaricentrodeltriánguloeselpuntoenquesecortansusmedianas;
seencuentraaunadistanciadecadavérticeiguala2h3
.
Paraeltriángulodelproblema:
hh
= − = = =6 33
5 20
32 2 5,20 m
m1,73 m→ ,
2
3
2 5 20
3
⋅=
⋅=
h , m3,47 m
Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestáenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposición,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.
Elmódulodecadaunadelastresfuerzasesidéntico:
F Gm m
di
i2
2
N m
kg
kg kg= ⋅
⋅= ⋅
⋅⋅
⋅−2
112
6 67 105 10
3 47,
, mmN
2= ⋅ −2 77 10 10,
(i=A,B,C.)
Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncióndesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:
• WFA=−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj
• WFB=+F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj
•WFC=F⋅Wj
WFT=WFA+WFB+WFC→→ WFT=(−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj)+ (F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj )+ F⋅Wj
Teniendoencuentaquelosángulosαyβsoniguales:WFT=−2⋅F⋅senα⋅Wj+F⋅Wj=−2⋅F⋅0,5⋅Wj+F⋅Wj=0
Conclusión:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntriángulo.
12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:
a) Explica por qué un mismo astro aparece unas veces más brillante que otras.
b) Explica el movimiento retrógrado de Marte.
a) UnastroapareceavecesmásbrillanteporquesudistanciaalaTierravaríaenfuncióndelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.
6m 6m
C
B
6m
2h3
h3
5kg
5kg 5kg
10kg
WFC
WFB
WFA
Aα β
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La interacción gravitatoria
EnlaTierraPT=750N.EnJúpiter:
En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.
a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del triángulo.
b) ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un triángulo.)
Elbaricentrodeltriánguloeselpuntoenquesecortansusmedianas;
seencuentraaunadistanciadecadavérticeiguala .
Paraeltriángulodelproblema:
Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestáenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposición,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.
Elmódulodecadaunadelastresfuerzasesidéntico:
F Gm m
di
i2
2
N m
kg
kg kg= ⋅
⋅= ⋅
⋅⋅
⋅−2
112
6 67 105 10
3 47,
, mmN
2= ⋅ −2 77 10 10,
(i=A,B,C.)
Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncióndesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:
sen senα β= = =1 73
3 470 5
,
,,
cos,
, cosα β= = =3
3 470 86
•WFA=−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj
• WFB=+F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj
•WFC=F⋅Wj
WFT=WFA+WFB+WFC→→ WFT=(−F⋅cosα⋅Wi−F⋅senα⋅Wj)+ (F⋅cosβ⋅Wi−F⋅senβ⋅Wj )+ F⋅Wj
Teniendoencuentaquelosángulosαyβsoniguales:WFT=−2⋅F⋅senα⋅Wj+F⋅Wj=−2⋅F⋅0,5⋅Wj+F⋅Wj=0
Conclusión:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntriángulo.
12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:
a) Explica por qué un mismo astro aparece unas veces más brillante que otras.
b) Explica el movimiento retrógrado de Marte.
a) UnastroapareceavecesmásbrillanteporquesudistanciaalaTierravaríaenfuncióndelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.
A B
C
α α
WFC
WFBxWFAx
WFByWFAy
WFBWFA
B
5kg
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6
La interacción gravitatoria
b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeñascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.
13. Utilizando un modelo heliocéntrico, justifica el movimiento retrógrado de Marte.
ElmovimientoretrógradodeMarteeslatrayectoria«irregular»quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.
LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyecciónenlabóvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccióndelasdistintaslíneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrógrado).
14. Si el Sol está en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicación de por qué no se observa paralaje estelar; es decir, por qué no se ve que cambie la posición de una estrella en el firmamento al cambiar la posición de la Tierra.
Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.
15. En el lenguaje común decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. ¿Qué tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmación?
Geocéntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelaciónaella.
16. Una partícula se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado alejándose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en dirección radial. Su momento angular:
a) Es constante.
b) Es cero.
c) Aumenta indefinidamente.
Porladefinicióndemomentoangular:
⏐WL⏐=⏐Wr×Wp⏐=⏐Wr⏐⋅⏐m⋅Wv ⏐⋅senα
SilosvectoresdeWryWvtienenlamismadirecciónysentido,resultaqueformanunángulode0°,porloquesen0°=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).
17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partícula se acerca continuamente al origen.
Laúnicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunángulode180°,pero,nuevamente,sen180°=0yelresultadoesnulo,L=0.
18. Una partícula se mueve en un plano con movimiento rectilíneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.
Elmomentoangularesconstantesinovaríaconeltiempo.
Elvectorm⋅Wv esparaleloaWv.Elproductovectorial
=Wv×(m⋅Wv )es0,yaqueelsenodelánguloqueformanes0.
Silapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme:
Tierra
Deferente
Epiciclo
Tierra
Tierra
Marte
Marte
Sol
SolEstrellas
fijasMovimientoobservadodeMarte
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La interacción gravitatoria
b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeñascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.
Utilizando un modelo heliocéntrico, justifica el movimiento retrógrado de Marte.
ElmovimientoretrógradodeMarteeslatrayectoria«irregular»quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.
LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyecciónenlabóvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccióndelasdistintaslíneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrógrado).
Si el Sol está en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicación de por qué no se observa paralaje estelar; es decir, por qué no se ve que cambie la posición de una estrella en el firmamento al cambiar la posición de la Tierra.
Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.
15. En el lenguaje común decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. ¿Qué tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmación?
Geocéntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelaciónaella.
16. Una partícula se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado alejándose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en dirección radial. Su momento angular:
a) Es constante.
b) Es cero.
c) Aumenta indefinidamente.
Porladefinicióndemomentoangular:
⏐WL⏐=⏐Wr×Wp⏐=⏐Wr⏐⋅⏐m⋅Wv ⏐⋅senα
SilosvectoresdeWryWvtienenlamismadirecciónysentido,resultaqueformanunángulode0°,porloquesen0°=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).
17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partícula se acerca continuamente al origen.
Laúnicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunángulode180°,pero,nuevamente,sen180°=0yelresultadoesnulo,L=0.
18. Una partícula se mueve en un plano con movimiento rectilíneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.
Elmomentoangularesconstantesinovaríaconeltiempo.
d Ldt
d r pdt
d rdt
m v rd m v
dt=
×= × ⋅ + ×
⋅=
( ) ( )( )
( )0
W W W WWW
Elvectorm⋅Wv esparaleloaWv.Elproductovectoriald rdt
m v v m v× ⋅ = × ⋅( ) ( )W
W
=Wv×(m⋅Wv )es0,yaqueelsenodelánguloqueformanes0.
Silapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme:
d m vdt
dLdt
L( )⋅
= = =0 0→ → cte.W
Deferente
Epiciclo
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8
La interacción gravitatoria
19. Si una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:
a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.
Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular,d Ldt
r F= ×W
W W .
Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccióndelradio.SilapartículadescribeunmovimientocircularbajolaaccióndeestafuerzasecumpliráWr×WF=0,porloqueWLnopresentarávariaciónrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).
20. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:
a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Varía el momento lineal y se conserva el momento angular.
Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccióndefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.
Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservará.RecuérdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelioserámayorqueenelafelio.
21. Las órbitas de los planetas son planas porque:
a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la acción de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una única estrella.
Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesuórbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccióndeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasórbitassonplanas.
RecuérdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccióndeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanórbitasplanas.
22. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantánea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.
UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:
WL1=WL2→Wr1×(m⋅Wv1)=Wr2×(m⋅Wv2)
Simplificamosm:Wr1×Wv1=Wr2×Wv2= Wcte.
23. Explicar por qué los cometas que orbitan elípticamente alrededor del Sol tienen más velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carácter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.
(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)
Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarreáreasigualesentiemposiguales.
Poresto,cuandoelcometaestámáscercadelSol,tendráquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismaáreaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestáalejadodelSol.Paraello,debemoversemásrápido.
24. Dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la órbita de B será:
a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.
Sitienenelmismomomentoangular:
LA=LB→mA⋅vA⋅rA=mB⋅vB⋅rB→→50⋅mB⋅vA⋅rA=mB⋅2⋅vA⋅rB→50⋅rA=2⋅rB
Porlotanto,larespuestacorrectaeslad).
25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, ¿cómo sería su periodo de revolución alrededor del Sol?:
a) Igual. b) De 2 años. c) De 4 años.
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La interacción gravitatoria
Si una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:
a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.
Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, .
Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccióndelradio.SilapartículadescribeunmovimientocircularbajolaaccióndeestafuerzasecumpliráWr×WF=0,porloqueWLnopresentarávariaciónrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).
En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:
a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Varía el momento lineal y se conserva el momento angular.
Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccióndefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.
Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservará.RecuérdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelioserámayorqueenelafelio.
Las órbitas de los planetas son planas porque:
a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la acción de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una única estrella.
Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesuórbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccióndeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasórbitassonplanas.
RecuérdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccióndeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanórbitasplanas.
Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantánea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.
UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:
WL1=WL2→Wr1×(m⋅Wv1)=Wr2×(m⋅Wv2)
Simplificamosm:Wr1×Wv1=Wr2×Wv2= Wcte.
23. Explicar por qué los cometas que orbitan elípticamente alrededor del Sol tienen más velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carácter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.
Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarreáreasigualesentiemposiguales.
Poresto,cuandoelcometaestámáscercadelSol,tendráquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismaáreaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestáalejadodelSol.Paraello,debemoversemásrápido.
24. Dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la órbita de B será:
a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.
Sitienenelmismomomentoangular:
LA=LB→mA⋅vA⋅rA=mB⋅vB⋅rB→→50⋅mB⋅vA⋅rA=mB⋅2⋅vA⋅rB→50⋅rA=2⋅rB
Porlotanto,larespuestacorrectaeslad).
25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, ¿cómo sería su periodo de revolución alrededor del Sol?:
a) Igual. b) De 2 años. c) De 4 años.
Máslento
Másrápido
AfelioSol
Perihelio
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La interacción gravitatoria
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire
alrededordelSol,
Porlotanto,lavelocidadyelradiodeórbitavaríandeformainversa:vserámayorcuantomenorsear.Además,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).
28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 ⋅ 108 km y que la Tierra tarda 365,256 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.(P. Asturias. Junio, 2006)
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol,FG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de órbitas circulares.
b) Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27 ⋅ 108 m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.
G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.(Aragón. Septiembre, 2006)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendoórbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicióndecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barreáreasigualesentiemposiguales.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra
noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesutamaño.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:FG=FC.
mvr
GM m
rT
S T⋅ ⋅⋅2
2=
Sabiendoquev rT
r= =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
22
22
22
2 3π
πTr
rG
Mr
Tr
G M
= =⋅
⋅⋅
⋅S
S
→ ( )
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesuórbita.Larespuestacorrectaeslaa).
26. ¿Qué cambio experimentaría el periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra
noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesumasa.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:FG=FC.
mvr
GM m
rT
S T⋅ ⋅⋅2
2=
Sabiendoquev rT
r= =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
22
22
22
2 3π
πTr
rG
Mr
Tr
G M
= =⋅
⋅⋅
⋅S
S
→ ( )
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningúncambio.
27. Un objeto que describe órbitas circulares alrededor del Sol irá más rápido: a) Cuanto mayor sea el radio de la órbita.b) Cuanto menor sea el radio de la órbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.
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La interacción gravitatoria
T 2▶
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.
ωπ π
π
π= = =
⋅
⋅
= =2 2
2
2
2 2
2
3
2
Tvr
Tr
v
rvr
vr
→ ; →
( )
( )cte.
⋅⋅ cte.
Porlotanto,lavelocidadyelradiodeórbitavaríandeformainversa:vserámayorcuantomenorsear.Además,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).
28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 ⋅ 108 km y que la Tierra tarda 365,256 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol,FG=FC:
mvr
GM m
rT
S T⋅ ⋅⋅2
2=
Sabiendoquev rT
r= =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
m Tr
rG
M m
rM
TT
S TS⋅
⋅⋅
⋅2
2
22
2
ππ
= =→
=
2 3
6
2
31 558 10
⋅
⋅
rG
M
→
→ Ss
π,
22 11
11 2
1 49 10
6 67 101 965 1⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅− −
( ,
,,
m)
N m kg
3
2= 0030 kg
29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de órbitas circulares.
b) Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27 ⋅ 108 m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.
G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendoórbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicióndecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barreáreasigualesentiemposiguales.
dAdt
= cte.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol, LavariacióndelradiodelaTierra
noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesutamaño.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:FG=FC.
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesuórbita.Larespuestacorrectaeslaa).
¿Qué cambio experimentaría el periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol, LavariacióndelradiodelaTierra
noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaríesumasa.Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.
CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:FG=FC.
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningúncambio.
Un objeto que describe órbitas circulares alrededor del Sol irá más rápido: a) Cuanto mayor sea el radio de la órbita.b) Cuanto menor sea el radio de la órbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.
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La interacción gravitatoria
3. Paratodoslosplanetas:Ta
k2
3= (constante).Dondeaes
elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.
Demostramosestaleyconlaleydegravitaciónuniversal.Paraunplanetaquedescribeunaórbitacircular:
F F mvr
GM m
rG C T
S T= =→ ⋅ ⋅⋅2
2
Sabiendoquev rT
r= =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendo:
2 22
2
πT
r
rG
Mr
⋅
= ⋅ S →rT
GM3
2 22= ⋅ =S
( )πcte.
b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatélites:
T
r
T
r12
13
22
23
2
8 35 27 10=
⋅=→
( )
( , )
(4,52 días
m
15,9 ddías
T
)2
3r→
→rT15,9 días m
4,52 días=
⋅ ⋅=
( ) ( , )
( ),
2 8 3
23
5 27 101 222 109⋅ m
ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatélites,porejemplo,Rhea.
CuandounsatéliteestáenórbitaalrededordeSaturnoFG=FC:
mvr
GM m
rR
S R⋅ ⋅⋅2
2=
Sabiendoquev rT
r= =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
22
22
2
ππT
r
rG
Mr
MT
= =
⋅⋅ S
S→
2 3
⋅rG
TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:
MT
rG
SR
R
s
=
=
=
2
2
390 528 10
2 3
3
π
π
⋅
⋅,
2 8
11 2
5 27 10
6 67 10⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅− −
( ,
,
m)
N m kg
3
22
S kg
→
→ M = 568 015 1024, ⋅
30. Júpiter es un planeta que está rodeado de una serie de lunas que giran en torno a él de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Júpiter.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatélitesquegiran
alrededordeunmismoplanetaverifican:
Portanto,
Igualando:
YparaGanimedes:
31. El periodo de revolución de Marte alrededor del Sol es de 687 días. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las órbitas descritas son circunferencias.)(C. F. Navarra. Junio, 2007)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran
alrededordelSolverifican:
Igualando:
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13
La interacción gravitatoria
3. Paratodoslosplanetas: (constante).Dondeaes
elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.
Demostramosestaleyconlaleydegravitaciónuniversal.Paraunplanetaquedescribeunaórbitacircular:
Sabiendoque ,sustituyendo:
→
b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatélites:
→
ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatélites,porejemplo,Rhea.
CuandounsatéliteestáenórbitaalrededordeSaturnoFG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:
30. Júpiter es un planeta que está rodeado de una serie de lunas que giran en torno a él de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Júpiter.
Nombre Radio orbital, en 106 m Periodo (días)
Ío 421,6 1,769
europa 3,551
ganimedes 1070
calisto 1882 16,689
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatélitesquegiran
alrededordeunmismoplanetaverifican:Tr
2
3= cte.
Portanto,TrI
I
cte.2
3=
TrE
E
cte.2
3=
T
rG
G
cte.2
3=
Igualando:
T
r
T
rr
T
TrE
E
I
IE
E
II
2
3
2
3
2
233
2
2
3 551
1 7694= = =→ ⋅ ⋅
,
,221 6 670 8933 , ,= →
→ rEuropa m= ⋅670 89 106,
YparaGanimedes:
T
r
T
rT
rr
TG
G
I
IG
G
II
2
3
2
3
3
32
3
3
1070
421 61 7= = =→ ⋅ ⋅
,, 669 7 1522 = , →
→ TGaminedes 7,152 días=
31. El periodo de revolución de Marte alrededor del Sol es de 687 días. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las órbitas descritas son circunferencias.)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran
alrededordelSolverifican:Tr
2
3= cte.
T
rM
M
2
3=
T
rT
T
cte.2
3=
Igualando:
T
rTr
rTT
rM
M
T
TM
M
TT
2
3
2
3
2
233
2
233 687
365150= = =→ ⋅ ⋅ ==
=
228 67
228 67 106
,
,
→
→ rM km⋅
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14
La interacción gravitatoria
32. Europa, satélite de Júpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una órbita completa de 6,71 ⋅ 105 km de radio cada 3 días, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:
a) La velocidad lineal de Europa con relación a Júpiter. b) La masa de Júpiter. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.
Obtenemoselperiodoensegundos:
T = +324 60 60
113
60días
h
1 día
min
1 h
s
minh
min
1 h⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅
60
1
14 660
1306 876 103
s
min
mins
mins
+
+ =, ,
a)v rT
r= =
=
ωπ π
⋅ ⋅⋅
2 2
306 876 103, s
⋅ ⋅ =
= ⋅
6 71 10
13 74 10
9
3
,
,
m
m/s
b) CuandoEuropaestáenórbitaalrededordeJúpiter,FG=FC:
m
vr
GM m
r
Mv r
G
EJ E
J
2m/s)
⋅ ⋅⋅
⋅=
⋅ ⋅
2
2
2 313 74 10
=
=
→
→ ( , 66 71 10
6 67 101 899 10
8
11 227,
,,
⋅⋅ ⋅
⋅−
m
N m /kgkg
2=
33. Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 ⋅ 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.
Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.
CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierraFG=FC:
mvr
GM m
rL
T L⋅ ⋅⋅2
2=
Sabiendoquev rT
r= =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendoydespejando:
22
22
2
ππT
r
rG
Mr
MT
= =
⋅⋅ T
T→
2 3rG
→
→ MT
3
s
m)=
2
2 3 10
388 400 10
66
2 3π,
(
⋅⋅
⋅,,
,67 10
6 35 1011 2
24
⋅ ⋅ ⋅⋅
− −N m kgkg
2=
34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula:
a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotación en días.
Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 ⋅ 106 m.
a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
[1]
EnlasuperficiedelaTierra:
[2]
Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelaciónr=60 ⋅ RT:
b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:
35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos:
a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rápido.
Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleraciónquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.
Comoseapreciaenlafórmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleración;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).
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15
La interacción gravitatoria
Europa, satélite de Júpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una órbita completa de 6,71 ⋅ 105 km de radio cada 3 días, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:
a) La velocidad lineal de Europa con relación a Júpiter. b) La masa de Júpiter. Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.
Obtenemoselperiodoensegundos:
T = +324 60 60
113
60días
h
1 día
min
1 h
s
minh
min
1 h⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅
60
1
14 660
1306 876 103
s
min
mins
mins
+
+ =, ,
a)
b) CuandoEuropaestáenórbitaalrededordeJúpiter,FG=FC:
m
vr
GM m
r
Mv r
G
EJ E
J
2m/s)
⋅ ⋅⋅
⋅=
⋅ ⋅
2
2
2 313 74 10
=
=
→
→ ( , 66 71 10
6 67 101 899 10
8
11 227,
,,
⋅⋅ ⋅
⋅−
m
N m /kgkg
2=
Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 ⋅ 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.
Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2/kg2.
CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierraFG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
→ MT
3
s
m)=
2
2 3 10
388 400 10
66
2 3π,
(
⋅⋅
⋅,,
,67 10
6 35 1011 2
24
⋅ ⋅ ⋅⋅
− −N m kgkg
2=
34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula:
a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotación en días.
Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 ⋅ 106 m.
a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
mvr
GM m
rv G
Mr
LT L T⋅ = ⋅
⋅= ⋅
2
22→ [1]
EnlasuperficiedelaTierra:
g GMR
g R G M= ⋅ ⋅ = ⋅T
TT T22→ [2]
Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelaciónr=60 ⋅ RT:
v GMr
g RR
g R
v
22
60 60
9 86 6 37
= ⋅ =⋅⋅
=⋅
=⋅
T T
T
T
2m/s
→
→ , , ⋅⋅= ⋅
10
601 023 10
63mm/s,
b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:
v rT
R= ⋅ = ⋅ωπ2
60 T →
→ Tv
R= ⋅ =⋅ ⋅ ⋅
⋅=
260
2 60 6 37 10
1 023 102 3
6
3
π πT
m
m/s
,
,, 55 106⋅ s →
→ T = ⋅ ⋅ ⋅ =2 35 106, s1 h
3600 s
1 días
24 h27,17 días
35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos:
a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rápido.
F GM m
rg mG
T= ⋅⋅
= ⋅2
Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleraciónquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.
Comoseapreciaenlafórmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleración;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).
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16
La interacción gravitatoria
36. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.
a) Si hiciésemos la experiencia en la Luna, ¿cuántas pesas tendríamos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?
b) ¿Y si hiciésemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m ⋅ s−2; gL =1,7 m ⋅ s−2.
Conunabalanzadeplatoshabráquecolocarlamismacantidaddepesas.
Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveríaafectadaporlagravedad.
P m gP m g
P
Tierra TierraLuna Luna
Lun
==
⋅⋅ →
→ aa TierraLuna
TierraTierra= =P
gg
P⋅ ⋅17
9 8
,
,
m/s
m/ss= PTierra ⋅ 0 173,
37. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? ¿Y cuál sería su peso…
a) … si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) … si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) … si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m ⋅ s−2.
P=FG=m ⋅ g.
a) EnlaTierra:
g GMR
g P= = = =⋅ = ⋅ ⋅ −T
T
2 2m/s kg 9,8m s N2 0 9 8 70 686, →
b) SiMM
'TT=
2:
g G
M
Rg
P m g mg P
'
' '
=
= =
⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
T
T
NN
22
2 2
686
2343
2→
→
c) SiRR'T
T=2
:
g GM
RG
M
Rg
P m
'
'
=
⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅
T
T
T
T
2 4
42 2
→
→ gg m g P' = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4 4 4 686 2744= = =N N
d) Si :
38. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrípeta a que está sometido en la superficie de la Tierra?
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; RT = 6370 km; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg.
ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:
[1]
ParacalcularlafuerzacentrípetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestáenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotaciónidénticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1día.UtilizamosunidadesdelSI:
[2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
39. Calcula la aceleración de la gravedad en un punto que está situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).
Llamamosg0alvalordelaaceleracióndelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.
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17
La interacción gravitatoria
Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.
a) Si hiciésemos la experiencia en la Luna, ¿cuántas pesas tendríamos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?
b) ¿Y si hiciésemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m ⋅ s−2; gL =1,7 m ⋅ s−2.
Conunabalanzadeplatoshabráquecolocarlamismacantidaddepesas.
Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveríaafectadaporlagravedad.
Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su peso? ¿Y cuál sería su peso…
a) … si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) … si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) … si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m ⋅ s−2.
P=FG=m ⋅ g.
a) EnlaTierra:
g GMR
g P= = = =⋅ = ⋅ ⋅ −T
T
2 2m/s kg 9,8m s N2 0 9 8 70 686, →
b) Si :
c) Si :
d) SiMM
RR' 'T
TT
Ty= =2 2
:
g G
M
RG
M
Rg
P
'
'
=
⋅ = ⋅ = ⋅
=
T
T
T
T
2
2
2
4
22 2
→
→ mm g m g P⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅' 2 2 2 686 1372= = =N N
38. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrípeta a que está sometido en la superficie de la Tierra?
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; RT = 6370 km; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg.
ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:
P F GM m
r= = ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅⋅
−G
T2
1124
66 67 10
5 98 10
6 37 10,
,
( , )),
29 83⋅ = ⋅m m [1]
ParacalcularlafuerzacentrípetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestáenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotaciónidénticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1día.UtilizamosunidadesdelSI:
F mvr
mr
rm
TrC = ⋅ = ⋅
⋅= ⋅ ⋅
2 2 2 2
2
2ω π( ) →
→ F m mC = ⋅⋅
⋅ ⋅ = ⋅( )
( ),
2
24 36006 37 10 0 034
2
26π
, [2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
PF
mmC
=⋅
⋅=
9 83
0 034289
,
,
39. Calcula la aceleración de la gravedad en un punto que está situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).
Llamamosg0alvalordelaaceleracióndelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.
g GM
R hG
MR R
GMR
g
=+
=+
=⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅( ) ( )2 2 260
1
61T
T T
T
T2
→
→ == = = −g02
22
61
m/s
3721m/s
9 82 63 10 3,, ⋅
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La interacción gravitatoria
40. La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna
atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.
c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, ¿con qué velocidad llegará al suelo?
d) ¿Con qué velocidad llegará al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.
a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
mvr
GM m
rL
T L⋅ ⋅⋅2
2=
Sabiendoquev rT
r= =ωπ
⋅ ⋅2
,sustituyendo(unidadesSI)
ydespejando:
2
2
22
2
π
πT
r
rG
Mr
r G MT
= =⋅
⋅ ⋅ ⋅L
L
T
LL T
L→
23 →
→ rL
2=
−6 67 10 5 98 10
27 3 24 60 6011 24, ,,
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
π
=
=
23
6383 06 10, ⋅ m
b) Enestecaso:
F GM m
rG
MM
rT
T L
L
TT
L
N
= =
−
⋅⋅
⋅⋅
=
= ⋅ ⋅
2 2
11
81
1
816 67 10, ⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅
m kg( kg)
( m)2 2
2
2− =
5 98 10
383 06 10200
24
6
,
,,668 1018⋅ N
LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.
c) Elcuerpoquecaetendráunmovimientouniformementeacelerado.Vendrádeterminadoporlasecuaciones:
v v at y y v t a t= + = + ⋅ + ⋅0 0 021
2;
Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestáenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleraciónseráencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrásignonegativo.
TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mserá:
Portanto:
Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.
d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:
Portanto:
Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.
41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamaño, ¿cuál será su peso? Dato: gT = 9,8 m ⋅ s−2.
P=FG=m ⋅ g.EnlaTierra:
Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):
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19
La interacción gravitatoria
La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna
atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.
c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, ¿con qué velocidad llegará al suelo?
d) ¿Con qué velocidad llegará al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?
Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; MT = 5,98 ⋅ 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.
a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendo(unidadesSI)
ydespejando:
b) Enestecaso:
F GM m
rG
MM
rT
T L
L
TT
L
N
= =
−
⋅⋅
⋅⋅
=
= ⋅ ⋅
2 2
11
81
1
816 67 10, ⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅
m kg( kg)
( m)2 2
2
2− =
5 98 10
383 06 10200
24
6
,
,,668 1018⋅ N
LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.
c) Elcuerpoquecaetendráunmovimientouniformementeacelerado.Vendrádeterminadoporlasecuaciones:
Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestáenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleraciónseráencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrásignonegativo.
TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mserá:
g Gm
R hL
L
L
=+
= −⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅( ),
,
211
24
6 67 10
5 98 1081
6370 100 104
1 943 2+
= , m/s2
y g t t
t
= − − = − ⋅
=⋅
12
1012
1 94
10 2
1 9
2 2L
2m m/s
m
⋅ ⋅→ →
→
,
, 44m/s2= 3,21 s
Portanto:
v g t t vL L L= − = − ⋅ = − ⋅ = −⋅ 1 94 1 94 3 21, , ,m/s m/s s 6,22 → 33m/s
Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.
d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:
g GM
R hT =
+= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
T
T( ),
,
(211
246 67 10
5 98 10
6370 1033 2109 83
+=
), m/s2
y g t t
t
= − − = − ⋅
=⋅
12
1012
9 83
10 2
9 8
2 2T
2m m/s
m
⋅ ⋅→ →
→
,
, 33 m/s2= 1,43 s
Portanto:
v g tT T2m/s s= − = − ⋅ = −⋅ 9 83 1 43, , 14,06 m/s
Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.
41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamaño, ¿cuál será su peso? Dato: gT = 9,8 m ⋅ s−2.
P=FG=m ⋅ g.EnlaTierra:
g GMR
TT
T
2m/s= =⋅ 2 9 8,
Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):
g GMR
G
M
RG
M
RgP
P
P
T
T
T
TT
10= = = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2 2
1
10
1
10
1
10⋅⋅
⋅ ⋅
9 8
0 98 10 0 98 9 8
,
, , ,
m/s
m/s kg m/s
2
2 2
=
= = = =→ P m g NN
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20
La interacción gravitatoria
42. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita.
b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor obtenido sería el 90% del medido en la Tierra».
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendoórbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicióndecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barreáreasigualesentiemposiguales.
dAdt
= cte.
3. Paratodoslosplanetas:Ta
k2
3= (constante).
DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.
ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemásrápidoalestarmáscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestémásalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.
b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaríaentrelaTierrayVenus;loquevaríaeselvalordelaaceleracióndelagravedad,g,encadacaso:
g GMR
g GMR
VenusVenus
VenusTierra
Tierra
Ti
= ⋅ = ⋅2
;eerra
2
43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. ¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, ¿en qué proporción?
ConunrazonamientoidénticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacseráeldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:
ComoP=FG=m ⋅ g,resultaqueelpeso(2m⋅gT)seráeldoblequeenlaTierra.
44. La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su diámetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.
a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta completa
alrededor del Sol, expresado en años terrestres.
Datos: g = 10 m ⋅ s−2; radio orbital terrestre = 1,5 ⋅ 1011 m.
(Andalucía, 2007)
a) .
Si
b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira
alrededordelSolverifica:
Portanto, Además,rJ=5 ⋅ rT.Igualando:
Portanto,elperiododeJúpiteresde11,18añosterrestres.
Máslento
Másrápido
SolAfelio Perihelio
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21
La interacción gravitatoria
a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita.
b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor obtenido sería el 90% del medido en la Tierra».
(Andalucía, 2007)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendoórbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicióndecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barreáreasigualesentiemposiguales.
3. Paratodoslosplanetas: (constante).
DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.
ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemásrápidoalestarmáscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestémásalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.
b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaríaentrelaTierrayVenus;loquevaríaeselvalordelaaceleracióndelagravedad,g,encadacaso:
43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. ¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, ¿en qué proporción?
ConunrazonamientoidénticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacseráeldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:
dmV
dM
R
dM
R
M M= =
⋅
= =
⋅
=→ →PP
T
TT
T
P T43
2 43
83 3π π( )
g GM
Rg G
MR
GMR
gTT
T
PP
P
T
TT= = ⋅ = ⋅ =⋅
2 2 2
8
22→
( )
ComoP=FG=m ⋅ g,resultaqueelpeso(2m⋅gT)seráeldoblequeenlaTierra.
44. La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su diámetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.
a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta completa
alrededor del Sol, expresado en años terrestres.
Datos: g = 10 m ⋅ s−2; radio orbital terrestre = 1,5 ⋅ 1011 m.
a)P F m g g GMR
= = =GJ
J
y⋅ ⋅J 2.
SiM M R R g GM
RgJ T J T
T
TTy= = = =300 10
300
103
2⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅
⋅→ J( )
→→
→ P m g= ⋅ = =J 75 kg 3 10 m/s 2250 N⋅ ⋅
b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira
alrededordelSolverifica:Tr
2
3= cte.
Portanto,T
rT
T
cte.2
3=
T
rJ
J
cte.2
3= Además,rJ=5 ⋅ rT.Igualando:
Tr
Tr
Tr
Tr
TT TJ
J
T
T
J
T
T
T
JT
2
3
2
3
2
3
2
3
2
32
5 5=
⋅= =→ → →
( ) JJ T
J T T
2 3 2
3
5
5 11 18
= ⋅
= ⋅ =
T
T T T
→
→ , ⋅
Portanto,elperiododeJúpiteresde11,18añosterrestres.
Perihelio
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La interacción gravitatoria
Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveráatraídoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobreél.
Porladefinicióndefuerzagravitatoria:
YqueremosqueFGT=FGL:
[1]
Ademássabemosque y .Retomando[1]:
Desarrollandolaecuaciónde2.°gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:
Ylasoluciónesindependientedelamasadelcuerpo.
47. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice, si la altura del rectángulo es de 3 m.
LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserálafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.
45. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequeña masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vértices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:
a) A y B se acercarán uno al otro más rápidamente.b) C y X se acercarán uno al otro más rápidamente.c) Se acercarán ambas parejas con la misma aceleración.
Larapidezconlaqueuncuerposeacercaaotrodependedesuaceleración.Talycomoestánanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamoselacercamientodecadaparejademasasconindependenciadelapresenciadelaotrapareja.
LafuerzaconqueseatraenlasmasasAyBes:
F GM M
dG = ⋅
⋅2
M:masadeA,B,C.
m:masadeX.
Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:
F M a GMd
a aG A B= ⋅ = =⋅ →2
LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:
F GM m
dG = ⋅
⋅2
LaaceleracióndeloscuerposCyXesdistinta:
F m a GM m
dm a G
Md
a
F M a GM
GX X X X
GC C
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
→ →
→
2 2
mmd
M a Gmd
a2 2
= ⋅ =⋅ C C→
ElcuerpoCsemueveconmenoraceleraciónquecualquieradelosotrostres;portanto,laparejaA,BseacercaunoalotroconmásrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoveráhaciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.
46. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 ⋅ 108 m, ¿en qué punto debiera situarse un satélite de 10 toneladas para que sea igualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.
B
A
C
X
dd
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La interacción gravitatoria
Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveráatraídoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobreél.
Porladefinicióndefuerzagravitatoria:
F GM m
dF G
M md
GTT
GLL= ⋅
⋅= ⋅
⋅
12
22
;
YqueremosqueFGT=FGL:
GM m
dG
M md
Md
Md
⋅⋅
⋅⋅
=T L T L
12
22
12
22
= → [1]
Ademássabemosqued d d d M M1 28
18
23 84 10 3 84 10 0 012+ = = − =, , ,⋅ ⋅ ⋅m m y L T→ yd d d d M M1 2
81
823 84 10 3 84 10 0 012+ = = − =, , ,⋅ ⋅ ⋅m m y L T→ .Retomando[1]:
M
d
M
ddT T
( , )
,, ( ,
3 84 10
0 0120 012 3 8
82
222 2
2
⋅=
⋅⋅
−=→ 44 108
22⋅ − d )
Desarrollandolaecuaciónde2.°gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:
d
d2
6
18 6
37 906 10
3 84 10 37 906 10 346
=
= − =
,
, ,
⋅
⋅ ⋅
m
y m m ,,094 106⋅ m
Ylasoluciónesindependientedelamasadelcuerpo.
47. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice, si la altura del rectángulo es de 3 m.
LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserálafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.
Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequeña masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vértices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:
a) A y B se acercarán uno al otro más rápidamente.b) C y X se acercarán uno al otro más rápidamente.c) Se acercarán ambas parejas con la misma aceleración.
Larapidezconlaqueuncuerposeacercaaotrodependedesuaceleración.Talycomoestánanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamoselacercamientodecadaparejademasasconindependenciadelapresenciadelaotrapareja.
LafuerzaconqueseatraenlasmasasAyBes:
Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:
LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:
LaaceleracióndeloscuerposCyXesdistinta:
ElcuerpoCsemueveconmenoraceleraciónquecualquieradelosotrostres;portanto,laparejaA,BseacercaunoalotroconmásrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoveráhaciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.
Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 ⋅ 108 m, ¿en qué punto debiera situarse un satélite de 10 toneladas para que sea igualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.
(P. Asturias. Septiembre, 1999)
C
X
d
Tierra Luna
d2d1
PWFGT WFGL
2kg
B A
C
α
1kg0,5kg
WFAC
WFBC3m
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La interacción gravitatoria
WFACtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:
F Gm m
dAC
A C
AC2
N kg
kg
kg kg= ⋅
⋅= ⋅
⋅⋅
⋅2
116 67 100 5 2
,,−
337 41 10
212
mN
2= −, ⋅
Enformavectorial:WFAC= −WFAC⋅Wj= −7,41⋅10−12⋅WjN
LadistanciaqueseparalasmasasCyBes:
3 5 5 832 2+ = , m
WFBCtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:
F Gm m
dBC
B C
BC2
N kg
kg
kg kg= ⋅
⋅= ⋅
⋅⋅
⋅2
116 67 101 2
5,
,−
8833 92 10
212
mN
2= −, ⋅
Parapoderhacerlasumadeambasfuerzas,expresamosWFBCdeformavectorial.Obtendremossuscomponentesproyectandolafuerzasobrelosejescartesianos:
WFBC= −FBC⋅cosα⋅Wi− FBC⋅senα⋅Wj→
→ F i jBC = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅− −3 92 105
5 833 92 10
35 83
12 12,,
,,
N ==
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −3 36 10 2 02 1012 12, ,i j N
W W W
WW
Porsuperposición:WFT=WFAC+WFBC.
F j iT = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅− − −( , ) ( , ,7 41 10 3 36 10 2 02 1012 12 122
12 123 36 10 9 43 10
⋅
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −
j
F i j
N) →→ T N, ,
W
W W W
W W W
Elmóduloserá:
FT N= − ⋅ + − ⋅ = ⋅− − −( , ) ( , )3 36 10 9 43 10 1 1012 2 12 2 11
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