Fisica Nuclear Libro de Krane. Cap 2

Deber de Fısica Nuclear

Modelos Nucleares

Alejandro Gomez Espinosa *

Escuela Politecnica Nacional

Quito - Ecuador

28 de noviembre de 2010

1. Dar los valores esperados de spin y paridad en el modelo de capas para los estados base de:a) 7Li, b) 11B, c) 15C, d) 17F , e) 31P , f) 141Pr

a) Para el 7Li tenemos Z = 3, N = 4. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 1.

Figura 1: Estado base de 7Li

Donde vemos que el estado base esta en 1p3/2 de donde encontramos que el spin es 32

y la paridad (−1)1 = −, entonces Jπ = 32

−.

b) Para el 11B tenemos Z = 5, N = 6. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 2.

Figura 2: Estado base de 11B

Donde vemos que el estado base esta en 1p3/2 de donde encontramos que el spin es 32

y la paridad (−1)1 = −, entonces Jπ = 32

−.

c) Para el 15C tenemos Z = 6, N = 9. Segun el modelo, analizamos el neutron desapareadode acuerdo al grafico 3.

Figura 3: Estado base de 15C

Donde vemos que el estado base esta en 1d5/2 de donde encontramos que el spin es 52

y la paridad (−1)2 = +, entonces Jπ = 52

+.

*[email protected]

1

d) Para el 17F tenemos Z = 9, N = 8. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 4.

Figura 4: Estado base de 17F



+.

e) Para el 31P tenemos Z = 15, N = 16. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 5.

Figura 5: Estado base de 31P

Donde vemos que el estado base esta en 2s1/2 de donde encontramos que el spin es 12


+.

f) Para el 141B tenemos Z = 59, N = 82. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 6.

Figura 6: Estado base de 141B



+.

2. Los niveles bajos del 13C son el nivel base, 1/2−; 3.09 Mev, 1/2+; 3.68 MeV, 3/2−; 3.85MeV, 5/2+. Los siguientes estados estan cerca de 7 MeV y mas. Interprete estos cuatroestados acorde al modelo de capas.

Para el 13C tenemos: A = 13, Z = 6 y N = 7. De acuerdo al modelo de capas tendriamos unadistribucion de acuerdo a la Figura 7 a), de donde podemos ver que el neutron desapareado

esta en el estado 1p1/2 lo que corresponde al estado base Jπ = 12

−

2

El primer estado exitado 12

+corresponde a la transicion del neutron de la capa 1s1/2 a la

capa 1p1/2 como se observa en la Figura 7 b). El segundo estado exitado 32

+corresponde

a la transicion del neutron de la capa 1p3/2 a la capa 1p1/2 como se observa en la Figura 7

c). El tercer estado exitado 52

+corresponde a la transicion del neutron de la capa 1p1/2 a

la capa 1d5/2 como se observa en la Figura 7 d).

Figura 7: a) Estado Base del 13C, distribucion de 7 neutrones. b) Primer estado exitado del 13C

correspondiente a 12

+. c) Segundo estado exitado del 13C correspondiente a 3

2

+. d) Tercer estado

exitado del 13C correspondiente a 52

+.

3. De acuerdo al modelo de capas, se podrıa esperar Jπ = 11/2− para el estado base de 203T l(Z=81), mientras que el valor observado es 1/2+. Un caso similar ocurre en 207Pb (N=125)y 199Hg (N=199), donde 13/2+ es esperado pero se observa 1/2−. Dado que la fuerza seincrementa fuertemente con l, de las configuraciones de acuerdo al modelo de capas paraestos nucleos que sea consistente con los valores observados de spin y paridad.

Para el 203T l tenemos que A = 203, Z = 81, N = 122. De acuerdo a al modelo de capasencontramos que el proton desapareado se encuentra en la capa 1h11/2 lo que corresponderıa

a un estado base 112

−como se ve en la izquierda de la Figura 8. Sin embargo como las fuerzas

se incrementan fuertemente con l, los protones estarıan mas ligados llenando la capa 1h11/2dejando al proton desapareado en la capa 3s1/2 lo que corresponde al estado base medido12

+, como le ilustra en la derecha de la Figura 8.

Figura 8: Izquierda: Ultimas capas del Estado Base del 203T l de acuerdo con el modelo de capas.Derecha: Ultimas capas del Estado Base del 203T l de acuerdo con los resultados experimentales.

Para el 207Pb tenemos que A = 207, Z = 82, N = 125. De acuerdo a al modelo de capasencontramos que el neutron desapareado se encuentra en la capa 1i13/2 lo que correspon-

derıa a un estado base 132

+como se ve en la izquierda de la Figura 9. Sin embargo como

las fuerzas se incrementan fuertemente con l, los neutrones estarıan mas ligados llenando lacapa 1i13/2 dejando al neutron desapareado en la capa 3p1/2 lo que corresponde al estado

base medido 12

−, como se ilustra en la derecha de la Figura 9.

Figura 9: Izquierda: Ultimas capas del Estado Base del 207Pb de acuerdo con el modelo de capas.Derecha: Ultimas capas del Estado Base del 207Pb acorde con los resultados experimentales.

3

4. En el modelo de capas de partıcula simple, el estado base de un nucleo con un numeroimpar de protones y un numero impar de neutrones esta determinado por el acople delos estados de las capas de protones y neutrones: J = jp + jn. Considere los siguientesnucleos: 16N − 2−; 12B − 1−; 34P − 1−; 28Al − 3+. Dibuje diagramas simples ilustrandoestos acoples, luego reemplace jp y jn respectivamente, por lp + sp y ln + sn. Examine loscuatro diagramas y deduzca una regla empırica para la orientacion relativa de sp y sn enel estado base. Finalmente, use su regla empirica para predecir los Jπ de 26Na y 28Na.

a) Para el 16N tenemos A = 16, Z = 7 y N = 9.

El neutron desapareado esta en la capa 1d5/2 que corresponde a ln = 2, sn = 1/2.

Donde podemos ver que jn = 52 = ln + sn. El Grafico se ilustra en la Figura 10

a).

El proton desapareado esta en la capa 1p1/2 que corresponde a lp = 1, sn = 1/2.

Donde podemos ver que jp = 12 = lp− sp. El Grafico se ilustra en la Figura 10 b).

El spin angular total del nucleo es J = 2 = 52 −

12 = jn − jp y la paridad es

(−1)2(−1)1 = −1. Entonces tenemos Jπ = 2−. El Grafico se ilustra en la Figura10 c).

Figura 10: Para el 16N : a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.

b) Para el 12B tenemos A = 12, Z = 5 y N = 7.

El neutron desapareado esta en la capa 1p1/2 que corresponde a ln = 1, sn = 1/2.

Donde podemos ver que jn = 12 = ln − sn. El Grafico se ilustra en la Figura 11

a).

El proton desapareado esta en la capa 1p3/2 que corresponde a lp = 1, sn = 3/2.

Donde podemos ver que jp = 32 = lp+ sp. El Grafico se ilustra en la Figura 11 b).



(−1)1(−1)1 = 1. Entonces tenemos Jπ = 1+. El Grafico se ilustra en la Figura 11c).

Figura 11: Para el 12B: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.

c) Para el 34P tenemos A = 34, Z = 15 y N = 19.



a).

4

El proton desapareado esta en la capa 1s1/2 que corresponde a lp = 0, sn = 1/2.




(−1)2(−1)0 = 1. Entonces tenemos Jπ = 1+. El Grafico se ilustra en la Figura 12c).

Figura 12: Para el 34P : a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.

d) Para el 28Al tenemos A = 28, Z = 13 y N = 15.

El neutron desapareado esta en la capa 2s1/2 que corresponde a ln = 0, sn = 1/2.


a).

El proton desapareado esta en la capa 1d5/2 que corresponde a lp = 2, sn = 1/2.


El spin angular total del nucleo es J = 3 = 52 + 1

2 = jn + jp y la paridad es(−1)0(−1)2 = 1. Entonces tenemos Jπ = 3+. El Grafico se ilustra en la Figura 13c).

Figura 13: Para el 28Al: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.

De los graficos anteriores podemos observar que los spines de los nucleones desaparead-os siempre se encuentran alineados cuando se realiza el acople. Con esta regla empıricaencontramos:

e) Para el 26Na tenemos A = 26, Z = 11 y N = 15.

El neutron desapareado esta en la capa 2s1/2 que corresponde a ln = 0, sn = 1/2.


a).



Si alineamos los spines de los nucleones encontramos la Figura 14 c). El spinangular total del nucleo es J = jn+jp = 1

2 + 52 = 3 y la paridad es (−1)0(−1)2 = 1.

Entonces tenemos Jπ = 3+.

e) Para el 28Na tenemos A = 26, Z = 11 y N = 17.

5

Figura 14: Para el 26Na: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.



a).



Si alineamos los spines de los nucleones encontramos la Figura 15 c). El spinangular total del nucleo es J = jp−jn = 5

2−32 = 1 y la paridad es (−1)0(−1)2 = 1.

Entonces tenemos Jπ = 1+.

Figura 15: Para el 28Na: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.

5. a) Si la energıa de un estado de partıcula simple en ausencia del acople spin-orbita es E0,halle las energıas de dos miembros de un doblete spin-orbita cuya diferencia esta dad por

〈l · s〉j=l+1/2 − 〈l · s〉j=l−1/2 =1

2(2l + 1)~2

b) Muestre que el centro de gravedad del doblete es E0.

a) Tomando en cuenta la interaccion spin-orbita, el nivel de energıa nuclear E0 es:

VNUC = E0 + Vso~l · ~s~2

(1)

El termino ~l · ~s se calcula a partir de

~l · ~s =~2

2[j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)]

donde j = l ± s y s = ± 12 . Reemplazando tenemos:

~l · ~s =

~2

2

[(l +

3

2

)(l +

1

2

)− l(l + 1)− 3

2· 1

2

]=l

2~2 j = l +

1

2

~2

2

[(l +

1

2

)(l − 1

2

)− l(l + 1)− 3

2· 1

2

]= − l + 1

2~2 j = l − 1

2

6

De (1) tenemos:

VNUC1 = E0 +l

2Vso j2 = l +

1

2

VNUC2 = E0 −l + 1

2Vso j1 = l − 1

2

b) El Centro de Gravedad es el valor medio de la energıa degenerada de todos los nucleonesque se dividen en dos niveles de energıa. Se calcula con la siguiente expresion:

VNUC1D1 + VNUC2D2

D1 +D2=

(E0 + l

2Vso) [

2(l + 1

2

)+ 1]

+(E0 − l+1

2 Vso) [

2(l − 1

2

)+ 1][

2(l + 1

2

)+ 1]

+[2(l − 1

2

)+ 1] = E0

6. Calcule el momento cuadrupolar esperado en el modelo de capas de 209Bi (9/2−) y comparecon el valor experimental -0.37b.

Para calcular el momento cuadrupolar en el modelo de capas se utiliza:

Qsp = − 2j − 1

2(j + 1)r2 (2)

donde r2 = 35R

20A

2/3 y R0 = 1,4 × 10−13cm. El 209Bi tiene A = 209, Z = 83, N = 126;de acuerdo al modelo de capas el proton desapareado se encuentra solo en la capa 1h9/2,

donde Jπ = 92

−. Como se encuentra solo en esta capa tenemos: Q = Qsp. Reemplazamos

en (2):

Q = Qsp = −2 92 − 1

2(92 + 1

) 3

5(1,4× 10−15m)2(209)2/3 = −3,012× 10−25 ≈ −0,3012b

Que podemos notar que existe un error del 20 % entre el valor teorico y el experimental.

7. Calcule los valores del momento dipolar magnetico esperado en el modelo de capas, y com-pare con los valores experimentales:

Nuclido Jπ µexp (µN )75Ge 1/2− +0.51087Sr 9/2− -1.09391Zr 5/2+ -1.30447Sc 7/2− +5.34147Eu 11/2− +6.06

El momento dipolar magnetico en el modelo de capas se lo determina con la siguienteformula:

µj = gjµN~~J (3)

donde el factor de lande (g) se lo calcula con:

gj = gl + (gs − gl)(j(j + 1)− l(l + 1) + s(s+ 1)

2j(j + 1)

)(4)

donde gpl = 1 para el proton y gnl = o para el neutron, y gps = 5,58 para el proton ygns = −3,82 para el neutron. Con esto procedemos a calcular para los elementos indicados.

a) Para el 75Ge tenemos: A = 75, Z = 32, N = 43. De acuerdo al Jπ = 12

−podemos

notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 2p1/2, con lo que tenemos:J = 1/2, l = 1 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):

gj = −3,82

(12

(12 + 1

)− 1(1 + 1) + 1

2

(12 + 1

)2 12

(12 + 1

) )= −1,273

Reemplazamos este valor en (3) y obtenemos:

µj = −1,273µN~

1

2~ = −0,636µN

7

b) Para el 87Sr tenemos: A = 87, Z = 38, N = 49. De acuerdo al Jπ = 92

−podemos

notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 1g9/2, con lo que tenemos:J = 9/2, l = 4 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):

gj = −3,82

(92

(92 + 1

)− 4(4 + 1) + 1

2

(12 + 1

)2 92

(92 + 1

) )= −0,424


µj = −0,424µN~

9

2~ = −1,91µN

c) Para el 91Zr tenemos: A = 91, Z = 40, N = 51. De acuerdo al Jπ = 52

+podemos

notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 2d5/2, con lo que tenemos:J = 5/2, l = 2 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):

gj = −3,82

(52

(52 + 1

)− 2(2 + 1) + 1

2

(12 + 1

)2 52

(52 + 1

) )= −0,764


µj = −0,764µN~

5

2~ = −1,91µN

d) Para el 47Sc tenemos: A = 47, Z = 21, N = 26. De acuerdo al Jπ = 72

−podemos

notar que el proton desapareado se encuentra en la capa 1f7/2, con lo que tenemos:J = 7/2, l = 3 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):

gj = 1 + (5,58− 1)

(72

(72 + 1

)− 3(3 + 1) + 1

2

(12 + 1

)2 72

(72 + 1

) )= 1,916


µj = 1,916µN~

7

2~ = 6,706µN

e) Para el 147Eu tenemos: A = 147, Z = 63, N = 84. De acuerdo al Jπ = 112

−podemos

notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 1h11/2, con lo que tenemos:J = 11/2, l = 5 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):

gj = −3,82

(112

(112 + 1

)− 5(5 + 1) + 1

2

(12 + 1

)2 11

2

(112 + 1

) )= −0,347


µj = −0,347µN~

11

2~ = 1,91µN

8

Fisica Nuclear Libro de Krane. Cap 2

Documents

Transcript of Fisica Nuclear Libro de Krane. Cap 2