ECUACIÓN EMPÍRICAEs una ecuación obtenida a partir del grafico de un conjunto de valores experimentales de dos variables, la relación entre las dos variables se expresa mediante la función matemática:Y = f(x)Donde: “y” es la variable dependiente o función y “x” es la variable independiente. TIPOS DE RELACIONES             Dentro de las funciones más comunes tenemos: RELACIÓN LINEALLas variables dependientes e independientes están relacionadas directamente en        forma proporcional, su gráfica es una línea recta. (Fig.1)y = a + bx…. (1)“a”, es el intercepto: distancia del origen de coordenadas al punto donde la recta intercepta al eje vertical; b, es la pendiente de la recta, es decir: FUNCIÓN POTENCIAL:La variable dependiente está relacionada con la variable independiente mediante una potencia de esta última.    LA LÍNEA RECTA:De las gráficas anteriores. La línea recta es muy útil porque nos da más información acerca del experimento en estudio:Y= Ax + b LINEALIZACIÓN DE LA CURVA: PÉNDULO:Dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los péndulos se emplean en varios mecanismos, como por ejemplo algunos relojes............ DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES METODO ESTADISTICO METODO GRAFICO PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:   DATOS EXPERIMENTALESLos datos obtenidos en el experimento se muestran en la siguiente tabla, es necesario precisar que la desviación utilizada fue de 30º grados:    ANALISIS DE DATOS EXPERIMENTALES: METODO GRÁFICO:Con los datos obtenidos en la TABLA Nº1 se realizó el primer gráfico que se  muestra a continuación:En el grafico Nº1 Observamos que el resultado de nuestros datos experimentales es una curva. Sabemos que la mayor información de un fenómeno, se puede obtener cuando los valores de sus variables pueden representarse mediante una línea recta, por esta razón fue conveniente convertir las variables de la curva en una relación lineal.Al ser el gráfico de los datos experimentales una curva, la ecuación empírica tendrá la forma:                   Y = KXn  Donde k y n son constantes a determinar.Para linealizar la curva debemos tomar logaritmos naturales de los datos experimentales. Estos se expresan como X* y Y*  en la siguiente tabla:Sea X*: Logaritmo natural de X  Y*: Logaritmo natural de Y

El gráfico correspondiente a esta tabla se muestra a continuación:En el grafico Nº 2 observamos que los resultados obtenidos del X*y Y*   forman una recta.Ahora, determinamos las constantes K y n para obtener la ecuación empírica de la recta.y=kxn1°. La ecuación puede ser linealizada tomando logaritmos y haciendo el cambio de variables, así:                        2°. Calculamos K y n        3º. Reemplazando los datos obtenidos en la ecuación empirica, tenemos:Por lo tanto, la ECUACIÓN EMPÍRICA obtenida por el método grafico es:T=0.23L0.47Regresando al grafico nos damos cuenta, son pocos los puntos en donde no pasa la línea recta, como por ejemplo los de longitud 5 y 25 cm, como sabemos esto se debe a que el método grafico no es muy preciso y ni exacto. Por ello es necesario realizar el mismo procedimiento utilizando el método estadístico. METODO ESTADISTICO:Este método tiene la ventaja de minimizar los errores experimentales,  proporcionándonos un arreglo lineal, y dándonos así la ecuación de la recta que más se ajuste con la realidad del experimento.A continuación se muestra la tabla con los nuevos y definitivos datos obtenidos. Las formulas para su resolución han sido vistas en el fundamento teórico anteriormente.

LINIALIZACION DE UNA CURVA

La linealización (de un segmento de curva, no de la curva entera) es un método que consiste en asociar una recta (de ecuación lineal como todas las rectas) a una curva determinada en un punto dado (la linealización sirve para ese punto y sus alrededores).Una de las formas más normales de obtenerla es con cálculo diferencial, aunque si no lo dominas, lo que tienes que hacer es calcular la ecuación de una recta que pase por un punto y sea aproximadamente paralela (que se apoye tocando tan solo en un punto) a tu curva.Ejemplos de linealizaciones (en el valor x=1) son:de y = x^2 ---> y = 2x - 1de y = x^3 ---> y = 3x - 2(y en el valor x=2) son:de y = x^2 ---> y = 4x - 4de y = x^3 ---> y = 12x - 16

Probá dibujar estas funciones en una o dos hojas (una para x^2 con sus linealizaciones y lo mismo para x^3) y vas a entenderlo.

Un ejemplo del uso es calcular valores cercanos al punto. Por ejemplo, si queremos saber cuánto es (1,01) al cuadrado usamos la aproximación:y = x^2 = (1,01)^2 -> aprox. (2 * 1,01) - 1 = 1,02

El valor real es de 1,0201 por lo que en este caso resulta una aproximación bastante buena.

EXTRAPOLACION

extrapolación es el proceso de estimar más allá del intervalo de observación original, el valor de la variable en base a su relación con otra variable. Es similar a la interpolación, la cual produce estimados entre las observaciones conocidas, a diferencia de esta la extrapolación es sujeta a una mayor incertidumbre y a un mayor riesgo de producir resultados insignificantes. Extrapolación también puede significar extensión de un método, asumiendo que se pueden aplicar métodos similares.

Métodos de extrapolaciónUna opción muy sonada en la cual se aplica el método de extrapolación se fundamenta en el conocimiento a priori del proceso que ha creado los puntos para los datos existentes. Algunos expertos han propuesto el uso de fuerzas casuales en la evaluación de los métodos de extraplación.1 Preguntas cruciales son por ejemplo si los datos se pueden suponer continuos, llanos, posiblemente periódicos, etc.

Extrapolación Lineal

Extrapolación significa crear una línea tangente al final de los datos conocidos y extendiendola más allá de ese límite. La Extrapolación lineal proveerá buenos resultados sólo cuando se use para extender la gráfica de una función lineal aproximadamente o no muy lejana de los datos conocidos.

Si los dos puntos cercanos al punto que serán extrapolados son y , la extrapolación lineal nos da la función:

(la cual es idéntica a Interpolación_lineal if ). Es posbile incluir más de dos puntos y promediar la inclinación del interpolante lineal, haciendo técnicas de regresión, en los puntos de los datos que serán incluidos. Esto es similar a la predicción lineal.

Extrapolación polinómica

Una extrapolación polinómica se puede calcular a partir de todos los datos conocidos o tan sólo de los datos extremos. La curva resultante puede ser extendida a posterior más allá de los datos conocidos. La extrapolación polinómica se calcula usualmente mediante interpolación Lagrange o utilizando el método de Newton de diferencias finitas (creando series de Newton a partir de los datos). El polinomio así calculado se puede usar para extrapolar los datos.

La extrapolación mediante polinomios de alto grado debe ser usada con cautela. Por ejemplo, en el conjunto de datos y el problema de la figura anterior, cualquiera que esté polinomios de grado mayor que uno puede producir valores inutilizables, un error estimado del valor extrapolador crecerá con el grado de la extrapolación polinómica. Este hecho está relacionado con el llamado fenómeno de Runge.

Extrapolación cónica

Puede computarse una sección cónica utilizando los puntos cercanos al final de los datos conocidos. Si la sección cónica calculada es una elipse o un círculo, creará un bucle y se unirá nuevemante en sí misma. Una curva parabólica o hiperbólica no se unirá nuevamente en sí, pero puede curvearse respecto al eje X. Este tipo de extrapolación puede se puede hacer con una plantilla de secciones cónicas (en papel) o mediante computadora.

Extrapolación de Curva Francesa

La Extrapolación de curva Francesa es un método adecuado para cualquier distribución que tenga una tendencia a convertirse en exponencial, pero con factores de aceleración o desaceleración.2 Este método se ha utilizado exitosamente para proveer proyecciones de pronósticos en el crecimiento de VIH/SIDA en el Reino Unido desde 1987 y variantes de la enfermedad Creutzfeldt-Jakob en el Reino Unido desde hace varios años. Otro estudio ha mostrado que la extrapolación puede producir la misma calidad de resultados que otras estrategias de pronóstico.3

INTERPOLACION

se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la

interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite.

Interpolación Lineal

La línea azul representa la interpolación lineal entre los puntos rojos.Artículo principal: Interpolación lineal.

Uno de los métodos de interpolación más sencillos es el lineal. En general, en la interpolación lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula:

La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.