UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ FILIAL AREQUIPA

FACULTAD DE INGENIERÍAS

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÁI INDUSTRIAL

Ciclo: III

Curso: Análisis Matemático II

Informe final del trabajo de investigación titulado:

“FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL”

Docente:

Joseline Jazmín Velásquez Choque

Integrantes:

López Huarache, moisés

Rodriguez Yáñez, Jennifer

Rosas Pilco, William

Saravia Guillen, Gustavo

Veloz Puma, Elizabeth

Zea Cáceres Franchesca

AREQUIPA – PERÚ

2015

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DEDICATORIA

Dedicamos el presente trabajo, a nuestros padres, por todo el esfuerzo y sacrificio para

brindarnos todo el amor, la comprensión, el apoyo incondicional y sobre todo en nuestros

estudios universitarios. A Dios por dar sus bendiciones sobre nosotros y llenarnos de

fuerza para vencer todos los obstáculos desde el principio de nuestras vidas.

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CONTENIDO

DEDICATORIA......................................................................................................................

INTRODUCCIÓN...................................................................................................................

Objetivos:.............................................................................................................................

MARCO TEÓRICO.................................................................................................................

1. CONCEPTO DE FLUJO. CÁLCULO:............................................................................

1.1. Flujo de un campo constante a través de una superficie rectangular perpendicular....................................................................................................................

1.2. Flujo de un campo constante a través de una superficie rectangular no perpendicular....................................................................................................................

1.3. Flujo para un campo y una superficie cualquiera................................................11

2. TEOREMA DE GAUSS.............................................................................................12

3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GAUSS:...............................14

3.1. FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO EN VARIAS SITUACIONES:................14

3.2. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA CONDUCTORA........14

3.3. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA DIELÉCTRICA MACIZA.........................................................................................................................16

3.4. CAMPO CREADO POR UN PLANO INFINITO CARGADO UNIFORMEMENTE......................................................................................................17

3.5. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UN HILO INFINITO..........................18

4. FLUJO DE CAMPO ELECTROSTÁCTICO.............................................................18

5. RELACIÓN ENTRE LINEAS DE CAMPO Y FUENTES.......................................19

6. SIMETRÍA DE DISTRIBUCIONES Y CAMPOS....................................................19

7. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL..............................................22

7.1 Propiedades de un campo vectorial..........................................................................24

7.1.1 Circulación y Rotacional.......................................................................................24

8. FLUJO Y DIVERGENCIA........................................................................................25

8.1 Teorema de la divergencia........................................................................................26

9. EJEMPLOS.................................................................................................................27

9.1 Ejemplos con el teorema de gauss………………………………………………………………………….28

CONCLUSIÓNES.................................................................................................................29

BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................30

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INTRODUCCIÓN

Con la aplicación de la matemática a diversos ámbitos de la ciencia se potenciaron enormemente las herramientas de diseño y cálculo científico, así como los métodos de elaboración de los modelos teóricos. En el marco de la física, colaboró decisivamente a este proceso de sistematización matemática el alemán Carl Friedrich Gauss, que desarrolló la noción y las propiedades de campo para explicar los fenómenos físicos de la naturaleza.

Su cálculo es muy sencillo desde el punto de vista matemático si recordamos que cuando representamos un campo vectorial se hace el convenio de representar un número finito de líneas de campo, de manera que el número de ellas que atraviesen la unidad de superficie colocada perpendicularmente a las mismas en cada punto coincida con el valor del campo en el centro de dicha superficie.   Utilizando el convenio anterior, veamos como calcular el flujo de un campo empezando por  el cálculo en un caso sencillo, para ir poco a poco complicándolo (eliminado las restricciones). Usaremos durante el tema el ejemplo del campo eléctrico, por ser para el que se utiliza más el concepto de flujo.

El concepto de “flujo de un campo vectorial a través de una superficie” tiene una definición matemática estricta, pero la diversidad de ejemplos físicos permite una comprensión intuitiva bastante accesible. Comencemos por definir rigurosamente. En primer lugar, supongamos que un campo vectorial existe en cierta región del espacio. Supongamos además que en dicha región definimos una superficie simple imaginaria1, y elegimos una de sus caras para caracterizar su orientación. Luego nos imaginamos un mallado que subdivida la superficie en fragmentos diferencialmente pequeños. Sobre cada uno de ellos definimos un vector d y s cuyo modulo coincide con el área del fragmento de superficie, su dirección es perpendicular al elemento (y por tanto perpendicular a la superficie), y su sentido es saliente de la cara elegida cuando se orientó la superficie.

Recordando que una integral representa la suma de contribuciones diferenciales, podemos interpretar la definición como sigue. Luego efectuamos el producto escalar correspondiente al elemento elegido el resultado (escalar) lo guardamos. Pasamos a otro elemento y repetimos el procedimiento. Así sucesivamente hasta recorrer todos los elementos de la superficie. Finalmente, sumamos todos estos resultados parciales para obtener el flujo.

Aquí conviene hacer hincapié en que el símbolo de integración, a pesar de ser gráficamente análogo, no representa una integral ordinaria, sino una integral de superficie. Este tipo de integrales requieren en general, técnicas especiales de res-solución, que nosotros solo abordaremos en casos de extrema simplicidad.

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Objetivos:

Objetivo general: Conocer conceptos de flujo vectorial para comprender y analizar sus funciones para sus determinadas aplicaciones.

Objetivos específicos: - Determinar principales funciones de flujo vectorial para poder determinar

sus aplicaciones.- Determinar aplicaciones de flujo vectorial para obtener un conocimiento

amplio del tema.

MARCO TEÓRICO

SUPERFICIE

La palabra superficie dispone de un uso habitual en nuestro idioma y nos encontramos con varias referencias ya que es empleada de diverso modo de acuerdo al ámbito en cuestión.

En el ámbito de la física, nos encontramos con una referencia para la palabra dado que aquí también indica la extensión que presenta algo considerándose dos dimensiones: su ancho y su largo.

Cabe destacarse que la unidad por excelencia y a partir de la cual se mide una superficie es el metro cuadrado, la cual es equivalente a la superficie que dispone un cuadrado que mide un metro de lado. Otra unidad que también es muy usada en este sentido es el kilómetro cuadrado.

La superficie de los países que componen nuestro planeta están expresadas justamente en kilómetros cuadrados. Así por ejemplo Italia cuenta con una superficie de 301.338 kilómetros cuadrados.

Mientras tanto, las superficies de las casas, de los apartamentos, terrenos, se expresan en metros cuadrados.

Para determinar los valores de los inmuebles lo que se hace es multiplicar el valor que presenta el metro cuadrado en la zona o barrio correspondiente por la cantidad de metros que presenta la casa o apartamento en cuestión.

Por otro lado, llamamos superficie a la parte exterior de cualquier cuerpo, objeto que bien nos sirve como límite con el exterior o con algo en especial.

Para las matemáticas la superficie será aquella extensión de la cual solo se tienen en cuenta la extensión y el ancho. De este modo estamos ante un espacio bidimensional.

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En el lenguaje coloquial, asimismo, es usual que se emplee esta palabra para indicar el aspecto que presenta una cuestión, una persona, o sea su apariencia. A Laura solo la conozco en superficie, no podría decirte cómo reaccionará ante esta situación.

Y por su lado el concepto de gran superficie se emplea para denominar a un establecimiento de tipo comercial que posee un importante tamaño y se caracteriza por ofrecer al público destacadas ofertas.

SUPERFICIE ORIENTADA

La definición de las integrales de superficie de campos vectoriales involucra el concepto de superficies orientadas o superficies orientables, que son superficies en las que se pueden identificar dos caras o lados, en aquellas superficies en las que se identifica un solo lado se denominan como superficies no orientables.

Una superficie S es una superficie orientada si existen, para un mismo punto (x.y.z) perteneciente a la superficie S, dos vectores normales n1 y n2 , uno por cada una de las caras de la superficie S, que son colineales y opuestos entre sí, es decir, n2=−n1.

En donde n1 es una función continua para todos los puntos (x,y,z) ubicados sobre la superficie, es decir, que el vector n1 está variando continuamente sobre toda la superficie S , excepto, quizás, en un número finito de puntos en su frontera, puntos que se denominan como puntos singulares de la superficie; por tanto se definen dos orientaciones para cualquier superficie orientable, una al tomar un vector unitario n1 sobre un punto (x,y,z) perteneciente a la superficie S, y otra cuando se toma al vector unitario n2 como se muestra en la figura de superficie orientada.

La elección de la orientación de una superficie, es para permitir la distinción entre una dirección y la otra, ya que una de ellas se va a identificar como la orientación positiva de la superficie.

Figura. Superficie Orientada

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Cuando la superficie S está definida de manera explícita por la expresión z=f (x , y ) ,el vector normal unitario determina una orientación de la superficie S que viene dada por la expresión:

n=(−∂ f∂ x

( ∂ f∂ x )

2

+( ∂ f∂ y )

2 ,

−∂ f∂ y

√( ∂ f∂ x )

2

+( ∂ f∂ y )

2

+1

,1

√( ∂ f∂ x )

2

+( ∂ f∂ y )

2

+1 )Al observar este vector, se puede decir que la superficie S tiene una orientación hacia arriba, al observar que la componente en la dirección del eje z es positiva.

Si S es una superficie suave orientable, dada en forma paramétrica por una función

vectorial g=R2→R3

g (u , v )=(g1 (u , v ) , g2 (u , v ) , g3 (u , v )), entonces en este caso una

orientación para esta curva vendría dada por el vector normal unitario:

n=gu × gr

∥ gu × gr∥

y –n definiría la orientación opuesta. El concepto de superficies orientables es aplicable tanto a superficies cerradas como a superficies no cerradas. Por convención cuando S una superficie cerrada, es decir, que la superficie S es la frontera de una región sólida B, con B⊂R3 , se ha establecido que la orientación positiva es el lado de la superficie en la que los vectores normales señalan hacia fuera de la región sólida B, mientras que la superficie cuyas normales apunten hacia el interior de la región B, indican la orientación negativa de la superficie S

Como contraejemplo de superficies orientables, por ejemplo, observamos en la figura de superficie orientada, la cinta de Möbius, en la cual se observa que la misma tiene un solo lado, es decir, no es una superficie orientable. Es posible construir esta cinta tomando una tira rectangular larga y delgada de papel, darle media vuelta y unir sus extremos. Al hacerlo, si se traza una línea de color a lo largo de la cinta terminaremos en el punto en el que se inició la línea.

Figura. Cinta de Möbius.

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1. CONCEPTO DE FLUJO. CÁLCULO:

Se define el flujo de un campo vectorial a través de una superficie como el número de líneas de campo que atraviesan dicha superficie. Se representa mediante la letra griega (phi) y teniendo en cuenta que los campos que hemos estudiado hasta ahora, el eléctrico y el gravitatorio, se han considerado siempre estacionarios, es decir, que no varían con el tiempo, el flujo de dichos campos también lo será.

   Su cálculo es muy sencillo desde el punto de vista matemático si recordamos que cuando representamos un campo vectorial se hace el convenio de representar un número finito de líneas de campo, de manera que el número de ellas que atraviesen la unidad de superficie colocada perpendicularmente a las mismas en cada punto coincida con el valor del campo en el centro de dicha superficie.  

Utilizando el convenio anterior, veamos como calcular el flujo de un campo empezando por  el cálculo en un caso sencillo, para ir poco a poco complicándolo (eliminado las restricciones). Usaremos durante el tema el ejemplo del campo eléctrico, por ser para el que se utiliza más el concepto de flujo.

1.1. Flujo de un campo constante a través de una superficie rectangular perpendicular

Supongamos que deseamos calcular el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie y se cumplen los siguientes 2 requisitos:

Que el campo sea uniforme, es decir, que valga lo mismo en todos los puntos del espacio.

Que la superficie a través de la cual deseamos calcular el flujo sea plana y perpendicular al campo en todos los puntos, tal y como se indica en la siguiente figura:

S

Figura. Flujo de un campo constante a través de una superficie rectangular perpendicular

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E

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Teniendo en cuenta que | E | representa el nº de líneas por unidad de superficie colocada perpendicularmente (condición que aquí se produce), si lo multiplicamos por S obtendremos el nº de líneas de campo que atraviesan dicha superficie, el flujo:

(nº de líneas)nº de lineas

unidad de superficie ·superficie |E|. S

Ecuación válida si se cumplen las dos condiciones anteriores. Su ecuación de dimensiones será

[∅ ]=[ Fq

s ] = [ MLT−2

Q ]=ML3 T−2Q−1

Y sus unidades, en el sistema internacional, será Nm2/C, para el campo eléctrico y Nm2/kg para el campo gravitatorio (en este último, |g|∙ S).

Nuestro siguiente objetivo será el de intentar remover las dos suposiciones anteriormente realizadas, a  fin de que podamos calcular el flujo de un campo vectorial en condiciones más realistas.

1.2. Flujo de un campo constante a través de una superficie rectangular no perpendicular

Supongamos, en primer lugar, que la superficie fuese plana y que el campo fuese uniforme, pero que entre ellos formen un determinado ángulo y no sean perpendiculares, como antes. Para ello dibujaremos las dos superficies siguientes, S1 y S2, la primera de lados a y b y la segunda de lados a (el común) y c. Teniendo en cuenta que b=c∙cos, podemos escribir la relación entre las dos superficies: S1=a∙b=a∙c∙cos=S2∙cos

a c S2=a. c

E=cte(uniforme)

S1=a .b x

b

Como todas las líneas que atraviesan la primera de las superficies S1 también atraviesan la S2 el flujo a través de ellas será el mismo. El flujo a través de la primera se puede calcular mediante la expresión anterior, pues se cumplen las 2 condiciones:

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1=| E |∙S1

Y como el de la segunda debe ser el mismo, pues entonces:

2=1=| E |∙S1=| E |∙S2∙cos

Debemos observar que el ángulo es el que forman las dos superficies, pero también lo podemos ver como el ángulo que forma un vector normal a la superficie S2  con el campo. Con lo cual para calcular el flujo que atraviesa una superficie cuyo vector normal forma un ángulo con el campo mediante la expresión:

=| E |∙S∙cos

Expresión que se puede escribir de forma más compacta si definimos un vector que nos represente e la superficie, al que llamaremos vector superficie S, que tendrá como modulo la superficie real a la que representa y como dirección y sentidos los del vector normal a la superficie, con lo que la expresión anterior nos quedaría:

= E ∙S (producto escalar)

Al introducir el producto escalar acabamos de dar un signo al flujo. Si consideramos una superficie cerrada y tomamos como convenio que el vector superficie, además de ser normal a la superficie, tiene como sentido hacia afuera de la superficie cerrada, pueden ocurrir 2 casos para cada línea de fuerza:

- que entre en la superficie cerrada, en cuyo caso será un ángulo del segundo cuadrante (90<<180º), en cuyo caso el producto escalar será | E |∙S∙cos <0, es decir, las líneas que entran en esa superficie contribuyen al flujo con signo -.

- Que salga de la superficie cerrada en cuyo caso será un ángulo del primer cuadrante (0º<0, es decir, las líneas que salen de la superficie cerrada contribuyen al flujo con un signo +.

Por lo tanto, para calcular el flujo a través de una superficie cerrada debemos tener en cuenta si entran o salen de la misma, definiendo el flujo como:

=nº líneas que salen‐nº líneas que entran.

1.3. Flujo para un campo y una superficie cualquiera

Para calcular el flujo de un campo no uniforme a través de cualquier superficie haremos los siguiente: Dividiremos la superficie S en trozos infinitesimales, muy pequeños, hasta que no se cometa error apreciable al considerarlos planos. En estos trozos, de superficie dS (su vector superficie sería dS), como son tan pequeños, podemos admitir que el campo no varía dentro de cada uno (aunque sí varía de un dS a otro, por supuesto). Según eso, el flujo que atravesaría cada pequeño dS sería un pequeño flujo d, cuyo valor vendría dado por la expresión anterior (al ser E constante dentro de ese dS):

d E .dS

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dS

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Para hallar el flujo total a través de toda la superficie debemos sumar todos los pequeños d, es decir, hacer la integral de todos ellos, con lo que el flujo quedaría:

d E .dS

Extendiéndose la integral a toda la superficie y siendo el vector dS un vector normal a la superficie en cada uno de sus puntos cuyo sentido se toma siempre saliendo desde el interior de la superficie hacia el exterior. Esta es la fórmula más general para el cálculo del flujo de un campo vectorial, cambiando E por g si el campo es gravitatorio o por B , como veremos más adelante, si el campo es magnético.

Vamos a utilizar la última expresión deducida para calcular el flujo que atraviesa una superficie esférica en cuyo centro se encuentra una carga Q que produce un campo eléctrico a su alrededor. Teniendo en cuenta que podemos dividir la superficie esférica en pequeños trozos dS cuya normal será radial y por tanto tendrán el mismo sentido que el campo en cada punto (=0), tendremos:

∅=E . dS=|E|dS . cos0=¿E∨dS=|E|S

Nótese que el módulo del campo eléctrico, como tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie, es constante y puede salir fuera de la integral y que la integral de dS, extendida a toda la superficie, es S=4r 2 . Teniendo en cuenta el resultado anterior podemos escribir:

∅=|E|. S= 1

4 π ε0 r2

Q

r24 π r2=Q

ε 0

Donde se ha escrito el valor del campo creado por la carga en el vacío de forma racionalizada y se ha simplificado. Obsérvese que el signo del flujo coincide que el de la carga, lo que es totalmente lógico, ya que si la carga es positiva las líneas de campo salen de ella y la salir a través de la superficie S su flujo sería positivo, mientras que si la carga Q es negativa las líneas entran en la esfera para dirigirse hacia la carga y el flujo sería negativo.

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E

r

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2. TEOREMA DE GAUSS

El resultado anterior es muy general: No cambiaría en nada si la superficie no fuese esférica (aunque sí que debe ser cerrada) o si la carga no estuviese en el centro, ya que el nº de líneas de campo que atravesarían la superficie serían las mismas. Dicho generalización es conocida en Física como Teorema de Gauss, en honor al matemático  Friedrich Gauss (1777‐1855). Su enunciado para el campo eléctrico es:

El flujo del vector campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual al la suma algebraica (teniendo en cuenta el signo) de las cargas interiores a dicha superficie dividido entre la constante dieléctrica del vació.

∅=∑Q(interiores)

ε0

Obsérvese que el teorema anterior vale para cualquier superficie cerrada, a la que se suele denominar superficie gaussiana, que sólo influyen en el cálculo del flujo las cargas interiores y que el de un campo eléctrico puede ser positivo, 0 o negativo (según sea Q).

¿Le encuentras alguna explicación al hecho de que las cargas exteriores no influyan en el valor del flujo a través de una superficie cerrada? Es fácil de ver en el siguiente ejemplo, donde se han dibujado algunas líneas del campo creado por una carga positiva exterior a la superficie cerrada.

Todas las líneas que entran a la superficie, por ser las líneas del campo eléctrico abiertas, deben salir de dicha superficie, por lo que se contarán, cuando entran con –1 y cuando salen con +1. En total, el flujo es igual al nº de líneas que salen ‐ nº de líneas que entran=0.

Para el campo gravitatorio, el teorema de Gauss se enuncia de manera distinta, si tenemos en cuenta que si tratamos de calcular el flujo del campo gravitatorio generado por una

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E

S cerrada Q> 0

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masa M que atraviesa una esfera de radio r, en cuyo centro se encuentra dicha masa M, el resultado saldrá distinto al realizado con la carga eléctrica anteriormente.

En este caso, el ángulo que forman g y d S es para todos los puntos de la esfera 180º, con lo que cos=‐1 y

∅= g . dS=|g|dS .cos180 °=−|g|. S=−GM

r 24 π r2=−4 πGM

Comprobándose que sale negativo, ya que las líneas de campo siempre entran en la superficie S dirigiéndose hacia la masa M. Este resultado se puede generalizar (Teorema de Gauss para el campo gravitatorio) como:

El flujo del vector campo gravitatorio que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual al producto ‐ 4G por la suma de las masas interiores a dicha superficie.

4GM (interiores)

Ya estudiaremos más adelante el teorema de Gauss aplicado al campo magnético.

El teorema de Gauss se puede utilizar para calcular el campo eléctrico o gravitatorio creado por cargas o masas no puntuales que presenten una elevada simetría. Nosotros lo aplicaremos a fundamentalmente al estudio de varias cargas puntuales, las variaciones del campo gravitatorio terrestre con la altura y la profundidad (también con la latitud, ya que estamos estudiando g) y el campo creado por una esfera conductora.

3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GAUSS:

3.1. FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO EN VARIAS SITUACIONES:

Como ejemplo de aplicación del teorema de Gauss puedes ver cuánto valdría el flujo del campo eléctrico creado por dos cargas, una positiva Q+=+2 C y otra negativa Q‐=‐2 C. Como puedes ver, el flujo a través de las superficies S1 y S4 es cero, aunque por motivos distintos en cada caso: en el 1º porque no hay QINT y en el 2º porque la suma de las QINT vale 0. Puedes constatar gráficamente que entran tantas líneas como salen.

En cambio, para las superficie S2 y S3, el cálculo del flujo aplicando el teorema de Gauss nos da como resultado 2/0 en el primer caso y ‐2/0 en el segundo, comprobándose gráficamente que a través de la superficie S2 todas las líneas salen (por eso su es positivo), mientras que a través de la S3 todas las líneas entran (por eso su es negativo).

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3.2. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA CONDUCTORA

Podemos usar también el teorema de Gauss para calcular el valor del campo eléctrico en el interior y el exterior de una esfera conductora de radio R (Puede ser hueca o maciza, lo importante para lo que haremos a continuación es que sea conductora). Como sabemos, cuando existen cargas netas en una esfera conductora, como en ella se pueden mover las cargas con total libertad, debido a la repulsión eléctrica entre ellas se disponen lo más lejos posibles una de otras, es decir, en la superficie de la esfera. Por tanto, en el interior no hay carga eléctrica neta.

Si elegimos como superficie gaussiana una superficie cualquiera contenida dentro de la esfera, aplicando el teorema de Gauss llegaremos a la conclusión que el flujo que la atraviesa vale 0, pues la QINT=0 para todas ellas. Teniendo en cuenta la expresión matemática del flujo como integral, si vale cero para todas la superficies cerradas, sólo puede ser porque el campo eléctrico vale 0 (no puede ser E y dS perpendiculares para todas las superficies gaussianas imaginables). Sin embargo, en el exterior, como QINT 0, pues el E 0 también.

Si suponemos, al igual que en los casos anteriores, que debido a la simetría de la disposición de la carga, E será radial y sólo función del radio y elegimos como gaussiana una esfera de radio r>R, operando llegaremos a:

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∅=E . dS=|E|. dS ( po ser radial )=|E|.dS ( por ser cte en laespera )=|E|.4 π r2=Qε0

(T . Gauss)

De donde se deduce que, |E|=1

4 π ε 0

Q

r 2parar>R ,, es decir, se obtiene el mismo resultado

que se obtendría si la carga fuese puntual y se encontrase en el lugar que ocupa el centro de la esfera conductora.   Conociendo la relación entre el V y el E se puede averiguar el valor del potencial. En el interior de la esfera conductora, como E=0 en todos sus puntos,

V (la menos integral de E)  será constante (la de integración), y en el exterior, V=1

4 π ε0

Qr

Teniendo en cuenta que la función potencial ha de ser continua, si sabemos que para el

exterior vale 1

4 π ε0

Qr y para el interior es constante, el valor para el interior será

14 π ε0

Qr .

Siendo R el radio de la esfera.

Resumiendo: E y V en esfera conductora (maciza o hueca) 

En el interior (r ≤ R) En el exterior (r ≥ R)

E=0E= K

Q

r2

V=cte = k Q

R2 V= KQr

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3.3. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA DIELÉCTRICA MACIZA

El campo y el potencial en el exterior de la esfera serán los mismo que antes, ya que si trazamos una superficie esférica gaussiana concéntrica de radio r>R de la esfera, toda la carga estará contenida en el interior de ella y valdrán los razonamientos anteriores (los de la esfera conductora, en la que las cargas se alojaban en la superficie.

Lo que es distinto es lo que ocurre en el interior de la esfera, porque ahora no es cierto que la Qinterior=0, ya que al ser una esfera aislante la carga se queda donde se produce y la supondremos distribuidad uniformemente por toda ella.

Definiremos un concepto auxiliar, la denominada densidad de carga ρ, como:

ρ= Qvolumenesfera

= Q43

π R3

Como en el caso anterior tenemos:

En el interior (r ≤ R) En el exterior (r ≥ R)

E= KQ

R3 E=KQ

r2

V=K0

Q

2 R3(3 R2−r2) V=K

Qr

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3.4. CAMPO CREADO POR UN PLANO INFINITO CARGADO UNIFORMEMENTE

Es una situación que tiene un especial interés en física porque, como veremos en el resultado, es una de las maneras de conseguir un campo eléctrico uniforme. De hecho, se suelen usar 2 placas paralelas (evidentemente en la práctica se usan placas finitas, de limitadas, no de espesor) cargadas con cargas de distinto signo (uniendo cada placa a un polo de una batería, por ejemplo).

Por la simetría del problema parece razonable que podemos suponer que el campo eléctrico producido por la placa será perpendicular a la misma (al ser infinita, todas las contribuciones de cargas elementales tendrán su simétrico tal que sólo quedará, al sumar esos campos puntuales, la componente perpendicular). También parece razonable suponer que dependerá de la distancia al plano. Por tanto, si nos planteamos calcular el flujo a través de un cilindro colocado perpendicularmente al plano, tal y como se ve en la figura, el flujo a través de las 2 caras (la cara S que se ve y su opuesta) será:

∅=E . dS=e dS=E dS=2 ES=Qε0

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3.5. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UN HILO INFINITOSea un hilo conductor infinitamente largo, cuya densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud) designaremos por  λ. Para calcular el campo creado por este conductor a una distancia r de él vamos a construir una superficie gaussiana de forma cilíndrica, concéntrica on el hilo, de radio r y de altura unidad.

La carga contenido dentro de esa superficie será λ∙1=λ y, como parece razonable que supongamos que el campo eléctrico es radial y sólo función de r, podremos, como en el caso anterior, sacarlo de la integral (al ser constante en toda la superficie de integración). Obtendríamos aplicando el teorema de Gauss:

∅=E . dS=E dS=EdS=E 2 π . 1= λε 0

De donde: E= λ2 π ε0

4. FLUJO DE CAMPO ELECTROSTÁCTICO

En este curso, el concepto de flujo será muy recurrente, debido a la diversidad de campos vectoriales que se utilizan para la debida descripción de la teoría electro- magnético. Aquí va nuestro primer ejemplo. El flujo del campo electrostático e(r) a través de la superficie orientada S.

Aquí conviene remarcar que el flujo de un campo vectorial requiere siempre una doble especificación. Uno debe consignar cuál es el campo vectorial (en este caso el campo electrostático E, y sobre que superficie orientada S se lo calcula. De estas especificaciones surge la notación que proponemos, que para este caso se sub-indica E S.

Por otra parte, cabe observar que el flujo es una magnitud escalar, que puede tomar valores positivos y negativos. Una interpretación intuitiva del signo del flujo (aunque no estricta) puede elaborarse de la siguiente manera. Si el flujo es positivo, podemos imaginar que, predominantemente, los vectores E y dos están del mismo lado.

5. RELACIÓN ENTRE LINEAS DE CAMPO Y FUENTES

La Ley de Gauss permite el análisis de la relación que existe entre las líneas de campo electrostático y las cargas (fuentes escalares) que le dan origen a dicho campo.

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Comencemos por imaginar una carga puntual y una superficie esférica imaginaria centrada en ella. Si la carga es positiva y la esfera suficientemente pequeña, el campo electrostático sobre la superficie estará representado por vectores exteriores a la misma. En cierto modo, pensando en la orientación de las líneas de campo, podríamos decir que ellas “salen” de la superficie esférica. Por extensión, podríamos decir que “nacen” en la carga positiva.

El mismo análisis es válido para cargas negativas, aunque las mismas represen- taran el punto de finalización de la línea de campo. En conclusión, decimos que las líneas de campo se inician en cargas positivas y terminan en cargas negativas.

Supongamos ahora que cierta superficie cerrada no posee cargas eléctricas en su interior. Entonces dentro de ella no se inician ni terminan líneas de campo. En otras palabras, si una línea de campo cruza la superficie en un punto en sentido entrante, necesariamente debe cruzarla otra vez (por supuesto, en otro punto) en sentido saliente.

Algunos autores suelen referirse a esta propiedad diciendo que si en el interior de una superficie cerrada no residen cargas eléctricas, entonces habrá tantas líneas de campo entrantes como salientes. En apariencia este enunciado parece ser una buena síntesis de la propiedad presentada anteriormente. Sin embargo, no es apropiado considerar cuantitativamente a las líneas de campo, dado que cualquiera sea el tamaño de la superficie, siempre habrá una cantidad infinita de ellas que la atraviesan.

6. SIMETRÍA DE DISTRIBUCIONES Y CAMPOS

Las propiedades integrales de los campos, como la ley de Gauss y otras que trataremos más adelante, constituyen una herramienta de cálculo muy práctica para ciertos casos en que las fuentes del campo tienen alta simetría. Pero esto sólo es un pretexto para introducir algunas ideas sobre simetría que, como seguramente el estudiante podrá apreciar, exceden ampliamente al tema que aquí tratamos.

La intención es promover la creatividad operativa, en detrimento de tediosos cálculos formales, a la vez que intentamos generar criterios de control simple y eficaz.

Comencemos reconociendo una propiedad más que evidente. Cuando una distribución de fuentes se traslada o cambia de orientación sin modificar su forma, el campo asociado a ella se traslada o rota con ella. Los ejemplos son muy elocuentes. La tierra lleva consigo los campos magnético y gravitatorio que genera.

Evidencia de ello es que las brújulas de los marinos siguen apuntando al norte, mientras que las plomadas de los albañiles siguen apuntando hacia abajo, tanto en invierno como en verano, y tanto de día como de noche. Un ejemplo más cotidiano lo represen- tan los imanes. Cuando alguien compra un imán, en realidad está interesado en su campo

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magnético, el cual “viaja” junto con el imán a todas partes. En cierto modo podríamos decir que el campo está “atado” a las fuentes que lo ORIGINAN.

Ahora centremos la atención en cuestiones geométricas. Comencemos por imaginar un cuerpo solido sobre el que reside una distribución de cargas. Cualquier cambio de lugar u orientación del cuerpo puede pensarse como una secuencia de rotaciones y traslaciones. Pero en ciertas circunstancias, el movimiento del cuerpo lo sitúa de modo que la distribución de cargas es idéntica a la que había originalmente. Como ejemplo imaginemos una pieza cuadrada que posee cargas puntuales positivas idénticas en sus vértices. Si la misma rota en un Angulo α = π/2 alrededor de un eje que pasa por el centro del cuadrado, y es perpendicular al plano que lo contiene (ver figura), el aspecto de la distribución rotada coincide con la forma original. En ese caso decimos que la distribución de cargas tiene una “simetría de rotación”. Además decimos que el eje mencionado es un “eje de simetría” de la distribución.

El paso siguiente consiste en preguntarnos por el campo electrostático asociado a la distribución. Es evidente que si las distribuciones original y rotada son indistinguibles, los campos que generan también lo serán. Entonces la simetría de la distribución de fuentes se observa también en el campo que ella genera.

Un razonamiento análogo puede hacerse para el caso de traslaciones, aunque sólo se observara simetría (en sentido estricto) cuando las distribuciones sean infinita- mente extendidas. Por tanto, este tipo de simetría sólo será admitida en el mundo de los modelos.

Volvamos al ejemplo del cuadrado. ¿Qué nos puede decir la simetría acerca del campo? Veamos un modo posible de análisis. Supongamos que el sistema de coordenadas cartesianas se sitúa como indica la figura, y estamos interesados en saber “algo” respecto del campo electrostático sobre el eje z. En principio, no sabemos la orientación del campo, por lo que aventuramos que el mismo apunta en el sentido positivo del eje x (primera figura). Luego rotamos la distribución un Angulo α = π/2 alrededor del eje z (segunda figura).

Observemos dos detalles:

a) Como el campo está “atado” a la distribución, debe girar con ella, por lo que quedara apuntando en la dirección del eje y.

b) Como z es un eje de simetría, la distribución rotada es idéntica a la original. por lo que debe producir exactamente el mismo campo.

Las dos afirmaciones resultan incompatibles, por lo que concluimos que nuestra hipótesis es errónea. Por lo tanto el campo electrostático no podría tener componente x. El mismo análisis cabe para la componente y, por lo que concluimos que:

E (0, 0, z) = Ez (z) k

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Observe que la simetría no permitió la determinación del campo, pero a través de este análisis pudimos determinar dos de las tres componentes.

7. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL

Líneas de fuerza

La representación de los campos vectoriales se hace mediante mapas semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de fuerza.

Al igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo que normalmente se hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de coordenadas.

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Figura  Representación de un campo vectorial de  .

Las líneas de fuerza cumplen con las siguientes propiedades:

Los vectores de campo en cualquier punto son siempre tangenciales a la línea de fuerza que pasa por el punto dado.

Las líneas de fuerza no se cruzan en ningún punto aunque pueden seguir trayectorias cerradas.

La cantidad de líneas de fuerza en cualquier porción del espacio en que se encuentra definido el campo es proporcional a la intensidad del campo vectorial.

En algunas otras ocasiones, la representación de campos vectoriales se hace a través de los vectores de campo directamente. En estos casos, la intensidad del campo vectorial se asocia a la densidad de vectores de campo en una región, tanto como a la longitud de los mismos.

Trazado de las líneas de fuerza de un campo vectorial

De acuerdo con la definición de línea de fuerza, una línea de fuerza es tangente a los vectores de campo en todos los puntos del espacio vectorial definido. Esto, se ilustra gráficamente en la Figura.

Figura  Relación entre los vectores de campo y la recta tangente a la curva en una línea de fuerza.

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X

Xy

Xx

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Se observa claramente que el vector de campo tiene la misma dirección de la recta tangente a la línea de fuerza en el punto de tangencia.

En este caso, el vector de campo tiene dos componentes denominados  Ax y Ay respectivamente; resulta entonces que la relación entre las componentes del vector da como resultado la pendiente de la recta tangente a la línea de fuerza en cada punto de tangencia.

Dado que la pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva, se puede entonces

proponer una igualdad definida por: dydx

=A y

A x

La familia de soluciones a esta ecuación diferencial es entonces la misma familia de curvas que representa las líneas de fuerza.

Para el caso considerado en el Ejemplo 18, el campo vectorial tiene por ecuación:

∇ Z=8 x a⃗x−a⃗ y

En este caso, la ecuación diferencial planteada quedaría:

dydx

=−2 y8 x

=− y4 x

La familia de soluciones de esta ecuación es de la forma:

y= k4√ x

Para diferentes valores de k tanto negativos como positivos se obtienen diferentes líneas de fuerza según se ilustra en la Figura.

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Figura  Trazado de las líneas de fuerza del campo vectorial del Ejemplo 18

Finalmente, la dirección de las líneas de fuerza la define la ecuación del campo vectorial, por ejemplo en el primer cuadrante, tanto x como y tienen signo positivo, por lo cual las líneas de fuerza van en la dirección del semieje x positivo y del semieje y negativo.

El mismo método de análisis se usa para definir la dirección en los cuatro cuadrantes.

Como se observa al comparar las gráficas de las líneas de fuerza y las obtenidas en el Ejemplo 17, las líneas de fuerza son perpendiculares a las equipotenciales, como es de esperarse de acuerdo con las propiedades del vector gradiente.

7.1 PROPIEDADES DE UN CAMPO VECTORIAL

7.1.1 Circulación y Rotacional

Cuando las líneas de fuerza en cualquier región del espacio donde se encuentre definido el campo siguen una trayectoria cerrada se dice que el campo posee circulación en dicha región.

La circulación es una característica de los campos vectoriales y tiene una definición matemática relativamente simple.

La circulación de un campo es la sumatoria sobre una trayectoria cerrada de las componentes de campo tangenciales la trayectoria.

Circulación=r . dl

Figura. Líneas de fuerza de un campo vectorial con circulación.

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8. FLUJO Y DIVERGENCIA

El flujo de un campo vectorial A se define como la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa la superficie y es una cantidad escalar. Para cuantificarlo, se toma solamente la componente normal de las líneas que inciden sobre la superficie.

La componente normal se obtiene como la proyección del vector de campo sobre un vector unitario perpendicular a la superficie, el cual fue definido en el capítulo anterior.

Figura () Flujo de un campo vectorial A a través de una superficie 

flujo= A . ds

Para las superficies cerradas se define también el flujo de salida como el flujo que atraviesa la superficie cuando el vector de superficie apunta siempre hacia fuera de la superficie cerrada.

Figura  Flujo de salida de una superficie cerrada en presencia de una fuente, un sumidero o ninguno de ellos.

Cuando el flujo de salida es positivo, significa que en el interior de la superficie se encuentra una fuente de campo, es decir, que el número de líneas de fuerza que abandona la superficie es superior al número de líneas de fuerza que ingresan a ella.

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Cuando el flujo de salida tiene signo negativo significa que en interior de la superficie se encuentra un sumidero, es decir el caso contrario a una fuente.

En general, las líneas de fuerza nacen en las fuentes y terminan en los sumideros.

El flujo de salida por unidad de volumen encerrado puede tomarse como una medida de la presencia de fuentes o sumideros en la región delimitada por la superficie.

Se denomina Divergencia de un campo vectorial al flujo de salida por unidad de volumen cuando la unidad de volumen se hace infinitesimal.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar dada la naturaleza escalar del flujo y la naturaleza puntual de la divergencia.

8.1 Teorema de la divergencia

De la definición de Divergencia, se desprende una identidad conocida como el teorema de la divergencia:

Dado que la divergencia de un campo vectorial es una especie de derivada volumétrica del flujo de salida del campo, es lógico pensar que la integral de volumen de la divergencia, corresponda al flujo total de salida del campo de donde se desprende la Ecuación ().

¿R . dv=¿R .dS ; dS=dSa¿

Ecuación. Teorema de la divergencia

El flujo de salida de un campo vectorial a través de cualquier superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia del campo sobre el volumen encerrado por la superficie.

9. EJEMPLOS

9.1 EJEMPLOS CON EL TEOREMA DE GAUSS

-Hallar el flujo del campo a =x2 i + y2 j + z2 k a través de la superficie:

Z= 1 -√ x2+ y2 , 0≤ z ≤ 1

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Y

∬āds=∭¿ā dxdy dz

1. Hallar ā= (x2 , y2 , z2 )

div (ā) = (dadx

+ dady

+ dadz

)

= 2x+2y+2z

V

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X

Proyecto xy

Con z =0 0 = 1 - √ x2+ y2

X2 + y2 =1

R2 = 1

R = 1

X=r cos ϴ

Y= r sen ϴ

X2 + y2 = r2

rϴ

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ ϴ ≤ 2π

Proyecto en z

0 ≤ z ≤ 1 - √ x2+ y2 0 ≤ z ≤ 1 - r

V = 0

2 π

0

1

0

1−r

2 r ¿¿¿¿

=2 0

2 π

0

1

0

1−r

¿¿¿¿

¿2∬0

1

(r2 cosθ+r2 senθ ) z+rz2

2

0

1−r

drdθ

¿2∬0

1

(r¿¿2 cosθ+r 2 senθ) (1−r )+r(1−r )2

2−0 drdθ ¿

¿2∬0

1

r2 cosθ+r2 senθ−r3 cosθ−¿ r3 senθ+ r2−r2+ r3

2drdθ¿

¿2∬0

1

(cosθ+senθ−1)r2−r3(cosθ+senθ+ 12 )+ r

2drdθ

¿20

2π

(cosθ+senθ−1 ) r3

3− r4

4 (cosθ+senθ+ 12 )+ r2

4

0

1

dθ

¿20

2πcosθ

3+ senθ

3−1

3− cosθ

4+ senθ

4−1

8+ 1

4dθ

¿20

2πcosθ

12+ 7 senθ

12− 5

24d θ

¿ senθ6

−7 cosθ6

−5 θ120

2 π

¿−76−5 π

6−(0−7

6−0)=−5 π

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FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL

CONCLUSIONES

El flujo de campo eléctrico no cambia en forma abrupta su dirección al pasar por una región del espacio libre de cargas. Así, en una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. En esta región podemos tomar un área pequeña que está orientada perpendicular a las líneas casi paralelas del campo.

Éste decrece en función de 1/r. Por lo tanto, la relación entre la intensidad del campo y la densidad de las líneas de campo eléctrico es automática si éstas ni se crean ni se destruyen en regiones en las que no haya cargas. La densidad de las líneas, que determina la magnitud del campo eléctrico, es una densidad por unidades de área.

El flujo de campo eléctrico tiene magnitud y dirección definidas en cualquier punto en el espacio y puede entenderse como una medida de la cantidad de campo que atraviesa dicha superficie (gráficamente, como el número de líneas de campo que atraviesan S).

Análisis Matemático II Página 29

FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL

BIBLIOGRAFIA

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http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Campo%20vectorial.htm

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http://chemamartin.wikispaces.com/file/view/FLUJO+DE+UN+CAMPO.pdf

http://fcaglp.unlp.edu.ar/~adevito/2012/CAPI_03.pdf

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