Flujo Radial-primera (1)
52
Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello 1 Ley de Darcy En un pozo dentro de un yacimiento, a cualquier distancia, la ecuación cartesiana de Darcy, se convierte: p k v o (1) Ley de Darcy para Flujo Lineal En un pozo dentro de un yacimiento, la distancia que recorre el aceite al pozo es contraria a la caída de presión por lo que la ecuación cartesiana de Darcy conserva el signo: dx dp k v o (2) Substituyendo la velocidad en términos del gasto de aceite @ c. y. y el área perpendicular al flujo: dx dp k A B q o oi oL , (3) El área perpendicular al flujo de aceite es función del radio (área lateral): ab A , (4) Por lo que substituyendo y arreglando: dx dp B kabh q oi o L 0 . (5) L, ps 0, pe
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Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
1
Ley de Darcy
En un pozo dentro de un yacimiento, a cualquier distancia, la ecuacin
cartesiana de Darcy, se convierte:
pk
vo
(1)
Ley de Darcy para Flujo Lineal
En un pozo dentro de un yacimiento, la distancia que recorre el aceite al pozo
es contraria a la cada de presin por lo que la ecuacin cartesiana de Darcy
conserva el signo:
dx
dpkv
o
(2)
Substituyendo la velocidad en trminos del gasto de aceite @ c. y. y el rea
perpendicular al flujo:
dx
dpk
A
Bq
o
oioL
, (3)
El rea perpendicular al flujo de aceite es funcin del radio (rea lateral):
abA , (4)
Por lo que substituyendo y arreglando:
dx
dp
B
kabhq
oio
L
0 . (5)
L, ps
0, pe
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
2
Ley de Darcy para Flujo Radial
En un pozo dentro de un yacimiento, la distancia que recorre el aceite al pozo
en la misma direccin a la cada de presin, por lo que la ecuacin a cualquier
distancia, r , y la ecuacin cartesiana de Darcy, se convierte:
dr
dpkv
o
r
(6)
Substituyendo la velocidad en trminos del gasto de aceite @ c. y. y el rea
lateral perpendicular al flujo:
dr
dpk
A
Bq
o
oo
, (7)
El rea perpendicular al flujo de aceite es funcin del radio (rea lateral):
rhA 2 , (8)
Por lo que substituyendo y arreglando:
dr
dp
B
krhq
oo
20 . (9)
re, pe rw, pwf
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
3
Ley de Darcy para Flujo Esfrico
En un pozo dentro de un yacimiento, la distancia que recorre el aceite al pozo
en la misma direccin a la cada de presin, por lo que la ecuacin a cualquier
distancia, r , y la ecuacin cartesiana de Darcy, se convierte:
dr
dpkv
o
r
(10)
Substituyendo la velocidad en trminos del gasto de aceite @ c. y. y el rea
perpendicular al flujo:
dr
dpk
A
Bq
o
oo
, (11)
El rea perpendicular al flujo de aceite es funcin del radio (rea lateral):
24 rA , (12)
Por lo que substituyendo y arreglando:
dr
dp
B
krq
oo
2
0
4 . (13)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
4
Ecuacin de Difusin en Dos Dimensiones
Considere un volumen de control:
zyxVc ,
En el volumen de control entra un flujo msico en la cara zy :
zyvm xoe
,
y sale un flujo msico:
zyvvmxoxos
.
Figura B.1. Flujo lineal en el volumen de control.
Si la masa que entra es diferente a la masa que sale al transcurrir un intervalo
de tiempo, se acumula cierta cantidad de masa en el volumen de control
disponible, la cual est dada por la ecuacin:
acumuladosaleentra msico flujomsico flujo - msico flujo ,
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
5
zyvzyvvzyvmxoxoxoxoa
.
La cantidad de masa acumulada en funcin del espacio se obtiene al multiplicar
el flujo msico por el intervalo de tiempo t .
tzyvtAmmxoaa
. (B.1)
Al realizar el anlisis dimensional se obtiene:
TtLzLyT
Lv
L
MMm xoa
3
.
Por otro lado, para un volumen de control, la masa acumulada est en funcin
del tiempo. A un tiempo inicial t se tendr una masa:
zyxSm oodf 1 .
Como se estableci en un principio, solo existe un fluido saturante, es decir
1oS , por lo que la expresin de 1m se reduce a:
zyxm odf 1 .
Despus que pase algn tiempo (una t ), se tendr una masa distinta, la cual
habr cambiado con el tiempo, en ese mismo volumen de control:
zyxm odfodf 2 .
Por lo tanto, la masa acumulada en funcin del tiempo est dada por la
ecuacin:
inicial tiempoal masa- tiempodel cambio del despus masa acumulada masa ,
zyxzyxzyxm odfodfodfodfa . (B.2)
Realizando el anlisis dimensional:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
6
33
1 LzyxL
MMm odfa
.
El paso siguiente en el desarrollo es igualar las ecuaciones (B.1) y (B.2):
zyxtzyv odfxo .
Si se divide la ecuacin anterior entre tzyx , se obtiene:
odfxot
vx
.
Al hacer tender x y t a cero, se aplica la definicin de la derivada para
ambos miembros y cambiando de signo al lado derecho, se obtiene la ecuacin
de continuidad:
oxot
vx
. (B.3)
La ecuacin de movimiento para flujo newtoniano, llamada ley de Darcy, es:
x
txpkvx
,
.
Se sustituye la ecuacin anterior en (B.3):
o
df
otx
txpk
x
,.
Si la permeabilidad de la fractura dominante, dfk
, y la viscosidad, , se
consideran constantes, es posible multiplicarlas por el operador derivada:
o
df
otx
txp
x
k
,. (B.4)
La frmula para derivar un producto:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
7
x
vu
x
uv
x
vu
.
S ou y x
pv
df
para el miembro izquierdo y ou y dfv
para el miembro
derecho, la ecuacin (B.4) queda:
ttx
txp
xx
txp
x
k dfo
o
o
o
,,. (B.5)
Las derivadas parciales xo
, to
y tdf
pueden ser expresada utilizando la
regla de la cadena de la manera siguiente:
px
p
x
oo
, (B.6)
pt
p
t
oo
, (B.7)
df
dfdfdf
pt
p
t
(B.8)
Se sustituyen (B.6), (B.7) y (B.8) en (B.5):
df
dfdf
o
df
odf
df
df
o
df
df
odfdf
pt
txp
pt
txp
x
txp
xx
txp
px
txpk
,,,,,
,
Arreglando:
t
txp
ppx
txp
px
txpk df
df
df
dfdf
o
o
odf
df
df
o
o
dfodf
,11,1,2
2
2
. (B.9)
Las compresibilidades de la fractura dominante y del aceite estn definidas
mediante las ecuaciones:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
8
pc p
1,
pc o
o
o
1.
Se sustituyen las dos ecuaciones anteriores en (B.9):
t
txpcc
x
txpc
x
txpk dfpoo
df
o
dfodf
,,,2
2
2
Cancelando la densidad del aceite, o , de ambos miembros de la ecuacin
anterior, sta se reduce a:
t
txpcc
x
txpc
x
txpk dfpo
df
o
df
,,,2
2
2
. (B.10)
La compresibilidad total de la fractura dominante (recordando la presencia de
un solo fluido saturante) es:
dfotdf ccc ,
Por lo que la ecuacin (B.10) se reescribe:
t
txpc
x
txpc
x
txpk dft
df
o
dfdf
,,,2
2
2
.
Si se despeja la permeabilidad del medio poroso k y la viscosidad la ecuacin
anterior, sta queda:
t
txp
k
C
x
txpc
x
txp dftdfo
df
,,,2
2
2
. (B.11)
La constante de difusividad hidrulica del medio poroso es:
tC
k .
-
Produccin de yacimientos de aceite
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9
Por lo que al sustituir la difusividad hidrulica se obtiene la ecuacin de
difusin para flujo lineal:
t
txp
x
txpc
x
txp dfdfo
df
,1,,2
2
2
.
El gradiente de presin tiende a ser muy pequeo, y elevado al cuadrado es an
ms pequeo, comparado con los dems elementos por lo que se desprecia. La
ecuacin de difusin para flujo lineal en un Yacimiento Homogneo:
t
txp
x
txp
df
,1,2
2
(B.12)
De la misma manera adicionando la direccin y, la ec. difusin en dos
dimensiones:
t
tyxp
y
tyxp
x
tyxp df
df
dfdf
,,1,,,,2
2
2
2
. (B.13)
Tambin puede escribirse
t
tyxptyxp
df
df
df
,,1,,
. (B.14)
La relacin entre las coordenadas polares en el plano y las coordenadas
rectangulares es:
cosrx
rseny
222 yxr
x
ytan
-
Produccin de yacimientos de aceite
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10
El primer par de ecuaciones transforma ecuaciones polares (r, ) a
coordenadas rectangulares (x, y).
El segundo par de ecuaciones hace posible transformar coordenadas
rectangulares a coordenadas polares:
),(),( rpyxu
cos
cos
rd
dxsen
dr
dy
rsend
dx
dr
dx
Utilizando la regla de la cadena:
r
rpsen
r
rp
dy
drp
dy
dr
r
rp
y
yxu
r
senrp
r
rp
dx
drp
dx
dr
r
rp
x
yxu
cos),(),(),(),(),(
),(cos
),(),(),(),(
Las segundas derivadas utilizando la regla de la cadena
2
22
22
22
2
22
2
2
2
22
22
22
2
22
2
2
),(cos
1),(cos2),(cos),(cos2),(),(
),(1),(cos2),(),(cos2),(cos
),(
rp
r
rp
r
sen
r
rp
rr
rp
r
sen
r
rpsen
y
yxu
rpsen
r
rp
r
sen
r
rp
r
sen
r
rp
r
sen
r
rp
x
yxu
Sumando las ecuaciones anteriores:
2
2
22
2
2
2
2
2 ),(1),(1),(
rp
rr
rp
rr
rp
y
u
x
u
El operador de presin en coordenadas cartesianas puede substituirse por uno
en coordenadas polares
),,(),,( 22 trptyxp
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
11
Transformando a coordenada polares:
t
trptrp
),,(1),,(2
El operador considerando la variacin con el ngulo, esto es muy til en
sectores circulares para separacin de variables:
t
trptrp
rr
trp
rr
trp
),,(1),,(1),,(1),,(2
2
22
2
Si la presin no es funcin del ngulo horizontal:
t
trp
r
trp
rr
trp
),,(1),,(1),,(2
2
Obtencin de la ecuacin de difusin en coordenadas polares
Para construir la ecuacin de difusin de flujo radial en un yacimiento
homogneo, considrese la Figura 1:
Figura 1. Volumen de control para flujo radial.
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
12
De acuerdo con la figura anterior, el volumen de control, cV , est dado por la
ecuacin siguiente:
zrV arcoc (1)
La longitud de arco se define de a cuerdo con la relacin siguiente:
arco
360
2
(2)
Despejando la longitud de arco:
180
rarco
(3)
Si:
180
, (4)
Entonces la longitud de arco es:
rarco , (5)
Por lo que la ecuacin 1, se reescribe como:
zrrzrrVc . (6)
A travs del volumen de control entra un flujo msico eom
, y sale un flujo
msico, som
, tal como se muestra en la Figura 2:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
13
Para obtener la masa de aceite que entra, se multiplica el flujo msico por el
rea a travs del cual fluye y una t :
tzrrvtAmm reoeo
, (7)
Arreglando:
tzrvzrvm rreo . (8)
Para obtener la masa de aceite que sale, se realiza el mismo procedimiento que
en el paso anterior:
tzrvvtAmm rrsoso
, (9)
Arreglando:
tzrvtzrvm rrso , (10)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
14
La masa acumulada total, se obtiene al restar la masa de aceite que sale menos
la masa que entre:
eosoac mmm , (11)
tzrrvtzrvvm rrrac , (12)
desarrollando:
tzvrtzvrtzrvtzrvm rrrrac , (14)
La masa de aceite a un 1t , en el volumen de control de la Figura 1, est dada
por la ecuacin siguiente:
rzrSmtot
11 , (15)
Considerando nicamente, un solo fluido saturante, 1oS , por lo que la
ecuacin anterior se reduce a:
rzrm tt 1 . (16)
Anlogamente, la masa de aceite a un 2t es:
rzrmt 2 , (17)
Desarrollando:
rzrrzrmt 2 . (18)
La masa acumulada en el tiempo, est dada de acuerdo a la ecuacin siguiente:
12 ttacmmm
, (19)
Sustituyendo:
rzrrzrrzrmac , (20)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
15
rzrmac . (21)
El paso siguiente es igualar la masa acumulada:
rzrtzrvtzrv rr , (22)
Se divide la ecuacin anterior entre trzr :
trzr
rzr
trzr
tzrvtzrv rr
, (23)
se separan las fracciones:
trzr
rzr
trzr
tzrv
trzr
tzrv rr
, (24)
se simplifica la ecuacin anterior:
tr
v
r
v rr
, (25)
Se factoriza de la ecuacin previa:
tr
rvvr
r
rr
1
, (26)
el lado izquierdo de la ecuacin se arregla, de la manera siguiente:
r
vr
rr
rv
r
vr
rr
rvvr
r
rrrrr 111
. (27)
Se sustituye la ecuacin anterior en la 26, resultando:
tr
vr
r
r
1
. (28)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
16
Para obtener la ecuacin de continuidad, se aplica el lmite cuando 0r y
0t :
tr
vr
r
r
1
. (29)
La ley de Darcy para flujo radial es:
r
pkvr
. (30)
Al sustituir la ley de Darcy en la ecuacin de continuidad, ecuacin 29, se
obtiene:
t
rr
pk
rr
1
, (31)
Al considerar la permeabilidad, k , y la viscosidad , ,como constantes, se
obtiene:
tr
pr
r
k
r
1
. (32)
Al aplicar las derivadas parciales se obtiene:
ttr
p
r
r
r
pr
rr
pr
r
k
2
2
. (33)
Las derivadas parciales de la densidad en espacio, y de la densidad y porosidad
en tiempo, pueden expresarse con la regla de la cadena, de la manera siguiente:
pr
p
r
, (34)
pt
p
t
, (35)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
17
pt
p
t
tt
, (36)
Sustituyendo las ecuaciones 34, 35 y 36 en 33:
pt
p
pt
p
r
p
r
k
r
pk
r
p
pr
pkt
t
2
2
, (37)
Arreglando la ecuacin anterior, en el miembro derecho de la ecuacin anterior,
se factoriza la derivada parcial de la presin con respecto al tiempo:
t
p
ppr
p
r
k
r
p
p
k
r
pk t
t
t
1112
2
2
, (38)
Cancelando la densidad del aceite, en la ecuacin anterior, sta se reduce a:
t
p
ppr
p
pr
p
rr
pk t
t
t
11112
2
2
, (39)
Las compresibilidades estn dadas por:
pc t
t
f
1
, (40)
pco
1
, (41)
Al sustituir las ecuaciones 41 y 42 en la 40, se obtiene:
t
pcc
r
pc
r
p
rr
pkofto
2
2
2 1
, (42)
La compresibilidad total del sistema est dada por la ecuacin:
oft ccc , (43)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
18
Por ltimo se despeja /k , y se obtiene la ecuacin de difusin para flujo radial
en un yacimiento homogneo:
t
p
k
c
r
pc
r
p
rr
p tto
2
2
2 1
, (44)
El gradiente de presin tiende a ser muy pequeo, elevado al cuadrado es ms
pequeo y multiplicado por la compresibilidad es muy pequeo comparado con
los dems elementos, por lo que se desprecia:
t
p
k
c
r
p
rr
p tt
12
2
, (45)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
19
Flujo Radial Estacionario en un Yacimiento Homogneo
La ecuacin de difusin para flujo radial en estado transitorio en forma
compacta:
t
trp
k
c
r
trpr
rr
to
,,1
(1)
Un rgimen de flujo estacionario indica que no existir variacin de la presin
con respecto al tiempo, es decir, es cero. Lo anterior se expresa
matemticamente de la forma siguiente:
0
,
t
trp
(2)
Substituyendo la derivada con respecto al tiempo:
0
1
r
rdpr
dr
d
r (3)
Despejando
0
dr
rdpr
dr
d
(4)
Integrando
1C
r
rdpr
(5)
Arreglando
r
C
dr
rdp 1 (6)
Separando diferenciales:
drr
Crdp 1
(7)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
20
Integrando:
p
p
r
rwf wr
drCrdp 1)(
, (8)
La solucin general a la ec. de difusin para Flujo radial estacionario en un
Yacimiento Homogneo es:
21 )ln()( CrCrp (9)
Condiciones de Frontera para Resolver el Problema 1
Condicin de frontera interna, Gasto constante (De la ley de Darcy ):
w
ooow
khr
Bq
dr
rdp
2
(10)
Condicin de frontera externa, frontera finita a presin constante:
wse prp (11)
Aplicando la condicin de frontera interna:
w
ooo
w
w
khr
Bq
r
C
dr
rdp
2
1
(12)
La constante es:
kh
BqC ooo
21
(13)
La solucin acotada es:
2)ln(2
)( Crkh
Bqrp ooo
(14)
Aplicando la condicin de frontera externa en la solucin acotada:
wse
ooo
e pCrkh
Bqrp 2)ln(
2)(
(15)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
21
Despejando la otra constante:
)ln(2
2 e
ooo
ws rkh
BqpC
(16)
Substituyendo la constante en la solucin acotada y arreglando:
)ln()ln(2
)ln(2
)ln(2
)( eooo
wse
ooo
ws
ooo rrkh
Bqpr
kh
Bqpr
kh
Bqrp
Arreglando se obtiene la solucin particular para el problema dado:
w
ooo
wfr
r
kh
Bqpp ln
2
(17)
Despejando el gasto de aceite:
woo
wf
orrB
ppkhq
ln
2
. (18)
El gasto de aceite en el pozo, a un determinado radio de drene:
weoo
wfe
orrB
ppkhq
ln
2
. (19)
La ecuacin 19, es funcin de un logaritmo natural, que significa que la cada
de presin se duplica o triplica a medida que la distancia del radio se
incrementa por uno o dos rdenes de magnitud. Por ello, la regin cercana a la
vecindad del pozo es sumamente importante en la produccin del pozo, porque
es el lugar en donde ocurre una gran cada de presin.
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
22
Condiciones de Frontera para Resolver el Problema 2
Condicin de frontera interna, Produccin a presin de fondo fluyendo
constante:
wfw prp (20)
Condicin de frontera externa, Frontera finita a presin constante
wse prp (21)
Aplicando la condicin de frontera interna:
wfww pCrCrp 21 )ln()( (22)
Aplicando la condicin de frontera interna:
wsee pCrCrp 21 )ln()( (23)
Restando:
wfwswe pprrC )ln()ln(1
Despejando la constante
)/ln(1
we
wfws
rr
ppC
(24)
Substituyendo en la solucin general se obtiene una solucin acotada:
2)ln()/ln(
)( Crrr
pprp w
we
wfws
(25)
Aplicando la condicin de frontera interna:
wfw
we
wfws
w pCrrr
pprp
2)ln(
)/ln()(
(26)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
23
Despejando la otra constante
)ln()/ln(
2 w
we
wfws
wf rrr
pppC
(27)
Substituyendo la constante en la solucin acotada, se obtiene la solucin para
este problema en particular:
wfw
we
wfws
w
we
wfws
wfw
we
wfwsprr
rr
ppr
rr
pppr
rr
pprp
)/ln(
)/ln()ln(
)/ln()ln(
)/ln()(
(28)
Distribucin de presin en el yacimiento
-
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
- 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00
r
p(r
)
wsp
wfp
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
24
Condiciones de Frontera para Resolver el Problema 3
Condicin de frontera interna, Gasto constante (De la ley de Darcy ):
w
ooow
khr
Bq
dr
rdp
2
(29)
Condicin de frontera externa, Frontera finita cerrada
0
r
rp e
(32)
Ecuacin de Difusin para Flujo Radial
t
trp
k
C
r
trpr
rr
t
),(),(1
(33)
Arreglando:
ttrp
kh
hC
r
trpr
rr
t
),(
/
),(1
(34)
Ecuacin diferencial de Muskat, 1937:
t
trphrC
r
trpr
r
kht
),(2
),(2
(35)
***
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
25
Flujo radial pseudoestacionario en un Yacimiento Homogneo.
Casi todos los pozos eventualmente presentan los efectos de sus fronteras. En
seccin previa la condicin del estado estacionario implica una frontera externa
a presin constante. La frontera natural puede presentarse al considerar el
impacto de un acufero muy grande. La presin constante inducida puede ser el
resultado de configuraciones inyector-productor.
Para fronteras no fluyentes, las reas de drene pueden ser descritas por lmites
naturales tales como fallas, acuamientos, etc., o puede ser inducidas
artificialmente por la produccin de pozos . Esta condicin a menudo se refiere
a un estado pseudoestacionario.
La presin en la frontera externa deja de ser constante, pero en su lugar declina
a gasto constante con el tiempo, esto es ctetpe / .
La ecuacin de difusin para flujo radial en un yacimiento homogneo es la
siguiente:
t
trp
r
trp
rr
trp
,,1,2
2
, (1)
Un rgimen de flujo pseudoestacionario indica que la variacin de la presin
con respecto al tiempo ser constante:
1
,C
t
trp
. (2)
Al sustituir la ecuacin anterior en la Ecuacin de Difusin para flujo radial,
ecuacin 1, sta se reduce a:
12
2 1C
dr
rdp
rdr
rpd
. (3)
Para resolver la ecuacin previa, se hace el cambio de variables siguiente:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
26
dr
rdptrG ,
(4)
Entonces:
2
2
dr
rpd
dr
rdG
. (5)
Al sustituir las ecuaciones 4 y 5 en la ecuacin 3, se obtiene la expresin
siguiente:
1
1CrG
rdr
rdG
, (6)
La ecuacin anterior puede escribirse como:
11
CrrGdr
d
r
, (7)
Separando variables:
rdrCrrGd 1 , (8)
Al integrar ambos miembros de la ecuacin anterior se obtiene:
22
12
Cr
CrrG , (9)
Dividiendo entre r:
r
CrCrG 21
2
(10)
Al sustituir la ecuacin 4 en la anterior se obtiene:
r
CrC
dr
rdp 21
2
(11)
al separar variables:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
27
drr
Cdrr
Crdp1
221
(12)
Al integrar ambos miembros de la ecuacin:
322
1 ln4
CrCr
Crp . (13)
Considrense las condiciones de frontera siguientes:
wfw prp (14)
wse prp (15)
Entonces, la presin en la vecindad del pozo, wrp , est dada por la ecuacin:
322
1 ln4
CrCr
Cp ww
wf (16)
Anlogamente, la presin esttica del yacimiento, trp ews , , est dada por la
ecuacin:
322
1 ln4
CrCr
Cp ee
ws . (17)
La cada de presin en el yacimiento trpR , , est dada por la ecuacin:
wfwsR pprp (18)
Al sustituir las ecuaciones 16 y 17 en la anterior, se obtiene:
32
2
132
2
1 ln4
ln4
CrCr
CCrCr
Crp ww
e
e
R
( (19)
weweR rrCrrC
rp lnln4
2
221 , (20)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
28
Al aplicar las propiedades de los logaritmos, la ecuacin anterior queda:
w
eweR
r
rCrr
Crp ln
42
221
,
La expresin anterior tambin puede escribirse como:
wewewfws rrCrrC
pp lnln4
2
221 , (21)
w
ewewfws
r
rCrr
Cpp ln
42
221
Despejando la constante 2C , se obtiene
w
e
wewfws
r
r
rrC
pp
C
ln
4
221
2
.(22)
Al sustituir la constante 2C , en la ecuacin 13 se obtiene:
3
2212
1 ln
ln
4
4Cr
r
r
rrC
ppr
Crp
w
e
wewfws
. (23)
Para obtener el valor de la constante 3C , debe evaluarse alguna de las
condiciones de frontera, en la ecuacin 23. Para este caso se utiliz la condicin
wse prp , obtenindose la expresin siguiente:
3
2212
1 ln
ln
4
4Cr
r
r
rrC
ppr
Cp e
w
e
wewfwse
ws
, (24)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
29
Se despeja la constante 3C :
e
w
e
wewfwse
ws r
r
r
rrC
ppr
CpC ln
ln
4
4
2212
13
. (25)
Finalmente, sustituyendo la constante 2C en la ecuacin 23 se obtiene:
r
r
r
rrC
ppr
Crp
w
e
wewfws
ln
ln
4
4
2212
1
e
w
e
wewfwse
ws r
r
r
rrC
ppr
Cp ln
ln
4
4
2212
1
,
(26)
Arreglando la ecuacin anterior se obtiene:
e
w
e
wewfws
ewsr
r
r
r
rrC
pp
rrC
prp ln
ln
4
4
221
221
. (27)
La cual es la solucin de la ecuacin de difusin para rgimen estacionario.
r
rrr
C
r
r
r
r
ppprp ew
e
w
e
wfws
ws ln4
ln
ln
221
. (28)
Caso particular
Puede observarse que si 01 C , la ecuacin anterior se reduce a:
ewe
wfws
wsr
r
rr
ppprp ln
ln (29)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
30
Produccin de aceite Pseudoestacionaria
rea circular con un pozo en el centro, en estado estacionario, el ritmo de
produccin del pozo es igual al ritmo de expansin del fluido contenido en el
rea de drene.
dp
dVt
VtCt
1
La expansin:
dpVCdV ttt
Arreglando las diferenciales:
dt
dphrC
dt
dVtet
t 2
El gasto por expansin de fluidos:
dt
rdphCrq teo
)(2
Despejando la derivada:
te
o
hCr
q
dt
rdp2
)(
Substituyendo la derivada en la ec. De flujo radial:
te
t
hCr
q
k
rC
r
trpr
r2
),(
Simplificando:
2
)(
e
oo
rkh
rq
dr
rdpr
dr
d
Integrando:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
31
rdrrkh
q
dr
rdprd
e
oo
2
)(
1
2
22
)(C
r
rkh
q
dr
rdpr
e
oo
r
Cr
rkh
q
dr
rdp
e
oo 12
2
)(
Pero como es un yacimiento cerrado
0)(
dr
rdp e
02
),( 1
ee
e
r
C
rkh
q
dr
trdp
Despejando la constante:
kh
qC
21
Substituyendo la constante y factorizando:
22
1
2
1
22
),(
e
oooo
e
oo
r
r
rkh
q
rkh
q
rkh
rq
dr
trpd
Integrando:
22
2),(
eer
rdr
r
dr
rkh
qtrp
Integrando se obtiene la presin en estado estacionario:
22
2
2)ln(
2),( C
r
rr
kh
qtrp
e
oo
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
32
De la ecuacin de difusividad radial, la presin p a cualquier punto r , del
yacimiento de radio er , est dada por (Dake, 1978):
2
2
2ln
2.141
ew
owf
r
r
r
r
kh
qBpp
. (19)
Cuando err , la ecuacin se reduce a:
2
1ln
2.141
w
eowf
r
r
kh
qBpp
. (20)
Esta ecuacin es til para estado pseudo estacionario, mientras ep sea
conocida a un tiempo dado.
De cualquier forma, la presin promedio del yacimiento, p , puede ser obtenida
de pruebas de incremento de presin peridicas.
Una expresin ms til para la ecuacin de difusin en estado pseudo
estacionario puede ser una utilizando la presin promedio del yacimiento.
Esto se define como una presin ponderando con el volumen drenado:
hrr
pdV
dV
dVVp
pwe
r
r
r
r
r
r
e
w
e
w
e
w
22
)(
, (21)
Donde:
hrrrV w22)(
drrhdV 2 ,
La ecuacin anterior se convierte:
e
w
e
w
r
ree
r
rprdr
rhr
pdV
p22
2
. (22)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
33
La expresin para la presin a cualquier punto de r puede ser sustituida de la
ecuacin anterior:
e
w
r
r ew
o
e
wf drr
r
r
r
kh
qB
rpp
2
2
2 2ln
2.1412 . (23)
Al efectuar la integral se obtiene:
4
3ln
2.141
w
eowf
r
r
kh
qBpp
(24)
Al introducir el factor de dao e incorporando el trmino dentro de la
expresin logartmica, se conduce a la relacin de flujo para una frontera no
fluyente del yacimiento:
s
r
r
kh
Bqpp
w
eooowf
472.0ln
2.141 . (25)
La ecuacin anterior es til ya que provee la relacin entre la presin promedio
del yacimiento, p , y el gasto q . La presin promedio, p , es una variable que
puede ser determinada. Depende del rea de drene y de las propiedades del
fluido y de la roca.
El gasto de aceite para condiciones de estado pseudo estacionario:
sr
r
pp
B
khq
w
e
wf
oo
o
472.0ln
2.141 . (26)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
34
Transformacin a variables adimensionales de la Ecuacin de Difusin para
Flujo Radial en Yacimientos Homogneos
t
trp
k
c
r
trp
rr
trp t
),(),(1),(2
2 . (45)
Para transformar la ecuacin de difusin en variables adimensionales se
considerarn las variables siguientes:
w
Dr
rr
, (46)
22
wtw
Drc
ktt
rt
, (47)
o
i
DDDqB
trpprhktrp
,2,
, (48)
o
wwfi
DwDqB
trpprhktp
,2
. (49)
El primer paso es derivar las ecuaciones anteriores, con respecto a r, t y p(r,t),
respectivamente:
w
D
rdr
dr 1 , (50)
2
w
D
rdt
dt , (51)
hkr
Bq
trdp
trdp
w
o
DDD
2,
, . (52)
La primera derivada de la presin con respecto al radio del pozo, utilizando la
regla de la cadena es:
D
DDDD
DDD r
trp
dr
dr
trdp
trdp
r
trp
),(
),(
),(),(, (53)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
35
Sustituyendo las derivadas:
D
DDD
ww
o
D
DDD
ww
o
r
trp
hkrr
Bq
r
trp
rhkr
Bq
r
trp
),(
2
),(1
2
),(
. (54)
La segunda derivada de la presin con respecto al radio:
dr
dr
r
trp
rrhkr
Bq
r
trp D
D
DDD
Dw
o ),(
2
),(2
2
, (55)
Sustituyendo la derivada del radio:
2
2
22
2
2
2 ),(
2
1),(
2
),(
D
DDD
w
o
wD
DDD
w
o
r
trp
rhkr
Bq
rr
trp
rhkr
Bq
r
trp
. (56)
La primera derivada con respecto al tiempo se puede expresar como:
D
DDD
DDD
D
t
trp
trdp
trdp
dt
dt
t
trp
),(
),(
),(),(. (57)
Al sustituir las parciales en la ecuacin previa, se obtiene:
D
DDD
wt
o
t
trp
rc
k
rhk
Bq
t
trp
),(
2
),(2
(58)
Sustituyendo las parciales:
D
DDD
wt
ot
D
DDD
ww
ow
D
DDD
w
o
t
trp
rc
k
rhk
Bq
k
c
r
trp
rrhkr
Bq
r
r
r
trp
rhkr
Bq ),(
2
),(
2
),(
2 22
2
2
(59)
Al simplificar se obtiene la ecuacin adimensional de difusin para Flujo Radial
en Yacimientos Homogneos:
D
DDD
D
DDD
DD
DDD
t
trp
r
trp
rr
trp
),(),(1),(2
2
(60)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
36
Transformacin a Variables Adimensionales de las Condiciones de la Ecuacin
Condicin inicial, distribucin uniforme de presin:
iprp 0, , (61)
iioo
i
ww
D ppBq
rhk
Bq
rpprhk
rr
rp
00
2
20,20,
00, DD rp . (62)
Condicin de frontera interna, gasto constante:
hkr
Bq
r
trp
w
ooow
2
,
, (63)
Pero
r
trp
Bq
hkrr
r
trp
o
ww
D
DDD
),(2),(
.
hkr
Bq
Bq
hkrr
r
trp
Bq
hkrr
r
tp
w
ooo
ooo
www
ooo
ww
D
DD
2
2),(2),1(
.
1
,1
D
DD
r
tp. (64)
Condicin de frontera externa, yacimiento infinito:
ir
ptrp
),(lim , (65)
),(limlim2,2lim,lim
00
2trpp
Bq
rhk
Bq
trpprhkt
rr
rp
ri
roo
i
rww
D
rr
r
ww
02,lim0
ii
o
DDDr
ppBq
rhktrp
D
, (66)
Condicin de frontera externa, yacimiento finito:
irer
ptrp
),(lim , (68)
iio
reri
reroww
Drer
ppBq
rhktrpp
Bq
rhkt
rr
rep
00
2
2),(limlim
2,lim ,
0,lim
DDDr
trpeD
. (69)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
37
Condicin de frontera externa, yacimiento cerrado:
0
,
r
trp e , (70)
Pero
r
trp
Bq
rhkr
r
trp
o
w
D
DDD
),(2),(
.
Evaluando en el radio de drene
02),(2),(
ooo
wee
ooo
we
D
DeDD
Bq
hkrr
r
trp
Bq
hkrr
r
trp
.
0
,
D
DeDD
r
trp. (71)
Rgimen de flujo transitorio
Indica que la variacin de la presin con respecto al tiempo ser variable, lo
anterior se expresa matemticamente de la manera siguiente:
D
D
DDD tft
trp
,. (72)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
38
Solucin Fuente Lineal de la Ecuacin Adimensional de Difusin para Flujo
Radial en un Yacimiento Homogneo
D
DDD
D
DDD
DD
DDD
t
trp
r
trp
rr
trp
),(),(1),(2
2
. (2)
Condicin inicial, distribucin uniforme de presin:
00, DD rp , (3)
Condicin de frontera interna, gasto constante:
1
,lim
0
D
DDDD
r t
trpr
D
, (4)
Condicin de frontera externa, yacimiento infinito:
0,lim
DDDr
trpD
. (5)
Aplicar la transformada de Laplace a la ecuacin de difusin adimensional radial:
D
DDD
D
DDD
DD
DDD
t
trpL
r
trpL
rr
trpL
),(),(1),(2
2
(6)
Para la primera derivada en el espacio:
),(),(),(
srpdr
dtrpL
rr
trpL DD
D
DDD
DD
DDD
, (7)
D
DD
D
DDD
dr
srpd
r
trpL
),(),(
. (8)
Anlogamente, para la segunda derivada en el espacio:
2
2
2
2 ),(),(
D
DD
D
DDD
dr
srpd
r
trpL
. (9)
La primera derivada del tiempo:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
39
)0,(),(),(
DDDD
D
DDD rpsrpst
trpL
. (10)
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la inicial, se obtiene:
)0,(),(),(1),(2
2
DDDD
D
DD
DD
DD rpsrpsdr
srpd
rdr
srpd , (11)
Al sustituir la condicin inicial, la ecuacin anterior se reduce a:
),(),(1),(
2
2
srpsdr
srpd
rdr
srpdDD
D
DD
DD
DD , (12)
0),(),(1),(
2
2
srpsdr
srpd
rdr
srpdDD
D
DD
DD
DD . (13)
Se multiplica la ecuacin anterior por 2Dr , y se obtiene:
0),(),(),( 2
2
22 srpsr
dr
srdpr
dr
srpdr DDD
D
DDD
D
DDD
. (14)
Se define una variable y funcin de transformacin:
srz D . (15)
zGsrp DDD , , (16)
El trmino, puede expresarse utilizando la regla de cadena, de la forma siguiente:
DD
DD
dr
dz
dz
zGd
dr
srpd
),(, (18)
Se deriva la variable de transformacin con respecto a Dr y se obtiene:
sdr
dz
D
. (17)
Al sustituir la ecuacin 18, en la anterior se obtiene:
dz
zGds
dr
srpd
D
DD ),(
. (19)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
40
Al derivar la ecuacin anterior, empleando la regla de la cadena se obtiene:
dz
zGds
dr
d
dr
srpd
dr
d
DD
DD
D
),( , (20)
sdz
zGd
dr
ds
dr
dz
dz
zGd
dr
ds
dr
srpd
DDDD
DD
2
2 ),(, (21)
2
2
2
2 ),(
dz
zGds
dr
srpd
D
DD . (22)
Sustituir la funcin de transformacin, su primera y segunda derivada parcial en la
ec inicial:
02
2
22
zGsr
dz
zGdsr
dz
zGdsr DDDD , (23)
Se sustituye la ecuacin 16 en la anterior y queda la expresin siguiente:
02
2
22 zGz
dz
zGdz
dz
zGdz D . (24)
La ecuacin previa corresponde a una ecuacin tipo Bessel modificada, cuya
solucin tiene la forma:
zKCzICzG 0201 . (25)
Substituyendo la variable y la funcin de transformacin
srKCsrICsrp DDDD 0201, . (26)
El paso siguiente es aplicar la transformada de Laplace a las condiciones de
frontera interna y externa. Para la condicin de frontera interna:
st
srpr
t
trprL
D
DDD
rD
DDDD
r DD
1,lim
,lim
00
, (28)
y para la condicin de frontera externa:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
41
0,lim,lim
srptrpL DDr
DDDr DD
. (29)
Al aplicar la condicin de frontera externa a la ecuacin 26, se obtiene:
0limlim,lim 0201
srKCsrICsrp Dr
Dr
DDr DDD
. (30)
De la grfica siguiente:
Funciones Bessel "Io" y "Ko"
1E-290
1E-240
1E-190
1E-140
1E-90
1E-40
1E+10
1E+60
1E+110
1E+160
1E+210
1E+260
10 100 1000
rD
Ko
, Io
Ko Io
Cuando rD crece, el valor obtenido,
evaluando en la funcin I0 aumenta
Cuando rD crece, el valor obtenido,
evaluando en la funcin K0 tiende a
cero
Puede concluirse que:
00 21 CvalorC , (30)
Para cumplir la igualdad anterior, se requiere que:
01 C . (31)
Se sustituye el valor de la contante 1C en la ecuacin 26, y sta se reduce a:
srKCsrp DDD 02, . (32)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
42
Para aplicar la condicin de frontera interna, se requiere derivar la ecuacin 32,
con respecto a Dr :
srKCsdr
srpdD
D
DD12
, , (33)
El paso siguiente es multiplicar la ecuacin anterior por Dr :
srKCrsdr
srpdr DD
D
DDD 12
, , (34)
Finalmente, se aplica el lmite cuando Dr tiende a cero (lo que implica la fuente
lineal):
s
srKCrsdr
srpdr D
rD
D
DDD
r DD
1lim
,lim 1
02
0
. (35)
Las funciones Bessel Modificadas con argumentos pequeos pueden aproximarse
como:
n
nx
xnxK
22
1lim
0, (36)
Entonces para srx D y 1n :
sr
srsrK
D
DD
rD
2!0
2
1
21
2
1lim
1
10
, (37)
sr
srKD
DrD
1lim 1
0
. (38)
Al sustituir la ecuacin anterior en la ecuacin 35, se obtiene:
ssrCrs
D
D
112
, (39)
Al simplificar se obtiene la constante 2C :
sC
12 . (40)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
43
Se sustituye la ecuacin anterior en la 32, y se obtiene la solucin acotada en el
espacio de Laplace:
srKs
srp DDD 01
, . (41)
La transformacin a espacio real de la ecuacin anterior es la siguiente:
D
DiDDD
t
rEtrp
42
1,
2
. (42)
Substituyendo las variables adimensionales:
2
2
2
42
1,2
wt
wi
o
i
rc
kt
r
r
EqB
trpprhk
.
Arreglando:
kt
rcE
rhk
Bqtrpp ti
ooo
i44
,2
.
El comportamiento de la presin con la produccin es:
kt
rcE
rhk
Bqptrp ti
ooo
i44
,2
. (43)
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
44
Flujo Radial Transitorio de Aceite en Yacimientos Homogneos
La ecuacin de difusin para flujo radial describe el comportamiento de presin
en un yacimiento, con un fluido ligeramente compresible y de viscosidad
constante:
t
trp
k
c
r
trp
rr
trp to
,,1,2
2 (1)
Condicin inicial, presin uniforme: iprp 0,
Condicin de frontera interna, gasto constante:
w
ooow
khr
Bq
dr
trdp
2
,
Condicin de frontera externa, frontera infinita: ir
ptrp
,lim
La solucin, denominada integral exponencial es:
kt
rcE
kh
qptrp toi
ooi
44,
2
, (2)
La integral exponencial para argumentos en 01.0x (i.e., para tiempos grandes,
distancias pequeas, capacidad de flujo altas, capacidad de almacenamiento
baja, viscosidad baja, como en la vecindad del pozo), puede ser aproximada
por:
2
24
ln4 rc
kt
kt
rcE
to
to
i
, (3)
Donde:
= constante de Euler = 1.78.
Evaluando la presin en el yacimiento en la vecindad del pozo y poco despus
de la produccin se obtiene la presin de fondo fluyendo:
tptrp wfw , . (4)
La presin en el pozo en funcin del tiempo, puede ser aproximado por:
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
45
t
rc
k
kh
qptp
wto
oo
iwf 2
4ln
4)(
. (5)
Las variables de campo que se establecen en la Tabla 1
Variable Valor Unidad de campo
wr 635.0 pies
h 590590 pies
t 095.0 Adim.
wS 08.0 Adim.
fc 61028 1psi
Dens. Ac. 10 API
sR 8.103 blpies /3
ip 256,3 psi
bp 576 psi
oiB 11.1 @[email protected]/blbl
obB 18.1 @[email protected]/blbl
oi 1.17 cp
ob 4 cp
oc 61011 1psi
wc 6102 1psi
fc 61028 1psi
tc 61045 1psi
Hk 700,1 md
Vk 700 md
Tabla 1. Valores y unidades de campo de las variables de un yacimiento petrolero, de la
formacin Brecha.
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
46
Variable Valor Unidad de campo
wr 635.0 pies
h 590 pies
t 115.0 Adim.
wS 08.0 Adim.
fc 61028 1psi
Dens. Ac. 40 API
sR 8.103 blpies /3
ip 256,3 psi
bp 180 psi
oiB 71.2 @[email protected]/blbl
obB 18.1 @[email protected]/blbl
oi 1.17 cp
ob 4 cp
oc 4061011 1psi
wc 6102 1psi
fc 61028 1psi
tc 61045 1psi
Hk 700 md
Vk 700 md
Tabla2. Valores y unidades de campo de las variables de un yacimiento petrolero. de
la formacin JSK.
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
47
Variable Valor Unidad de campo
wr 635.0 pies
h 590 pies
t 095.0 Adim.
wS 08.0 Adim.
fc 61028 1psi
Dens. Ac. 10 API
sR 8.103 blpies /3
ip 256,3 psi
bp 576 psi
oiB 11.1 @[email protected]/blbl
obB 18.1 @[email protected]/blbl
oi 1.17 cp
ob 4 cp
oc 61011 1psi
wc 6102 1psi
fc 61028 1psi
tc 61045 1psi
Hk 700,1 md
Vk 700 md
Tabla 3. Valores y unidades de campo de las variables de un yacimiento de
aceite extrapesado.
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
48
Obtener la constante de la Solucin logartmica en unidades Prcticas
La solucin logartmica es la siguiente:
t
rc
k
kh
qpp
wt
iwf 2
4ln
4
,
Se realiza el anlisis dimensional:
Tt
LrM
LTc
LT
M
Lk
LhLk
LT
M
T
Lq
LT
Mp
LT
Mp
wt
iwf
222
1
2
2
3
22
4ln
4
,
Empleando el Sistema Internacional de Unidades, la ecuacin previa se
reescribe:
st
mrPa
csPa
mk
mhmk
sPas
mq
PapPap
wt
iwf221
2
2
3
1
4ln
4
.
Considere las equivalencias siguientes:
dia
Bq
s
mq 6
3
108403.1 ,
cpsPa 3101 ,
mdkmk 162 1086923.9 ,
piehmh 28.3 ,
222 7584.10 piermr ww
psipPap 893,9 ,
141 10451.1 psicPac tt
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
49
Substituyendo las equivalencias:
stpierpsipcp
mdk
piehmdk
cpdia
blq
psippsip
w
221
16
16
36
7584.10892,6
1086923.94ln
28.31086923.94
101108403.1
893,9893,9
st
mrPa
csPa
mk
mhmk
sPas
mq
PapPap
wt
iwf221
2
2
3
1
4ln
4
stpierpsiccp
mdk
piehmdk
cpdia
blq
psippsipwt
221
2011 105242.5ln10117843.3
Sustituyendo:
stpiek
pierlb
piec
pies
slb
Epiehpiek
s
pieq
pie
lbp
pie
lbp
wt
f
iiwf 2
222
2
2
3
22 44
Simplificando:
23.3loglog
6.1622
0
wt
oiwf
rc
kt
kh
Bqpp
***
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
50
Adecuacin de Ecuaciones para ser utilizadas en unidades de campo.
Considere la Ecuacin de Difusin para Flujo Radial en un Yacimiento
Homogneo:
t
trp
r
trp
rr
trp
,1,1,2
2
. (A.1)
Al realizar el anlisis dimensional, considerando las dimensiones de la
difusividad hidrulica como incgnitas, se tiene que:
21314 LMTMTLXMLLML zyx ,
se plantean las ecuaciones:
24: xL ,
10: yT ,
11: zM ;
se obtienen los valores de las incgnitas:
2x ,
1y ,
0z .
Por lo que se concluye que las dimensiones de X son:
TLX 2 ,
y debido a que:
1X ,
las dimensiones de la difusividad hidrulica son:
12 TL .
El anlisis dimensional para la difusividad hidrulica y sus parmetros:
cbat TLMYMLcLTMLLLkTL 2111331212 ,
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
51
al plantear las ecuaciones se obtiene:
aM 110: ,
bL 213322:
cT 11: ;
se obtienen los valores de las incgnitas:
0a ,
1b ,
2c .
Se concluye que las dimensiones de Y son:
2 LTY ,
las anteriores corresponden a las dimensiones de una aceleracin, g , que
corresponde a la gravedad, por lo que la difusividad hidrulica es igual a:
22
22
s
pieg
lb
piec
spie
lb
piek
s
pie
t
,
o bien:
lb
piec
pie
s
gspie
lb
piek
s
pie
t
22
22
1
.
Cuando la viscosidad considera la aceleracin gravitacional es igual a:
pies
s
gspies
lb
pies
slb f2
2
1 .
Entonces, la difusividad hidrulica se reescribe de la manera siguiente:
lb
piec
pie
slb
piek
s
pie
t
f2
2
22
.
-
Produccin de yacimientos de aceite
M. I. Hctor Pulido Bello
52
Los factores de conversin de unidades congruentes a unidades de campo son:
mDkpiek 82 1006235.1 ,
cppies
slb f 52
1008686.2
,
lb
pgc
pie
pg
lb
piec
lb
piec ttt
2
2
222
1441
144.
Sustituyendo los valores anteriores se obtiene:
15
82
1441008686.2
1006235.1
psiccp
mDk
s
pies
t ,
1
62
10535.3
psiccp
mDk
s
pies
t ,
1
22
00264.01
400,86
psiccp
mDk
da
s
s
pie
da
pie
t .
***
