FLUJOMAXIMO 2013 Modo de Compatibilidad

7/18/2019 FLUJOMAXIMO 2013 Modo de Compatibilidad

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ROSMERI MAYTA

INVESTIGACION OPERATIVA

08/04/2013 ROSMERI MAYTA H.INVESTIGACION OPERATIVA

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INVESTIGACIÓN OPERATIVAINVESTIGACIÓN OPERATIVAINVESTIGACIÓN OPERATIVAINVESTIGACIÓN OPERATIVA

FLUJO MÁXIMOFLUJO MÁXIMOFLUJO MÁXIMOFLUJO MÁXIMO

MG. ROSMERI MAYTA H. MG. ROSMERI MAYTA H. MG. ROSMERI MAYTA H. MG. ROSMERI MAYTA H.

2013201320132013


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APLICACIONES

1. Diseño de redes de transporte para

minimizar el costo total de proporcionarlas ligaduras (vías ferroviarias,carreteras, etc.)

2. Diseño de una red de tuberías paraconectar varias localidades.


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APLICACIONES

3- Determinación del programa de costo mínimode los campos petrolíferos a refinerías yfinalmente a los campos de distribución.

4.- Se pueden enviar petróleo crudo y productosderivados de la gasolina en buques tanque,oleoductos y/o camiones.

5.- Además de la disponibilidad de la ofertamáxima en los campos petrolíferos y losrequisitos de demanda mínima en los centrosde distribución, deben tomarse en cuentarestricciones sobre la capacidad de lasrefinerías y los modos de transporte.


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MODELO DE FLUJO MÁXIMO

Se trata de enlazar un nodo fuente y unnodo destino a través de una red de arcosdirigidos. Cada arco tiene una capacidadmáxima de flujo admisible. El objetivo esde obtener la máxima capacidad de flujoentre la fuente y el destino.


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Característica

Todo flujo a través de una red conexa dirigida se originaen un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodollamado destino.

Los nodos restantes son nodos de trasbordo. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la

dirección indicada por la f lecha, donde la cantidadmáxima de flujo está dado por la capacidad del arco. Enla fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En eldestino, todos señalan hacia el nodo.

El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de lafuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquierade las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidadque sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.


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El problema de flujo máximo se puedeformular como un problema deprogramación lineal, se puede resolver

con el método símplex y usar cualquiersoftware.



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FLUJO MÁXIMO

Red que transporta petróleo crudo:


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RED DE TRANSPORTE RED DE TRANSPORTE RED DE TRANSPORTE RED DE TRANSPORTE .Es el grafo finito sin anillo que cumple ciertascondiciones:

1. En una red de transporte, cada arco tieneasociado una capacidad C(u) ≥ 0.

2. Existe una fuente tal que el conjunto de losarcos incidentes es el conjuntovacío: W- (X0) = 0.

3. Existe un sumidero tal que el conjunto de losarcos incidentes al exterior, esvacío; es decir: W+ (Xn) = 0.


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FUENTEEs el único nodo que sólo tiene arcos de

salida.SUMIDEROEs el único nodo que sólo tiene arcos de

entrada.CAPACIDAD C(i,j)

Es la máxima cantidad de producto quepuede fluir por el arco (i,j).

FLUJO DE ARCO f(i,j)Es la cantidad de producto que fluye por

el arco (i,j). 08/04/2013 ROSMERI MAYTA H.INVESTIGACION OPERATIVA

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ARCO SATURADOSe dice que un arco es saturado si C(i,j) = f(i,j)El flujo de la red es factible si cumple:

1. 0 ≤ f(i,j) ≤ C(i,j)2. Conservación de flujo:


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En cada nodo i :Flujo que entra en el nodo i = Flujo que sale en el

nodo j

∑ f( k, i ) = ∑ f( i, j )

En la red :

Flujo que sale de la fuente = Flujo que llega alsumidero

∑ f( X0, k ) = ∑ f( j, Xn ) = F


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FLUJO COMPLETOEl flujo en la red es completo si toda la ruta o camino que vadesde la fuente al sumidero contiene al menos un arcosaturado.



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Ejemplo: X0 – 1 – 4 – XnX0 – 3 – 5 – Xn

CAPACIDAD RESIDUAL DE UN ARCO (I,J)

Cr (i,j) = C(i,j) - f(i,j)Ejemplo.

Cr (4,Xn) = C(4,Xn) - f(4,Xn) = 5 -3 = 2


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FORMULACIÓN DE UN PL PARA CALCULAREL FLUJO MÁXIMO

Dado una red sin anillos se trata de hallar elmáximo flujo de la fuente al sumidero, sujeto

a las capacidades de arco que forma la red yen el supuesto que exista una conservaciónde flujo.

F.O. : Max ∑ Q(u) ∑ Q(u)u W+ (X0) u W-(Xn)

1. Q(u) ≤ C(u) ; para todo u A2. ∑ Q(u) = ∑ Q(u)

u W+ (X0) u W-(Xn)


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GRÁFICO


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F.O. : Max Z = Q(X0, X1) + Q(X3, X2) + Q(X0,X3)

S. a :Q(X0, X1) ≤ C(X0, X1)Q(X0, X2) ≤ C(X0, X2)....

Q(X5, Xn) ≤ C(X5, Xn)En la red:

Q(X0, X1) + Q(X3, X2) + Q(X0, X3) = Q(X4,

Xn) + Q(X5, Xn)

FORMULACIÓN DE UN PL PARAHALLAR EL FLUJO MÁXIMO


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En los nodos :Nodo 1: Q(X0, X1) = Q(X1, X4)

2 : Q(X0, X2) = Q(X2, X4) + Q(X2, X5)3 : Q(X0, X3) = Q(X3, X4) + Q(X3, X5)….

MÉTODO DE FORD FULKERSONProcedimiento:1.-Establecer un flujo de la fuente al sumidero.2.-Tratar de etiquetar los vértices.3.-Si existe etiqueta en el sumidero, asignar un

flujo y regresar al paso 2.


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Si ya no se puede etiquetar el sumidero,Entonces ya se tiene el flujo máximo.Para etiquetar:

gjk : Capacidad no saturada del arco JK.Xij : Flujo asignado del arco IJ.dJ : Flujo que puede pasar aún por elvértice J.



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Problema

Encuentre el flujo máximo de la fuente al

sumidero en la siguiente red .a) Calcular el flujo máximo aplicando el

algoritmo de Ford Fulkersonb) Realizar un PL para hallar el flujo

máximo.


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GRÁFICO DE LA RED


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Maxz= XF1+XF2

S.a:En cada nodoXF1=X13+X14

XF1=X21+X24

X13=X38

X14+X24=X45

XF1+XF2=X35+X45


22

En la red

XF1+XF2=X35+X45

Por capacidad

XF1<=4+XF2…

.

.

X45<=2


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PROGRAMACION EN LINGO



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Corte de la red

Corte : se define como corte a una serie

de arcos cuya supresión de la red causaun interrupción completa del flujo entre losnodos del punto de origen y del sumidero.

Capacidad de corte: Es igual a la sumade las capacidades de los arcosasociados.


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Y X , X = conjunto de vértices

Xo Y A = conjunto de arcos

W – (Y)

El corte C1 X

C1 = {Xo}

Arcos incidentes a C1

W-(C1) ={ (x1,x2) ,(X1,X4),(X1,X3)}


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Capacidad de corte:

Q[ W-(c1)] = Σ c(u)

Teorema fundamental de flujo

Para una red de transporte dada, el valormáximo de flujo es igual a la capacidad decorte mínimo


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Q[w-(c1)]= Σc(u)= 2+10+4 = 16Q[w-(c2)]= Σc(u)= 6+9 = 15Q[w-(c3)]= Σc(u)= 5+8+7+1=21Q[w-(c4)]= Σc(u)= 1+7+6=14


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Aplicando el teorema encontramos que elflujo máximo es de : 14



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Problema

Se tiene siete asentamiento humanos y

se quiere instalar tuberías para agua. En la siguiente red se encuentra los

datos. Calcular el flujo máximo que ira delA.H 1 al A.H 7


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33

a) Caminos:1 – 2 – 5 – 7 Min {2, 5, 6} = 21 – 4 – 5 – 7 Min {10, 8, 4} = 41 – 4 – 6 – 7 Min {6, 7, 9} = 61 – 3 – 4 – 6 – 7 Min {4, 3, 1, 3} = 11 – 3 – 6 – 7 Min {3, 1, 2} = 1_

14b)W-(C1) = C12 + C14 + C13 = 2+10+4 = 16W-(C2) = C57 + C67 = 6+9 = 15W-(C3) = C25 + C45 + C46 + C36 = 5+8+7+1

= 21

W-

(C4) = C57 + C46 + C36 = 6+7+1 = 14 08/04/2013 ROSMERI MAYTA H.INVESTIGACION OPERATIVA

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Ejemplo:Se tiene la siguiente red con sus respectivascapacidades. Determinar el flujo máximo a través de lared.


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Camino: 1 – 2 – 4 – 7 = Min { 7 , 8 , 4 } = 4

Camino: 1 – 2 – 5 – 7 = Min { 3 , 4 , 7 } = 3Camino: 1 – 3 – 5 – 7 = Min { 10 , 3 , 7 } = 3

Camino: 1– 3 - 2 – 5 –7 = Min { 7 , 8 , 1 , 1 } = 1Camino: 1 – 3 – 6 – 7 = Min { 6 , 3 , 5 } = 4

14Respuesta: El flujo máximo es: 14


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RED:



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CORRIDA CON UN SOFTWARE


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39

PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO

Tres refinerías mandan un productopetrolero hacia dos terminales dedistribución por una red de oleoductos.Toda la demanda que no se puedesatisfacer por la red se adquiere de otrasfuentes. La red de tuberías contiene tresestaciones de bombeo, como se ve en lafigura.


40

RED


41

El producto va por la red en la direcciónque indican las flechas. La capacidad decada segmento de tubería se ve

directamente en los arcos, y esta enmillones de barriles por día. Determinar elFlujo Máximo de producto que circula porla red,


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Red



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PROGRAMACION EN LINGOFLUJO MÁXIMO !PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO; SETS: NODES/1..10/;

ARCS(NODES,NODES) /1,2 1,3 1,4 2,5 3,5 3,6 3,7 4,5 5,6 5,7 5,8 6,7 6,9 7,8 7,9 8,10 9,10 10,1/ :CAPACIDAD,FLUJO; ENDSETS MAX=FLUJO(10,1); @FOR(ARCS(I,J):FLUJO(I,J)<CAPACIDAD(I,J)); @FOR(NODES(I):@SUM(ARCS(J,I):FLUJO(J,I)) =@SUM(ARCS(I,J):FLUJO(I,J)));

DATA: CAPACIDAD=20,80,15,20,10,20,50,15,20,10,10,30,30, 50,20,60,50,100000; ENDDATA


44

Global optimal solution found at iteration:

0 Objective value:

110.0000

EL FLUJO MAXIMO ES DE 110


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FLUJO MÁXIMO A COSTO MÍNIMO

La red es una red dirigida conexa.

Al menos uno de los nodos es nodo fuente.

Al menos uno de los nodos es nodo demanda.

El resto de los nodos son nodos de trasbordo.

Se permite el flujo a través de un arco sólo en ladirección indicada por la flecha, donde lacantidad máxima de flujo está dada por lacapacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir enambas direcciones, debe representarse por unpar de arcos con direcciones opuestas.)

08/04/2013 ROSMERI MAYTA H.

INVESTIGACION OPERATIVA46

La red tiene suficientes arcos comosuficiente capacidad para permitir quetodos lo flujos generados por los nodosfuente lleguen a los nodos demanda.

El costo del flujo a través del arco esproporcional a la cantidad de ese flujo,donde se conoce el costo por unidad.


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En un flujo de costo mínimo se considera:

Todos los arcos son dirigidos.

Existe un flujo a través de la red cuyos arcospueden tener límites (superior y/o inferior) decapacidad.

Cada arco tiene un costo (o distancia) parael flujo o transporte de unidad de producto.

Cualquier nodo puede actuar como fuente opozo, es decir cualquier nodo puede serpunto de oferta (fuente) o punto de demanda(pozo).


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OBJETIVO:

Es minimizar el costo total de enviar elsuministro disponible a través de la redpara satisfacer la demanda dada. (Un

objetivo alternativo es maximizar laganancia total del envío.)



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Representación de la red:

X i j : Es el número de unidades de flujo enviado delnodo i al nodo j.Ci j : Costo de transportar 1 unidad de producto delnodo i al nodo j.Ui j : Capacidad máxima del arco (i, j).bi j : Flujo neto en el nodo i ( salida – entrada ) 08/04/2013 ROSMERI MAYTA H.

INVESTIGACION OPERATIVA50

bi > 0 Si el nodo i es un punto de oferta.bi < 0 Si el nodo i es un punto de demanda.

.bi = 0 Si el nodo i es un punto de

transbordo.Condición:En una red de costo mínimo una condición

necesaria para que tenga solución factiblees:

∑ bi = 0 ( oferta = demanda )


51

EJEMPLO:


52

Formulando:Min Z = 4 X12 + 5 X13 + X 23S.a:

X12 + X13 = 13 Nodo 1- X12 + X23 = 0 Nodo 2- X13 - X23 = -13 Nodo 3

X12 ≤ 8X13 ≤ 7X23 ≤ 10Xi j ≥ 0


53

Formulación de un PL para un redF:O Min Z = ∑ Ci j . Xi jS. A: ∑ Xi j - ∑ Xki = bi

Xi j ≤ Ui j

Xi j ≥ 0


54

PROBLEMA:En la siguiente red: Realizar un PL para hallar el flujomáximo a mínimo costo.



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Formulación de un PL para hallar el Flujomáximo a minimo costo

Min Z = 4 X12 + 2 X24 + 3X 13 + 5X34 +2 X32

S.a:X12 + X13 = 11 Nodo 1

X24 - X12 - X32 = -8 Nodo 2X34 + X32 - X13 = 9 Nodo 3

- X24 - X34 = -12 Nodo 4


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2 ≤ X12 ≤ 80 ≤ X13 ≤ 60 ≤ X32 ≤ 5

0 ≤ X24 ≤ 123 ≤ X34 ≤ 11Xij ≥ 0


57

PROBLEMA FLUJO MÁXIMO

La compañía de gaseosas ABC posee 3 plantascon capacidad de producción de 20, 30 y 15 milcajas las cuales deben ser distribuidas a 5centros distribución (CD). La capacidad deentrega de los CD a los intermediarios de ventason de 10, 10, 15, 25 y 5 mil cajas semanal. Lacapacidad de transporte de las plantas a los CDes como sigue:


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SOLUCION EN LINGO


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Datos:


60

Grafico



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61

SOLUCIÓN


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CORRIDA EN LINGO

Global optimal solution found

at step: 21 Objective value:

63.00000


63

Problema

Los capuleto, Pérez, Juárez, y los Anastacios sevan a un día de campo familiar anual se disponede 4 móviles para transportar a las familias. Enlos automóviles caben los siguientes númerosde personas: automóvil 1 , 4; automóvil 2,3;automóvi l 3,3; automóvil 4,4. Hay 4 personasen cada familia y ningún automóvil puede llevarmás de 2 personas de cualquier familia.Formule el problema de cómo transportar elnúmero máximo posible de personas al pueblo.


64

DIAGRAMA DE LA RED


65

SOLUCION


66




ROSMERI MAYTA



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Solución en lingo

Global optimal solution found

at step: 18

Objective value:

14.00000


68

PROBLEMA FLUJO MÁXIMO A

MÍNIMO COSTO

Determinar el flujo máximo a mínimocosto en la siguiente red.


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RED: Solución con un software yprogramación en lingo


70


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CORRIDA


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Programación en lingo



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Resultados de la corrida

Global optimal solution found at step:

8 Objective value: 590.0000


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PROBLEMA

Se tiene dos fábricas y tres centros de

distribución, en cada arco se indican lascapacidades y los costos.

Formular un PL para calcular el flujomáximo a costo mínimo.


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Gráfico


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Formulación de un PL

F.O: MIN. Z = 8X24 + 4X25 + 6X26+ 7X35 + 4X36 S.A: X12 + X13 = 49 -X47 – X57 – X67 = -49 Capacidad de arco X12<=30 X24<=15 X35<=15 X47<=20 X13<=19 X25<=17 X36<=14 X57<=15 X26<=13 X67<=24 Nodo X12 = X24 + X25 + X26 X47 = X24

X17 = X35 + X36 X57 = X25 + X35 X67 = X26 + X36 Solución en LINGO Programación en LINGO


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Resultado SETS: NODES/1..7/:SUPP; ARCS(NODES,NODES)/1,2 1,3 2,4 2,5 2,6 3,5 3,6 4,7 5,7 6,7/ :CAP,FLOW,COST; ENDSETS MIN=@SUM(ARCS:COST*FLOW); @FOR(ARCS(I,J):FLOW(I,J)<CAP(I,J));

@FOR(NODES(I):-@SUM(ARCS(J,I):FLOW(J,I)) +@SUM(ARCS(I,J):FLOW(I,J))=SUPP(I)); DATA: COST=0,0,8,4,6,7,4,0,0,0; SUPP=49,0,0,0,0,0,-49; CAP=30,19,15,17,13,15,14,20,15,24; ENDDATA END Resultado Global optimal solution found at iteration: 7 Objective value: 271.0000

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