FM11-152

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Programa Focalizado

Relaciones y funciones

Bsico 15

Programa Focalizado Matemtica 2008INTRODUCCINEstimado alumno o Estimada alumna: Como parte de la preparacin y formacin integral para la PSU de Matemtica, este ao hemos elaborado una nueva propuesta denominada Programa Focalizado. Este material didctico te proporcionar una instancia de preparacin diferenciada en dos niveles: bsico (guas 1-16) y medio-avanzado (guas 17 a 32), parte de las cuales se ejecutar en 10 sesiones presenciales mientras que el resto estar a tu disposicin en la pgina web de Cepech. Cada sesin ser considerada como una instancia evaluativa que te permitir obtener un puntaje asociado a la(s) gua(s) que se desarrolle(n). De esta manera, podrs ir monitoreando tus niveles de avance por contenido y ejecutar con la ayuda de tu profesor tutor las intervenciones necesarias, ya sea en tu modalidad de estudio, aclaracin de dudas de contenidos y habilidades, etc., que te permitirn ir mejorando tus rendimientos parciales. Con el mismo propsito, tendrs a tu disposicin el programa CEPECH-ONLINE, que de modo virtual proporciona una sntesis terica de los principales contenidos tratados en el plan focalizado y en tu curso de preparacin clsica. Qu materiales comprende el Programa Focalizado? El programa Focalizado comprende un total de 32 guas: las guas 1 a 16 corresponden a las de nivel bsico; las guas 17 a 32, a las de nivel medio-avanzado: Cada gua contiene una base terica sobre el tema tratado, 15 ejercicios compuestos por un nmero variable de actividades de desarrollo y ejercicios PSU. Hoja de respuesta en la cual debers registrar las alternativas que consideres correcta para cada ejercicio PSU. Dicha hoja debe ser entregada al profesor tutor, quien dar a conocer los resultados durante la clase siguiente. El solucionario completo de la gua que te permitir aclarar tus principales dudas, en forma complementaria a la ayuda brindada por el profesor.

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CEPECH Preuniversitario, Edicin 2008

Relaciones y FuncionesMarco terico:1. Producto cartesiano:El producto cartesiano de dos conjuntos A x B se dene como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B. Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, (exactamente en ese orden) recibiendo el nombre de par ordenado. Los elementos del producto cartesiano se colocan entre parntesis, separados por una coma. Ejemplo: A = {1,2,3} posee 3 elementos B = {x,y} posee 2 elementos A x B = {(1,x); (1,y); (2,x); (2,y); (3,x); (3,y)} posee 6 elementos (6 pares ordenados)

2. Relacin:Se dene como relacin entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este producto cartesiano puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto: Relacin AxB

3. Funcin:Sean A y B conjuntos no vacos, f es una funcin de A en B , si y slo si f es una relacin de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y slo un elemento de B. Tambin podramos decir que es una relacin en la cual a cada preimagen le corresponde una y slo una imagen. (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)


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Programa Focalizado

Matemtica 2008

Programa Focalizado Matemtica 20084. Elementos de una funcin4.1. 4.2. 4.3. Dominio: Corresponde a los elementos del conjunto de partida, a cada uno de estos elementos se les conoce como las preimgenes. Codominio: Corresponde a todos los elementos del conjunto de llegada. Rango o recorrido: Corresponde al subconjunto de imgenes que poseen preimagenes, o sea el recorrido es un subconjunto del Codominio Ejemplo:

1 2 3Conjunto de partida Dominio: {1,2,3} Codominio: {x,y,z} Recorrido: {x,y}

x y zConjunto de llegada

5. Clasicacin de funciones:5.1. Funcin Epiyectiva (o Sobreyectiva) Sea f una funcin de A en B , f es una funcin epiyectiva , si y slo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. En otras palabras: Codominio = Recorrido Ejemplo: A= { f , a , i , r , l } B= { 2 ,4 ,6 ,8 } f = { ( f ,2 ) ,( a ,8 ) ,( i ,4 ) ,( r ,6 ) ,( l ,8 ) }

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5.2.

Funcin Inyectiva Sea f una funcin de A en B, f es una funcin inyectiva , si y slo si cada elemento de B es imagen de a lo ms un elemento de A. Tambin se le conoce como funcin 1 es a 1. Ejemplo: A = {x,y,z} B = { 10 , 13 , 20 , 35 } f = { ( x , 35 ) , ( y , 10 ) , ( z , 20 ) }

5.3.

Funcin Biyectiva Sea f una funcin de A en B , f es una funcin biyectiva, si y slo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez . Ejemplo: A = {v,w,x,y} B = { 1 , 2 , 3 , 4} f = { ( v , 1 ) , ( w , 2 ) , ( x , 3 ) , ( y , 4 )} Observar que: Si f es una funcin biyectiva , entonces tiene funcin inversa f biyectiva.1

,la cual tambin es

6. Funcin inversa:Dada una funcin f(x), su inversa es otra funcin, designada por f 1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f -1(b) = a Para encontrar la funcin inversa de una funcin dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La funcin as obtenida es la inversa de la funcin dada. Ejemplo: Encontrar la funcin inversa de: y = 7x 10 Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta: x = y + 10 7


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Programa Focalizado

Matemtica 2008

Programa Focalizado Matemtica 2008Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta: y = Luego, la funcin inversa de y = 7 x 10 es y = x + 10 7 x + 10 7

7. Valorizacin de funciones:Consiste en reemplazar la x de la funcin (tambin conocida como variable independiente), por el valor en cuestin de la valorizacin. Ejemplos: Si f(x) = x 10, entonces: f(4) = 4 10 = 6 f(25) = 25 10 = 15 f(0) = 0 10 = 10 f(a + 2) = a + 2 10 = a 8

8. Composicin de funciones:Dado una funcin f(x) y una funcin g(x) una composicin de funciones se simboliza como fog(x) y consiste en valorizar la funcin g(x) en f(x), matemticamente lo sealamos como: f(g(x)). Ejemplo: Si una funcin f(x) consiste en sumar dos a x y otra funcin g(x) consiste en extraer la raz cuadrada de x, la funcin g[f(x)] consistir en extraer la raz cuadrada de x + 2. Matemticamente, f(x) = x + 2 g(x) = x ,entonces gof(x) = g(f(x)) = (x + 2)

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Ejercicios PSU1. Cul(es) de la(s) siguiente(s) relacin(es) es(son) funciones? I)1 2 3

II)x y1 2

III)x1

x y

A) B) C) D) E)

Slo I Slo II Slo III I, II, II Ninguna de ellas.

2.

Cul(es) de la(s) siguiente(s) relacin(es) es(son) funciones? A = {1,2,3} B = {5,6,7,8} II) R = {(1,5)}; (2,6); (3,7)} III) R = {(1,5)}; (2,6); (3,8)}

I) R = {(1,5)}; (1,6); (1,7)} A) B) C) D) E) Slo I Slo II Slo III Slo I y II Slo II y III

3.

Cul es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente funcin de A en B? A) B) C) D) E) Dominio = {1,2,3,4}, Dominio = {1,2,4}, Dominio = {a,b,c}, Dominio = {a,b,c}, Dominio = {1,2,4}, Recorrido = Recorrido = Recorrido = Recorrido = Recorrido = {1,2,4} {1,2,3,4} {1,2,3,4} {1,2,4} {a,b,c}Aa b c

B1 2 3 4


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Matemtica 2008

Programa Focalizado Matemtica 20084. Cul es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente funcin de B en A? A) B) C) D) E) Dominio = {i,g,n}, Recorrido = {f,c} Dominio = {f,c}, Recorrido = {i,g,n} Dominio = {f,c,o}, Recorrido = {i,g,n} Dominio = {i,g,n}, Recorrido = {f,c,o} La relacin de B en A no es una funcinAf c o

Bi g n

5.

Cul es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente funcin f(x) dentro de IR? f(x) = A) B) C) D) E) 1 x2 Dominio = Dominio = Dominio = Dominio = Dominio = IR IR + IR {0} IR {2} IR {2} , , , , , Recorrido = IR Recorrido = IR + Recorrido = IR {0} Recorrido = IR {2} Recorrido = IR {0}

6.

Cul es la funcin inversa de f(x) = A) B) C) D) f 1(x) = x 2 2 f 1(x) = x f 1(x) = 4x2 f 1(x) = 2x2

x ? 2

E) f 1(x) = ( x )-1

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7.

Si A) B) C) D) E)

f (x) =x2, entonces x+2 x2 x2 + 4x + 4 x2 + 2x + 4 x2 + 2

f(x + 2) =

8.

Si f (x) = x + 3 g(x) = x3, entonces f (17) g(2) = A) B) C) D) E) 12 8 10 12 20

9.

Cul es la funcin inversa de f(x) = A) B) C) D) 2 3x 2x f(x)1 = 3 f(x)1 = f(x)1 = x f(x)1 = 5x

3x ? 2

E) Esta funcin no posee inversa

10.

Si f(x) = 6x 4, entonces f 1 (2)= A) B) C) D) E) 1 2 1 8 10 12CEPECH Preuniversitario, Edicin 2008 9

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Matemtica 2008

Programa Focalizado Matemtica 200811. Si f(x) = 2x 8 g(x) = x2, entonces fog(x) = A) B) C) D) E) 2x - 8 x2 x2 8 2x2 8 (2x - 8)2

12.

Si f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 2, entonces gof(2) = A) B) C) D) E) 6 9 17 81 83

13.

La siguiente funcin de A en B es : I) II)III) A) B) C) D) E)

Epiyectiva InyectivaBiyectiva Slo I Slo II Slo I y II I, II y III Ninguna de ellas.

Aw g

B11 12

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14.

Sea f, funcin denida en IR, f(x) = 2x 144 Cul es el dominio de f -1(x)? A) B) C) D) E) IR IN Z IR {0} IR {72}

15.

Si f(x) = 2x + 5 ; g(x) = x + 2 h(x) = 11, entonces ( gof )1(h(x)) = A) B) C) D) E) 2 4 13 27 29


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