FORMA MATRICIAL DE ECUACIONES DIFENRENCIALES

8/7/2019 FORMA MATRICIAL DE ECUACIONES DIFENRENCIALES

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UNA APLICACIN DE EIGENVALORES Y EIGENVECTORES:FORMA MATRICIAL DE ECUACIONES DIFENRENCIALES

MARCO TERICO:

Suponga que representa alguna cantidad fsica. Entonces la tasa decrecimiento de est dada por su derivada . Si crece a unatasa constante, entonces y es decir, es una funcinde una recta. La tasa relativa de crecimiento est definida por

Si la tasa relativa de crecimiento es constante, entonces se tiene

o En el modelo anterior se busca una funcin desconocida. Con frecuencia ocurre queexisten varias funciones ligadas por varias ecuaciones diferenciales. Considere elsiguiente sistema de ecuaciones diferenciales con funciones desconocidas:

(1)

donde las cantidades son nmeros reales.Se definen

,

El sistema (1) se puede escribir como

(2)


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DEFINICIN 1. La matriz. Sea una matriz de con elementos reales (ocomplejos). Entonces es una matriz de definida por

DEFINICIN 2.Matriz solucin principal. La matriz principal se llama matrizsolucin principal del sistema .TEOREMA 1. Suponga que la matriz de 2x2 tiene un valor propio demultiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geomtrica 1. Sea un vector propiocorrespondiente a , y sea un vector que satisface la ecuacin , elcual se llama vector propio generalizado. Entonces donde es la forma cannica de Jordan de A.

TEOREMA 2.Para cualquier vector constante es una solucin a (2).Ms an, la solucin de (2) dada por satisface .TEOREMA 3. Sea la forma cannica de Jordan de una matriz y sea .Entonces y


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UN MODELO DE DEPREDADOR-PRESA

Ahora, aplicaremos eigenvalores y eigenvectores y lo expuesto en el marco terico aun modelo biolgico sencillo de crecimiento de poblacin. Suponga que en unecosistema existen dos especies que interactan y . Se denotan laspoblaciones de la especies en el tiempo por y . Un sistema que gobiernael crecimiento relativo de las dos especies es Las constantes , , y se pueden interpretar de la siguiente manera para unmodelo de depredador-presa: si es la presa y el depredador ( se come a ),entonces es razonable tener y ya que un incremento en la especiedepredadora causa un decremento en la especie presa, mientras que un incrementoen la especie presa causar un incremento en la especie depredadora (porquetendr ms comida). Se supondr que se mide en aos.PROBLEMA. Se considera el siguiente sistema en el que la especie 1 es la presa yla especie 2 es el depredador:

Encuentre las poblaciones de las dos especies para si las poblaciones inicialesson

y

.

SOLUCIN. En este caso . Primero, encontraremos los valores yvectores propios de:

entonces, el polinomio caracterstico de est dado por

as, el nico valor propio es .


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Ahora, calculemos el espacio propio asociado a :

de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

donde es evidente que

As, el espacio propio asociado a

es

Por tanto, el nico vector propio de es .Una solucin para la ecuacin es el vector propio generalizado , lo cual se comprueba a continuacin:

Entonces, por el teorema 1 del marco terico,

Ahora, para calcular:


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Ahora debemos obtener. Como , entonces,

de manera que

Ahora bien

As

y, por teorema 3 del marco terico:

As, por el teorema 2 del marco terico, la solucin al sistema es

Es evidente que la especie presa ser eliminada despus de

aos = 10 meses aun cuando comenz con una poblacin mayor que la especie depredadora. Dehecho, es sencillo demostrar que no importa qu tan grande sea la ventaja inicial dela especie presa, siempre ser eliminada en menos de 1 ao.


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TAREA #6Valores y vectores propios

3. Si son los valores propios de una matriz de, demuestra que:a) Los valores propios de

son Si A se define como

entonces

Supongamos que son los valores propios de, entonces el polinomiocaracterstico de es el polinomio caracterstico de, o, en otros trminos:

(1)As

Como

sustituyendo en (1) se tiene que

Lo cual es cierto ya que es una propiedad de los determinantes que


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b) y no necesariamente tienen los mismos espacios propios.Para probar esto, se usar un contraejemplo. Sea , entonces

Ahora, obtengamos los espacios propios de:

entonces, el polinomio caracterstico de est dado por

as, los valores propios de son y Calculemos el espacio propio asociado a :

donde es evidente que

As Ahora, calculemos el espacio propio asociado a :

donde

Luego


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Para obtener los espacios propios de se hace lo siguiente:

as que el polinomio caracterstico de

es

y los valores propios de son y Calculemos el espacio propio asociado a :

donde

Entonces

Ahora, calculemos el espacio propio asociado a :

donde de tal manera que

As, es evidente que y no tienen los mismos espacios propios.

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