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FORMACIÓN INICIAL Y PERMANENTE DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS CON AMBIENTES VIRTUALES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS GEOMETRÍAS PUBLIO SUÁREZ SOTOMONTE DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN RED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA – RUDECOLOMBIA CADE-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA TUNJA 2018
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FORMACIÓN INICIAL Y PERMANENTE DE PROFESORES DE
MATEMÁTICAS CON AMBIENTES VIRTUALES PARA LA ENSEÑANZA
DE LAS GEOMETRÍAS
PUBLIO SUÁREZ SOTOMONTE
DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
RED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA – RUDECOLOMBIA
CADE-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
TUNJA
2018
FORMACIÓN INICIAL Y PERMANENTE DE PROFESORES DE
MATEMÁTICAS CON AMBIENTES VIRTUALES PARA LA ENSEÑANZA
DE LAS GEOMETRÍAS
PUBLIO SUÁREZ SOTOMONTE
Trabajo, requisito parcial para optar el título de Doctor en Educación
DIRECTOR Dr. ALFONSO JIMÉNEZ ESPINOSA
DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
RED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA – RUDECOLOMBIA
CADE-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
TUNJA
2018
Nota de aceptación
Jurado: Dr.
Jurado
Jurado
Director Dr. Alfonso Jiménez Espinosa
Dedicada a Juan Manuel, Diana
Camila, Marisol y toda mi familia,
que es el soporte de mi vida.
A la memoria de Matilde y Publio
Isauro.
Doy gracias:
A Dios, por darme la fortaleza para culminar esta meta y a todas las personas que
me ayudaron a consolidar este proyecto. Al doctor Alfonso Jiménez Espinosa, por su dedicación, paciencia, compañerismo
y aportes en pro del desarrollo del proyecto en calidad de director del mismo. Al doctor Viçenc Font Moll, por su colaboración y sugerencias, tanto en la
consolidación del anteproyecto como en el desarrollo del trabajo i nvestigativo.
Por su acompañamiento durante la pasantía en la Universidad de Barcelona .
Al doctor Bruno D’Amore y a la Doctora Martha Isabel Fandiño por sus aportes
bibliográficos y asesoría
Al Mg. Miguel Arcángel Díaz Moreno por su asesoría y acompañamiento; a Laura
Givelly Peña, Fernando Vargas, Fernando Ávila, Lennys Fabián, Wilmer Fabián
y a todos los estudiantes del grupo colaborativo de ambientes virtuales para el
aprendizaje de las geometrías.
A todos los estudiantes que han cursado la asignatura de Electiva de
profundización I
6
Lista de Contenido
Lista de Tablas…………………………………………………………………….. 12
Lista de Figuras……………………………………………………………………. 14
Lista de Anexos……………………………………………………………………. 17
Resumen……………………………………………………………………………. 18
Abstract……………………………………………………………………………. 19
Introducción……………………………………………………………………….. 20
Área temática……………………………………………………………………… 20
El problema de investiagación y su relevancia……………………………………21
Capítulo 1. Generalidades………………………………………………………… 30
Problema de Investigación……………………………………………………... 30
Supuestos iniciales……………………………………………………………….30
Objetivos………………………………………………………………………… 31
Objetivo General………………………………………..……………………….31
Objetivos Específicos…………………………………………………………. 31
Justificación de la investigación………………………………………………. 33
Capítulo 2. Referentes de la investigación……………………………………….. 39
Competencias profesionales docentes…………………………….……………..39
Conocimiento didáctico-matemático de profesores………………….…………40
Enfoque ontosemiótico…………………………….……………………………..43
7
Sistemas de prácticas y objetos matemáticos….………………………………..44
Dualidades para análisis de las prácticas……………………………………….45
Enfoque idoneidad didáctica.………………………….………………………...50
Enfoque cognitivo de Duval……………………………….………………..........51
Las TIC y la geometría…….……………………………………………………61
La geometría dinámica y su evolución………….……………………………....62
Educación geométrica y tecnológica de la infomración en planes curriculares
colombianos…………………………………………………………………66
Capítulo 3. Concepciones epistemológicas de algunos programas de geometría y
de educación geométrica…………………………………………………………………68
Los fundamentos epistemológicos de la matemática…………….……………70
El concepto primitivo de estructura………………………………….………...79
Epistemología intuicionista y constructivista…………………………….……83
La geometría y sus concepciones epistemológicas……………………………..84
Geometría pragmática de las civilizaciones antiguas………………………….84
El programa de sistematización geométrica de Euclides……………………..85
Programas de álgebra y geometría de Dieudonné…………………………….86
El programa de geometría fractal de la naturaleza de Mandelbort…………87
La geometría en la época de la Ilustración……………………………………87
Ideas matemáticas e ilustración……………………………………………......88
Kant y las ideas de los fundamentos de las matemáticas……………………..88
La geometría y su desarrollo en la época de la Ilustración……………..……90
La representación en educación matemática……………………………..….95
8
Capítulo 4. El aprendizaje de las geometrías alrededor de la teoría fractal de la
naturaleza…………………………………………………………………………..97
Conceptos y estructuras………………………………………………………...97
Una propuesta para el aprendizaje de la geometría fractal…………………102
Exploración…………………………………………………………………......107
Representación-modelación…………………………………………………...107
Construcción formal…………………………………………………………...108
Determinación de aplicaciones………………………………………………...108
Capítulo 5. Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías……… 109
Sistemas de representación semiótica………………………………………...109
Experiencias en materiales virtuales………………………………………….111
Ambientes virtuales para la cualificación docente……………………………115
Ejemplo1. Polígonos y estrellas…………………………………………….116
Ejemplo 2. Actividades de geometría fractal para educación básica…....117
Ejemplo 3. Puntos rectas y círculos notables de un triángulo…………...119
Ejemplo 4. Relación arte y geometría……………………………………..120
Ejemplo 5. Geometría vectorial……………………………………………123
Capítulo 6. Metodología…………………………………………………………. 125
Fundamentos epistemológicos de la metodología…………………………….125
Determinación de la metodología…………………………………………….. 126
Comentarios sobre las técnicas de investigación…………………………….. 131
El software de análisis de datos cualitativos…………………………………. 132
Tareas planteadas por cada objetivo………………………………………….134
9
Capítulo 7. Resultados, análisis y discusión……………………………………. 138
La formación geométrica en los programas de Licenciatura en Matemáticas a
nivel regional…………………………………………………………………………. 138
Estudio descriptivo Los programas de capacitación continua a los docentes en
ejercicio………………………………………………………………………………..140
Plan de capacitación MEN-UPTC………………………………………….…….143
Cuestionario estandarizado sobre inserción de la tecnología a la enseñanza y
el aprendizaje de la geometría………………………………………………………. 149
Dotación tecnológica en colegios de Tunja…………………………………... 157
Software de geometría………………………………………………………… 157
Conformación y consolidación del grupo colaborativo para el aprendizaje de
las geometrías………………………………………………………………………… 159
Descripción y análisis de los ambientes virtuales y dibujos dinámicos…….. 165
El aprendizaje de la geometría fractal……………………………………….. 218
Actividades para el aprendizaje de la geometría fractal……………………. 224
Exploración de aplicaciones para modelación fractal………………………. 224
Plantas a partir de Fractales autosemejantes IFS’s………………………… 225
Generando grandes paisajes naturales ……………………………………….225
Visualización interactiva de ecosistemas complejos de plantas. …………….226
Métodos de modelación e interfaces de usuario para la creación de plantas 226
Modelación de terrenos ………………………………………………………..228
Creación de paisajes con VistaPro 4.0 ………………………………………..230
Práctica académica en geometría fractal de la naturaleza…………………..232
Descripción de logros alcanzados en la práctica de
campo232………………...232
10
Aporte de la actividad complementaria a la formación profesional del
estudiante………………………………………………………………………… …..234
Pertinencia del sitio de realización de la actividad complementaria.……….236
Autoevaluación, en relación con los objetivos, actividades, lugar, entre
otros……………………………………………………………………………… …...237
Productos de modelación de los estudiantes como proyectos de la práctica .238
Análisis de caracterización de los ambientes virtuales, dibujos dinámicos y
práctica de campo……………………………………………………………….. …...240
Análisis de criterios de idoneidad didáctica. …………………………………257
Idoneidad epistémica ………………………………………………………..257
Idoneidad cognitiva ………………………………………………………….257
Idoneidad afectiva …………………………………………………………...258
Idoneidad interaccional……………………………………………………….258
Idoneidad mediacional ……………………………………………………258
Idoneidad ecológica …………………………………………………………259
Propuesta de capacitación inicial y continua de profesores de
matemáticas…………………………………………………………………….……..259
La construcción del espacio en el niño ………………………………………..261
Estructura del módulo de geometría ………………………………………….265
Diseño e implementación de materiales virtuales en futuros cursos de
capacitación docente………………………………………………………….267
Reflexiones finales de la propuesta de capacitación continua……….... ……270
Capítulo 8. Conclusiones………………. ………………………………………………………..271
Conclusiones respecto a las preguntas de investigación. …………………….272
11
Conclusiones respecto a los objetivos planteados. …………………………...273
Conclusiones respecto a la metodología………………………………………276
Reflexión sobre la estrategia didáctica para aprender fractales ……………279
Conclusión sobre propuesta de formación contínua…………………………282
Referencias Bibliográficas…………… ……………………………………………………….285
Anexos…………………….. ………………………………………………………………………….308
12
Lista de Tablas
Tabla 1. Entradas clásicas a la geometría…………………………………………………………… 53
Tabla 2. Modo de comprensión y de conocimiento relacionado con cada manera de ver………………………………………………………………………………………………………………… 54
Tabla 3. Listado de tipos de geometrías categorizados en el atlas de matemáticas.98 Tabla 4. Tareas de investigación……………………………………………………………………….134 Tabla 5. Programas de formación continua……………………………………………………….141 Tabla 6: Descripción del ambiente 1. Competencia………..……………………………….. 167 Tabla 7. Descripción del ambiente 1. Maneras de ver en geometría……………………168 Tabla 8. Descripción del ambiente 1. Competencia digital…………………………………171 Tabla 9. Descripción del ambiente 1. Análisis de idoneidad……………………………….173 Tabla 10. Descripción del ambiente 2. Competencia………………………………………….177 Tabla 11. Descripción del ambiente 2. Maneras de ver en geometría…………………178 Tabla 12. Descripción del ambiente 2. Competencia digital……………………………….181 Tabla 13. Descripción del ambiente 2. Análisis de idoneidad……………………………..183 Tabla 14. Descripción del ambiente 3. Competencia…………………………………………188 Tabla 15. Descripción del ambiente 3. Maneras de ver en geometría……………….189 Tabla 16. Descripción del ambiente 3. Competencia digital………………………………192 Tabla 17. Descripción del ambiente 3. Análisis de idoneidad……………………………194 Tabla 18. Descripción del ambiente 4. Competencia…………………………………………198 Tabla 19. Descripción del ambiente 4. Maneras de ver en geometría……………….199 Tabla 20. Descripción del ambiente 4. Competencia digital………………………………202
13
Tabla 21. Descripción del ambiente 4. Análisis de idoneidad…………………………….204 Tabla 22. Descripción del ambiente 5. Competencia………………………………………….208 Tabla 23. Descripción del ambiente 5. Maneras de ver en geometría………………..209 Tabla 24. Descripción del ambiente 5. Competencia digital……………………………….212 Tabla 25. Descripción del ambiente 5. Análisis de idoneidad…………………………….214
Tabla 26. Etapa de exploración. Análisis de idoneidad……………………………….…….220 Tabla 27. Etapa de representación modelación. Análisis de idoneidad………….….221 Tabla 28. Etapa de construcción formal. Análisis de idoneidad…………….…….…….222 Tabla 29. Etapa de aplicaciones. Análisis de idoneidad……………………………….…….223 Tabla 30. Actividades desarrolladas……………………….…………………………………………233 Tabla 31. Descripción del ambiente 6. Competencia…………………………………………247 Tabla 32. Descripción del ambiente 6. Maneras de ver en geometría……………….248 Tabla 33. Descripción del ambiente 6. Competencia digital………………………………251 Tabla 34. Descripción del ambiente 6. Análisis de idoneidad…………………………….253
14
Lista de Figuras
Pág
Figura 1. Esquema Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) y Conocimiento Didáctico Matemático……………………………………………………………………………………….. 45
Figura 2. Dualidades para análisis de las prácticas……………………………………………… 46
Figura 3. Facetas y niveles de análisis didáctico…………………………………………………. 55
Figura 4. Evolución del currículo de matemáticas para educación básica y media. 57 Figura 5. Mapa del problema………………………………………………………………………………59 Figuras 6. Esquemas de categorías y tópicos transversales o hilos conductores…. 60
Figura 7. Geometrías euclidianas y no euclidianas……………………………………………… 64
Figura 8. Ambiente de geometría dinámica Cabri. Jean Marie Laborde……………… 70
Figura 9. Esquema de las corrientes epistemológicas de la matemática………………98
Figura 10. Clasificación tipos de geometría………………………………………………………103
Figura 11. Áreas de la matemática que soportan la teoría de fractales autosemejantes……………………………………………………………………………………………….102
Figura 12. Un camino para abordar el aprendizaje de los fractales autosemejantes……………………………………………………………………………………………….103 Figura 13. Clasificación de los sistemas iterados de funciones (IFS’s)……………….. 116
Figura 14. Ambiente virtual para formación permanente de profesores de educación básica……………………………………………………………………………………………… 117
Figura 15. Dibujo dinámico de exploración de polígonos y estrellas………………… 119
Figuras 16. Modelación con dibujos dinámicos en Cabri II…………………………………120
Figura 17. Explorando propiedades de los círculos, rectas y puntos notables del triángulo…………………………………………………………………………………………………………. 121
15
Figura 18. Explorando teselados tipo Escher, con dibujos dinámicos………………. 122
Figura 19. Procesos para modelar sobre creaciones artísticas………………………….. 124
Figura 20. Representación paramétrica de la recta en el espacio 3D………………… 126
Figura 21. Procesos de investigación cualitativa………………………………………………. 133
Figura 22. Análisis de textos……………………………………………………………………………..142
Figura 23. Énfasis programas de capacitación………………………………………………….. 146
Figura 24. Procesos de investigación cualitativa………………………………………………. 147
Figura 25. Antigüedad en el cargo……………………………………………………………………. 149
Figura 26. Formación de los docentes……………………………………………………………….150 Figura 27. Nivel de formación……………………………………………………………………………151 Figura 28. Nivel de formación………………………………………………………………………….. 152
Figura 29. Formación en TIC…………………………………………………………………………….. 153 Figura 30. Uso de las TIC……………………………………………………………………………………154 Figura 31. Uso de programas específicos para aprender matemáticas……………….155 Figura 32. Resumen factores del cuestionario……………………………………………………156 Figura 34. Dinámica de trabajo colaborativo 1…………………………………………………. 163
Figura 34. Dinámica de trabajo colaborativo 2…………………………………………………. 164
Figura 35. Icosaedro………………………………………………………………………………………… 167 Figura 36. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA I………………….176 Figura 37. Cuboctaedro……………………………………………………………………………………. 177 Figura 38. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 2…………………186 Figura 39. Rectángulos áureos ortogonales……………………………………………………… 187
16
Figura 40. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 3…………………197 Figura 41. Elementos de un triángulo…………………………………………………………….. 198 Figura 42. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 4………………….207 Figura 43. Modelo de Poincaré………………………………………………………………………… 208 Figura 44. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 5………………….217
Figura 45. Etapas de aprendizaje de fractales………………………………………………….. 219
Figura 46. Modelación en computador de objetos de la naturaleza…………………. 225
Figura 47. Representación de plantas con Xfrog………………………………………………. 228
Figura 48. Plantas susceptibles de ser modeladas con fractales V-variables y superfractales…………………………………………………………………………………………………. 228
Figura 49. Paisajes virtuales generados con VistaPro 4.0…………………………………. 230
Figura 50. Paisajes virtuales generados con VistaPro 4.0…………………………………. 231
Figura 51. Fotos práctica de campo…………………………………………………………………..233
Figura 52. Fractales dibujados por estudiantes de Electiva I…………………………….. 239
Figura 53. Trabajo colaborativo……………………………………………………………………….. 244
Figura 54. Fractales en Cabri II Plus…………………………..……………………………………… 246
Figura 55. Valoración criterios de idoneidad didática del AVA 6……………………… 256
Figura 56. Estructura de curso de formación continua……………………………………… 267
Figura 57. Actividad de Geometría dinámica para dibujar polígonos y estrellas ..268 Figura 58. Modelación objeto natural……………………………………………………………...270
17
Lista de Anexos
Pág.
Anexos……………………………………………………………………………………………………………..307 Anexo 1. Formato de consentimiento informado. …………………………………………….308 Anexo 2. Formas geométricas en cerámicas primitivas……………………………………..309 Anexo 3. Cuestionario las TIC en la geometría ………………………………………………….310 Anexo 4. Nube de palabras cuestionario diagnóstico……………………….......314
Anexo 5. Nube de palabras experiencias significativas………………………….315
Anexo 6. Red uso de TIC en el aprendizaje de la geometría…………………….316
Anexo 7. Modelación de los objetos de la naturaleza……………………………317
Anexo 8. Tesis y monografías……………………………………………………..321
Anexo 9. Tipos de programas en geometría……………………………………..324
Anexo 10. Historia de las geometrías……………………………………………..325
Anexo 11. Esquema Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) y
Conocimiento Didáctico Matemático…………………………………………………..326
Anexo 12. Tabla de Recursos Tecnológicos y de acceso a internet de colegios de
Tunja……………………………………………………………………………………..327
Anexo 13. Otros tipos de programas de geometría……..………………………..330
Anexo 14. Matemáticos en la época de la ilustración…………………………...332
Anexo 15. Tipos de programas de geometría………....................……………….334
Anexo 16. Listado tipos de geometría categorizados en el atlas de
matemáticas………………………………………………………………………….…..335
18
Resumen
La investigación diseña, construye, implementa y evalúa ambientes virtuales para el
aprendizaje de las geometrías, concebidos en un grupo colaborativo de docentes de pregrado
y básica secundaria de matemáticas de Tunja (en servicio y en formación inicial) y diseñados
en el aula de clase por estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas, con el propósito de
desarrollar y evaluar las competencias profesionales y el conocimiento didáctico -
matemático del profesor, de manera especial las competencias digitales de los profesores en
formación (Roblizo y Cózar, 2015). Para ello, se conformó una comunidad académica
colaborativa con miras a mejorar globalmente la enseñanza de las geometrías; se busca
potenciar el análisis y la (auto) reflexión sobre sus tareas y prácticas cuando enseñan dicha
materia. El marco teórico utilizado fue, sobre todo, el enfoque ontosemiótico del
conocimiento y la instrucción matemática (EOS) (entre otros los siguientes constructos:
análisis didáctico, prácticas matemáticas, objetos y procesos matemáticos, criterios de
idoneidad didáctica, etc.); se involucraron algunos aspectos del enfoque cognitivo de Duval
respecto a los sistemas de representación, contextualizados en el diseño, elaboración e
implementación de tareas. Los resultados de la investigación proporcionaron elementos
teóricos y prácticos como sugerencias y pautas para la reformulación y actualización del
componente de educación geométrica de los planes de estudio de la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC.
Palabras Clave: conocimiento didáctico–matemático del profesor, competencias
profesionales, formación geométrica, prácticas matemáticas, enfoque ontosemiótico y
geometría dinámica
19
Abstract
The research pretend to design, build, implement and evaluate virtual environments for the
learning of geometries, conceived in a collaborative group of undergraduate and basic
secondary mathematics teachers of Tunja (in service and initial training) and designed in the
classroom by students of the Degree in Mathematics, with the purpose of developing and
evaluating the professional competences and the didactic - mathematical knowledge of the
teacher, especially the digital competences of the teachers in formation. To this end, a
collaborative academic community was formed with the aim of improving overall the
teaching of geometries; it seeks to enhance the analysis and (self) reflection on their tasks
and practices when they teach this subject. The theoretical framework used was, above all,
the ontosemiotic approach to knowledge and mathematical instruction (EOS) (among others
the following constructs: didactic analysis, mathematical practices, mathematical objects and
processes, criteria of didactic suitability, etc.); Some aspects of Duval's cognitive approach
to representation systems were involved, contextualized in the design, elaboration and
implementation of tasks. The results of the research served as suggestions and guidelines for
the reformulation and updating of the geometrical education component of the curricula of
the UPTC Mathematics Degree.
Key words: didactic-mathematical knowledge of the teacher, professional competences,
geometric formation, practices, didactic analysis, criteria of didactic suitability, ontosemiotic
approach, types of geometry, dynamic geometry.
20
Introducción
La investigación aborda la compleja problemática de la enseñanza y el aprendizaje de
los diversos tipos de programas de geometría desde las competencias profesionales del
profesor para diseñar, implementar y evaluar ambientes virtuales de aprendizaje, en donde
los participantes desarrollan la competencia digital; el análisis de dichas mediaciones se
contextualiza desde el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática,
la propuesta para diseño de tareas y el aporte de la teoría cognitiva de Duval y el uso de
geometría dinámica de Laborde. Se hace una breve revisión histórica y epistemológica de
varias geometrías y sus implicaciones pedagógicas y didácticas en el aula.
Área temática
Desarrollo de competencias profesionales y digital en la formación inicial y continua
de profesores de secundaria con ambientes virtuales de aprendizaje y enseñanza de las
geometrías. La investigación está adscrita a la línea del Doctorado en Educación
RudeColombia, Cade Tunja, Universidad y nación: formación de docentes e
interculturalidad. Al respecto, en el Boletín de Historia de la Educación Latinoamericana
N° 18, se manifiesta:
“[…] En tal sentido “la formación de educadores”, comprende aspectos
fundamentales de la realidad educativa y sus propias dinámicas de cambio social, en
el marco de diversos enfoques metodológicos para el desarrollo de investigaciones
que den cuenta de los problemas sobre: universidad, formación docente,
interculturalidad, educación rural, saber pedagógico e instituciones educativas, entre
otras. Asi mismo, será transversal a la mirada interdisciplinar de los problemas
educativos actuales. Es comprensible determinar rupturas, continuidades y
permanencias en la formación de educadores/as en un proceso de reflexión constante,
en la tarea de la educación básica primaria, secundaria y superior, como aporte a las
investigaciones y la construcción de la tesis doctoral.” (Soto y Bernal, 2016, p. 50).
21
El problema de investigación y su relevancia
La formación inicial y continua de docentes de matemáticas como campo de
investigación actual en educación matemática constituye un problema fundamental y tal vez
de difícil solución. Los aportes que contribuyen al avance en su solución apuntan hacia la
determinación de las competencias profesionales de docentes (Font, 2001 y 2011; Martínez
y Bardo, 2005), las capacidades para la (auto) reflexión y la (re)significación de las prácticas
docentes y de aula (Jiménez, 2005).
Se trata de aportes que si bien han adoptado enfoques teóricos y metodológicos
diferentes (cognitivo, constructivista, socio-epistemológico, critico-social y antropológico),
tienen en común que realizan contribuciones hacia el diseño y evaluación de tareas (Adán y
otros, 2017; Artigue, 1989 y 1998; Brousseau, 1982, 1983 y 1986; Bruner 1998; Campos,
2017; Chevellard, 2000; Claire, 2014; D’Amore, 2012; D’Amore y Fandiño, 2015a y 2015b;
D’Amore, Font y Godino, 2007; D’Amore y Radford, 2017; Dolores, 2007; Douady, 1998;
Font, 2016; Godino, 1991 y 2000; Godino y Llinares, 2000; Godino Batanero y Font, 2009;
Godino y otros, 2006 y 2009; Radford, 1994, 2000 y 2006) y secuencias didácticas en las
que, entre otros aspectos, tiene un papel importante la incorporación de las tecnologías de la
información y la comunicación (Labarde 2001; Rumanová y Smiešková, 2015; Rojano,
2013; Vidermanova y Vallo; 2015; Margolinas, 2013; Grande, Cañon y Cantón, 2016) y,
como consecuencia, el papel de las representaciones como mediaciones en el aprendizaje
(Duval, 1998; Duval y Sáenz-Ludlow, 2016; D’Amore 2006; Font, 2003 y 2008; Font,
Godino y Contreras, 2006; Goldin, 1998).
El problema abordado en esta investigación está relacionado con la formación de
docentes para un tópico específico: la enseñanza de la geometría con mediación tecnológica
(Gallego y Peña, 2012; Rojano 2013; ICMI, 1995). Esta parte de las matemáticas ha sido
considerada como aspecto fundamental en la formación de cualquier persona y, por esta
razón, se ha incorporado en los programas curriculares de todos los países con un énfasis
diferente según el momento histórico y, en general, de manera problemática:
22
“[…] El papel de la geometría es un tema continuo de la educación matemática en
todos los niveles, desde la escuela elemental hasta la superior. Durante muchos años
la geometría ha sido el niño problema de los planes de estudio de matemáticas”
(Steen, 1999, p. 186).
Se considera una problemática compleja generada, entre otras razones, por: (1) el
hecho de que no hay una geometría sino “muchas geometrías”, lo cual plantea cuestiones de
selección, de conexión, de diferentes niveles de formalización axiomático-deductiva, de
diversos sistemas de representación, de variedad de aplicaciones (Godino y Ruiz, 2002) ; (2)
por el hecho de que hay diferentes maneras de entender la enseñanza y el aprendizaje de la
geometría (desde tendencias formales de la geometría euclidiana, hasta enfoques de
geometría experimental) (Speranza y Rossi, 1982; Xambó, 2000); (3) por los cambios
curriculares que se han producido con relación a la geometría (de jugar un rol central a casi
desaparecer de los currículos), tanto en los currículos de la enseñanza no universitaria, como
en la universitaria, en particular en la formación de profesores (Vasco, 1992; Godino y Ruiz
2002; Moreno, 2002).
La geometría es una ciencia que ha evolucionado a lo largo de la historia puesto que
brinda la posibilidad al ser humano de situarse en el mundo donde desarrolla su acción
(Campos, 1981, 1994 y 2008; Eves, 1969; Castiblanco, 2004). En sus inicios esta ciencia
evolucionó de maneras puramente visuales, conceptuales y abstractas; muestra de ello son
las decoraciones existentes en las vasijas de barro o en las cuevas rupestres de nuestros
antepasados (D’Amore, 2015). Una segunda forma de geometría vivida por el ser humano
surgió a raíz de las necesidades utilitarias que se presentaban, como mediciones de áreas,
volúmenes, linderos de tierra; su uso en disciplinas como la arquitectura, geografía,
astronomía etc. (Stewart, 2012; Aaboe, 1964; Friedrichs, 1967).
La geometría euclidiana, 300 a.c. surge con los tratados construidos por Euclides y
socializados en su obra Elementos, como ampliación de los trabajos de Apolonio,
Arquímedes y Tolomeo, entre otros y adopta la geometría formal de carácter axiomático
deductivo que caracteriza en enfoque sintético (Collette, 1985; De León, 2012; Boyer, 1992;
23
Bell, 1949 y 2011). En torno a la geometría euclidiana surge la geometría proyectiva como
opción para mejorar las representaciones bidimensionales de los objetos de la tercera
dimensión; la evolución de dichas representaciones se evidencia en el desarrollo de las
dimensiones artísticas de los objetos con Leonardo Da Vinci, Piero della Francesca, Mategna
y Brunelleschi, entre otros, como ejemplo concreto en el arte del renacimiento (D’Amore,
2008; Nicholl, 2004). En el siglo XVII nace la geometría analítica como una mezcla entre
la geometría y el álgebra y posteriormente en el siglo XVIII surge la geometría descriptiva
como una inspiración de las geometrías tridimensionales (Slaby, 1968) a través del dibujo y
mediante la combinación de los aspectos visuales y conceptuales (García, 2010).
En el siglo XIX Bolyai, Lobachevsky y Riemman dan inicio a las geometrías
denominadas no euclídeas (Bonola, 1955; Greenberg, 2007; Lobachevski, 1914), trabajo que
formuló inicialmente Gauss, según consta en sus cartas. Ellos impulsaban las verdades
convencionales, aplicadas o no, a un mundo real y desarrollan un trabajo pertinente a los
conceptos geométricos. Posteriormente Dedekind, Cantor y Weirstrass (teoría de números)
consolidan el estudio del álgebra proporcionando un modelo firme para la geometría que
generaría la teoría de grupos, los espacios vectoriales y la intuición y formalización
geométrica (Dieudonné, 1971; Alsina, 1984).
Para finales del siglo XX, como consecuencia de los tratados visuales y los primeros
usos de la tecnología, florece la geometría de las teselaciones de Escher y el concepto de los
diversos tipos de simetrías en figuras geométricas. Simultáneamente se desarrolla la
geometría fractal como consecuencia del estudio de la autosemejanza en objetos
geométricos, con aplicaciones en las ciencias, las artes y la naturaleza; asuntos que son
posibles analizar más desde los enfoques experimentales de la matemática con el uso de las
tecnologías computacionales (Camargo y Acosta, 2012; Castiblanco y otros 2004; Cortés y
otros, 2014; García y otros, 1995; Laborde, 1998).
Así como la geometría ha ido evolucionando a lo largo de su historia, también ha
sucedido lo mismo con su enseñanza. Con el movimiento de la llamada “Matemática
Moderna” de los años sesenta se pretendió dar un cambio de rumbo en la educación
24
matemática, basada en las concepciones formalista y estructuralista (Castelnuovo, 1979;
Klein, 1976; Flores, 2002; Fiorentini y Lorenzato, 2010).
Según Vasco, “el grito de ̀ muerte a Euclides´”, lanzado por Dieudonné, en una célebre
arenga en el coloquio de Royaumont en 1959, retumbó en todo el mundo, llegando al
extremo de eliminar la geometría como curso paralelo al álgebra, para dejarla relegada en la
parte final de los programas y por supuesto, nunca se alcanzaba a desarrollar. La promesa
hecha por Dieudonné de escribir un libro de geometría sin un solo dibujo, la cumplió diez
años después al publicar su libro Álgebra Lineal y Geometría Elemental (Vasco, 1992);
creación rica en contenido geométrico formal, empleando el método axiomático deductivo,
a partir de nociones o definiciones, proposiciones y teoremas de innegable importancia,
demostrados en forma elegante y rigurosa.
La corriente Bourbakista generó un clima de rigurosidad y abstracción excesiva con el
cual se impregnó la enseñanza y aprendizaje de la geometría en la década de los sesenta y
setenta hasta en los niveles escolares básicos (Aczel, 2006); A nivel nacional dicho enfoque
se evidencia en las principales propuestas de los programas curriculares para educación
básica en Colombia para esa época. En la década de los ochenta e inicios de los noventa, en
los llamados programas de Renovación Curricular preuniversitarios de Colombia, se enfatizó
el enfoque de sistemas, estructuras y procesos mentales, complementado con el desarrollo
de habilidades y capacidades.
Dichos programas estaban fundamentados en enfoques constructivistas y orientados,
básicamente, al diseño instruccional basado en el planteamiento de objetivos y la
determinación de logros y sus indicadores. A partir de 1996 en los Lineamientos Curriculares
de Matemáticas establecidos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN, 1998), se
privilegiaron los procesos generales de la matemática de cuantificar, medir, modelar,
desarrollar y evaluar procedimientos y algoritmos. A partir del 2006 la comunidad de
educadores matemáticos plantea los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas
(MEN, 2002), y adoptados posteriormente por el MEN; se establecen cinco tipos de
25
pensamiento, entre ellos, numérico, métrico, aleatorio, espacial y variacional; Asimismo, se
adopta el enfoque de aprendizaje por competencias.
En las últimas tres décadas se detecta una influencia de las tendencias anglosajonas
para determinar los programas, lineamientos y estándares de matemáticas para educación
básica y media en Colombia. Un elemento esencial de estas tres orientaciones curriculares
es la inclusión de la geometría, iniciando con el programa de Geometría Activa, hasta la
inclusión de la Geometría Dinámica (Vasco, 2017). En estos enfoques los futuros profesores
han de implementar un currículo para educación básica y media en el que se da mucha
importancia al tratamiento de procesos mentales, habilidades, capacidades, competencias,
en general al desarrollo del pensamiento matemático y en particular del espacial. Esta
necesidad ha tenido también su impacto en la formación de futuros profesores (MEN, 2006;
NTCM, 2002).
Destaca éste enfoque el rescate de la historia del surgimiento de la amplia gama de
tipos de programas de geometría, entre ellos, cartesiana, descriptiva, finitas, proyectiva, de
grafos, de las transformaciones, no euclidianas, diferencial, fractal, y algebraica. Los
currículos actuales tratan de adoptar, así sea de manera transversal, varios tipos de geometría
dentro de la formación inicial de dichos profesionales. Por otra parte, las orientaciones
curriculares tienden a enfatizar menos, los contenidos y las mediaciones, para centrar la
atención en las formas de pensar, de razonar y de construir o elaborar conocimiento
geométrico.
Ahora bien, las directrices establecidas en estas tres décadas sobre el énfasis en
procesos, competencias y desempeños, más que en contenidos para la componente
geométrica, no fueron acogidas, o tal vez no fueron entendidas, en las instituciones, ni por
los docentes. El énfasis siguió siendo el contenido geométrico al estilo tradicional en
esquemas axiomático deductivos. Así, la propuesta de la geometría activa no tuvo acogida
en el colectivo de maestros encargados de desarrollar la enseñanza de la geometría en las
instituciones de educación básica y media (Castaño, 2006; Vasco, 2017).
26
Las categorías deductivas para el análisis en el desarrollo de esta investigación
contemplan aspectos como: (1) el desarrollo del conocimiento sobre las competencias
profesionales del profesor de matemáticas; (2) el desarrollo teórico de los diversos tipos de
programas de geometría; (3) las situaciones curriculares de inclusión de esta área; (4) diseño,
implementación y evaluación de tareas y secuencias didácticas; (5) la incorporación de
tecnologías de información y la comunicación en su enseñanza y el aprendizaje; (6) el
estudio de variadas aplicaciones y la consolidación de la educación geométrica a nivel local
adoptado de las tendencias globales.
Para afrontar este problema se piensa en el desarrollo de competencias profesionales
del profesorado a partir de la reflexión sobre sus prácticas de aula, el intercambio de
experiencias con sus pares, la conformación y fortalecimiento de redes y comunidades de
profesores preocupados por la investigación en los problemas de la matemática educativa,
etc. En esta línea se privilegia el diseño, implementación y evaluación de tareas y secuencias
didácticas (Couso y Badillo, 2005; Herrera, 2006), para el aprendizaje de las geometrías con
la mediación de la geometría dinámica, con miras a desarrollar el pensamiento espacial y los
sistemas y estructuras de conceptos matemáticos.
A pesar de los esfuerzos en la formación de docentes en matemáticas en Colombia,
los resultados no son buenos. Una de las razones, entre otras, es que se han excluido, en los
currículos de formación del licenciado y en la capacitación continua, los enfoques
competenciales. Los estudiantes de pregrado o profesores en ejercicio reciben una formación
geométrica escasa, además impartida con una metodología tradicional (Castaño, 2006).
Mientras se desarrolla este tipo de formación geométrica se tiene que la
disponibilidad de nuevos sistemas de representación, modelación y simulación ha
revolucionado la enseñanza y el aprendizaje de la geometría (Acosta y Fiallo, 2017;
Rodríguez y Quintero, 2011; Suárez, 2014). Esta diversidad en los campos de la
representación y construcción conceptual permite explorar de manera intuitiva y explícita,
los conceptos relativos a las geometrías en los planos bidimensional y tridimensional, lo cual
27
constituye un punto de partida para la generalización de situaciones que permiten construir
y elaborar nociones en los diversos tipos de programas de geometría.
Pero también se presenta el problema de la brecha digital (Gardner, 2014). La
creciente complejidad en el abordaje de las diversas geometrías y su riqueza en el campo de
las representaciones, de manera particular, cuando hay mediación informática, crea una
brecha tecnológica como barrera que impide al docente adoptar estas nuevas prácticas de
aprendizaje y se desmotive en el uso continuo de los recursos digitales a su disposición para
aprender geometría de manera heurística y creativa, por considerar que esto requiere el
desarrollo de nuevas competencias profesionales que no están a su alcance (Cabero y Román,
2008; Cabero y Gisbert, 2008; Peña, 2014; Prendes y Castañeda, 2010; Cabero y otros, 2013;
Pérez, 2016; Ríos y Ruiz, 2011; Zubieta y otros, 2012).
El estudio de las aplicaciones de la geometría en los campos del arte, la naturaleza y
la informática ha permitido proveer de situaciones concretas en donde se aplican en la
realidad, conceptos, sistemas y estructuras geométricas, estudiadas inicialmente de manera
abstracta en esquemas axiomático-deductivos formales (Ángel, 2000; Penrose, 1989;
D’Amore, 2006; Alsina, 2084; Buhigas, 2008; Varela 2010; García 2010; Stewart, 2008;
Casadelrrey, 2011; Penrose, 1989; Navarro, 2011; Conwey, Burgiel y Goodman, (2008)).
Asimismo, el surgimiento de situaciones prácticas en ciencias naturales, ingenierías,
ciencias económicas, ciencias de la salud y la física, justifican la inclusión temprana de las
temáticas relativas a otros tipos de geometría que no sean tradicionales, como las geometrías
no euclidianas y la geometría fractal, combinadas, por ejemplo, con aspectos como la teoría
de la complejidad y el caos (Briggs, 1992; Ernst, 1994; Penrose, 1989).
La educación geométrica se ha consolidado como un área de estudio dentro de la
educación matemática con diversas tendencias que buscan dar solución a las situaciones
problemáticas que se generan en el ámbito del currículo de geometría. Las dificultades en la
construcción del espacio, sus transformaciones, sus invariantes y los conceptos geométricos
en las diversas geometrías, abarcan desde conflictos epistemológicos de la geometría, hasta
28
la complejidad en los enfoques para la educación geométrica y su relación tanto en su
aprendizaje como su enseñanza.
Surgen además nuevos retos en cuanto a los énfasis que se deben hacer en los tipos
de programas de geometría a incluir en los planes curriculares, las mediaciones que propician
la riqueza en el campo de las representaciones de objetos geométricos, la comunicación y
argumentación en las demostraciones y verificación de teoremas de la geometría, las nuevas
formas de interactuar en el aula y el papel de las instituciones al momento de determinar
temáticas educativas de esta importante rama de las matemáticas.
Con esta investigación se pretende aportar elementos teóricos y prácticos para la
mejora de la enseñanza de la geometría, mediante el diseño, implementación y rediseño de
cualificación inicial y continua en educación geométrica en un grupo colaborativo de
docentes y trabajo en aula con estudiantes para desarrollar la competencia digital al momento
de enseñar esta área (Pachano y Serratino 2008; Sandoval y Moreno, 2012). Dicha formación
tuvo en cuenta la investigación sobre las competencias profesionales del profesor, el análisis
didáctico de las prácticas a partir de la (auto) reflexión y el uso de los criterios de idoneidad
didáctica del profesor de matemáticas; estos dos últimos aspectos, utilizando herramientas
proporcionadas por el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática y
para el análisis de algunas prácticas de aula se usa también el enfoque cognitivo de Duval.
El programa de formación hizo especial énfasis en la construcción, análisis y
evaluación de ambientes virtuales de aprendizaje de las geometrías, en donde se
incorporaron tareas, secuencias didácticas y sistemas variados de representación. Dichos
ambientes fueron ideados por los propios docentes, para propiciar la intersubjetividad, la
búsqueda colectiva de consensos y la (re)significación de sus prácticas de aula cuando
enseñan geometría. Los resultados de la investigación sirvieron como base para la
reformulación y actualización del componente de educación geométrica de los planes de
estudio de formación de profesores.
29
A continuación se describen los resultados del estudio sobre la competencia digital
relativa a los ambientes virtuales de aprendizaje de las geometrías, sus propósitos respecto
al análisis de las prácticas de estudiantes y docentes, contextualizado en teorías de
epistemología e historia de la geometría y educación geométrica. Los resultados dan cuenta
de la descripción y análisis de dichos ambientes virtuales, su reflexión y (re)significación,
producto de su implementación en el aula y sus implicaciones en el currículo de formación
de profesores de matemáticas.
30
Capítulo 1. Generalidades
Problema de Investigación
La determinación del problema sobre formación inicial y continua de docentes
respecto a la enseñanza de las geometrías con mediación tecnológica en grupos de
aprendizaje colaborativo y cooperativo, permite formular las siguientes preguntas que
contextualizan y orientan la investigación:
¿Qué influencia tiene la construcción colaborativa de tareas, realizada en el contexto
de un grupo de formación inicial y continua, con ambientes virtuales de aprendizaje
de las geometrías, en la evolución de las prácticas de aula de los profesores de
matemáticas y estudiantes participantes?
¿Cómo se pueden incorporar las tendencias dominantes en la formación continua
para la enseñanza y aprendizaje de las geometrías en la formación inicial en
programas de Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, en particular el uso de
ambientes virtuales de aprendizaje?
Supuestos iniciales
La construcción colaborativa de tareas, realizada con ambientes virtuales de
aprendizaje de las geometrías que tienen en cuenta las aportaciones de la investigación en
educación geométrica, incide en la evolución de las prácticas de aula de los profesores de
matemáticas participantes, produciendo: (a) una incorporación de otras geometrías (en
particular la fractal, la proyectiva y las no euclidianas) y (b) un desarrollo de su competencia
en análisis didáctico de su propia práctica, de la competencia digital y de la competencia
matemática (relacionada con la geometría). Esta evolución se produce en contextos
institucionales de formación inicial y continua.
31
Objetivos
Objetivo General
OG. Construir ambientes de aprendizaje de las geometrías, para su implementación y
evaluación, concebidos en un grupo colaborativo de docentes de pregrado y básica
secundaria de matemáticas de Tunja (en servicio y en formación inicial) y diseñados en el
aula de clase por estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas, que propicie el análisis y la
auto-reflexión sobre sus prácticas de aula cuando enseñan geometría.
Objetivos Específicos
O1. Analizar diversas estrategias de formación geométrica inicial de los programas
de licenciatura y de formación continuada en el área de influencia relativa al contexto local
de Tunja, antecediendo una clasificación y comparación de ellas.
O2. Evaluar el grado de inserción de la geometría dinámica y los tipos de programas
de geometría en el trabajo cotidiano de aula.
O3. Diseñar un banco de tareas susceptibles de ser modeladas, simuladas y teorizadas
mediante diversas geometrías gracias a la mediación tecnológica.
O4. Desarrollar la formación inicial y continua de docentes de matemáticas de Tunja
en un grupo colaborativo, a partir del banco de tareas del objetivo anterior y de los aportes
de la educación geométrica, que propicie el análisis y la autorreflexión sobre sus prácticas
de aula cuando enseñan geometría.
O5. Implementar en el aula los resultados de las actividades involucradas en los
ambientes virtuales para aprender geometrías, elaboradas por el grupo colaborativo y que
busca mejorar la formación inicial y continua de profesores.
32
O6. Adaptar algunos de los resultados de la investigación respecto a la componente
geométrica y la competencia digital al currículo para la formación inicial de profesores de
matemáticas de la UPTC.
33
Justificación de la investigación
El desarrollo en las últimas décadas de los diversos tipos de geometría ha hecho muy
compleja su implementación en los programas que forman licenciados en matemáticas
(Eves, 1969; Bracho 2009; Hilbert, 1968; Xambo, 2000; Hawking, 2006; Levy, 2016;
Campos 2008; Moise, 1968; Courant y Robbins, 2002; Efímov, 1984; Godino 2002; Medina,
1974). Los planes curriculares basan principalmente la formación geométrica de sus
estudiantes en la geometría euclidiana de una, dos y tres dimensiones, complementada con
las geometrías analítica y descriptiva (NTCM, 1992; MEN, 2002, 2004, 2006, 2012 y 2013;
Suárez y Ramírez, 2013; Castiblanco, 2004; Steen, 1999; Acaso, 2012; Crilli, 2016, De
Guzmán, 2008; Drosser, 2012; Eco, 1997).
El álgebra lineal relacionada con la geometría vectorial es incorporada en algunos
programas de geometría, involucrando específicamente las estructuras algebraicas
(Dieudonné, 1971; Alsina, 1984; Sabogal e Isaacs, 2009). Asimismo, la topología como
geometría más general se incorpora en los planes curriculares desde tratamientos formales
de espacios topológicos, métricos, las funciones de interior, exterior, frontera, adherencia,
homeomorfismos e isomorfismos; adicionalmente se trabajan los conceptos de bases,
vecindad, dimensión, conexidad, compacidad y separación, entre otros, adoptando esquemas
axiomático deductivos.
Los desarrollos en las geometrías descriptiva, proyectiva, no euclidiana, finitas, de
grafos, diferencial y recientemente la teoría fractal de la naturaleza, se incorporan de manera
parcial en los pensum de estudio, abordadas desde sus aplicaciones o como tópicos
transversales en algunos de las asignaturas o en proyectos de investigación de fin de carrera
(Efimov, 1984; Moise, 1968; Verjovsky, 1982; Campos 1981; Eves, 1969; Gutiérrez 1992;
Hawking 2006; Cordero y Fernandez, 1995; Penrose, 2006; Pickover, 2009; Schroeder,
1996; Valencia, 2009; Vélez, 1959; Kline, 2001). Algunas licenciaturas en matemáticas
tienen énfasis en geometría y pensamiento espacial como electivas, en donde se introducen
cursos más avanzados en los diversos tipos de programas de geometría.
34
Por ello se justifica indagar sobre los diversos enfoques para actualizar los planes que
contemplan educación geométrica y permitan una actualización de la formación inicial de
profesores. Adicionalmente, en el currículo de las licenciaturas se debe garantizar evidencias
de los diversos tipos de geometría, pues la formación de los profesores de matemáticas debe
obedecer a los últimos desarrollos y aplicaciones de esta área.
La línea de investigación en educación geométrica o didáctica de la geometría, como
parte de la educación matemática, evidencia su avance en los resultados de indagación a
nivel internacional, a través de grupos y redes de académicos, conferencias, artículos y
ponencias socializadas y discutidas por investigadores y profesores.
En los congresos internacionales como el ICMI, PME, RELME, CIAEM, ECME, entre
otros, se contemplan espacios de discusión sobre temáticas respecto a la formación
geométrica inicial y continua de profesores, como la incorporación de materiales
tradicionales para construcciones y mediaciones tecnológicas, la historia, la naturaleza
epistemológica, pedagógica y didáctica de las ideas geométricas, los enfoques basados en
los sistemas semióticos de representación, visualización, modelación y simulación de
problemas, incorporación de tendencias cognitivas, antropológicas y críticas para la
exploración del entorno a través de situaciones problemáticas, el diseño de tareas (Giménez
y otros, 2013), las secuencias didácticas y los materiales virtuales, así como los modelos de
instrucción y análisis didáctico sobre implementación de actividades en el aula. Así pues, es
necesaria la adopción de éstos resultados de investigación que constituyen la base para la
actualización continua de los planes de formación de los profesores al momento de enseñar
geometría (García y otros, 2008).
Con la incorporación de las tecnologías informáticas en la enseñanza y el aprendizaje
de la geometría, de manera particular en el ámbito de la geometría dinámica, actualmente en
pleno auge, los problemas geométricos adquieren una nueva dimensión. El papel mediador
del computador implica la modificación de contenidos, metodología de aprendizaje, de
enseñanza y de los enfoques de resolución de problemas que han tenido relevancia con el
desarrollo de programas cada vez más versátiles e interactivos que permiten experimentar
35
sobre las representaciones de conceptos, transformaciones y estructuras geométricas. Al
respecto Moreno (2002) conceptúa "las herramientas computacionales modifican la
naturaleza de las exploraciones y la relación de dichas exploraciones con la sistematicidad
del pensamiento matemático" y respecto a los problemas que se pueden plantear manifiesta
"la capacidad computacional de las herramientas informáticas, amplía el rango de los
problemas que son susceptibles de ser abordados por los estudiantes". (p. 46-47)
Las aplicaciones gráficas disponibles en el medio, para modelación 3D, generalmente
usan algunas librerías para gráficos como OpenGL o paquetes de librerías como Java 3D, en
lenguajes de programación como Visual Basic, Visual C++ o Java. Para el manejo de las
transformaciones bidimensionales y tridimensionales, se usan comúnmente las coordenadas
homogéneas, expresadas matricialmente. Existe una simbiosis entre los avances de los
programas informáticos que brindan ambientes gráficos para experimentar con las
representaciones geométricas y los avances en los algoritmos y teorías de la geometría, los
cuales se retroalimentan en el tiempo para mejorar su avance (Suárez, 2006).
Están disponibles en la red variedad de dibujos dinámicos applets, objetos y ambientes
virtuales de aprendizaje, muchos de ellos en realidad virtual y aumentada. Se destaca su gran
calidad en el diseño gráfico e interactividad con las representaciones que se pueden elaborar
en dicho software. Menos notable es la eficiencia, la calidad pedagógica y didáctica de los
objetos matemáticos que se presentan, adoptando enfoques principalmente basados en la
transmisión de conocimiento de carácter informativo (heteroestructuración), propiciando
poco el desarrollo del pensamiento espacial y la exploración heurística de los objetos
geométricos. Pocas veces se incluyen cuestiones inherentes a los aspectos creativos de la
geometría.
El desarrollo de las competencias digitales de los docentes a la hora de enseñar la
geometría, complementada con los enfoques de aprendizaje que deben adoptar en sus
secuencias didácticas, hace que este tipo de materiales estén contextualizados en las
instituciones y dirigidos a un tipo particular de estudiantes (Font, 2011; Zubiría 2006).
36
Es necesario que los docentes en ejercicio y en formación inicial estén inmersos en
procesos de capacitación continua que disminuya la brecha tecnológica para la incorporación
de materiales digitales en el aula, sobre todo elaborados, implementados y valorados por
ellos mismos. Si los profesores desean incorporar los aprendizajes significativo, heurístico
y creativo de sus estudiantes deben partir de sus ideas previas conocidas a través de
diagnósticos y, a partir de ellos, diseñar secuencias didácticas más adecuadas a sus
capacidades e intereses para la apropiación de los objetos geométricos, con mediación
tecnológica para el aprendizaje de las geometrías.
Los programas actuales de formación de profesores incluyen los tipos de aprendizaje
colaborativo y cooperativo (Bilbao, 2014) que permiten a los maestros construir
intersubjetivamente sus estrategias de aprendizaje y experimentar con múltiples formas de
mediación, partiendo del uso de material real, hasta llegar a los materiales virtuales que
permitan a los estudiantes involucrarse en ambientes creativos de aprendizaje.
El diseño de secuencias didácticas y de tareas en 1a investigación en educación
matemática de los diferentes niveles de formación debe ser labor prioritaria de los docentes
en los colectivos académicos; se han dedicado congresos y seminarios a nivel internacional,
regional y local, dirigidos a profesores e investigadores, para la presentación, construcción
colectiva, análisis de las prácticas de aula y su reformulación, basados en las etapas que se
sugieren desde los enfoques de diseño de tareas para tener en cuenta en la creación de sus
propios unidades didácticas. Se destacan las etapas de contextualización, diseño,
implementación, evaluación y reformulación de estrategias didácticas, tareas y materiales
propuestos para desarrollar el pensamiento espacial, los sistemas y estructuras geométricas
y los aspectos creativos de la formación matemática de los alumnos.
Existen propuestas sobre materiales de actividades para desarrollar el pensamiento
espacial relacionado con los demás tipos de pensamiento matemático que pueden ser
adoptados y usados en las actividades de aula, cuando el docente desea enseñar
creativamente. Entre los diversos tópicos que pueden ser incorporados en las tareas y
problemas y situaciones problemáticas que se plantean a los estudiantes están las
37
construcciones geométricas que subyacen en las creaciones artísticas, la modelación y
simulación de situaciones de la vida real (Casadelrrey, 2010; Cohen, 2007; Askew y Ebbutt,
2012; Alsina, 2007, 2009, 2010 y 2011; Alsina y Domingo, 2010, Varela, 2000; Zalduendo,
2017; De la Peña, 1999; Moscovich, 2009; Guthie y Presto, 2016; Blazquez y Sosa, 2010,
Aczel, 2004; Bracho, 2011; Eco, 2007; Gardner, 1995 y 2010).
Los marcos conceptuales de la educación matemática dentro de la teoría del enfoque
ontosemiótico de la instrucción matemática, dispone de herramientas de análisis didáctico
del aprendizaje en las geometrías (Font, 2013 y 2015; Godino, 2009). Asi mismo los sistemas
semióticos de representación, su experimentación en ellos y los procesos de tratamiento,
conversión y las formas de ver en geometría (Duval, 2017; Rojas, 2014) pueden ser
trabajados para indagar sobre la forma como se desempeñan los estudiantes en el manejo de
este campo de conocimiento geométrico. Esto les permite reflexionar a los docentes sobre
sus creencias, prácticas y mediaciones para poder (re)significarlas.
Inicialmente los profesores y estudiantes de matemáticas encuentran dificultad al
programar y elaborar en software matemático, algunos ambientes virtuales de aprendizaje,
pues piensan que por su complejidad, se deben dejar dichas labores a los ingenieros de
sistemas, con mayor experiencia en este campo, más no en los aspectos pedagógicos y
didácticos inherentes (Leguizamón, Patiño y Suárez, 2015). Si ellos no delegan esta labor,
desarrollan su competencia digital experimentando con los programas para hacer matemática
en computador, de manera particular en geometría, potencian a su vez su pensamiento
espacial y el trabajo con los sistemas geométricos. Se convencen luego que el diseño y
elaboración propia de tareas sencillas en dibujos dinámicos elaborados en ambientes de
geometría dinámica, ricos en construcción, modelación y simulación, enriquecen su
conocimiento pedagógico, tecnológico y su competencia como estrategas (Moreno, 2014).
Las universidades como responsables de una formación integral de los ciudadanos
deben propender por el diseño, implementación y evaluación de ambientes creativos de
aprendizaje de las geometrías, que acerquen a los estudiantes a su entorno a través del
conocimiento de su medio natural. La geometría fractal de la naturaleza es una herramienta
38
importante para que los alumnos comprendan los secretos de su belleza expresada en
términos matemáticos (Mandelbrot, 1983; Peitgen y otros, 1992; Rubiano, 2009). No se debe
olvidar que la enseñanza de los fractales genera una motivación extra en los alumnos que los
impulsa a modelar y simular objetos y fenómenos de la naturaleza muy difíciles de abordar
con otros tipos de geometría.
La investigación formativa debe permitir a los estudiantes desarrollar proyectos
innovadores en el medio, que buscan mejorar la calidad del aprendizaje la geometría. El
motor que los impulsa en esta ardua tarea lo genera el auge de aplicaciones informáticas. El
planteamiento de actividades que propicien el desarrollo del pensamiento espacial y a la vez
la exploración de objetos matemáticos que develan los conceptos o que están inmersos en
las creaciones humanas constituye un campo rico para abordar las expresiones artísticas y su
modelación. Sería deseable que cada vez más, los estudiantes escojan las geometrías o la
educación geométrica como área de investigación y propicien el diseño de ambientes para
mejorar su aprendizaje.
Los programas de acreditación y autoevaluación de alta calidad de los programas de
licenciatura exigen una actualización continua de los planes curriculares que se adecuen a
las características de los estudiantes y de sus entornos. Es por ello que los resultados de la
investigación deben generar cambios positivos en la formación geométrica de sus profesores
y educandos y en la actualización curricular de los diversos tipos de programas en el área; la
conveniencia de incluir cursos que enfaticen ciertos tipos de geometría que complementen
la formación investigativa ofrecida es urgente y necesaria.
Capítulo 2. Referentes de la investigación
Se presentan a continuación los enfoques teóricos respecto a las competencias
profesionales de los docentes y su conocimiento didáctico matemático, los aspectos básicos
del enfoque ontosemiótico, sus objetos, sistemas de prácticas, dualidades y el método de
análisis didáctico; se describen los elementos claves del enfoque noético cognitivo de Duval
y, finalmente, los aspectos propios de la educación geométrica y su relación con las Tic en
el aprendizaje y la competencia digital de los profesores de matemáticas.
Competencias profesionales docentes
Las tendencias actuales en educación matemática han enfatizado las investigaciones
sobre la problemática del conocimiento didáctico-matemático y el desarrollo de las
competencias profesionales del profesor de matemáticas (Ball, 1990; Silverman y
Thompson, 2008; Even y Ball, 2009). Dada la complejidad de la problemática, los resultados
son limitados y parciales (Sullivan y Wood, 2008).
En la temática de esta propuesta de formación de profesores, referida a los aspectos
de conocimientos didáctico-matemáticos y competencias profesionales en educación
geométrica, las indagaciones serán orientadas a la identificación de los componentes del
complejo de conocimientos que un profesor debería tener con el fin de desarrollar
eficientemente su práctica al enseñar geometría y propiciar ambientes de aprendizaje
creativo y así, facilitar el aprendizaje de sus estudiantes (Shulman, 1987; Ball, 2000; Hill,
Ball y Schilling, 2008; Ball y Bass, 2009; Godino, 2009; Font, 2011 y 2005).
En el área de educación matemática se da especial relevancia a la caracterización de
las competencias profesionales del profesor de matemáticas, especialmente referidas al
análisis y reflexión sobre sus propias prácticas, y a la conformación de comunidades de
aprendizaje de docentes para la evaluación colectiva de tareas y secuencias didácticas, hacia
la búsqueda de consensos y la construcción de sentido de dichas experiencias.
40
Los aportes de los investigadores en el campo de las competencias profesionales de
los docentes de matemáticas se centran en modelos de su conocimiento didáctico-
matemático que pretende precisar y construir los aspectos teóricos de lo que debe saber y
saber hacer; para el caso de la presente investigación hace referencia a las actividades
docentes al enseñar las geometrías, o brindar ambientes apropiados para su aprendizaje.
Conocimiento didáctico-matemático de profesores
La formación inicial de los futuros profesores de matemáticas es un área de amplio
interés para los investigadores en educación matemática, pues sus resultados aportan a las
soluciones de la actual crisis en el aprendizaje de los estudiantes. Una de las razones del
énfasis en la investigación es este campo radica en que el desarrollo del pensamiento y de
las competencias matemáticas de los estudiantes, depende de manera esencial de la calidad
en la formación de sus profesores. A continuación se describen, se adaptan y transcriben para
esta investigación, los aspectos teóricos respecto al conocimiento didáctico-matemático de
los profesores (Pino-Fan, Font y Godino, 2013).
El propósito de las investigaciones se ha centrado en la naturaleza de los
conocimientos matemáticos y didácticos que un profesor de matemáticas debería tener para
que su práctica de enseñanza de las matemáticas sea idónea. Dentro de los modelos
propuestos en esta temática se destaca el de Shulman, considerado pionero. Este investigador
propone tres categorías para el conocimiento del profesor: “conocimiento del contenido”,
“conocimiento pedagógico del contenido” (PCK) y “conocimiento curricular”.
En un trabajo posterior, el mismo Shulman (1987) amplía sus ideas y propone siete
categorías para la temática del conocimiento del profesor, llamadas `categorías del
conocimiento base´, las cuales contemplan aspectos como “conocimiento del contenido”,
“conocimiento pedagógico general”, “conocimiento curricular”, “conocimiento
pedagógico del contenido” (PCK); “conocimiento de los estudiantes y sus características”,
41
“conocimiento de los contextos educativos”, y “conocimiento de los fines, propósitos y
valores de la educación”.
Las fuentes principales del “conocimiento base” son: (1) la formación académica en
la disciplina a enseñar, (2) las mediaciones, materiales y el contexto del proceso educativo
institucionalizado, (3) los aspectos socioculturales y la sabiduría que otorga la práctica
misma. Para Shulman la categoría “conocimiento pedagógico del contenido” (PCK), es de
especial interés puesto que identifica los contenidos a enseñar y las implicaciones
pedagógicas en la comprensión de conceptos y desarrollo del pensamiento matemático.
Posteriormente, Grossman (1990) tomando como base los desarrollos de Shulman y
sus colaboradores sobre el conocimiento base, reorganiza dichas ideas y propone un “modelo
del conocimiento del profesor” que considera cuatro componentes principales (p. 5): 1)
conocimiento pedagógico general; 2) conocimiento del contenido; 3) conocimiento
pedagógico del contenido; 4) conocimiento del contexto.
En el campo de investigación sobre el conocimiento del profesor, un enfoque
relevante de amplia divulgación en la actualidad es conocido como “MKT” (Mathematical
Knowledge for Teaching) desarrollado en diversos trabajos por Deborah Ball y
colaboradores (Ball, 2000; Ball, Lubienski y Mewborn, 2001; Hill, Schilling y Ball, 2004;
Ball, Hill y Bass, 2005; Ball, Thames y Phelps, 2008; Hill, Ball y Schilling, 2008), quienes
apoyándose en las ideas de Shulman, han propuesto la noción de “conocimiento matemático
para la enseñanza (MKT)”, el cual han definido como “el conocimiento matemático que
utiliza el profesor en el aula para producir instrucción y crecimiento en el alumno” (Hill,
Ball y Schilling, 2008, p. 374).
El enfoque MKT está conformado por dos categorías de conocimiento:
1) conocimiento del contenido, que incluye conocimiento común del contenido,
conocimiento especializado del contenido y conocimiento en el horizonte matemático; y 2)
42
conocimiento pedagógico del contenido, conformado por el conocimiento del contenido y
los estudiantes, conocimiento del contenido y la enseñanza, y conocimiento del currículo.
El conocimiento común del contenido (CCK) se describe como “aquel conocimiento
que es usado en el trabajo de enseñanza en formas comunes a como se utiliza en muchas
otras profesiones u ocupaciones que también usan matemáticas” (Hill, Ball y Schilling,
2008, p. 377). En palabras de Ball, Thames y Phelps (2008) el conocimiento común del
contenido es aquel que posibilita al profesor resolver correctamente los problemas o tareas
matemáticas que asignan a sus estudiantes; no obstante, dichos conocimientos y habilidades
matemáticas que permiten la resolución de tareas, no son exclusivos de la enseñanza, sino
que son utilizados en una amplia variedad de contextos. Por conocimiento especializado del
contenido (SCK), Ball, Thames y Phelps (2008) entienden al conglomerado de
“conocimientos y habilidades matemáticas exclusivas para la enseñanza” (p. 400). Este
conocimiento incluye “cómo representar con exactitud ideas matemáticas, ofrecer
explicaciones matemáticas de reglas y procedimientos que comúnmente se encuentran en la
enseñanza, analizar y comprender los métodos inusuales que permiten resolver un
problema” (Hill, Ball y Schilling, 2008, p. 377-378).
De acuerdo con Ball y Bass (2009), la actual concepción del conocimiento en el
horizonte matemático tiene cuatro elementos que lo constituyen: 1) un sentido del medio
ambiente matemático que rodea la situación actual en la instrucción; 2) principales ideas
disciplinares y su estructura; 3) prácticas matemáticas clave; y 4) valores y sensibilidades
matemáticas fundamentales (veáse Anexo 11). El conocimiento del contenido y de los
estudiantes (KCS) se define como “el conocimiento del contenido que se entrelaza con el
conocimiento sobre cómo los estudiantes piensan, conocen o aprenden este contenido
particular” (Hill, Ball y Schilling, 2008, p. 375).
Por su parte, el conocimiento del contenido y la enseñanza (KCT):
43
“[…] combina conocimiento sobre la enseñanza y conocimiento sobre las
matemáticas. Muchas de las tareas matemáticas de enseñanza requieren un
conocimiento matemático para el diseño de la instrucción. Los profesores secuencian
contenidos particulares para la instrucción. Los profesores eligen los ejemplos para
comenzar con el proceso y los ejemplos que usan para ayudar a los estudiantes a
profundizar en el contenido. Los profesores evalúan las ventajas y desventajas
instruccionales de las representaciones usadas para la enseñanza de ideas específicas
e identifican los diferentes métodos y procedimientos permisibles en el proceso de
instrucción. Cada una de esas tareas requiere una interacción entre una comprensión
matemática específica y una comprensión de los aspectos pedagógicos que afectan el
aprendizaje de los estudiantes” (Ball, Thames y Phelps, 2008, p. 401).
Finalmente, el conocimiento curricular, es entendido por el equipo de Ball y
colaboradores, en el sentido de los trabajos de Grossman (1990).
Enfoque ontosemiótico
El objeto de estudio de esta investigación pretende enfatizar el conocimiento
didáctico-matemático y las competencias profesionales para el análisis y valoración de las
prácticas de los profesores que enseñan geometría con mediación de ambientes virtuales y
tecnológicos. Por ello, se utilizan nociones como tareas, prácticas y objetos matemáticos
propuestas por el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática
(EOS). Dicho enfoque, propuesto por Godino y colaboradores (Godino y Batanero, 1994;
Godino y Batanero, 1998; Godino, Batanero y Font, 2007), propone modelos sobre: (1) la
naturaleza de las matemáticas, adoptando tendencias antropológicas y socioculturales; (2) la
cognición, basada en paradigmas de carácter semiótico; (3) el desarrollo instruccional,
contextualizado en la naturaleza epistemológica y cognitiva de las matemáticas. En este
enfoque se proponen herramientas para determinar el conocimiento didáctico - matemático
y hacer un análisis didáctico de las tareas y prácticas de los profesores al enseñar geometría
que describimos brevemente a continuación.
44
Sistemas de prácticas y objetos matemáticos
Para esta investigación se entiende como “sistema de prácticas” a la noción del EOS
introducida por Godino y Batanero (1994): “toda actuación o manifestación (lingüística o
no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la
solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas” (p. 334). Dichas
prácticas son de carácter institucional o personal, y pueden ser combinación de prácticas
operativas y discursivas que dan cuenta del significado de los objetos matemáticos (Godino,
Font, Wilhelmi y Lurduy, 2011; Batanero y otros, 2017); dichos objetos matemáticos son
considerados entidades emergentes de los sistemas de prácticas realizadas para resolver
situaciones problemáticas planteadas (Godino y Batanero, 1994; Font, Godino y Gallardo,
2013; Rojas, 2014).
A partir de las prácticas emergen los objetos matemáticos primarios -lenguaje,
definiciones, procedimientos, proposiciones, problemas y argumentos- (Font y Contreras,
2008, p. 35), organizándose en configuraciones epistémicas o cognitivas, según sean de
carácter institucionales o personales (Font y Godino, 2006).
En la figura 1 se sintetiza una parte de las diferentes nociones teóricas propuestas por
el EOS. En este enfoque la actividad matemática ocupa el lugar central y se modeliza en
términos de sistema de prácticas operativas y discursivas. De estas prácticas emergen los
distintos tipos de objetos matemáticos, que están relacionados entre sí, formando
configuraciones epistémicas (hexágono). Por último, los objetos que intervienen en las
prácticas matemáticas y los emergentes de las mismas, según el juego de lenguaje
(Wittgenstein, 1992) en que participan, pueden ser consideradas desde diferentes maneras
de “estar participando”, las cuales se agrupan en facetas o dimensiones duales (decágono).
45
Figura 1. Facetas y niveles de análisis didáctico. Fuente: (Godino, 2013).
Dualidades para análisis de las prácticas
Para analizar los objetos primarios que emergen de las prácticas matemáticas, se
contemplan cinco dualidades (véase figura 2) del EOS para el análisis de las prácticas: (1)
personal/institucional; (2) unitario/sistémico; (3) expresión/contenido; (4) ostensivo/no-
ostensivo; (5) extensivo/intensivo ((veáse Anexo 11 y Figuras 1-2).
46
Figura 2. Dualidades para análisis de las prácticas. Fuente: (Godino, 2013).
La dualidad “personal-institucional” en el EOS considera que la cognición
matemática debe contemplar las facetas personal e institucional, entre las cuales se
establecen relaciones dialécticas complejas y cuyo estudio es esencial para la educación
matemática. La “cognición personal” es el resultado del pensamiento y la acción del sujeto
individual ante una cierta clase de problemas, mientras que la “cognición institucional” es
producto del diálogo, el convenio y la regulación en el seno de un grupo de individuos que
forman una comunidad de prácticas.
Los sistemas de prácticas de la enseñanza de la geometría se categorizan
introduciendo la distinción entre la faceta personal, o idiosincrásica de un sujeto, de las
prácticas y la faceta institucional (compartida, social) de las mismas. Cuando esta noción se
aplica a la descripción de los conocimientos de un sujeto particular será necesario distinguir
el sistema global de prácticas que potencialmente puede poner en juego dicho sujeto, de los
47
subsistemas de prácticas declaradas (en un proceso de evaluación) y logradas (al ser
comparadas con unas prácticas institucionales de referencia). En cuanto a las prácticas
institucionales también es necesario distinguir entre las efectivamente implementadas en un
proceso de estudio, de las pretendidas, y de las prácticas de referencia.
Como señalan Godino y Batanero (1994) los significados logrados por los estudiantes
dependen fundamentalmente de los significados institucionales, concretamente, de los
significados pretendidos asociados a los sistemas de prácticas planificados para un proceso
particular de instrucción, así como de los significados efectivamente implementados en dicha
instrucción y de los evaluados. Además, el profesor, como parte de la institución escolar,
debe recurrir, para la elección de los significados pretendidos, a los significados de
referencia. En una institución de enseñanza concreta este significado de referencia será una
parte del significado holístico del objeto matemático. La determinación de dicho significado
global (u holístico) requiere realizar un estudio histórico-epistemológico sobre el origen y
evolución del objeto en cuestión, así como tener en cuenta la diversidad de contextos
(sistemas de prácticas) de uso donde se pone en juego dicho objeto.
En las prácticas matemáticas intervienen objetos ostensivos (lenguaje, símbolos,
gráficos, etc.) y no ostensivos (conceptos, proposiciones, etc.); en este sentido dentro del
EOS se propone la siguiente tipología de objetos matemáticos primarios, intervinientes en
los sistemas de prácticas (Godino, Batanero y Font, 2007; D’Amore y Fandiño, 2017): (1)
Elementos lingüísticos (términos, expresiones, notaciones, gráficos,…) en sus diversos
registros (escrito, oral, gestual,…); (2) situaciones-problemas (aplicaciones extra-
matemáticas, ejercicios,…); (3) conceptos/definiciones (introducidos mediante definiciones
o descripciones) (recta, punto, número, media, función, derivada,…); (4)
proposiciones/propiedades (enunciados sobre conceptos,…); (5) procedimientos
(algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo,…); (6) argumentos (enunciados usados para
validar o explicar las proposiciones y procedimientos, deductivos o de otro tipo,…).
48
La dualidad extensivo-intensivo se utiliza en el EOS para explicar una de las
características básicas de la actividad matemática: el uso de elementos genéricos (Font y
Contreras, 2008). Esta dualidad permite centrar la atención en la dialéctica entre lo particular
y lo general, que sin duda es una cuestión clave en la construcción y aplicación del
conocimiento matemático.
La dualidad expresión-contenido es otra modalidad de “estar” de los objetos
matemáticos en la práctica matemática. Pueden estar participando como representaciones o
bien como objetos representados y, según el juego de lenguaje, pueden pasar de ser
representaciones a ser objetos representados. Si se formula la pregunta: ¿Cómo se relaciona
la expresión con el contenido?, se encuentra el problema de la clasificación entre
representaciones internas y externas. En el enfoque ontosemiótico la clasificación
interna/externa, además de problemática, se considera poco operativa y por ello se propone
sustituirla por dos dualidades (o maneras de estar) que se consideran más útiles, las
dualidades personal – institucional y ostensivo – no ostensivo.
La dualidad unitario–sistémico se adopta para contemplar una perspectiva sistémica
sobre los objetos matemáticos. En algunas circunstancias los objetos matemáticos participan
como entidades unitarias (que se suponen son conocidas previamente), mientras que en otras
intervienen como sistemas que se deben descomponer para su estudio. Estos mismos objetos,
tienen que ser considerados de manera sistémica para su aprendizaje. Otra modalidad de
“estar” de los objetos matemáticos en la práctica matemática está relacionada con la
dualidad unitario–sistémico.
Tanto las dualidades como los objetos primarios se pueden analizar desde la
perspectiva proceso-producto, lo cual lleva a los procesos que se recogen en la figura 2. En
el EOS no se intenta dar, de entrada, una definición de “proceso” ya que hay muchas clases
diferentes de ellos; se puede hablar de proceso como (1) secuencia de prácticas, (2)
cognitivos, (3) metacognitivos, (4) de instrucción, (5) de cambio y (5) sociales, etc. Se trata
de procesos muy diferentes en los que, quizás, la única característica común a muchos de
49
ellos sea la consideración del factor “tiempo” y, en menor medida, el de “secuencia en la
que cada miembro participa en la determinación del siguiente”.
Por tanto, en el EOS, en lugar de dar una definición general de proceso, se ha optado
por seleccionar una lista de los procesos que se consideran importantes en la actividad
matemática (los de la figura 2), sin pretender incluir en ella a todos los procesos implicados
en la actividad matemática, ni siquiera a todos los más importantes, entre otros motivos
porque algunos de los más importantes (por ejemplo, el proceso de comprensión o el de
modelización) más que procesos son hiper o mega procesos: la resolución de problemas, y
de manera más general, la modelización debe ser considerada más bien como “hiper-
procesos” matemáticos, al implicar configuraciones complejas de los procesos matemáticos
primarios (establecimiento de conexiones entre los objetos y generalización de técnicas,
reglas y justificaciones). La realización efectiva de los procesos de estudio requiere, además,
la realización de secuencias de prácticas de planificación, control y evaluación (supervisión)
que conllevan procesos meta-cognitivos (Godino, Batanero y Font, 2007, p. 9).
Para el análisis de la actividad matemática desencadenada por la resolución de tareas
geométricas se utiliza el modelo de análisis de dicha actividad, propuesto por el EOS; es
decir, se analizaron las prácticas matemáticas y los objetos primarios y procesos matemáticos
activados en ellas. Este tipo de análisis se corresponde con los dos primeros niveles de
análisis propuestos por el EOS.
En el marco del Enfoque Ontosemiótico de la Instrucción Matemática (EOS) se
proponen cinco niveles para el análisis didáctico de procesos de instrucción, cada uno con
sus respectivas herramientas (Font, Planas y Godino, 2010): (1) análisis de los tipos de
problemas y sistemas de prácticas; (2) análisis de las configuraciones de objetos y procesos
matemáticos; (3) análisis de evoluciones cognitivas, trayectorias, conflictos e interacciones
didácticas; (4) identificación del sistema de normas y metanormas; (5) valoración de la
idoneidad didáctica del proceso de instrucción para identificar y potenciar buenas prácticas.
50
Para desarrollar el conocimiento didáctico-matemático y las competencias
profesionales del profesor al enseñar las geometrías, se tendrán en cuenta estos cinco niveles
de análisis, en especial el último.
Enfoque idoneidad didáctica
El EOS propone los siguientes criterios de idoneidad: (1) epistémico; (2) cognitivo;
(3) interaccional; (4) mediacional; (5) emocional; (6) ecológico (Font, Planas y Godino,
2010, p. 101). Para cada criterio de idoneidad didáctica existen indicadores para su análisis
(Godino, Font, Wilhelmi y de Castro, 2009). A continuación se especifican algunos de estos
indicadores a considerar en la valoración de cada una de las idoneidades didácticas.
La idoneidad epistémica se refiere a que las matemáticas enseñadas sean unas
“buenas matemáticas”. Para ello, además de tomar como referencia el currículo prescrito,
se trata de tomar como referencia a las matemáticas institucionales que se han transpuesto
en el currículo. Se trata de determinar si la geometría a enseñar es representativa de su
complejidad. Hace referencia a los tipos de problemas y situaciones problemáticas del
contexto (matemático o no), sus sistemas de representación y esquemas de formalización,
verificación y demostración adoptados en las prácticas de enseñanza de las geometrías.
En lo que refiere a la idoneidad cognitiva, se adopta como herramienta para evaluar
lo que sucede en la mente del estudiante, al aproximarse a la forma como se organizan y
estructuran los objetos matemáticos; constituye una oportunidad para detectar si se dan
aprendizajes significativos y profundos por parte del estudiante. La “Idoneidad cognitiva”,
expresa el grado en que los aprendizajes pretendidos/implementados están en la zona de
desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los aprendizajes logrados a
los pretendidos/implementados.
Para la idoneidad interaccional, se busca determinar si los procesos de comunicación
matemática (justificaciones, razonamientos, argumentaciones, validaciones), inciden en los
51
procesos de enseñanza y de aprendizaje del estudiante; además se introducen para valorar,
reconocer y resolver sus conflictos de significado, cuando ejercen el pensamiento
matemático, especialmente el pensamiento espacial o geométrico.
La idoneidad mediacional en este caso, se refiere de manera particular, a las
competencias digitales del profesor para diseñar, implementar y evaluar las mediaciones
computacionales en las tareas y secuencias de prácticas al enseñar las geometrías. Los modos
de usar materiales manipulativos e informáticos inciden en el aprendizaje de la geometría,
para lo cual la idoneidad mediacional valora la importancia de su implementación y el papel
que juega en la exploración en los sistemas semióticos de representación.
En cuanto a la idoneidad emocional se incorpora al análisis para evaluar aspectos
motivacionales (interés, motivación) y de inclusión académica de los estudiantes en el
proceso de instrucción al momento de aprender las geometrías.
La adopción de la idoneidad ecológica obedece a (1) la valoración de la adecuación
del proceso de instrucción, (2) al proyecto educativo de las instituciones, (3) al currículo y,
(4) a las condiciones del entorno social y profesional. Permite valorar la relación entre el
currículo diseñado y el implementado en la práctica, su pertinencia con el contexto y con las
aplicaciones de las geometrías.
Enfoque cognitivo de Duval
Este enfoque es una de las tendencias de investigación en educación matemática hace
parte de la semiótica (Radford, Schubring, y Seeger, 2008) para explicar fenómenos de la
cognición. Según Vasco (2017) “los tres programas de investigación que podríamos llamar
`más progresivos´ en el sentido de Imre Lakatos son pues en este momento expresamente
semióticos: el Enfoque Ontosemiótico EOS de Godino, Batanero y Font, el Enfoque
Semiótico-Cultural ESC de Radford y el enfoque Noético-Semiótico de Duval” (p. 13).
52
Se introducen algunos elementos importantes para el análisis de las prácticas desde
la teoría semiótica de las representaciones planteada por Duval. Al respecto se manifiesta
“[…] no es posible estudiar los fenómenos relativos al conocimiento sin recurrir a la noción
de representación” (Duval, 1999, p. 19). El privilegio que se le ha dado a la representación
como estrategia para fortalecer nociones matemáticas, tal vez dificulte la conceptualización
y formalización como oportunidad en el aula de clase. En las investigaciones de este enfoque
es claro que las personas no tienen acceso directo al concepto sino a través de sus
representaciones. En cuanto a dichas representaciones semióticas se dice:
“[…] En primer lugar, en Matemáticas las representaciones semióticas no son solo
indispensables para fines de comunicación sino que son necesarios para el desarrollo
de la actividad matemática misma. En efecto la posibilidad de efectuar tratamientos
sobre los objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación
semiótico utilizado” (p. 20).
Uno de los aspectos claves para algunas propuestas de aprendizaje de la geometría es
el papel que juegan las representaciones gráficas en la comprensión y apropiación de objetos
matemáticos. Al respecto Duval manifiesta que no puede haber comprensión en matemáticas
si no se distingue un objeto, de su representación. Un mismo objeto puede darse a través de
representaciones muy diferentes. Dicha confusión provoca perdida de aprendizaje. Las
diversas representaciones semióticas de los objetos matemáticos, serían pues secundarias y
extrínsecas a la aprehensión conceptual de los objetos.
Para esta investigación, se adopta la tesis de Duval, en la cual las representaciones
semióticas son fundamentales para el desarrollo de la actividad matemática misma. La
utilización de dichos sistemas es primordial en la actividad matemática y parece serle
intrínseca. Respecto al trabajo con diversos sistemas de representación semiótica, como
soporte fundamental de las operaciones mentales y la construcción de esquemas mentales,
Duval (p. 46) conceptúa, “[…] la pluralidad de los sistemas semióticos permite una
diversificación tal de las representaciones de un mismo objeto, que aumenta las capacidades
53
cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales (Benveniste, 1974,
Bresson 1987) […] Las representaciones mentales nunca pueden considerarse
independientemente de las representaciones semióticas” (Duval, 1999).
Para el análisis de los ambientes virtuales en geometría se adopta la clasificación de
las maneras de ver, en función del papel de las figuras en las actividades geométricas
propuestas a los estudiantes, las cuales se transcriben a continuación.
Tabla 1. Entradas clásicas a la geometría.
BOTÁNICO
AGRIMENSOR
Geómetra
CONSTRUCTOR
INVENTOR
artesano
1. Tipo de
operación sobre las
FORMAS VISUALES,
requerida por la
actividad propuesta.
Reconocer
formas a partir de
cualidades visuales de
un contorno: se
privilegia UNA forma
particular como
TÍPICA.
Medir los bordes de
una superficie: sobre
un TERRENO o sobre
un DIBUJO (variación
de escala de magnitud
y, por tanto, de
procedimiento de
medición).
Descomponer una
forma
en trazos construibles
con ayuda de un
instrumento. Hay que
pasar (a menudo) por
TRAZADOS
AUXILIARES que no
pertenecen a la figura
“final”.
Transformar unas
formas en otras. Hay
que agregar TRAZOS
REORGANIZADORES
en la figura final para
inicializar esas
transformaciones.
2. Cómo se movilizan
las PROPIEDADES
GEOMÉTRICAS con
respecto al tipo de
Operación.
No hay
relaciones entre
las diferentes
propiedades (no hay
definición matemática
posible).
Las propiedades son
criterios de selección
para las mediciones
que se deben hacer.
Solo son útiles si
remiten a una fórmula
que permita un cálculo.
Como restricciones de
un orden de
construcción.
Ciertas propiedades
se obtienen mediante
una sola operación de
trazado, las otras exigen
varias operaciones.
Implícitamente
mediante remisión a una
red más compleja (una
trama de rectas para la
geometría plana o una
trama de intersecciones
de planos…) que la
figura de partida.
Fuente: (Duval y Sáenz, 2016).
Al respeto del trabajo con tareas y actividades de geometría conceptúan “[…] los
conocimientos geométricos se pueden construir precisamente en el campo de esta actividad
cognitiva que es, a la vez, muy diversificada y compleja. La simplicidad de los contenidos
matemáticos que se seleccionan y se introducen como base de la enseñanza de la geometría
54
presupone, de hecho, maneras de ver y modos de razonamiento que se apartan de los
practicados fuera de las matemáticas o que incluso se les oponen” (Duval y Sáenz, 2016, p.
58). Tabla 2. Modo de comprensión y de conocimiento relacionado con cada manera de ver.
BOTÁNICO
AGRIMENSOR
geómetra
CONSTRUCTOR
INVENTOR
artesano
ESTATUS
EPISTEMOLÓGICO
CONSTATACIÓN perceptiva inmediata: “eso se ve sobre…”
CONSTATACIÓN que resulta de la lectura de un instrumento de medición.
RESULTADO de un procedimiento de construcción.
RESULTADO de una descomposición de la figura de partida en unidades figurales que se reconfiguran de manera diferente
FUENTE
COGNITIVA DE LA CERTIDUMBRE
Superposición efectuada a ojo o utilizando una plantilla.
Comparación de los valores numéricos obtenidos empíricamente.
Necesidad interna en el encadenamiento de las operaciones del procedimiento de construcción.
Invariancia de las unidades figurales que son los referentes de la transformación de la figura de partida.
Fuente: (Duval y Sáenz, 2016)
Adicionalmente se introducen los procesos de tratamiento y conversión como
categorías de análisis al abordar la indagación sobre los sistemas semióticos de
representación que se involucran en ambientes virtuales de aprendizaje de la geometría.
Educación geométrica
Tradicionalmente el aprendizaje de la geometría se ha considerado primordial en la
formación básica, contemplada en los planes curriculares en educación básica, media y
primeros cursos de universidad. Su enseñanza ha estado enmarcada en enfoques
epistemológicos formalistas y en una metodología de tipo algorítmico, en los que la
geometría euclidiana tenía un lugar relevante. En la figura 3 se describe la evolución de los
programas curriculares oficiales de matemáticas para educación básica y media con miras a
estandarizar y normalizar la formación de los estudiantes colombianos.
55
Figura 3. Evolución del currículo de matemáticas para educación básica y media. Fuente: El autor.
Dichos enfoques se caracterizan por: (1) la transmisión unidireccional de
conocimientos, empleando el método axiomático-deductivo, (2) para estructurar los
conceptos claves como puntos, rectas, segmentos, planos, semiplanos y figuras geométricas
en el plano y el espacio, (3) trazado y construcción mecánica de líneas y formas. Las
consecuencias de este tipo de enseñanza en los estudiantes ha sido un uso excesivo de la
memorización de propiedades y formulación de relaciones demostradas de manera
deductiva.
A nivel nacional, dos trabajos fundamentales para despertar la reflexión acerca de los
temas pedagógicos de la geometría como elementos en la formación integral del individuo,
56
han sido, inicialmente, la contribución de Alberto Campos, abarcando desde una revisión
histórica de los concepciones epistemológicas de las clases de geometría, estudiando
aspectos teóricos claves, hasta las implicaciones generadas en la educación geométrica en
las instituciones universitarias en Colombia.
Otro trabajo relevante es el de Carlos E. Vasco en su propuesta de la “Geometría
Activa” y su énfasis en el pensamiento espacial y los sistemas geométricos (MEN., 2000).
Adicionalmente, los trabajos que han influenciado este desarrollo están contemplados en los
lineamientos y estándares curriculares de Matemáticas (Campos, 1981) y el proyecto de
Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas del Ministerio de
Educación Nacional.
Un tema relevante para la investigación en educación geométrica es la determinación
de los conocimientos y las competencias que debe tener un profesor al momento de enseñar
los distintos tipos de programas de geometrías en el nivel de básica y media. Dichas
competencias abarcan aspectos relacionados con: (1) valorar las estrategias de aprendizaje
para las geometrías, por ejemplo de los niveles de Van Hiele, (2) los enfoques de desarrollo
del pensamiento espacial y sistemas geométricos, (3) las concepciones respecto a la
construcción de espacio y sus conceptos fundamentales de la geometría como, la formas y
figuras, sus mediciones, los sistemas de coordenadas y referencias, (4) las transformaciones
y los conceptos de invariancia, dimensión e isomorfismos, (5) la evolución histórica de la
geometría, etc.
En el siguiente mapa conceptual (véase figura 5), se establecen algunas de esas
categorías de tipo epistemológico, pedagógico e histórico que se han tenido en cuenta para
para organizar la formación de los profesores.
57
Figura 4. Mapa de problemas. Fuente: El autor.
58
Los criterios que servirán de hilos conductores para organizar la formación de los
profesores serán:
Temáticas propias de la geometría abordada en la Licenciatura de la UPTC, algunos
aspectos respecto a su historia y sus aplicaciones: tópicos generales sobre la
construcción formal de los tipos de programas de geometría, una breve revisión
histórica de su evolución, una somera descripción del ámbito de sus aplicaciones y
una selección de algunos casos sobre la relación de la geometría con las creaciones
estéticas y el arte.
Aspectos pedagógicos: características de la formación geométrica personal e
institucional de los licenciados de la UPTC, sus formas de enseñar geometría y las
mediaciones empleadas para su aprendizaje y creencias de sus docentes y estudiantes
sobre educación geométrica.
A manera de ejemplo, los siguientes seis esquemas contemplan dichos hilos
conductores para un tipo de geometría, en este caso, las geometría fractal de la naturaleza.
59
Figuras 5. Esquemas de categorías y tópicos transversales o hilos conductores Fuente: El autor
En esta investigación se considera que al abordar un proyecto sobre la formación
geométrica de los licenciados en matemáticas, es primordial que se contextualicen y se haga
una aproximación epistemológica e histórica de los diversos tipos de programas de
geometría, evidenciando los fundamentos epistemológicos que en ellos subyace. Si bien, esta
tarea no es nada sencilla, se considera que es un primer paso para luego estudiar las
implicaciones pedagógicas y didácticas en el salón de clase. A continuación se presenta un
60
esquema que describe los tipos de programas de geometría que se estructuran para iniciar su
estudio.
Figura 6. Geometrías euclidianas y no euclidianas. Fuente: El autor
La formación geométrica de estos profesionales debe partir del reconocimiento de
estos diversos tipos de programas de geometría, para lo cual se les deben facilitar entornos
de formación apropiados, que propicien el desarrollo del pensamiento espacial y trabajar con
los sistemas geométricos. De acuerdo con los actuales enfoques de formación de profesores
en educación matemática, el estudio basado en situaciones problemáticas del medio,
constituye un campo fértil para propiciar aprendizajes significativos, profundos y creativos
de la geometría.
Por otra parte, la incorporación y trabajo con diferentes sistemas semióticos de
representación (como los virtuales) enriquecen la experiencia de los estudiantes para
construir significados y privilegiar su comprensión profunda de la geometría.
61
Las TIC y la geometría
En las últimas cuatro décadas el desarrollo de las tecnologías de la información y
comunicación (TIC) y de la computación gráfica han impregnado la mayoría de actividades
sociales, especialmente las referidas a la educación matemática (Marqués, 2017). Existe gran
cantidad de material educativo digital, como los programas de geometría dinámica,
calculadoras algebraicas y gráficas, simuladores de operaciones y algoritmos, y programas
de cálculo simbólico, entre otros.
Actualmente hay una tendencia a desarrollar aplicaciones en medios virtuales que
propicien aprendizajes autónomos o colaborativos de la geometría. Estas aplicaciones se
pueden adoptar apropiadamente en las prácticas educativas de la educación formal, como
mediación en el aprendizaje de las geometrías; son de especial relevancia aquellas que
propicien la oportunidad para trabajar los campos de la representación, modelación y
simulación de situaciones problemáticas de la geometría.
Los currículos de los programas de formación de docentes contemplan como tópico
transversal la incorporación de dichas TIC en la enseñanza de la matemática. El componente
a enfatizar en las capacidades profesionales de los futuros profesores de matemáticas
contempla el desarrollo de competencias digitales para diseñar y elaborar este tipo de
materiales. Por ello, es una prioridad cualificar a los futuros docentes y a los docentes en
ejercicio, responsables de la formación geométrica, para que incorporen estrategias relativas
a la enseñanza y el aprendizaje de las geometrías, a partir de la exploración de sus
representaciones, con la mediación de ambientes virtuales. Por esta razón la incorporación
de las TIC es un aspecto central de la formación geométrica del profesorado, tópico que se
tendrá presente en la cualificación desarrollada en esta investigación.
Un aspecto particular de las mencionadas competencias profesionales debe priorizar
el trabajo con los sistemas semióticos de representación en ambientes virtuales de
aprendizaje, proporcionados de manera particular por la geometría dinámica. Es conocido
62
que el trabajo con estos diversos sistemas de representación semiótica tiene directa
implicación en la comprensión de los conceptos matemáticos (Duval, 1999).
La geometría dinámica y su evolución
Los primeros ambientes de geometría dinámica buscaban representar de manera
dinámica los dibujos estáticos que se presentaban en los textos clásicos de la geometría
euclidiana y visualizar las claves de las demostraciones de los teoremas y propiedades. El
propósito iba más allá de contar con textos digitales, en donde se incluían dibujos
interactivos, al estilo del proyecto “Euclids Geometry”, que puso en medio digital el
patrimonio geométrico de los trece libros de la obra Elementos de Euclides.
Para el desarrollo del pensamiento espacial, potenciar la intuición geométrica y la
creatividad se crean los ambientes dinámicos y constructivos para idear y construir las
representaciones, desde la geometría euclidiana, hasta la geometría proyectiva y de las
transformaciones. Esta última, como opción para mejorar las representaciones
bidimensionales de los objetos de la tercera dimensión; la evolución de dichas
representaciones se evidencia en la creación de esquemas de la geometría dinámica que
muestran las características, dimensiones y secretos del diseño geométrico de creaciones
artísticas de la pintura y la escultura, como ejemplo concreto en la relación arte y geometría
de renacimiento.
Los ambientes de la geometría dinámica luego evolucionan hacia el desarrollo de
representaciones propias de las geometrías analítica, de coordenadas y descriptiva, como
síntesis entre la geometría y el álgebra, en aplicaciones como GeoGebra (Bohórquez, 2004),
que busca recrear ambientes para evidenciar de manera concreta, las representaciones
gráficas de conceptos matemáticos, especialmente de tipo geométrico y sus correspondientes
representaciones en expresiones simbólicas del álgebra elemental.
63
En cuanto a la representación de los objetos correspondientes a las geometrías no
euclidianas se dispone de aplicaciones como NonEuclid, que propicia un modelo como el de
Poincaré para la geometría hiperbólica. Existen algunas aplicaciones para recrear el modelo
de la Esfera de Riemman para la geometría no euclidiana esférica, pero todavía no son lo
suficientemente desarrollados como ambientes de geometría dinámica.
Con el desarrollo de la computación gráfica se evoluciona hacia los programas de
geometría tridimensional como Cabri 3D, CarMetal y GeoGebra 3D, entre otros, en los
cuales la geometría proyectiva y la geometría de las transformaciones juega un papel central
en el desempeño del funcionamiento del ambiente gráfico y su potencialidad para representar
objetos con mayor realismo (Flores, 2008; González y Wilches, 2007).
Desde el enfoque experimental de las matemáticas se evoluciona hacia las
aplicaciones de geometría dinámica y de geometría constructiva, que actualmente permiten
diseñar y modelar objetos de la naturaleza, usando de manera particular, las estructuras de
la geometría fractal, combinada con las geometrías hasta ahora mencionadas.
Cuando se usa el ordenador como mediador del aprendizaje y la enseñanza de las
matemáticas, cambian las concepciones tradicionales del profesor y estudiante frente a sus
prácticas educativas. Al respecto Moreno afirma: “[…] Las herramientas computacionales,
modifican la naturaleza de las exploraciones y la relación de dichas exploraciones con la
sistematicidad del pensamiento matemático… Algunos autores se han interesado por la
génesis instrumental de las herramientas computacionales (Rabardel, 1995)” (Moreno A.
L., 2002, p. 46-47).
Al aceptar la mediación de la pizarra electrónica de los ordenadores y computadoras,
no se trata de trabajar con las mismas prácticas educativas tradicionales. Se deben modificar
las situaciones problemáticas, los problemas, las tareas, las representaciones y hasta la forma
de indagar e investigar respecto al conocimiento matemático.
64
Para presentar algunos aspectos de los ambientes de geometría dinámica se toma,
como caso particular, la filosofía con la cual fue creada la aplicación Cabri, una de las
pioneras en este campo. Acerca de los principios con que fue elaborado el programa Cabri
Geometry, Collette Laborde manifiesta:
“[…] El programa ha sido elaborado con la idea que el paso por las primitivas
geométricas debería favorecer el uso de conocimientos geométricos…El entorno,
responde pues, a la intención de ofrecer un sistema de significantes que tenga un
dominio mayor de funcionamiento, en relación con la geometría y que haga más
evidentes los límites del dominio de interpretación”.
Figura 7. Ambiente de geometría dinámica Cabri. Jean Marie Laborde
Fuente: (Laborde, 2006)
En cuanto al ambiente de geometría dinámica generado por el programa Cabri
Geometry, se considera que la distinción inicial entre primitivas geométricas y de
construcción es de gran importancia. Poder hacer y grabar macro-construcciones (que
65
posteriormente pueden convertirse en primitivas de construcciones más elaboradas)
constituye un elemento fundamental que le proporciona flexibilidad y la capacidad de hacer
dibujos-dinámicos cada vez más complejos. Estas características han superado con
suficiencia la intencionalidad inicial al crear el programa de geometría dinámica y constituye
uno de los mayores potenciales en la exploración de las representaciones en el campo de las
matemáticas. Frente a las opciones que se pueden plantear en geometría dinámica, Collette
Laborde afirma:
“[…] se pueden plantear situaciones “robustas” y situaciones “blandas”. Las
primeras provienen de la construcción de una figura que satisface condiciones
geométricas. Las construcciones robustas requieren conocimientos que los alumnos
no tienen y se caracterizan por los teoremas y propiedades al estilo tradicional. Las
construcciones blandas son aún más importantes para ayudar a obtener las
construcciones robustas. Son construcciones de una figura que no satisface todas las
condiciones” (Laborde, 2006).
En este sentido, en el Cabri Geometry y el Cabri 3D, se trabajan de manera natural
las construcciones de la geometría euclidea. Para crear los dibujos-dinámicos
correspondientes a los conceptos matemáticos, el estudiante se debe enfrentar a muchas
situaciones “blandas”, que por sus características brindan un espacio más apropiado para el
aprendizaje por descubrimiento. Las situaciones problemáticas que el estudiante debe
enfrentar en la construcción del modelo, permite enfocar la actividad, a propiciar el
desarrollo del pensamiento espacial, sin enfatizar en el bagaje de conocimientos, teoremas y
propiedades, al estilo de la geometría clásica.
Estas situaciones abiertas son más flexibles, pues no tienen soluciones únicas y
permiten desarrollar las competencias relativas a la solución de problemas geométricos. El
soporte que dichas actividades prestan, robustece la capacidad de los estudiantes, cuando
deben enfrentar problemas más formales, cuya solución implica la aplicación de los teoremas
clásicos de la geometría.
66
La geometría dinámica tiene un papel relevante en la formación de profesores
diseñada e implementada en esta investigación (Camargo y Acosta, 2012). En particular, en
el momento de diseñar secuencias didácticas para enseñar geometría, los participantes
tendrán que poner a prueba su imaginación y creatividad en el diseño de sus propios modelos,
ya que pueden surgir construcciones difíciles de lograr que impliquen el uso de resultados
que no conocen, lo que los impulsará a investigar.
Educación geométrica y tecnología de la información en planes curriculares
colombianos
Una de las metas trazadas por el Ministerio de Educación Nacional es contribuir en
la incorporación de las nuevas tecnologías computacionales en las diferentes áreas del
conocimiento. Este esfuerzo involucra el trabajo de las comunidades académicas y el
compromiso de los diferentes estamentos educativos desde las universidades y colegios.
Estas se evidencian en los resultados de algunas investigaciones orientadas a la
incorporación de nuevas tecnologías al currículo de Matemáticas de la Educación Media en
Colombia y sus avances, promovido por la Dirección de Calidad de la educación preescolar,
básica y media del MEN. En este mismo sentido el documento de Incorporaciones de Nuevas
Tecnologías a la Educación Matemática del M.E.N., deja ver cómo los “recursos
interactivos de la comunicación han ido señalando caminos y estrategias para abordar la
articulación de las nuevas tecnologías al currículo de matemáticas” (MEN, 2000).
Los estándares básicos de competencia en matemáticas establecen claramente la
incorporación de la TIC y los objetos virtuales de aprendizaje de la geometría. En la práctica
esto no se hace, principalmente porque los profesores no han desarrollado las competencias
digitales para lograrlo y las dificultades de las instituciones públicas para contar con los
recursos tecnológicos y el acceso fácil a las redes de información.
67
Actualmente el Ministerio de Tecnologías hace un esfuerzo para dotar de Tablets a
los estudiantes de grado sexto de las instituciones públicas; dicho programa no se ha
complementado con el planteamiento de programas de cualificación a los docentes en
competencias digitales, para los profesores que enseñan geometría. Es una oportunidad para
incorporar el uso de las mediaciones tecnológicas y virtuales al aprendizaje de las geometrías
y el desarrollo de las competencias profesionales que ello implica.
68
Capítulo 3. Concepciones epistemológicas en algunos programas de geometría y de
educación geométrica
A continuación se hace un breve análisis sobre los fundamentos epistemológicos de la
matemática relativos a los diversos tipos de programas de geometría y su posterior
desarrollo. Se han enfatizado los tipos de geometría, con un marcado interés por la evolución
de los conceptos espaciales y se describe brevemente los orígenes, que históricamente han
marcado un hito en el desarrollo de esta área; dichas ideas, por sus aplicaciones, ocuparon
un lugar privilegiado en la educación geométrica de las personas. La motivación radica en
adoptar un enfoque semiótico y cognitivo en la investigación, que considera la historia de
las matemáticas como aspecto fundamental en su aprendizaje, especialmente en los
programas de formación de educadores matemáticos en Colombia.
El desarrollo de la matemática en el devenir cronológico ha estado influenciado por
las concepciones ontológicas acerca del mundo y la realidad, las ideas sobre la naturaleza
del conocimiento en el área contextualizada en la filosofía, y las concepciones sobre la
naturaleza de las ciencias y el conocimiento científico como abordaje epistemológico. A
partir de la teorías científicas formuladas por diversos científicos y filósofos para responder
a unas preguntas, surgidas de manera natural sobre ¿Cómo son los conceptos en
matemáticas? ¿Cuál es su naturaleza? ¿Son sus métodos exclusivos dentro de la gama de las
ciencias? ¿Es la matemática una ciencia o un lenguaje?
Las dos concepciones epistemológicas propuestas inicialmente por los griegos basadas
en las ideas abstractas en un mundo ideal conocida como platonismo y la tradición empírica
de la ciencia planteada por los jónicos, tendencias que aún se mantienen en nuestros tiempos.
Al respecto Font (2003) manifiesta:
“[…] La dependencia respecto de las “cosas” se ha entendido, históricamente, de
diferentes maneras. La primera explicación es la platónica y consiste en considerar que
hay unas determinadas “cosas” que son entidades ideales existentes objetivamente,
diferentes de los árboles, sillas, etc., que forman un mundo trascendente que podemos
69
intuir merced a una cierta facultad intelectual […] Se puede considerar el pensamiento
matemático como una determinada manera de pensar sobre las “cosas” que sí
depende de las “cosas” de nuestra experiencia como árboles, piedras, etc. En su
versión fuerte o “empírica”, dice que la matemática es una ciencia que depende de
las “cosas” como los árboles, sillas, etc. exactamente igual a como dependen de ellas
las ciencias experimentales” (p. 251-253).
Desde algunas perspectivas filosóficas y epistemológicas, se considera la matemática
como expresión y creación de la mente humana. Al respecto se conceptúa:
“[…] las matemáticas, como una expresión de la mente humana, reflejan la voluntad
activa, la razón contemplativa y el deseo de perfección estética. Sus elementos básicos
son la lógica y la intuición, el análisis y la construcción, la generalidad y la
individualidad. Aunque diferentes tradiciones realizan aspectos diferentes, es solo la
interacción de estas fuerzas antitéticas y la lucha por su síntesis lo que constituye la
vida, la utilidad y el valor supremo de la ciencia matemática”1 (Courant y Robbins,
1996, p. 17).
Algunas tendencias desde la filosofía y epistemología de la matemática muestran que
las matemáticas son algo más que un sistema de conclusiones derivadas de definiciones y
postulados o axiomas en un juego lógico, que deben ser consistentes, pero que fuera de ello,
pueden crearse al arbitrio del matemático. Al respecto se manifiesta:
“[…] el significado de los objetos matemáticos simplemente establece «las relaciones
entre ‘objetos indefinidos’ matemáticamente y las leyes que rigen las operaciones con
ellos». No importa qué son los objetos matemáticos: lo que cuenta es qué hacen. Así,
las matemáticas viajan inquietamente entre lo real y lo irreal, su significado no reside
en abstracciones formales, pero tampoco es tangible. Esto puede ser problemático
1 El esfuerzo unificador de la matemática alrededor de la lógica no fue logrado según el trabajo de
Russel y Gödel.
70
para los filósofos que prefieren categorías estrictas, pero constituye la gran fuerza de
las matemáticas, lo que en otro lado he llamado su ‘Realidad Irreal’. Las matemáticas
unen al mundo abstracto de los conceptos mentales con el mundo real de los objetos
físicos, sin estar por completo en ninguno de los dos” (Courant y Robbins, 1996, p.
21).
Los fundamentos epistemológicos de la matemática
Los enfoques epistemológicos de las matemáticas tradicionalmente han contemplado
corrientes como platonismo, empirismo, logicismo, formalismo, estructuralismo
constructivismo, intuicionismo y estructuralismo (Falk, 2012; Font 2003; Lautman, 2011;
Zalamea, 2009). Se considera clarificador y necesario que estas corrientes se contextualicen
dentro de las escuelas filosóficas contempladas en el devenir histórico de las ciencias y la
filosofía.
Figura 8. Esquema de las corrientes epistemológicas de la matemática. Fuente: (Font, 2003)
71
En cuanto a la naturaleza epistemológica de las matemáticas y su relación con las
corrientes filosóficas, se establece:
“[…] Históricamente se han manejado básicamente dos formas de concebir los
conceptos matemáticos, como entes abstractos o como entes que tienen relación con
el mundo y el entorno en que se vive. A lo largo de la historia de la matemática, estas
dos formas de ver los objetos matemáticos se han analizado y estudiado al interior de
escuelas filosóficas de pensamiento matemático, como Platonismo, Idealismo,
Racionalismo, Logicismo, Empirismo, Constructivismo, Formalismo, y últimamente el
Enfoque Socio-Cultural” (Jiménez, 2010, p. 1).
Desde la época de los griegos, dos corrientes epistemológicas de la matemática
muestran sus inicios, como una dualidad contrapuesta, los platonistas desde la escuela
pitagórica y los experimentalistas representados por los jónicos.
Al respecto de las corriente platonista y experimentalista de las matemáticas en el libro
Cosmos, Carl Sagan dice:
“[…] La moderna tradición de la argumentación matemática, esencial para toda la
ciencia, le debe mucho a Pitágoras. Fue el primero en utilizar la palabra Cosmos para
indicar un universo bien ordenado y armonioso, un mundo capaz de ser entendido por
el hombre. Muchos jonios creían que la armonía subyacente del universo era accesible
a la observación y al experimento, método éste que domina la ciencia actual. Sin
embargo, Pitágoras empleó un método muy distinto. Enseñó que las leyes de la
naturaleza podían deducirse por el puro pensamiento. Él y sus seguidores no fueron
fundamentalmente experimentalistas. Eran matemáticos. Y eran místicos
convencidos” (Sagan, 1970, p. 134).
Los fundamentos del platonismo se cimentaron en el estilo de trabajo de la escuela
Pitagórica. Al respecto, Carl Sagan continúa manifestando:
72
“[…] Los pitagóricos se deleitaban con la certeza de la demostración matemática, la
sensación de un mundo puro e incontaminado accesible al intelecto humano, un
Cosmos en el cual los lados de triángulos rectángulos obedecen de modo perfecto a
relaciones matemáticas simples. Esto contrastaba de modo acentuado con la
desordenada realidad del mundo de cada día. Creían haber vislumbrado en sus
matemáticas una realidad perfecta, un reino de los dioses, del cual nuestro mundo
familiar es sólo un reflejo imperfecto. Los pitagóricos iban a influir intensamente a
Platón” (Sagan, 1970, p. 135).
Pero a través del tiempo surgen hechos que alimentan la discusión sobre los
fundamentos de las matemáticas. El descubrimiento de los inconmensurables (por ejemplo,
la diagonal de un cuadrado de lado uno) al interior de la Escuela Pitagórica fue de gran
impacto en la concepción que ellos tenían de matemáticas. El carácter secreto y místico de
la secta pitagórica, hizo que sus miembros se reservaran algunos conocimientos y resultados
de descubrimientos matemáticos. Al respecto Sagan manifiesta:
“[…] Los pitagóricos, enamorados de los números enteros, creyeron que todas las
cosas podían derivarse de ellos, empezando por todos los demás números. Se produjo
una crisis en esta doctrina cuando descubrieron que la raíz cuadrada de dos (la razón
entre la diagonal y el lado de un cuadrado) era irracional, es decir que 2 no puede
expresarse de modo preciso como la razón de dos números enteros determinados, por
grandes que fueran estos números. Este descubrimiento (reproducido en el apéndice
1l) se llevó a cabo utilizando, irónicamente como herramienta el Teorema de
Pitágoras. Irracional significaba en principio que un número no podía expresarse
como una razón. Pero para los pitagóricos llegó a suponer algo amenazador, un
indicio de que su concepción del mundo podía carecer de sentido, lo cual es el otro
sentido que tiene hoy la palabra irracional. En vez de compartir estos importantes
descubrimientos matemáticos, los pitagóricos callaron el conocimiento de 2 y del
dodecaedro. El mundo exterior no tenía que saber nada de esto. Todavía hoy hay
73
científicos opuestos a la popularización de la ciencia; creen que hay que reservar el
conocimiento sagrado para los cultos, sin dejar que lo mancille la comprensión del
público” (Sagan, 1970, p. 136).
En mi concepción, considero que este hecho se puede pensar como la primera de las
variadas crisis de los fundamentos de la matemática. La confianza que los pitagóricos tenían
en la concepción idealista y abstracta de las matemáticas, fundamentó posteriormente lo que
se llamó el platonismo de las ideas matemáticas. Por ejemplo, es conocida la concepción
platónica de rechazo a las construcciones mecánicas (experimentalistas) dadas como posible
solución a los tres problemas famosos (irresolubles, con las condiciones auto impuestas de
usa de regla y compás) de las matemáticas griegas, cuadratura del círculo, la duplicación del
cubo y trisección del ángulo, pues eran consideradas como degradación de las ideas
matemáticas, al reducirlas a sus más mínimo nivel.
La matemática, consolidada como ciencia por la civilización helénica, sufrió un
periodo de estancamiento durante el periodo conocido como ‘el oscurantismo” de la Edad
Media e inicio del Renacimiento. Solo se resalta el papel de algunas civilizaciones como la
árabe, al establecer y mantener algunos hilos conductores con aquella época dorada de las
matemáticas helénicas y la conservación de los pocos documentos griegos heredados,
hicieron que las matemáticas relevantes surgieran en el siglo XVI, luego de un período de
transición, con los trabajos de geometría analítica y cartesiana de Fermat y Descartes, como
sus principales aportes. Los trabajos de Descartes con su denominada geometría cartesiana,
fue formulada como una opción para relacionar el álgebra y la geometría, con interés
exclusivo en formas de representación de curvas, y su posterior utilización en el nacimiento
del cálculo infinitesimal, para describir las propiedades de las curvas suaves o diferenciables,
logrado por caminos distintos por Newton y Leibniz. En mi opinión, el surgimiento del
cálculo infinitesimal es el descubrimiento que evidencia la potencia de la matemática como
ciencia y cataloga su resurgimiento.
74
La famosa controversia Newton-Leibniz, por los créditos en el descubrimiento de
cálculo infinitesimal genera una crisis de los fundamentos de la matemática, que se puede
caracterizar como:
“[…] Los matemáticos ingleses, profundamente influenciados por los trabajos de
Newton y su utilización demasiado conservadora de los métodos geométricos,
continúan preconizando el instrumento geométrico durante cerca de un siglo. Los
matemáticos del continente, por su parte, adoptan los métodos analíticos de Leibniz,
los desarrollan y perfeccionan durante el siglo XVIII. Además los métodos de Leibniz
resultan ser mucho más eficaces que los de Newton, de manera que los matemáticos
ingleses se ven relegados a un segundo plano, durante todo este periodo, privando así
a las matemáticas de los aportes nuevos que se habría podido esperar de ellos”
(Collette, 2003, p. 133).
El resurgimiento y la renovación de la geometría se cimentaron en los aportes
matemáticos del siglo XVIII, especialmente por las ideas fundamentales de Gauss. La
explosión de los diversos tipos de programas de geometría que surgieron en el siglo XIX,
fueron el producto de la liberación de los métodos de razonar sobre el espacio y sus
representaciones, los tipos de pensamiento liberador y la confianza en el racionalismo. Los
Trabajos de Poncelet, Steiner y Chasles aseguraron la verdadera creación y formalización de
la geometría proyectiva, cuyas raíces intuitivas están en las obras artísticas del renacimiento,
especialmente del norte de Italia.
El surgimiento de las geometrías no euclideas revolucionó el mundo de las ciencias y
sus posteriores aplicaciones. La geometría hiperbólica fue descubierta de manera
independiente por Gauss, Lobachevski y Bolyai. Posteriormente la geometría elíptica
introducida por Riemman, como ejemplo de segunda geometría no euclidiana. El
surgimiento de las geometrías no euclidianas es considerado un hito trascendental en la
creación matemática y rompe una tradición de veinte siglos de hegemonía de enfoques y
tradición matemática, al estilo de los griegos, además de dar fin a la unidad de la geometría.
Al respecto, Jiménez conceptúa:
75
“[…] Posteriormente a finales del siglo XVIII con el cuestionamiento del quinto
postulado de Euclides y la aparición de las geometrías no euclidea, aparece una nueva
crisis y para solucionarla, se intenta quitar de la base de la matemática las nociones
de los griegos y sustituirla por el concepto de número entero, época que se conoció
con el nombre de la Aritmetización de la Matemática” (Jiménez, 2010).
Las crisis de los fundamentos de las matemáticas tienen hechos y momentos bien
determinados, por ejemplo, el surgimiento de las paradojas por Russel en la teoría de
conjuntos de Cantor a finales del siglo XIX y los teoremas de Gödel que rompen la unidad
de los sistemas formales, en los albores del siglo XX.
La aspiración de Hilbert de reducir la aritmética a la lógica, y la posterior demostración
de imposibilidad de dicha reducción, hizo que el logicismo en matemáticas no fuera
considerado hegemónico en los fundamentos de la matemática (Hilbert, 1968). Por ello, se
precisa:
”[…] A pesar del monumental avance de la matemática con el logicismo, a decir de
Snapper, esa escuela no logra apartarse de inconsistencias, ya que dos de estos
axiomas de la teoría de Zermelo y Fraenkel, el axioma del infinito y el axioma de
elección, no pueden ser considerados proposiciones lógicas” (Jiménez, 2010, p 10).
En contraste, radicalmente apuestos al enfoque logicista, surgen los enfoques
constructivista e intuicionista, con los trabajos de Kronecker, Poincaré, Borel, Brouwer y
Weyl. Al respecto se menciona:
“[…] las creencias fundamentales que constituyen la piedra angular de la filosofía
matemática intuicionista, residen en la afirmación de que las teorías matemáticas no
son significativas, a menos que se refieran a entidades construidas a partir de alguna
cosa dada por la intuición inmediata, y que las definiciones matemáticas deben ser
siempre constructivas” (Collette, 2003, p. 570).
76
Además, respecto a la estrecha relación entre los enfoques epistemológicos
constructivista e intuicionista de la matemática, se dice:
“[…] En síntesis, para el intuicionismo la matemática es la actividad mental que
consiste en efectuar un constructo después de otro, en un encadenamiento. Por esto,
al intuicionismo también se le llama constructivismo. A decir de este autor, a pesar
que dentro de la teoría intuicionista no se encuentren contradicciones, al examinar de
fuera, desde el punto de vista del matemático clásico, se tiene que confesar que el
intuicionismo no consiguió dar fundamentos adecuados a la matemática” (Gómez,
2010).
Las raíces del intuicionismo y del constructivismo, como enfoques epistemológicos de
las matemáticas, está en la obra de Kant. En su libro, Critica a la Razón Pura, hace dos
preguntas claves. ¿Cuál es el fundamento de la matemática?, ¿Cuál es el fundamento de la
física?, las cuales corresponden a la Crítica Trascendental y la Analítica Trascendental
(Gómez, 2010). Kant usa las funciones lógicas, como la deducción, para denominar el juicio
analítico (La conclusión se deriva de las premisas), el cual proporciona un conocimiento
formal, que consiste en describir el contenido de una idea o concepto; la otra función lógica
de inducción, a la que llama juicio sintético, la cual contiene más que las premisas y por ello
agrega conocimiento.
Al reformular la primera pregunta, hacia la naturaleza de la actividad matemática como
actividad social y personal, se puede considerar como un conjunto de prácticas que
manipulan ostensivos, acompañada de pensamiento en el que se manipulan símbolos
mentales. Según Heidegger, es una determinada manera de pensar sobre los conceptos
(cosas). Surge pues la interrogación sobre la naturaleza del pensamiento matemático; este
puede ser considerado desde un enfoque clásico kantiano, como una determinada forma de
pensar sobre los conceptos (cosas) que pueden ó no, depender de ellos. Acá, se consideran
los juicios sintéticos, aquellos que aportan información sobre las cosas, en cambio los juicios
analíticos no dan información sobre las cosas, sino que su verdad es una cuestión fácil de
77
resolver. Al respecto, Kant sostiene que los juicios de las matemáticas y de la física deben
ser juicios sintéticos y además el saber tiene que ir más allá de la percepción sensible, ya que
el saber es universal y no depende de lo que en este momento vemos o tocamos. Es decir,
hay en el saber elementos más allá de la experiencia. Así, las proposiciones matemáticas son
juicios sintéticos que no dependen de la experiencia, considerados por Kant como juicios
sintéticos a priori; la razón humana, desde este punto de vista, tiene la capacidad de descubrir
propiedades generales de los objetos físicos independientemente de la experiencia.
Al respecto de esta concepción kantiana, Jiménez conceptúa:
“[…] Frente a esto Kant distingue dos tipos de conocimiento, uno a priori y otro
a posteriori. El conocimiento a priori es un conocimiento universal e intemporal, se
fundamenta en la razón y es independiente de la experiencia. El mejor ejemplo de
conocimiento a priori, según Kant, es el conocimiento matemático. El conocimiento a
posteriori o empírico es un conjunto de proposiciones fundamentadas en la
experiencia y en las observaciones del mundo físico. Para fundamentar la existencia
del conocimiento a priori, Kant dice que el espíritu humano dispone de formas puras
de espacio y de tiempo, o intuiciones, a través de las cuales se percibe, organiza y
comprende la experiencia. A pesar que Kant glorifique la razón no niega el valor de
la experiencia. Evidentemente fue Kant quien le dio a la matemática un estatus
especial de organizadora del espíritu, una marca de validez intemporal e irrefutable,
que aún conserva entre muchos profesores de matemáticas” (Jiménez, 2010, p. 9).
El mismo autor, respecto a los fundamentos formalistas de la matemática destaca:
“[…] Mientras que Russel sostenía que todo el conjunto de las matemáticas
puras es reductible a la lógica, Hilbert las consideraba como una actividad autónoma
del matemático. El programa formalista desarrollado por Hilbert comienza en su
método axiomático y se servirá de sus principios para caracterizar modelos
estructurados a partir de los cuales el problema central será demostrar su
78
consistencia. […] Así el formalista no trabaja con entidades abstractas, como series
infinitas o números cardinales, sino solamente con sus nombres sin sentido que son
las expresiones de un lenguaje de primer orden” (Ídem).
La corriente epistemológica estructuralista surge como una propuesta de abstracción
de propiedades sobre conceptos matemáticos, privilegiando las relaciones entre objetos, de
tal manera que los aspectos comunes en los sistemas de la matemática, consolidan las
estructuras. Respecto al estructuralismo en matemáticas, Campos dice:
“[…] El segundo aspecto epistemológico tiene que ver con la estructuración que
hayan alcanzado las respuestas a una secuencia de cuestiones. Actualmente, el
enfoque más sistemático de lo que se conocía en matemática hacia mediados del siglo
XX, es el expuesto mediante estructuras matemáticas por la escuela francesa llamada
Bourbaki” (Campos, 1994).
Los enfoques epistemológicos de las matemáticas tradicionalmente han contemplado
corrientes como platonismo, empirismo, logicismo, formalismo, constructivismo,
intuicionismo y estructuralismo. Al tratar de dar respuesta a las dos últimas inquietudes,
surge el estructuralismo, inicialmente como:
“[…] un método de análisis intelectual que proporciona un marco para comprender
y organizar áreas de estudio relacionadas con la producción y percepción de
significado, con características de interdisciplinariedad y multidisciplinariedad,
influenciando principalmente la filosofía, la antropología, la lingüística, la
matemática y la crítica literaria” (Aczel, 2009, p. 115).
Al igual que las grandes ideas de la humanidad, el “estructuralismo” se diseminó por
cada una de las ciencias y se adoptó con ciertas restricciones de acuerdo con la naturaleza de
cada una de ellas. Desde algunas perspectivas filosóficas y epistemológicas, se considera la
79
matemática como expresión y creación de la mente humana, que debe tener tradición
formalista y presentación axiomática deductiva en sus teorías.
El concepto primitivo de estructura
Precisar la noción de estructura no es fácil, como muchos otros conceptos el de ‘limite’
en matemáticas (definidos con base en sinónimos), tienen connotaciones diferentes desde el
punto de vista que se les analice. En una primera aproximación,
“[…] una ‘estructura’ es un sistema de transformaciones que entraña unas leyes en
tanto que sistema (por oposición a las propiedades de los elementos) y que se conserva
o enriquece por el mismo juego de transformaciones, sin que estas lleguen a un
resultado fuera de sus fronteras o reclame unos elementos exteriores” (Piaget, 1980,
p. 9).
La concepción moderna de estructura surgió desde la lingüística, al comienzo del siglo
veinte, gracias a los trabajos de Trubetzkoy y Jakobson. El grupo Bourbaki elevó ligeramente
la vaga noción de estructura a niveles más abstractos y precisos, expresándola en términos
formales, axiomáticos y generales.
Desde la tradición lingüística estructuralista se conceptúa:
“[…] según Ferdinand Saussurre, estructura es un sistema a) en el que cada valor
está establecido por posiciones y diferencias y b) que solamente aparece cuando se
comparan entre sí fenómenos diversos reduciéndolos al mismo sistema de relaciones.
Es estructura solamente el acondicionamiento que corresponde a dos condiciones: es
un sistema regido por una cohesión interna; y esta cohesión, inaccesible al observador
de un sistema aislado, se revela en el estudio de las transformaciones gracias a las
cuales se descubren propiedades similares en sistemas aparentemente diversos” (Eco,
2005, p. 58-59).
80
La corriente epistemológica estructuralista de las matemáticas logró, con la producción
del grupo de matemáticos (mayoritariamente franceses) que escribió bajo el seudónimo de
Nicolás Bourbaki, el mayor auge unificador de las matemáticas del siglo XX. Adoptaron el
enfoque estructuralista en el siguiente sentido:
“[…] No hay duda de que el término ‘estructura’ ha pasado a ocupar en los últimos
tiempos un lugar central en la matemática. Esto no se limita a su uso cada vez mayor
en la literatura reciente, sino también, lo que es más importante, al reconocimiento
del estudio de las estructuras como una herramienta fundamental para un desarrollo
unificado de la matemática" (Campos, 1994, p. 698).
Como método de producción en matemáticas el grupo adopta la directriz:
“[…] Intentar resolver problemas clásicos mediante métodos que hacían
intervenir nuevos conceptos "abstractos", y que es, en mi opinión, la idea central de
Bourbaki. Esto quiere decir que, por mi parte, Bourbaki está totalmente a favor de
aplicar a los viejos problemas toda la potencia obtenida en el estudio axiomático de
las estructuras pero, por otra, rechaza a las matemáticas que caen en las teorías
abstractas sin ninguna razón para ello... “(Campos, 1994, p. 699).
Se caracteriza y precisa el término ‘estructura matemática’, como:
“[…] el rasgo común de conjuntos de elementos cuya naturaleza no está especificada;
para definir una estructura es necesario, establecer una o varias relaciones entre
dichos elementos; luego se postulan ciertas condiciones (que se enumeran) y que son
los axiomas de la estructura considerada. En enfoques formales, construir teoría
axiomática de una ‘estructura matemática’ dada, es deducir las consecuencias lógicas
que subyacen en los axiomas de la estructura, excluyendo hipótesis acerca de los
elementos considerados (en particular relativas su naturaleza) (Hernández, 1998).
81
Para Piaget, mencionando a Bourbaki, existen tres tipos de estructuras elementales:
‘estructuras algebraicas’ (grupo, subgrupo, anillo, campos, espacios vectoriales…), las
‘estructuras de orden’ (retículos, redes,…) y por último las estructuras topológicas (espacio
topológico, métrico,…) (Piaget, 1980, p. 30).
Existen otras estructuras como síntesis de las anteriores, por ejemplo la noción de
grupo topológico. Piaget además considera que la estructura de grupo es un instrumento de
coherencia, pues la exactitud de la ‘abstracción reflexiva’, que caracteriza al pensamiento
lógico-matemático es la de ser sacada no de los objetos, sino de las acciones sobre ellos y
las propiedades de las relaciones, buscan realizar coordinaciones generales que permiten la
posibilidad de alcanzar un mismo objetivo por caminos diferentes.
Existen otros tipos de estructuras más generales, que no fueron consideradas en la
concepción estructuralista inicial de los trabajos de Bourbaki. Si bien estas estructuras son
más generales, tienen una connotación distinta y hace que la matemática logre niveles de
abstracción más poderosos. Al respecto, Hernández, J. (1998) conceptúa:
[…] En esta línea de abstracciones reflexivas, que van subiendo escalones
sucesivos en la vía de la abstracción, hay que señalar que Piaget (y alguno de sus
principales colaboradores, como S. Papert) se ha ocupado de la llamada ‘teoría de
categorías’, creada por los matemáticos Eilenberg y McLane hacia 1945, en la que
manejan objetos formados por "clases" (conjuntos, grupos, espacios topológicos, etc.)
junto con las correspondientes funciones o "morfismos" entre ellas (funciones,
homomorfismos de grupos, funciones continuas, etc.) y en la que nociones como
subestructura (subconjunto, subgrupo, etc.) estructura producto, estructura cociente,
isomorfismo, etc., son presentadas en un plano superior de generalidad. Según Paper
S., las categorías responden a las operaciones del matemático más que a las de la
Matemática: "Se trata de un nuevo ejemplo de esa abstracción reflexiva que extrae su
substancia no de los objetos sino de las acciones ejercidas sobre ellos (incluso cuando
los objetos anteriores eran ya ellos mismos productos de dicha abstracción) y esos
82
hechos son preciosos en cuanto a la naturaleza y al modo de construcción de las
estructuras" (p. 16).
Por lo anterior los defensores de la ‘matemática moderna’, con el enfoque clásico de
estructuralismo al estilo de Bourbaki, tienen múltiples críticas como la del matemático René
Tom, quien manifiesta sarcásticamente “[…] La vieja esperanza de los bourbakistas de ver
surgir las estructuras matemáticas de la jerarquía de los conjuntos, de sus subconjuntos y
de su combinatoria, es sin duda una quimera" (Hernández, 1998, p. 21).
Para abordar el estructuralismo en matemáticas es necesario caracterizar las estructuras
matemáticas fundamentales, que según Piaget, fueron básicas (especialmente las estructuras
algebraicas generales) para los modelos estructurales de Levi-Strauss, maestro de la
antropología social y cultural y considerado el padre del estructuralismo. El Matemático del
grupo Bourbaki, Weils empleó la estructura de grupo matemático, para resolver el ‘problema
de parentesco’ estudiado por dicho autor en antropología y le sirvió para escribir el libro que
contiene un apéndice escrito con la ayuda de Weil, lo cual es considerado como ‘el acto
fundacional del estructuralismo’ (Levi-Strauss, 1947).
Sin embargo, citando a Piaget, los estructuralismos lingüístico y psicológico, surgieron
por otras circunstancias:
“[…] Si las influencias creadoras que han podido intervenir en los principios de
estructuralismo lingüístico y psicológico no han sido de naturaleza matemática (de
Saussare se inspiró en la ciencia económica, en su doctrina sobre el equilibrio
sincrónico y los geltaltistas en la física)” (Piaget, 1980, p. 9).
Al respecto de la matemática como expresión de la mente humana Courant y Robins
(1996), conceptúan:
83
“[…] las matemáticas, como una expresión de la mente humana reflejan la voluntad
activa, la razón contemplativa y el deseo de perfección estética. Sus elementos básicos
son la lógica y la intuición, el análisis y la construcción, la generalidad y la
individualidad. Aunque diferentes tradiciones realizan aspectos diferentes, es solo la
interacción de estas fuerzas antitéticas y la lucha por su síntesis lo que constituye la
vida, la utilidad y el valor supremo de la ciencia matemática” (p. 17).
Al abordar una investigación sobre la formación geométrica de los Licenciados en
Matemáticas de programas acreditados de alta calidad, es primordial que se contextualicen
y se haga una aproximación epistemológica de los diversos tipos de programas de geometría,
evidenciando los fundamentos epistemológicos de tipo estructuralista que en ellos subyace.
La formación geométrica debe partir del reconocimiento de estos diversos tipos de
programas de geometría y sus enfoques, además cuestionar si el estructuralismo al estilo de
la ‘matemática moderna’ debe prevalecer en la formación de los licenciados en matemáticas.
Difícilmente se encontrará el significado y se comprenderán nociones de la matemática
actual, sin la apropiación y uso de las estructuras algebraicas, de orden y topológicas. Pero
no se bebe caer en los errores cometidos al masificar la ‘matemática moderna’, introduciendo
nociones matemáticas demasiado abstractas en niveles tempranos del desarrollo intelectual
de los estudiantes. Como dice, Ian Stewart, esto significa que como ‘motor de motivación’
puede haber un acercamiento ‘intuitivo’ de los estudiantes con las nociones complicadas y
de ‘matemática de punta’ y su representación, como por ejemplo, las geometrías no
euclidianas y teoría de fractales, pues ya habrá suficiente tiempo para ‘formalizarlas’.
Epistemología intuicionista y constructivista
Respecto a la estrecha relación entre los enfoques epistemológicos constructivista e
intuicionista de la matemática, Collete afirma:
“[…] En síntesis para el intuicionismo la matemática es la actividad mental que consiste
en efectuar un constructo después de otro, en un encadenamiento. Por esto, al
intuicionismo también se le llama constructivismo. A decir de este autor, a pesar que
84
dentro de la teoría intuicionista no se encuentren contradicciones, al examinar de fuera,
desde el punto de vista del matemático clásico, se tiene que confesar que el intuicionismo
no consiguió dar fundamentos adecuados a la matemática” (p. 578).
La geometría y sus concepciones epistemológicas
Se adopta la clasificación de los principales tipos de programas de geometría
desarrollados en la historia de las matemáticas (Vasco, 2011ª y 2011b), para caracterizar y
describir algunos aspectos epistemológicos que en dichos programas subyacen. Los términos
logicismo, estructuralismo, formalismo e intuicionismo son empleados como una
aproximación en sus raíces, con su significado actual, así en la época del programa analizado,
no se hubieran formalizado aún dichos enfoques epistemológicos de la matemática. Se
describen los programas de geometría que tangencialmente tienen que ver con la presente
investigación y se adicionan en los Anexos 13 y 14 tipos que complementan la
contextualización teórica de este apartado.
Geometría pragmática de las civilizaciones antiguas
El nacimiento de las formas en geometría se inspiró en la visualización y experiencia
sobre objetos de la naturaleza. Dichas figuras eran reproducidas en las cerámicas y pinturas
rupestres configurándose una especie de geometría práctica. Las civilizaciones, babilónica,
egipcia, y china, entre otras legaron en sus construcciones casos particulares de teoremas
formalizados por los griegos quienes le dieron el status de ciencia a la geometría. Por
ejemplo, los egipcios conocían algunas ternas pitagóricas que usaron con nudos en cuerdas
para formar triángulos rectángulos y emplearlos en la construcción de las pirámides; y los
babilonios grabaron en sus tablillas valores aproximados para √2, como la diagonal de un
cuadrado de lado uno (Levy, 2016; Collette, 2000). Las creaciones artísticas sugieren figuras
geométricas caracterizadas posteriormente en ámbitos de las teorías geométricas (Ver anexo
2).
85
El Programa de sistematización geométrica de Euclides
El método axiomático-deductivo, propuesto al estilo de los ‘Elementos’ de Euclides,
fue por más de veinte siglos, el único referente en la presentación de conceptos matemáticos
en esquemas formales. A partir de las definiciones, las nociones comunes, los axiomas y
postulados, se estructura una presentación secuente y lógica de los conceptos claves como:
puntos, rectas, segmentos, planos, semiplanos, figuras geométricas en el plano y el espacio,
formulación de propiedades y relaciones estrictamente demostradas, con especial sutileza y
simbolismo impecable. En el tratamiento de la geometría clásica euclidiana son comunes los
enfoques métricos (basados en la estructura del campo de los números reales), en donde se
construye la función de distancia, la cual genera una métrica (esquema de Birkhoff). Este
enfoque analítico se caracteriza por el hecho de adoptar demostraciones por el absurdo como
factibles.
El enfoque sintético basado en las nociones de congruencia para segmentos y ángulos,
y postulados de separación, es un enfoque de tipo intuitivo o constructivo, propio de la
geometría euclidiana. Tales características fueron esenciales en la denominada geometría
euclidiana y constituía un aspecto primordial en la formación geométrica de las personas. Al
respecto se menciona;
“[…] Lakatos elaboró su aproximación al desarrollo del conocimiento
matemático en sus Pruebas y Refutaciones. En otros escritos sobre la naturaleza de
las matemáticas Lakatos (1987) propuso que las posiciones clásicas llamadas
Logicismo, Intuicionismo y Formalismo eran programas Euclídeos, centrados en
desarrollar las matemáticas como sistemas que aseguran la transmisión de la verdad
desde axiomas indudables, por medio de ciertos procedimientos deductivos, hasta
enunciados igualmente seguros” (Sierpinski y Lerman, 1996), p. 834).
Se considera que en los ‘Elementos’ de Euclides se evidencian raíces intuicionistas por
la formulación de algunas definiciones y las construcciones geométricas; se detectan así
mismo, raíces lógicas pues en las demostraciones subyacen las formas de razonamiento
86
lógico deductivo y se develan raíces formalistas, por la elegancia y precisión de sus
demostraciones. Por ejemplo, el Libro I trata principalmente de la demostración del Teorema
de Pitágoras y su recíproco, en cuyas demostraciones intervienen todos los elementos
presentados (definiciones, nociones comunes, axiomas, postulados y proposiciones). Es pues
un sistema axiomático completo y coherente.
Programa de álgebra y geometría de Dieudonné
Con el movimiento de la “Matemática Moderna” se direcciona el desarrollo de la
matemática elemental y de la educación matemática, basada en la teoría de conjuntos y la
concepción estructuralista. Al respecto Sierpinska y Lerman manifiestan:
“[…] Como un estructuralista, Dieudonné (1991) consideró la matemática como un
todo unificado, en el que el significado y la significación de cada parte es una función
del papel que juega en este todo. Desde esta perspectiva, el trabajo de síntesis, la
recopilación y organización de los resultados con el propósito de su comunicación es
muy importante. Dieudonné, uno de los fundadores del grupo Bourbaki, llegó a
afirmar que es en estos trabajos de exposición donde se encuentra la base de una
presentación de la evolución de la matemática, ya que la evolución en matemáticas
consiste en generalización, reformulación en un nuevo o diferente lenguaje,
reorganización, axiomatización” (Sierpinska y Lerman, 1996, p. 832).
Claramente, este programa de geometría adopta un enfoque estructuralista dentro de
esquemas formales axiomático-deductivos; es considerado como abstracción de los
conceptos geométricos, sin acudir a las representaciones gráficas de los conceptos
geométricos.
87
El Programa de geometría fractal de la naturaleza de Mandelbrot
La geometría fractal surge en el ámbito de la matemática como una poderosa
herramienta para modelar los fenómenos más impredecibles y fascinantes de la naturaleza.
En la década de los años sesenta, Benoit Mandelbrot rescató del olvido con su trabajo
algunos problemas planteados a finales del siglo XIX y principios del siglo XX como fueron:
el conjunto ternario de George Cantor, las líneas que “llenan” el espacio de Guiseppe Peano
y David Hilbert, la curva “no diferenciable en todos sus puntos” de Helge Von Koch,
solución de ecuaciones en Dinámica no Lineal de Poincaré y el concepto de dimensión de
Félix Hausdorff, entre otros (De Guzmán, 1993). Otros tipos de programas de geometría
secundarios para esta investigación se describen en el Anexo 14.
Desde la topología, los fractales han sido estudiados formalmente por muchos
matemáticos teóricos, entre ellos son considerados pioneros, Hutchinson y Barnsley. En
estos dos trabajos, los fractales fueron caracterizados como objetos dentro de los subespacios
compactos de un espacio métrico completo. Los conjuntos de puntos que forman un fractal
se distinguen de los conjuntos tradicionales, comparando la dimensión topológica usual y su
dimensión fractal. Es evidente que la geometría tiene raíces epistemológicas constructivistas
e intuicionistas, por su origen con Mandelbrot, pues los algoritmos de construcción de los
fractales clásicos son su principal característica; pero la posterior formalización de los
fractales, con los trabajos de Hutchinson y Barnsley, le imprime el carácter de teoría
matemática con fundamento epistemológico estructuralista.
La geometría en la época de la Ilustración
La posible influencia de las ideas liberadoras y renovadoras de la época de la
Ilustración en el desarrollo de las matemáticas del siglo XVIII, especialmente referidas a
diversos tipos de programas de geometría y su posterior desarrollo han influenciado la
evolución de las teorías matemáticas. Los aspectos claves que permiten la renovación de la
geometría y sus aplicaciones, aún en nuestros días, de problemas planteados en el siglo de la
ilustración marcan derroteros en los estudios de esta ciencia.
88
El desarrollo de la matemática a través de la historia ha estado influenciado por las
grandes ideas de la humanidad, que permean todas las ciencias en épocas diversas de la
historia. Sus fundamentos se consolidan ontológicamente con una concepción del mundo y
universo, filosóficamente sobre la naturaleza del conocimiento, epistemológicamente sobre
la naturaleza del conocimiento matemático, metodológicamente sobre la forma de crear
teorías y procedimientos matemáticos (Font y Godino, 2007). Las ideas de la época de la
Ilustración comunes en filósofos como Montesquieu, Rousseau, Voltaire, entre otros,
centrada en los puntos cardinales de la razón, la tolerancia y el progreso indefinido, tratando
de vencer el dogmatismo, fanatismo y despotismo característico en el pensamiento de la
época. Se podría destacar como hilos conductores la razón y el pensar por sí mismo, como
sus aspectos centrales, que sustentan la denominación de la época del raciocentrismo
(González, 2000). Son palpables las características de la crítica reformista, utopía social y
ética, fe optimista en la razón (racionalismo), la idea de “ilustrar”, el optimismo cultural, el
retorno al conocimiento y aprendizaje de la naturaleza (Rousseau), el cristianismo
humanizado y la formulación y defensa de los derechos humanos.
Ideas matemáticas e ilustración
Kant y las ideas de los fundamentos de las matemáticas
El desarrollo de la ciencia en la época de la Ilustración es vertiginoso, especialmente
en las matemáticas y las ciencias naturales. La matemática, hasta el momento era presentada
de manera formal, en esquemas axiomáticos deductivos, a partir de nociones y definiciones
generales y particulares de conceptos matemáticos y su validez sustentada en la coherencia
de sus postulados y en la rigurosa demostración secuencial de sus proposiciones y teoremas,
usando las reglas de inferencia de la lógica clásica. Los fundamentos epistemológicos
establecidos correspondían al platonismo, intuicionismo y lo que posteriormente se
conocería como logicismo y formalismo. Con Kant, nace la llamada filosofía occidental, la
cual es entendida como: “la aprehensión racional de la totalidad, del ser, de la realidad, de
89
lo absoluto… es la culminación de los esfuerzos de una historia al mostrar al individuo
singular como la condición de posibilidad de lo verdadero, donde no hay ya diferencia entre
el saber y la verdad” (Gómez, 2010, p. 7).
En su libro, Critica a la Razón Pura, hace dos preguntas claves: ¿cuál es el fundamento
de la matemática?, ¿Cuál es el fundamento de la física?, las cuales corresponden a la Crítica
Trascendental y la Analítica Trascendental (Gómez, 2010, p. 17). Kant usa las funciones
lógicas, como la deducción, para denominar el juicio analítico (La conclusión se deriva de
las premisas), el cual proporciona un conocimiento formal, que consiste en describir el
contenido de una idea o concepto; la otra función lógica de inducción, a la que llama juicio
sintético, la cual contiene más que las premisas y por ello agrega conocimiento.
Al reformular la primera pregunta, hacia la naturaleza de la actividad matemática como
actividad social y personal, se puede considerar como un conjunto de prácticas que
manipulan ostensivos, acompañada de pensamiento en el que se manipulan símbolos
mentales. Según Heidegger, es una determinada manera de pensar sobre los conceptos
(cosas). Surge pues la interrogación sobre la naturaleza del pensamiento matemático; este
puede ser considerado desde un enfoque clásico kantiano, como una determinada forma de
pensar sobre los conceptos (cosas) que pueden ó no, depender de ellos.
Acá se consideran los juicios sintéticos, aquellos que aportan información sobre las
cosas, en cambio los juicios analíticos, no dan información sobre las cosas, sino que su
verdad es una cuestión fácil de resolver. Al respecto, Kant sostiene que los juicios de las
matemáticas y de la física deben ser juicios sintéticos y además el saber tiene que ir más allá
de la percepción sensible, ya que el saber es universal y no depende de lo que en este
momento vemos o tocamos.
Es decir, hay en el saber, elementos más allá de la experiencia; esto es, las
proposiciones matemáticas son juicios sintéticos que no dependen de la experiencia,
considerados por Kant como juicios sintéticos a priori; la razón humana, desde este punto
90
de vista, tiene la capacidad de descubrir propiedades generales de los objetos físicos
independientemente de la experiencia.
Respecto al tiempo y al espacio, los objetos matemáticos no son cosas reales, ni
conceptos. Kant los denomina formas puras de la intuición, son indivisibles, indefinibles, no
tienen partes ni forma, son formas de sensibilidad externa. Además toda percepción está
sujeta a las leyes matemáticas (Gómez, 2010).
En el tratamiento de la geometría clásica euclidiana son comunes los enfoques
métricos (basados en la estructura del campo de los números reales) en donde se construyen
las funciones de distancia, la cual genera una métrica (esquema de Birkhoff). Este enfoque
analítico se caracteriza por el hecho de adoptar demostraciones por el absurdo como
factibles. El enfoque sintético basado en las nociones de congruencia para segmentos y
ángulos y postulados de separación es un enfoque de tipo intuitivo o constructivo, propio de
la geometría euclidiana.
La geometría y su desarrollo en la época de la Ilustración
Tradicionalmente la evolución de la geometría, desde su auge con la civilización
helénica, estuvo estancada por muchos siglos, fundamentada en la geometría plana absoluta,
adoptando enfoques epistemológicos intuicionistas ó formalistas. La metodología para su
enseñanza de tipo algorítmico, en la cual la transmisión de conocimientos era su principal
característica, empleando para su presentación el método axiomático-deductivo para
estructurar los conceptos claves como puntos, rectas, segmentos, planos, semiplanos, figuras
geométricas en el plano y el espacio, trazado y construcción mecánica de líneas y formas,
conllevando a la memorización de propiedades y formulación de relaciones estrictamente
demostradas con especial sutileza y simbolismo impecable, al estilo de Elementos de
Euclides. Tales características fueron esenciales en la denominada geometría euclidiana y
constituía un aspecto primordial en la formación geométrica de las personas.
91
Los trabajos de Descartes con su denominada geometría cartesiana, formulada como
una opción para relacionar el álgebra y la geometría, con interés exclusivo en formas de
representación de curvas, y su posterior utilización en el nacimiento del cálculo infinitesimal,
para describir las propiedades de las curvas suaves o diferenciables, logrado por caminos
distintos por Newton y Leibniz.
En adelante, se enfatiza un marcado interés por la evolución de los conceptos
geométricos, y se describe brevemente los orígenes de diversos tipos de geometría, que
históricamente han marcado un hito en el desarrollo de esta área, ideas que por sus
aplicaciones ocuparon un lugar privilegiado en la educación geométrica de las personas. La
motivación radica en adoptar un enfoque socio-epistemológico en esta tesis, que considera
la historia de las matemáticas como aspecto fundamental en su aprendizaje, especialmente
en los programas de formación de educadores matemáticos en Colombia.
El palpable desarrollo de la ciencia en el siglo de las luces, de manera particular de la
geometría, con los aportes de excelentes matemáticos ingleses, alemanes y franceses, fue de
alguna manera influenciado por las ideas de la ilustración. Vale la pena plantear algunas
preguntas: ¿la libertad de pensamiento, el énfasis y confianza en la razón, influenciaron en
la eclosión de los métodos y las formas de crear conceptos matemáticos y geométricos?, ¿el
ansia de libertad, democracia y equidad llegó incluso al ámbito ideal de las matemáticas y
de la geometría?, ¿Cuál es la razón que fundamenta el renacimiento de nuevos campos de la
geometría, paralelo a las ideas de la Ilustración? ¿Por qué el siglo de las luces nos prodigó
de grandes matemáticos que aportaron las ideas claves para el descubrimiento de nuevos
tipos de programas de geometría? En el Anexo 14 se mencionan algunos matemáticos
sobresalientes de la revolución francesa y sus principales aportes.
92
En el siglo de la ilustración se sentaron las bases del resurgimiento y la renovación de
la geometría. La explosión de los diversos tipos de programas de geometría que surgieron
en el siglo XIX, pienso que fueron el producto de la liberación de los métodos de razonar
sobre el espacio y sus representaciones, los tipos de pensamiento liberador y la confianza en
el racionalismo.
Los Trabajos de Poncelet, Steiner y Chasles aseguraron la verdadera creación y
formalización de la geometría proyectiva, cuyas raíces intuitivas están en las obras artísticas
del renacimiento, especialmente del norte de Italia. El surgimiento de las geometrías no
euclideas revoluciona el mundo de las ciencias y sus posteriores aplicaciones. La geometría
hiperbólica descubierta de manera independiente por Gauss, Lobachevski y Bolyai.
Posteriormente la geometría elíptica introducida por Riemman, son ejemplos de segunda
geometría no euclidiana.
Es importante recordar algunas de las ideas matemáticas más importantes del Siglo de
las Luces; el número irracional de Euler (e) considerado el número más importante en
matemáticas, la curva de distribución normal (campana de Gauss) debida a De Moivre,
Gauss y Laplace, La teoría de Grafos, surgida de la situación problemática de los puentes de
Koninsberg, planteada por Euler en 1736 y que tiene aplicaciones actuales en conectividad;
la sencillez de la formulación de la conjetura “fuerte” de Goldbach de 1742 que expresa:
“Todo número par mayor que dos, puede expresarse como suma de dos números
primos”, que aún no ha podido ser demostrada (se ha verificado su validez en un
número discreto de casos, usando computador y su representación se conoce como la
cometa de Golbach); el primer manual de cálculo diferencial de María Gaetana
Agnesi, considerada la primera matemática importante después de la trágica muerte
de Hypatía; la fórmula de Euler para los poliedros considerada la segunda ecuación
más bella de la historia (Caras + Vértices – Aristas = 2), y la fórmula más bella de la
historia (𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0); El teorema de Bayes respecto a la probabilidad condicionada;
la aproximación polinomio por mínimos cuadrados de Gauss como método de
93
elucidar tendencias en los datos; el teorema fundamental del álgebra por Gauss
(1797) formulado de manera sencilla, así: “todo polinomio de grado n mayor o igual
a uno con raíces reales o complejas, tiene n raíces reales o complejas” (Pickover,
2011, p. 178, 182 y 188).
Las disquisiciones aritméticas de Gauss (1801) que contiene la aritmética modular para
enteros; Las series de Fourier con actuales aplicaciones en el ámbito de la ingeniería
(Pickover, 2011); todas estas grandes ideas prevalecen en el tiempo, su elegancia y sencillez
contrasta con la complejidad de sus soluciones; la matemática se desarrolló gracias a las
formas cambiantes del pensamiento humano y se benefició de lo que Kant denominó la
“mayoría de edad de la humanidad” (González, 2000), para consolidar la ciencia como polo
de desarrollo del Siglo de las Luces.
Se considera que al abordar la investigación sobre la formación geométrica inicial y
continua es primordial que se contextualicen y se haga una aproximación epistemológica de
los diversos tipos de programas de geometría, evidenciando los fundamentos que en ellos
subyace. Si bien, esta tarea no es nada sencilla, es un primer paso para luego estudiar las
implicaciones pedagógicas y didácticas de la evolución de los conceptos y estructuras
geométricas, en el salón de clase.
La formación geométrica debe partir del reconocimiento de estos diversos tipos de
programas de geometría, para lo cual conviene que el profesor brinde ambientes de
aprendizaje apropiados, para desarrollar el pensamiento espacial y trabajar con los sistemas
geométricos. De acuerdo con los actuales enfoques en educación matemática, como el crítico
y el antropológico, el estudio basado en situaciones problemáticas del medio, constituye un
campo fértil para propiciar aprendizajes significativos, profundos y creativos.
La incorporación y trabajo con los sistemas semióticos de representación, bien sea en
sistemas ostensibles o no ostensibles (como los virtuales) enriquecen la experiencia de los
94
estudiantes para construir significados y privilegiar la comprensión en matemáticas, tan
olvidada a la hora de diseñar estrategias de enseñanza y de aprendizaje.
Como una forma de contextualizar el componente geométrico de la investigación se
transcribe una clasificación estandarizada de los diversos tipos de programas de geometría
propuesta en el Atlas de Matemáticas, la cual especifica las relaciones de inclusión que hay
entre ellos. En los anexos 15 y 16 se muestra el área correspondiente a geometría (51) y los
tipos de geometría contemplados con el propósito de identificar el desarrollo de la geometría
dentro de las matemáticas y la ubicación teórica de la disciplina.
95
La representación en educación matemática
Uno de los problemas de investigación en educación matemática que mayor desarrollo
ha tenido en las últimas tres décadas es el papel de la representación, pues se han tratado de
responder preguntas respecto a su naturaleza, sus tipos y el significado que tiene respecto a
la construcción de los conceptos matemáticos. Es común en el aprendizaje de las
matemáticas, hablar de representaciones externas o internas a nuestra mente, representación
mental, imágenes, modelos y esquemas y su papel de intermediarias en la elaboración de los
conceptos, o en sentido inverso, como evidencia de la existencia de un concepto o idea, en
la representación se evidencian conceptos matemáticos.
Al respecto D’Amore expresa:
“[…] La imagen suscitada por el hacerse cargo cognitivo de un concepto matemático
da una información que toma en cuenta la cultura individual, la experiencia personal
y las capacidades generales del individuo (pero también su capacidad específica de
construirse imágenes: y esto podría ser objeto de atención del maestro); siendo al
menos en primera instancia involuntaria, la imagen mental se forma por simple
asociación verbal o icónico, o por otra cosa. A sucesivos estímulos, puede suceder que
se tenga discrepancia entre la imagen formada espontáneamente y la solicitación
misma; en estos casos se puede tener conflicto cognitivo” (D'Amore, 2006, p. 165-
166).
Desde el enfoque ontosemiótico, Font, Godino y D’Amore, conceptúan sobre la
dificultad de la investigación en el tema de las representaciones:
“[…] En nuestra opinión, la complejidad del tema, la ambigüedad de las
representaciones y su importancia están en los objetos matemáticos que se trata de
representar, su diversidad y naturaleza. Hablar de representación (significado y
comprensión) implica necesariamente hablar del conocimiento matemático, y por
96
tanto, de la actividad matemática, sus ̀ producciones´ culturales y cognitivas, así como
de las relaciones con el mundo que nos rodea” (Font y Godino, 2007, p. 12).
Para este trabajo se adoptan las nociones de representaciones semióticas, definidas por
Duval, representaciones mentales, en el sentido de imagen mental definida por D’Amore y
algunas concepciones de Font V. (2003), sobre el papel de la representación en educación
matemática. Se mencionan a continuación supuestos teóricos respecto a ésta temática que
contextualizan el trabajo.
La opción epistemológica “representacionalista”, que según Font, (2004, p. 12):
“[…] presupone que las personas tienen una mente en la que se producen procesos
mentales y que los objetos externos a las personas generan representaciones
mentales internas”. Se distinguen las representaciones internas y externas. Font
agrega:
“[…] De acuerdo con este punto de vista, las personas tendríamos un conjunto
(probablemente infinito) de representaciones mentales que se pueden agrupar en
tres tipos: 1) Las que la persona considera externas (las representaciones internas
que son el resultado de la codificación de estímulos externos), 2) Las propiamente
internas y 3) Las representaciones internas que sirven para realizar
representaciones consideradas externas (representaciones internas que se pueden
descodificar produciendo respuestas en el medio exterior)” ( p. 12).
Los dibujos generados en aplicaciones de geometría dinámica, son considerados
como representaciones externas (no ostensivas, en el sentido del enfoque
ontosemiótico).
97
Capítulo 4. El aprendizaje de las geometrías alrededor de la teoría fractal de la
naturaleza
A continuación se describen algunos conceptos y estructuras geométricas y algebraicas
que subyacen en los procesos de representación de objetos 3D en el ordenador. El propósito
al evidenciar éstas áreas y temáticas, radica en el hecho de considerar el paso intermedio en
el aprendizaje y construcción de nociones geométricas, mediado por las herramientas
informáticas y también invitar a los docentes a experimentar y profundizar en dichos tópicos
para estimular el diseño de estrategias para trabajar ambientes de geometría dinámica, que
permitan al estudiante tener experiencia suficiente en los sistemas semióticos de
representación.
Conceptos y Estructuras
La modelación de objetos en computador es una de las temáticas de Computación
Gráfica de mayor desarrollo en las últimas tres décadas. Los enfoques y métodos
descubiertos están basados en conceptos de distintos tipos de geometría. En ellos subyacen
conceptos elementales de geometría euclidiana, geometría vectorial, geometría afín,
geometría proyectiva, geometría diferencial, geometrías no euclidianas, geometría
computacional y geometría fractal. En la figura 10, se establecen las relaciones teóricas de
la matemática que soportan la teoría de fractales autosemejantes.
Figura 10. Áreas de la matemática que soportan la teoría de fractales autosemejantes Fuente: El autor
98
A continuación se describen algunas estructuras algebraicas de conceptos geométricos
que son importantes para la manipulación de transformaciones en la recta, el plano y espacio
tridimensional (Alsina y Trillas, 1984; Ayala, 1998; Barnsley, 1988; Barnsley y otros, 2002;
Hutchinson, 1981; Lauwerier, 1987; Mandelbrot, 1984; Massopust, 1994; Peitgen y Richter,
1986; Sabogal, 1988 y 1999; Sabogal y Arenas, 2008; Briggs y Peat; 1994). La modelación
o modelización geométrica se entiende como “el proceso científico abstracto, por el cual en
el ámbito de una determinada geometría se elabora una teoría que conceptualmente puede
reflejar las características esenciales de un objeto o fenómeno” (Alsina, 2002). Por ejemplo
el espacio vectorial real (𝑅3, +,∗), y su representación en un sistema de coordenadas
"modeliza" el espacio físico tridimensional. En dicho proceso el modelo final solo representa
sucintamente parte del objeto sometido a modelación. El proceso de modelación se puede
refinar de acuerdo al grado de fidelidad con que se desee representar el objeto.
En el caso del espacio tridimensional, en un modelo pueden ser describibles las
magnitudes como altura anchura o profundidad. Si se desea enriquecer el modelo escenario
natural para representar objetos del plano o espacio tridimensional es el espacio vectorial
real, dotado con la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector, denotado
(𝑅𝑛, +,∗). La representación de variedades lineales, como puntos (vectores), rectas, planos
e hiperplanos, usualmente se hace con las representaciones paramétricas.
Al manipular transformaciones básicas de los modelos es necesario considerar las
transformaciones entre espacios vectoriales. Son de especial interés las transformaciones
lineales. De manera general, el espacio vectorial de transformaciones de E en F, con E y F
espacios vectoriales, con la suma de transformaciones y el producto de un escalar por una
transformación. Acá se particulariza a espacios vectoriales n-dimensionales sobre el campo
de los reales. Dicho espacio vectorial se denota por (𝐿(𝐸, ), +,∗); si 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚(𝐸) y 𝑚 =
𝑑𝑖𝑚(𝐹), el espacio vectorial (𝐿(𝐸, 𝐹), +,∗) es isomorfo al espacio vectorial de matrices con
elementos en los reales, de dimensión 𝑚 ∗ 𝑛, con la suma de matrices y el producto de un
escalar por una matriz, denotado (𝑀𝑛∗𝑚, +,∗) .
99
De manera específica, la colección de automorfismos en un espacio vectorial (𝐸, +,∗)
con la composición usual de transformaciones, tiene estructura de grupo, llamado el grupo
lineal de E, denotado (𝐺𝐿(𝐸), 𝑜). Este grupo es isomorfo al grupo de matrices cuadradas con
el producto usual, denotado (𝑀𝑛∗𝑚,∗). La colección de transformaciones afines regulares
con la composición usual de transformaciones, tiene estructura de grupo. Se denomina
comúnmente grupo afín y se denota (𝐺𝐴(𝐸), 𝑜).
Los espacios euclídeos, obtenidos al dotar a un espacio vectorial de un producto
interior, se constituye en el contexto para tratar con las propiedades métricas de modelos
representados. Es frecuente encontrar algoritmos en donde la información necesaria va desde
el cálculo de normales, distancias, ángulos y sus medidas, hasta el cálculo de áreas y
volúmenes. Y con la definición de producto vectorial se trabajan de manera continua los
problemas métricos entre variedades lineales, como distancias y ángulos entre ellas,
relaciones de ortogonalidad y paralelismo.
Además, es común el problema de encontrar los lugares geométricos de intersecciones
entre variedades lineales, o entre una variedad lineal con una figura plana ó un sólido. Por
ejemplo, se deben construir algoritmos para encontrar de manera rápida y eficiente, la
intersección (si existe) entre un rayo y un triángulo en el espacio tridimensional. Se
consideran algunas transformaciones básicas como las traslaciones, las simetrías, las
homotecias o cambios de escala y las rotaciones.
En la geometría vectorial y álgebra lineal se contemplan las estructuras, grupo abeliano
formado por la colección de traslaciones en un espacio vectorial (𝐸, +,∗) sobre un campo de
escalares, denotado (𝑇(𝐸), 𝑜), dotado de la composición usual de funciones, es isomorfo al
grupo abeliano aditivo de vectores, también el grupo abeliano de homotecias es isomorfo al
grupo abeliano multiplicativo de escalares no nulos. Adicionalmente los grupos de simetrías
y el grupo de rotaciones completan las estructuras básicas, para manipulación de los modelos
2D y 3D.
100
En los últimos años se ha generado un arduo trabajo para dar sustento formal a la
teoría fractal, lo que afortunadamente ha tenido éxito. Para abordar el estudio de los fractales
existen varios caminos, el emprender la construcción de los conceptos desde la geometría de
las transformaciones sustentada en los espacios vectoriales, objeto de estudio del álgebra
lineal, hasta llegar a los espacios euclídeos y el espacio afín.
Una formalización bien conocida propuesta por en Hutchinnson J. (1981) en su trabajo
sobre fractales y autosimilaridad, proporciona un sustento matemático a los fractales
autosemejantes generados por sistemas iterados de funciones, por sus siglas en inglés
(IFS’s). Formalmente, consta de una colección finita de afinidades contractivas sobre un
espacio métrico completo, junto con su atractor A, simbolizado en Barnley (2005) por:
ATTTdXWn
,,...,,),,( 21 .
Asumiendo un interés didáctico, se amplía la notación de los IFS’s, especificando la
colección infinita de niveles del fractal, que llamamos nivel cero ( 0N ), nivel uno ( 1N ) y así
sucesivamente, los cuales son generados recursivamente. Al subconjunto compacto inicial
0C se le llama “semilla”. El nivel k-ésimo, se denotada k
N . Se considera la transformación
T definida sobre la colección de subconjuntos compactos de X, denotada )(XH , así:
)()(1
1 k
n
iikk
NTNTN
.
La transformación T es contractiva (el factor de contracción es el máximo de la
colección de factores de contracción de la colección finita FiTi , ) sobre el espacio
métrico de Hausdorff, )),(( hXH . A la transformación T se la llama mecanismo de
reproducción. Así queda determinada una sucesión de Cauchy de subconjuntos compactos
(la compacidad se garantiza por ser T contractiva sobre un espacio métrico), denotada 0iiN
en el espacio métrico )),(( hXH . El atractor es la intersección de la colección infinita de
niveles del IFS. Esto es,
0i
iNA .
101
La convergencia se asegura por ser )),(( hXH un espacio métrico completo. El atractor
es considerado como el único límite de la sucesión de Cauchy de los subconjuntos compactos
que llamamos “niveles”. Además el atractor A es el único punto fijo del operador T, es decir
.)( AAT De esta manera cuando se habla de un sistema iterado de funciones (IFS), quedan
fijados, un espacio métrico completo, el espacio métrico completo de sus subconjuntos
compactos, en donde es considerada la métrica de Hausdorff, la colección finita de
transformaciones afines contractivas sobre X, el subconjunto compacto inicial (semilla), la
transformación afín contractiva T sobre )(XH , la sucesión de Cauchy de niveles y el único
atractor A. Esto se denota de manera ampliada:
ANNNTCTTThXHdXW kn ,,...,...,,,,,,...,,),),((),,( 21021
El fractal asociado con el IFS denotado como W, se representa con el atractor.
Posteriormente fueron propuestos los sistemas iterados de funciones probabilísticas
(PIFS’s), en donde a cada transformación afín, se le asocia una distribución discreta de
probabilidad. Esto es,
ApppTTTdXWnnP
,,...,,,,...,,),,( 2121
En donde, para cada i, 10 i
p y 11
n
ii
p
Las afinidades contractivas permiten estructurar y clasificar los diversos tipos de
sistemas iterados de funciones, que subyacen como modelos matemáticos de los fractales
autosemejantes. Las clases de sistemas iterados de funciones (IFS), entre ellos los IFS con
probabilidades y los IFS recurrentes, se afianzan como temáticas fundamentales para
modelar los fractales escalantes.
Una clasificación de sistemas iterados de funciones (Wadströmer, 2001) ha sido
construida en el ámbito teórico, la cual comprende: los sistemas iterados de funciones
clásicos (IFS’s), los sistemas iterados de funciones con probabilidades (PIFS’s), los sistemas
iterados de funciones recurrentes (RIFS’s), los sistemas iterados de funciones locales
(LIFS’s), los sistemas iterados de funciones de un solo espacio (ssLIFS’s), fractales v-
variables y los superfractales (Barnsley, 2002 y 2005, 1998; Barnsley y Hutchinson, 2003).
102
Dicha taxonomía pretende entre otras cosas, mejorar los modelos matemáticos para
representar de manera realista los objetos de la naturaleza.
Figura 11. Clasificación de los sistemas iterados de funciones (IFS’s) Fuente: El autor
Una propuesta para el aprendizaje de la geometría fractal
Inicialmente se presenta una figura que esquematiza de manera somera los caminos
determinados para introducir los fractales autosemejantes en la investigación a partir de las
estructuras algebraicas (Alsina, 1984).
103
Figura 12. Un camino para abordar el aprendizaje de los fractales autosemejantes Fuente: El autor
Se presenta a continuación el desarrollo de una visión didáctica de la Geometría a
través de una estructura de trabajo fundamentada en principios de corte cognitivista. En la
primera parte se hace un breve esbozo sobre la importancia del aprendizaje de la geometría
fractal de la naturaleza y se resalta su campo de aplicación. Se introduce una estrategia
didáctica para la enseñanza y el aprendizaje a nivel superior (primeros semestres de
104
universidad) de la Geometría fractal de la naturaleza, a partir de los sistemas iterados de
funciones (IFS’s) y de algunos aspectos teóricos de la didáctica de la Geometría. Luego se
hace una breve descripción de las actividades experimentadas y los resultados obtenidos en
cada una de las etapas de la propuesta didáctica. Se pretende estimular el trabajo de los
estudiantes con los sistemas geométricos y el desarrollo del pensamiento espacial en este
tipo de geometría. Dichas actividades han sido trabajadas por los estudiantes de la asignatura
de Electiva de Profundización I del programa de Licenciatura en Matemáticas de la
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC).
Los enfoques futuristas en educación matemática han propiciado la inclusión en la
formación matemática de nuestros estudiantes; este nuevo tipo de geometría, integrándola
con la amplia variedad de tipos de geometría, como las geometrías no euclidianas, y sus
diversos modelos hiperbólico y esférico, la geometría proyectiva, la geometría plana
absoluta y sintética, en un ámbito más general, la geometría diferencial, la geometría de
coordenadas y la teoría de grafos. Tal es la dinámica en el desarrollo de la matemática, que
algunos han llegado a afirmar “…la Matemática que se aprenderá y enseñará dentro de veinte
años, aún no se ha descubierto…”. Cuando se habla de la ciencia a prevalecer en el siglo
XXI (Vasco, 2011a); la geometría fractal y su relación con la teoría del caos, ocupan un lugar
preponderante en las propuestas curriculares visionarias.
La propuesta trata sobre el aprendizaje de las nociones básicas de la teoría fractal de
la naturaleza, adopta los enfoques antropológicos de la matemática especialmente el
conocimiento de entornos naturales de aprendizaje. Se pretendió sistematizar algunas
experiencias, al incorporar la teoría fractal de la naturaleza al currículo de la educación
superior y a las asignaturas de geometría y análisis numérico en la carrera de licenciatura en
matemáticas e ingenierías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
(UPTC), en los aspectos prácticos, tecnológicos y formales introductorios, específicamente
en los elementos teóricos, conceptos, modelos y estructuras matemáticas necesarias para
formalizar la teoría de los fractales, como herramienta para describir y descubrir los secretos
de objetos de la naturaleza (Wegner, 1995, Suárez, 1996, 2002a, 2011b, 2013ª, 2013b).
105
La formación geométrica recibida tradicionalmente, abarca el mundo del orden, de
las formas bien formadas, correspondientes a la geometría euclídea y hacen parte del objeto
de estudio de la geometría diferencial (Vasco, 1992). Es difícil encontrar estas formas tan
regulares en nuestro medio, pues parece ser que los fenómenos de la naturaleza obedecen
con mayor énfasis a leyes caóticas, indeterminadas y propias del azar, más explicables desde
la teoría del caos, y las formas se asemejan a lo irregular, a cualquier escala de observación,
y a lo infinitamente fragmentado, propio de la relativamente nueva geometría fractal de la
naturaleza. El matemático francés Benoit Mandelbrot, precursor de la teoría fractal,
conceptúa al respecto:
“[…] Objetos naturales muy diversos, muchos de los cuales no son familiares, tales
como la tierra, el cielo y el océano, se estudian con la ayuda de una amplia familia de
objetos geométricos que hasta ahora habían sido considerados esotéricos e
inutilizables, pero que, por la simplicidad, la diversidad y la extensión extraordinarias
de sus nuevas aplicaciones, merecen ser integrados hasta en la geometría elemental. Si
bien su estudio corresponde a diferentes ciencias, la geomorfología, la astronomía y la
teoría de la turbulencia, entre otras, los objetos naturales en cuestión tienen en común
el hecho de poseer una forma sumamente irregular o interrumpida a fin de estudiarlos,
he concebido, puesto a punto y utilizado extensamente una nueva geometría de la
naturaleza” (Mandelbrot, 1983, p. |10).
Frente a tan precursora invitación es difícil resistirse, solamente se debe escoger el
camino más apropiado para emprender el estudio de tan novedosa geometría. Al iniciar el
estudio en el mundo fascinante de la geometría fractal, y debido a los aspectos de su
desarrollo histórico, se tienen opciones alternas, según el tipo de formación y el propósito
que se establezca al abordarlo. Si el interés es de carácter formal, se puede llegar a los
conceptos fractales con el estudio en topología de los espacios métricos (Barnsley, 1980; De
Guzmán, 1993); en teoría de la medida abordando el problema de la dimensión; en dinámica
no lineal, las órbitas de los sistemas dinámicos, en análisis numérico los métodos de solución
de ecuaciones no lineales ( y sistemas de ellas), en variable real y compleja; en álgebra lineal
106
el estudio formal de las transformaciones afines, que sirven de soporte para la geometría de
las transformaciones, complementado con las nociones de programación de computadoras,
haciendo especial énfasis en procesos iterativos y recursividad).
Siguiendo a Font (2002), la propuesta se enmarca dentro de las tendencias de
investigación en educación matemática, con referentes teóricos para la naturaleza
epistemológica de las matemáticas, las concepciones de aprendizaje y enseñanza, desde las
propuestas combinadas del cognitivismo, especialmente la corriente de aprendizaje
significativo propuesta por Ausubel y Novak y el constructivismo social del conocimiento
(Novak y Gowin, 1988; Porlán, 1995; Zamora, 1996).
Respecto al concepto de fractal, siempre se tendrá presente no confundir el concepto
matemático con su representación, de acuerdo a la indicación de Duval; si bien, al estudiar
las representaciones no se pueden aislar de su significado.
Intencionalmente, se distinguen los objetos de la naturaleza (que abusando del lenguaje
se llaman objetos fractales), sus representaciones, tanto internas como externas, los modelos
externos e internos y las estructuras. Una cosa es el concepto de fractal y su representación,
y otra, es que los procesos iterativos sirvan para construir representaciones y modelos de la
naturaleza.
Los dibujos generados en aplicaciones de geometría dinámica son considerados como
representaciones externas (no ostensivas, en el sentido del enfoque ontosemiótico). Desde el
punto de vista matemático formal, no pueden existir representaciones externas totalmente
fieles al concepto de fractal. Es por ello que muchos autores han dicho, los fractales solo se
pueden ver con “los ojos de la mente”. Las representaciones de pizarras electrónicas, también
llamadas dibujos-dinámicos, se representan en espacios discretos. Cuando la resolución de
la pantalla es buena, nuestra mente percibe procesos continuos, así realmente no lo sean,
problema que ha sido estudiado con el auge de las aplicaciones de matemática simbólica y
gráfica. En la literatura de fractales ya se han hecho distinciones entre sistemas iterados de
107
funciones (IFS’s) discretos y continuos, y se han estudiado sus implicaciones. Las
representaciones gráficas son extensamente trabajadas, pero no se considera que puedan
constituirse en obstáculo para la posterior formalización matemática de la teoría fractal.
En la propuesta para el aprendizaje de la geometría fractal se contemplan las siguientes
cuatro etapas, (correspondientes a un esquema clásico) para el aprendizaje de la geometría
fractal centradas en enfoques experienciales para el aprendizaje de la matemática.
Exploración
Se inicia como actividad de identificación y clasificación de objetos y fenómenos con
características fractales subyacentes. En cualquier actividad de aprendizaje de la geometría,
las prácticas para conocer las regiones naturales de nuestro entorno, casi nunca se realizan,
o son escasas. Al analizar los fenómenos y objetos del ecosistema son diversos las opciones
para clasificar los objetos fractales susceptibles de ser posteriormente modelizados.
Representación-modelación
Como espacio para conocer y dibujar los fractales más famosos, detectar sus
características y propiedades, y también para que los estudiantes creen sus propios fractales
en computador. Los fractales no solo se pueden representar de manera aproximada usando
el ordenador. El rescate del dibujo en lápiz y papel como expresión artística es importante
para representar algunos fractales, por ejemplo las curvas que llenan el espacio, fractal de
Sierpinski, curva de Koch, entre otros.
108
Construcción Formal
A partir de conceptos claves en geometrías, euclidianos, métricos, de las
transformaciones, no euclidianas, analítica, descriptiva y proyectiva se aborda la
formalización de los conceptos claves (autosemejanza, iteración, dimensión y atractor) que
subyacen en los fractales autosemejantes del tipo IFS. También se puede abordar el estudio
topológico de los fractales, desde los espacios métricos completos y la colección de
subconjuntos compactos de dicho espacio, dotado de la métrica de Haussdorf definida para
hallar distancias entre conjuntos; dicho espacio también es métrico completo. La teoría de la
medida sirve de contexto para trabajar el concepto de dimensión fractal y abordar algunos
problemas métricos.
Determinación de aplicaciones
Los conceptos y teorías fractales se aplican en la solución de diversos problemas de la
vida cotidiana. Se abordan primordialmente las aplicaciones de la geometría fractal de la
naturaleza en áreas como la visualización y modelización de ecosistemas de plantas, la
modelación de terrenos, la representación tridimensional (3D) de objetos, la relación entre
arte y geometría y los fractales como modelo aproximado de algunas partes del cuerpo
humano. La gran cantidad de aplicaciones que tienen los fractales hace imposible crear un
recorrido por la mayoría de ellas. El propósito de esta etapa es profundizar en algunas pocas
aplicaciones y detectar el papel de los fractales, en la solución de problemas, tanto dentro de
la matemática, como en problemas generados fuera de su ámbito.
109
Capítulo 5. Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
La incorporación de las tecnologías de la información TIC a la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas ha revolucionado positivamente la dinámica del aula, como
sistema de distribución de información o como espacio de formación de los estudiantes y
profesores (Cabero y Gisbert, 2008). Los enfoques tradicionales para aprender matemáticas
dejan poco a poco el camino libre para brindar nuevos ambientes en el aula diseñados por
profesores creativos en donde el estudiante desarrolle el pensamiento matemático, se divierta
y aprenda por sí mismo muchos de los conceptos matemáticos que antaño se consideraban
difíciles e inalcanzables para ellos.
Se presenta una sucinta panorámica sobre los aportes teóricos de investigadores sobre
el problema de la representación, el pensamiento visual y su relación con la comprensión en
matemáticas. Contextualizados en perspectivas cognitivas y semióticas se describen algunas
investigaciones a nivel regional sobre los tipos de sistemas de representación involucrados
en experiencias de aula en el ámbito local, mediadas por los ambientes virtuales para el
aprendizaje de las geometrías, el desarrollo del pensamiento espacial y la exploración de sus
sistemas y estructuras. Los aportes significativos describen la dinámica en el uso de dichas
mediaciones y el fortalecimiento del nexo entre construcciones intuitivas y constructivas,
tratando de mantener un equilibrio adecuado en el trabajo con representaciones, elaboración
de modelos y simulaciones en los procesos de construcción de conceptos geométricos.
Sistemas de representación semiótica
El papel de la representación en la construcción de conceptos matemáticos es
considerado un problema fundamental en educación matemática, en pleno auge dentro de
las diversas tendencias que orientan los programas de investigación actual (D’Amore, 2006;
Font V, 2006; Foucaut, 2008). La exploración en los sistemas semióticos de representación
es clave para brindar ambientes creativos de aprendizaje y propiciar la elaboración de
imágenes mentales esenciales en la construcción conceptual; además el pensamiento visual
es el soporte con miras a potenciar el pensamiento matemático (Duval, 1999).
110
Se aborda una panorámica sobre el problema de la representación y los aportes
teóricos de expertos investigadores respecto a las alternativas de solución en ambientes
virtuales. Se involucran los tipos de sistemas de representación, a la luz de perspectivas
cognitivas y semióticas. Además, se hace una reflexión sobre las investigaciones en el
ámbito local, que abordan situaciones de aula para implementar la geometría dinámica en el
aprendizaje de las geometrías con mediación tecnológica, enfatizando sus resultados,
alcances, aportes y perspectivas de trabajo. Asimismo se analizan algunos aspectos teóricos
que aportan directrices para investigar sobre el problema de comprensión en matemáticas de
la educación básica, cuando se enfatiza el pensamiento visual y las capacidades humanas
para elaborar imágenes mentales (Duval, 1999; Sternberg, 1986; D’Amore, 2006; Font,
2006) para desarrollar el pensamiento espacial y los sistemas geométricos (Vasco, 1992) y
la solución de problemas matemáticos con el uso de recursos informáticos (Castiblanco et
al., 2004). Los aportes significativos son la desmitificación del uso de estas mediaciones y
el fortalecimiento del nexo entre construcciones intuitivas y teóricas formales, tratando de
mantener un equilibrio adecuado en el trabajo con representaciones, construcción de
modelos y simulaciones y los procesos de creación de teorías matemáticas.
Algunos referentes teóricos adoptados en la investigación se enmarcan dentro de las
tendencias de investigación en educación matemática, con enfoques teóricos constructivistas
para la naturaleza epistemológica de las matemáticas y socio epistemológicos para la
naturaleza de la educación matemática (Jiménez, 2010); en cuanto a las concepciones de
aprendizaje y enseñanza se opta por tendencias cognitivistas, especialmente la corriente de
aprendizaje significativo de Ausubel y Novak y constructivismo social del conocimiento
(Font, 2002).
En cuanto a las representaciones en educación matemática se consideran las propuestas
sobre la imagen en sistemas semióticos de representación, modelos, esquemas y su papel de
intermediarias en la elaboración de los conceptos, o en sentido inverso, como evidencia de
la existencia de un concepto o idea; también en la representación se evidencian conceptos
matemáticos (D’Amore, 2006).
111
Experiencias en materiales virtuales
En cuanto al desarrollo de los programas informáticos para aprender geometría se
destacan en Internet gran cantidad de objetos virtuales elaborados en lenguajes de
programación que usan librerías gráficas para la representación bidimensional de la tercera
dimensión. Se destacan sencillas aplicaciones informáticas elaboradas en JClic y
Hotpotatoes.
La amplia divulgación que han tenido aplicaciones de geometría dinámica como Cabri
Geometry II, Cabri3D, Sketchpad, Regla y Compás, Calques, NonEuclid, Fzplot, entre otros;
además de los programas de matemática simbólica como Matlab, Mathematica, Maple y
Derive, y las calculadoras y programas para tabletas electrónicas, especialmente para dibujar
y modelar polígonos y poliedros, hace pensar que aprender matemáticas, en educación
básica, media, y universidad, sin el uso de estos recursos informáticos, sería privarse de vivir
experiencias fascinantes y novedosas en el campo de las representaciones de conceptos
matemáticos (Suárez y Ramírez, 2013).
Los ambientes virtuales elaborados como secuencias didácticas estuvieron
inicialmente dirigidos a la cualificación de docentes en ejercicio dentro del Proyecto para la
Transformación de la Calidad Educativa (PTCE), que se desarrolló en convenio entre el
Ministerio de Educación Nacional (MEN) y cinco universidades públicas entre las cuales
está la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC). En trabajo colaborativo
del grupo de investigación interinstitucional, Pirámide en Educación Matemática y con base
en las experiencias investigativas de sus integrantes en formación inicial de docentes de
matemáticas en cuanto al desarrollo de competencias digitales y la implementación de
actividades de aprendizaje en diversos cursos de geometría de la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC, se desarrolló la cualificación mencionada.
Adicionalmente algunos tópicos respecto al trabajo en ambientes virtuales elaborados
en el transcurso de la investigación corresponden a la experimentación con los grupos de
Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, especialmente en cursos Electiva de
Profundización I. Las aplicaciones en medios virtuales que propiciaron aprendizajes
112
autónomos o colaborativos de la geometría diferencial fueron CarMetal, GeoGebra y
Dpgraph. Estas aplicaciones se incorporaron en las prácticas educativas de aula a través de
secuencias didácticas para el aprendizaje de las operaciones entre vectores y variedades
lineales, sus operaciones y relaciones; lo cual propició la oportunidad para trabajar los
campos de la representación, modelación y simulación de situaciones problemáticas del
contexto en donde subyacen estas temáticas (Almenara y Román, 2008; Badillo y otros,
2013; Baelo y Cantón, 2009; Cabero, 1996).
Para el desarrollo del pensamiento espacial, potenciar la intuición geométrica y la
creatividad, se elaboraron los ambientes dinámicos y constructivos para idear y explorar las
representaciones en diversos tipos de geometría como: 1) Euclidiana, 2) Cartesiana, 3)
Proyectiva y 4) Transformaciones. Estas últimas, como opción para mejorar la dinámica las
representaciones bidimensionales de los objetos de la tercera dimensión; la evolución de
dichas representaciones se evidenció en la creación de esquemas de la geometría dinámica
(macro-construcciones) que muestran las características, parámetros, dimensiones y secretos
del diseño geométrico de creaciones artísticas de la pintura y la escultura respecto a su
armonía, composición y distribución espacial (García, 2010). Como ejemplo concreto se
evidencian ejemplos de la relación entre arte y geometría, especialmente en grabados de
Piero de la Francesca, Andrea Mategna, Leonardo Da Vinci, Alberto Durero, Paolo Ucello
y León Battista Alberti, entre otros artistas de la época del renacimiento (D’Amore, 2008).
En cuanto a la representación de los objetos correspondientes a las geometrías no
euclidianas se usaron aplicaciones como NonEuclid, que incluye el modelo de Poincaré para
la geometría hiperbólica; se exploraron algunas aplicaciones para recrear el modelo de la
Esfera de Riemman para la geometría no euclidiana esférica, pero todavía no son lo
suficientemente desarrollados como ambientes de geometría dinámica comparados con
aplicaciones como GeoGebra, Cabri Geometry y Geometrix para la geometría plana. En
dichas aplicaciones se pueden crear incipientes ambientes virtuales para trabajar los modelos
de las geometrías no euclidianas.
113
Para el trabajo con geometría tridimensional se experimentaron aplicaciones como
Calques, Cabri 3D, CarMetal y GeoGebra 3D, entre otros, en los cuales la geometría
proyectiva y la geometría de las transformaciones juegan un papel central en el desempeño
en los dominios de funcionamiento, interpretación y variación (Laborde, 1998), del ambiente
gráfico y su potencialidad para representar objetos con mayor realismo, objeto de estudio de
la computación gráfica.
Desde el enfoque experimental de las matemáticas se implementaron las aplicaciones
de geometría dinámica y de geometría constructiva, que actualmente permiten diseñar y
modelar objetos de la naturaleza, usando de manera particular, las estructuras de la geometría
fractal combinada con las geometrías hasta ahora mencionadas.
Al Considerar el estudio de conceptos matemáticos como la autosemejanza, la
recursividad y su relación con la complejidad y la teoría del caos, se modelaron en ambientes
virtuales los objetos geométricos previamente elegidos de la geometría fractal
(Prusinkiewicz, y Lindenmayer, 1990 y 1992). Así se pudieron evidenciar aplicaciones en la
exploración de la naturaleza y el arte; por ejemplo al recrear situaciones para el diseño de
teselaciones y dibujos creados por Escher, gracias a la evolución de las tecnologías
computacionales (Ernst, 1994).
Para diseñar las secuencias didácticas (Morales, 2013) mediadas por los ambientes de
geometría dinámica de las múltiples opciones que se pueden plantear, se adoptaron
situaciones “blandas”, es decir, actividades abiertas y flexibles que propician el aprendizaje
heurístico de propiedades geométricas, desprovistas de la descripción rígida de algoritmos y
proposiciones de construcción que direccionen el trabajo del estudiante, al estilo del
aprendizaje tradicional en geometría; dichas situaciones solamente involucran la
construcción de una figura bajo ciertas restricciones que satisfacen condiciones geométricas
establecidas en el dibujo dinámico, precisadas como parámetros que puede modificar. Las
construcciones “robustas” requieren conocimientos que los alumnos no tienen y se
114
caracterizan por los teoremas y propiedades al estilo tradicional (Laborde, 2006). En este
sentido, al incorporar aplicaciones de geometría dinámica, se trabajaron de manera natural
las construcciones de la geometría clásica.
Para crear los dibujos-dinámicos correspondientes a los conceptos matemáticos, el
estudiante se enfrentó a muchas situaciones “blandas”, que por sus características brindaron
un espacio más apropiado para el aprendizaje por descubrimiento. Las situaciones
problemáticas que el estudiante trabajó en la construcción del modelo, permitieron enfocar
la actividad a propiciar el desarrollo del pensamiento espacial, sin enfatizar en el bagaje de
conocimientos, teoremas y propiedades, al estilo de la geometría clásica. Estas situaciones
abiertas (flexibles) caracterizadas por no tener soluciones únicas, permitieron desarrollar las
competencias relativas a la solución de problemas geométricos.
Los estudiantes tuvieron que poner a prueba su imaginación y creatividad en el diseño
de sus propios modelos, ya que surgieron construcciones difíciles de lograr que implicaran
el uso de resultados que no conocían, lo que los impulsó a investigar. El desarrollo de las
competencias digitales es fundamental a la hora de diseñar y crear ambientes de aprendizaje
para el aprendizaje de las geometrías, en donde el manejo de las aplicaciones va más allá de
la simple manipulación de los comandos de los programas, en donde se profundizaron las
construcciones poniendo a prueba la potencialidad y flexibilidad del material digital.
Los materiales que incluyen ambientes virtuales de aprendizaje de las geometrías se
presentan en cuatro tipos: 1) Cualificación para docentes en ejercicio. 2) Actividades para
estudiantes de educación básica. 3) Competencias digitales de estudiantes de formación
inicial de Licenciatura en Matemáticas. 4) Experiencias de estudiantes universitarios en el
aprendizaje de las geometrías (Suárez, 2016).
115
Ambientes virtuales para cualificación docente
El material disponible en medio electrónico implicó desarrollar algunas sesiones
prácticas de trabajo, que se convierten en lecciones que el profesor de educación básica
puede desarrollar con sus estudiantes; se proponen igualmente, algunas actividades que
buscan desarrollar el pensamiento espacial de los docentes y el trabajo con distintos tipos de
geometría.
Cada “situación de aula” destaca las competencias que se espera que los docentes
alcancen y luego sus estudiantes. Los ítems contemplados son: actividades para pensar,
reflexión teórica, actividades de evaluación y (re) significación de las prácticas. Todos estos
aspectos tienen una intencionalidad pedagógica y didáctica. Se hizo especial relevancia en
la (re)significación de las prácticas docentes, que pretende hacer explícito aquello que (de
acuerdo con sus concepciones iniciales) el docente logra replantear y darle un nuevo
significado. Aquí el uso de valiosas estrategias de formación, como los encuentros con otros
colegas, es un trabajo colaborativo en donde se comparten experiencias (Jiménez, 2002).
La puesta en plataforma de pequeños escritos (narrativas) tiene finalidad
comunicativa, en donde se cuenta e intercambian las experiencias para que otros colegas las
puedan leer y contrastar con lo que ellos hicieron (Jiménez, 2002). Se debe destacar que,
tanto las actividades para pensar, como las reflexiones teóricas se plantean sobre creencias
de la propia matemática y sobre aspectos didácticos como la dinámica de la clase, la
comunicación, la enseñanza, el aprendizaje o el uso de recursos didácticos (medios y
mediaciones) en la enseñanza de las matemáticas.
En la primera etapa de diseño y creación de los materiales virtuales se enfatizó el
papel de la representación y el pensamiento visual en la construcción de conceptos
matemáticos. La exploración en los sistemas semióticos de representación (en el sentido
propuesto por Duval) fue considerado clave para lograr aprendizaje significativo, potenciar
la imaginación y el pensamiento matemático de los docentes de matemáticas. La creación de
116
ambientes dinámicos virtuales para el aprendizaje de las geometrías, incluyendo aspectos
como la exploración de diversas representaciones de conceptos geométricos, la construcción
de modelos que los estructuran y la simulación de situaciones problemáticas cotidianas en
ámbitos como la arquitectura, la pintura y la modelación de la naturaleza resultaron
novedosas para los docentes.
Figura 13. Ambiente virtual para formación permanente de profesores de educación básica. Fuente: Convenio MEN-UPTC
Ejemplo1. Polígonos y estrellas
Una de las actividades prioritarias es el reconocimiento de las formas y figuras
tridimensionales usando los tres tipos de materiales, troquelados (vestidos de los sólidos),
sólidos y estructuras. Se proponen diversas actividades que inicialmente propician el uso de
material real tomado del contexto para luego explorar el campo de las representaciones de
sólidos, tanto regulares o platónicos, como semirregulares o arquimedianos. Para desarrollar
el pensamiento geométrico de los docentes se propusieron secuencias de aprendizaje en
donde la exploración sobre formas, figuras y transformaciones son fundamentales.
A manera de ejemplo una actividad introduce formas creativas de relacionar los
polígonos y las estrellas, que consiste en construir una poligonal en ambientes de geometría
117
dinámica. Se inicia dibujando un segmento de longitud determinada y luego rotarlo alrededor
de alguno de sus extremos, con un ángulo de rotación fijo, que se llamará parámetro a. Este
proceso se repite varias veces, como se muestra en la figura siguiente. Es inmediato verificar
que si la poligonal se construye con un ángulo de a=60 grados, se obtiene un triángulo. Si el
parámetro a=90 grados, se obtiene un cuadrado (Lauwerier, 1987). Si el parámetro a se deja
libre para variar el ángulo deseado, en ocasiones la poligonal se cierra como en los dos casos
anteriores, para obtener diversos polígonos regulares y estrellas, mientras que en otros casos
la poligonal queda abierta. Las actividades propuestas a los docentes abarcan aspectos como
la relación arte y geometría, en donde a partir de expresiones artísticas de la pintura universal,
la escultura y la arquitectura, se evidencian los sistemas y las estructuras geométricas que en
ellas subyacen.
Figura 14. Dibujo dinámico de exploración de polígonos y estrellas. Fuente: El autor
Ejemplo 2. Actividades de geometría fractal para educación básica
La geometría para comprender y modelar la naturaleza es un tópico que se privilegió.
A partir de la representación de objetos de la naturaleza se modelan en ambientes de
geometría los secretos geométricos en sus formas y figuras (Mandelbrot, 1983; Barnsley,
118
1990; Prusinkiewicz y Lindenmayer, 1990 y 1992). Se pretende inicialmente, mediante la
exploración de algún parque natural, identificar y clasificar objetos del medio en los cuales
se ejemplifican formas de polígonos y poliedros y formas curvas como circunferencias y
espirales que son las más comunes. Se busca descubrir las propiedades de distintas clases de
plantas, flores, hojas (como los helechos de distintos tipos), árboles grandes y pequeños,
espigas de trigo, hojas de distintas formas y colores. La construcción de las formas de las
hojas y flores se logró con sencillas construcciones dinámicas usando polígonos y
movimientos rígidos (por ejemplo, circunferencia centrada en el perímetro de un polígono
regular cuyo radio va hasta su centro, usando la herramienta de trayectoria para dejar su
traza); adicionalmente se usaron dibujos-dinámicos interactivos elaborados con ecuaciones
para modelar espirales y la modelación de formas empleando la superfórmula (Gielis, 2003).
De acuerdo con el nivel de los estudiantes con los que se implemente esta actividad
es recomendable tener en cuenta los siguientes aspectos más generales, detectados en el
desarrollo de la experiencia de exploración de la naturaleza: 1) Observar los objetos de la
naturaleza detenidamente, anotando sus características, partes y detalles especiales. 2) Hacer
un bosquejo de dichos objetos, tratando de captar sus principales detalles relativos las formas
relaciones y simetrías y transformaciones. 3) Propiciar sesiones plenarias en donde los
estudiantes expongan, analicen y discutan los resultados de la práctica de campo, con base
en el material y datos recopilados en dibujos y fotografías. Adicionalmente, se considera
provechoso presentar los resultados de la exploración bibliográfica hecha sobre los libros de
geometría y páginas de internet sobre el tema. 4) Representar, construir y modelar en
computador los objetos naturales elegidos usando sistemas y estructuras propios de la
geometría fractal. 5) Construir formalmente los conceptos fractales claves, soportados en las
estructuras algebraicas de espacio vectorial, espacio euclídeo y espacio afín. También es
abordado el estudio topológico de los fractales, desde los espacios métricos completos. 6.)
Estudiar algunas aplicaciones de los conceptos fractales en la solución de diversos problemas
de la vida cotidiana.
119
Figura 15. Modelación con dibujos dinámicos en Cabri II. Fuente: El autor
Ejemplo 3. Puntos rectas y círculos notables de un triángulo
La actividad geometría euclidea y geometría no euclidiana diseñada, compara
dibujos-dinámicos en geometría euclidiana usando GeoGebra y el modelo de Poincaré para
la geometría hiperbólica, usando la aplicación NonEuclid. La construcción inicia con los
puntos notables de un triángulo arbitrario: el baricentro, ortocentro, incentro, circuncentro y
los tres puntos excentros. Asimismo, se hizo la construcción de las circunferencias notables:
inscrita, circunscrita, las tres circunferencias excéntricas, la circunferencia de los nueve
puntos y la recta de Euler. La idea es que el estudiante elabore dicha construcción,
experimente con la manipulación y modificación (arrastre) de dichos elementos y mediante
actividades de conjeturación, argumentación y razonamiento, busque convencerse y
convencer (Mason y otros, 1998; Polya, 1965; Pestel, 1993; Gómez y Martínez, 2006) de la
validez de proposiciones susceptibles de ser generalizadas y así, prepare el camino por
recorrer hacia la demostración (Acosta, 2017).
120
Al construir las alturas, las bisectrices, las mediatrices y las medianas en un triángulo,
surgen intuitivamente cuestionamientos naturales respecto a su concurrencia y propiedades
especiales, ¿Cómo se construyen los círculos: inscrito, circunscrito y los tres excírculos de
un triángulo? ¿Qué propiedades relacionan a los puntos y círculos notables del triángulo?
¿Qué sucede cuando se intenta replicar dichas construcciones en el modelo de Poincaré para
la geometría hiperbólica, usando la aplicación Noneuclid? Los estudiantes que
experimentaron con dichos dibujos dinámicos denominaron la actividad como “Encuentro
Geométrico con Mickey Mouse”. Este ambiente dinámico generó mucha expectativa y
permitió a estudiantes descubrir relaciones y propiedades poco mencionadas en los libros
clásicos de la geometría euclidiana.
Figura 16. Explorando propiedades de los círculos, rectas y puntos notables del
triángulo. Fuente: El autor
Ejemplo 4. Relación arte y geometría
Los ambientes virtuales de aprendizaje que evidencian dicha relación inicialmente
reproducen las estructuras geométricas usadas en el proceso de creación de algunas obras
121
pictóricas a partir del renacimiento y que corresponden principalmente a la geometría clásica
plana, la geometría proyectiva, la perspectiva y la sección áurea, los cuales han sido
trabajados ampliamente en actividades de aprendizaje de educación básica (Mora, 2007).
Las teselaciones y sus transformaciones en el plano se usaron para construir los
modelos que subyacen en la obra del pintor Mauritz Escher. Tales actividades corresponden
a las geometrías no euclidianas y la geometría fractal presentes en el diseño en el grupo de
obras conocidas como límites circulares y cuadrados, diversas versiones de las evoluciones
y de manera particular el último de los grabados que nos legó este artista, llamado serpientes.
Dichos dibujos-dinámicos se inspiraron en los trabajos que analizan los bosquejos
del diseño de sus obras (Ernst, 1994). Un análisis de la simbiosis entre arte y matemáticas
inspiró los aspectos fundamentales en tales construcciones (Ayala, 1997) y de manera
especial se contextualiza en las ideas de autoreferencia, procesos recursivos, inteligencia
artificial y sistemas formales, sintetizadas e integradas en la teoría general de sistemas y la
relación entre arte, música y lógica (Hofstadter, 1987).
Figura 17. Explorando teselados tipo Escher, con dibujos dinámicos.
Fuente: El autor
122
Se abordaron los procedimientos usados respecto a la proporción de medidas, las
formas y figuras, especialmente rectangulares, comúnmente empleadas en la composición y
distribución, para crear una armonía que sustenta uno de los secretos de la belleza
contemplada en el diseño gráfico y la pintura (García, 2010). En la siguiente figura se
especifican algunos procesos de pensamiento que permiten experimentar y analizar las
representaciones semióticas con propósito de develar los conceptos, estructuras y teorías
geométricas que en ellas subyace.
Figura 18. Procesos para modelar sobre creaciones artísticas. Fuente: El autor
En el ámbito de la geometría dinámica proporcionada por GeoGebra, Cabri,
CarMetal y otras aplicaciones informáticas, se recrearon los dibujos-dinámicos superpuestos
a los grabados o carteles publicitarios en donde surgen las representaciones de figuras y su
estructura subyacente. La matemática y de manera especial la geometría están más cerca de
lo que se piensa, tanto de la creación artística, como del diseño en la naturaleza y de las
situaciones problemáticas del entorno, por ello se experimentó esta faceta fascinante para
aprender geometría creativamente.
123
Ejemplo 5. Geometría vectorial
Las aplicaciones de geometría dinámica que involucran representación tridimensional
fueron fundamentales a la hora de modelar, puntos, rectas, planos, hiperplanos (variedades
lineales) sus relaciones, propiedades y operaciones. Las ecuaciones vectoriales para rectas y
planos y sus relaciones para perpendicularidad y paralelismo se plasmaron en dibujos-
dinámicos como ambientes de exploración de las propiedades que usualmente se expresan
algebraicamente.
Así mismo la aplicación Dpgraph constituyó un soporte visual para superficies
diferenciables caracterizadas en coordenadas cartesianas, o cilíndricas. La interface gráfica
proporcionada por dicho programa tiene ventajas a la hora de visualizar superficies y figuras
diferenciables.
Finalmente, la amplia divulgación que han tenido las aplicaciones de geometría
dinámica en el ámbito de la enseñanza de la geometría (versiones de prueba de Cabri
Geometry II, Cabri3D, Sketchpad, Regla y Compás, Calques, NonEuclid, Fzplot, Geogebra
y Cinderella, entre otros) en la formación de educadores de matemáticas de educación básica
y media y al menos en los primeros niveles de la universidad, contrasta con el hecho de su
poco uso en el aula de clase de manera cotidiana. No usar estos recursos informáticos priva
a los alumnos de vivir experiencias relevantes y novedosas en el campo de las
representaciones de conceptos geométricos.
124
Figura 19. Representación paramétrica de la recta en el espacio 3D. Fuente: El autor
125
Capítulo 6. Metodología
A continuación se determinan los aspectos metodológicos que fundamentan la
investigación, desde enfoques cualitativos y cuantitativos, relacionando cada objetivo con el
tipo de investigación, las tareas emprendidas, las categorías de análisis y la forma de
procesamiento y análisis de la información de los resultados en el aula.
Fundamentos epistemológicos de la metodología
Para orientar la investigación se contempla una opción metodológica privilegiando el
enfoque cualitativo, complementada con el enfoque cuantitativo al momento de describir,
caracterizar y detectar tendencias en la unidad de análisis, las prácticas y las concepciones
de los participantes, fundamentada en principios antropológicos y hermenéuticos. Se están
considerando referentes teóricos de la fenomenología, el interaccionismo simbólico y la
etnología, de manera particular los estudios referentes al enfoque ontosemiótico para la
educación matemática. Desde las ciencias comprensivas, en la investigación cualitativa solo
pueden ser conocidos hechos observables construidos intersubjetivamente por medio de la
participación activa del sujeto que comprende en los fenómenos que busca comprender
(Dilthey, 1949; Sandín, 2003; Torres, 2002), en contraste a la concepción empirista y
positivista basada en hechos observados y reducidos, principalmente de naturaleza causal.
Además en la opción cualitativa: “[…] el mundo no es algo deducible, sino una realidad
concreta y vivida, desbordante de significados producidos intersubjetivamente” (Wever,
1994).
Los conceptos claves de la investigación cualitativa de naturaleza hermenéutica son,
primero la comprensión y luego la interpretación, relacionadas con los procesos de
conciencia. Se tendrán así mismo en cuenta las cualidades que deben tener los investigadores
cualitativos en cuanto a la comprensión de las experiencias y vivencias, usando el sentido
común y la intuición. De acuerdo a la intencionalidad de la investigación, debe haber
significación personal y colectiva, y sobre todo, las teorías emergentes deben ser construidas
intersubjetivamente, para que a través de la acción se hagan propuestas que modifiquen
126
positivamente la realidad y los fenómenos observados como problemática para solucionar al
inicio de la investigación (estructurantes).
Figura 20. Procesos de investigación cualitativa
Fuente: Conceptos claves en la investigación
Determinación de la metodología
Con base en el análisis de los propósitos de la investigación en el campo de la
formación geométrica de docentes, finalmente se adoptó el enfoque metodológico mixto
(Johnson y Onwuegbuzie 2004; Hernández, Fernández y Baptista, 2010; Guadarrama,
2011), con énfasis en lo cualitativo (Hernández, 2014), puesto que se trata de un estudio en
el que se considera de manera prioritaria el análisis de variables cualitativas y la observación
de variables cuantitativas (entre otras, a partir de afirmaciones del cuestionario, Anexo 3)
con un estudio comparativo y estadístico descriptivo e interpretativo (Létourneau, 2015).
Para orientar metodológicamente el trabajo investigativo de la propuesta, se
consideró implementar una síntesis y combinación de enfoques métodos y técnicas tomadas
de la educación matemática y, más en general, de las ciencias sociales (Ander-Egg, 1995;
127
McMillan y Schumacher, 2005). Estos fueron: (1) para el diagnóstico (ver anexo 3), métodos
basados en la teoría fundamentada (Glaser y Strauss, 1967; Strauss y Corbin, 2012; Morse,
2006; Wolcott, 2006); (2) para el análisis de los planes de estudio y programas de
cualificación de docentes (en formación y en ejercicio), se implementó un método
descriptivo - interpretativo en donde se aplicaron instrumentos de un cuestionario estándar,
Anexo 3 y una encuesta a estudiantes y profesores en formación y una entrevista a expertos
en geometría y educación geométrica (Ander, 2003); (3) para la conformación del colectivo
académico, se implementó el método de conformación de comunidades de práctica escuela-
universidad (Jiménez, 2002, 2005 y 2011); (4) para el diseño de las actividades al interior
del grupo colaborativo se usó, en una primera fase, un método de investigación cualitativo
que tiene elementos de la indagación basada en diseño (Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer y
Schauble, 2003) y en una segunda fase, se adoptó el modelo de análisis didáctico de procesos
de instrucción, propuesta por el enfoque ontosemiótico de la cognición y la instrucción
matemática (Font, Planas y Godino, 2010); (5) para el desarrollo del trabajo al interior del
grupo colaborativo en el aprendizaje de las geometrías, además de las herramientas teóricas
usadas anteriormente, se incorporan los elementos metodológicos y criterios de idoneidad
del profesor de matemáticas proporcionados también por el enfoque ontosemiótico de la
cognición y la instrucción matemática (Font, Planas y Godino, 2010).
Para la evaluación del trabajo de experimentación de las prácticas con los estudiantes
y profesores se utilizó una metodología para la evaluación de competencias; es decir se
buscan evidencias que permitan formular juicios sobre ellas que, a su vez, sirvan para asignar
niveles de desarrollo de acuerdo a criterios previamente fijados (Font, 2011); (6) para la
proyección de los resultados del grupo colaborativo y el trabajo en el aula respecto a la
educación geométrica y los materiales virtuales que involucran actividades diseñadas,
implementadas y evaluadas para la formación inicial y continua de profesores, a la hora de
enseñar y aprender geometría, la metodología parte de un análisis detallado de los planes de
estudio vigentes para, a partir de ellos y de los resultados y productos de investigación,
elaborar una propuesta final de modificación que tenga en cuenta dichos resultados de la
investigación.
128
Para el objetivo específico O1 la metodología consistió en el análisis de la componente
en educación geométrica de los planes de estudio de cinco programas de licenciatura de
matemáticas de la zona de influencia en Boyacá –Universidad Pedagógica y Tecnológica de
Colombia, Universidad Industrial de Santander, Universidad Distritral Francisco José de
Caldas, Universidad Pedagógica Nacional-, cuyos egresados ejercen su profesión en el
Departamento de Boyacá. En el estudio diagnóstico de los currículos se adoptó un método
basado en la teoría fundamentada (Glaser y Strauss, 1967), en donde no se predetermina un
marco teórico establecido, pero se fundamenta en un proceso sistemático para análisis de la
información tanto de tipo cualitativo y cuantitativo, a partir de categorías y criterios
deductivos con el propósito de identificar las categorías inductivas, sus relaciones y
estructura.
Un primer momento constituyó un estudio comparativo de los planes de estudio, su
devenir histórico, enfatizando la dinámica de cambio que han presentado en la última década,
con base en categorías deductivas, aspectos y criterios como, tipos de geometría que se
enfatizan, papel de la epistemología de la geometría y de la educación geométrica y su
implicación en las prácticas de aula, estrategias para aprender geometría, mediaciones en la
enseñanza de las geometrías y forma de integrar las geometrías con otras áreas.
En una segunda fase se aplicó una encuesta focalizada a establecer la relación entre el
currículo diseñado y el currículo propuesto dirigido especialmente a estudiantes de últimos
semestres. En un tercer momento se hizo una entrevista a expertos, especialmente en
geometría y educación geométrica, que pretendió establecer un estándar, producto del
consenso del colectivo docente, sobre lo que debería incluir un pensum de licenciatura, para
formar profesores de matemáticas. Estos aspectos que orientan el trabajo inicial para la
exploración de los datos hacia la detección de categorías inductivas, sus relaciones y
estructuras para fundamentar y caracterizar constructos teóricos que sinteticen los aspectos
comunes y fundamentales en la formación inicial de los profesores de matemáticas.
129
Finalmente, con base en el procesamiento de la información y el análisis de las
categorías emergentes se precisaron los criterios de una formación geométrica inicial de los
programas de licenciatura de las cuatro universidades mencionadas y algunos programas de
formación continuada en el área de influencia relativa a la zona centro de Tunja, que se
constituyó en un estándar ideal para la comunidad investigada.
Para el objetivo específico O2 la metodología consistió en la aplicación de un
cuestionario estandarizado a profesores y estudiantes (Anexo 3), para determinar el grado
de inserción de las tecnologías de la información y la comunicación, especialmente referidas
al aprendizaje de las geometrías y el uso de la geometría dinámica. Se trata de un cuestionario
de tipo mixto ya que contiene variables cuantitativas y cualitativas que identifica el grado de
inserción de las tecnologías de la información y la comunicación al currículo de la geometría,
en cuanto al uso permanente o esporádico de programas de cálculo simbólico, aplicaciones
que brindan ambientes gráficos para las representaciones visuales, blogs, bitácoras y
aprendizaje colaborativo en Internet, dispositivos móviles, tableros interactivos, realidad
virtual y realidad aumentada.
La encuesta (Anexo 3) también se aplicó a los profesores y estudiantes de la
Licenciatura en Matemáticas de la UPTC que han recibido cursos de formación inicial y a
docentes de matemáticas en ejercicio de diversos niveles. El propósito del estudio en esta
etapa, de carácter mixto, obedeció a establecer no solo si se emplean o no, las mediaciones
tecnológicas, sino la forma como las están usando en las clases cotidianas, el papel que
juegan en el aprendizaje de la geometría y la prospectiva sobre su incorporación a nivel
personal e institucional.
Para el objetivo específico O3, se adoptó el método de conformación de comunidades
de práctica escuela-universidad, propuesto por (Jiménez, 2005), para el intercambio de
saberes y en busca de la (re)significación de las prácticas, a partir de la (auto) reflexión y
razonamiento colectivo, como forma de reformar la calidad de la educación de ambas
instituciones (Wenger, 2001). Las fases del método se iniciaron con la conformación
130
voluntaria de colectivos principalmente de docentes, estudiantes o expertos, determinación
de la dinámica y directrices para el trabajo colectivo, después siguió la fase de desarrollo y
por último, la fase de búsqueda de consensos.
Se conformó un grupo colaborativo para la concepción de temáticas y diseño de tareas
constituido por dos tipos diferentes de participantes. Por una parte estuvieron profesores y
futuros profesores, docentes de matemáticas del sector oficial y privado de la ciudad de
Tunja y estudiantes en formación inicial que realizan su práctica integral. Por otra parte,
participó un grupo de expertos formado por profesores universitarios especialistas en
geometría, educación geométrica y diseño de ambientes virtuales de aprendizaje.
En una primera fase del diseño, se hizo una selección de las tareas propuestas por los
profesores y futuros profesores participantes, que fueron producto de su práctica cotidiana o
consecuencia de las ideas que surgieron respecto a las representaciones imaginadas que no
hayan podido realizarse al enseñar temas específicos de geometría de educación básica. Para
la selección de las tareas se tuvo en cuenta que sean susceptibles de ser modeladas, simuladas
y teorizadas mediante diversas geometrías, gracias a la mediación tecnológica. En una
segunda fase, se hizo una discusión de todo el grupo y se realizó un rediseño de la tarea. Por
último, se crearon los ambientes virtuales para la implementación de estas tareas. Los
materiales en medio magnéticos para la enseñanza y el aprendizaje de las geometrías, fueron
el resultado de una capacitación inicial para elaborar dibujos dinámicos dirigidos a los
profesores participantes. Para las tareas más complejas, los profesores de informática fueron
los encargados de crear los ambientes virtuales.
Para el objetivo específico O4, se utilizó una metodología de investigación que tiene
elementos de la indagación basada en el diseño. Estos son: (1) estudiar la adquisición de
competencias en un ambiente real, (2) tener por objetivo generar ambientes de aprendizaje
eficaces y novedosos, (3) la colaboración entre el investigador y los profesores y (4) la
búsqueda simultánea de la construcción de teorías y la innovación de la práctica. Para
propiciar el análisis y la (auto) reflexión sobre sus prácticas de aula, la metodología
131
propuesta a los participantes se adoptó modelo de análisis didáctico de procesos de
instrucción propuesta por el enfoque ontosemiótico de la cognición y la instrucción
matemática (Font, Planas y Godino, 2010; Pochulu y Font, 2011), en especial el relativo al
nivel de valoración didáctica, como un modelo de pautas para organizar un proceso de
instrucción.
Para el objetivo específico O5, respecto a la implementación de este programa de
formación continua y evaluar sus resultados, se utilizaron las propuestas del punto anterior,
de manera especial, los aspectos del análisis didáctico, las herramientas para el análisis de
las prácticas y los criterios de idoneidad del profesor de matemáticas proporcionados por el
enfoque ontosemiótico de la cognición y la instrucción matemática. Asimismo, se empleó la
metodología de evaluación por competencias tanto en el diseño de las tareas de aprendizaje
de los estudiantes, como las referidas a las competencias profesionales del profesor de
matemáticas.
Para el objetivo 06, con un método de trabajo con grupos de expertos se plantearon
algunas categorías teóricas que reformularon y actualizaron tópicos particulares de la
educación geométrica, para incorporar en los planes de estudio del programa de formación
inicial de profesores de matemáticas de la UPTC; dichos lineamientos estuvieron
determinados por los resultados de la experiencia investigativa de las actividades del grupo
colaborativo que fue objeto de estudio. Se pretendió precisar y ubicar una propuesta de ciclo
formativo con algunas de las características del ciclo experimentado en la formación
permanente, que permitió el desarrollo de la competencia en análisis didáctico, de la
competencia digital y de la competencia matemática (relacionada con la geometría).
Comentarios sobre las técnicas de investigación
Es importante hacer una distinción entre los enfoques de investigación y las técnicas
de investigación social. La experiencia de los investigadores cualitativos ha servido para
132
introducir medios de recolectar información, pues es considerado un aspecto clave en el
trabajo de campo. De la riqueza en la aplicación de técnicas e instrumentos dependerá el
éxito en el procesamiento, análisis y construcción de sentido de la experiencia investigativa.
(Ander, 2003; Ballester y Colom, 2012; Borda y otros, 2013; Bunque, 1972; Cabra y otros,
2013; Campos, 2009; Corbetta, 2003; De Carballo y Araujo, 2004; Henao, 2016; Latorre,
2008; Méndez 2006; Ricoeur, 2008; Guisande, 2011; Bautista, 2011).
El software de análisis de datos cualitativos
Uno de los aspectos significativos fue el de estudiar las herramientas informáticas para
el análisis de la información cualitativa, pues considero que es la piedra angular del
procesamiento y análisis de la gran cantidad de información. Pero fue clave que no se enfocó
al aspecto operativo de dichas herramientas, sino que se hizo una panorámica adecuada de
los fundamentos epistemológicos y metodológicos de estudios cualitativos, como por
ejemplo, la teoría fundamentada, la etnografía, la investigación-acción participativa, los
estudios de casos y los métodos mixtos de investigación. En la figura 21 se presentan
esquemas de algunos procesos relevantes de los análisis de la información cualitativa, dentro
de las técnicas de investigación social consolidadas por investigadores cualitativos y
cuantitativos.
133
Figura 21. Análisis de textos Fuente: De Souza, M. (2010)
Finalmente de una lista de software para análisis cualitativo más conocido en el medio
y luego de su estudio y comparación, se usaron las aplicaciones estadísticas SPSS, AtlasTi
y NVivo en la fase de procesamiento y análisis de la información.
134
Tareas planteadas por cada objetivo
Tabla 4. Tareas de investigación
OBJETIVO TAREAS/ACTIVIDADES
O1. Analizar diversas
estrategias de formación
geométrica inicial de los
programas de licenciatura y de
formación continuada en el
área de influencia relativa al
contexto local de Tunja,
antecediendo una clasificación
y comparación de ellas.
T1. Análisis de fuentes documentales (marcos teóricos EOS y
MKT) sobre la caracterización de la noción prácticas, objetos emergentes,
procesos e idoneidad didáctica, competencias profesionales y
conocimiento didáctico - matemático del profesor.
T2. Estudio de la componente de educación geométrica en los
planes de estudio de las licenciaturas en matemáticas de las universidades:
(1) UPTC de Tunja y Duitama; (2) UPN; (3) UD; (4) UIS. Diseño, prueba
piloto, aplicación y análisis de encuesta a profesores, estudiantes y
expertos del programa en educación matemática y geometría.
T3. Conformación y análisis de la componente de educación
geométrica de los programas de cualificación desarrollados en los últimos
cinco (5) años en Tunja. Diseño, aplicación y análisis de encuesta a
profesores participantes.
T4. Estudio descriptivo explicativo de la base de datos de los
profesores de matemáticas de Tunja. Fuente secundaria: Secretaria de
Educación.
T5. Estudio descriptivo componente de educación geométrica en
diez (10) colegios de Tunja mediante técnicas de muestreo incidental.
O2. Evaluar el grado
de inserción de la geometría
dinámica y los tipos de
programas de geometría en el
trabajo cotidiano de aula.
T6. Diseño, prueba piloto, aplicación, procesamiento y análisis de
cuestionario estandarizado a profesores participantes para determinar el
grado de inserción de las tecnologías de la información y la comunicación
al aprendizaje de las geometrías y el uso de las geometrías dinámicas. Por
ser un cuestionario de tipo mixto la información recolectada se procesará
en SPSS y ATLAS Ti.
T7. Consulta base de datos recursos tecnológicos como salas de
informática, aplicaciones, tablets y calculadoras, a disposición del
aprendizaje de la geometría de los diez (10) colegios y su forma de uso.
T8. Estudio cualitativo sobre las mediaciones más comúnmente
usadas en el aprendizaje de las geometrías.
135
O3. Diseñar un banco
de tareas susceptibles de ser
modeladas, simuladas y
teorizadas mediante diversas
geometrías gracias a la
mediación tecnológica.
T9. Conformación del grupo de trabajo como comunidad de
práctica escuela-universidad, constituido por diez (10) docentes de
matemáticas del sector oficial y privado de la ciudad de Tunja y cinco (5)
estudiantes en formación inicial, dos (2) profesores universitarios
especialistas en geometría, educación geométrica y un (1) desarrollador
informático de ambientes virtuales de aprendizaje.
T10. Selección de las tareas propuestas por los profesores y futuros
profesores participantes, que sean producto de su práctica cotidiana o
consecuencia de las ideas que surjan respecto a las representaciones
imaginadas que no hayan podido realizarse. T11. Experimentación y análisis colectivo de las prácticas
seleccionadas. Elaboración de instrumentos para la recolección de
información. Grabación de las actividades plenarias. T12. Diseño, elaboración y prueba piloto de los ambientes virtuales
para la implementación de estas tareas. Aplicación de instrumento para
evaluar los materiales digitales. T13. Creación del banco de tareas y organización de una página
web con los recursos creados para ser implementadas en el curso de
cualificación; el acceso a través de la red en ambiente virtual será
exclusivo para los participantes en tareas de enseñanza y el aprendizaje de
las geometrías.
136
O4. Desarrollar la
formación inicial y continua de
docentes de matemáticas de
Tunja en un grupo
colaborativo, a partir del banco
de tareas del objetivo anterior y
de los aportes de la educación
geométrica, que propicie el
análisis y la autorreflexión
sobre sus prácticas de aula
cuando enseñan geometría.
T14. Diseñar los elementos estructurales del curso de formación de
profesores y su relación con el desarrollo de las prácticas.
T15. Apropiación de los elementos teóricos y metodológicos para
el análisis didáctico de las prácticas de los profesores.
T16. Generar ambientes de aprendizaje eficaz y novedoso, con la
colaboración entre el investigador y los profesores.
T17. Elaboración de los constructos teóricos, categorías de análisis
y construcción de sentido de la experiencia cualitativa sobre las prácticas
y objetos matemáticos emergentes.
O5. Implementar en
el aula los resultados de las
actividades involucradas en los
ambientes virtuales para
aprender geometrías,
elaboradas por el grupo
colaborativo y que busca
mejorar la formación inicial y
continua de profesores.
T18. Elaborar los instrumentos para recolección de información y
grabación de las sesiones de discusión, debate y análisis de las prácticas
al enseñar geometría con medios virtuales
T19. Propiciar al interior de la comunidad docente y estudiantil que
participa en la investigación, el análisis y la (auto) reflexión sobre sus
prácticas de aula, mediante de análisis didáctico de procesos de
instrucción propuesta por el enfoque ontosemiótico de la cognición y la
instrucción matemática en especial el relativo al nivel de valoración
didáctica, como un modelo de pautas para organizar un proceso de
instrucción.
T20. Valorar la calidad de las tareas y prácticas de los docentes en
cuanto a las competencias profesionales y conocimiento didáctico
matemático a partir los criterios de idoneidad del profesor de matemáticas
proporcionados por el enfoque ontosemiótico de la cognición y la
instrucción matemática.
137
O6. Adaptar algunos
de los resultados de la
investigación respecto a la
componente geométrica y la
competencia digital al
currículo para la formación
inicial de profesores de
matemáticas de la UPTC.
T21. Reunión con comité curricular para plantear la actualización
de la componente educación geométrica de los planes de estudio de los
programas de formación inicial de profesores de matemáticas de la UPTC;
T22. Hacer una propuesta de ciclo formativo con algunas de las
características del ciclo experimentado en la formación permanente, al
comité del CIEFED de la UPTC, que permita desarrollar la competencia
en análisis didáctico, de la competencia digital y de la competencia
matemática (relacionada con la geometría), en los programas de formación
cualificada que propone la Universidad.
Fuente: El autor
138
Capítulo 7. Resultados, análisis y discusión
A continuación se presenta la descripción de la caracterización de los programas
curriculares de profesores de matemáticas, del grupo de docentes de matemáticas en el área
de influencia, los programas de formación continua de docentes oficiales, de la encuesta
aplicada a los participantes de la investigación y de los recursos tecnológicos y de Internet
de las instituciones educativas de Tunja. También se analizan los aspectos relacionados con
la dinámica de trabajo al interior del grupo colaborativo y de estudiantes de la asignatura de
Electiva de Profundización I. Asimismo, se mencionan los elementos del análisis e
interpretación de los ambientes virtuales de aprendizaje y dibujos dinámicos elaborados en
el transcurso de la investigación.
La formación geométrica en los programas de Licenciatura en Matemáticas
a nivel regional
El estudio sobre los planes curriculares de los programas dedicados a la formación de
profesores de matemáticas se hizo con base en el análisis textual de los proyectos académicos
educativos de cada uno de dichos programas, se identifican tres aspectos inherentes al
ofrecimiento de cursos en el área de geometría dentro de las asignaturas dedicadas
exclusivamente al desarrollo de contenidos geométricos como geometría plana, geometría
euclidiana tridimensional, geometría descriptiva y analítica; Adicionalmente se analizaron
algunas asignaturas que contemplan temas de geometría como tópicos transversales
relacionadas con las demás áreas, por ejemplo, el álgebra lineal.
La mayoría de programas incluyen asignaturas electivas en la fase de profundización,
donde se tratan temas de las geometrías proyectivas, no euclidianas, geometría diferencial
geometría algebraica y geometría fractal de la naturaleza, entre otras.
Una de las universidades analizadas establece una línea de investigación para la
profundización en temas de geometría como electiva planteada a los estudiantes; dicha línea
contempla el desarrollo de temáticas en el área durante cuatro semestres en sendas
139
asignaturas. Otras universidades incluyen en sus planes de estudio el desarrollo del
pensamiento espacial y los sistemas geométricos, generalmente relacionado con los otros
tipos de sistemas.
Actualmente las tendencias a nivel internacional abogan por incluir los nuevos
desarrollos de la geometría en los planes para la formación de los profesores; es de destacar
la inclusión de la geometría fractal de la naturaleza, relacionada con la teoría de la
complejidad, el caos y los sistemas dinámicos; también son contempladas en los pensum de
estudio la geometría de gráficas o grafos y la geometría algebraica; adicionalmente la han
sido incluidas con algún énfasis en planes curriculares de licenciatura en matemáticas,
geometría diferencial y la geometría computacional, las cuales han avanzado debido al uso
de programas informáticos para su aprendizaje.
Producto del análisis de la formación de profesores en educación superior se han
detectado dos tendencias para el desarrollo de las asignaturas de geometría y educación
geométrica. La mayoría trabaja en asignaturas distintas las diversas teorías de la geometría,
la educación matemática, la epistemología y la historia, incluyendo algunas de ellas como
tópicos transversales integradores; la otra opción es abordar dichas áreas de conocimiento
alrededor del desarrollo del pensamiento espacial, junto con los sistemas, las estructuras y
las teorías geométricas, durante el transcurso de la formación inicial de profesores de
matemáticas.
El problema del abandono de la geometría en la formación de los estudiantes no es
ajeno a las instituciones de educación superior, muchos de los temas de desarrollo de punta
se dejan para programas de maestría y doctorado; la formación inicial de los profesores de
matemáticas debe incluir los últimos desarrollos de la geometría y teorías relacionadas o que
la contextualizan, debidas al avance teórico y tecnológico; se debe hacer énfasis en trabajar
sus representaciones y comprensión conceptual, para que dichas formas de abordar la
enseñanza y el aprendizaje de las geometrías se proyecten en las instituciones de educación
básica y media y así se mejore en los planes de estudio la componente geométrica.
140
Estudio descriptivo de los programas de capacitación continua a los docentes
en ejercicio
La capacitación de los docentes en ejercicio ha sido un propósito permanente de la
Universidad Pedagógica es Tecnológica de Colombia como actividad de extensión del
programa de Licenciatura en Matemáticas y maestría en educación matemática;
adicionalmente ha sido una estrategia para mantener contacto con sus egresados, factor
fundamental en los procesos de autoevaluación con propósito de acreditación de alta calidad.
El estudio de los programas de formación continua ofrecidos, se hizo mediante análisis
documental de textos de los planes implementados en los últimos cinco años.
Se escogieron siete (7) programas de capacitación ofrecidos a profesores de Tunja,
Duitama, Monterrey, Bucaramanga, Barrancabermeja y a profesores de matemáticas de
Boyacá; de manera particular se seleccionó la capacitación ofrecida a los profesores de
regiones más apartadas y deprimidas del país, a través del programa del Ministerio de
Educación Nacional “Todos a aprender”.
En la Tabla 5 se describen los programas de formación implemenados y analizados
contemplando indicadores de los énfasis respecto a la formación geométrica, la mediación
tecnológica y la competencia digital.
141
Tabla 5. Programas de formación continua
Nombre del
Curso/Ciudad o Departamento
Énfasis en formación
geométrica
Énfasis en
mediación
tecnológica
Énfasis en la competencia
digital
Actividades y estrategias para el desarrollo del pensamiento matemático. Boyacá.
40
50
30
El aprendizaje de la geometría en el ámbito de la geometría dinámica. Barrancabermeja y Bucaramanga, Santander.
100
60
50
El aprendizaje de la geometría en el ámbito de las mediaciones reales y virtuales en geometría dinámica. Duitama Boyacá. Institución Guillermo León Valencia.
100
70
40
Actividades y estrategias para el desarrollo del pensamiento espacial con geometría dinámica.
100
100
60
Actividades y estrategias para el desarrollo del pensamiento espacial con geometría dinámica. Tunja, Boyacá. Colegio de Boyacá.
70
60
30
La multiplicación y el pensamiento espacial proyecto de capacitación MEN-UPTC.
50
100
20
Fuente: El autor
020406080
100
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6
40
70 7087
53 57
Énfasis geometría programas de capacitación
142
Figura 22. Énfasis programas de capacitación
Fuente: El autor
De la figura 22 se detectó que el componente geométrico en la formación continua
de dichos programas corresponde al 40% del total de temática ofrecida; es importante notar
que el colectivo docente del grupo de investigación Pirámide priorizó la componente
geométrica en los cursos, pues constituye el área que menos se enseña en las instituciones.
Adicionalmente enfatizó la incorporación de las TIC y en particular los programas de
geometría dinámica (73%) y en menor grado el desarrollo de competencias digitales de los
docentes de matemáticas.
La metodología de trabajo se fundamentó en la propuesta “Formación de Profesores
de Matemática: aprendizajes recíprocos”, (Jiménez, 2005); La estructura se basó
principalmente en cuatro (4) fases: dos fases iniciales de contextualización, desarrollo
teórico en aspectos epistemológicos, pedagógicos y didácticos; en la tercera fase se
implementaron talleres prácticos, y la última fase fue la proyección de las actividades
desarrolladas, al aula de clase, a través de talleres y secuencias didácticas diseñados por los
participantes de la capacitación. Todos los programas propician un aprendizaje crítico y
cooperativo, estimulando la reflexión y (re)significación de las prácticas y saberes de los
docentes; los cursos de capacitación involucraron, en promedio, las tendencias y teorías en
el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas y la educación matemática correspondiente
a un 20%, la implementación de talleres y secuencias didácticas en un 40% y respecto a las
fases de proyección y (re)significación se destinó 40% de las actividades programadas.
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Énfasis en formación geométrica
Énfasis en mediación tecnológica
Énfasis en la componente digital
77
73
38
Énfasis de la componente geométrica de los cursos de capacitación de docentes
143
Los programas de formación continua de la Tabla 5 iniciaron con una
contextualización teórica de las últimas tendencias de investigación en matemáticas y
educación matemática, realizada generalmente a través de exposiciones con la finalidad de
transmitir conocimiento (heteroestructuración); un aspecto fundamental que se involucró es
la construcción social de conocimiento (interestructuración) al interior del grupo de
profesores participantes, el análisis reflexivo individual sobre sus prácticas y creencias
(autoestructuración) complementado con la reflexión colectiva con miras a la
(re)significación de saberes (Not, 2013). En la mayoría de los programas se incluyó una
componente propositiva, en donde los profesores proyectaron las actividades al aula en las
instituciones educativas donde trabajan y presentaron un informe final con sus resultados.
Plan de capacitación MEN-UPTC
La cualificación de docentes de Matemáticas para la Educación Básica y Media en
Colombia ha sufrido grandes transformaciones gracias al impulso propiciado por los
desarrollos de la Educación Matemática como disciplina científica a nivel internacional, que
contempla dentro de sus programas de investigación la formación inicial y permanente de
los educadores.
El Ministerio de Educación Nacional a través del programa “Transformemos, Todos a
Aprender”, emprendió un gigantesco esfuerzo para ponerse a tono con éstas nuevas
tendencias en conformar una comunidad académica de tutores y formadores, con la asesoría
y acompañamiento de cinco universidades cuyo compromiso radica en la producción y
evaluación de materiales virtuales que contextualizan teórica y empíricamente las prácticas
educativas de los docentes.
La investigación sobre la cualificación de docentes consistió en analizar las
implicaciones epistemológicas, pedagógicas y didácticas de la construcción de las nociones
de espacio, forma y figura, a través de secuencias didácticas que buscan la (re)significación
144
de saberes y prácticas de los docentes de Educación Básica en algunas zonas marginales de
Colombia.
En la primera etapa de diseño y creación de los materiales virtuales, uno de los
aspectos que se enfatizó fue el papel de la representación y el pensamiento visual en la
construcción de conceptos en Matemáticos, que actualmente es considerado un problema
fundamental en Educación Matemática, con pleno auge como área y tendencia de
investigación. La exploración en los sistemas semióticos de representación (en el sentido
propuesto por Duval) fue considerado clave para brindar ambientes creativos de aprendizaje;
además el pensamiento visual fue el soporte que propició potenciar la imaginación y el
pensamiento matemático de los docentes de Matemáticas.
Otro aspecto considerado como novedoso dentro de la investigación fue la creación
de ambientes dinámicos virtuales para el aprendizaje de la Geometría, incluyendo aspectos
como la exploración de diversas representaciones de conceptos geométricos, la construcción
de modelos que los estructuran y la simulación de situaciones problemáticas cotidianas en
ámbitos como la arquitectura, la pintura y la modelación de la naturaleza.
Finalmente, producto de la evaluación inicial del uso de los materiales se analizaron
algunos aspectos detectados por los docentes que aportaron al replanteamiento de las
situaciones propuestas. El material en general tuvo buena acogida pues consideran se
combinan adecuadamente aspectos teóricos aplicados en situaciones pragmáticas familiares
para los docentes.
Los aportes significativos son la desmitificación del uso de mediaciones basadas en
los materiales virtuales y el fortalecimiento del nexo entre construcciones intuitivas y
teóricas formales, tratando de mantener un equilibrio adecuado en el trabajo con
representaciones, construcción de modelos y simulaciones, y los procesos de creación de
teorías matemáticas. Un resultado relevante inherente a la formación geométrica de los
docentes, contraria a la tradición en su aprendizaje, es el énfasis en el espacio tridimensional
145
y los diversos tipos de geometría para la exploración de la naturaleza, que buscan evitar el
excesivo énfasis en la geometría del plano.
Caracterización de los profesores de matemáticas de colegios oficiales de Tunja
Para el análisis descriptivo explicativo de la comunidad de docentes de matemáticas
de la ciudad de Tunja se consolidó una base de datos suministrados por la Secretaría de
Educación, se incluyen variables como el tipo de escalafón y su grado, la edad, , área del
desempeño, la formación y último título logrado y el grado en el cual enseña.
Hay dos escalafones distintis para docentes oficiales: El reglamentado en el decreto
2277, que corresponde a la clasificación antigua; Todos los docentes de dicho escalafón están
en el más alto grado catorce (14). En cuanto al nuevo escalafón reglamentado en el decreto
1278, los docentes se encuentran en la segunda categoría, como se muestra en la figura 23.
146
Figura 23. Procesos de investigación cualitativa
Fuente:El autor
La mayoría de los profesores están nombrados de planta en las instituciones oficiales
y algunos son reemplazados tanto por maternidad, enfermedad o comisión no remunerada.
Se detectaron dos generaciones de profesores (véase Figura 24), aquellos que tienen
menos de veinte (20) años de experiencia y los que tienen entre veinte (20) y cuarenta y
cinco (45) años de experiencia. Se presentó recientemente una renovación de la planta
docente, mediante concurso público, por ello existe un grupo significativo de docentes con
menos de doce años de experiencia, mucha de ella lograda en puestos provisionales o en
colegios privados.
147
Figura 24. Antigüedad en el cargo
Fuente: El autor
La profesión del docente de matemáticas dentro de la planta actual que tiene formación
de pregrado en áreas dedicadas a las matemáticas o educación matemática es del 60%. El
resto constituye un grupo de profesionales cuya formación inicial no fue centrada en las
competencias profesionales para enseñar matemáticas. Es bien conocida la problemática de
conformar una planta de profesores que no estudiaron en programas de licenciatura de
matemáticas, pues el Ministerio de Educación Nacional permitió que dentro de los perfiles
puedan optar ingenieros, administradores de empresas, contadores, arquitectos, entre otros,
para dedicarse a la profesión de profesores de matemáticas, con la justificación que ellos
recibieron formación básica en matemáticas, no obstante que no se formaron para enseñarla.
Se destaca que muchos de estos docentes han cursado maestrías en educación,
educación matemática, didáctica de las matemáticas y didáctica de las ciencias para
complementar o suplir esta deficiencia.
148
149
Figura 25. Formación de los docentes
Fuente: El autor
Cuestionario estandarizado sobre inserción de la tecnología a la enseñanza y
el aprendizaje de la geometría
La inserción de la tecnología en matemáticas se ha incrementado en las últimas tres
décadas debido al desarrollo de poderosas aplicaciones informáticas disponibles con calidad
técnica y flexibilidad en la manipulación. La potencialidad para experimentar con las
diversas representaciones semióticas, el cálculo simbólico y la verificación para validar
procedimientos correctos se constituyen en las características a la hora de aprender
geometría.
Para responder a la inquietud sobre el grado de inserción de la tecnología en el aula de
matemáticas, si los docentes se han apropiado de los avances informáticos y si los han
incorporado a su formación para desarrollar la competencia digital, se aplicó un cuestionario
(Anexo 3) a ciento trece (113) estudiantes y profesores de los programas que forman
licenciados en matemáticas de Tunja, Duitama y La Facultad de Estudios a distancia
FESAD; Tambien se aplicó a veinte (20) egresados de dichos programas del año 2015.
150
La encuesta contiene preguntas cerradas respecto al nivel de formación en TIC, los
niveles de implementación y uso de programas específicos en matemáticas y geometría.
También se hicieron preguntas abiertas para conocer las concepciones de los encuestados
sobre la incorporación de las TIC al aprendizaje de las matemáticas, su formación en la
competencia digital, los aspectos a cambiar en geometría al incorporarlas, sugerencias para
incluir en la formación de maestros y sobre las aplicaciones informáticas más comunes al
aprender geometría (veáse Anexo 3).
El nivel de formación inicial de profesores de matemáticas que se ofrece en la UPTC,
de la Facultad de Ciencias de la Educación está dirigido de manera primordial a la educación
secundaria y muy pocos profesores de matemáticas se desempeñan en educación básica y en
preescolar.
Figura 26: Nivel de formación Fuente: El autor
Se puede detectar que aproximadamente el 29% de los encuestados ha recibido
formación en programas específicos para aprender matemáticas y el resto (71%) ha recibido
151
poca o ninguna alfabetización informática en este aspecto (Roig, Mengual y Rodríguez,
2013).
Figura 27. Nivel de formación
Fuente: El autor
Es notoria la formación que han recibido para el uso educativo de internet, en
aplicaciones de redes sociales, comunicación sincrónica y presentaciones para ofrecer
temáticas con mediación tecnológica.
La formación específica en TIC es contemplada en los pensum de formación inicial de
profesores así como la relativa al uso común de aplicaciones de procesamiento de texto, uso
de cursos en línea y manejo de bases de datos (Llinares, 2011; Sangrá y otros).
152
Figura 28. Formación en TIC
Fuente: El autor
Respecto a los recursos empleados por los encuestados se destaca el uso de ordenador
de mesa y poco empleo de pizarras electrónicas, portátiles y tabletas en el aula de
matemáticas (ver anexo 4 y 5). Se nota un apropiado uso de aplicaciones tradicionales como
JClic; pero es escaso la producción de páginas web con aplicaciones como HotPotatoes,
0 10 20 30 40 50 60 70 80
¿Con qué frecuencia recibe alguna formaciónespecífica en TIC?
¿Qué nivel de formación considera que tiene en aplicaciones informáticas básicas? (procesadores de
textos, bases de datos,…)
¿Qué nivel de formación considera que tiene en programas de presentaciones básicos? (Powerpoint,
Prezing,…)
¿Qué nivel de formación considera que tiene en programas específicos para aprender matemáticas?
(Cabri, Derive,…)
¿Qué nivel de formación considera que tiene ennavegación por Internet?
¿Qué nivel de formación considera que tiene en herramientas digitales de comunicación? (correo
electrónico, foros, chat,…)
¿Qué nivel de formación considera que tiene enedición de páginas web?
¿Qué nivel de formación considera que tiene en plataformas de enseñanza? (Moodle…)
NIVEL DE FORMACIÓN EN TIC
Bastante Mucho Poco Nunca
153
dibujos en geometría dinámica y estrategias de enseñanza por internet como WebQuest. Los
encuestados manifiestan complementar su formación por iniciativa personal.
Figura 29. Uso de las TIC Fuente: El autor
0 10 20 30 40 50 60 70 80
¿Con qué frecuencia usa las TIC a nivel personal?
¿Con qué frecuencia usa las TIC a nivel profesional para la gestión de sus materias? (asistencia, notas, …
¿Con qué frecuencia usa las TIC en el aula deGeometría?
¿Utiliza Internet para buscar información?
¿Utiliza Internet como herramienta de comunicación? (correo electrónico, foros, chat,…)
¿Utiliza Internet como vía de obtención de recursos yprogramas informáticos?
¿Usa el procesador de textos y los programas depresentaciones en clases de Geometría?
¿Utiliza las WebQuest en las clases de Geometría?
¿Usa JClic en el aula de Geometría?
¿Utiliza las HotPotatoes en las clases de Geometría?
¿Usa algún programa de geometría dinámica en elaula?
¿Utiliza pizarras (tableros) electrónicas en el aula degeometría?
¿Usa portátil y video beampara las presentaciones enlas clases de geometría?
¿Utiliza tabletas electrónicas en el aula de geometría?
NIVEL DE USO DE LAS TIC
Bastante Mucho Poco Nunca
154
En cuanto al nivel de uso de programas específicos en matemáticas y geometría se
percibe poco desarrollo de la competencia digital en matemáticas y los programas de
formación no dedican tiempo a la alfabetización y experimentación con dichas aplicaciones.
Figura 30. Uso de programas específicos para aprender matemáticas Fuente: El autor
Al analizar los promedios de las ponderaciones dadas por los encuestados se encuentra
que los aspectos más relevantes tiene que ver con el uso educativo básico de internet y
comunicación y el poco desarrollo profesional para crear aplicaciones vía web.
0 20 40 60 80
¿Utiliza algún programa de cálculo simbólico para las clases de matemáticas? ( programas tipo Derive,
Matlab, Matemática, Maple, Calculadora de …
¿Usa con propiedad programas de geometría dinámica para crear materiales interactivos y applets que ilustren conceptos geométricos? (programas …
¿Utiliza programas para enseñar geometría de sólidos? (programas tipo Poly, Cabri 3D, …)
¿Usa libros digitales interactivos (con dibujosdinámicos manipulables) en sus clases de geometría?
¿Utiliza Blogs y páginas web para brindar ambientesde aprendizaje de la Geometría?
¿Ha creado Blogs y páginas web para brindarambientes de aprendizaje de la Geometría?
NIVEL DE USO DE PROGRAMAS ESPECÍFICOS EN MATEMÁTICAS Y GEOMETRÍA
Bastante Mucho Poco Nunca
155
Figura 31. Resumen factores del cuestionario Fuente: El autor
Los promedios de las valoraciones que han dado los estudiantes en aspectos
específicos de la incorporación de las TIC a la enseñanza y aprendizaje de la geometría
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
¿Con qué frecuencia recibe alguna formación…
¿Qué nivel de formación considera que tiene en …
¿Qué nivel de formación considera que tiene en …
¿Qué nivel de formación considera que tiene en …
¿Qué nivel de formación considera que tiene en…
¿Qué nivel de formación considera que tiene en …
¿Qué nivel de formación considera que tiene en…
¿Qué nivel de formación considera que tiene en …
¿Con qué frecuencia usa las TIC a nivel personal?
¿Con qué frecuencia usa las TIC a nivel profesional …
¿Con qué frecuencia usa las TIC en el aula de…
¿Utiliza Internet para buscar información?
¿Utiliza Internet como herramienta de …
¿Utiliza Internet como vía de obtención de…
¿Usa el procesador de textos y los programas de…
¿Utiliza las WebQuest en las clases de Geometría?
¿Usa JClic en el aula de Geometría?
¿Utiliza las HotPotatoes en las clases de Geometría?
2,18
2,43
2,74
2,11
2,83
3,13
1,85
2,13
2,68
2,42
1,91
3,36
3,38
2,89
1,89
1,50
1,48
1,47
Promedios de valoraciones escala de 1-4
156
demuestran una debilidad en este campo de formación, pues todas las preguntas están en
promedio por debajo de la media (2,5). Se resalta que aunque se ha dotado a las instituciones
de tabletas electrónicas los profesores no están suficientemente formados para su empleo en
el aula, al momento de enseñar y propiciar ambientes de aprendizaje de la geometría.
Figura 32. Promedio valoraciones cuestionario
Fuente: El autor
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
¿Usa algún programa de geometría dinámica en elaula?
¿Utiliza pizarras (tableros) electrónicas en el aula degeometría?
¿Usa portátil y video beampara las presentaciones enlas clases de geometría?
¿Utiliza tabletas electrónicas en el aula degeometría?
¿Utiliza algún programa de cálculo simbólico para las clases de matemáticas? ( programas tipo Derive, …
¿Usa con propiedad programas de geometría dinámica para crear materiales interactivos y …
¿Utiliza programas para enseñar geometría de sólidos? (programas tipo Poly, Cabri 3D, …)
¿Usa libros digitales interactivos (con dibujosdinámicos manipulables) en sus clases de geometría?
¿Utiliza Blogs y páginas web para brindar ambientesde aprendizaje de la Geometría?
¿Ha creado Blogs y páginas web para brindarambientes de aprendizaje de la Geometría?
1,73
1,50
2,04
1,45
1,66
1,73
1,62
1,68
1,60
1,51
Promedio valoraciones escala de1-4
157
Dotación tecnológica en colegios de Tunja
Los recursos tecnológicos informáticos con los cuales cuenta el docente son muy
importantes para mejorar el aprendizaje de las matemáticas. Se escogieron nueve colegios
para hacer un inventario de los recursos tecnológicos y se determinó que la mayoría cuenta
con salas de computadores y dotación de tabletas electrónicas. Asi mismo se estableció la
insuficiente dotación en programas de geometría dinámica, pues los profesores priorizan el
trabajo con software libre como GeoGebra y Applets específicos para experimentación con
las representaciones 2D y 3D; En las tablas del anexo 12 se muestra una distribución de los
recursos en los colegios de Tunja seleccionados. Para poder incorporar las TIC en
matemáticas es fundamental una sala dedicada como laboratorio de matemáticas y ninguna
de las instituciones cuenta con este privilegio; la dotación de recursos informáticos no es
suficiente para usar internet y las aplicaciones dedicadas al aprendizaje de las geometrías.
Los profesores han manifestado la preferencia por trabajar con un computador y el uso
de video beam, adoptando formas de trabajo demostrativo a través de exposiciones,
esperando que los estudiantes complementen sus tareas en casa usando los recursos con que
disponen.
Software de geometría
Los campos de la tecnología informática han permeado la mayoría de áreas del
conocimiento impulsando su desarrollo de manera integrada con las demás ciencias. Los
avances de la geometría han permitido crear programas para manipular las diversas
representaciones de los objetos matemáticos y a su vez estos desarrollos han propiciado
descubrir muchas propiedades geométricas en las diversas teorías, que retroalimentan las
herramientas que generan el mejoramiento de la calidad técnica de las aplicaciones
informáticas. Una clasificación de algun software para trabajar y experimentar en geometría
se presenta a continuación:
158
Cálculo simbólico: Mathematica, Matlab, Maple y Derive.
Geometría dinámica: Cabri II Plus, Cabri 3D, GeoGebra, Sketchpad, Cinderella,
Regla y Compás.
Cálculo gráfico: Dpgraph, Mesh, Meshman, Machete, 3D Graficador de Funciones,
3D Plot Grapher, Surface 3D Ploter Lite.
Fórmulas: Malmath, PhotoMat. Geometría, VGA, Área y Volume.
Diseño: Sketchpad.
Desarrollo demostrativo: Geometrix.
Manipulación visual: Fractal Vision, Tree Mark.
Informativas: Poly Pro.
Heurísticas: Geometrix, Geómetra.
Applets y dibujos dinámicos: Proyecto Descartes, mundo matemático entre otros.
Realidad virtual y aumentada: GeoGebra VR, Geometry AR.
Aplicaciones específicas para tabletas electrónicas y celulares.
159
Conformación y consolidación del grupo colaborativo para el aprendizaje de
las geometrías
Se logró integrar un grupo de trabajo para el aprendizaje las geometrías, conformado
por profesores, estudiantes y egresados de la Licenciatura en Matemáticas Uptc, cinco de
ellos entre profesores de planta y ocasionales, cuatro (4) docentes de colegios oficiales y
privados de Tunja y seis (6) estudiantes en formación inicial.
Algunos de ellos cumplieron las funciones de asesores por ser expertos en geometría.
Otros se consideraban como expertos en tecnología y en competencias digitales. La mayoría
de los estudiantes que participaron desarrollaron proyectos de formación investigativa inicial
y trabajos de grado de licenciatura en matemáticas como maestría en educación y en
educación matemática.
La misión del grupo adopta la filosofía “[…] grupo de personas que comparten una
preocupación, un conjunto de problemas o interés común acerca de un tema, y que
profundizan su conocimiento y pericia en esta área a través de una estructura social basada
en la construcción colaborativa de conocimientos y orientada a mantener la ventaja
competitiva de sus miembros” (Wenger, 2001).
160
Figura 33. Dinámica de trabajo colaborativo
Fuente: Ana Isabel Sacristán
161
En la Figura 34 se describe la estructura de las actividades desarrolladas en el curso y
la forma de trabajo al interior.
162
163
Figura 34. Esquemas de trabajo colaborativo
Fuente: El autor
164
Dentro de las actividades desarrolladas por el grupo colaborativo se pueden mencionar
la exploración temática y tecnológica sobre el aprendizaje en las geometrías, hecha para
elegir los conceptos, teoremas y propiedades más susceptibles de ser presentadas con
mediación informática (González y Weinstein, 2006; López y otros, 2005; Martiño, 2004,
Netz y William, 2007; Obregón 2007; Ortega, 2001; Prieto, 2017; Ricotti, 2013; Stewart,
2011, 2012 y 2015; Strogatz, 2013; Vancleauve, 2007; Cresci, 1998; Sinner, 2007;
Zabalkann, 2009; Weyl, 1991). Asimismo, se consolidó el análisis histórico y
epistemológico del desarrollo de las geometrías y de la educación geométrica (UNESCO,
1986); en las tareas asumidas por integrantes sobresalen los proyectos de aula, las
monografías del programa de licenciatura en matemáticas y las tesis de maestría en
educación y educación matemática, que incluyeron ambientes virtuales de aprendizaje de
geometría euclidiana, proyectiva, vectorial, analítica y fractal.
Se elaboraron e implementaron talleres sobre alfabetización en el manejo de las
aplicaciones de geometría dinámica, luego de hacer un inventario y escoger los programas
de geometría más convenientes para ser modelados; el desarrollo de los talleres concebidos
por sus participantes adoptó momentos de aprendizaje colectivo, cooperativo y autónomo;
los miembros del grupo se encargaban de construir los ambientes virtuales de aprendizaje
con actividades para desarrollar el pensamiento matemático y trabajar con sistemas y
estructuras matemáticas.
Así mismo los ambientes virtuales dentro de proyectos de investigación formativa de
sus tesis de grado de posgrado se socializaron el interior del grupo, para dar las
recomendaciones y hacer las modificaciones respectivas; posteriormente evaluaron dichos
ambientes en el aula de clase y presentaron sus resultados (Tello, 2006). Se destacó el análisis
y discusión de los elementos que contenían los materiales propuestos y esto permitió hacer
su validación al interior del colectivo de expertos (ver anexo 8).
Para estimular el trabajo e incentivar la motivación del colectivo de docentes y
estudiantes se ofrecieron conferencias temáticas de carácter internacional relativas a la
165
incorporación del arte en aprendizaje de la matemática, el enfoque ontosemiótico y la
competencia digital de Godino y otros, el pensamiento visual en geometría y el enfoque
noético-cognitivo de Duval, a cargo de los reconocidos los investigadores Bruno D’Amore
(Universidad de Bologna, Italia), Vicenç Font Moll (Universidad de Barcelona, España),
Osvaldo Rojas (Cubano, Universidad Antonio Nariño, Bogotá) y Milena Asinova (Italia),
respectivamente.
A continuación se hace una relación de los proyectos de investigación desarrollados
por algunos miembros del grupo colaborativo y los trabajos de grado elaborados. Todos ellos
están relacionados con el aprendizaje de la geometría y las mediaciones digitales para su
aprendizaje Esto se constituyó en el motor de impulso para realizar los ambientes de
aprendizaje para el aula, los dibujos dinámicos y las tareas diseñadas de manera colectiva.
Descripción y análisis de los ambientes virtuales y dibujos dinámicos
En las Tablas 7 – 25 y Figuras 35 - 44 se presenta la caracterización y descripción de
los ambientes virtuales de aprendizaje y dibujos dinámicos para el aprendizaje de las
geometrías, seleccionados para el análisis respecto a las cuatro maneras de ver en geometría,
los elementos fundamentales del enfoque noético cognitivo de Duval y la competencia
digital adoptando la organización de Collette Laborde; el punto central corresponde al
análisis de idoneidad didáctica del enfoque ontosemiótico de del AVA adaptadas de Godino
(2011) y Leguizamón (2017) Se escogió la escala de uno (1) a cinco (5) para valorar algunos
de los factores incluidos en las tablas.
166
Competencia
Identifica poliedros regulares duales a partir de los centros de pentágonos
Tipos de pensamientos matemático involucrados
Numérico N Métrico M Aleatorio A Espacial E Variacional V
Sistemas y estructuras trabajados
Números
Nu
Medidas
Me
Datos
De
Geométrico
Ge
Analíticos
An
Tipos de programas de geometrías que contextualizan el ambiente
Geometría
Euclidiana 1D
GE1D Geometría
Métrica
GM Geometría
Analítica
GA Geometría de las
Transformaciones GT Geometría
Vectorial
GV
Geometría
Euclidiana 2D
GE2D Geometría
Diferencial
GD Geometría
Fractal
GF Geometría
de Grafos
GG Geometría
Proyectiva
GP
Geometría
Euclidiana 3D
GE3D Geometría
No euclidiana
Hiperbólica
GNE
H
Geometría
No euclidiana
Elíptica
GNE
E
Geometría
Multi-
Dimensional
GMD Topología TP
Tipo de software usado
Geometría Dinámica con Cabri 3D, Cabri II Plus ó Geogebra
Autor
Grupo colaborativo, Grupos Electiva de Profundización I
Forma de abordaje del conocimiento matemático
Autoestructuración Heteroestructuración Interestructuración
Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
El enfoque noético/cognitivo de Duval
Sistemas semióticos de representación
LN Lenguaje Natural o Usual T Tratamiento
LA Lenguaje Algebraico C Conversión
LG Lenguaje Gráfico DF Deconstrucción de las Formas
167
Ambiente Virtual de Aprendizaje 1
Tema. Poliedros regulares duales
Figura 35. Icosaedro
Fuente: El autor
Tabla 6. Descripción del ambiente 1. Competencia Competencia
Identifica poliedros regulares duales a partir de los centros de pentágonos
Tipos de pensamientos matemático involucrados
N M A E x V
Sistemas y estructuras trabajados
Nu Me x Da Ge x An
Tipos de programas de geometrías que contextualizan el ambiente
GE1D X GM x GA X GT x GV
GE2D X GD GF GG GP
GE3D X GNEH GNEE GMD TP
Tipo de software usado
Geometría Dinámica con Cabri 3D
168
Autor
Grupo colaborativo
Forma de abordaje del conocimiento matemático
Autoestructuración Heteroestructuración X Interestructuración
Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
Tabla 7: Descripción del ambiente 1. Maneras de ver en geometría Maneras de ver en geometría
Botánico
Puntos vértices, puntos medios.
Segmentos, rectas, ángulos.
Segmentos como aristas
Triángulos y pentágonos como caras laterales
Puntos centros de los polígonos regulares
Ejes y puntos de simetría
Dodecaedro e icosaedro
Agrimensor (Geómetra)
Medida de las aristas
Distancia entre vértices
Áreas de polígonos los regulares pentágono y triángulo
Perímetros del contorno de las aristas
Área de la superficie lateral de los poliedros mencionados
Volumen del dodecaedro e icosaedro y pirámide de base pentagonal
Proporción entre aristas del dodecaedro e icosaedro
Proporción entre áreas laterales del dodecaedro e icosaedro
Proporción entre volúmenes los dodecaedro e icosaedro
169
Constructor
Establecimiento de coordenadas cartesianas 3D
Construcción del dodecaedro con herramientas primitivas
Determinación de puntos medios de dos aristas contiguas con herramientas primitivas
Bisección de dos ángulos de una cara pentagonal usando herramientas primitivas
Hallar centro del pentágono por intersección de rectas bisectoras de los dos ángulos
Uso de simetría axial (por planos) para ubicar los otros once centros de las caras del
dodecaedro
Construcción del icosaedro con los doce centros usando herramienta de poliedro
Elaboración de la animación
Inventor (Artesano)
Verificación formula de Euler para poliedros
Formas distintas de hallar el volumen de los poliedros dodecaedro e icosaedro
Proporcionalidad y semejanza entre los elementos de los poliedros
170
El enfoque noético/cognitivo de Duval
Sistemas semióticos de representación
L
N
Usa el lenguaje natural para expresar las propiedades de las figuras identificadas y el
algoritmo de construcción del icosaedro
Valoración 1
2 3 4
x
5
L
A
Expresa en lenguaje algebraico las relaciones entre los elementos del dodecaedro e
icosaedro y las transformaciones empleadas en la construcción
Valoración 1
2 3
x
4 5
L
G
La visualización del ambiente permite encontrar las relaciones entre poliedros y
evidenciar claramente los dibujos y las figuras
Valoración 1
2 3 4 5
x
T
Realiza tratamientos al interior del mismo registro en los sistemas de representación
semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2 3
x
4 5
C
Efectúa conversiones manteniendo el mismo registro entre sistemas de
representación semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2 3 4
x
5
171
D
F
La actividad propuesta genera la deconstrucción de las formas 1D-2D-3D
Valoración 1
2 3 4
x
5
Tabla 8: Descripción del ambiente 1. Competencia Digital.
Competencia Digital / valoración 1 2 3 4 5
Descripción de la competencia
D
I
U
B
U
J
O
Usa con propiedad las herramientas básicas de dibujo. x
Emplea las herramientas básicas de lugares geométricos.
Maneja apropiadamente las herramientas básicas de
transformaciones.
x
Manipulan las herramientas que determinan las
propiedades de los objetos dibujados (Color, textura,
contorno).
x
Implementa las relaciones sobre lados y ángulos. x
Utiliza las medidas de longitud, área y volumen de los
objetos dibujados.
x
Aplica correctamente los comandos del programa para
transformaciones como traslaciones, homotecias, reflexiones,
simetrías y rotaciones.
x
F
U
N
C
I
Emplea apropiadamente los comandos de animación simple y
múltiple sobre los elementos de la figura.
x
Adopta macroconstrucciones para grabar los algoritmos de la
construcción elaborada.
x
Asocia los pasos de construcción a procedimientos claros y
coherentes.
x
172
O
N
A
M
I
E
N
T
O
Usa los comandos de relaciones de isometría paralelismo y
perpendicularidad, tangencia y similaridad, vinculados a los
dibujos dinámicos.
x
Relaciona los pasos de la construcción a instrucciones para
descubrir sus propiedades.
x
Las etapas de la construcción evidencian un propósito final
que debe ser asimilado, entendido o descubierto, según el
caso.
x
Construye el significado de las propiedades de la actividad o
Teorema para expresarlo en lenguaje natural y/o matemático.
x
M
O
D
E
L
A
C
I
Ó
N
Usa apropiadamente los deslizadores con parámetros para
controlar las propiedades de la animación.
x
Compone macroconstrucciones para simplificar
procedimientos más complejos.
x
Relaciona las variables que intervienen en la actividad con
expresiones algebraicas correctas.
x
Las etapas de la modelación se evidencian fácilmente. x
Grafica funciones que provienen de las relaciones algebraicas
entre variables inmersas en la actividad o teorema propuesto.
x
La modelación se realiza en un contexto coherente y
reversible controlado por parámetros necesarios y
optimizados.
x
173
Tabla 9: Descripción del ambiente 1. Análisis de Idoneidad.
COMPONENTES INDICADORES 1 2 3 4 5
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 84%
Situaciones- Problemas 50%
El ambiente presenta la actividad contextualizada en un problema, situación problemática o un teorema.
x
Se hace preguntas abiertas que generan situaciones blandas que amplían el dominio de interpretación.
x
Lenguajes 100%
Uso de diferentes modos sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica, simbólica y tabular), traducciones y conversiones y tratamientos al interior y entre los mismas.
x
Nivel del lenguaje natural adecuado a los estudiantes a que se dirige.
x
Se proponen situaciones para generalizar e interpretar. x
Reglas (Definiciones, proposiciones, procedimientos) 100%
Presentación de las definiciones y procedimientos claros y correctos, adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
x
Se presentan las instrucciones que generen construcción y negociación colectiva y de conocimiento escolar.
x
Argumentos 100%
Presenta sugerencias e instrucciones apropiadas para verificación y demostración de proposiciones y teoremas.
x
Se propician la conjeturación, justificación y argumentación.
x
Relaciones 50%
Los objetos matemáticos (problemas, deducciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.
x
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en los ambientes virtuales.
x
174
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 74 %
Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%
Se parte de los conocimientos previos y nociones necesarias para el desarrollo de la actividad propuesta.
x
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
x
Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales 100%
Los contenidos incluidos en los ambientes virtuales están contextualizados y relacionados con los contenidos curriculares del grado.
x
Se involucra la inclusión académica, la participación de los estudiantes, aun con debilidades en competencia digital.
x
Aprendizaje: Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 25%
Se contemplan estrategias de retroalimentación para evaluar las producciones de los estudiantes y la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas.
x
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva.
x
Los resultados de las evaluaciones de los estudiantes se tienen en cuenta para la (re)significación del ambiente virtual propuesto.
x
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 95%
Intereses y necesidades 50%
Las tareas y actividades tienen interés para los alumnos.
x
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
x
Emociones 100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.
x
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
x
175
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 76%
Interacción docente-discente 80%
El ambiente virtual presenta el tema de forma clara y organizada.
x
Se sugiere incentivar la discusión grupal y búsqueda de consensos con base al mejor argumento.
x
Se facilita la inclusión de los estudiantes, aun los que muestran debilidades en la competencia digital.
x
Autonomía 100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
x
Evaluación formativa 0%
Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
x
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 70%
Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 50%
Se invita al uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
x
Las definiciones, propiedades y teoremas son contextualizadas motivadas usando situaciones, modelos concretos y visualizaciones.
x
176
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 92%
Adaptación al currículo 100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las directrices curriculares.
x
Apertura hacia la innovación Didáctica. 50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva.
x
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
x
Adaptación socio- profesional y cultural 100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes.
x
Conexiones intra e Interdisciplinares 100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares.
x
Fuente: Godino (2011).
Figura 36. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 1 Fuente: Godino (2011).
177
Ambiente Virtual de aprendizaje 2.
Tema. Del cubo al cuboctaedro
Figura 37. Cuboctaedro
Fuente: El autor
Tabla 10. Descripción ambiente 2. Competencia Competencia
Identifica poliedros regulares duales a partir de los puntos centros de las aristas del cubo
Tipos de pensamientos matemático involucrados
N M A E V
Sistemas y estructuras trabajados
Nu Me Da Ge x An
Tipos de programas de geometrías que contextualizan el ambiente
GE1D GM GA GT GV
GE2D GD GF GG GP
GE3D GNEH GNEE GMD TP
178
Tipo de software usado
Geometría Dinámica con Cabri 3D
Autor
Grupo colaborativo
Forma de abordaje del conocimiento matemático
Autoestructuración Heteroestructuración Interestructuración
Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
Tabla 11. Descripción del Ambiente 2. Maneras de ver en geometría
Maneras de ver en geometría
Botánico
Puntos vértices, puntos medios.
Segmentos, rectas, ángulos.
Segmentos como aristas
Triángulos, cuadrados y hexágonos como caras laterales
Puntos centros de los polígonos regulares e irregulares
Ejes y puntos de simetría
Hexaedro o cubo, cuboctedro regular e irregular
Agrimensor (Geómetra)
Medida de las aristas
Distancia entre vértices
Áreas de polígonos regulares hexágonos, cuadrado y triángulo
Perímetros del contorno de las aristas
Área de la superficie lateral de los poliedros mencionados
179
Volumen del cubo, cuboctaedro y pirámide de base cuadrada
Proporción entre aristas del cubo y cuboctaedro
Proporción entre áreas laterales del cubo y cuboctaedro
Proporción entre volúmenes los cubo y cuboctaedro
Constructor
Establecimiento de coordenadas cartesianas 3D
Construcción del cubo con herramientas primitivas
Determinación de puntos medios de dos aristas contiguas con herramientas primitivas
Determinación de puntos y deslizadores para la animación
Bisección de dos ángulos de una cara cuadrada usando herramientas primitivas
Uso de simetría axial (por planos) para ubicar los otros seis puntos dependientes en la
arista para construir la animación
Construcción del cubooctaedro con los doce puntos de animación usando herramienta de
poliedro
Visualización de la animación
Inventor (Artesano)
Verificación de tipos de poliedros y polígonos mostrados
Formas distintas de hallar el volumen de los poliedros cubo y cubooctaedro
Proporcionalidad y semejanza entre los elementos de los poliedros
El enfoque noético/cognitivo de Duval
Sistemas semióticos de representación
L
N
Usa el lenguaje natural para expresar las propiedades de las figuras identificadas y el
algoritmo de construcción del icosaedro
Valoración 1
2 3 4
5
x
180
L
A
Expresa en lenguaje algebraico las relaciones entre los elementos del dodecaedro e
icosaedro y las transformaciones empleadas en la construcción
Valoración 1
2 3
4
x
5
L
G
La visualización del ambiente permite encontrar las relaciones entre poliedros y
evidenciar claramente los dibujos y las figuras
Valoración 1
2 3 4 5
x
T
Realiza tratamientos al interior del mismo registro en los sistemas de representación
semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2 3
4
x
5
C
Efectúa conversiones manteniendo el mismo registro entre sistemas de
representación semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2 3 4
x
5
D
F
La actividad propuesta genera la deconstrucción de las formas 1D-2D-3D
Valoración 1
2 3 4
5
x
181
Tabla 12. Descripción del ambiente 2. Competencia digital
Competencia Digital / valoración 1 2 3 4 5
Descripción de la competencia
D
I
U
B
U
J
O
Usa con propiedad las herramientas básicas de dibujo. x
Emplea las herramientas básicas de lugares geométricos.
Maneja apropiadamente las herramientas básicas de
transformaciones.
x
Manipulan las herramientas que determinan las
propiedades de los objetos dibujados (Color, textura,
contorno).
x
Implementa las relaciones sobre lados y ángulos. x
Utiliza las medidas de longitud, área y volumen de los
objetos dibujados.
x
Aplica correctamente los comandos del programa para
transformaciones como traslaciones, homotecias, reflexiones,
simetrías y rotaciones.
x
F
U
N
C
I
O
N
A
M
I
Emplea apropiadamente los comandos de animación simple y
múltiple sobre los elementos de la figura.
x
Adopta macroconstrucciones para grabar los algoritmos de la
construcción elaborada.
x
Asocia los pasos de construcción a procedimientos claros y
coherentes.
x
Usa los comandos de relaciones de isometría paralelismo y
perpendicularidad, tangencia y similaridad, vinculados a los
dibujos dinámicos.
x
Relaciona los pasos de la construcción a instrucciones para
descubrir sus propiedades.
x
182
E
N
T
O
Las etapas de la construcción evidencian un propósito final
que debe ser asimilado, entendido o descubierto, según el
caso.
x
Construye el significado de las propiedades de la actividad o
teorema para expresarlo en lenguaje natural y/o matemático.
x
M
O
D
E
L
A
C
I
Ó
N
Usa apropiadamente los deslizadores con parámetros para
controlar las propiedades de la animación.
x
Compone macroconstrucciones para simplificar
procedimientos más complejos.
x
Relaciona las variables que intervienen en la actividad con
expresiones algebraicas correctas.
x
Las etapas de la modelación se evidencian fácilmente. x
Grafica funciones que provienen de las relaciones algebraicas
entre variables inmersas en la actividad o teorema propuesto.
x
La modelación se realiza en un contexto coherente y
reversible controlado por parámetros necesarios y
optimizados.
x
183
Tabla13. Descripcion del ambiente 2. Análisis de Idoneidad.
COMPONENTES INDICADORES 1 2 3 4 5
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 89%
Situaciones- Problemas 50%
El ambiente presenta la actividad contextualizada en un problema, situación problemática o un teorema.
x
Se hace preguntas abiertas que generan situaciones blandas que amplían el dominio de interpretación.
x
Lenguajes 100%
Uso de diferentes modos sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica, simbólica y tabular), traducciones y conversiones y tratamientos al interior y entre los mismas.
x
Nivel del lenguaje natural adecuado a los estudiantes a que se dirige.
x
Se proponen situaciones para generalizar e interpretar. x
Reglas (Definiciones, proposiciones, procedimientos) 100%
Presentación de las definiciones y procedimientos claros y correctos, adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
x
Se presentan las instrucciones que generen construcción y negociación colectiva y de conocimiento escolar.
x
Argumentos 100%
Presenta sugerencias e instrucciones apropiadas para verificación y demostración de proposiciones y teoremas.
x
Se propician la conjeturación, justificación y argumentación.
x
Relaciones 50%
Los objetos matemáticos (problemas, deducciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.
x
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en los ambientes virtuales.
x
184
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 91 %
Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%
Se parte de los conocimientos previos y nociones necesarias para el desarrollo de la actividad propuesta.
x
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
x
Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales 100%
Los contenidos incluidos en los ambientes virtuales están contextualizados y relacionados con los contenidos curriculares del grado.
x
Se involucra la inclusión académica, la participación de los estudiantes, aun con debilidades en competencia digital.
x
Aprendizaje: Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 25%
Se contemplan estrategias de retroalimentación para evaluar las producciones de los estudiantes y la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas.
x
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva.
x
Los resultados de las evaluaciones de los estudiantes se tienen en cuenta para la re significación del ambiente virtual propuesto.
x
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 85%
Intereses y necesidades 50%
Las tareas y actividades tienen interés para los alumnos.
x
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
x
Emociones 100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.
x
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
x
185
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 92%
Interacción docente-discente 80%
El ambiente virtual presenta el tema de forma clara y organizada.
x
Se sugiere incentivar la discusión grupal y búsqueda de consensos con base al mejor argumento.
x
Se facilita la inclusión de los estudiantes, aun los que muestran debilidades en la competencia digital.
x
Autonomía 100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
x
Evaluación formativa 0%
Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
x
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 80% Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 50%
Se invita al uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
x
Las definiciones, propiedades y teoremas son contextualizadas motivadas usando situaciones, modelos concretos y visualizaciones.
x
186
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 84%
Adaptación al currículo 100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las directrices curriculares.
x
Apertura hacia la innovación Didáctica. 50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva.
x
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
x
Adaptación socio- profesional y cultural 100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes.
x
Conexiones intra e Interdisciplinares 100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares.
x
Fuente: Godino (2011).
Figura 38. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 2
187
Fuente: Godino (2011).
Ambiente Virtual de Aprendizaje, Ejemplo 3
Tema: Icosaedro a partir de un dodecaedro
Figura 39. Rectángulos áureos ortogonales Fuente: El autor
188
Tabla 14. Descripción del ambiente 3. Competencia
Competencia
Identifica rectángulos áureos a partir de los centros de pentágonos
Tipos de pensamientos matemático involucrados
N x M x A E x V
Sistemas y estructuras trabajados
Nu Me Da Ge x An
Tipos de programas de geometrías que contextualizan el ambiente
GE1D x GM X GA x GT x GV x
GE2D x GD GF GG GP
GE3D x GNEH GNEE GMD TP
Tipo de software usado
Geometría Dinámica con Cabri 3D
Autor
Grupo colaborativo
Forma de abordaje del conocimiento matemático
Autoestructuración Heteroestructuración Interestructuración
Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
189
Tabla 15. Descripción del ambiente 3. Maneras de ver en geometría
Maneras de ver en geometría
Botánico
Puntos vértices, puntos medios.
Segmentos, rectas, ángulos.
Segmentos como aristas
Triángulos y pentágonos como caras laterales
Puntos centros de los polígonos regulares, rectángulos áureos
Ejes y puntos de simetría
Dodecaedro e icosaedro
Agrimensor (Geómetra)
Medida de las aristas
Distancia entre vértices
Áreas de polígonos los regulares pentágono y triángulo
Perímetros del contorno de las aristas y rectángulos áureos
Área de la superficie lateral de los poliedros mencionados
Volumen del dodecaedro e icosaedro y pirámide de base pentagonal
Proporción entre aristas del dodecaedro e icosaedro
Proporción entre áreas laterales del dodecaedro e icosaedro
Proporción entre volúmenes los dodecaedro e icosaedro
190
Constructor
Establecimiento de coordenadas cartesianas 3D
Construcción del dodecaedro con herramientas primitivas
Determinación de puntos medios de dos aristas contiguas con herramientas primitivas
Bisección de dos ángulos de una cara pentagonal usando herramientas primitivas
Hallar centro del pentágono por intersección de rectas bisectoras de los dos ángulos
Uso de simetría axial (por planos) para ubicar los otros once centros de las caras del
dodecaedro
Construcción del icosaedro y los rectángulos áureos con los doce centros usando
herramienta de poliedro y polígono
Elaboración de la animación
Inventor (Artesano)
Verificación formula de Euler para poliedros
Formas distintas de hallar el volumen de los poliedros dodecaedro e icosaedro
Proporcionalidad y semejanza entre los elementos de los poliedros
Demostración sobre los y rectángulos áureos
191
El enfoque noético/cognitivo de Duval
Sistemas semióticos de representación
L
N
Usa el lenguaje natural para expresar las propiedades de las figuras identificadas y el
algoritmo de construcción del icosaedro
Valoración 1
2 3 4
5
x
L
A
Expresa en lenguaje algebraico las relaciones entre los elementos del dodecaedro e
icosaedro y las transformaciones empleadas en la construcción
Valoración 1
2 3
4
x
5
L
G
La visualización del ambiente permite encontrar las relaciones entre poliedros y
evidenciar claramente los dibujos y las figuras
Valoración 1
2 3 4 5
x
T
Realiza tratamientos al interior del mismo registro en los sistemas de representación
semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2 3
4
x
5
C
Efectúa conversiones manteniendo el mismo registro entre sistemas de
representación semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
192
Valoración 1
2 3 4
5
x
D
F
La actividad propuesta genera la deconstrucción de las formas 1D-2D-3D
Valoración 1
2 3 4
5
x
Tabla 16. Descripción del ambiente 3. Competencia digital
Competencia Digital / valoración 1 2 3 4 5
Descripción de la competencia
D
I
U
B
U
J
O
Usa con propiedad las herramientas básicas de dibujo. x
Emplea las herramientas básicas de lugares geométricos.
Maneja apropiadamente las herramientas básicas de
transformaciones.
x
Manipulan las herramientas que determinan las
propiedades de los objetos dibujados (Color, textura,
contorno).
x
Implementa las relaciones sobre lados y ángulos. x
Utiliza las medidas de longitud, área y volumen de los
objetos dibujados.
x
Aplica correctamente los comandos del programa para
transformaciones como traslaciones, homotecias, reflexiones,
simetrías y rotaciones.
x
F
U
N
Emplea apropiadamente los comandos de animación simple y
múltiple sobre los elementos de la figura.
x
Adopta macroconstrucciones para grabar los algoritmos de la
construcción elaborada.
x
193
C
I
O
N
A
M
I
E
N
T
O
Asocia los pasos de construcción a procedimientos claros y
coherentes.
x
Usa los comandos de relaciones de isometría paralelismo y
perpendicularidad, tangencia y similaridad, vinculados a los
dibujos dinámicos.
x
Relaciona los pasos de la construcción a instrucciones para
descubrir sus propiedades.
x
Las etapas de la construcción evidencian un propósito final
que debe ser asimilado, entendido o descubierto, según el
caso.
x
Construye el significado de las propiedades de la actividad o
Teorema para expresarlo en lenguaje natural y/o matemático.
x
M
O
D
E
L
A
C
I
Ó
N
Usa apropiadamente los deslizadores con parámetros para
controlar las propiedades de la animación.
x
Compone macroconstrucciones para simplificar
procedimientos más complejos.
x
Relaciona las variables que intervienen en la actividad con
expresiones algebraicas correctas.
x
Las etapas de la modelación se evidencian fácilmente. x
Grafica funciones que provienen de las relaciones algebraicas
entre variables inmersas en la actividad o teorema propuesto.
x
La modelación se realiza en un contexto coherente y
reversible controlado por parámetros necesarios y
optimizados.
x
194
Tabla17. Descripción del ambiente 3. Análisis de Idoneidad.
COMPONENTES INDICADORES 1 2 3 4 5
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 91%
Situaciones- Problemas 50%
El ambiente presenta la actividad contextualizada en un problema, situación problemática o un teorema.
x
Se hace preguntas abiertas que generan situaciones blandas que amplían el dominio de interpretación.
x
Lenguajes 100%
Uso de diferentes modos sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica, simbólica y tabular), traducciones y conversiones y tratamientos al interior y entre los mismas.
x
Nivel del lenguaje natural adecuado a los estudiantes a que se dirige.
x
Se proponen situaciones para generalizar e interpretar. x
Reglas (Definiciones, proposiciones, procedimientos) 100%
Presentación de las definiciones y procedimientos claros y correctos, adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
x
Se presentan las instrucciones que generen construcción y negociación colectiva y de conocimiento escolar.
x
Argumentos 100%
Presenta sugerencias e instrucciones apropiadas para verificación y demostración de proposiciones y teoremas.
x
Se propician la conjeturación, justificación y argumentación.
x
Relaciones 50%
Los objetos matemáticos (problemas, deducciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.
x
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en los ambientes virtuales.
x
195
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 89 %
Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%
Se parte de los conocimientos previos y nociones necesarias para el desarrollo de la actividad propuesta.
x
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
x
Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales 100%
Los contenidos incluidos en los ambientes virtuales están contextualizados y relacionados con los contenidos curriculares del grado.
x
Se involucra la inclusión académica, la participación de los estudiantes, aun con debilidades en competencia digital.
x
Aprendizaje: Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 25%
Se contemplan estrategias de retroalimentación para evaluar las producciones de los estudiantes y la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas.
x
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva.
x
Los resultados de las evaluaciones de los estudiantes se tienen en cuenta para la re significación del ambiente virtual propuesto.
x
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 85%
Intereses y necesidades 50%
Las tareas y actividades tienen interés para los alumnos.
x
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
x
Emociones 100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.
x
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
x
196
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 92%
Interacción docente-discente 80%
El ambiente virtual presenta el tema de forma clara y organizada.
x
Se sugiere incentivar la discusión grupal y búsqueda de consensos con base al mejor argumento.
x
Se facilita la inclusión de los estudiantes, aun los que muestran debilidades en la competencia digital.
x
Autonomía 100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
x
Evaluación formativa 0%
Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
x
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 90% Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 50%
Se invita al uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
x
Las definiciones, propiedades y teoremas son contextualizadas motivadas usando situaciones, modelos concretos y visualizaciones.
x
197
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 88%
Adaptación al currículo 100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las directrices curriculares.
x
Apertura hacia la innovación Didáctica. 50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva.
x
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
x
Adaptación socio- profesional y cultural 100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes.
x
Conexiones intra e Interdisciplinares 100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares.
x
Fuente: Godino (2011).
Figura 40. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 3 Fuente: Godino (2011).
198
Ambiente Virtual de Aprendizaje, Ejemplo 4
Tema. Círculos notables del triángulo
Figura 41. Elementos de un triángulo
Fuente: El autor
Tabla 18. Descripción del ambiente 4. Competencia Competencia
Identifica poliedros regulares duales a partir de los centros de pentágonos
Tipos de pensamientos matemático involucrados
N x M A E x V
Sistemas y estructuras trabajados
Nu Me x Da Ge x An
Tipos de programas de geometrías que contextualizan el ambiente
GE1D x GM GA GT x GV
GE2D x GD GF GG GP
GE3D GNEH GNEE GMD TP
Tipo de software usado
Geometría Dinámica con Cabri 3D
199
Autor
Grupo colaborativo
Forma de abordaje del conocimiento matemático
Autoestructuración Heteroestructuración Interestructuración x
Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
Tabla 19. Descripción del ambiente 4. Maneras de ver en geometría
Maneras de ver en geometría
Botánico
Puntos vértices, puntos medios.
Segmentos, rectas, ángulos.
Segmentos como lados
Triángulos y circunferencias como caras laterales
Puntos baricentro, incentro, circuncentro y excentros del triángulo
Ejes y puntos de simetría
Puntos, rectas y circunferencias del triángulo
Agrimensor (Geómetra)
Medida de los lados y ángulos
Distancia entre vértices
Áreas del triángulo y el círculo
Perímetros de la circunferencia
Proporción entre lados y área del triángulo
Constructor
Construcción del triángulo con herramientas primitivas
200
Determinación de puntos medios de los lados del triángulo con herramientas primitivas
Bisección de los ángulos del triángulo usando herramientas primitivas
Hallar el incentro como intersección de bisectrices y construir perpendicular a un lado
para hallar el radio del círculo inscrito
Hallar el circuncentro como intersección de mediatrices de los lados del triángulo y
trazar el círculo circunscrito
Hallar el incentro como intersección de bisectrices y construir perpendicular a un lado
para hallar el radio del círculo inscrito
Hallar cada excentro como intersección de ángulos externos y construir perpendicular a
un lado o la prolongación de los otros dos lados, para hallar el radio del excírculo
Inventor (Artesano)
Descubrir colinealidad de algunos puntos notables del triángulo
Congruencia de excírculos respeto a algún tipo de triángulos
Relación entre las distancias de los puntos notables del triángulo
201
El enfoque noético/cognitivo de Duval
Sistemas semióticos de representación
L
N
Usa el lenguaje natural para expresar las propiedades de las figuras identificadas y el
algoritmo de construcción de los elementos notables del triángulo
Valoración 1
2 3 4
5
x
L
A
Expresa en lenguaje algebraico las relaciones entre los elementos del triángulo e las
transformaciones empleadas en la construcción
Valoración 1
2
x
3
4 5
L
G
La visualización del ambiente permite encontrar las relaciones entre los elementos
notables del triángulo y evidenciar claramente los dibujos y las figuras
Valoración 1
2 3 4
x
5
T
Realiza tratamientos al interior del mismo registro en los sistemas de representación
semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2
x
3
4 5
C
Efectúa conversiones manteniendo el mismo registro entre sistemas de
representación semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2
x
3 4
5
202
D
F
La actividad propuesta genera la deconstrucción de las formas 1D-2D
Valoración 1
2 3 4
5
x
Tabla 20. Descripción del ambiente 4. Competencia digital
Competencia Digital / valoración 1 2 3 4 5
Descripción de la competencia
D
I
U
B
U
J
O
Usa con propiedad las herramientas básicas de dibujo. x
Emplea las herramientas básicas de lugares geométricos. x
Maneja apropiadamente las herramientas básicas de
transformaciones.
x
Manipulan las herramientas que determinan las
propiedades de los objetos dibujados (Color, textura,
contorno).
x
Implementa las relaciones sobre lados y ángulos. x
Utiliza las medidas de longitud, área y volumen de los
objetos dibujados.
x
Aplica correctamente los comandos del programa para
transformaciones como traslaciones, homotecias, reflexiones,
simetrías y rotaciones.
x
F
U
N
C
I
Emplea apropiadamente los comandos de animación simple y
múltiple sobre los elementos de la figura.
x
Adopta macroconstrucciones para grabar los algoritmos de la
construcción elaborada.
x
Asocia los pasos de construcción a procedimientos claros y
coherentes.
x
203
O
N
A
M
I
E
N
T
O
Usa los comandos de relaciones de isometría paralelismo y
perpendicularidad, tangencia y similaridad, vinculados a los
dibujos dinámicos.
x
Relaciona los pasos de la construcción a instrucciones para
descubrir sus propiedades.
x
Las etapas de la construcción evidencian un propósito final
que debe ser asimilado, entendido o descubierto, según el
caso.
x
Construye el significado de las propiedades de la actividad o
teorema para expresarlo en lenguaje natural y/o matemático.
x
M
O
D
E
L
A
C
I
Ó
N
Usa apropiadamente los deslizadores con parámetros para
controlar las propiedades de la animación.
x
Compone macroconstrucciones para simplificar
procedimientos más complejos.
x
Relaciona las variables que intervienen en la actividad con
expresiones algebraicas correctas.
x
Las etapas de la modelación se evidencian fácilmente. x
Grafica funciones que provienen de las relaciones algebraicas
entre variables inmersas en la actividad o teorema propuesto.
x
La modelación se realiza en un contexto coherente y
reversible controlado por parámetros necesarios y
optimizados.
x
204
Tabla 21. Descripción del ambiente 4. Análisis de Idoneidad.
COMPONENTES INDICADORES 1 2 3 4 5
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 72%
Situaciones- Problemas 50%
El ambiente presenta la actividad contextualizada en un problema, situación problemática o un teorema.
x
Se hace preguntas abiertas que generan situaciones blandas que amplían el dominio de interpretación.
x
Lenguajes 100%
Uso de diferentes modos sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica, simbólica y tabular), traducciones y conversiones y tratamientos al interior y entre los mismas.
x
Nivel del lenguaje natural adecuado a los estudiantes a que se dirige.
x
Se proponen situaciones para generalizar e interpretar. x
Reglas (Definiciones, proposiciones, procedimientos) 100%
Presentación de las definiciones y procedimientos claros y correctos, adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
x
Se presentan las instrucciones que generen construcción y negociación colectiva y de conocimiento escolar.
x
Argumentos 100%
Presenta sugerencias e instrucciones apropiadas para verificación y demostración de proposiciones y teoremas.
x
Se propician la conjeturación, justificación y argumentación.
x
Relaciones 50%
Los objetos matemáticos (problemas, deducciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.
x
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en los ambientes virtuales.
x
205
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 80%
Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%
Se parte de los conocimientos previos y nociones necesarias para el desarrollo de la actividad propuesta.
x
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
x
Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales 100%
Los contenidos incluidos en los ambientes virtuales están contextualizados y relacionados con los contenidos curriculares del grado.
x
Se involucra la inclusión académica, la participación de los estudiantes, aun con debilidades en competencia digital.
x
Aprendizaje: Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 25%
Se contemplan estrategias de retroalimentación para evaluar las producciones de los estudiantes y la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas.
x
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva.
x
Los resultados de las evaluaciones de los estudiantes se tienen en cuenta para la re significación del ambiente virtual propuesto.
x
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 90%
Intereses y necesidades 50%
Las tareas y actividades tienen interés para los alumnos.
x
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
x
Emociones 100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.
x
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
x
206
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 76%
Interacción docente-discente 80%
El ambiente virtual presenta el tema de forma clara y organizada.
x
Se sugiere incentivar la discusión grupal y búsqueda de consensos con base al mejor argumento.
x
Se facilita la inclusión de los estudiantes, aun los que muestran debilidades en la competencia digital.
x
Autonomía 100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
x
Evaluación formativa 0%
Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
x
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 100% Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 50%
Se invita al uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
x
Las definiciones, propiedades y teoremas son contextualizadas motivadas usando situaciones, modelos concretos y visualizaciones.
x
207
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 88%
Adaptación al currículo 100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las directrices curriculares.
x
Apertura hacia la innovación Didáctica. 50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva.
x
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
x
Adaptación socio- profesional y cultural 100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes.
x
Conexiones intra e Interdisciplinares 100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares.
x
Fuente: Godino (2011).
Figura 42. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 4 Fuente: Godino (2011).
208
Ambiente Virtual de Aprendizaje, Ejemplo 5
Tema. Círculos notables del triángulo en el modelo hiperbólico
Figura 43. Modelo de Poincaré
Fuente: El autor
Tabla 22. Descripción del ambiente 5. Competencia Competencia
Identifica poliedros regulares duales a partir de los centros de pentágonos
Tipos de pensamientos matemático involucrados
N M x A E x V
Sistemas y estructuras trabajados
Nu Me Da Ge x An
Tipos de programas de geometrías que contextualizan el ambiente
GE1D GM GA GT GV
GE2D GD GF GG GP
GE3D GNEH x GNEE GMD TP
Tipo de software usado
Geometría Dinámica con Cabri 3D
209
Autor
Grupo colaborativo
Forma de abordaje del conocimiento matemático
Autoestructuración Heteroestructuración Interestructuración
Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
Tabla 23. Descripción del ambiente 5. Maneras de ver en geometría
Maneras de ver en geometría
Botánico
Puntos vértices, puntos medios.
Segmentos, rectas, ángulos.
Segmentos como lados
Triángulos y circunferencias como caras laterales
Puntos baricentro, incentro, circuncentro y excentros del triángulo
Ejes y puntos de simetría
Puntos, rectas y circunferencias del triángulo
Agrimensor (Geómetra)
Medida de los lados y ángulos
Distancia entre vértices
Áreas del triángulo y el círculo
Perímetros de la circunferencia
Proporción entre lados y área del triángulo
210
Constructor
Construcción del triángulo con herramientas primitivas
Determinación de puntos medios de los lados del triángulo con herramientas primitivas
Bisección de los ángulos del triángulo usando herramientas primitivas
Hallar el incentro como intersección de bisectrices y construir perpendicular a un lado
para hallar el radio del círculo inscrito
Hallar el circuncentro, si existe, como intersección de mediatrices de los lados del
triángulo y trazar el círculo circunscrito
Hallar el incentro como intersección de bisectrices y construir perpendicular a un lado
para hallar el radio del círculo inscrito
Hallar cada excentro, si existe, como intersección de ángulos externos y construir
perpendicular a un lado o la prolongación de los otros dos lados, para hallar el radio del
excírculo
Inventor (Artesano)
Descubrir colinealidad de algunos puntos notables del triángulo
Congruencia de excírculos respeto a algún tipo de triángulos
Relación entre las distancias de los puntos notables del triángulo
211
El enfoque noético/cognitivo de Duval
Sistemas semióticos de representación
L
N
Usa el lenguaje natural para expresar las propiedades de las figuras identificadas y el
algoritmo de construcción de los elementos notables del triángulo
Valoración 1
2 3 4
x
5
L
A
Expresa en lenguaje algebraico las relaciones entre los elementos del triángulo e las
transformaciones empleadas en la construcción en el espacio hiperbólico
Valoración 1
2
3
x
4 5
L
G
La visualización del ambiente permite encontrar las relaciones entre los elementos
notables del triángulo y evidenciar claramente los dibujos y las figuras en el espacio
hiperbólico
Valoración 1
2 3 4
5
x
T
Realiza tratamientos al interior del mismo registro en los sistemas de representación
semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2
3
x
4 5
C
Efectúa conversiones manteniendo el mismo registro entre sistemas de
representación semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
212
Valoración 1
2
3 4
x
5
D
F
La actividad propuesta genera la deconstrucción de las formas 1D-2D
Valoración 1
2 3 4
5
x
Tabla 24. Descripción del ambiente 5. Competencia digital
Competencia Digital / valoración 1 2 3 4 5
Descripción de la competencia
D
I
U
B
U
J
O
Usa con propiedad las herramientas básicas de dibujo. x
Emplea las herramientas básicas de lugares geométricos. x
Maneja apropiadamente las herramientas básicas de
transformaciones.
x
Manipulan las herramientas que determinan las
propiedades de los objetos dibujados (Color, textura,
contorno).
x
Implementa las relaciones sobre lados y ángulos. x
Utiliza las medidas de longitud, área y volumen de los
objetos dibujados.
Aplica correctamente los comandos del programa para
transformaciones como traslaciones, homotecias, reflexiones,
simetrías y rotaciones.
x
F
U
N
Emplea apropiadamente los comandos de animación simple y
múltiple sobre los elementos de la figura.
x
Adopta macroconstrucciones para grabar los algoritmos de la
construcción elaborada.
x
213
C
I
O
N
A
M
I
E
N
T
O
Asocia los pasos de construcción a procedimientos claros y
coherentes.
x
Usa los comandos de relaciones de isometría paralelismo y
perpendicularidad, tangencia y similaridad, vinculados a los
dibujos dinámicos.
x
Relaciona los pasos de la construcción a instrucciones para
descubrir sus propiedades.
x
Las etapas de la construcción evidencian un propósito final
que debe ser asimilado, entendido o descubierto, según el
caso.
x
Construye el significado de las propiedades de la actividad o
Teorema para expresarlo en lenguaje natural y/o matemático.
x
M
O
D
E
L
A
C
I
Ó
N
Usa apropiadamente los deslizadores con parámetros para
controlar las propiedades de la animación.
x
Compone macroconstrucciones para simplificar
procedimientos más complejos.
Relaciona las variables que intervienen en la actividad con
expresiones algebraicas correctas.
x
Las etapas de la modelación se evidencian fácilmente. x
Grafica funciones que provienen de las relaciones algebraicas
entre variables inmersas en la actividad o teorema propuesto.
x
La modelación se realiza en un contexto coherente y
reversible controlado por parámetros necesarios y
optimizados.
x
214
Tabla 25. Descripción del ambiente 5. Análisis de Idoneidad.
COMPONENTES INDICADORES 1 2 3 4 5
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 72%
Situaciones- Problemas 50%
El ambiente presenta la actividad contextualizada en un problema, situación problemática o un teorema.
x
Se hace preguntas abiertas que generan situaciones blandas que amplían el dominio de interpretación.
x
Lenguajes 100%
Uso de diferentes modos sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica, simbólica y tabular), traducciones y conversiones y tratamientos al interior y entre los mismas.
x
Nivel del lenguaje natural adecuado a los estudiantes a que se dirige.
x
Se proponen situaciones para generalizar e interpretar. x
Reglas (Definiciones, proposiciones, procedimientos) 100%
Presentación de las definiciones y procedimientos claros y correctos, adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
x
Se presentan las instrucciones que generen construcción y negociación colectiva y de conocimiento escolar.
x
Argumentos 100%
Presenta sugerencias e instrucciones apropiadas para verificación y demostración de proposiciones y teoremas.
x
Se propician la conjeturación, justificación y argumentación.
x
Relaciones 50%
Los objetos matemáticos (problemas, deducciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.
x
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en los ambientes virtuales.
x
215
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 74 %
Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%
Se parte de los conocimientos previos y nociones necesarias para el desarrollo de la actividad propuesta.
x
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
x
Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales 100%
Los contenidos incluidos en los ambientes virtuales están contextualizados y relacionados con los contenidos curriculares del grado.
x
Se involucra la inclusión académica, la participación de los estudiantes, aun con debilidades en competencia digital.
x
Aprendizaje: Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 25%
Se contemplan estrategias de retroalimentación para evaluar las producciones de los estudiantes y la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas.
x
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva.
x
Los resultados de las evaluaciones de los estudiantes se tienen en cuenta para la re significación del ambiente virtual propuesto.
x
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 95%
Intereses y necesidades 50%
Las tareas y actividades tienen interés para los alumnos.
x
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
x
Emociones 100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.
x
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
x
216
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 88% Interacción docente-discente 80%
El ambiente virtual presenta el tema de forma clara y organizada.
x
Se sugiere incentivar la discusión grupal y búsqueda de consensos con base al mejor argumento.
x
Se facilita la inclusión de los estudiantes, aun los que muestran debilidades en la competencia digital.
x
Autonomía 100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
x
Evaluación formativa 0%
Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
x
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 80% Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 50%
Se invita al uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
x
Las definiciones, propiedades y teoremas son contextualizadas motivadas usando situaciones, modelos concretos y visualizaciones.
x
217
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 84%
Adaptación al currículo 100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las directrices curriculares.
x
Apertura hacia la innovación Didáctica. 50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva.
x
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
x
Adaptación socio- profesional y cultural 100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes.
x
Conexiones intra e Interdisciplinares 100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares.
x
Fuente: Godino (2011).
Figura 44. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 5 Fuente: Godino (2011).
218
El aprendizaje de la geometría fractal
A continuación se presentan los resultados del desarrollo de una visión didáctica de la
geometría fractal de la naturaleza a través de una estructura de trabajo fundamentada en
principios de corte constructivista. La estrategia didáctica, ya descrita, para la enseñanza y
el aprendizaje a nivel superior (primeros semestres de universidad) de la geometría fractal
de la naturaleza, a partir de los sistemas iterados de funciones (IFS’s) y de algunos aspectos
teóricos de la didáctica de la geometría. Adicionalmente se presenta una descripción de las
actividades experimentadas y los resultados obtenidos en cada una de las etapas de la
propuesta didáctica. Se pretende estimular el trabajo de los estudiantes con los sistemas
geométricos y el desarrollo del pensamiento espacial en este tipo de geometría. Dichas
actividades han sido trabajadas por los estudiantes de la asignatura de Electiva I de
profundización del programa de licenciatura en matemáticas de la Universidad Pedagógica
y Tecnológica de Colombia (UPTC). Por último se describen algunos resultados de trabajos
desarrollados en el área de la geometría fractal y se plantean recomendaciones y
conclusiones fruto de la labor de esta investigación.
Ya se han descrito los detalles de las cuatro etapas del aprendizaje de la geometría
fractal (Capítulo 4 ) : exploración como actividad de identificación y clasificación de objetos
y fenómenos con características fractales subyacentes; representación-modelación como
espacio para conocer y dibujar los fractales más famosos, detectar sus características y
propiedades, y también la creación por parte de los estudiantes de sus propios fractales en
computador; otra etapa es la construcción formal de los conceptos fractales claves
soportados en las estructuras algebraicas de espacios vectoriales y por último la etapa de
aplicación de los conceptos fractales en la solución de diversos problemas de la vida
cotidiana.
A continuación se describen algunas actividades relativas a una experiencia didáctica
en el aprendizaje de éste tipo de geometría. Para el propósito de la investigación realizada
solo se enfatizará en la descripción en la etapa de Representación- Modelación.
219
Figura 45. Etapas de aprendizaje de fractales
Fuente: El autor
220
Tabla 26. Etapa de exploración para el aprendizaje de los fractales. Análisis de Idoneidad.
ACTIVIDADES IDONEIDADES % Mediante la exploración del Jardín Botánico, el Parque Explora en Medellín y el
entorno natural de la Laguna de Guatapé, se identificaron y clasificaron objetos del medio en los que están inmersos las propiedades de autosemejanza, recursividad y cambio de escala. Se buscó descubrir las características de distintas clases de plantas, flores, hojas (como los helechos de distintos tipos), árboles grandes y pequeños, espigas de trigo, hojas de distintas formas y colores, hortalizas (como una coliflor o un brócoli). Además de admirar el paisaje del entorno, se observaron en los paisajes desde los miradores, las formas de las nubes, de las montañas, vertientes de ríos o riachuelos, formaciones rocosas y fósiles, usando lupas, binóculos, cámaras fotográficas y filmadora. Lógicamente, todo esto en su medio natural, se va a observar y no a destruir. Se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos para esta actividad:
1. Observación de los objetos detenidamente, anotando sus características, partes y
detalles especiales. Por ejemplo, al observar un árbol, se registraron datos como: el número de ramas que tiene el tronco principal y a la vez el número de subramas que cada una de ellas tiene, y así sucesivamente.
2. Elaboración de un bosquejo de los objetos naturales, tratando de captar sus principales detalles relativos a los tipos de semejanza y simetría. Los dibujos de plantas o de alguna de sus partes, sirvieron de base para detectar propiedades geométricas, métricas y topológicas, claves para la posterior modelización en computador; para esta actividad no se fijaron tantos parámetros pues a veces con la observación no intencionada se captan más detalles.
3. Realización de una sesión plenaria en donde los estudiantes expusieron, analizaron y discutieron los resultados de la práctica de campo, con base en el material y datos recopilados, además de las fotografías y filmaciones hechas. Adicionalmente, se consideró provechoso presentar los resultados de la exploración bibliográfica hecha sobre los libros de fractales presentados en la bibliografía y páginas WEB sobre fractales seleccionadas de Internet, pues muchos de estos ejemplos clásicos, son evidencia inmediata de la propiedad de autosemejanza (helechos, árboles nubes, caracoles, entre otros).
La actividad orientadora del docente, permitió sintetizar y detallar los aspectos claves de la autosemejanza, tratando de unificar el lenguaje usual empleado por los estudiantes y haciendo énfasis en los detalles similares que hay en estos objetos de la naturaleza. Las nociones presentes en la estructura común de un árbol, un helecho, las nervaduras de una hoja, un sistema fluvial, una rama de trigo, o de cilantro, fueron principalmente la ramificación sucesiva y la autosemejanza. En otras palabras, se pudieron encontrar partes de estos objetos parecidas al todo, excepto por el tamaño (cambio de escala y homotecia contractiva). En el contexto de los movimientos geométricos de homotecias, rotaciones, traslaciones y simetrías, que son transformaciones en espacios vectoriales reales 2D y 3D y respecto los objetos naturales encontrados por los estudiantes, se detectó una aproximación de dichas transformaciones en el proceso su caracterización, de los cuales, algunas sus partes se parecían al todo, es decir, en donde la autosimilaridad es una propiedad inherente a ellos. Como actividad final de esta parte, se proporcionaron los dibujos de modelos fractales y fotografías de objetos naturales, para confrontar con sus representaciones y concluir sobre los aspectos comunes, base para encontrar el modelo matemático del fractal en etapas posteriores.
EPISTÉMICA El currículo de Licenciatura en Matemáticas de la UPTC propicia acercar al estudiante a la complejidad del contexto con las diversas miradas que ofrecen los tipos de programas de geometría. Se abordaron problemas y situaciones problemáticas y sus sistemas de representación cuyas soluciones planteadas contribuyeron a mejorar las prácticas de enseñanza y de aprendizaje de las geometrías.
80
COGNITIVA Se logró detectar la forma como piensan, conjeturan, argumentan y convencen respecto a sus convicciones; se organizaron y estructuraron los objetos geométricos en cuestión; se propició el aprendizaje significativo (Ausubel y Novak) y profundo (Bain) de los estudiante. Hubo una correspondencia entre el aprendizaje diseñado y el logrado respecto a la exploración y clasificación de objetos de la naturaleza.
90
EMOCIONAL La motivación e interés por las actividades de exploración fueron altas y la inclusión académica de los estudiantes fue total, lo cual permitió brindar un ambiente apropiado para el aprendizaje por descubrimiento.
100
INTERACCIONAL Los procesos de comunicación matemática (justificaciones, razonamientos, argumentaciones, validaciones), se activaron en las actividades de intercambio y socialización de las actividades de exploración en escenas de la naturaleza, contribuyendo al desarrollo del pensamiento espacial, respecto a las formas y figuras detectadas.
84
MEDIACIONAL Se usaron materiales reales, de dibujo, fotografías y filmaciones para su posterior análisis e interpretación que constituyeron el punto de partida para la posterior modelación en dibujos reales y virtuales.
90
ECOLÓGICA La exploración de los parques naturales permitió adoptar estrategias de aprendizaje experiencial estableciendo una buena relación entre el currículo institucional pretendido y el implementado.
80
Fuente: El autor
221
Tabla 27. Etapa de representación-modelación para el aprendizaje de los fractales. Análisis de Idoneidad.
ACTIVIDADES IDONEIDADES % En esta etapa se crearon los ambientes necesarios para la exploración de los
sistemas semióticos de representación externos e internos, usando las herramientas reales de dibujo y virtuales del software de geometría dinámica y constructiva. Las formas y figuras fueron trabajadas a partir uno o una colección finita de sistemas iterados de funciones contractivas (IFS’s), propias de los fractales o superfractales, respectivamente. Para caracterizar cada transformación afín contractiva de un IFS, inicialmente se identificaron los movimientos geométricos de traslaciones, reflexiones o simetrías, rotaciones y homotecias, aproximando por observación y estimación sus parámetros, para luego determinar la transformación afín 2D o 3D generada; para lograr el éxito en esta actividad se implementaron, evaluaron y analizaron las siguientes actividades:
1. Identificación de los componentes y las características de los procesos iterativos y recursivos, explorando situaciones problemáticas reales y teóricas a través de experimentos reales como estudiar la sucesión de imágenes generadas al ubicarse en medio de dos espejos casi paralelos, e ir rotando levemente uno de ellos, para observar el efecto en la imagen reflejada; explicar la causa del ruido ensordecedor, al acercar el micrófono al parlante del mismo equipo de sonido, a la cual está conectado; qué efecto se produce, cuando se enfoca una cámara filmadora, a un televisor al cual está conectada. ¿Cuál es la explicación de dichos fenómenos?
2. Caracterización de situaciones cotidianas trabajadas en matemáticas, en cuanto al desarrollo del pensamiento numérico, sus sistemas y estructuras (Vasco), que corresponden al hecho de trabajar sistemas dinámicos simples, de tipo recursivo y otros sistemas generados iteradamente. Por ejemplo, se calcularon los primeros términos de varias sucesiones y sus series numéricas, para apropiarse del concepto de proceso iterativo. Se trabajaron los números pitagóricos lineales, triangulares, oblongos, cuadrados, pentagonales tetraédricos, cúbicos, entre otros, usando el material real estructurado GeoMag y figuras en Cabri 3D. En principio, se encontraron, por ejemplo, las listas de los primeros términos de la sucesión de Fibonacci y se encontró la sucesión formada por el cociente de cada dos de sus términos sucesivos, la cual es convergente al número áureo, fenómeno muy presente en la naturaleza y el arte. Adicionalmente se encontraron sucesiones que expresan las relaciones numéricas respecto a áreas y volúmenes a partir de estos números figurados y las relaciones con sistemas de numeración, por ejemplo el binario.
3. Elaboración de figuras construidas con regla, compás y escuadra modernos (diferente al estilo griego). Los estudiantes usaron diversos tipos de proyección, por ejemplo, isométrica, axonométrica, paralela y caballera, para dibujar los fractales 2D y 3D en el plano.
4. Modelación de los fractales clásicos, triángulo y carpeta de Sierpinski, curvas de Koch y Hilbert, copo de nieve, islas fractales, esponja de Menger, árboles fractales, cristal, helechos y hojas, entre otros. Adicionalmente los alumnos crearon sus propios fractales haciendo modificaciones a los parámetros que caracterizan las transformaciones afines contractivas de los SIF. Para estas actividades se usaron inicialmente las aplicaciones específicas para representar fractales como Fractal Vision For Windows, L-System 4, MarkTree adoptando un enfoque intuicionista. Posteriormente se emplearon Cabri 2D y 3D, GeoGebra y Carmetal en ambientes constructivos y cognitivos para el aprendizaje. Se crearon ambientes virtuales de aprendizaje para construir y aprender fractales autosemejantes en la educación básica y media. Los estudiantes elaboraron sus propios dibujos fractales como fruto de su imaginación y creatividad. Al plasmar unas ideas novedosas, las figuras fractales obtenidas fueron, en la mayoría de los casos, sorprendentes y llamativas. Se desarrollaron procesos de resolución de situaciones problemáticas potenciando el pensamiento matemático (Mason), y de manera particular, el pensamiento espacial. El desarrollo de la competencia digital de los estudiantes fue evidente pues se volvieron expertos en el diseño de tareas, construcción de modelos, manejo y creación de herramientas de dibujo, macro-construcciones y algoritmos.
EPISTÉMICA Se trabajaron estrategias apropiadas para aprender fractales. Los diversos tipos de geometría involucrados hizo evidente la complejidad en la modelación de objetos geométricos. Los tipos de problemas y situaciones problemáticas del contexto (matemático o no), sus sistemas de representación y esquemas de formalización, verificación se adoptaron en las prácticas de elaboración de los dibujos dinámicos trabajados.
90
COGNITIVA Los estudiantes trabajaron con los sistemas de representación, evidenciando el tratamiento en un registro semiótico y la conversión entre el lenguaje usual, el gráfico y el matemático de tipo simbólico, al momento de describir propiedades métricas, geométricas y topológicas, experimentando en el espacio los movimientos y sus transformaciones asociadas.
90
EMOCIONAL Se detectó una alta motivación por el uso de software de construcción de las figuras fractales y el desempeño como usuarios del software.
100
INTERACCIONAL El aprendizaje colaborativo e intercambio de experiencias fue la constante en la modelación de los fractales, en el diseño y elaboración de los dibujos dinámicos.
84
MEDIACIONAL Las mediaciones computacionales en la etapa de modelación-representación para la enseñanza y el aprendizaje de las geometrías se complementaron con el uso de herramientas reales de dibujo para demostrar el ingenio y creatividad de los estudiantes. El desarrollo de la competencia digital se evidenció en que se volvieron expertos en los programas de computador y celular relativos a la construcción, modelación y simulación de objetos y situaciones geométricas,
96
ECOLÓGICA Se adecuó y valoró la importancia de la representación-modelación como una etapa fundamental para representar y modelar figuras en geometría fractal. Se destaca la coherencia entre el diseño de las situaciones y el producto final plasmado en sus creaciones y los ambientes virtuales para el aprendizaje de las nociones básicas de fractales, autosemejanza, iteración atractor y dimensión.
80
Fuente: El autor
222
Tabla 28. Etapa de construcción formal para el aprendizaje de los fractales. Análisis de Idoneidad.
ACTIVIDADES IDONEIDADES %
Las estructuras algebraicas de grupo, espacio vectorial real, grupo lineal afín y espacio euclidiano, constituyeron el contexto matemático para iniciar la formalización de los fractales autosemejantes, generados por los diversos tipos de sistemas iterados de funciones (IFS’s). Los estudiantes detectaron y caracterizaron las estructuras de grupo de las transformaciones como traslaciones (no lineal) y simetrías, reflexiones, rotaciones y homotecias (lineales) subyacentes en los modelos de fractales trabajados, estableciendo su relación con las estructuras de grupo del espacio vectorial, cuando son consideradas las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector. Se establecieron relaciones entre el campo escalar al considerar las operaciones de suma y producto entre ellos. Para mencionar sólo dos ejemplos, ellos evidenciaron que componer traslaciones es matemáticamente equivalente a sumar vectores (dicho de otra forma, el grupo abeliano de composición de traslaciones es isomorfo al grupo aditivo del espacio vectorial). En el segundo ejemplo, detectaron que componer homotecias equivale a multiplicar sus escalares (el grupo de composición de homotecias es isomorfo al grupo multiplicativo de escalares no nulos). Asimismo se encontraron los parámetros de cada transformación afín contractiva del IFS en el espacio vectorial real 2D ó 3D, producto de la transformación generada por la composición de una traslación con una transformación lineal. Para cada fractal autosemejante se caracterizó su Modelo Matemático, que para el caso de un fractal de tres transformaciones afines contractivas en el espacio 2D (plano), correspondió a dieciocho (18) parámetros numéricos, seis por cada transformación afín contractiva. Para un fractal del espacio tridimensional (3D) su IFS asociado correspondió a encontrar treinta y seis (36) parámetros numéricos, doce (12) por cada una de las tres (3) transformaciones afines contractivas. Al trabajar los sistemas iterados de funciones ponderados (PIFS), al IFS correspondiente al fractal autosemejante se le asoció una distribución de probabilidad discreta (en la mayoría de los casos constante) asignando a cada transformación afín contractiva un valor de probabilidad. Al graficar el atractor del fractal mediante el El Juego de Caos o Lluvia de
puntos se generó una tonalidad de color, por ejemplo, al dibujar el fractal en blanco y negro, queda representado en una escala de grises. Para dibujar un Superfractal se tomaron dos o más IFS’s y mediante un mecanismo aleatorio se aplicó, en cada nivel, el IFS elegido; dicho procedimiento generó representaciones de fractales más complejos, por ejemplo las hortalizas (diversas representaciones de una lechuga). Adicionalmente a cada Modelo
Matemático del fractal autosemejante se le incluyó el cálculo del perímetro, área, (si es el caso área lateral), volumen y dimensión fractal, usando propiedades de sucesiones y series convergentes y divergentes, según corresponda. Una alternativa más formal permitió contextualizar los fractales desde la topología, especialmente como subconjuntos compactos de un espacio métrico completo. Se consideró la colección de subconjuntos compactos del espacio métrico completo 2D o 3D y se definió la métrica de Hausdorff entre ellos. Así consideró el espacio métrico completo de subconjuntos compactos con dicha métrica. Al ejemplificar se partió de un subconjunto compacto, que generalmente fue el cuadrado unitario en el sistema de coordenadas cartesianas 2D (o cubo unitario en el caso tridimensional). Se construyó una sucesión de niveles que correspondía a iterar el operador (contractivo), construido con la unión de todas las transformaciones afines contractivas. Los estudiantes detectaron visualmente que correspondía a una sucesión convergente de figuras cuyo límite es el atractor del fractal, el cual es invariante, sin depender del subconjunto compacto inicial (nivel 0). Posteriormente se pudo formalizar esta proposición matemática mediante la aplicación del teorema del punto fijo. Es por ello que los matemáticos afirman que los fractales no se pueden ver sino con los ojos de la mente, solo se pueden visualizar aproximaciones del atractor. Los alumnos detectaron que en la pantalla del computador no se detectan diferencias entre niveles del fractal a partir del nivel quince (15), lo cual genera lentitud en la elaboración de los dibujos.
EPISTÉMICA Las matemáticas y la geometría enseñanza y aprendida resultó apropiada para formalizar las nociones, sistemas y estructuras que subyacen en la teoría fractal de la naturaleza. El currículo Programa contempla las materias de geometrías euclidiana y analítica 2D y 3D, estructuras algebraicas, análisis matemático y topología, que fueron pre-requisitos para proponer los esquemas de verificación, formalización y demostración de abstraídas a partir de la solución de situaciones problemáticas de contexto.
84
COGNITIVA Se pudo evaluar la forma como los estudiantes organizaron y estructuraron los objetos matemáticos a partir de los sistemas semióticos de representación para lograr la noesis (Duval); el grado de aprendizaje significativo de las estructuras que sustentan los fractales fue bueno.
80
EMOCIONAL La motivación para formalizar los objetos geométricos fue alto, manteniendo un interés permanente en la formalización matemática.
90
INTERACCIONAL En la etapa de construcción formal de los objetos geométricos relativos a la teoría fractal fue importante los procesos de comunicación y la construcción intersubjetiva de saberes geométricos.
75
MEDIACIONAL El papel de las mediaciones virtuales y software geométrico, solamente se usó para verificar si los Modelos Matemáticos de los fractales estaban correctos, y las demostraciones se hicieron en el contexto teórico.
74
ECOLÓGICA La estrategia didáctica en el aprendizaje de la geometría se logró mediante la formalización de nociones y propiedades permitiendo integrar teorías desde el álgebra, el análisis, la geometría y la topología, adecuadas al proceso de instrucción: se pudo implementar la tercera fase, llamada de Investigación
Formativa, correspondiente al, Modelo Pedagógico Gradual Investigativo (MPGI), instaurado institucionalmente por la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, estableciendo una buena relación entre el currículo diseñado y el implementado en la práctica al aprender la geometría.
80
Fuente: El autor
223
Tabla 29. Etapa de aplicaciones para el aprendizaje de los fractales. Análisis de Idoneidad.
ACTIVIDADES IDONEIDADES %
Se pretendió en esta etapa recopilar, estudiar y analizar las aplicaciones de la teoría fractal de la naturaleza más conocidas en el contexto. La gran cantidad de problemas en donde se aplica este tipo de geometría, permitió describir sólo algunas aplicaciones, de las cuales se mencionan: problemas en relación arte – geometría, modelación de plantas y modelación de terrenos. Los intereses y expectativas de los estudiantes determinaron la temática de aplicación a enfatizar y el grado de profundidad (generalmente fue superficial) con el cual se abordó su estudio. Posteriormente se brindó la oportunidad de trabajar dicha temática en su tesis de grado. Se contemplaron como opciones los siguientes campos de aplicación,
1. En la simbiosis arte y geometría se consideró el análisis geométrico de algunos grabados del pintor holandés Maurits Escher, en los cuales subyacen principios matemáticos, de tipo geométrico y especialmente, de carácter fractal. Específicamente se trabajó en las obras Evolución I y II (1939), Centro de Más y Más Pequeño I (1956), Límite circular I y III y IV (1958, 1959, 1960), Límite Cuadrado (1964), Remolino (1957), Trayectoria Vital II (1958) y Serpientes (1969). Inicialmente se identificó el tipo de programa de geometría que contextualizó su diseño (geometría euclidiana y modelo de Poincaré de geometría no euclidiana). Luego se identificaron las simetrías axiales y puntuales, traslaciones, homotecias y rotaciones, relacionando algunos de ellas con las teselaciones. Finalmente se construyeron modelos en geometría dinámica que explican la construcción inherente a cada grabado o litografía. Para encontrar la explicación de las obras se usaron los dibujos del artista para su diseño (Ernst, 1994) y al detectar su estructura matemática, se adoptaron las ideas relativas a teoría general de sistemas ((Hofstadter, 1987), respecto a la integración de creaciones en lógica (Godel), pintura (Escher) y Música (Bach). 2. Respecto a los modelación de plantas y algunos aspectos inherentes a las formas y crecimiento de las plantas y su interacción en el medio, se adoptaron los aportes de Prusinkiewicz y otros, principalmente basados en Sistemas de Lindenmayer conocidos como L-Systems, los Superfractales de Michael Barnsley y algunos algoritmos parametrizados en un conjunto de herramientas y componentes de Xfrog Systems. A partir de fotografías y filmaciones de plantas, hojas, flores y diversos tipos de árboles tomadas en las prácticas de campo en Medellín, Bucaramanga y San Gil, se usaron las aplicaciones que involucran lenguaje de autor, con herramientas para construir modelar y simular objetos de la naturaleza y fractales como; FvWin, XFrog 3.5 y TreeMake. Se lograron elaborar buenas aproximaciones realistas a dichos objetos naturales, develando las estructuras matemáticas en su conformación. 3. Se elaboraron videos de paisajes que incluyen objetos naturales (terrenos, ríos, arboles nubes, montañas, entre otros, en donde subyacen procesos fractales para su modelación y simulación, usando el programa de modelación de terrenos VistaPro 4.0. La aplicación permite el uso de diversas herramientas que permiten controlar aspectos como, grado de fractalidad (dimensión) del terreno, características de bifurcación de ríos, tipos de árboles y características que tienen, tipo de ramificación de ríos, formas de nubes, manejo de las formas de las hojas, métodos de distribución de los elementos, tamaño, factor de homotecia, luminosidad y color, tipo de recorridos y vehículos con el que se hace la panorámica, parámetros para la calidad de la renderización de las fotografías y finalmente propiedades de optimización del video. Aunque se necesita mucha pericia para el manejo del VistaPro, se crearon animaciones muy realistas, no tan parecidas a los videos recogidos de las prácticas de campo, pero se consideran creaciones que estimularon la imaginación y creatividad de los estudiantes. Asimismo, se caracterizaron y describieron las nociones geométricas y matemáticas que desde la teoría están involucradas en la tarea de modelar y simular paisajes naturales.
EPISTÉMICA Se logró identificar tres tipos de aplicación de la teoría fractal de la naturaleza, respecto a la creación artística, modelación de objetos naturales y simulación de paisajes. La contextualización teórica previa permitió develar las estructuras geométricas que juegan un papel importante en dichas creaciones y permitieron acercar al estudiante en el conocimiento de su entorno con una mirada fractal.
90
COGNITIVA Los estudiantes pudieron usar las teorías geométricas formalizadas para modelar y simular fenómenos y formas en situaciones problemáticas de contexto identificando objetos matemáticos involucrados; constituyó una oportunidad para lograr aprendizajes significativos y profundos, pues relacionaron las teorías aprendidas con las aplicaciones en la práctica. Se estableció una excelente relación entre las actividades pretendidas y las verdaderamente implementadas y los aprendizajes logrados por los estudiantes.
85
EMOCIONAL La motivación en la búsqueda pragmática de las temáticas geométricas aprendidas fue evidente, manteniéndose el interés durante el trascurso del desarrollo de las actividades de modelación y simulación de objetos naturales.
100
INTERACCIONAL Se desarrollaron los procesos de comunicación y de pensamiento espacial o geométrico, a través del aprendizaje colaborativo y cooperativo, así como en su divulgación.
85
MEDIACIONAL Se desarrolló la competencia digital de los estudiantes y profesores para diseñar, modelar e implementar ambientes virtuales de aprendizaje de los fractales. Enriquecieron su experiencia en el manejo de software para modelar plantas y crear terrenos.
100
ECOLÓGICA Permitió implementar y evaluar actividades que involucran la competencia del futuro docente como estratega de situaciones didácticas, en donde se relacionó la teoría y la práctica, contribuyendo su formación integral.
80
Fuente: El autor
224
Actividades para el aprendizaje de la geometría fractal
Exploración de aplicaciones para modelación fractal
Como actividad primordial se probaron y experimentaron los demos de las siguientes
aplicaciones para elaboración y modelación de fractales en computador. Para modelar
fractales autosemejantes, generados por Sistemas Iterados de Funciones (IFS´s), se
trabajaron con los estudiantes y grupo investigador las siguientes aplicaciones: Fractal
Vision, Fractal 3d, Ultrafractal, Brazil, Fantastic Fractals, Fraclin, Fractgraf, los programas
de cálculo simbólico Mathematica, Maple, Matlab, y los ambientes de geometría dinámica
proporcionados por Cabri II Plus, GeoGebra, Sketchpad Geometry y Carmetal. Para Modelar
los objetos de la naturaleza se emplearon las siguientes aplicaciones: Fractal Vision,
Lsystem, Ifs-Graphics y pricipalmente Xfrog 3.5. Para la creación de paisajes virtuales se
emplearon las aplicaciones VistaPro 4.0 y Bryce 3D. En figura 46 se muestran algunos de
los resultados del trabajo de modelación de los objetos de la naturaleza seleccionados en las
prácticas de campo. También se exploraron las aplicaciones FractPlant y Fractales 1.0
elaboradas en el lenguaje de programación Visual Basic con librerías de OpenGl, por un
grupo de jóvenes investigadores del grupo Pirámide e ingenieros de sistemas (Roldán, 1998;
Vivas y Martínez 2009). Con base en los resultados de investigación de las tesis de pregrado
y posgrado trabajadas al interior del grupo Pirámide se implementaron las actividades en el
desarrollo de la estrategia didáctica para aprender fractales (Ayala, 1997 y 1998; Ballén,
2002; Céspedes y Camacho, 20012; Díaz y Vargas, 2008; Medina, 2009; Niño, 2012;
Quintero, 2002; Romero y Torres, 2003; Suárez, 2008), (veáse Anexo 7).
225
Objetos de la naturaleza
Modelados en computador
Figura 46. Modelación en computador de objetos de la naturaleza
Fuente: El autor
Plantas a partir de Fractales autosemejantes IFS’s
Como se evidencia en la parte izquierda de la Figura 46, una de las herramientas que
se usó para modelar las estructuras tipo ramificación de los objetos de la naturaleza, son los
sistemas iterados de funciones (IFS´s) y los sistemas iterados de funciones con probabilidad
(PIFS´s), en donde se incorpora la aleatoriedad para generar los gráficos, empleando la
representación por puntos y el algoritmo conocido como “juego del caos”. Finalmente se
emplearon los sistemas de funciones iteradas recurrentes (RIFS´s), que son estructuras
mucho más generales, en donde los coeficientes de las transformaciones se almacenan en
matrices, lo cual facilita el trabajo al dibujar modelos parametrizados.
Generando grandes paisajes naturales
Modelar y renderizar escenas naturales implica una enorme complejidad. Primero, el
terreno debe ser modelado y las plantas deben ser distribuidas apropiadamente para simular
más realismo, reflejando la interacción entre los tipos de plantas y su relación con el entorno.
Una escena natural, puede consistir en millones de plantas primitivas, que deben ser
renderizadas eficientemente, en donde se incorpora la sutileza de la iluminación en
ambientes naturales. Un sistema para desarrollar estos ambientes es descrito más adelante,
226
en donde inicialmente se diseña el terreno usando un editor gráfico interactivo, la
distribución de las plantas la determina el usuario (como si diseñara un jardín), cuyas plantas
individuales están representadas por modelos procesados paramétricamente. La complejidad
geométrica de la escena se reduce mediante “muestras aproximadas”, en las cuales, plantas,
grupos de plantas y plantaciones son aproximadas por objetos representativos, para luego
renderizar la escena.
Visualización interactiva de ecosistemas complejos de plantas
El diseño y la visualización de escenas realistas, son usados para simulación de
renovación de bosques, plantación de pastos, creación ambientes naturales modificados por
el hombre, el diseño de ambientes naturales intermedios, como zonas reforestadas luego de
un incendio, entre otras. Existen diversas aplicaciones para tales propósitos. Otras áreas han
sido invadidas por el empleo con carácter educativo de estas aplicaciones de modelación de
ecosistemas, para animación por computador, expresión artística, simuladores de vuelo y
juegos.
Métodos de modelación e interfaces de usuario para la creación de plantas
Lintermann y Deussen (1997) proponen una aplicación para el diseño de objetos
naturales con estructura de ramificación, en donde combinan métodos de modelado para las
propiedades geométricas y de estructura, empleando una técnica basada en grafos que
contiene iconos para la representación de las componentes. A través de la interface gráfica,
los usuarios determinan las propiedades geométricas y definen las estructuras de
reproducción en el sentido de la formación de la planta. Un aspecto importante lo constituye
la incorporación de técnicas de modelados para los órganos de la planta, determinando
factores de curvatura axial y colateral y editando formas para el contorno, fijados por el
usuario. Adicionalmente, se implementan diversas formas de tropismos que simulan la
interacción de la planta con su entorno, como por ejemplo la influencia del viento, y efectos
como la sensibilidad a la gravedad, gravitropismo y a los campos de luz. En las figuras 47 y
48 se muestra un ejemplo de la generación de la flor Diente de León, presentado por
227
Lintermann y Deussen (1999) y elaborado con la aplicación X-Frog, en donde la intuición
del usuario experimentado contribuye a obtener excelentes resultados.
Una propuesta paralela y similar con las descritas hasta ahora, debida a Deussen,
Hanrahan, Lintermann, Mech, Parr y Prusinkiewicz (1992), desarrolla un sistema para
representación de ecosistemas, en donde se modela el terreno y sobre este se aplican técnicas
de distribución de las plantas de manera realística, reflejando las interacciones entre las
plantas y de ellas con su entorno; se emplean modelos geométricos de plantas individuales
de acuerdo con su ubicación dentro del ecosistema, las cuales deben ser sintetizadas para
poblar la escena y debido a la complejidad de estas, se incorporan técnicas de renderización
apropiadas.
La modelación y renderización de grandes escenas se hace difícil por la gran cantidad
de información que debe manejarse. Esta área seguirá siendo un campo de investigación
permanente muy importante de la computación gráfica y su desarrollo se enfatizará en
sistemas distribuidos, graficación en tiempo real y en entornos de realidad virtual. La
generación individual de plantas empleando estructuras matemáticas de carácter recursivo,
constituyen una fase para obtener mejores resultados en la optimización, tanto en la
velocidad de procesamiento de los datos, como en el uso de recursos de memoria. Las
técnicas de visualización evolucionan y se adaptan a la complejidad del problema de
modelación de los ecosistemas. Muchas técnicas han surgido para tratar de solucionar, en
parte, este problema. Las aplicaciones e interfaces de usuario deben explotar el conocimiento
intuitivo de los usuarios experimentados, y la interacción usuario-maquina, permitirá crear
y simular procesos naturales cada vez más cercanos a la realidad.
228
Figura 47. Representación de plantas
con Xfrog Fuente: El autor
Figura 48. Plantas susceptibles de ser modeladas con fractales V-variables y
superfractales
Fuente: El autor
Modelación de terrenos
Un nuevo método para la generación de superficies fractales es utilizado por las
aplicaciones de computador para modelación y representación de terrenos; una descripción
de dicho método y su justificación como herramienta para representar elementos de la
naturaleza se presenta en la Figura 4 9.
Debido a la complejidad inherente en los sistemas de información geográfica, es
necesario reducir las estructuras espaciales, por ejemplo, en lo referente a los conceptos
geométricos, a primitivas sencillas como puntos líneas y polígonos. Esta labor es menos
229
complicada cuando se refiere a las estructuras de carácter topológico propia de los sistemas
de representación geográfica, cuyas relaciones son complicadas de manipular.
En la aplicación que se describe a continuación, solo se trabajan algunas capas de las
que componen la base de datos de un Sistema de Información Geográfica (SIG), como la
hidrografía, topografía y vegetación, entre otras, y por eso es solo un acercamiento a las
opciones de visualización 3D, implementada en algunos SIG.
Como se ha visto en la representación geométrica de superficies, casi todos los
métodos se basan en la geometría euclidiana, como parte de la geometría diferencial, por
ejemplo en el uso de curvas suaves o diferenciables. Pero la geometría que subyace en la
naturaleza, no obedece a ese carácter diferencial, sino a la geometría fractal, incorporada
como una opción fundamental para modelar las intrincadas superficies irregulares de las
montañas, la complejidad en la formación de las nubes, la naturaleza fragmentada de los
contornos de las hojas de una planta, las estructuras de ramificación de los ríos y algunos
objetos y fenómenos de la naturaleza, solo mencionando algunas de ellas. Un elemento
importante en las aplicaciones que modelan terrenos es la incorporación de técnicas de
naturaleza fractal, que proporcionan un realismo mayor a la hora de representar las
superficies terrestres, las nubes y la vegetación.
230
Creación de paisajes con VistaPro 4.0
El programa VistaPro 4.0 es un simulador de paisajes interactivos 3D, que usa métodos
de representación de los terrenos, basados en superficies fractales como una de sus opciones,
para generar paisajes fractales de manera aleatoria. Asimismo usa los formatos de gráficos
U.S. Geological Survey (USGS), con el cual han sido modelados parte de la topografía de
los terrenos de Estados Unidos. También es compatible con el formato de archivo Digital
Elavation Model (DEM), que es un formato de archivo que contiene información para
reducción de paisajes digitales tridimensionales.
Figura 49. Paisajes virtuales generados con VistaPro 4.0
Fuente: El autor
A continuación se describe la forma general de obtener superficies fractales, sobre la
cual se basa el programa VistaPro, para la creación de superficies de terrenos en forma
aleatoria, basado en el movimiento browniano y movimiento browniano fraccionario.
Dicho mecanismo es un movimiento aleatorio, es decir, cuando una partícula realiza
algún tipo de desplazamiento está dependiendo de dos factores, el primero la ubicación en
el espacio, y el segundo el tiempo. Si esta partícula realiza un giro inesperado en un tiempo
t inesperado, la trayectoria será un tanto desordenada. Pero si se traza la trayectoria de dicha
partícula se evidenciará una fuerte relación entre esta clase de movimiento y la geometría
fractal. Este tipo de “desorden” puede ser bien aprovechado en diferentes programas de
computación, especialmente el VistaPro, que está basado en este movimiento para la
realización de paisajes naturales virtuales, tanto en la generación de los terrenos como en la
231
configuración de las formas irregulares, de los contornos de islas lagos, etc. La generación
de superficies fractales se basa así mismo, en el llamado movimiento browniano
fraccionario2.
Para explicar el algoritmo fractal de representación de una superficie, se parte de un
triángulo, y tomando los puntos medios de cada triángulo se divide en cuatro sub-triángulos.
Dichos puntos medios son tomados como nodos que pueden desplazarse aleatoriamente, en
sentido vertical de acuerdo con una interpolación aplicada a los ejes, con respecto a los
vértices originales. En la gráfica Nro. 10, se ilustran los pasos básicos para la generación de
dicha superficie.
Figura 50. Paisajes virtuales generados con VistaPro 4.0 Fuente: El autor
Los modelos de mallas para representar superficies fractales, generalmente usan
mallas triangulares, por su simplicidad, aunque puede ser extendida a otros polígonos. Un
concepto importante, que incluye VistaPro como un elemento modificable, es la dimensión
del terreno fractal, que oscila entre un valor entre dos y tres; la interpretación intuitiva
corresponde que entre mayor irregularidad tenga el terreno, la dimensión es cercana a tres,
mientras que si se acerca a dos, el terreno tiende a ser más plano, o regular o suave en el
sentido de la diferenciabilidad de la superficie.
2 QUINTERO, Leonardo. Fractales autosemejantes como modelos matemáticos para la representación
de objetos y fenómenos de la naturaleza. Dirigida por Mg. Suárez, Publio. Tunja: Licenciatura en Matemáticas y Física. UPTC, 2000.
232
Práctica académica en geometría fractal de la naturaleza
Cada semestre se llevó a cabo una práctica de campo con estudiantes de la Licenciatura
en Matemáticas de la UPTC de Tunja, para desarrollar prioritariamente las dos primeras
etapas de la propuesta para el aprendizaje de la geometría fractal de la naturaleza. El principal
propósito es explorar los parques naturales más reconocidos de Colombia, para detectar
objetos de la naturaleza con característica fractal, como árboles de distintas clases, plantas,
hojas, flores, piedras, fósiles, paisajes, montanas, formas ramificadas de ríos o riachuelos,
que sean susceptibles de ser posteriormente modelados en computador usando aplicaciones
de fractales.
Los enfoques antropológicos en educación matemática propician el desarrollo de
actividades de aprendizaje para que los estudiantes conozcan su entorno, la naturaleza y
relacionen las expresiones artísticas con la matemática.
Descripción de logros alcanzados en la práctica de campo
Se cumplió con la exploración de los parques naturales Explora y Jardín Botánico de
Medellín y alrededores del parque y lagos de Guatapé (el Peñón), para detectar objetos de la
naturaleza con característica fractal, como árboles de distintas clases, plantas, hojas, flores,
piedras, fósiles, paisajes, montañas, formas ramificadas de ríos o riachuelos, que fueron
posteriormente modelados en computador usando aplicaciones de fractales como GeoGebra,
Cabri, Fractal Vision y Xfrog. Además se visitó el Planetario de Medellín y se desarrollaron
talleres específicos sobre sistema de información geográfica y sistemas de coordenadas
esféricas. Como actividad cultural se visitó el Museo de Antioquia para admirar de manera
especial la obra del Maestro Fernando Botero.
233
Figura 51. Fotos práctica de campo Fuente: El autor
Tabla. 30. Actividades desarrolladas y su relación con el contenido programático de la asignatura
07-06-17
Parque El Peñol
de Guatapé.
Para la exploración de los parques naturales, se sugirió a los estudiantes una
serie de actividades que pueden ser útiles para la selección de los objetos
naturales susceptibles de ser modelados en computador usando los
principios básicos de la geometría dinámica y computacional.
Lecturas previas de artículos y libros sobre geometría fractal de la naturaleza
Conferencia previa sobre modelación de objetos de la naturaleza, usando el software existente
Exposición de trabajos sobre prácticas de campo anteriores. Observar los objetos detenidamente, anotando sus
características, partes y detalles especiales. Por ejemplo, al observar un árbol seco, anotar cuantas ramas tiene el tronco principal y a la vez el número de subramas que cada una de ellas tiene y así sucesivamente, para caracterizar los procesos iterativos y de recursión.
Hacer un bosquejo de los objetos, tratando de captar sus principales detalles, y a la vez dibujar una de sus partes, especialmente si tiene similitud, con el objeto, excepto por su tamaño. Es recomendable no fijar tantos parámetros para esta
- Libros sobre
fractales
- Dibujos de
fractales elaborados
como actividad
previa
- Fotografías
- Videos
- Cámara fotográfica
- Filmadora
- Software sobre
fractales: CABRI,
GEOGEBRA,
FRACTAL
VISION, X-FROG,
08-06-17
Parque Temático
de Medellín
Planetario de
Medellín
09-06-17
Jardín Botánico de
Medellín
234
09-11-17
Parque de los Pies
Descalzos
Medellín.
actividad, a veces con la observación no intencionada se captan más detalles.
Sesión plenaria luego de la práctica de campo y se consideró provechoso sustentar ante los compañeros, los resultados de cada observación para realizar el intercambio de las representaciones que se hicieron en una pequeña exposición.
La actividad del docente, en este caso orientadora, permitió
sintetizar y detallar los aspectos claves de la autosemejanza, tratando de
unificar el lenguaje empleado por los estudiantes y haciendo énfasis en los
detalles comunes que hay en estos objetos. Las nociones intervinientes en la
estructura común de un árbol, un helecho, las nervaduras de una hoja, un
sistema fluvial, una rama de trigo, o de cilantro, son principalmente la
ramificación sucesiva y la autosemejanza. En otras palabras, se pueden
encontrar partes de estos objetos parecidas al todo, excepto por el tamaño.
Si ya se está familiarizado con las transformaciones, se puede detectar una
especie de homotecia en este proceso; el docente seleccionó y clasificó los
objetos encontrados por los estudiantes, susceptibles de ser modelados, de
los cuales algunas partes de los objetos se parecen al todo, es decir, en donde
la autosimilaridad es una propiedad bastante evidente. Como actividad final
de esta parte, se les proporcionaron los dibujos modelos fractales y
fotografías de objetos, para confrontar con sus representaciones y concluir
sobre los aspectos comunes. El estudiante presentó un informe sobre el
modelo del fractal autosemejante encontrado, dentro de las estructuras de
los fractales IFS, en donde caracterizó los parámetros de las
transformaciones afines contractivas de valor real que lo conforman. El
estudiante elaboró el modelo del objeto fractal seleccionado usando el
software de modelación fractal y lo entregó en medio magnético.
CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA RELACIONADOS
CON LA PRÁCTICA
GEOMETRIA FRACTAL DE LA NATURALEZA TRANSFORMACIONES AFINES CONTRACTIVAS SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES CURVAS Y SUPERFICIES FRACTALES MODELACIÓN DE ESTROCTURAS FRACTALES Y
SIMULACIÓN DE CRECIMIENTO DE PLANTAS.
VISTA PRO
Pueblito Paisa de
Medellín
Museo de
Antioquia.
Obras del Maestro
Fernando Botero
Aporte de la actividad complementaria a la formación profesional del estudiante
Como trabajo de la asignatura, cada estudiante entregó en medio magnético, un
informe de las actividades realizadas junto con las fotografías, videos y dibujos
elaborados, con el modelo matemático subyacente (sistema iterado de funciones
respectivo), en los objetos naturales encontrados en su actividad de exploración, que
posteriormente se modelaron en aplicaciones de computador Fracplant, Fractal Vision,
235
X-Frog, Vista Pro y Cabri. Adicionalmente hacen una reflexión sobre las actividades
realizadas en la práctica y su relación con su formación docente.
Los estudiantes en formación tienen la oportunidad de vivir una práctica académica
en la cual participan en su diseño, realización y control estricto de las actividades
planeadas. Este tipo de prácticas las tendrá que realizar en su actividad cotidiana como
docente. La implementación y evaluación de formas alternativas de aprender las
matemáticas y la relación con su entorno constituyen un complemento en la formación
de los futuros profesores que ejemplifican el poder diseñar e implementar ambientes de
aprendizaje para aprender geometría significativamente, mediado con el uso de las
tecnologías (ver anexo 7).
La opinión de algunos estudiantes:
“Cada actividad académica que se realizó tuvo un aporte significativo, ya que
se aprendieron cosas que no sabíamos, también aporta para cuando estemos en
nuestra vida laboral, también nos ayuda a ser mejores personas, a no fijarnos en
solo lo que resalta a la vista sino también en el ser de la persona; por ultimo a
observar como la matemática está en casi todo lo que nos rodea como lo son las
plantas, los árboles, las hojas, las flores, entre otros, teniendo en cuanta los fractales
que poseen cada una de ella.”
“En aspectos matemáticos fue muy interesante conocer y recorrer el jardín
botánico, porque se observaron muchos fractales en su mayoría presente en la flora,
especialmente en las plantas encontradas en el vivero junto a la zona de entrada y
salida de visitantes. También me llamo la atención la geometría usada en la
construcción del orquideorama especialmente hexágonos situados en la parte
superior de la plataforma.”
La práctica fue de gran importancia, tal vez muchos íbamos con una
perspectiva de entrar solo a museos a ver objetos arqueológicos, pero fue otra vista
cuando estuvimos en los diferentes parques; también ver tantas aplicaciones
cercanos a nosotros como futuros docentes; es de vital importancia conocer y
explorar diferentes métodos de llevar una clase más didáctica y especial para los
estudiantes; me pareció muy importante la serie de actividades y visitas a los lugares,
fue muy organizado y puntual tanto por parte de los profesores, como por parte de
nosotros los estudiantes.
236
“En general ha sido una experiencia trascendente, creo que enriquece mi parte
académica direccionando mis objetivos profesionales en un sentido más amplio de
la matemática, desde la parte personal y humana creo es una práctica que te permite
convivir y compartir con los compañeros de la carrera, ya que en ningún otro
momento de la carrera se había tenido esta oportunidad”.
“… La otra actividad que más me llamó la atención, fue la visita al Jardín
Botánico; en éste se encontraban gran variedad de plantas y árboles, con una
estructura muy hermosa, y la mayoría de ellas se podía observar como una
estructura fractal, además de eso, el ambiente se sentía súper sano, tranquilo y
armonioso, la brisa y estar junto a todas las plantas creaba un ambiente de
relajación y armonía.”
Pertinencia del sitio de realización de la actividad complementaria
Los sitios fueron seleccionados y explorados previamente para que constituyeran
el ambiente ideal para el aprendizaje de la Geometría Fractal de la Naturaleza. Por esto,
se consideran espacios que ofrecen la oportunidad de explorar y aprender de manera
integrada aspectos de las matemáticas, la geometría, la física y las ciencias de la
naturaleza. Como actividad complementaria se hizo una visita al Museo de Antioquia,
para admirar la obra del Maestro Botero.
Respecto a la pertinencia de la práctica los estudiantes opinaron:
“Es prudente iniciar diciendo que la práctica en su totalidad es de un alto
contenido y que el aprendizaje es sin duda valioso, cada experiencia académica fue
magnifica, cuando es necesario recalcar dos de estas experiencias pues bien la
subida al peñón de Guatapé representa una de las experiencias más significativas ya
que de alguna forma no solo te dimensiona un paisaje enorme sino también el
alcance y poder humano porque se trata de un proyecto que fue modelado,
prediciendo que puntos alcanzaría la inundación y el cambio paisajístico que se le
proporcionaría a la región.
La segunda experiencia ha de ser la salida al Jardín Botánico allí sin duda
hemos podido dimensionar cuan intrincadamente está relacionado la naturaleza con
modelos matemáticos, de alguna forma es evidente que la naturaleza evoluciona y
tiene comportamientos que el hombre ha descrito en general como geometría, el
hombre no ha creado nada, se ha ceñido a entender y modelar estos
comportamientos en formas, figuras y fractales que son la representación de una
naturaleza perfecta.”
237
“Todas las actividades realizadas durante la salida estuvieron conforme a los
temas desarrollados en la asignatura dado que tenían alguna aplicación. Durante el
transcurso de la práctica participe activamente de todas las actividades propuestas
y tomando atenta nota de lo desarrollado, a su vez mi comportamiento en cada uno
de los escenarios.”
“En el Jardín botánico vimos la naturaleza fractal en todo su esplendor, en
este se encontraba una gran variedad especies en cuanto animales y plantas lo que
nos permitió observar de cerca lo trabajado en clase y ver cómo estas formas tan
complejas son realizadas por la naturaleza y su estudio debe hacerse.”
Autoevaluación en relación con los objetivos, actividades y lugar entre otros
Las actividades se realizaron a satisfacción de acuerdo a lo planeado. Los
estudiantes mostraron un interés cada vez más creciente en la práctica y su
comportamiento fue excelente, cumpliendo cabalmente la reglamentación de la UPTC
para estos casos.
En cuanto al proceso de autoevaluación los estudiantes manifestaron:
“Con respecto a la práctica el balance es muy positivo ya que adquirimos
nuevos conocimientos matemáticos, físicos y ecológicos; creo que la responsabilidad
se vio desde un principio en la hora de salida y en los momentos de traslado a los
sitios ya programados, el respeto con la sociedad de Medellín y con los compañeros
fue el mejor, así como con los docentes; la participación en todos los eventos
académicos creo que fue una de las mejores, el estudiar y conocer todo lo que nos
llevaba cada practica de fondo fue excelente fuimos participes de las actividades
físicas que se realizaron en todo momento.”
“Las palabras de agradecimiento para esta gran aventura y experiencia se
quedan cortas, fue extraordinario el poder estar en sitios donde el conocimiento, la
historia y la cultura abundan y eso es algo que no tiene un punto comparación. Ser
partícipe de esta práctica tal vez sea el mejor recuerdo que me pueda llevar de esta
gloriosa Universidad.”
“Se hace necesario referirnos al proceso educativo como una reflexión
pedagógica que los saberes que hemos aprendido y las habilidades y competencias
que hemos adquirido por el finalizar del curso, es importante resaltar que se ha
hecho un constructo muy significativo en el desarrollo de ver como las matemáticas
238
dejan su estructura rígida y formal y pasan hacer una forma de interacción con
el medio que nos rodea, logrando que todo proceso natural de vida sea modelado
por medio de la matemática, ayudando a fortalecer el desarrollo del pensamiento y
la crítica al momento de ver la matemáticas.”
Productos de modelación de los estudiantes como proyectos de la práctica
239
Figura 52. Fractales dibujados por estudiantes de Electiva I Fuente: El autor y estudiantes
240
Análisis de caracterización de los ambientes virtuales, dibujos dinámicos y
práctica de campo
Los ambientes virtuales de aprendizaje y dibujos dinámicos concebidos al interior del
grupo colaborativo, implementados y replicados por los estudiantes de la asignatura de
Electiva I de la Licenciatura en Matemáticas y física de la UPTC de Tunja, fueron elaborados
en momentos colaborativos, cooperativos y/o autónomos. Mediante socialización de los
resultados en el aula se proponían modificaciones para el mejoramiento de las mediaciones
y la (re)significación de las prácticas.
Una ardua tarea inicial en el grupo colaborativo como en la asignatura referida fue la
alfabetización computacional en aplicaciones Poly, Dpgraph, Cabri II Plus y Cabri 3D,
seleccionados por su calidad pedagógica, didáctica y técnica para elaborar dibujos dinámicos
en temas correspondientes a diversas geometrías. Dichas aplicaciones contienen las
herramientas necesarias básicas para hacer modelaciones y simulaciones.
El paso obligado en la elaboración de macroconstrucciones como nuevas herramientas,
que no contemplan los programas de geometría dinámica mencionados, desarrolla el
pensamiento espacial y el trabajo con sistemas y estructuras geométricas de los estudiantes
y profesores que las crean. La composición y relación entre estas herramientas construidas
permite ampliar el rango de los dominios del dibujo, de funcionamiento y de interpretación
de los elementos característicos de las figuras y modelos inventados.
Las temáticas, problemas, proposiciones y teoremas adoptados con características de
facilidad en su modelación y simulación correspondieron a la geometría plana y
tridimensional clásicas. Se inició la experimentación y el desarrollo de la competencia digital
de profesores y estudiantes con teoremas como, Pitágoras, Viviani, Napoleón, Morley y los
referentes a puntos rectas y círculos notables del triángulo.
241
Una vez se avanzó en el manejo y programación de las aplicaciones de geometría
euclidiana se desarrollaron las competencias profesionales del profesor de matemáticas para
diseñar, elaborar implementar, evaluar y (re)significar las prácticas y los ambientes virtuales
para el aprendizaje de las geometrías. Cada profesor o estudiante elegía un teorema o
proposición de su interés para elaborar talleres y secuencias didácticas que involucrabas los
ambientes virtuales y/o dibujos dinámicos para el trabajo en el aula.
Posteriormente se amplió el rango de aplicaciones a NonEuclid, GeoGebra, Carmetal
y aplicaciones para dibujar fractales autosemejantes como Fvwin, Xfrog, entre otros. Los
participantes de la asignatura de Electiva elaboraron productos informáticos en geometrías
euclidiana plana 2D y 3D, analítica, de las transformaciones, vectorial, proyectiva, de grafos,
métrica, fractal y diferencial.
Inicialmente los trabajos de los estudiantes no tenían calidad técnica, pedagógica y
didáctica, pero fueron mejorando, producto de la socialización al interior del grupo,
asumiendo las recomendaciones de los expertos. Los estudiantes debieron adoptar un
enfoque de aprendizaje, de tipo tradicional, constructivista, investigativo, cognitivista,
crítico social o antropológico, para luego elaborar los ambientes contextualizados en estos
enfoques y pensar las figuras, animaciones modelación y simulación en el ámbito de alguna
o varias geometrías para proponer un producto claro, coherente y apropiado con las formas
de aprender elegidas.
En general, los últimos productos elaborados fueron de mejor calidad pues tuvieron en
cuenta la experiencia personal y colectiva de los integrantes del grupo colaborativo y de la
asignatura de Electiva. Se logró consolidar una considerable cantidad de ambientes de
aprendizaje y dibujos dinámicos que conforman la base de datos en medio magnético como
propuesta final de productos del colectivo de académicos dedicados a la enseñanza y
aprendizaje de las geometrías.
242
El planteamiento de las cuatro entradas de ver en geometría el enfoque noético-
cognitivo de Duval constituyó una propuesta unificadora de las actividades para evaluar el
progreso del estudiante y las capacidades de visualización, interpretación y comprensión de
los objetos matemáticos intervinientes en cada una de las actividades.
La forma de ver del botánico permitió emerger, evidenciar y caracterizar figuras
intervinientes en las tareas propuestas y clarificar lo que perciben los estudiantes mediante
los procesos de visualización. Los objetos emergentes en esta forma de ver van más allá de
la percepción inmediata de las figuras y se logró una amplia clasificación de ellos
correspondientes a los tipos de programas de geometría trabajados (ver anexo 10).
Ver la geometría desde el punto de vista del agrimensor (geómetra) tiene la ventaja de
permitir identificar los aspectos de la geometría métrica interviniente en algunas de las tareas
propuestas. Las medidas de segmentos, ángulos, perímetros, áreas y volúmenes fueron las
más comunes en la experimentación con los modelos geométricos. Las relaciones de
congruencia y semejanza con o sin métrica, se contemplaron como tópico de exploración y
conjeturación de propiedades de los objetos geométricos intervinientes y emergentes.
En cuanto a la forma de ver del constructor clarificó los algoritmos de construcción
elaborados por los estudiantes. La secuencia de pasos dada en el ámbito de la geometría
dinámica al elaborar los modelos se visualiza de manera fácil y rápida, lo cual permite
reversar los procesos y reconstruirlos. Se considera que los aspectos de construcción en los
modelos fueron los más enfatizados en las actividades planteadas.
La forma de ver del inventor (artesano) se incluyó tangencialmente en algunos de los
ambientes virtuales y permitió plantear cuestione de tipo heurístico para inventar y proponer
aspectos nuevos en cuanto a las relaciones inherentes a las figuras y modelos. Los procesos
de conjeturación, generalización y argumentación sirvieron de ejes fundamentales en los
momentos creativos asumidos por los estudiantes.
243
Los sistemas semióticos de representación involucrados en las tareas fueron los
lenguajes gráfico, algebraico y natural. El tratamiento al interior de los sistemas fue
fundamental para obtener las expresiones algebraicas que caracterizaban las propiedades de
los objetos intervinientes. El proceso de conversión entre los sistemas semióticos de
representación no se dio de manera tan espontánea como se piensa. Los estudiantes pudieron
expresar las proposiciones en lenguaje usual y gráfico pero se encontraron dificultades al
convertirlos en expresiones algebraicas.
El desarrollo de la competencia digital de los participantes fue evidente. La capacidad
para crear los materiales informáticos se evidenció en el hecho de usar mejores herramientas
creando unas nuevas, lo cual enriqueció las aplicaciones que permitieron elaborar los
productos. Se puede considerar que se convirtieron en expertos en la competencia digital
para crear los ambientes virtuales creativos al aprender la geometría dinámica. Asi mismo,
el desarrollo del pensamiento espacial se incrementó en el transcurso de la elaboración de
los materiales.
244
Figura 53. Trabajo colaborativo Fuente: El autor
245
Ambientes Virtuales de Aprendizaje 6
Tema. Aprendizaje de los fractales triangulo de Sierpinski, árboles binario,
terciario y cuaternario.
246
Figura 54. Fractales en Cabri II Plus Fuente: El autor
247
Tabla 31. Descripción del ambiente 6. Competencia
Competencia
Modela fractales clásicos a partir de los movimientos geométricos, las transformaciones
afines contractivas y la formulación de su sistema iterado de funciones (IFS)
Tipos de pensamientos matemático involucrados
N x M x A x E x V x
Sistemas y estructuras trabajados
Nu x Me x Da x Ge x An x
Tipos de programas de geometrías que contextualizan el ambiente
GE1D x GM x GA GT x GV x
GE2D x GD GF X GG GP
GE3D x GNEH GNEE GMD TP
Tipo de software usado
Geometría Dinámica con Cabri 3D
Autor
Estudiantes de Electiva de Profundización I
Forma de abordaje del conocimiento matemático
Autoestructuración Heteroestructuración X Interestructuración
Ambientes virtuales para el aprendizaje de las geometrías
248
Tabla 32: Descripción del ambiente 6. Maneras de ver en geometría
Maneras de ver en geometría
Botánico
Puntos vértices, puntos medios.
Segmentos, rectas, ángulos.
Segmentos como lados y ramificación
Triángulos
Figuras irregulares
Ejes y puntos de simetría
Agrimensor (Geómetra)
Medida de las segmentos
Distancia entre vértices
Áreas del triángulo y figuras irregulares
Perímetros y áreas de fractales
Área de la superficie lateral de los fractales 3D
Volumen de los fractales 3D
Proporciones entre segmentos y áreas
Número de objetos en un determinado nivel del fractal respectivo
Dimensión topológica y fractal
Constructor
Establecimiento de coordenadas cartesianas 2D y 3D
Construcción del conjunto compacto inicial (nivel N0)
Determinación de puntos medios de lados del segmento con herramientas primitivas
Medida de ángulos usando herramientas primitivas
Hallar movimientos geométricos en primer nivel (N1)
249
Hallar transformaciones afines contractivas de sistema iterado de funciones (IFS)
Caracterización de los parámetros de las transformaciones
Inventor (Artesano)
Invención de fractales por modificación de parámetros
Animación de la familia de fractales dibujados
Relacionar diversos fractales con la misma estructura
250
El enfoque noético/cognitivo de Duval
Sistemas semióticos de representación
L
N
Usa el lenguaje natural para expresar las propiedades de las figuras fractales
identificadas y el algoritmo de construcción del de sistema iterado de funciones (IFS)
Valoración 1
2 3 4
5
x
L
A
Expresa en lenguaje algebraico las relaciones las transformaciones de los
movimientos geométricos inherentes al fractal y las transformaciones afines
contractivas de su IFS, en la construcción del dibujo dinámico
Valoración 1
2 3
4
x
5
L
G
La visualización del ambiente permite encontrar las relaciones entre fractales con la
misma estructura y evidenciar claramente los dibujos y las figuras del atractor
Valoración 1
2 3 4 5
x
T
Realiza tratamientos al interior del mismo registro en los sistemas de representación
semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2 3
4
x
5
251
C Efectúa conversiones manteniendo el mismo registro entre sistemas de
representación semiótica lenguaje usual, expresiones algebraicas y gráfica.
Valoración 1
2 3 4
x
5
D
F
La actividad propuesta genera la deconstrucción de las formas 1D-2D-3D
Valoración 1
2 3 4
x
5
Tabla 33: Descripción del ambiente 6. Competencia Digital.
Competencia Digital / valoración 1 2 3 4 5
Descripción de la competencia
D
I
U
B
U
J
O
Usa con propiedad las herramientas básicas de dibujo. x
Emplea las herramientas básicas de movimientos
geométricos.
Maneja apropiadamente las herramientas básicas de
transformaciones afines contractivas.
x
Manipulan las herramientas que determinan las
propiedades de los objetos dibujados (Color, textura,
contorno).
x
Implementa las relaciones sobre lados y ángulos. x
Utiliza las medidas de longitud, área y volumen de los
fractales dibujados.
x
252
Aplica correctamente los comandos del programa para
transformaciones como traslaciones, homotecias, reflexiones,
simetrías y rotaciones.
x
F
U
N
C
I
O
N
A
M
I
E
N
T
O
Emplea apropiadamente los comandos de animación simple y
múltiple sobre los elementos de la figura.
x
Adopta macroconstrucciones para grabar los algoritmos de la
construcción elaborada.
x
Asocia los pasos de construcción a procedimientos claros y
coherentes.
x
Usa los comandos de relaciones de isometría paralelismo y
perpendicularidad, tangencia y similaridad, vinculados a los
dibujos dinámicos.
x
Relaciona los pasos de la construcción a instrucciones para
descubrir sus propiedades.
x
Las etapas de la construcción evidencian un propósito final
que debe ser asimilado, entendido o descubierto, según el
caso.
x
Construye el significado de las propiedades de la actividad o
Teorema para expresarlo en lenguaje natural y/o matemático.
x
M
O
D
E
L
A
C
I
Ó
N
Usa apropiadamente los deslizadores con parámetros para
controlar las propiedades de la animación.
x
Compone macroconstrucciones para simplificar
procedimientos más complejos en los niveles del fractal.
x
Relaciona las variables y movimientos geométricos que
intervienen en la actividad con expresiones algebraicas
correctas.
x
Las etapas de la modelación se evidencian fácilmente. x
Grafica funciones que provienen de las relaciones algebraicas
entre variables inmersas en la actividad o teorema propuesto.
x
253
La modelación se realiza en un contexto coherente y
reversible controlado por parámetros necesarios y
optimizados.
x
Tabla 34: Descripción del ambiente 6. Análisis de Idoneidad.
COMPONENTES INDICADORES 1 2 3 4 5
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 87%
Situaciones- Problemas 50%
El ambiente presenta la actividad contextualizada en un problema, situación problemática o un teorema.
x
Se hace preguntas abiertas que generan situaciones blandas que amplían el dominio de interpretación.
x
Lenguajes 100%
Uso de diferentes modos sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica, simbólica y tabular), traducciones y conversiones y tratamientos al interior y entre los mismas.
x
Nivel del lenguaje natural adecuado a los estudiantes a que se dirige.
x
Se proponen situaciones para generalizar e interpretar. x
Reglas (Definiciones, proposiciones, procedimientos) 100%
Presentación de las definiciones y procedimientos claros y correctos, adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
x
Se presentan las instrucciones que generen construcción y negociación colectiva y de conocimiento escolar.
x
Argumentos 100%
Presenta sugerencias e instrucciones apropiadas para verificación y demostración de proposiciones y teoremas.
x
Se propician la conjeturación, justificación y argumentación.
x
Relaciones 50%
Los objetos matemáticos (problemas, deducciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.
x
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en los ambientes virtuales.
x
254
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 89 %
Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%
Se parte de los conocimientos previos y nociones necesarias para el desarrollo de la actividad propuesta.
x
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
x
Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales 100%
Los contenidos incluidos en los ambientes virtuales están contextualizados y relacionados con los contenidos curriculares del grado.
x
Se involucra la inclusión académica, la participación de los estudiantes, aun con debilidades en competencia digital.
x
Aprendizaje: Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 25%
Se contemplan estrategias de retroalimentación para evaluar las producciones de los estudiantes y la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas.
x
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva.
x
Los resultados de las evaluaciones de los estudiantes se tienen en cuenta para la (re)significación del ambiente virtual propuesto.
x
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 100%
Intereses y necesidades 50%
Las tareas y actividades tienen interés para los alumnos.
x
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
x
Emociones 100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.
x
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
x
255
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 84%
Interacción docente-discente 80%
El ambiente virtual presenta el tema de forma clara y organizada.
x
Se sugiere incentivar la discusión grupal y búsqueda de consensos con base al mejor argumento.
x
Se facilita la inclusión de los estudiantes, aun los que muestran debilidades en la competencia digital.
x
Autonomía 100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
x
Evaluación formativa 0%
Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
x
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 90%
Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 50%
Se invita al uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
x
Las definiciones, propiedades y teoremas son contextualizadas motivadas usando situaciones, modelos concretos y visualizaciones.
x
256
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 80%
Adaptación al currículo 100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las directrices curriculares.
x
Apertura hacia la innovación Didáctica. 50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva.
x
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
x
Adaptación socio- profesional y cultural 100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes.
x
Conexiones intra e Interdisciplinares 100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares.
x
Fuente: Godino (2011).
Figura 55. Valoración de criterios de idoneidad didáctica del AVA 6 Fuente: Godino (2011).
257
Análisis de criterios de idoneidad didáctica
Idoneidad epistémica
Respecto a los componentes e indicadores de idoneidad epistémica, los ambientes
presentaron las actividades contextualizadas básicamente en situaciones problemáticas en
geometría fractal y en problemas, proposiciones y teoremas para los demás tipos de
geometrías. Se trabajaron los tres sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica,
simbólica y tabular), presentando menor dificultad en el tratamiento de expresiones
algebraicas, que en las traducciones y conversiones entre las mismas. El sistema gráfico fue
el más relevante en las tareas desarrolladas y emplearon lenguaje usual (natural) para
describir y caracterizar los objetos geométricos.
En la mayoría de los materiales propuestos se sugirieron preguntas abiertas que
generan situaciones blandas para ampliar los dominios de funcionamiento y de
interpretación de los dibujos y las figuras Se plantearon situaciones para generalizar,
interpretar y encontrar significados de los objetos geométricos intervinientes relacionados
entre sí, presentando tópicos e instrucciones apropiadas para verificar y demostrar
proposiciones y teoremas.
Idoneidad cognitiva
Se contempló involucrar para el desarrollo de la actividad propuesta los conocimientos
previos y nociones necesarias en cada teorema o proposición seleccionada con especial
cuidado en que la complejidad de la temática se adecuara a las necesidades interés y
capacidades de los estudiantes usuarios del ambiente. Las tareas iban dirigidas a un estudiante
normal, para evitar la exclusión académica al trabajo propuesto. Se contempló adoptar
estrategias de retroalimentación con propósito evaluativo autónomo para que ellos mismos
valoraran la calidad de las producciones de los estudiantes y la forma como se apropiaron de
los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas.
258
Idoneidad afectiva
Las tareas y actividades fueron bastante interesantes y generaron una motivación extra
en los alumnos para trabajar los ambientes virtuales en geometría y su relación con la vida
cotidiana y profesional, de manera particular al relacionarla con expresiones artísticas y la
modelación de la naturaleza para conocer su entorno. Esto logró combatir la fobia o miedo a
las matemáticas y a su desarrollo informático, debido a las dificultades técnicas. Es evidente
que un factor relevante fue resaltar las cualidades de estética de los ambientes presentando
interfaces amigables y fáciles de explorar y manipular.
Idoneidad interaccional
Siempre se buscó presentar la temática del ambiente virtual de forma clara y
organizada lo cual se considera un logro de los productos de los estudiantes. De acuerdo
con el enfoque de aprendizaje que se adoptó en cada ambiente virtual se propició incentivar
la discusión grupal y búsqueda de consensos con base al mejor argumento como dinámica del
grupo colaborativo. Se plantearon momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio de manera autónoma; usan una variedad de herramientas para
razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos. Asimismo se incentivó el
desarrollo de los procesos de pensamiento matemático de particularizar, conjeturar,
argumentar, representar, generalizar, convencer y demostrar, los cual permitió hacer un
seguimiento sistemático del progreso cognitivo de los alumnos.
Idoneidad mediacional
La investigación permitió establecer que la idoneidad más desarrollada fue la
mediacional. Aunque el fundamento del trabajo de los estudiantes fue desarrollar sus
competencias digitales, en algunas de las actividades en geometría tridimensional se inició
al uso de materiales manipulativos, como construir sólidos en troquelado, origami y
estructural (sólo aristas) para luego experimentar con los paquetes que modelan poliedros
259
(Malara, 1999). La visualización y el desarrollo del pensamiento visual fue la columna
vertebral en las actividades de elaboración de dibujos, gráficas su modelación y simulación.
Idoneidad ecológica
La contextualización natural de los contenidos, su implementación y evaluación se
fueron los estándares curriculares de matemáticas y los derechos básicos de aprendizaje. Se
introdujeron en los ambientes virtuales y las prácticas la innovación basada en procesos
heurísticos e investigativos con interés reflexivo con propósito de mejorar el aprendizaje y
(re)significar la labor de enseñar y aprender en el campo de las geometrías.
Propuesta de capacitación inicial y continua de profesores de matemáticas
La cualificación de docentes de matemáticas para la educación básica y media en
Colombia ha sufrido grandes transformaciones gracias al impulso propiciado por los
desarrollos de la educación matemática como disciplina científica a nivel internacional, que
contempla dentro de sus programas de investigación la formación inicial y continua de los
educadores.
El Proyecto para la Transformación de la Calidad Educativa (PTCE), implementó un
proyecto de capacitación de docentes en convenio entre el MEN y cinco universidades
públicas entre las cuales está la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
(UPTC), tiene entre sus metas “fortalecer las competencias profesionales de los docentes de
educación básica para cualificar sus prácticas de aula y, contribuir al mejoramiento de los
aprendizajes de los estudiantes en matemáticas…” (Proyecto PTCE, MEN). La experiencia
obtenida sirvió de base para constituir los elementos y estructura de una estrategia de
capacitación en el aprendizaje de las geometrías con mediación tecnológica dirigido a
profesores de educación básica y media.
Cuando se habla de calidad de la educación, necesariamente debe pensarse en aspectos
como la calidad de los programas de formación inicial de profesores, el tipo de formación
260
continua y el acompañamiento que están teniendo los docentes, las condiciones en las que
estudiantes y profesores desarrollan sus tareas educativas, los materiales didácticos de que
disponen, entre otros (Jiménez, et al. 2012).
En la formación de los profesores es bien sabida la dicotomía existente entre el peso
que deben tener los contenidos disciplinares matemáticos y los contenidos pedagógicos y
didácticos; además de las discusiones en torno al momento en que deben darse cada uno de
ellos y la forma más pertinente de hacerse. Al respecto hay consensos en el hecho que cada
una de las dos áreas debe hacer parte de la formación de los profesores (Ponte, ET AL. 1997).
A continuación se presentan los aspectos a tener como referentes en los futuros cursos de
capacitación de los docentes de educación básica, que estén a cargo de la formación
geométrica de sus estudiantes.
Analizar las implicaciones epistemológicas, pedagógicas y didácticas de la
construcción de las nociones de espacio, forma y figura, a través de secuencias
didácticas que buscan la (re)significación de saberes y prácticas de los docentes
de educación básica y media.
Diseñar y evaluar actividades didácticas que favorezcan la reflexión, análisis y
(re)significación de las prácticas cotidianas en el aprendizaje de la geometría,
identificar los procesos inherentes al desarrollo del pensamiento matemático,
del pensamiento espacial y del trabajo con los sistemas y estructuras como base
para la construcción curricular de los programas curriculares institucionales.
Incorporar los ambientes de geometría dinámica como opción enriquecedora
de las actividades cotidianas en el campo de la representación de objetos
geométricos y el desarrollo del pensamiento intuitivo a través de actividades
heurísticas para la enseñanza y el aprendizaje del área.
261
Clasificar, comparar, adoptar y crear los materiales, medios y mediaciones
trabajados en la investigación con el grupo colaborativo de ambientes de
aprendizaje de las geometrías enfatizando los recursos del entorno.
Finalmente en enfoques antropológicos de la educación matemática se propició
plantear, formular y resolver situaciones problemáticas del contexto que
permitan evidenciar la geometría que subyace en ellas y comprender la belleza
de las creaciones geométricas del espíritu humano.
La construcción del espacio en el niño
Las primeras nociones que el niño construye para comprender el mundo que le rodea
son las de espacio y el tiempo. Para algunos teóricos de la educación geométrica, entre ellos
Piaget, estos son indisolubles, incluso dichos conceptos están entrelazados con el concepto
de gravedad. La construcción del concepto de espacio en el niño, según Piaget, se da a partir
de la internalización de las acciones, dando lugar a diversas representaciones internas que se
estructuran en torno los aspectos topológicos, las características del espacio euclidiano y con
sus respectivas transformaciones proyectivas (Bang y otros, 1971).
La primera referencia a la construcción del esquema de objeto y su conservación, el
referente de la forma y figura, desde las características más elementales de la inteligencia
senso-motriz, en donde es evidente el parentesco entre la inteligencia y la actividad
perceptiva, (Piaget, 1971).
Desde el punto de vista de la epistemología genética para la construcción de la noción
de espacio se desarrollan una serie de seis estadios. En los dos primeros el niño, crea espacios
diferentes cuyas características dependen de la actividad de exploración realizada.
262
La siguiente fase (estadio) se caracteriza por la coordinación de los grupos (de
movimientos) prácticos, en el sentido algebraico, dándole el carácter de subjetividad a la
actividad de exploración. Piaget conceptúa que sólo en el curso del tercer estadio la,
asimilación recíproca de esos diversos 'espacios’ se hace sistemática, en virtud de la
coordinación de la visión, con la aprehensión. Es de vital importancia notar que, el paso de
esas coordinaciones, a la constitución de sistemas espaciales elementales que anuncian ya la
composición propia del grupo (de movimientos o traslaciones).
El cuarto estadio es determinado por la elaboración internalizada del “grupo de
operaciones reversibles”, característica fundamental de las operaciones mentales. En el
quinto estadio se constituyen los grupos “objetivos” de desplazamiento, situados en un
medio homogéneo.
La sexta fase se caracteriza por la elaboración de los grupos “representativos”, es decir,
“la representación de las relaciones espaciales entre las cosas y la representación de los
desplazamientos a partir del propio cuerpo (corporizados). Las evidentes conexiones entre
el hábito y la inteligencia, no lo son menos las relaciones del objeto, con las constancias
perceptivas de la forma y de la magnitud” (Piaget, 1971).
Para comprender mejor esta comparación se abordan las concepciones de Poincaré
respecto a la construcción de espacio; respecto a la noción de espacio, se refiere a negar el
supuesto espacio absoluto de la mecánica newtoniana y postular la existencia de un espacio
relativo. El espacio relativo se refiere a que solo se puede considerar posiciones y
movimientos respecto de otros objetos.
El origen del concepto de espacio relativo se debe a nuestra capacidad de movimiento.
Gracias a esta capacidad, podemos comprobar como todo el Universo obedece a las mismas
leyes. Estas observaciones llevan a nombrar, ahora sí, a una estructura fundamental que
Poincaré llama “Grupo de los Movimientos” (Gianni k y Melita, 2008).
263
Respecto a las nociones geométricas, Steen conceptúa: “los objetos geométricos
siempre deberían estar a la mano. Percatarse del espacio y del volumen debería ser un
elemento permanente de la experiencia matemática en todos los niveles escolares.
Refinamientos tales como la medición de cantidades y aprender a relacionarlas con fórmulas
llegarán en su oportunidad. Pero deberían llegar mucho tiempo después del momento en que
un niño acaba de tener conocimiento de las diferentes dimensiones de medición.
Con demasiada frecuencia la primera vez que se alienta a un estudiante a pensar en el
significado de volumen es el mismo día en que se le presenta una fórmula para calcular el
volumen de una esfera o un cono. Para fomentar la fluidez en el lenguaje de la geometría se
necesita mucha más “pre-Geometría” a lo largo de la experiencia escolar, la cual incluiría
Geometría de “pre-solidos”, así como “pre-plana” (Steen, 1999, p. 20).
Una preocupación del docente se basa en el diseño de mediaciones y ambientes
creativos para el desarrollo del pensamiento geométrico y el aprendizaje de las nociones
básicas de sus estudiantes. Un buen ejemplo de estos esfuerzos se describe en los siguientes
términos. “El término del educador “material didáctico”, asume un significado nuevo cuando
es posible poner frente a un joven pupilo una herramienta para manipular no solo formas
simples, sino también la propia geometría del espacio de dimensiones superiores. Si en
realidad nos interesa educar a nuestros niños para que perciban el espacio, deberíamos crear
material didáctico verdaderamente estimulante, regalos geométricos de nuestros días”
(Steen, 1998. p 24).
Algunas claras implicaciones referidas a la construcción de la noción de espacio,
reconocimiento de figuras y formas en el niño de los grados de pre-escolar y primeros de
grados de educación básica primaria son:
Se debe partir de la exploración del espacio tridimensional, es decir del entorno que
conoce el estudiante, en donde el espacio y los objetos, en el contenidos, son
generalmente indisolubles en esta etapa.
264
Las características de los objetos se exploran principalmente a través de los sentidos
del tacto y de la vista, con el propósito de percibir intuitivamente las propiedades
más relevantes de los objetos.
Es necesario involucrar al niño en ambientes creativos y lúdicos de aprendizaje, ricos
en materiales reales que pueda manipular, por ejemplo con diversos sólidos, con los
cuales en etapa de transición de pre-operacional a operacional concreta imagina y
representa, objetos de su entorno, como carros casas, animales paisajes, entre otros.
Con un trabajo adecuado este material puede ser útil para enriquecer la experiencia
del niño, no solo en la construcción de las nociones geométricas sino también las
operaciones de clasificación, seriación y los procesos de reversibilidad y anticipación
propios de las operaciones concretas necesarias para la construcción de numero
natural, es decir se debe explotar suficientemente el trabajo con lo que Piaget llama
la “colección figural”.
El juego con objetos geométricos es una etapa posterior a la representación de dicha
“colección figural”, con la cual el niño desarrolla su imaginación. Para ellos, existen
los trenes, carros, balones y no, los objetos geométricos individuales. El juego es la
forma natural de aprendizaje del niño; cuando hay reglas impuestas por el profesor,
en estas etapas iniciales, el juego pierde su esencia e interés para el niño. Por ello, se
debe explotar la forma natural de exploración del niño sobre estos objetos, sin
imponer estrategias, formas de representar y mucho menos lenguaje o términos
matemáticos.
El uso del lenguaje natural del niño es importante en la etapa inicial de exploración.
Los nombres del lenguaje matemático es consecuencia de la familiaridad que ellos
tengan con los objetos geométricos.
265
Se deben explorar primero las formas que ofrece el entorno, su representación y sus
modelos usando prioritariamente solidos (figuras en tres dimensiones) y por último
explorar las figuras planas, primero como figuras del espacio tridimensional y luego
como partes del plano o espacio bidimensional.
Es necesario explotar y explorar diversos sistemas de representación como
troquelado, origami, estructural (palillos para armar figuras rígidas) y jugar con
utensilios para experimentar medidas informales con agua o arena pues así puede el
niño desarrollar el pensamiento matemático, de tipo geométrico, métrico y numérico,
prioritarios en su formación inicial.
Estructura del módulo de geometría en los cursos de capacitación.
Para los futuros programas de formación continua se propone desarrollar algunas
sesiones prácticas de trabajo, que se convierten en lecciones que el profesor de educación
básica puede desarrollar con sus estudiantes, una vez él lo haga; se proponen igualmente,
algunas actividades que buscan desarrollar el pensamiento espacial de los docentes y el
trabajo con distintos tipos de geometría. Cada actividad, que llamamos “situaciones de aula”
destaca las competencias que se espera que los docentes alcancen y luego sus estudiantes.
La situación de aula que se propone está acompañada de cuatro ítems: actividades para
pensar, reflexión teórica, actividades de evaluación y (re) significación de las prácticas.
Todos estos ítems tienen una intencionalidad pedagógica, como se expresa a continuación.
Las actividades para pensar quieren que el profesor haga explícitas ideas y conceptos
previos, respecto a diversos temas, tanto de la Didáctica, de las Matemáticas, como de las
prácticas cotidianas de aula.
La reflexión teórica expone de forma muy breve y sencilla aspectos teóricos que
generalmente pueden contrastar el pensamiento que hizo explícito en la actividad anterior.
266
Con esto se busca que perciba que no siempre lo que se cree es lo más apropiado para
desarrollar sus actividades y su tarea como profesor de Matemáticas.
Las situaciones de aula lo invitan, inicialmente a que realice las actividades propuestas
para que luego diseñe otras; con el ánimo de que vea variadas alternativas para que sus
estudiantes aprendan de una mejor forma la Matemática que enseña.
La actividad de evaluación pretende examinar la forma como entendió toda la
actividad y lo invita a que proponga situaciones similares en su práctica diaria.
La (re)significación pretende que haga explícito aquello que (de acuerdo con sus
concepciones iniciales) logró replantear y darle un nuevo significado. Aquí el uso de valiosas
estrategias de formación como los encuentros con otros colegas donde se comparten
experiencias (Jiménez, 2004), la puesta en plataforma de pequeños escritos (narrativas)
donde cuente e intercambie sus experiencias para que otros colegas las puedan leer y
contrastar con lo que ellos hicieron: se debe destacar que, tanto las actividades para pensar,
como las reflexiones teóricas se plantean sobre creencias de la propia Matemática y sobre
aspectos didácticos como la dinámica de la clase, la comunicación, la enseñanza, el
aprendizaje o el uso de recursos didácticos (medios y mediaciones) en la enseñanza de las
Matemáticas.
267
Figura 56. Estructura de un futuro curso de formación continua Fuente: El autor
Diseño e implementación de materiales virtuales en futuros cursos de
capacitación docente
Se plantean algunas actividades para el aprendizaje de las geometrías con enfoque
heurístico para desarrollar el pensamiento espacial en educación básica.
Ejemplo 1. Polígonos y estrellas
Usando el Ejemplo 1 (veáse pág. 122), se puede brindar un ambiente virtual heurístico
para que los estudiantes variando los parámetros de ángulo y factor de homotecia de la
268
poligonal dibujada, detecte los ángulos necesarios para formar polígonos regulares y algunas
estrellas, como se muestra en la Figura 55
Figura 57. Actividad de Geometría dinámica para dibujar polígonos y estrellas Fuente: El autor
269
Ejemplo 2. Modelar la naturaleza
La geometría para comprender el entorno natural es un tópico que se enfatiza. A partir
de la representación de objetos de la naturaleza se modelan en ambientes de geometría los
secretos geométricos en sus formas y figuras.
Se pretende inicialmente, mediante la exploración de algún parque natural para
identificar y clasificar objetos del medio en los cuales se ejemplifican formas de polígonos
y poliedros y formas curvas como circunferencias y espirales que son las más comunes. Se
busca descubrir las propiedades de distintas clases de plantas, flores, hojas (como los
helechos de distintos tipos), árboles grandes y pequeños, espigas de trigo, hojas de distintas
formas y colores. Es recomendable tener en cuenta los siguientes aspectos para esta
actividad:
Observar los objetos detenidamente, anotando sus características, partes y detalles
especiales.
Hacer un bosquejo de los objetos, tratando de captar sus principales detalles relativos
las formas relaciones y simetrías.
Es conveniente hacer una sesión plenaria en donde los estudiantes exponen, analizan
y discuten los resultados de la práctica de campo, con base en el material y datos
recopilados, los dibujos y las fotografías.
Adicionalmente, se considera provechoso presentar los resultados de la exploración
bibliográfica hecha sobre los libros de Geometría y páginas WEB sobre el tema.
270
Figura 58. Modelación objeto natural Fuente: El autor
Reflexiones finales de la propuesta de capacitación continua.
Los ambientes de geometría dinámica proporcionan una oportunidad de brindar
espacios creativos para que mediante la experimentación los estudiantes descubran las
propiedades y relaciones de la geometría de figuras planas o tridimensionales. Esta
herramienta modifica la forma de conocer los objetos geométricos. Las actividades diseñadas
en pizarras electrónicas deben ir más allá de las simples construcciones que se hacen con
papel, lápiz regla y compás que generan los dibujos estáticos (de las cuáles es necesario
partir). Cuando en un dibujo dinámico se dejan variables algunos parámetros en su
construcción, se generan ambientes creativos en donde los estudiantes descubren
propiedades que posteriormente pueden ser formalizadas y demostradas.
271
Capítulo 8. Conclusiones
A continuación se presentan los resultados más importantes del trabajo producto de la
investigación sobre los ambientes virtuales de aprendizaje de las geometrías en un grupo
colaborativo de docentes en formación inicial y continua, implementado con los estudiantes
de Electiva de Profundización I, correspondiente al programa de Licenciatura en
Matemáticas de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.
Los lineamientos de capacitación para los docentes de matemáticas “Formación de
profesores de Matemática: Aprendizajes Recíprocos Universidad-Escuela” (Jiménez,
2005), constituye una propuesta innovadora, pues a través de su implementación, se logró
conformar una comunidad de práctica para la concreción de temáticas del aprendizaje de las
geometrías, el diseño de tareas creativas y su aplicación en el aula, rescatando el
protagonismo de maestros autocríticos y reflexivos; la investigación, con momentos de
trabajo autónomo y colectivo, permitió construir intersubjetivamente el conocimiento
profesional de los docentes para alcanzar la (re)significación de saberes y prácticas,
desarrollar la competencia digital y mejorar la calidad de la educación matemática en las
instituciones en donde los participantes laboran o ejercen su práctica integral.
Los productos académicos elaborados constituyeron un ejemplo para el desempeño
de los maestros como estrategas (Monereo, 2014); los participantes de la comunidad
académica consolidada se convencieron de ser capaces de brindar ambientes de aprendizaje
con mediación tecnológica, sin necesidad de acudir a expertos en programación, y con su
conocimiento en la geometría y sus competencias pedagógicas y didácticas, pudieron crear
actividades de buena calidad, con mediación tecnológica, propiciando el aprendizaje
significativo y creativo en el aula de geometría; adicionalmente con los estudios y
diagnósticos de sus instituciones lograron proponer estrategias focalizadas atendiendo a las
necesidades e intereses de sus estudiantes, y de manera particular a sus capacidades y
competencias.
272
El factor de motivación al interior del grupo colaborativo y de los estudiantes de
Electiva de Profundización I fue clave al momento de elaborar los productos que contenían
situaciones problemáticas para aprender geometría con mediación tecnológica; un aspecto
relevante fue el interés por trabajar la modelación tridimensional y de manera particular, la
geometría fractal de la naturaleza. Esto se constituyó en el motor de impulso para realizar
los ambientes de aprendizaje con los dibujos dinámicos y las tareas diseñadas de manera
colectiva.
Conclusiones respecto a las preguntas de investigación
Se pudo detectar una marcada influencia del trabajo colaborativo, con su dinámica de
interacción del grupo, en la concepción de los productos que buscaban el aprendizaje de las
geometrías, si bien las primeras propuestas diseñadas para experimentar en salón de clase,
no tenían la calidad pedagógica, didáctica y tecnológica, fueron mejorando sus
características en la medida en que se llegaba a consensos sobre los marcos teóricos
adoptados en la investigación y se avanzaba en las características de cada uno de los
programas informáticos, de manera particular el Cabri II Plus, GeoGebra, Non Euclid y
Cabri 3D. Los ambientes fueron expuestos en el grupo, discutidos y analizados por cada uno
de sus integrantes, para luego modificarlos implementarlos y posteriormente ver las
implicaciones en el aula.
Uno de los aspectos más relevantes fue la gran motivación e interés para incorporar
las tecnologías de la información a la enseñanza y el aprendizaje de las geometrías; los
integrantes del grupo colaborativo seleccionaron y caracterizaron las temáticas, y
proposiciones más convenientes de geometría plana euclidiana, como los teoremas de
Pitágoras, Viviani, Napoleón, Tales de Mileto y los relacionados con los puntos, rectas y
círculos relacionados con el triángulo, entre otros, como base inicial del trabajo de
experimentación con los programas de geometría dinámica. Las prácticas mejoraron
ostensiblemente, pues cada vez, se diseñaron ambientes virtuales más propicios para el
aprendizaje y de mejor calidad técnica, didáctica y pedagógica.
273
Al comparar los ambientes de aprendizaje que contenían los mismos propósitos a
través del tiempo, se notó que los últimos contaron con más elementos interactivos y usaron
la visualización para resaltar algunos aspectos importantes al descubrir o conjeturar sobre
determinadas propiedades geométricas. Los mejores ambientes de aprendizaje se lograron
cuando se usaron los resultados de su implementación en el aula y se modificaron los
aspectos débiles centrados o en la enseñanza o el aprendizaje.
Se creó un banco de actividades, secuencias didácticas, dibujos dinámicos y ambientes
virtuales de aprendizaje de las geometrías, clasificado por tipo de programa de geometría
inherente y por el nivel de los estudiantes al cual está dirigido, con la finalidad de fortalecer
el desarrollo del pensamiento espacial y la competencia digital de profesores, y así, mejorar
la apropiación de conocimiento en matemáticas de los alumnos; se consolidó una propuesta
estructurada de capacitación inicial y continua de docentes que buscaba potenciar la
componente geométrica en los programas de formación de profesores de matemáticas de la
UPTC.
Conclusiones respecto a los objetivos planteados
Los productos de los estudiantes y profesores, elaborados al interior del grupo
colaborativo, fueron concebidos, entre otros aspectos, para incorporar la componente
tecnológica en el aprendizaje de las geometrías. Su implementación en el aula de clase y
posterior evaluación, permitió plantear modificaciones y (re)significar las prácticas
docentes. Fue evidente el desarrollo de la competencia digital y las competencias
profesionales de los profesores a la hora de elaborar sus propuestas.
A la luz del enfoque ontosemiótico para la instrucción matemática y el análisis de las
idoneidades didácticas se usaron los componentes e indicadores de idoneidad epistémica
para evaluar y valorar los ambientes virtuales evidenciando que contenían situaciones
problemáticas en el trabajo con la geometría fractal y proyectiva; el aprendizaje con la
274
geometría euclidiana, no euclidiana, vectorial, métrica y analítica, entre otras, partió con el
planteamiento de problemas proposiciones y teoremas clásicos. Se identificaron tres tipos de
sistemas semióticos de representación (verbal, gráfica, simbólica y tabular), en los cuales
los estudiantes efectuaron los procesos de traducción, tratamiento y conversión. El sistema
gráfico fue el más relevante en las tareas desarrolladas Se detectó dificultad en la conversión
del sistema semiótico gráfico al algebraico y proposicional.
Los materiales propuestos incluyeron preguntas abiertas orientadoras que generan
situaciones blandas para brindar ambientes heurísticos y centrados en la indagación
permanente. Constituyeron una oportunidad para desarrollar el pensamiento espacial y los
procesos de generalizar, interpretar y encontrar significados de los objetos geométricos.
Aunque inicialmente se proponían ambientes centrados en la transmición de conocimiento
al estilo tradicional, se fueron incorporando otros enfoques de tipo experimental,
cognitivista y constructivista, que hizo de los ambientes más propicios para el aprendizaje
heurístico y creativo.
La evaluación de la idoneidad cognitiva facilitó determinar que los ambientes virtuales
obedecieron a las características particulares de los estudiantes, a sus necesidades, intereses
y capacidades. En el diseño de tareas se tuvo especial cuidado con la inclusión académica
para involucrar a los estudiantes en las tareas propuestas. Se contempló adoptar estrategias
de evaluación y automonitoría para que ellos midieran el progreso de sus roles y desempeño
de los compromisos adquiridos al interior del grupo de trabajo.
Involucrar a los estudiantes a la dinámica de tareas y actividades del colectivo no fue
difícil debido que las encontraron interesantes, motivadoras y relacionadas con su vida
cotidiana y profesional en una época de gran desarrollo de las TIC en matemáticas. El
aprendizaje de las geometrías se relacionó con el arte y la modelación de la naturaleza. Esto
logró combatir la apatía a las matemáticas y a la mediación tecnológica. La relación de la
geometría con estas creaciones humanas mejoró su sensibilidad estética y su importancia
para el diseño de las interfaces de los ambientes virtuales.
275
La evaluación de la idoneidad interaccional permitió identificar que los temas
seleccionados en los ambientes virtuales se presentaron de manera sucinta, clara y
organizada; se detectó que las actividades diseñadas eran coherentes con el tipo de
aprendizaje adoptado en cada producto. Al interior del grupo colaborativo se implementaron
con éxito estrategias de aprendizaje con momentos colaborativos, cooperativos y autónomos.
La evaluación y valoración de la idoneidad interaccional logró identificar que la
construcción intersubjetiva de saberes y prácticas, las exposiciones, la socialización, el
desarrollo de talleres, la discusión, reflexión, modificación y (re)significación fueron las
constantes en la dinámica de trabajo en el grupo colaborativo y el colectivo de estudiantes
de la asignatura Electiva I. Se percibió en los participantes la potenciación de los de los
procesos de pensamiento matemático, de manera particular del pensamiento espacial y el
pensamiento visual.
El análisis respecto a la idoneidad mediacional permitió establecer que la mediación
tecnológica jugó un papel fundamental y constituyó casi el 70 % de las labores al interior de
los grupos. Aunque el fundamento del trabajo de los estudiantes y profesores fue desarrollar
sus competencias digitales, en algunas de las actividades en geometría tridimensional
incentivó el uso de materiales manipulativos para construir sólidos en troquelado, origami y
estructural. Las actividades de modelación y simulación adoptaron elementos característicos
para optimizar la visualización de las figuras y dibujos dinámicos elaborados.
En cuanto a la idoneidad ecológica la contextualización de los contenidos, su
implementación y evaluación fueron los Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas y los Derechos Básicos de Aprendizaje. Se introdujeron en los ambientes
virtuales y las prácticas, la innovación basada en resolución de problemas geométricos y en
procesos heurísticos e investigativos, con interés reflexivo, con miras a mejorar el
aprendizaje y (re)significar la labor de enseñar y aprender en geometría (Santos, 2003 y
2007; Santos y Moreno, 2014 y 2016).
276
Los ambientes virtuales y dibujos dinámicos propuestos por los integrantes del grupo
colaborativo y Electiva I, los cuales fueron diseñados, implementados y evaluados, se
concibieron como producto del interés personal y colectivo de solucionar problemas y
situaciones geométricas, y de mejorar la competencia digital de sus integrantes. Buscaron
proponer espacios creativos de enseñanza y aprendizaje de las geometrías, propiciar la
experimentación y manipulación de modelos así como el trabajo con los sistemas de
representación semiótica gráfico y algebraico.
Se analizaron siete (7) programas de formación continua de docentes de matemática,
dirigidos a profesores de Tunja, Duitama, Boyacá, Bucaramanga, Barrancabermeja y
Monterrey. Se detectó que dichos programas incluyen la componente geométrica y las
mediaciones informáticas con un énfasis del 40% aproximadamente, pero poco énfasis hace
en el diseño y elaboración de ambientes virtuales de aprendizaje en algún tópico de los
diversos tipos de programas de geometría.
Conclusiones respecto a la metodología
Uno de los aspectos fundamentales de la investigación fue analizar la metodología
adoptada como categoría importante en el desarrollo de la tesis como aporte esencial a partir
de la experiencia de indagación. Se implementó un enfoque metodológico mixto con
prioridad lo cualitativo, complementado con momentos cuantitativos basado la descripción
e interpretación. La síntesis en la aplicación de diversas opciones como la teoría
fundamentada, métodos de tipo descriptivo– interpretativo, métodos para la conformación
de comunidades de práctica escuela universidad, métodos para el análisis didáctico y
métodos para la evaluación de competencias permitió develar los resultados de la
indagación. Se considera que la metodología fue la adecuada para responder a las preguntas
de investigación y lograr los objetivos propuestos en la tesis. Se implementaron instrumentos
de investigación indispensables en el proceso de análisis y construcción del sentido de la
experiencia investigativa como: 1) fuentes documentales para construir los hilos conductores
relativos a la contextualización teórica respecto a las evolución histórica y epistemológica
277
de la geometría, las competencias del profesor de matemáticas, el enfoque ontosemiótico
para el conocimiento y la instrucción del área , la teoría noética cognitiva y los aportes sobre
geometría dinámica, 2) las mallas curriculares de los programas de Licenciatura en
Matemáticas y planes de estudio de algunos colegios de educación básica y media, 3) las
bases de datos para la caracterización de profesores de matemáticas en Tunja, 4) el banco de
dibujos dinámicos y ambientes virtuales de aprendizaje elaborados en el grupo colaborativo
y la asignatura Electiva de Profundización, 5) los informes de prácticas de campo elaboradas
por los alumnos, 5) la base de datos de programas de formación continua ofrecidos a
profesores de matemáticas, 6) los trabajos de investigación y tesis de los programas de
Licenciatura en Matemáticas, Maestría en Educación y Maestría en Educación Matemática
de la UPTC, 7) la encuesta diagnóstica sobre la inserción de la tecnología en el aprendizaje
de los tipos de programas de geometría y 8) el banco de aplicaciones informáticas para
modelar en objetos geométricos, entre otros instrumentos secundarios.
El proceso de codificación y procesamiento de información se elaboró usando las
ventajas que ofrece Excel y SPSS, para el tratamiento descriptivo de los datos, con lo cual
se logró una caracterización adecuada de grupo colaborativo, los planes de estudio, los
programas de formación continua, el diagnóstico sobre la competencia digital y los recursos
disponibles para aprender geometría mediado por Tic. En el análisis de la información
procesada se logró describir y caracterizar: 1) la unidad de análisis (grupo colaborativo y
grupos de Electiva de Profundización I), 2) el estado de las categorías deductivas
establecidas en cada caso, como la componente geométrica en los planes de estudio, los
énfasis en la formación inicial y continua al enseñar geometría, 3) el grado de empleo de la
Tic en su aprendizaje, 4) el nivel de desarrollo de la competencia digital del profesor de
matemáticas, 5) el grado de profundidad con el cual se abordan los tipos de programas de
geometría, para mencionar sólo los principales.
El propósito de analizar, interpretar y construir el sentido de la información de tipo
cualitativo se logró con el estableciendo las categorías deductivas, y detectando las
categorías inductivas que estaban involucradas en los datos textuales recogidos en las
278
diversas etapas de la investigación. Para ello se aplicaron técnicas de análisis documental
usando los procesos de codificación de información textual, elaboración de redes
conceptuales y procesamiento descriptivo de información de contenido que proporcionaron
las unidades hermenéuticas de los programas Atlas Ti y la versión de prueba de Nvivo.
Este proceso se aplicó en los documentos digitados de: 1) las preguntas abiertas del
diagnóstico de inserción de tecnología en geometría, 2) los perfiles y propósitos de los
programas de licenciatura en matemáticas y programas de formación continua de profesores,
3) la información textual de los dibujos dinámicos y ambientes virtuales, en donde adoptaron
diversos enfoques de aprendizaje de la geometría, 4) las sugerencias sobre el diseño,
elaboración e implementación de dichos materiales, 5) la estructura y componentes de los
programas de formación a desarrollar en el futuro por la UPTC, 6) las concepciones sobre
los aspectos relevantes (aspectos fuertes y débiles) en el desarrollo de la competencia digital
de los estudiantes y el uso de las herramientas para modelar y simular situaciones
problemáticas en geometría y 7) las opiniones de los estudiantes respecto a la dinámica y
estrategia implementada y analizada para aprender fractales, entre otros documentos que
fueron secundarios en la indagación y análisis.
Un aporte significativo de la investigación en la categoría metodológica consistió en
la caracterización, descripción y abstracción de elementos comunes respecto al grado de
desarrollo de las competencias profesionales de los profesores y estudiantes en formación
inicial, de manera especial la evolución en el desarrollo de la competencia digital desde los
aportes de Laborde, valorando de manera intersubjetiva en el contexto del análisis de las
idoneidades didácticas para el conocimiento y la instrucción matemática de Godino,
Batanero y Font, las formas de ver en geometría y la dinámica de los procesos de tratamiento
y conversión en diversos registros de los sistemas semióticos de representación del enfoque
noético cognitivo de Duval, tanto de los dibujos dinámicos como de los ambientes virtuales
de aprendizaje de las geometrías, como de los resultados en la práctica de la estrategia
didáctica para el aprendizaje de la geometría fractal de la naturaleza.
279
El análisis didáctico de las actividades y de las mediaciones para aprender geometrías
se basó en comparar y determinar la evolución de los materiales creados a través de seis (6)
semestres distintos detectando los aspectos que mejoraron tanto en el diseño como en la
elaboración e implementación de dichas prácticas y la (re)significación de las prácticas de
docentes en ejercicio y formación inicial
Finalmente la forma como se abordó el analizar de datos, la discusión de resultados,
su comprensión e interpretación, fue útil y efectiva desde el punto de vista metodológico. Se
justificó la síntesis de los diversos tipos de investigación y análisis empleados, pues fueron
coherentes con su contextualización teórica, las preguntas y propósitos de la investigación.
Reflexión sobre el aprendizaje de las geometrías alrededor de la estrategia
didáctica para aprender fractales
Esta propuesta didáctica, producto de la experimentación con varios grupos de
estudiantes de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC), con sede en
Tunja, Boyacá, pertenecientes a la Licenciatura en Matemáticas, se planteó como una
alternativa de trabajo para la construcción de conceptos relativos a la geometría fractal de la
naturaleza, que puede ser adoptada, reformulada y enriquecida como alternativa viable en
otros contextos educativos similares. Los aspectos relevantes, producto de los resultados del
trabajo de investigación se pueden sintetizar en:
En la construcción de los dibujos-dinámicos en Cabri Geometry II, descritos en este
trabajo fue muy importante determinar cuáles son los parámetros elegidos más apropiados,
para dotar de mayor dinámica a tales construcciones, usando las opciones de desplazamiento
y animación contenidas en el menú. De tal elección dependió del éxito en la riqueza de las
situaciones problemáticas planteadas y la amplitud de los sistemas semióticos proporcionó
el modelo construido.
Las situaciones problemáticas acá planteadas, se pudieron tipificar como abiertas
(“blandas”, en el sentido de J. M. Laborde), pues obedecieron a situaciones menos exigentes
280
(en términos de cantidad de parámetros, no de complejidad). Dichas situaciones fueron más
creativas que descriptivas, pues estuvieron dotadas de características que propiciaron la
imaginación y el aprendizaje por descubrimiento. El uso del computador como mediador de
aprendizaje implicó la modificación de los problemas planteados de manera tradicional, de
las preguntas y cuestionamientos, de los enfoques para su solución y hasta en la
interpretación de los resultados.
Se pudo detectar que algunos atractores generados por sistemas iterados de funciones,
con apariencia distinta, contenían una estructura básica común, la evidencia de este hecho
clave, fue mostrado con el desarrollo de las actividades propuestas. Las
macroconstrucciones, fueron las herramientas que permitieron simular los operadores de
iteración y retroalimentación en el proceso de construcción de fractales.
Las posibilidades de estos sistemas semióticos de representación externos (pizarra
electrónica), fueron prácticamente diversos. Desde el espacio discreto de la pantalla del
computador (o calculadora), y de acuerdo a una buena resolución de pantalla, las
representaciones gráficas fueron percibidas por la mente como un proceso continuo, tal vez
de manera espontánea. Las familias de fractales determinadas por los parámetros
establecidos o fijados en la fase de construcción, permitieron explorar amplios campos en la
visualización de aproximaciones de atractores correspondientes a familias de sistemas
iterados de funciones en donde subyacen estructuras similares.
La propuesta metodológica para el aprendizaje de la geometría fractal de la naturaleza
planteada en este trabajo, si bien corresponde a un esquema tradicional, se considera una
alternativa muy buena para el nivel universitario. Las etapas de exploración, representación
y modelación, construcción formal y aplicación, se pudieron implementar en cada uno de los
temas a tratar en esta nueva geometría. No necesariamente se desarrollaron en forma
consecutiva o estricto orden. La etapa de exploración no solo motivó al estudiante para
afrontar los problemas referentes a esta novedosa geometría, sino que le proporcionaron una
nueva forma de mirar el mundo y la vida, le brindó otros enfoques, para desvelar y descubrir
281
los secretos del fascinante mundo natural. Esta visión permitió intuir que en muchos
fenómenos y objetos de la naturaleza, subyacen los conceptos matemáticos, solo hay que
observarlos con el lente adecuado para detectarlos y caracterizarlos.
La fase de representación - modelación fue un espacio para el manejo concreto de las
transformaciones geométricas básicas, el manejo activo del espacio y el desarrollo de talleres
sobre los conceptos fractales básicos. Se pretendió en esta etapa: explotar los sistemas
semióticos de representación estáticos y dinámicos para rescatar la imaginación
tridimensional, corporizar y dominar activamente las transformaciones afines y conceptos
fractales, potenciar las capacidades para el dibujo, el diseño y modelación computarizada
de objetos naturales abstraídos de nuestra realidad observada. Es el momento para afrontar
los problemas matemáticos que afloran del análisis de dichas situaciones, para lo cual se
adopta una heurística de resolución de problemas que pretende desarrollar el pensamiento
matemático. Todas las experiencias acumuladas se enriquecieron y fueron la base para
detectar regularidades y abstraer similitudes que conllevaron a consolidar estructuras que
vincularon el conocimiento cotidiano con el conocimiento académico.
La etapa de construcción formal, permitió la aprehensión de los conceptos claves,
consolidar nuevas estructuras conceptuales, formalizar ideas contextualizadas en teorías,
cimentadas en estructuras matemáticas y unificadas a través de un lenguaje universal. La
etapa de las aplicaciones fue el espacio ideal para ligar la teoría con la práctica; se buscaron
actividades que desarrollaron las competencias tecnológicas que lograron la solución de
problemas cotidianos para mejorar las condiciones y calidad de vida de las comunidades. La
meta de esta fase priorizó el establecimiento de algunos puentes entre el conocimiento
científico socializado (conocimiento de frontera) y tecnología de punta, con el conocimiento
académico.
La demostración más destacada de la propuesta se evidencia en la fuerte motivación
de los estudiantes y docentes en profundizar en el tema de la geometría fractal de la
282
naturaleza, varios de los cuales emprendieron trabajos de grado con éxito en este campo,
como se relaciona al final del documento.
Conclusiones sobre propuesta de formación continua
Como producto de los resultados de esta investigación se propone fortalecer en los
programas de formación continua de profesores de matemáticas, la componente en
formación geométrica en donde se desarrollen talleres y secuencias didácticas con la
mediación de los ambientes virtuales de aprendizaje y dibujos dinámicos, elaborados
colectivamente en los grupos de trabajo, como ejemplo para que los profesores diseñen sus
propios materiales y los incorporen en su práctica cotidiana. Asimismo, se propendió por la
actualización de los planes de estudio de los programas de formación inicial de docentes
consistente en brindar espacios académicos que desarrollen las competencias profesionales
y de manera particular la competencia digital, bien sea en asignaturas dedicadas a ello, o
como tópicos transversales que se incluyen en las asignaturas establecidas.
Mediante la aplicación de un cuestionario sobre el uso de TIC en geometría se
detectaron aspectos relevantes como la buena formación inicial de docentes referente a la
alfabetización computacional en aspectos de uso educativo de Internet, comunicación
sincrónica y asincrónica y correo electrónico redes sociales y elaboración de presentaciones.
Pero poco énfasis se hace en la incorporación de las TIC en los diversos programas de
geometría; se notó el precario desarrollo de las competencias digitales en el uso específico
de aplicaciones informáticas para aprender geometría dinámica; se pudo concluir que la
formación recibida en este aspecto fue insuficiente y se deben hacer esfuerzos para
solucionar esta problemática (ver anexo 6).
Se logró conformar un banco de talleres, secuencias didácticas, ambientes virtuales de
aprendizaje y dibujos dinámicos para el aprendizaje de las geometrías euclidea, proyectiva,
vectorial, diferencial, no euclidea y fractal, entre otros, susceptibles de ser adaptados en otros
contextos; dichos recursos sirven de ejemplo de la aplicación práctica de los programas
283
informáticos para enseñar y aprender en estos campos de conocimiento matemático con
mediación tecnológica.
Se conformó un grupo colaborativo para el desarrollo de ambientes virtuales de
aprendizaje de las geometrías, integrado por profesores, estudiantes y egresados de la
Licenciatura en Matemáticas Uptc; Algunos de ellos cumplieron las funciones de asesores
por ser expertos en geometría, en tecnología o en la competencia digital. La mayoría de los
estudiantes que participaron desarrollaron proyectos de formación investigativa inicial en la
asignatura de Electiva I y trabajos de grado de Licenciatura en Matemáticas, Maestría en
Educación y en Educación Matemática.
Los productos elaborados fueron de buena calidad pedagógica, didáctica y técnica;
se experimentaron el aula de matemáticas y sus resultados permitieron mejorarlos para hacer
una propuesta final validada.
Finalmente, como producto de la evaluación inicial del uso de los materiales
constituidos como ambientes virtuales de aprendizaje de las geometrías se analizan algunos
aspectos detectados por los docentes que aportaron al replanteamiento de las situaciones
propuestas.
• El material en general tuvo buena acogida pues consideran se combinan
adecuadamente aspectos teóricos aplicados en situaciones pragmáticas
familiares para los docentes.
• Un aspecto significativo para los docentes de educación básica primaria es el
rescate de los juegos tradicionales que se van perdiendo a medida que sus
creadores se retiran de su actividad docente. Los profesores conceptuaron que es
posible implementar esta forma de trabajo en sus regiones de cobertura, para
rescatar del medio de influencia las tradiciones, juegos y materiales que se usan
para el aprendizaje de la geometría.
284
• Diseñar actividades centradas en el aspecto estético de las creaciones artísticas
permitió develar los secretos de los sistemas y las estructuras geométricas más
comúnmente usadas por los artistas y permite brindar ambientes creativos para
el desarrollo del pensamiento espacial y el aprendizaje de conceptos
geométricos.
• Se considera novedoso la incorporación de los diversos tipos de programas de
geometría para comprender los objetos de la naturaleza, fortaleciendo las
capacidades para modelar y simular objetos y fenómenos del entorno.
• Los aportes significativos son la desmitificación del uso de mediaciones basadas
en los materiales virtuales y el fortalecimiento del nexo entre construcciones
intuitivas y teóricas formales, tratando de mantener un equilibrio adecuado en el
trabajo con representaciones, construcción de modelos y simulaciones, y los
procesos de creación de teorías matemáticas.
• Una conclusión inherente a la formación geométrica de los docentes, contraria a
la tradición en su aprendizaje, es el énfasis en el espacio tridimensional y los
diversos tipos de geometría para la exploración de la naturaleza, que buscan
evitar el excesivo énfasis en la geometría del plano.
• El desarrollo del pensamiento geométrico de profesores y el uso de las
mediaciones con material real y los ambientes virtuales de la geometría
dinámica, los preparan para (re)significar sus prácticas, diseñar sus propias
secuencias de aprendizaje, y principalmente intercambiar experiencias y
fortalecer el trabajo colaborativo en las redes de profesores encargados de
enseñar las matemáticas con el constante apoyo de las instituciones de educación
superior encargadas de la formación de formadores.
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