FORMATO CUADERNILLO

Geometría

LÍNEA RECTA Concepto matemático no definible. Se considera como un conjunto de puntos ubicados en una misma dirección; ilimitada en ambos sentidos.

: Se lee, recta LSEGMENTO

Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados extremos del segmento. Un segmento se representa por dos letras mayúsculas que se oponen en sus extremos, con una rayita en la parte superior.

: Se lee, segmento AB MEDIDA O LONGITUD DEL SEGMENTO

Todo segmento se caracteriza por tener una longitud que es un número real positivo que nos indica la distancia que existe entre los puntos que son sus extremosEjemplo:

AB=5cm ó m =5cmSEGMENTOS CONGRUENTES

Son aquellos que tienen igual longitud

Así y son congruentes, escribiremos:

, ó simplemente AB=CDPUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Punto del segmento que equidista de los extremos.

Si “M” es punto medio del , entonces

AM = MB = = a.PUNTOS COLINEALES

Son los que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo, los puntos A, B, C, D, contenidos en la recta L. Además, si se marcan sobre la recta en

que se mencionan, diremos que A, B, C, D son consecutivos.

OPERACIONES DE LONGITUDES DE SEGMENTOS

Para el gráfico: Suma: AB +BC + CD = AD Resta: AB = AD – BD Multiplicación: AC = 5CD

División: AB=CUATERNA ARMONICA

Sean A, B, C, y D puntos colineales y co consecutivos forman una “Cuaterna Armónica” si se cumple la proporción:

PROPIEDADES DE LA CUATERNA ARMONICA

Sabiendo que A, B, C, y D forman una “Cuaterna Armónica” según como muestra la figura se cumplen las siguientes propiedades:

AB BC

Relación de Descartes: =Relación de Newton: Si “O” es el punto medio de en la figura, entonces:

Prof. Carlos Cobeñas de la Cruz 2do de secundaria

CAP 1; SEGMENTOS

1

Geometría

Ejercicios1.Sea una recta en la cual se toman los

puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que: AC+BC=28m.Calcular la longitud del segmento MC, si M es el punto medio de AB.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 142.En una recta, sean los puntos

consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE. Además AB=BC y CD=DE. También AB+DE=10.Calcular FG.

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 153.Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C ,D, de modo que AB=BD=4.CD.Hallar CD, si AD=24

a)1 b)2 c)4 d)3 e)64.En una recta se marcan los puntos

consecutivos A, B, C, D, tal que CD=3.AC, BD-3.AB=28.Calcular BC.

a)6 b)7 c)4 d)3 e)8 5.En una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C, D de modo que AD=6.BC y AB+CD=50.Calcular AD.

a) 70 b) 50 c) 40 d) 60 e) 806.En una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C, D de modo que AC=12 y AD+CD=32.Calcular AD.

a) 21 b) 24 c) 22 d) 10 e) 127.Los puntos A,B,C se encuentran sobre una

línea recta de modo que AC+AB= .

Hallar a)1/6 b)1/8 c)1/5 d)1/4 e)1/108.Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C, D de modo que

. Hallar a)1 b)2 c)3 d) 1,5 e) 0,59.Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C, D de modo que

. Hallar a)1,5 b)2 c)3 d) 1,3 e) 0,510. Sobre una línea recta se consideran los

puntos colineales y consecutivos A,B,C,D; tal que AC=19 y BD=23.Determinar la longitud del segmento que une los puntos medios de ,y .

a) 12 b)8 c) 16 d) 10,5 e) 2111. En una línea recta se ubican los

puntos consecutivos A,B,C,D tal que

AB+CD=2.BC,además AC+CD=21. Hallar BC

a)5 b)7 c)6 d)3 e)412. Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C, D de donde B es punto medio de AC. Encontrar BD , si AC.BD+ =12+

a)1 b)2 c)3 d)4 e)213. Sobre una línea recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C, D, E tal que AD=CE, AB=2.BC Y DE+BC=16.Calcular AB.

a)4 b)6 c) 10 d)8 e) 1214. Sobre una línea recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C, D, E de modo que 2.AE=5.BD, Además AD+BE=42.Calcular BD.

a)7 b) 12 c) 14 d) 16 e) 10,515. En los puntos colineales A, B, C, D, E se marca

el punto medio M del segmento .Hallar CD, si AD=10,BM=6 y AB=BC+DE

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0,516. En una línea recta se ubican los puntos

consecutivos A,B,C,D tal que 17.AC=5.CD y 5BD-17.AB=132.Encontrar BC. a)3 b) 12 c)4 d)8 e)617. En los puntos colineales A, B, C, D se cumple

que AB=4, AC=20, además 3.BC=2. (BD+CD). Calcular AD.

a )22 b)23 c)24 d)25 e)2618. Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A,B,C,D de modo que 3.CD=5.AC y 3. BD-5.AB=96. Calcular BC

a) 14 b) 24 c) 16 d) 10 e) 1219. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D. Si

CD=BC=13cm y CD-AB=8cm, calcula la longitud de .

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 2020. Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C, D. Si AD=24m,AC=15m y BD=17m.Halla (BC)/(AD)

a)1/4 b)1/2 c)1/3 d)1/4 e)1/521. Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A,B,C,D de modo que B es punto medio de ,además AD=2.CD+10.Hallar BC

a)3 b)4 c)5 d)6 e)222. En una recta se hallan los puntos

A, B, C, D y E colineales, C es punto medio de BD, AB=2BD, DE=14 y AE=44. Calcular AC.

a) 20 b) 25 c) 28 d) 30 e) 3523. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D. Si: AC + BD = 24. Hallar PQ siendo P y Q puntos medios de y respectivamente.

a) 4 b) 6 c) 12 d) 18 e) 24

Prof. Carlos Cobeñas de la Cruz 2do de secundaria 2

Geometría

24. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que CD=4.BC y AD + 4. AB= 20.Calcular AC

a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 825. Sobre una línea recta se ubican los

puntos consecutivos A, B, C, D, E y F.

Sabiendo que: AB = EF = y AC + BD+CE+DF =24. Hallar BE.

a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) 2026. En una recta se tiene los puntos

consecutivos A, B, C, D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52; Calcular BD.

a) 36 b) 24 c) 28 d) 42 e) 3927. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos P, Q, M, R y S tal que PS=30, QS=18, PR=22 y M es punto medio de QR. Calcular PM. a)12 b) 13 c) 14 d) 17 e) 18

28. En una recta L, se dan los puntos consecutivos A,B,C,D y los puntos medios M,N y P de y respectivamente de modo que MN+MP+MD=2AD.HalleAD, si MB+CP=6

a)6 b)9 c)12 d)18 e)2429.

A,B, C, D y E, son puntos colineales y consecutivos tales que: 2AB=3BC=4CD=5DE y AE+BD=56. Hallar: AB

a)50 b)55 c)56 d)60 e)6130. Sean los puntos colineales y

consecutivos A, E, B, P y C; E es punto medio de Y P lo es de . Hallar PC, si: AB+2BC=36.

a)8 b)16 c)18 d)9 e)1231. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B,C y D; tal que :

y AC =529. Calcular “AB”

a) 46 b) 13 c) 19 d) 23 e) 6932. Sean los puntos colineales y consecutivos P,Q,R y S, tales que:

Y: 2PQ+5QR+8RS=132.Hallar PQ

a)3 b)6 c)9 d)12 e)433. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B,C y D; de manera que: AB =96 y AB-CD=8

Calcular:”BC” a)8 b)2 c)6 d) 12 e)3

34. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A,B,C ,D,E y F de tal manera que: AC+BD+CE+DF=39 y

BE= .Calcular AF a)6 b)12 c)13 d)8 e)24

35. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D,E y F,

tal que: AC+BD+CE+DF=91m y BE= AF. Calcular AF

a)46m b)53m c)56m d)58m e)50m

36. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D,E y F,

tal que: AC+BD+CE+DF=26m y BE= AF. Calcular AF

a)6m b)13m c)16m d)18m e)20m37. En una línea recta se dan los puntos consecutivos A, B y C, y los puntos medios M y N de respectivamente.

Si NB=2 y n MC =(n+1) MN, Calcular AC.

a)2n b)2(n-1) c)4(n-1) e)4(n+1)38. Sean los puntos colineales y consecutivos E, F, G y H. Si:EF=8; GH=9 y EG.GH+EF.FH=FG.EH. Hallar FG

a)10 b)12 c)14 d)17 e)20

ÁNGULOSe denomina así a la abertura formada por dos rayos trazados desde un mismo origen llamado “Vértice”. Los rayos que forman el ángulo reciben el nombre de “Lados”.


CAP 2: ÁNGULOS

3

Geometría

Notación:

El ángulo AOB: AOB , AOBMedida del ángulo AOB: mAOB =

BISECTRIZSe denomina bisectriz de un ángulo a un rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según suposición.

a) SEGÚN SU MAGNITUD

Nulos: (su medida es 0°)

Convexos: Si: 0° < < 180°

Agudos

Rectos

Obtusos

Llano:

Miden 180°

Cóncavos:

Si: 180° < < 360°

De una vuelta:

Si: = 360°

b) SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS Ángulos Complementarios: Son dos ángulos que sumados dan 90°.

Es decir: “” y “” son complementarios si se cumple:

+ = 90°

Complemento de un AnguloEl complemento de un ángulo es lo que le falta a éste para medir 90°. Así: el Complemento de 15° es 75° . en General:

C = 90° –

Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos que sumados dan 180°Es decir: “” y “” son suplementarios si se cumple:

+ = 180°


Geometría

Suplemento de un AnguloEl suplemento de un ángulo es lo que le falta a éste para medir 180°. Así: el Suplemento de 70° es 110° . en General:

S = 180° –

c) SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos Consecutivos: Son aquellos que teniendo el mismo vértice y un lado común, se encuentran a uno y otro lado del lado común.

El AOB es consecutivo al BOC

Ángulos Adyacentes Suplementarios.

El AOB es adyacente al BOC

Ángulos Opuestos por el vértice

El AOB es opuesto por el vértice al COD

Se cumple entonces: =

PRACTICA 1

01.-

02.-

03.-

04.-

05.-

06.-

07.-


Geometría

08.-

09.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

PROBLEMAS NIVEL I

01.- Si al suplemento de un ángulo se le aumenta el doble de su complemento resulta la medida de dicho ángulo pero más 80°. Calcular dicha medida.

a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°

02.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; Sí las bisectrices de los ángulos AOB y AOC forman unángulo de 40º. Calcular mAOC.a) 20° b) 40° c) 80° d) 30° e) 10°

03.- Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos parciales en progresión aritmética.Calcular el ángulo menor sabiendo que el cuadrado de su medida es igual al ángulo


Geometría

mayor.a) 4º b) 6° c) 8° d) 10° e) 9°

04.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC en donde se trazan las bisectrices OM y ON de los ángulos AOB y MOC respectivamente. Hallar mNOB Sí, mAOC – 3mAOM = 36° Y BOC > AOBa) 36° b) 9° c) 12° d) 18º e) NA

05.- La suma del complemento de un ángulo “” con el suplemento de su ángulo doble es igual a 2/3 del complemento de un ángulo “” y además: - = 35°. Calcular el complemento del ángulo “”. a) 20º b) 24º c) 30° d) 32° e) 10°

06.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que: mCOD=3mAOB. Hallar: mBOC ; si al trazar las bisectrices OX yOY de los ángulos AOB y COD, se cumple que: 2mXOY - mAOD = 30°a) 20° b) 15° c) 30° d) 18° e) 60°

07.- El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al complemento de la diferencia entre el complemento del complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcular dicho ángulo.a) 300 b) 45° c) 60° d) 75° e) 90°

08.-Sabiendo que el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forma la bisectriz del ángulo adyacente suplementario a un ángulo “θ” y el otro lado no común es 140º, calcular θ.a) 30º b) 15º c) 20º d) 25º e) NA

09.- Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC. Calcular la medida del ángulo formado por OA con la bisectriz del ángulo BOC, si mAOB=aº y mAOC=bº

a) (2aº+bº)/2 b) (aº+2bº)/2 c) (aº+bº)/2 d) (aº-bº)/2 e) NA

10.- La suma de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es menor de 180º y la

diferencia de los mismos es 28º. Hallar el ángulo formado por el lado OB y la bisectriz del ángulo AOC.

a)28b)14ºc) 62ºd)76ºe)20º

NIVEL II01.- Calcular “x” del grafico, si:

mAOD=100° ; mBOC=40°

a) 50ºb) 60ºc) 70ºd) 80ºe) 90º

02.- Calcular “x” en la figura, si: mPOR=100°

a) 10ºb) 20º c) 30º d) 45ºe) 50º

03.- En el grafico: mPOR + mQOS = 240°

Calcular: mQOR


Alternos internos: (4=Alternos externos: (

(1=5) ; (2= (4=8) ; (3=

Geometría

a) 54º b) 62º c) 60º d) 30º e) 35º

04.- Si: mAOC + mBOD = 120º. Calcular: MON.

a)45º b)30ºc) 60ºd)55ºe)80º

05.- En la figura, calcular “+”; si el ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD es 90º.

a)150ºb)135ºc) 175ºd)180ºe)160º

06.- La suma de las medidas de dos ángulos es 42º y el suplemento del complemento del primero es el doble del complemento del ángulo doble del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

07.- Según la figura, calcular:

m∠POC

a) 120º b) 135º c) 100º d) 95º e) 145º

08.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC cuya diferencia es igual a 38º. Calcular la medida del ángulo formado por el rayo OB y la bisectriz del ángulo AOC.a) 18º b) 19º c) 20º d) 38º e) 24º

Ángulos formados por dos rectasParalelas y una secante

L1 // L2 ; L3 es secante con L1 y L2

Ángulos Internos: 3 , 4 , 5 , 6

Ángulos Externos: 1 , 2 , 7 , 8

Ángulos Alternos: (de igual medida)

Ángulos Correspondientes (de igual medida)


CAP 3: Rectas paralelas cortadas por una secante

8

Conjugados internos: (4,5) ; (3,6)Conjugados externos: (1,8) ; (2,7)

Geometría

Ángulos Conjugados (son suplementarios)

Propiedades:Siendo: L1 // L2 , se cumple:

01.

02.

03.


Geometría

PRACTICA 1 PRACTICA 2


Geometría

PRACTICA 3PROBLEMAS

01.- Hallar “x” de la figura. L1//L2

a)10° b)15°c) 18°d)20°e)24°

02.- Hallar “x” ; si: L1//L2

a)52° b)55°c) 63°d)67°e)73°

03.- Calcular “” de la figura. L1//L2

a)40°b)50°c) 60°d)30°e)80°


Geometría

04.- Hallar “x” ; si: L1//L2

a)15°b)18°c) 30°d)20°e)25°

05.- Calcular “x” de la figura; si: L1//L2

a)30°b)70°c) 45°d)60°e)80°

06.- Calcular “x” si: L1//L2

a)120° b)150°c) 170°d)135°e)160°

07.- Calcular “x”, si: L1//L2

a)110°b)150°c) 120°d)160°e)140°

08.- Si: L1//L2 ; calcular “x”

a)30°b)20°c) 45°d)40°e)24°

09.- Hallar “x”; si:

a)20°

b)45°c) 75°d)30°e)60°

10.- Calcular “x”, si: + = 72°

a)108°b)144°c) 124°d)11°e)136°

11.- Si: L1 // L2 ; L3 // L4 ; calcular: ° + °

a)180°b)220°c) 270°d)310°e)360°

12.- Si: L1 // L2 ; a° + b° = 220° ; calcular “x”

a)2°b)3° c) 4°d)5°e)8°

13.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de tal forma que es bisectriz del ángulo AOD; m AOB = 40º, m DOE = 20º. Calcular el valor de "x".


Geometría

A) 50º B) 60º C) 75ºD) 80º E) 65º

14.-. Según el gráfico, calcular m BOC, si

m AOC +m BOD = 280º y

m AOD = 120º.

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 50º E) 60º

15.- Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de tal forma que m AOB = 20º, m BOC = 30º y m AOD = 70º. Calcular la medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo COD con el rayo

.

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 50º E) 60º

16.- ¿Cuánto es la diferencia de las medidas de los ángulos AOB y COD, sin m BOD = 100º?

A) 40º B) 50º C) 60º

D) 80º E) 55º

17.-. Un ángulo es tal que, la suma de su complemento y de su suplemento es igual al triple de dicho ángulo. Halar el suplemento del complemento de dicho ángulo.

A) 54º B) 36º C) 126º

D) 144º E) 162º

18.-. Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que: m BOD = 90º y m AOB = 30º. Calcular mCOD.

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 50º E) 60º

TRIANGULO:Figura Formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos de línea recta.

Notación: El triángulo ABC: ABCElementos:Lados: AB , BC y AC

Internos:, , Ángulos: Externos: x, y , z

Perímetro: (2p)


CAP 4: TRIANGULOS

13

Geometría

CLASIFICACIÓN

A) Según sus Lados

* Equilátero

* Isósceles

* Escaleno

B) Según sus ángulos:

* Rectángulo

* Acutángulo

* Obtusángulo

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DE LOS TRIÁNGULOS

Teorema 1: (De la suma de ángulos internos)

Teorema 2: (De la medida del ángulo exterior)

Teorema 3: (De la suma de ángulos exteriores)


Geometría

Teorema 4: Propiedad de la existencia de un triángulo

En todo triángulo la medida de un lado, debe ser menos que la suma de los otros dos lados y a su vez mayor que la diferencia de los mismos lados.

Regla de Correspondencia: En todo triángulo escaleno, se cumple que a menor lado se opone menor ángulo y a mayor lado se opone mayor ángulo.

PROPIEDADES

1.-

2.-

3.-

PROBLEMAS

01.- Hallar “”

a)50ºb)45ºc) 30ºd)60ºe)NA

02.- Hallar “”


03.- Hallar “x”

a)112ºb)115ºc) 110ºd)100ºe)NA


a – b < c < a +

a – c < b < a +

b – c < a < b +

15

Geometría

04.- Hallar “x”


05.- Calcular “x”, según la figura:a)8ºb)9ºc) 10ºd)11ºe)NA

06.- En el gráfico, calcular “x”


07.- En el gráfico, calcular “2”

a)25ºb)22ºc) 23ºd)21ºe)20º

08.- Del gráfico mostrado, calcular “”

a)10ºb)29ºc) 20ºd)60ºe)70º

09.- En el gráfico, calcular “x”

a)40ºb)50ºc) 80ºd)90ºe)70º

10.- En la figura ABC es un triángulo equilátero. Calcular “x”a) 60ºb) 55ºc) 65ºd) 70ºe) NA

11.- Encontrar el valor de “x”.

a)60°b)55°c) 45°d)65°e)50°

12.- Calcular: x+y+z+wa)180°b)360°c) 720°d)540°e)900°

13.- En el gráfico calcular “x”

a) 60º b) 50ºc) 70ºd) 65ºe) NA

14.- Hallar la suma de los valores que admite el lado desconocidoa) 1 b) 2c) 4 d) 5


Geometría

e) 3

15.- En el gráfico calcular “x”a)25ºb)30ºc) 35ºd)40ºe)NA

16.- En el gráfico si AB = BC. Calcular “x”a)45ºb)50ºc) 60ºd)70ºe)NA

17.- En el gráfico si AB = BC = BP. Calcular “x”a)45ºb)50ºc) 60ºd)70ºe)NA

18.- Si en el gráfico: ++ = 380º . Calcular “x”


19.- En el triángulo ABC, un lado es la mitad de otro. Calcular el perímetro

del triángulo

a) 21 ó 28 d) 18 ó 24b) 16 e) 20c) 23

20.- En el gráfico calcular: aº + bº + cº + dº + eº + f º

a)120ºb)180ºc) 210ºd)360ºe)450º

21.- Encontrar “x”, el triángulo ABC equilátero.

a)60°b)64°c) 74°d)72° e) 36°

22.- Calcular “x” .

a)58°b)48°c) 60°d)70°e)68°

23.- Hallar “x”

a) 9°b) 10°c) 12°d) 15°


Geometría

e) 18°

24.- Calcular “”

a) 10° b) 12° c) 15° d) 9° e) 18°

25.- Hallar “x”

a) 15°b) 10°c) 25°d) 40°e) 45°

26.-En la figura : AB + BC = 28. Calcular el máximo valor entero de

BH

a) 16 b) 9 c) 15d) 14 e) 13

27.-En la figura calcule el máximo valor entero de “BD”. Si: AD = 3; CD = 12 y AB + BC = 19

a) 15 b) 16 c) 17d) 14 e) 18

01.- LA CEVIANA

Es aquella recta que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.

BP y BQ son cevianasDel triángulo ABC

02.- LA MEDIANA

Es la recta que parte de un vértice y cae en el punto medio del lado opuesto.

BM es mediana relativa al lado AC AM = MC

Importante:


CAP 5: TRIANGULOS II

18

Geometría

El punto de intersección de las medianas de un triángulo se denomina “Baricentro” y forma en cada mediana segmentos proporcionales de 2 a 1.

“G”: baricentro o Gravicentro

AG = 2GN BG = 2GM CG = 2PG

03.- LA ALTURAEs la recta que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación.

04.- LA MEDIATRIZEs la recta que pasa por el punto medio de un segmento formando 90°

L1 es mediatriz L2 es mediatriz L3 es mediatriz de AB de PQ el lado AC AM = MB PR = RQ AM= MC

05.- LA BISECTRIZ

Bisectriz interiorRecta que divide a la medida de un ángulo interior en dos partes iguales.

BD es bisectriz del ángulo ABC

Bisectriz exterior

Recta que divide a la medida de un ángulo exterior en dos partes iguales.

CP es bisectriz del ángulo exterior BCQ

PROPIEDADES ADICIONALES

01.-

X = 90° +

θ2

02.-


Geometría

x = 90° -

θ2

03.-

x =

θ2

RELACIÓN DE EXISTENCIA DEL

TRIÁNGULO

b c

aSi: a > b > c. Se cumple:

b – c < a < b + c

a – c < b < a + c

a – b < c < a + b

PROBLEMAS

01.- En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es el doble del otro ángulo agudo. Calcular el menor ángulo agudo. a) 20º b) 25º c) 50º d) 30º e) NA

02.- En un triángulo equilátero ABC se traza la bisectriz BD (D pertenece a AC). Calcule el valor del ángulo BDC. a) 75º b) 80º c)90º d)85º e) NA

03.- En la figura calcular “x”. AC es bisectriz del BAD


04.- En la figura, si BI y BR son bisectrices, calcular “x”


05.- Del gráfico calcule “x”


06.- Hallar “x”

a)100ºb)105ºc) 106ºd)110ºe)NA

07.- Hallar “x”


08.- Hallar “x”

a)110º


Geometría

b)120ºc) 112ºd)130ºe)NA

09.- En un triángulo isóseles ABC (AB=BC) se traza la altura AH. Calcular la mHAC, si mB=80°. a) 35 b) 40º c) 45º d) 50º e) NA

10.- En un triángulo ABC: mA = 20° y mC = 40°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las alturas que parten de A y C. a) 55º b) 45º c) 35º d) 60º e) NA

11.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AD, las cuales se intersectan en P. Si BP=6 y DC=13, Calcular BC. a) 15 b) 16 c) 19 d) 20 e) NA

12.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH. La bisectriz del HBC intersecta en P a HC. Si AB=5, calcular el máximo valor entero de BP. a) 12 b)9 c) 15 d) 16 e) NA

13.- El ángulo A de un triángulo ABC mide 20º. Se traza la ceviana CT y en el triángulo ATC se traza la ceviana TQ. Si mATQ = 40° y TQ = QC = BC. Calcular la mB

a) 80º b) 70º c) 10º d) 65º e) NA

14.- En un triángulo ABC, mB = 90° la bisectriz del ángulo exterior A intersecta en P y Q a las prolongaciones de CB y de la altura BH respectivamente, si BP = 13 y HQ = 7. Calcular BH.

a) 8 b) 10 c) 6 d)11 e) NA

15.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

I. AB > BDII. x = 30ºIII. AC = BD

a ) Sólo I b) III c) II y III d) Sólo II e) NA

16.- Calcular “x”

a) 124° b) 146°c) 132°d) 144°e) 164°

17.- Si: AE=AD ; DC=CF. Hallar “x”a)30°b)60°c) 45°d)55°e)65°

18.- Calcular “x”, si: AB=BC y BP=BR

a)16°b)18° c) 24°d)32°e)36°

19.- En la figura: MN = NC = BC .Hallar “x”

a)80°b)60°c) 75°d)85°


Geometría

m°n°

B

A

E

D C

F

x°

e)90°

20.- En la figura, hallar “x”

A) 10º B) 20º C) 30ºD) 40º E) 50º

21.- Exteriormente a un triángulo equilátero ABC se construye el triángulo ADC, tal que AD=3 y DC=12. Calcular el mayor valor entero del Perímetro del triángulo ABC.

A) 42 B) 45 C) 44D) 43 E) 46

22.-Si AB=BC, DF=EF y m+n=80, calcular “x”

A) 20B) 25C) 40D) 50E) 80

23.-En el triángulo ABC, AB=BC, en

AC y BC se ubican los puntos “E” y “D” respectivamente, tal que BE=BD. Si la m<ABE=50, calcular la m<CEDA) 15 B) 20 C) 25D) 35 E) 40

24.-Dos lados de un triángulo miden 6 y 2. ¿Cuántos valores enteros puede tomar la medida del tercer lado del triángulo?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

25.-Dos lados de un triángulo miden 7 y 9. Calcular el perímetro del tirángulo si el tercer lado mide el doble de lo que mide uno de los otros dos.

A) 16 B) 21 C) 30D) 34 E) 30 ó 34

26. Hallar “x + y”

a) 14 b) 12 c) 13d) 15 e) 11

27. Hallar “”

a) 45° b) 70° c) 40°d) 50° e) 60°

28. En la figura, si: BC = CD y AC = CE. Hallar “x +y”

a) 41° b) 35° c) 32°d) 26° e) 68°


Geometría

B

w

C

x

D

y

EAz

29. Si: AE = DC. Hallar “x + y”

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) N.A.

30. Hallar “QR”

a) 50 b)60 c) 30 d) 80 e) 90

31. Calcular “x”

a) 10b) 12c) 8d) 17e) 20

32. BM es mediatriz de

AD ; BN es mediatriz de

DC y AB = 8. Hallar “BC”.

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 16

33. Hallar “PQ”, si AB = 7 y A= 4

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

34. En la figura, hallar “PR”

a) 6b) 8c) 12d) 69

e) 4√2

Se llama polígono a la figura geométrica plana que se encuentra formada por tres o más segmentos.

ELEMENTOS


P O L Í G O N O S

23

Geometría

Vértices :..........................................

Lados:....................................................

ÁngulosInternos:...............................

Ángulos externos…………………….

Diagonales..............................................

Perímetro:...............................................

CLASIFICACIÓN:

Polígono convexo

.........................................

.....................................

……………………………

………………………….Polígono cóncavo o no convexo

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………...

Polígono equiángulo

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Polígono equilátero

.

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………..


Geometría

Polígono regular

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

PROPIEDADES EN LOS POLÍGONOS

CONVEXOS:

1. Suma de las medidas de los ángulos interiores.

n : número de lados

2. Suma de las medidas de los ángulos exteriores

Observación: Todo polígono de “n” lados tendrá también “n” vértices y “n” ángulos interiores.

Polígonos según el número de lados:

Polígono de 3 lados:………………….

Polígono de 4 lados:…………………

Polígono de 5 lados:………………..





Polígono de 10 lados:……………….

Polígono de 11 lados:……………….

Polígono de 12 lados:………………



Cálculo del número de diagonales

De un solo vértice:

n = número de lados

De todos los vértices:

n = número de lados

Completar el siguiente cuadro:


S : 180 (n - 2)

S : 360

d = n – 3

d = n – 3

25

Geometría

1. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo de 18 lados?

a) 1380° b) 1600° c) 2120°d) 2380° e) 2145°

2. Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1800°, ¿cuántos lados tiene el polígono?

a) 8 b) 10 c) 12d) 15 e) 20

3. ¿En qué polígono se cumple que el número de diagonales es numéricamente igual al número de lados?

a) Triángulo b) cuadrado


A C T I V I D A D E S

26

Número de lados Nombre Suma de ángulos

internos (S)Número de diagonales (D)

6

8

10

15

20

Geometría

x°

x°

x°

c) pentágono d) hexágono e) octógono

4. ¿De cuántos lados es el polígono que tiene 170 diagonales?

a) 17 b) 18 c) 20d) 19 e) 21

5. Hallar “x”

a) 100° b) 120° c) 150°d) 130° e) 160°

6. ¿En qué polígono al sumar el número de diagonales mas el número de lados se obtiene 21?

a) Pentágono b) heptágono c) hexágono d) octógono e) nonágono

7. ¿En qué polígono se cumple que el número de diagonales es el triple del número de lados?

a) Pentágono b) heptágono c) hexágono d) octógono e) nonágono

8. ¿En qué polígono se cumple que la suma de ángulos interiores es el triple de la suma de sus ángulos exteriores?

a) Hexágono b) decágonoc) cuadrado d) octógono e) endecágono

9. Si el número de diagonales es igual a 44, calcular la suma de los ángulos internos del polígono

a) 1434° b) 1820° c) 1620°d) 1500° e) 1760°

10. Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1080°, ¿cuántas diagonales posee?

a) 15 b) 18 c) 20d) 22 e) 25

11. ¿Cuántas diagonales tiene aquél polígono en el cual la suma de sus ángulos internos es 8 veces la suma de los externos?

a) 102 b) 125 c) 146d) 165 e) 135

12. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el cual el número de diagonales es mayor en 133 que el número de lados?

a) 13 b) 17 c) 11d) 14 e) 19

13. ¿Cuántos vértices tiene el polígono cuyo número de diagonales excede al número de lados en 18? a) 4 b) 5 c) 7d) 9 e) absurdo

14. ¿En qué polígono se cumple que al disminuir en 2 el número de lados, el número de diagonales disminuyó en 7?

a) Triángulo b) hexágono c) pentágono d) decágono e) heptágono

ACTIVIDAD

1) ¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un polígono de 8 lados?

a) 1000° b) 1050° c) 1080°d) 1090° e) 1100°


Geometría

x+10° x+15°

x+20°

x+25°

x+5°

2) ¿Cuántas diagonales se pueden traza en un polígono de 15 lados?

a) 75 b) 60 c) 80d) 90 e) 100

3) ¿Cuál es el valor del ángulo “x” en el polígono mostrado?

a) 60° b) 85° c) 93°d) 120° e) 75°

4) La suma de los ángulos de un polígono convexo es igual a 8 rectos. ¿Cuál es el nombre de este polígono?

a) Triángulo b) cuadrado c) hexágono d) pentágono

e) N.A.

5) Si a un polígono se le trazan 119 diagonales, ¿cuántos lados tiene dicho polígono?

a) 15 b) 17 c) 20d) 21 e) 23

1 ) ¿ C u á n t o m i d e c a d a u n o d e l o s á n g u l o s i n t e r i o r e s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r d e 1 5 l a d o s ?

a ) 1 3 8 ° b ) 1 5 6 ° c ) 1 2 0 °d ) 1 1 8 ° e ) 1 4 5 °

2 ) S i e l á n g u l o i n t e r n o d e u n p o l í g o n o r e g u l a r e s 1 2 0 ° , ¿ c u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o ?

a ) 5 b ) 6 c ) 7d ) 8 e ) 9

3 ) ¿ C u á n t o m i d e e l á n g u l o e x t e r n o d e u n i c o s á g o n o r e g u l a r ?

a ) 8 ° b ) 2 4 ° c ) 1 8 °d ) 5 4 ° e ) 3 6 °

4 ) ¿ E n q u é p o l í g o n o r e g u l a r , e l á n g u l o i n t e r i o r e s e l t r i p l e d e l e x t e r i o r ?

a ) 8 ° b ) 2 4 ° c ) 1 8 °d ) 5 4 ° e ) 3 6 °

5 ) H a l l a r “ ” e n e l s i g u i e n t e p o l í g o n o r e g u l a r .

a) 30° b) 90° c) 120° d) 150° e) 80°

6 ) ¿ C ó m o s e l l a m a a q u e l p o l í g o n o r e g u l a r c u y o á n g u l o i n t e r i o r e s 3 v e c e s e l e x t e r i o r ?


A C T I V I D A D E N C A S A

28

Geometría

a ) p e n t á g o n ob ) o c t ó g o n o c ) d e c á g o n o d ) h e x á g o n o e ) h e p t á g o n o

7 ) A l a u m e n t a r e n 2 e l n ú m e r o d e l a d o s d e u n p o l í g o n o , s u á n g u l o c e n t r a l d i s m i n u y e e n 9 ° . ¿ C u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o d e m e n o s l a d o s ?

a ) 3 b ) 6 c ) 5d ) 8 e ) 1 0

8 ) ¿ C u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o r e g u l a r e n e l c u a l e l á n g u l o i n t e r n o m i d e 8 v e c e s e l e x t e r n o ?

a ) 1 0 b ) 1 2 c ) 1 4d ) 1 6 e ) 1 8

9 ) E l á n g u l o i n t e r i o r d e u n p o l í g o n o r e g u l a r m i d e e l q u í n t u p l o d e l a m e d i d a d e s u á n g u l o e x t e r i o r . H a l l a r e l n ú m e r o d e l a d o s d e l p o l í g o n o .

a ) 6 b ) 8 c ) 1 0 d ) 1 2 e ) 1 4

1 0 ) A l d i s m i n u i r e n 2 e l n ú m e r o d e l a d o s d e u n p o l í g o n o , s u á n g u l o c e n t r a l a u m e n t a e n 6 ° . ¿ C u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o i n i c i a l ?

a ) 1 0 b ) 1 1 c ) 1 2d ) 1 3 e ) 1 5

1 1 ) E n e l s i g u i e n t e p e n t á g o n o r e g u l a r , h a l l a r “ x ” :

a ) 3 6 ° b ) 2 4 ° c ) 1 8 °d ) 1 5 ° e ) 3 2 °

1 2 ) H a l l a r e l n ú m e r o d e d i a g o n a l e s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r e n e l c u a l s u á n g u l o i n t e r i o r m u l t i p l i c a d o p o r l a i n v e r s a d e s u á n g u l o e x t e r i o r e s i g u a l a 1 2 .

a ) 2 5 0 b ) 2 9 9 c ) 3 1 5d ) 4 2 0 e ) 3 6 5


FORMATO CUADERNILLO

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