Edwin Oswaldo Reyes Calles

Formulacin Covariante de la Electrodinmica Hemos desarrollado un sistema geomtrico para describir las coordinadas en trminos en los que la electrodinmica debe ser formulada para que la velocidad de la luz sea una cantidad invariante. Desarrollamos un grupo de transformaciones coordenadas que preservan esta invariancia. Ahora veremos que nuestras ecuaciones originales de electrodinmica no estn en una formulacin covariante. Por ejemplo, no sabemos an como los campos elctrico y magntico se transforman bajo transformaciones de Lorentz. Primero reformulemos nuestras ecuaciones bsicas en forma de 4-tensores. Haremos estas ecuaciones 4-escalares, 4-vectores, o 4-tensores de mayor rango para poder simplificar y deducir sus propiedades de transformacin. Lo que realmente sabemos acerca de los campos electromagnticos es su accin sobre una partcula cargada: = + (en notacin 3-vector). Sabemos que el 3-vector de momento es solo una parte del 4-vector de momento: ! = !, = (!,)

(donde ! = ). Ademas, no conocemos t (pues depende del sistema de referencia que elijamos), asi que necesitamos usar en nuestra definicin. Entonces podemos escribir = !+ El lado izquierdo nos dice la razn de cambio del momento (espacial), la cual es solo parte de un 4-vector. La componente temporal debera decirnos como cambia la energa con el tiempo propio: ! = Ahora, si esta ecuacin 4-vectorial de energa-fuerza es covariante, entonces su lado derecho debe ser un 4-vector tambin. Entonces podremos ser capaz de

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expresarlo como una contraccin de tensores co y contra variante. Sabemos (experimentalmente) que la carga es un escalar de Lorentz; esto es, la carga es invariante bajo transformaciones de Lorentz. (!,) forma un 4-vector contra variante. De esto podemos deducir que la forma del 4-tensor del campo electromagntico! Como las partes espaciales forman la parte temporal de un 4-vector, E debe ser la parte espacio-temporal de un tensor de rango dos. Esto es, = !!! De manera similar podemos encontrar B y eventualmente el tensor de fuerza del campo electromagntico. Sin embargo, es mas constructivo seguir sacando 4-vectores del resto de relaciones que conocemos. Por ejemplo, hemos visto que la ecuacin de continuidad es un 4-escalar covariante: + = 0 Para ver su covarianza, definimos una 4-corriente ! = (, ) de modo que !! = 0 es la ecuacin de continuidad. Note que esto funciona porque la carga elctrica es un invariante de Lorentz y as es un elemento de volumen 4-dimensional (pues detA = +1). Luego, consideremos las ecuaciones de onda para los potenciales en la norma de Lorentz (note que Jackson por ninguna razn obvia que pueda ver usa unidades Gaussianas en esta parte del capitulo): 1! !! ! = ! = !! = ! !!! = !(!) de modo que

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1! !( )! ! = !! 1! !! ! = ! Por lo tanto, si formamos el 4-vector potencial ! = , entonces podemos escribir las 4-relaciones: !! = 1 ! + la cual es la 4-escalar condicin de norma de Lorentz ! = !!! = !! la ecuacin 4-vectorial de onda electromagntica inhomogenea construida para el 4-escalar operador de onda DAlambertiano. Ahora podemos construir las componentes de E y B del 4-ventor potencial covariante. Sabemos que: = donde = !, entonces ! = ! ! = (!! !!) y similarmente, como = : ! = ! ! = (!! !!) etc.

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Las componentes del campo elctrico y magntico (las seis) se transforman como las componentes de un tensor de fuerza de segundo rango, anti simtrico, de diagonal nula: !" = !! !! En su forma explicita,

!" = 0 ! ! ! ! 0 ! !! ! 0 !! ! ! 0 El tensor con dos ndices covariantes (formados por dos contracciones con g) se obtiene reemplazando E con E.

!" = 0 ! ! ! ! 0 ! !! ! 0 !! ! ! 0 Otra importante versin de este tensor es el tensor de fuerza dual de campo. En trminos del tensor anti simtrico total de cuarto rango y el tensor de fuerza normal de campo esta dado por:

!" = 12 !"#$!" =0 ! ! !! 0 ! ! ! ! 0 ! ! ! ! 0

Esto se obtiene del tensor de fuerza de campo contra variante bsico por sustitucin de , . Finalmente, debemos escribir las ecuaciones de Maxwell en su forma covariante. Las ecuaciones inhomogeneas son = ! 1! = !

Edwin Oswaldo Reyes Calles

La cantidad a la derecha es proporcional a la 4-corriente. La cantidad a la izquierda debe por lo tanto contraer una 4-derivada con el tensor de fuerza de campo. Las ecuaciones homogneas = 0 + = 0 tambin forman un 4-vector (de ceros) y deben por lo tanto ser la contraccin de un tensor de fuerza de campo. Pero cual? Bien, la segunda ecuacin homognea requiere que y ambas requieren que , entonces debe ser el dual: !!" = 0 Si queremos escribir todo en trminos del tensor de fuerza de campo, nos quedan las cuatro ecuaciones !!" + !!" + !!" = 0 donde ,, son tres ndices cualesquiera de los cuatro ndices 0,1,2,3.