a + bi se define como r =a2 + b2 donde

tan() = ba .Puesto que a = r cos y b = r sin , entoncestenemos que a+ bi = r(cos + i sin ), a su vestabien podemos denotar = argz.

Para cualesquiera numeros complejos|z1z2| = |z1| |z2|y arg(z1z2) = argz1 + argz2(mod2pi).

Regla de De Moivre: si z = r(cos + i sin )y n es un entero positivo entonceszn = rn(cosn + i sinn).

Sea w un numero complejo diferente de 0,con representacion polar

w = r(cos = i sin ).

Entonces, las races n esimas de w estandadas por los n numeros complejos

zk =nr

[cos

(

n+

2pik

n

)+ i sin

(

n+

2pik

n

)], k = 0, 1, . . . n1

Propocicion1.2.4:

(i) z + z = z + z.

(ii) zz = z z.(iii) z/z = z/z. para z 6= 0.(iv) zz = |z|2 si y solo si z 6= 0, tenemos quez1 = z|z|2 .

(v) z = z si y solo si z es real.

(vi) Rez = (z + z)/2 e Imz = (z z)/2i(vii)

Propocicion1.2.5:

(i) |zz| = |z| |z|.(ii) Si z 6= 0, entonces |z/z| = |z|/|z|.(iii) |z| Rez |z| y |z| Imz |z|; estoes, |Rez| |z| y |Imz| |z|.(iv) |z| = |z|.(v) |z + z| |z|+ |z|.

(vi) |z z ||z| |z||(vii) |z1w1 + znwn| |z1|2 + |zn|2|w1|2 + |wn|2.

Definicion: si z = x+ yi, entonces definimosez como ex(cos y + i sin yy)Propocicion 1.3.2: Sea z, w C

(i) ez+w = ezew, para toda z, w C.(ii) ez nunca es 0.

(iii) Si x real, entonces ex > 1, cuando x > 0 ,y ex < 1, cuando x < 0.

(iv) |ex+iy| = ex(v) epii/2 = i, epii = 1, e3pii/2 = i, e2pii = 1(vi) ez es periodica, cualquier periodod de ez

tiene la forma 2pini, n entero.

Funciones Trigonometricas:

sin z =eix eiz

2iy cos z =

eiz + eiz

2cosh y

Propicicion 1.3.4:

(i) sin2 z + cos2 z = 1.

(ii) sen(z + w) = senz senw + cos z cosw. y(iii) cos(z + w) = cos z cosw senz senw.Logaritmo: log z = |z| + iargz., donde argztoma valores en el eintervalo [y0, y0 + 2pi[ ylog |z| es el logaritmo ususla del numero realpisitivo |z|.

Potencia Complejas:Sea a, b C y a 6= 0 se define como ab =

(elog a)b = eb log a.La funcion raiz n-esima: n

z = z1/n =

e(log z)/n. propocicion 1.3.12: Si z = rei, en-tonces

nz = nrei/n

.

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