SENALES Y SISTEMAS

1. Propiedades de la Transformada de Fourier

1. Linealidadt: ax(t) + by(t)jw: aX(jw) + bY (jw)

2. Desplazamiento en el tiempo:t: x(t t0)jw: ejwt0X(jw)

3. Desplazamiento de frecuencia:t: x(t) ejtw0jw: X(j(w w0))

4. Multiplicacion por una potencia de t:t: tnx(t)jw: jn d

n

dwnXjw n=1,2,3...

5. Multiplicacion por sin(w0t):t: sin(w0t)x(t)

jw:j

2[X(w + w0)X(w w0)]

6. Multiplicacion por cos(w0t):t: cos(w0t)x(t)

jw:1

2[X(w + w0) +X(w w0)]

7. Conjugacion:t: x(t)

jw: X(jw)

8. Inversion en el tiempo:t: x(t)jw: X(jw)

9. Dualidad:t: X(t)jw: 2pix(jw)

10. Escalamiento de tiempo y frecuencia:t: x(at)jw: 1|a|X(

jwa )

11. Convolucion:t: x(t) y(t)jw: X(jw) Y (jw)

12. Multiplicacion:t: x(t)y(t)

jw:1

2piX(jw)Y (jw)

13. Diferenciacion en el tiempo:t: ddxx(t)jw: jwX(jw)

14. Integracion en el tiempo:

t:

t

x(t)dt

jw:1

jwX(jw) + piX(0)(w)

15. Diferenciacion en la frecuenciat: tx(t)jw: j ddwX(jw)

16. Simetria para senales real y part: x(t) real y parjw: X(jw) real y par

17. Simetria para senales real y impart: x(t) real y imparjw: X(jw) Puramente imaginaria e impar

18. Relacion de Parseval para senales aperiodi-cas:

t:

|x(t)|2dt

jw:1

2pi

|X(jw)|2dw

19. Teorema de Parseval:

t:

x(t)v(t)dt

jw:1

2pi

X(jw)V (jw)dw

1

2

2. Algunos pares de la transformada de Fourier comunes:

() () {()} = () |()|

( )

2( )

cos() [( + )+ ( )]

1 2()

() 2

() () +1

. () 1

+

. cos() . () +

( +)2 +2

( +

2) (

2)

(/2)

/2

3

3. Funciones del tiempo y sus funciones de densidad espectral:

4

4. Pares bsicos de la Transformada de Fourier

Seal Transformada de Fourier Coeficientes de la serie de Fourier

(si es peridica)

. +

=

2 . ( )

+

=

2( ) 1 = 1 = 0,con otro valor

cos()

[( + ) + ( )] 1 = 1 =1

2

= 0,con otro valor

sen()

[( ) ( + )]

1 = 1 =1

2

= 0,con otro valor

() = 1

2() 0 = 1, = 0, 0

(Esta es la representacin en serie de

Fourier para cualquier seleccin de

T>0)

Onda cuadrada peridica

() = 1, || < 1

0, 1 < ||

2

y ( + ) = ()

2(1)

( )

+

=

1

(

1

) =(1)

( )

+

=

2

(

2

)

+

=

=

1

() = 1, || < 10, || > 1

2(1)

-

sen()

() =

1, || < 2, || >

-

() 1 - () 1

+ ()

-

( ) - . (),{} > 0 1

+

-

. (),{} > 0 1

( + )2

-

1

( 1)!. (),

{} > 0

1

( + )

-

5

5. Propiedades de la Transformada de Fourier:

Linealidad () + () () + () Desplazamiento en el tiempo por la izquierda o derecha

( ) () Escalamiento en el tiempo

() 1

(

)

Inversin en el tiempo () () Multiplicacin por una potencia de t

() ()

Multiplicacin por una exponencial compleja ()0 ( 0) Multiplicacin por sin(0) () sin(0)

2[( 0) ( 0)]

Multiplicacin por cos(0) () cos(0) 1

2[( 0) + ( 0)]

Derivacin en el dominio del tiempo ()

()()

Integracin en el dominio del tiempo ()

1

() + (0)()

Convolucin en el dominio del tiempo () () ()() Multiplicacin en el dominio del tiempo

()() 1

2() ()

Teorema de Parseval ()()

1

2 () ()

Caso especial del Teorema de Parseval 2()

1

2 |()|2

Dualidad () 2()

6. Pares de transformadas de Fourier:

1, < < 2()

0.5 + () 1

() () +1

() 1 ( )

() 1

+

() 1

( + )2

0 2( 0)

() 2

()

6

() arcsin(

2)

arcsen(

2) 2()

(1 2||

) ()

22 (

4)

22 (

4) 2 (1

2||

)()

cos(0) [( +0) + ( 0)]

cos(0 + ) [( + 0) +

( 0)]

sen(0) [( + 0) + ( 0)]

sen(0 + ) [( + 0)

( 0)]

(

) (

2)

() (

2)

2(/2) (

)

cos(/) (

)

2

cos(/2)

1 (/)2

Transformada de Fourier Seales Peridicas

() = 2

=

( 0)

Modulacin AM

() = ()()

Convolucin x(t)->[h(t)]->y(t)=x(t)*h(t)

Ecuaciones diferenciales

() = =0 ()

=0 ()

=

=

Demodulador AM

Modulador.()->filtro=seal recuperada