LEY DE FOURIER

ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN:

Donde:

campo de temperaturas. T = f (x, y, z, t)

calor generado por las fuentes internas

conductividad térmica

difusividad térmica

:Gq

:k

:T

Solo se considera la transferencia de calor unidireccional

LEY DE FOURIER DE LA CONDUCCIÓN:

Donde:

T: campo de temperaturas

T = f (x) en régimen Permanente.

A: área de la superficies de transferencia

NOTA:

- En regimen permanente la temperatura de los cuerpos que intervienen en la

transferencia de calor permanece constante en el tiempo.

- En régimen variable la temperatura varía con el tiempo.

PARED PLANA SIN FUENTES INTERNAS:

(Temperaturas superficiales, T1 y T2 dadas):

Hipótesis:

Régimen permanente

Transferencia unidireccional (dirección X)

Una vez realizadas las simplificaciones resulta la

siguiente ecuación diferencial:

Cuya solución general es: BAxT

Las condiciones de contorno son las siguientes:

x = 0 ----> T = T1

x = L ----> T = T2

El campo de temperaturas queda:

Según la Ley de Fourier de la conducción:

dx

dTkq

Resistencia Térmica =

=>

PARED PLANA CON FUENTES INTERNAS

(Temperatura superficial: To dada)

Hipótesis:

- Régimen permanente

- Transferencia unidireccional (dirección X)

- Se supone que la fuente interna está en el centro

geométrico de la pared según la dirección X. EL

origen de coordenadas se sitúa en ese punto

Simplificando:

Cuya solución general es:

El campo de temperaturas queda:

El flujo de calor:

dx

dTkq => xqq G .

Las condiciones de contorno son las siguientes:

x = 0 --> 0

dx

dT => B = 0

x = L --> 00 TThdx

dTk s

=>

PARED CILÍNDRICA SIN FUENTES INTERNAS

(Temperaturas superficiales, T1 y T2, dadas)

Hipótesis:

Régimen permanente

Transferencia unidireccional (dirección radial)

01

dr

dTr

dr

d

r BALxT

=>

A partir de la ecuación general de la conducción

en coordenadas cilíndricas y después de efectuar

las simplificaciones:

1rr 1TT

2rr 2TT

Las condiciones de contorno son las siguientes:

Con lo que el campo de temperaturas queda: 1

1

2

1

21 Tr

rL

r

rL

TTrT

Según la Ley de Fourier:

dr

dTkq

cter

r

rL

TTkq

1

1

2

11 AqQ .

,

LrA ..2cte

r

rL

TTLkQ

1

2

212

k

r

rL

TT

r

rL

TTk

L

Q

1

2

21

1

2

21

2

1

.2

k

r

rL

TERMICAARESISTENCI

1

2

2

1

o

a

h

kCRITICORADIO

:ak

:0h

Conductividad del aislante

Coeficiente de película

CILINDRO CON FUENTES INTERNAS

(Temperatura superficial, To, dada)

Hipótesis:

Régimen permanente

Transferencia unidireccional (dirección radial)

Se supone que la fuente interna está en el eje

longitudinal del cilindro

A partir de la Ecuación general de la conducción en coordenadas

cilíndricas y después de efectuar las simplificaciones:

01

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G 21

2

..4

.CrLC

k

rqrT G

0r 0dr

dT

0rr q 00 TThdr

dTk s

Las condiciones de contorno son las siguientes:

Hay un máximo puesto que se ha supuesto

que la fuente está situada ahí

Conducción = convección

q

Con lo que el campo de temperaturas queda: 0

0

2

0

2

2

.

4

.

4

.T

h

rq

k

rq

k

rqrT oGGG

El flujo de calor:

dr

dTkq r

qq G .

2

PARED ESFÉRICA SIN FUENTES INTERNAS

1T 2T(Temperaturas superficiales, y ,dadas)

Hipótesis:

Régimen permanente

Transferencia unidireccional (dirección radial)

A partir de la Ecuación general de la conducción en

coordenadas esféricas y después de efectuar las

simplificaciones:

01 2

2

dr

dTr

dr

d

rB

r

AT

Las condiciones de contorno son las siguientes:

1rr 1TT

2rr 2TT

Con lo que el campo de temperaturas queda:

2

211

21

21

. r

e

TTT

rr

er

TTrT

12: rrespesore

Según la Ley de Fourier:

dr

dTkq cte

rr

e

TTkq

r

21

2

21

.

AqQ .

2.4 rA cte

krr

e

TT

rr

e

TTkQ

rr

.4...

.4

21

21

21

21

krrh

eTERMICAARESISTENCI

..10

o

a

h

kCRITICORADIO

.2

:ak

:0h

Conductividad del aislante

Coeficiente de película

PROBLEMA 1: La temperatura a ambos lados de una pared de ladrillos de

25cm. De espesor son 10 y 20 grados centigrados. . Hallar en calorías el calor

perdido por hora, por metro cuadrado, sabiendo que el coeficiente de

conductividad térmica es 0,0015.

Solución:

El calor fluye perpendicularmente a la superficie de la pared.

Es claro que las superficies isotérmicas son planos paralelos a la pared.

Haciendo un gráfico para un instante t:

Para un metro cuadrado:

Además:

41015

1025

200

k

Tx

Tx

Ecuación:

dx

dTkAq

dx

dT

dx

dTkq 15104 dx

qdT

15

cxq

T 15

………….(1)

200 Tx

20c

C.I.:

En (1):

La ecuación queda de la siguiente manera: 2015

xq

T ….. (2)

1025 TxC.I.:

20)25(15

10 q

hcal

scalq 6480018

En (2):

PROBLEMA 2:

Encontrar las pérdidas de calorías por día del tubo de 15cm de radio que

contiene vapor a 100 grados centígrados si el cubo estaba cubierto de una

capa de hormigón (k = 0,0022) con espesor de 10cm y la superficie exterior

del hormigón se mantiene a 35 grados centígrados. Tomar una longitud de

20m de tubo.

Solución: Se observa que el calor fluye radialmente, por lo tanto lo hace perpendicularmente a la superficie lateral del cilindro (las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con el dado).

Haciendo un grafico para un instante t:

Ecuación: dx

dTkAq ………… (1)

Para: xr 15 100 x

)15)(2000(2..2 xLrA )15(104 3 xA

En (1): dx

dTq 11088 dT

qx

dx 11088

15

1

11088)15ln( cT

qx

qT

cex8.8

15

…..…. (2)

C.I. : 0x 100T

En (2): qce

880

15

qec880

15 ……..(a)

Ahora (a) en (2):

qT

q eex 8.8880

.1515

.1515)100(8.8q

T

ex

………. (3)

C.I. :

35T10x

En (3):

qe)65(8.8

1525

qe

)65(8.8

3

5

q

)65(8.8

3

5ln

dia

s

s

cal

s

calq

1

606024

3

5ln

658.8

3

5ln

658.8

diacal

dia

calq 33 1007.30394010

3

5ln

361568.8

PROBLEMA 3: Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 0.15,

tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie

interna se mantiene a 200°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C.

a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de

los cilindros concéntricos.

b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm

c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?

Solución:

Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros

dados. El área de tal superficie con radio r y longitud L es: LxrA ..2

La distancia d en este caso : dx

.

Así, la ecuación: dx

dTkAq puede escribirse como:

dx

dTLxrkq )..(2

Puesto que k = 0.15, L = 20 m = 2000cm,

tenemos que:

dx

dTxq 10.600 …… (1)

De esta última ecuación, q es por supuesto una constante.

De la ecuación (1), integrando obtenemos: dTqx

dx.

600

10

1.600

)10ln( CTq

x

q

T

cex

.600

10

…….. (2)

Reemplazando la siguiente condición en la ecuación 2:

C.I: CTx º2000

qq ecce

.120000200.600

1010

…….. (a)

Ahora (a) en (2): q

T

q eex

.600.120000

1010

…….. (3)

Ahora en (3): CTx º5010

2ln

9000021020

.9000050600.120000

qeee qqq…… (b)

Ahora (b) en (3):

3

4

10log

2

30021010

101010

2300

2

3

4

300

)2ln2(

3

2ln4

)200(300

2ln2)200(

90000

2ln.600)200(600

rTer

eeer

TT

TTTq

Cuando:

3

4

10

15log

2

30015 2Tr

Se hallo el calor en calorías por segundo:

min1054

min

60

2ln

90000 5 cals

s

calq