Fórmulas de Combinatoria. Arvelo
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TABLA COMBINATORIA Por: Angel F. Arvelo Objetivo: Calcular el número total de maneras ordenadas, o desordenadas como pueden colocarse una colección de objetos Cm,n = Combinaciones de “m” en “n” = ( m n )= m! n! (m−n)! m = Número de elementos disponibles en la colección n = Número de elementos a seleccionar = Número de puestos disponibles para colocar a los elementos seleccionados Sin Repetición Con Repetición Sin distinción de orden ( m n ) ( m+n−1 n ) Con distinción de orden m! (m − n)! m n En el caso de que estas fórmulas se apliquen para calcular el número de puntos equiprobables que posee un espacio muestral, es importante hacer los siguientes comentarios: 1º) Si la selección es sin repetición, es indiferente considerar que la selección se hizo uno a uno (con orden), o si se hizo “todos a la vez” (sin orden), pues en este caso hay una relación de equivalencia, por cada arreglo desordenado existen n! ordenados, y por lo tanto, al hacer el cociente, de casos favorables entre posibles, para hallar la probabilidad, el n! se simplifica. 2º) Por el contrario, cuando la selección es con reemplazo, generalmente hay que distinguir orden, porque de no hacerlo, el espacio no resulta equiprobable. De allí que la fórmula ( m+n−1 n ) sea muy rara vez utilizada para calcular probabilidad por conteo, salvo en algunos casos excepcionales Cuando m=n, es decir cuando se seleccionan a todos los elementos, existe una única selección desordenada posible, que es la colección completa (censo); pero si se considera ordenada, esto equivale a colocar en una fila a todos los elementos. Estas diferentes filas se llaman PERMUTACIONES, y es necesario distinguir dos casos: Sin repetición: Todos los elementos de la colección son distintos entre sí Con repetición: Entre los m=n elementos, hay n1 que son del tipo 1, n2 son del tipo 2, …. ,nk son del tipo k, y obviamente: n1+n2+…..+nk = n Las fórmulas correspondientes son: Sin repetición Con Repetición n ! ( 1 , 2 ⋯, )= ! 1 ! 2 !⋯ ! Es importante aclarar que para el caso k=2; ( 1 , 2 )= ( 1 )=( 2 ) Sugerencia: Buscar ejercicios por Internet colocando: Análisis combinatorio. Arvelo, Guía de Probabilidad. Arvelo, o Sribd. Arvelo, y en la página web: www.arvelo.com.ve
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Contiene una tabla que contiene las diferentes fórmulas que se utilizan el conteo de casos ordenados o desordenados
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TABLA COMBINATORIA Por: Angel F. Arvelo
Objetivo: Calcular el nmero total de maneras ordenadas, o desordenadas como pueden colocarse una coleccin de objetos
Cm,n = Combinaciones de m en n = (mn
) =m!
n! (mn)!
m = Nmero de elementos disponibles en la coleccin n = Nmero de elementos a seleccionar = Nmero de puestos disponibles para colocar a los elementos seleccionados
Sin Repeticin Con Repeticin
Sin distincin de orden (mn
) (m + n 1
n)
Con distincin de orden m!
(m n)!
mn
En el caso de que estas frmulas se apliquen para calcular el nmero de puntos equiprobables que posee un espacio muestral, es importante hacer los siguientes comentarios: 1) Si la seleccin es sin repeticin, es indiferente considerar que la seleccin se hizo uno a uno (con orden), o si se hizo todos a la vez (sin orden), pues en este caso hay una relacin de equivalencia, por cada arreglo desordenado existen n! ordenados, y por lo tanto, al hacer el cociente, de casos favorables entre posibles, para hallar la probabilidad, el n! se simplifica. 2) Por el contrario, cuando la seleccin es con reemplazo, generalmente hay que distinguir orden,
porque de no hacerlo, el espacio no resulta equiprobable. De all que la frmula (m + n 1
n) sea
muy rara vez utilizada para calcular probabilidad por conteo, salvo en algunos casos excepcionales
Cuando m=n, es decir cuando se seleccionan a todos los elementos, existe una nica seleccin desordenada posible, que es la coleccin completa (censo); pero si se considera ordenada, esto equivale a colocar en una fila a todos los elementos. Estas diferentes filas se llaman PERMUTACIONES, y es necesario distinguir dos
casos: Sin repeticin: Todos los elementos de la coleccin son distintos entre s Con repeticin: Entre los m=n elementos, hay n1 que son del tipo 1, n2 son del tipo 2,.,nk son del tipo k, y obviamente: n1+n2+..+nk = n Las frmulas correspondientes son:
Sin repeticin Con Repeticin
n !
(
1, 2 , ) =
!
1! 2! !
Es importante aclarar que para el caso k=2; (
1, 2) = (
1
) = (2
)
Sugerencia: Buscar ejercicios por Internet colocando: Anlisis combinatorio. Arvelo, Gua de Probabilidad. Arvelo, o Sribd. Arvelo, y en la pgina web: www.arvelo.com.ve
http://www.arvelo.com.ve/
