Resumen Diseño Experimentos Arvelo

8/6/2019 Resumen Diseo Experimentos Arvelo

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Guia de Diseo de ExperimentosIng

oAngel Francisco Arvelo L.

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ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

Angel Francisco Arvelo Lujn es un Profesor Universitario Venezolano en el rea deProbabilidad y Estadstica, con ms de 40 aos de experiencia en las ms reconocidasuniversidades del rea metropolitana de Caracas.Universidad Catlica Andrs Bello : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposicin desde 1993 alpresenteUniversidad Simn Bolvar: Profesor desde 2005 al presenteUniversidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004

Sus datos personales son :Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947

Correo electrnico: [email protected]: 58 416 6357636

Estudios realizados:Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968Mster en Estadstica Matemtica CIENES, Universidad de Chile 1972Cursos de Especializacin en Estadstica No Paramtrica Universidad de Michigan 1982Doctorado en Gestin Tecnolgica: Universidad Politcnica de Madrid 2006 al Presente

El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniera Industrial de la Universidad

Catlica Andrs Bello (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa mismaUniversidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libroCapacidad de Procesos Industriales UCAB 1998.

En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el reade Estadstica General y Control Estadstico de Procesos.

Para mayor informacin sobre otras publicaciones del Prof. Arvelo, consulte la pgina web:www.arvelo.com.ve, en la seccin PDFS.
http://www.arvelo.com.ve/http://www.arvelo.com.ve/http://www.arvelo.com.ve/


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PROLOGO

El Diseo de Experimentos es una tcnica estadstica que comenz a desarrollarseaproximadamente en 1930, e inicialmente fue aplicada en la agricultura, con el objetivo deidentificar las mejores condiciones de terreno, fertilizante, tipo de semilla, clima, etc., que

permiten optimizar la cosecha de un determinado producto agrcola.Posteriormente fue aplicada en los procesos industriales, pues a travs de ella se puedenalcanzar objetivos muy importantes en su optimizacin, como por ejemplo:

Identificar los factores que realmente ejercen una influencia significativa en la calidaddel producto terminado.

Jerarquizar estos factores en orden de importancia.Identificar el punto ptimo de operacin del proceso

En efecto, un proceso industrial puede verse como una caja negra, en donde interactanunas variables de entrada con otras variables controlables y algunas incontrolables o ruidodel proceso, que dan como resultado un producto terminado con ciertas caractersticas decalidad.

Las variables de entrada son controlables y se refieren a las caractersticas de calidad de lasmaterias primas e insumos que ingresan al proceso, como son por ejemplo, la cantidad,concentracin, y tipo de las materias primas utilizadas, la proporcin con que estas materiasprimas alimentan al proceso, etc.Las variables del proceso tambin son controlables, pueden ser modificadas a voluntad delexperimentador, y colocadas en distintos estados o posiciones. As por ejemplo, elinvestigador puede decidir a qu temperatura va a operar un horno, cunto tiempo va apermanecer la pieza dentro de l, la velocidad de giro de una bandeja dentro del horno, etc.Las variables incontrolables o ruido representan aquellos factores que afectan al proceso ycuya accin escapa de la voluntad del experimentador, como por ejemplo, fluctuaciones enla intensidad de la corriente elctrica, fluctuaciones en las condiciones ambientales comotemperatura y humedad, cambios en el estado de nimo de los operarios, errores de lectura,etc.

Las variables de salida representan el valor de ciertas magnitudes cuantitativas que definenla calidad del producto terminado, como pueden ser por ejemplo, su dureza, su viscosidad,su resistencia a la compresin, etc.El objetivo del experimento es identificar el conjunto de variables controlables que ejercenuna influencia significativa en las variables de salida, para mantener un estricto controlsobre ellas, y tambin para decidir en qu estado deben ser fijadas para maximizar la calidaddel producto terminado, y el rendimiento del proceso.As por ejemplo, mediante la aplicacin de estas tcnicas se puede identificar cual es lamejor materia prima a utilizar, la mejor temperatura del proceso, el tiempo ptimo depermanencia de una pieza dentro del horno, etc.


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Diseo de experimentos : Definiciones ,Glosario y Supuestos

Un experimento estadstico es una secuencia de observaciones de una o ms variablescuantitativas, cuando otras variables cualitativas o cuantitativas que supuestamente las

afectan, llamadas variables de control o factores, son manipuladas o cambiadas por elexperimentador.

Variable de respuesta: Variable cuantitativa continua, objetivo del experimentoFactores: Variables controlables, cualitativas o cuantitativas. que pueden ser

manipuladas o colocadas en diferentes estados.Niveles del factor: Valores nominales que corresponden a los distintos estados en los

que puede encontrarse un factor.Los factores pueden ser principales o de bloqueo.Los factores principales son aquellos cuya influencia sobre las variables de respuesta

se quiere medir con el experimentoLos factores de bloqueo son aquellos factores secundarios, o de estorbo, que pueden

perturbar a las variables de respuesta, y que pueden ser fijados tambin en distintosniveles para medir su influencia.

Tratamiento: Cada una de las combinaciones de niveles de los distintos factoresprincipales

Unidad experimental: Objeto (persona o cosa) sobre la cual se va a realizar la medicinde las variables de respuesta, despus de aplicar un tratamiento dado.

Ensayo: Procedimiento realizado para obtener una observacinObservacin: Resultado de medir cada una de las variables de respuesta, bajo las

accin de uno de los tratamientos.Fuente de variacin: Cualquier factor planificado o no que pueda contribuir a explicar la

variabilidad en la respuesta.Variabilidad residual: Variabilidad debida a factores aleatorios o no planificados en el

experimento.Rplica: Repeticin del ensayo sobre una nueva unidad experimental que recibe el

mismo tratamiento que la anterior.

Disear el experimento consiste en seleccionar las variables y factores a considerar, paraluego planificar la forma cmo van a ser tomadas las observaciones, segn el arreglo previstoen el modelo seleccionado.

Etapas en el diseo de un experimento1. Definir los objetivos2. Especificar las medidas con las que se trabajar, el procedimiento de los ensayos y las

mediciones.3. Definir los factores a considerar y sus niveles4. Ejecutar un experimento piloto y evaluarlo.5. Seleccionar el tipo de diseo que ser aplicado en el experimento.6. Determinar tamao muestral y el nmero de rplicas

7. Obtener las observaciones segn el diseo seleccionado.8. Procesar la informacin, y obtener las conclusiones.


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Tipos de diseo y supuestosExisten muchas modelos para el diseo experimental.En esta gua slo se analizaran las siguientes:

Diseo completamente aleatorio: Considera un slo factor con k niveles, y las

observaciones se toman en un orden completamente aleatorio.Si el nmero de observaciones es igual para cada nivel, se dice que es un experimentobalanceado.Para aplicar este diseo, el experimentador debe considerar que las unidadesexperimentales son inicialmente homogneas, y que la variabilidad en las respuestas sedebe exclusivamente a que las unidades experimentales reciben diferentes tratamientos.Existen dos tipos de modelos completamente aleatorios:Modelo I: De efectos fijos, donde el investigador selecciona de antemano los k niveles delfactor.

El supuesto para este modelo es : Xij = + i + eijLos errores se suponen independiente y normalmente distribuidos con una varianza comn.

La hiptesis a probar es: o 1 2 k

1 i

0

0

H :

H : Algn

Modelo II: De efectos aleatorios, donde el investigador selecciona al azar los k niveles del

factor dentro de una poblacin de posibles niveles, y por lo tanto los i son variablesaleatorias.Este modelo adems de los supuestos anteriores, supone que cada efecto del factor, es

decir i ,es independiente del error, y que estos efectos siguen una distribucin normal con

media 0 y una varianza2

.

La hiptesis a probar es:

2

o

2

1

0

0

H :

H :

En esta gua slo se consideran modelos del tipo I

Diseo en bloques completos al azar: Considera un slo factor con k niveles, pero dadoque las unidades experimentales no son inicialmente homogneas, el investigador introduceantes de aplicar los tratamientos un factor de bloqueo, que clasifica a las unidadesexperimentales en grupos homogneos, llamados bloques.La palabra completo se debe a que en cada bloque se experimenta con todos los nivelesdel factor.La asignacin del nivel del factor que le corresponde a cada una de las unidades del bloquese hace aleatoriamente.

El supuesto del modelo establece: Xij = + i + j + eij , donde las diferentes j representan elefecto del bloque.

La hiptesis a probar es: o 1 2 k

1 i

0

0

H :

H : Algn

Diseo en cuadrado latino: Considera un slo factor con k niveles, pero con dos factoresde bloqueo.El nombre de cuadrado latino se deriva del hecho que el factor principal, y los dos debloqueo deben tener igual nmero de niveles, y de que las letras latinas representan losniveles del factor principal, mientas que las filas y columnas los niveles de los factores debloqueo.

El supuesto del modelo es : X ijl = + i + j + l+ eijl , donde las diferentes j y los lrepresentan el efecto de cada factor de bloqueo.


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Algunas frmulas tiles para simplificar los clculos son:

S.C.F =i k

2

i ii 1

n (X X) =2 2i ki.

i 1 i

X X

n N

S.T.C =

ij ni k2

iji 1 j 1

(X X) =

i j n 2i k2

iji 1 j 1

X

X N

S.C.E = S.T.C S.C.FLa notacin con punto como subndice significa que se ha totalizado sobre este subndice, y

as por ejemplo, X significa la suma total de todas observaciones; mientras quei.X

representa la suma de las observaciones en el nivel i.

Diseo en bloques completos al azar: En este caso las observaciones vienen dispuestosen una forma matricial de dimensin b x k , donde las filas representan los niveles del factorde bloqueo, y las columnas los niveles del factor principal; de manera que X ij representa elresultado de la observacin con el factor de bloqueo al nivel i , y el principal al nivel j.La tabla ANOVA para el caso de efectos fijos y una sola rplica es como sigue:

Fuente g.de l Suma de Cuadrados Cuadrado

Medio

F Signific.

FactorPrincipal k-1

j k2

.jj 1

b (X X) S.C.F

k 1

C.M.F

C.M.E Valor pF

Factor deBloqueo b-1

i b2

i.i 1

k (X X) S.C.B

b 1

C.M.B

C.M.E

Valor pB

Error (k-1) (b-1)ij ki b

2

ij i. .ji 1 j 1

(X X X X) S.C.E

(k 1)(b 1)

Total

j ki b2 2

iji 1 j 1

(X X)

Valor pF < por lo menos dos niveles del factor principal tienen diferente media.

Valor pB < por lo menos dos niveles del factor de bloqueo tienen diferente media.Para identificar los niveles del factor Principal que presentan diferencia significativa, se aplicael mtodo L.S.D , para las diferencias entre medias muestrales de todas las parejas deniveles .

En este caso: /2;(a 1)(b 1)

2C.M.E

bL.S.D = t


S.C.F =

j k2

.jj 1

b (X X) =2 2i k.j

i 1

X X

b bk

S.T.B=i b

2

i.i 1

k (X X) =2 2i ki

i 1

X X

k bk

S.T.C =ij ni k

2

iji 1 j 1

(X X) =i j n 2i k

2

iji 1 j 1

XX

bk

S.C.E = S.T.C S.C.F - S.C.B

Cuando se hacen varias rplicas para cada tratamiento, entonces existen variasobservaciones en cada celda, y es posible detectar la interaccin entre los dos factoresconsiderados.


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En este caso, el supuesto del modelo es Xijk = + i+ j+ ij + e ; donde j representa el efecto

del factor fila, j el del factor columna y ij la interaccin entre ellos, dando lugar a laformulacin de tres hiptesis nulas referidas a la influencia o no de cada uno de ellos.Cuando el nmero n de observaciones es el mismo en cada celda, la descomposicin de lasuma total de cuadrados resulta como sigue;

j k j k j k j ki b l n i b b i b l n

2 2 2 2 2. j, i.. ij. i.. ij.ijl .j. ijli 1 j 1 l 1 j 1 i 1 i 1 j 1 i 1 j 1 l 1

(X X) bn (X X) kn (X X) n (X X X X) (X X )

La primera sumatoriaj k

2.j,

j 1

bn ( X X) representa la contribucin del factor columna a la suma

total de cuadrados, la segundai b

2i..

i 1

kn ( X X) la del factor fila, la terceraj kb

2ij. i.. .j.

i 1 j 1

n (X X X X)

la de la interaccin, mientras que la ltimaj ki b l n

2ij.ijl

i 1 j 1 l 1

(X X ) es la residual, pues si los nicos

factores influyentes fueran fila y columna, entonces observaciones dentro de una mismacelda deberan ser idnticas.La tabla ANOVA para este diseo es:

Fuente g.de l Suma de Cuadrados Cuadrado

Medio

F Signific.

FactorPrincipal k-1

j k2

.j,

j 1

bn (X X) S.C.F

k 1

C.M.F

C.M.E Valor pF

Factor FilaBloqueo

b-1 i b2

i..

i 1

kn (X X) S.C.Fila

k 1

C.M.Fila

C.M.E

ValorpFila

Interaccin (k-1)(b-1)

j kb2

ij. i.. .j.i 1 j 1

n (X X X X) S.C.Interaccin

(k 1)(b 1)

C.M.I

C.M.E

Valor pinteraccin

Error k b (n-1)

j ki b l n2

ij.ijli 1 j 1 l 1

(X X ) S.C.E

(k 1)(k 2)

Total k b n - 1

j ki b l n2

ijli 1 j 1 l 1

(X X)

EJEMPLO: Un Ingeniero de Produccin est interesado en identificar el mejor entre tresprocedimientos para ensamblar una pieza, y para ello disea un experimento que consisteen seleccionar un grupo de operarios, y observar cuantas piezas puede ensamblar cada unoen su turno de trabajo.Dado que los operarios no tienen el mismo nivel de experiencia decide introducir este factorcomo bloqueo, y los clasifica en cuatro niveles, superior, buenos, medios y aprendices,seleccionando luego nueve operarios de cada categora, que luego divide al azar en tres

grupos de a tres, asignndole a cada grupo uno de los procedimiento del ensamblaje.Las observaciones resultaron:

Experiencia Procedimiento 1 Procedimiento 2 Procedimiento 3Superior 24 21 18 17 18 20 13 12 16

Buena 18 15 16 18 20 15 14 10 12Media 10 13 11 11 14 12 17 13 20

Aprendiz 10 5 12 6 9 13 11 10 9Solucin. Las hiptesis a probar son tres:

0 1.. 2.. 3.. 4.. i

1

H : 0 El factor fila no es influyenteI

H :Por lo menos dos son diferentes


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8

0 .1. .2. .3. j

1

H : 0 El factor columna no es influyenteII

H : Por lo menos dos son diferentes

0 ij

1 ij

H : No existe int eraccin 0 (i,j) i =1,2,3,4 ; j = 1,2,3III

H : Existe interaccin A lgn 0Para analizar el experimento es necesario comenzar calculando las medias de celdas, lasmedias de filas, las de columna y la gran media, tal como se muestra en la tabla acontinuacin:

Experiencia Procedimiento 1 Procedimiento 2 Procedimiento 3 Medias

Superior X 11.= 21 X 12..=18,33 X 13.= 13,67 X 1..=17,67Buena X 21.= 16,33 X 22.=17,67 X 23. = 12 X 2..= 15,33Media X 31.= 11,33 X 32.=12,33 X 33. = 16,67 X 3..= 13,44

Aprendiz X 41.= 9 X 42.=9,33 X 43. = 10 X 4..= 9,44Medias X .1.= 14,41 X .2.=14,41 X .3. = 13,09 X = 13,97

Una vez calculadas las diferentes medias, procedemos a calcular las sumas de cuadrados:S.T.C = (24-13,97)2 + (21-13,97)2 +..+ (9 - 13,97)2 = 654,97S.C. Filas =9 (17,674-13,97)

2+ (15,33 -13,97)

2+ (13,44-13,97)

2(9,44 - 13,97)

2=326,53

S.C. Columnas =12 (14,41-13,97)2

+ (14,41 -13,97)2

+ (13,09-13,97)2

= 14,22SCE = (24-21)

2+ (21-21

)2+ (18-21

)2+ (17 -18,33

)2+.+ (9 10)

2= 143,33

SCI = 654,97 326,53 14,22 143,33 = 170,89

Fuente g.de l Suma de Cuadrados CuadradoMedio

F p-valor.

Procedi -mientos

2 14,22 7,11 1,19 0,3215

Experiencia 3 326,53 108,84 18,23 2,21 10-6

Interaccin 6 170,89 28,48

4,77 0,0025

Error 24 143,33 5,97

Total 35 654,97

A un 1% de significancia, la hiptesis I resulta aceptada, mientras que la II y la III resultanrechazadas, de donde se concluye que no existe diferencia significativa entre los tresprocedimientos, pero si existe una cierta interaccin entre los factores, y una influencia muysignificativa de la experiencia del operario en el nmero de unidades producidas durante unturno de trabajo.Si se quisiera obtener por ejemplo, un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entrelas medias de produccin de un operario superior y un aprendiz, tendramos:

1.. 4..;bk(n 1)

1.. 4..2

1 1(X X ) t CME

n n= (17,67-9,44) 2,064

1 15,97

9 9

= 8,23 2,38, que al resultar todo del lado positivo, revela que efectivamente la

experiencia ocasiona un efecto muy significativo en la produccin.Diseo en cuadrado latino: En este caso las observaciones vienen dispuestos tambin enuna forma matricial cuadrada de dimensin k x k , donde las filas representan los niveles delprimer factor de bloqueo, las columnas los niveles del segundo factor de bloqueo y las letraslatinas los niveles del factor principal.

Cuadrado latino 3 x 3A B CC A BB C A

Cuadrado Latino 4 x 4A B C DD A B CC D A BB C D A

Cuadrado Latino 5 x 5A B C D EE A B C DD E A B CC D E A BB C D E A


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Para una misma dimensin existen muchos arreglos en forma de cuadrado latino, de hechoal permutar filas o columnas dentro de un cuadrado latino resulta otro cuadrado latino.Existen por ejemplo, 576 cuadrados latinos 4 x 4.Al disear el experimento debe sortearse al azar el cuadrado latino a elegir, as comotambin la fila, la columna y la letra latina que le corresponde a cada uno de los niveles.

Cada observacin se designa por X ijl; donde los subndices representan fila , columna yletra latina respectivamente.La tabla ANOVA para el caso de una sola rplica es como sigue:


F Signific.

FactorPrincipal k-1

l k2

ll 1

k (X X) S.C.F

k 1

C.M.F

C.M.E Valor pF

Factor FilaBloqueo

k-1 i k2

ii 1

k (X X) S.C.Fila

k 1

C.M.Fila

C.M.E

ValorpFila

FactorColumnaBloqueo

k-1

j k2

jj 1

k (X X) S.C.Columna

k 1

C.M.Columna

C.M.E

Valorpcolumna

Error (k-1) (k-2) S.T.C S.C.F- S.C.Fila -S.C.Columna

S.C.E

(k 1)(k 2)

Total k2

- 1

j ki k2

ij 2i 1 j 1

XX

k


S.C.F =l k

2

l

l 1

k (X X) =2 2l k

l

2

l 1

X X

k k

S.C. Fila =l k

2

il 1

k (X X) =2 2i ki

2i 1

X X

k k

S.C. Columna =

j k2

jj 1

k (X X) =2 2i kj

2i 1

X X

k k

Diseo en cuadrado grecolatino: En este caso las observaciones vienen dispuestostambin en una forma matricial cuadrada de dimensin k x k, donde las filas representan losniveles del primer factor de bloqueo, las columnas los niveles del segundo factor de bloqueo,las letras griegas los niveles del tercer factor de bloqueo, y las letras latinas los niveles delfactor principal.

Cuadrado greco latino 3 x 3A B C

C A B

B C A

Cuadrado greco latino 4 x 4A B C D

B A D C

C D A B

D C B A

Cuadrado grecolatino 5 x 5A B C D E

B C D E A

C D E A B

D E A B C

E A B C D

Cada observacin se designa por X ijlm; donde los subndices representan fila , columna yletra latina y letra griega respectivamente.La tabla ANOVA para el caso de una sola rplica es como sigue:


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F Signific.

FactorPrincipal k-1

l k2

ll 1

k (X X) S.C.F

k 1

C.M.F

C.M.E Valor

p Factor

Factor FilaBloqueo k-1

i k 2

ii 1

k (X X) S.C.Filak 1

C.M.FilaC.M.E

Valorp Fila

FactorColumnaBloqueo

k-1

j k2

jj 1

k (X X) S.C.Columna

k 1

C.M.Columna

C.M.E Valor

p columna

Factor L.griega

Bloqueok-1

m k2

mm 1

k (X X) S.C.Lgriega

k 1

C.M.Lgriega

C.M.E Valor

p letra griega

Error (k-1) (k-3) S.T.C S.C.F- S.C. Fila -S.C. Columna S,C L griega

S.C.E

(k 1)(k 3)

Total k2

- 1j ki k 2

ij 2i 1 j 1

XXk


S.C.F =l k

2

ll 1

k (X X) =2 2l k

l

2l 1

X X

k k

S.C. Fila =l k

2

il 1

k (X X) =2 2i ki

2i 1

X X

k k

S.C. Columna =

j k2

j

j 1

k (X X) =2 2i kj

2

i 1

X X

k k

S.C. Letra Griega =m k

2

mm 1

k (X X) =2 2m k

m

2m 1

X X

k k

EJEMPLO: Interesa saber si existe diferencia significativa entre las millas recorridas porgaln, entre las gasolinas A, B, C y D.Se consideraron los siguientes factores de bloqueo:Fila: Tipo de VehculoColumna: ConductorLetra Griega: Tipo de carreteraCon un arreglo en forma de cuadrado greco latino, el nmero de millas por galn result ser:

Conductor 1 Conductor 2 Conductor 3 Conductor 4

Vehculo 1 B 19 A 16 D 16 C 14

Vehculo 2 A 15 B 18 C 11 D 15

Vehculo 3 D 14 C 11 B 21 A 16

Vehculo 4 C 16 D 16 A 15 B 23

Analizar a un nivel de significacin del 5% si existe diferencia significativa entre los cuatrotipos de gasolina.SOLUCION: Se determinan los totales de fila, de columna, de letra latina y de letra griega:


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/2;(k 1)(k 3)

2C.M.E

kL.S.D = t =

2(6.00)3.18 5.51

4

La nica diferencia de medias que supera este L.S.D es B cX X = 7.25 > 5.51

Por lo tanto, la conclusin del experimento es que la gasolina B proporciona un nmero

promedio de millas por galn significativamente mayor que la C; y las restantescomparaciones no evidencian una diferencia significativa.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Cuatro operarios distintos 1,2,3 y 4, en cuatro mquinas I, II, III y IV reciben cuatromarcas diferentes A ,B, C y D de una materia prima, y se registra en cada caso el tiempoque tardan en elaborar una cierta pieza.

El experimento se disea con un arreglo en forma de cuadrado latino, y los resultadosobtenidos fueron:

Operario 1 Operario 2 Operario 3 Operario 4

Mquina I A : 7 B : 4 C : 5 D : 3Mquina II D : 6 A : 9 B : 4 C : 2

Mquina III C : 5 D : 1 A : 6 B : 1

Mquina IV B : 6 C : 3 D : 4 A : 10

A un nivel de significacin del 5%, obtenga conclusiones del experimento.Solucin:Fuente SS DF MS F p-valorMAQUINA 14.00 3 4.67 1.47 .313MATERIAL 56.50 3 18.83 5.95 .031OPERARIO 9.50 3 3.17 1.00 .455ERROR 19.00 6 3.17Total 99.00 15 6.60

2) Se ha tomado una muestra al azar de tres tipos de alambres de acero de alta tensin, y seha medido su resistencia a la traccin en cientos de libras, encontrndose los siguientesresultados:

Acero 1 Acero 2 Acero 329 36 2436 17 1837 19 2036 21 2436 26 2535 29 2839 27 3138 21 3440 32 3023 33 22

37 2116

A un nivel de significacin del 5%, analice si existe una diferencia significativa entre los trestipos de alambres, y recomiende el mejor tipo de alambreSolucin:


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3) Con cuatro tipos de cables T1,T2,T3 y T4 se fabrica cada vez usando uno slo de ellos

una pieza ,la cual es recubierta luego con uno de cuatro materiales diferentes M1, M2, M3 y

M4, . Cuatro operarios( A,B,C y D) ejecutan el ensamblaje usando cuatro mquinas distintas

( , , , ), y finalmente se mide la tensin a la ruptura de estas piezas, obteniendo losvalores que indica el cuadrado greco latino de la tabla a continuacin:

M1 M2 M3 M4

T1 A 164 B 181 C 193 D 160

T2 C 171 D 162 A 183 B 145

T3 D 198 C 212 B 207 A 188

T4 B 157 A 172 D 166 C 136

a) Obtenga las conclusiones del experimento.b) Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para la diferencia entre las resistencias mediasdadas por los materiales M1 y M3 .SolucinAnalysis of Variance for Resistencia

Source DF SS MS F PMaterial 3 2066.19 688.73 6.89 0.074Cable 3 4326.19 1442.06 14.44 0.027Operador 3 120.69 40.23 0.40 0.763

Maquina 3 66.69 22.23 0.22 0.876Error 3 299.69 99.90Total 15 6879.44

4) Se examinan tres marcas de automviles para averiguar su consumo de gasolina. Cadamarca de automvil es conducida por tres tipos diferentes de conductor, y se registra en cadacaso el nmero de millas por galn obtenidas. Los resultados se presentan a continuacin:

Conductor 1 Conductor 2 Conductor 3

Automvil 1 19 18 17

Automvil 2 21 22 20

Automvil 3 18 16 17

a) Existe diferencia significativa en el consumo de gasolina, obtenido por los tres tipos devehculos? .

b) Existe diferencia significativa en el consumo de gasolina, obtenido por los tres tipos deconductores? .Use un nivel de significacin del 5% en ambos casos.


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15

EXPERIMENTOS 2k

Este tipo de diseo considera k factores cada uno a dos niveles, que se denominan bajo ( -)y alto (+). Es un diseo completo, y recibe ese nombre porque 2

krepresentan el total de

tratamientos posibles.

El experimentador es quien define previamente estos dos niveles. En el caso de factorescuantitativos el nivel bajo corresponde obviamente a un menor valor y el nivel alto a unmayor valor; pero en el caso de factores cualitativos la seleccin del nivel bajo y del alto estotalmente arbitraria.El nmero de rplicas para cada tratamiento puede ser diferente, pero slo consideraremosel caso en que es igual para cada uno, representndolo por n.En consecuencia n2

kes el total de observaciones realizadas, las cuales deben ser tomadas

en un orden completamente aleatorio, que debe ser previamente sorteado.

NOMENCLATURA

Los factores a considerar se designan por letras latinas en mayscula, A, B, C etc.

La suma de las observaciones realizadas con todos los factores a nivel bajo sedesigna por (1)

La suma de las observaciones con un determinado tratamiento se designa con laletra minscula correspondiente a aquellos factores que estn a nivel alto.

As por ejemplo, un experimento 22

, considera 2 factores y existen cuatro posiblestratamientos que son: A

-con B

-, A

+con B

-, A

-con B

+y A

+con B

+. La suma de las n

observaciones correspondientes a cada tratamiento quedara representada por (1), a, b, abrespectivamente.

(1) =Total de observaciones con A- y B-

a = Total de observaciones con A+

y B-

b = Total de observaciones con A-y B

+

ab = Total de observaciones con A+

y B+

SUPUESTOSEl anlisis del experimento parte de un supuesto totalmente aditivo, que considera larespuesta frente a cada tratamiento como la suma entre una media general con unosefectos principales que representan la contribucin de cada factor, y unos efectossecundarios o interacciones que representan el efecto combinado entre los distintos nivelesde los factores, adems de considerar tambin un error aleatorio o ruido, que se suponenindependientes uno de los otros, normalmente distribuido con una media 0 y una varianza

comn2. Este ltimo supuesto tendr que ser posteriormente validado mediante el anlisis

de residuos.La metodologa para calcular cada uno de los efectos y las interacciones ser analizada acontinuacin.

EFECTOS PRINCIPALESSe define como efecto de un factor a la diferencia entre la media de ese factor a nivel alto ysu media a nivel bajo; es decir, el efecto de un factor representa la diferencia promedio en larespuesta cuando se pasa de nivel bajo a nivel alto.As por ejemplo, si tenemos unos bloque de arcilla, y su resistencia promedio cuando sepreparan a temperatura baja es de 30 Kg /cm

2y cuando se preparan a temperatura alta es

de 50 Kg/cm2; entonces podramos decir que el efecto de la temperatura es aumentar la

resistencia promedio de los bloques en 20 Kg/cm2


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16

En general; Efecto de un factor A = A AX X

En el experimento 22, A est a nivel alto en los vrtices de la derecha, y a nivel bajo en los

de la izquierda, por tanto Aa ab

X

2n

, mientras que A(1) b

X

2n

El divisor 2n se debe a que en cada vrtice hay n observaciones, y por tanto existen 2nobservaciones a nivel alto y 2n a nivel bajo.

Efecto de A =a ab (1) b

2n=

Contraste A

2n

La expresin del numerador se suele llamar el contraste para el efecto del factor.

Anlogamente Efecto de B =b ab (1) a

2n=

Contraste B

2n

INTERACCIONSe dice que entre un factor y otro no existe interaccin cuando el efecto de un factor no

depende del nivel en que se encuentre el otro.Ejemplo: Consideremos un experimento que consiste en preparar bloques de arcilla y luegomedir su resistencia. Supongamos que se consideran slo dos factores: Temperatura delHorno (A) y Tiempo de Horneado (B), cada uno a dos niveles, alto y bajo.Se realizan dos rplicas para cada tratamiento, y las mediciones fueron:

B-

B+

A-

24 28 31 37A

+42 46 54 58

Los totales de cada vrtice son:(1)= 24 +28 = 52; a = 42 + 46 = 88 ; b = 31 + 37 = 68 ; ab = 54 + 58 = 112

Efecto de A =88 112 52 68

4= 20

Ntese que este efecto del factor temperatura (A) no es el mismo en los dos niveles de B.Si el factor B hubiese estado a nivel bajo, el efecto de A hubiese sido:

42 46 24 28

2 2= 44-26 = 18

Mientras que si el factor B hubiese estado a nivel alto, el efecto de A sera:

54 58 31 37

2 2= 56 34 = 22

El efecto promedio de A es 20, pero no es el mismo en los dos niveles de B.Grficamente la situacin es la siguiente:

El efecto de incrementar la temperatura esincrementar la resistencia promedio en 18Kg/cm

2, si el tiempo se mantiene a nivel

bajo, o incrementarla en 22 Kg/cm2, si eltiempo se mantiene a nivel alto.El efecto de la temperatura depende delnivel en que se encuentre el otro factor, ypor tanto existe interaccin.Ntese que las dos rectas no resultanparalelas.

Cuando no existe interaccin estas dos rectas resultan paralelas, pues el efecto del factor Aes el mismo para cualquiera de los dos niveles del factor B.


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Se deja al lector que analice esta misma situacin, si los resultados del experimentohubiesen sido:

B-

B+

A-

24 28 43 49A

+32 40 55 57

Cuando las rectas son paralelas, es decir, cuando no existe interaccin, las dos diagonalesse cortan en sus puntos medios, y de all el promedio de sus dos vrtices debe ser coincidir.Los vrtices de la diagonal principal son (1) y ab, mientras que los de la diagonal secundariason a y b; de all que el efecto de la interaccin AB se calcule como

Efecto AB =(1) ab a b

2n=

Contraste AB

2n

TABLA DE SIGNOS PARA LOS CONTRASTESCon el objeto de facilitar los signos que corresponden a cada contraste, existen tablas quesealan el signo de cada vrtice en los diferentes contrastes, y para cada dimensin delexperimento.Para el experimento 2

2la tabla es la siguiente:

Vrtice Contraste A Contraste B Contraste AB(1)

- - +

a+ - -

b- + -

ab+ + +

Para el experimento 23

CONTRASTE

Vrtice A B C AB AC BC ABC(1)

- - - + + + -

a+ - - - - + +

b - + - - + - +

c- - + + - - +

ab+ + - + - - -

ac+ - + - + - -

bc- + + - - + -

abc+ + + + + + +

Para experimentos de mayor dimensin, consulte Diseo y Anlisis de Experimentos delautor Douglas Montgomery.Es importante destacar que en el experimento 2

3, los diferentes tratamientos pueden ser

representados como los vrtices de un cubo.

La frmula general para calcular un efecto es: Efecto =k 1

Contrasten 2

TABLA ANOVAAL igual que en los dems experimentos, la tabla ANOVA para uno 2

k, va a presentar tantas

fuentes de variacin como efectos tenga, adems de una variabilidad residual querepresenta el error del modelo.Como cada efecto tiene slo dos niveles, los grados de libertad resultan ser 1 para cadaefecto; mientras que para el error son 2

k(n-1)


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18

La suma de cuadrados para cada efecto se calcula por la frmula:

2

k

(Contraste)

n 2

mientras que la suma de cuadrados residual por diferencia de la suma total de cuadrados.

SUPERFICIE DE RESPUESTAEn un experimento 22, cada tratamiento puede ser representado tal como vimos, por cadauno de los vrtices de un cuadrado contenido en el plano XY; mientras que la respuestacomo una recta vertical para al eje Z.El experimento quedara representado grficamente como una nube de punto en el espacio

tridimensional3, tal como se indica en la figura.

La superficie que mejor se ajusta a esta nube de puntos se conoce como superficie derespuesta, y representa el techo del cuadrado definido por el dominio de experimentacin.Obviamente, en el caso de experimentos 2

3o de mayor dimensin, no es posible graficar

esta superficie de respuesta.La ecuacin de la superficie de respuesta puede ser obtenida de la siguiente manera:1) Se definen k variables X1,X2

,..Xk que representan a los k factores considerados en el

experimento.2) Cada variable puede tomar slo dos valores, -1 si el factor que representa est a nivelbajo, o +1 si esta a nivel alto.3) Se define un modelo un modelo de regresin mltiple de ecuacin:

Y = 0 + 1X1 + 2X2++ kXk+ 12X1X2++ 13X1X3+.++ 12..k X1X2

Xk + eDonde Y representa a la respuesta del experimento.4) La aplicacin del mtodo de mnimos cuadrados sobre este modelo, conduce a que los

estimadores de los coeficientes Beta son:0

Y = Gran Media iEfecto i

2

Para aquellos betas con un solo subndice, el efecto corresponde al de su factor principal;mientras que aquellos betas con varios subndices, el efecto es el de su correspondienteinteraccin.Los beta correspondientes a efectos no significativos pueden ser eliminados de la ecuacin

de la superficie de respuesta, pues para ellos, la hiptesis Ho: i= 0 resulta aceptada.Cuando no existen interacciones el modelo resulta lineal, y en el caso de experimento 2

2, la

superficie de respuesta es un plano. En este caso, tanto el punto de mxima respuesta,como el de mnima respuesta estn en uno de los vrtices.

ANALISIS DE RESIDUOSUna vez obtenida la ecuacin de la superficie de respuesta, es necesario validar los tressupuestos bsicos del modelo, normalidad de los errores, varianza comn(homocedasticidad), e independencia entre los errores.En este resumen slo abordaremos el primero de ellos.El error o residuo para cada punto es la diferencia entre la respuesta realmente observada y

la pronosticada por la superficie de respuesta, es decir ei = Yi - iY , donde iY es el valor que

resulta de sustituir en su ecuacin cada Xi por -1 +1 segn corresponda al vrtice para elcual estamos realizando el pronstico.


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19

Una vez obtenidos todos los errores, estos deben ser llevados al papel probabilstico paraverificar su normalidad.

EJEMPLOS RESUELTOS

1) Un experimento consiste en analizar el efecto del tamao de la broca (factor A) y de lavelocidad (factor B) sobre la vibracin de una ranuradora (respuesta Y).Para ello se decide utilizar un experimento factorial 2

2, con cuatro replicas para cada

tratamiento, lo que da un total de 4 x 22

= 16 observaciones..El tamao de la broca se fija en dos niveles: 1/16 (Bajo) y 1/8 ( Alto) de pulgada, mientrasque la velocidad en 40 rps (Bajo) y 80 rps (Alto) .Antes de tomar las 16 observaciones es necesario definir el orden en que van a sertomadas, para lo cual es necesario repartir aleatoriamente los nmeros del 1 al 16 entre los4 tratamientos.Supongamos que el resultado de esta asignacin fue:Broca Velocidad Orden

1 / 16 40 5 8 13 141 / 8 40 1 6 10 12

1 / 16 90 3 7 11 151 / 8 90 2 4 9 16

Una vez definido el orden, se procede a tomar las observaciones, y se obtiene:

A : Broca B : Velocidad Vibracin Totales1 / 16 - 40 - 18.2 18.9 12.9 14.4 64.4 = (1)

1 / 8 + 40 - 27.2 24.0 22.4 22.5 96.1 = a1 / 16 - 90 + 15.9 14.5 15.1 14.2 59.7 = b1 / 8 + 90 + 41.0 43.9 36.3 39.9 161.1 = ab

Fuente: Anlisis y Diseo de Experimentos Cap. VI Pag. 207Pulido & De la VaraEditorial Mac. Graw Hill , Mexico 2003

Clculo de los efectos:

k 1

Contraste A a ab b (1) 133.10A

4 (2) 8n 2= 16,64

k 1

Contraste B b ab a (1) 60,30B

4 (2) 8n 2= 7,54

k 1

Contraste AB ab (1) a b 69,70AB

4 (2) 8n 2= 8,71

Clculo de las sumas de cuadrados.2 2

k

(Contraste A) (133.10)SCA

4 (4)n 2= 1.107,23

2 2

k

(Contraste B) (60,30)SCB

4 (4)n 2= 227,26

2 2

k

(Contraste AB) (69,70)SCAB

4 (4)n 2= 303,63

j 2i 2 m n

ijmj 2i 2 m ni 1 j 1 m 12

ijm ki 1 j 1 m 1

Y

S.T.C Yn 2

= 1.709,83


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20

La tabla ANOVA es en consecuencia:

FuentesSuma de

CuadradosGrados de

libertadCuadrado

Medio F p- valorA: Broca 1.107,23 1 1.107,23 185,16 0,0000

B: Velocidad 227,26 1 227,26 38,00 0,0000AB : Interaccin 303,63 1 303,63 50,77 0,0000

Error 71,71 12 5,98Total 1.709,83 15

De la tabla ANOVA se deduce que las tres fuentes de variacin resultan altamentesignificativas, siendo el ms influyente el factor A (Broca) por tener una mayor suma decuadrados.Anlisis de ResiduosPara ello se utiliza un modelo de regresin de la forma:

Y = 0 + 1 X1 + 2 X2 + 3 X1 X2 + eEn donde X1 y X2 representan a los factores principales A y B, mientras que X1 X2 a lainteraccin AB.En caso de que alguno de los factores no fuera significativo por la Tabla ANOVA, su

correspondiente = 0, y puede ser eliminado del modelo de regresin.Como los niveles de cada factor son cualitativos (alto y bajo) , y en la regresin se necesitanvalores cuantitativos, es necesario hacer una codificacin que consiste en asignarle a cadavariable X el valor-1 si su respectivo factor est a nivel bajo, o el valor +1 , si se encuentraa nivel alto.Bajo esta codificacin, puede demostrarse que los estimadores de los coeficientes de laregresin resultan ser:

0 Y = Gran Media ; i

Efecto de i

2

Para el ejemplo se obtiene:0

Y = 23,83, 1 8,32 2 3,77 3 4,35

y el modelo regresin : Y = 23,83 + 8,32 X1 + 3,77 X2 + 4,35 X1 X2 + eLos 16 residuos se obtiene por diferencia: e = observado estimado

El valor estimado se obtiene al sustituir X1 por -1 +1 y X2 por -1 +1 segn elfactor est a nivel bajo o alto respectivamente.Por ejemplo el valor estimado para el vrtice a, corresponde a X1 = +1 y X2 = -1 ,

dando por resultado:a

Y 24,03 por lo que los 4 residuos correspondientes a ese

vrtice son: 27,20 24,03 = 3,17 ; 24,0 24,03 = - 0,03 ; 22,4 24,03 = -1,63 y22,5 24,03 = -1,53 .Los 16 residuos son:Yi Estimado ei Yi Estimado ei Yi Estimado ei Yi Estimado ei

18,20 16,09 2,11 27,2 24,03 3,17 15,9 14,93 0,97 41 40,27 0,7318,90 16,09 2,81 24 24,03 -0,03 14,5 14,93 -0,43 43,9 40,27 3,63

12,90 16,09 -3,19 22,4 24,03 -1,63 15,1 14,93 0,17 36,3 40,27 -3,97

14,40 16,09 -1,69 22,5 24,03 -1,53 14,2 14,93 -0,73 39,9 40,27 -0,37

Al llevarlos al papel probabilstico se obtiene:


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21

Coeficiente de determinacinSe usa para medir la precisin del modelo, y puede ser calculado mediante laexpresin:

2 STC SCE 1.709,83 71,71RSTC 1.709,83

0,9581 95,81 %

Conclusiones:

La precisin del modelo es bastante satisfactoria R2 = 0,9581Ambos factores son ampliamente significativos, y ambos ejercen unainfluencia positiva en la respuesta del experimento.Existe una fuerte interaccin entre ellos, que refuerza positivamente laaccin individual de cada uno. El efecto de esta interaccin es msimportante que la del factor B individualmente.Si se quiere disminuir la vibracin de la ranuradora, la posicin ptima es con los dosfactores a nivel bajo.

El supuesto de normalidad del error es razonablemente vlido.

2) La duracin de un resorte se mide en nmero de compresiones hasta la rotura.Se quiere analizar la influencia de tres factores en su duracin: Longitud (A) con dos niveles10 cm y 15 cm, Grosor (B) con dos niveles 5 mm y 7 mm, y tipo de acero (C) con dos nivelesde contenido de carbono 0.04 % y 0.06 %.Un experimento 2

3con dos rplicas arroj el siguiente resultado:

Tratamiento A+

B-C

+A

+B

+C

+A

-B

-C

+A

-B

+C

+A

+B

-C

-A

-B

-C

-A

+B

+C

-A

-B

+C

-

Duracin 82 86 92 88 63 65 72 74 98 96 77 81 90 94 76 74

Obtenga la tabla ANOVA correspondiente al experimento, halle los efectos de cada factor, yobtenga sus conclusiones

Solucin: Comencemos por identificar los diferentes vrtices, para luego hallar sus totales.

(1)= 77+81 = 158 a=98+96= 194 b=76+74= 150 c= 63+65= 128ab= 90+94 = 184 ac= 82 + 86 = 168 bc = 72 + 74 = 146 abc = 92 + 88 = 180

Calculemos ahora las sumas de cuadrados:

SSA=2

k

(Contraste A)

n 2=

2

3

(194 184 168 180 158 150 128 146)

2 2= 1296

SSB=2

k

(Contraste B)

n 2=

2

3

(150 184 146 180 158 194 128 168)

2 2= 9

SSC=2

k

(Contraste C)

n 2=

2

3

(128 168 146 180 158 194 150 184)

2 2= 256

Normal P-P Plot of RESIDUOS

Observed Cum Prob

1,00,75,50,250,00

1,00

,75

,50

,25

0,00


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22

SSAB=2

k

(Contraste AB)

n 2=

2

3

(158 128 184 180 194 150 168 146)

2 2= 4

SSAC=2

k

(Contraste AC)

n 2

=2

3

(158 150 168 180 194 128 184 146)

2 2

= 1

SSBC=2

k

(Contraste BC)

n 2=

2

3

(158 194 146 180 150 128 184 168)

2 2= 144

SSABC=2

k

(Contraste ABC)

n 2=

2

3

(194 150 128 180 158 184 168 146)

2 2= 1

STC = 1751 SCE = 1751- 1296- 9- 256- 4- 1- 144- 1= 40

La tabla ANOVA resulta entonces:Fuentes deVariacin

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

Cuadrado Medio Razn F

A 1296 1 1296 259,20 > 5,52

B 9 1 9 1,80C 256 1 256 51,20 > 5,52AB 4 1 4 0,80AC 1 1 1 0,20BC 144 1 144 28,80 > 5,52

ABC 1 1 1 0,20Residual 40 8 5

Total 1751 15

El valor crtico de la distribucin F para 5% de significancia es F0.05; 1, 8 = 5,52 de donde seconcluye que los factores influyentes en orden de importancia son: A , C y la interaccin BC

Para hallar los efectos se debe tomar en cuenta nuevamente la tabla de signos para los

contrastes, y aplicar: Efecto = k 1Contrasten 2 As por ejemplo

A=k 1

(Contraste A)

n 2=

3 1

194 184 168 180 158 150 128 146

2 2= 18

(1) a b ab c ac bc abc

BC8

= 6

La tabla de efectos queda entonces:Factor A B C AB AC BC ABC

Efecto 18 1,5 -8 -1 0,5 6 -0,5

El intervalo de confianza para el efecto de un factor se halla aplicando la expresin;

Efecto Muestral k 2

2

1t C.M.R

n2

Para 95 % de confianza, el coeficiente de la t-Student es : t0,05,8 = 2,306

Para el Factor A , el intervalo del 95% de confianza es: 18 2,3061

54

=

18,00 2,58

Observe que el 2,58 que representa la estimacin de la desviacin estndar del error,define el radio del intervalo de confianza para todos los efectos, y que al restarlo y sumarlo a


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23

cada efecto, el cero queda contenido en todos ellos, a excepcin de los factores A , C y BC,que resultaron ser los nicos significativos, segn la tabla ANOVA.El efecto de A es positivo es decir que incrementa la respuesta, el de C negativo es decirque la disminuye, y el de BC tambin positivo.La ecuacin de la superficie de respuesta es en general:

Y = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X1X2 + 5X1X3 + 6X2 X3 + 7X1 X2 X3 + eEn donde 0 = Y , y

Efecto i =i 2

, y se obtiene

La tabla de coeficientes queda entonces:

Coeficiente 0 1 2 3 4 5 6 7Valor 81,75 9 0,75 -4 -0,5 0,25 3 -0,25

El coeficiente R2 correspondiente es:1751 402

R1751

= 0,9772

Dado que los nicos factores significativos resultaron ser A, C y BC, la ecuacin de lasuperficie de respuesta se reduce a Y = 81,75 + 9X1 - 4X3 + 3 X2 X3 + eEntre las conclusiones ms importantes del experimento podemos citar las siguientes:

El factor ms influyente es el factor A, y le sigue en importancia el C

El factor A ejerce una influencia positiva en la respuesta, mientras que el C unanegativa.

La accin del factor A no presenta interaccin significativa con ninguno de los otros.

El factor B no resulta significativo, pero su interaccin con el C s lo es, y de manerapositiva, de donde podramos decir que el factor B refuerza la accin del C y es unfactor coadyuvante para C.

El modelo es bastante preciso, con un coeficiente de determinacin de 0,9772

Para encontrar dentro del dominio de experimentacin, el punto de mxima respuesta, esdecir el tratamiento que maximiza la duracin del resorte, encontramos que este se alcanzaen X1 = 1, X3 = -1 y X2 = -1, es decir con longitud alta, grosor bajo y acero bajo, con unaduracin esperada de Y = 81,75 + 9 + 4 + 3 = 97,75

En cuanto al anlisis de residuos, es necesario primero calcular el valor estimado de cadauna de las respuestas obtenidas en el experimento sustituyendo las coordenadas -1 +o +1del vrtice, dentro de la ecuacin ya simplificada de la superficie de respuesta.

Y Estimado Error Y Estimado Error

77 79,75 -2,75 90 91,75 -1,75

81 79,75 1,25 94 91,75 2,25

98 97,75 0,25 82 83,75 -1,75

96 97,75 -1,75 86 83,75 2,25

76 73,75 2,25 72 71,75 0,25

74 73,75 0,25 74 71,75 2,25

63 65,75 -2,75 92 89,75 2,25

65 65,75 -0,75 88 89,75 -1,75


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24

En virtud de que los errores quedan razonablemente alineados, es aceptable su normalidad.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) En la preparacin del concreto intervienen diversos factores, como son por ejemplo, eltipo de arena y la relacin agua cemento.Para analizar la influencia de estos dos factores en la resistencia del concreto, medida enKg/cm

2, se consideran dos niveles para el tipo de arena A, de grano fino (-) y de grano

grueso (+), y dos niveles bajo (-) y alto (+) para la relacin agua cemento B.Se realizan tres rplicas para cada tratamiento, y se mide en cada caso la resistencia delconcreto obtenido. Los resultados fueron

B-

B+

A- 210 208 204 215 220 216

A+ 219 225 223 225 224 230

1)Obtenga la tabla ANOVA para este experimento, por dos procedimientos diferentes:Como un experimento con dos factores y tres observaciones por celda.

Como un experimento 22

con tres observaciones en cada vrtice.2) Obtenga un intervalo del 95% de confianza para cada uno de los efectos.3) Cules son sus conclusiones acerca del experimento?4) Cul tratamiento recomendara Ud. para obtener una mezcla de concreto msresistente?Solucin;

Fuentes S.S G.L C.M FArena 444,0807 1 444,0807 49,32 > 5,32

Agua Cemento 140,0861 1 140,0861 15,57 > 5,32Interaccin 24,0832 1 24,0832 2,68 < 5,32

Error 72,0000 8 9,00

Total 680,25 11

Efectos : A 12,17 3,99 B: 6,83 3,99 AB -2,83 3,99

2) Un ingeniero est interesado en el efecto de la velocidad de corte (A), la dureza del metal(B), y el ngulo de corte (C) sobre la duracin de una herramienta de corte. Para ello seeligen dos niveles para cada factor, y se corren dos replicas del diseo factorial 2

3. La tabla

siguiente presenta los datos de tiempo de duracin (en horas) de la herramientaTratamiento A

+B

-C

+A

+B

+C

+A

-B

-C

+A

-B

+C

+A

+B

-C

-A

-B

-C

-A

+B

+C

-A

-B

+C

-

Duracin 406377

392419

440453

605500

325435

221311

552472

354348

Normal P-P Plot of RESIDUOS

Observed Cum Prob

1,00,75,50,250,00

1,00

,75

,50

,25

0,00


25/26



25

Estos datos fueron procesados con un programa estadstico, y se obtuvo una tabla de efectos, y una tabla ANOVA

FACTORES A B C AB AC BC ABC

EFECTOS 18,25 ? 71,75 -11,25 ? -24,25 -34,75

Fuentes S.S G.L C.M FA ? ? 1332,25 ?

B ? ? ? ?

C 20592,25 ? ? ?

AB 506,25 ? ? ?

AC ? ? ? ?

BC 2352,25 ? ? ?

ABC 4830,25 ? ? ?

Residual ? ? ?

Total 134587,75 ?a) Calcule el efecto del factor B y de la interaccin ACb) Calcule la suma de cuadrados correspondiente al factor B y a la interaccin AC, y utilcelaspara completar la tabla ANOVAc) Redacte un informe con sus conclusiones, sealando la precisin del modelo, identificandolos factores que ejercen una influencia significativa en la duracin de la herramienta, yclasificndolos en orden de importanciac) Obtenga un intervalo del 95% de confianza para el efecto del factor ms influyente.d) Cul es el tratamiento que proporciona la mxima duracin de la herramienta?e) Calcule los residuos correspondientes al tratamiento A

+B

-C

+

Solucin:TABLA DE EFECTOS:

FACTORES A B C AB AC BC ABC

EFECTOS 18,25 84,25 71,75 -11,25 -119,25 -24,25 -34,75

TABLA ANOVA

Fuentes S.S G.L C.M F

A 1332,25 1 1332,25 0,54

B 28392,25 1 28392,25 11,53

C 20592,25 1 20592,25 8,36

AB 506,25 1 506,25 0,21

AC 56882,25 1 56882,25 23,10

BC 2352,25 1 2352,25 0,96

ABC 4830,25 1 4830,25 1,96

Residual 19700 8 2462,5

Total 134587,75 15

TABLA DE COEFICIENTES BETACoeficiente 0 1 2 3 12 13 23

Valor 413,125 9,125 42,125 35,875 -5,625 -59,625 -12,125 -17

Residuos: 14,50

3) Investigar el uso de algn software estadstico, como por ejemplo MINITAB o SPSS, en elanlisis de experimentos, y utilizarlo en el siguiente experimento 2

4

El Ingeniero responsable del proceso de produccin de un cierto alimento, considera queexisten 4 factores que afectan el nmero diario de kilos producidosA su juicio, estos factores son:T: Temperatura: Dos niveles (-) 160

oC y (+) 180

oC


26/26



26

C: Concentracin de un ingrediente: Dos niveles (-) 20% y (+) 40%K: Uso de un catalizador: Dos niveles (-) sin y (+) conP: Presin Dos niveles (-) 50 psi y (+) 80 psiPara analizar la influencia de cada uno de estos factores disea un experimento queconsiste en ir cambiando cada da los niveles de cada factor, y observar el nmero de kilos

del alimento, producidos ese da.El experimento va a tener una duracin de 32 das y previamente mediante un sorteoaleatorio se decide cual combinacin de los factores va a ser aplicado ese da.Al cabo de esos 32 das se obtuvieron los siguientes resultados;

Factor T Factor C Factor K Factor P Da1 Da 2-1 -1 -1 -1 60 64

+1 -1 -1 -1 72 70-1 +1 -1 -1 54 55

+1 +1 -1 -1 73 79-1 -1 +1 -1 78 70+1 -1 +1 -1 84 82

-1 +1 +1 -1 79 78+1 +1 +1 -1 79 81

-1 -1 -1 +1 57 55+1 -1 -1 +1 66 64-1 +1 -1 +1 74 73

+1 +1 -1 +1 63 66-1 -1 +1 +1 86 82

+1 -1 +1 +1 66 67-1 +1 +1 +1 84 86

+1 +1 +1 +1 75 73

Obtenga la tabla ANOVA

Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para cada uno de los efectos ylas interacciones.

Obtenga la ecuacin de la superficie de respuesta, analice los residuosmediante el uso del papel probabilistico, y verifique la validez de lossupuestos del modelo.

Cul es a su juicio, el punto ptimo de operacin?

Elabore un informe con sus conclusiones acerca del experimento

Resumen Diseño Experimentos Arvelo

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