Formulas EPE Tablas 201102

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Fórmulas y Tablas Estadísticas 29/08/2011-2 1

EPE 2011-2

ALUMNO ------------------------------------------ --------------------------------------------------------------

MATERIAL PARA LOS CURSOS DE ESTADÍSTICA DE EPE DE L A UPC



FÓRMULAS ESTADÍSTICAS

MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Resumen Muestra Población

Promedio o media

n

x

x

n

1ii∑

== n

xf

x

k

1iii∑

==

datos agrupados n

xf

x

k

1i

'ii∑

==

datos agrupados con intervalos N

xN

1ii∑

==µ N

xfk

1iii∑

==µ N

xfk

1i

'ii∑

==µ

Promedio ponderado

∑

∑

=

==k

1ii

k

1iii

w

w

xw

x

∑

∑

=

==µk

1ii

k

1iii

w

w

xw

Promedio geométrico

nn321 f...f.f.fMG =

Factor de variación :1i

ii x

xf

−

=

Tasa de variación: i i = (fi – 1) . 100% Tasa de variación promedio : ip = (fp – 1) . 100%

NN321 f...f.f.fMG =

Factor de variación :1i

ii x

xf

−

=

Tasa de variación: i i = (fi – 1) . 100% Tasa de variación promedio : ip = (fp – 1) . 100%

Mediana

−+= −1meme

me F2

n

f

wLMe ( )15,0 −−+= me

meme H

h

wLMe

−+= −12 meme

me FN

f

wLMe ( )15,0 −−+= me

meme H

h

wLMe

Moda w

dd

dLMo

21

1mo

++= donde 1ii21ii1 ffd,ffd +− −=−= w

dd

dLMo

21

1mo

++= donde: 1ii21ii1 ffd,ffd +− −=−=

Varianza

1n

)xx(

S

2n

1ii

2

−

−=∑

=

1n

)xx(f

S

2k

1iii

2

−

−=∑

=

datos agrupados 1n

)xx(f

s

2k

1i

'ii

2

−

−=∑

=

datos agrupados con intervalos N

)x( 2N

1ii

2

∑=

µ−=σ

N

)x(f 2k

1iii

2

∑=

µ−=σ

N

)x(f 2k

1i

'ii

2

∑=

µ−

=σ



Resumen Muestra Población Desviación estándar

1n

)xx(

s

2n

1ii

−

−

=∑

=

1n

)xx(f

s

2k

1iii

−

−=∑

=

1n

)xx(f

s

2k

1i

'ii

−

−=∑

=

N

)x( 2N

1ii∑

=

µ−

=σ N

)x(f 2k

1iii∑

=

µ−

=σ N

)x(f 2k

1i

'ii∑

=

µ−

=σ

Coeficiente de variación %100x

x

sCV

=

%100xCV

µσ=

Percentiles

−+= −1ii

ik F100

k.n

f

wLP

−+= −1ii

ik F100

k.N

f

wLP

Sturges nk 10log322.31+=

REGLAS DE CONTEO TEORÍA DE PROBABILIDAD Permutaciones con repetición

nk

φ≡∩+=∪∩−+=∪

)BA(),B(P)A(P)BA(P

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

Probabilidad total )A/E(P)A(P...)A/E(P)A(P KK11 ++

Permutaciones )1)(2)....(2n)(1n(!n −−= Teorema de Bayes

k,...,2,1i

)A/E(P)A(P...)A/E(P)A(P

)A/E(P)A(P)E/A(P

KK11

iii

=++

=

Variaciones

)!kn(

!nVn

k −=

Leyes de Morgan

])'BA[(P)'B'A(P

])'BA[(P)'B'A(P

∪=∩∩=∪

Combinaciones

)!kn(!k

!nCn

k −=

Probabilidad condicional

0)B(P,)B(P

)BA(P)B|A(P ≠∩=

Eventos independientes

)B(P).A(P)BA(P

)A(P)B|A(P

=∩=



VARIABLE ALEATORIA Esperado

i

n

1iix px)X(E ∑

=

==µ ∫+∞

∞−

==µ dx)x(f.x)X(E ix

Si X1, X2, X3, . . . , Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . . , an son n constantes, entonces:

∑∑==

=

n

1iii

n

1iii )X(E.aXaE

Varianza 2

xi

n

1ii

2x )x(f)X(V µ−==σ ∑

=

[ ]222x )X(E)X(E)X(V −==σ

∫+∞

∞−

µ−==σ dx)x(f.)x()X(V 2xi

2x

[ ]222x )X(E)X(E)X(V −==σ

Si X1, X2, X3, . . . , Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . . , an son n constantes, entonces:

∑==

=

∑

n

1ii

2i

n

1iii )X(V.aXaV

DISTRIBUCIONES IMPORTANTES

Bernoulli )p,1(B~X 1,0x)p1(p)xX(P x1x =−== − p)X(E = )p1(p)X(V −=

Binomial )p,n(B~X n,,...1,0x)p1(pC)xX(P xnxnx =−== − np)X(E = )p1(np)X(V −=

Hipergeométrica )n,r,N(H~X )n,rmin(,,...1,0xC

CC)xX(P

Nn

rNxn

rx ===

−−

=N

rn)X(E

−−

−

=1

1)(N

nN

N

r

N

rnXV

Poisson )(P~X λ ...,2,1,0x!x

.e)xX(P

x

=λ==λ−

λ=)X(E λ=)X(V

Geométrica )p(G~X ...,3,2,1x)p1(p)xX(P 1x =−== − p

1)X(E =

2p

p1)X(V

−=

Pascal ),(~ pkBNX ...,2,1,)1()( 11 ++=−== −−

− kkkxppCxXP kxkxk

p

kXE =)(

( )2

1)(

p

pkXV

−=

Normal ),(~ 2σµNX ∞<<∞−σπ

=

σµ−

−x,e

2

1)x(f

2x

2

1

µ=)X(E 2)X(V σ=

Uniforme [ ]b,aU~X bxa,ab

1)x(f ≤≤

−=

2

)ba()X(E

+= 12

)ab()X(V

2−=



Gamma )/1,(Ga~X βα

0,)(

1)( 1 >

Γ=

−− xexxf

x

βαα αβ

,cuando ∝> 0

,β>0

0,dxex)(0

x1 >α=αΓ ∫∞

−−α )!1n()n( −=Γ

αβ=)X(E 2)X(V αβ=

Exponencial )/1(E~X β 0x,e

1)x(f

x

>β

= β−

, donde β>0

Función acumulada: β−

−=x

e1)x(F

β=)X(E 2)X(V β=

Weibull ),(W~X βα 0,0,0x,ex)x(f

x

1 >β>α≥βα= β

−−α

α

Función acumulada: β−

α

−=x

e1)x(F

α+αΓβ= α 1

)X(E1

α+αΓ−

α+αΓβ= α

22 22)X(V

Propiedad reproductiva de la normal.

),(N~Ycyc,n,...,2,1i),(N~xdonde,xcYSi 2yy

2i

n

1i

2i

2yi

n

1iiy

2iiii

n

1ii σµ→σ=σµ=µ=σµ= ∑∑∑

===

DISTRIBUCIONES MUESTRALES Estimador Media Varianza Distribución

n

2σ

−−σ

1N

nN

n

2

)1,0(N~n/

xz

_

σµ−= )1,0(N~

1N

nN

n

xz

_

−−σ

µ−=

X µ

n

s2

−−

1N

nN

n

s2

)1n(

_

t~n/s

xt −

µ−= )1n(

_

t~

1N

nN

n

s

xt −

−−

µ−=



2s 2σ 2)1n(2

22 X~

S)1n(−σ

−=χ

p p n

pq

p1q −=

−−

1N

nN

n

pq

)1,0(N~

n

pq

ppz

−= )1,0(N~

1N

nN

n

pq

ppz

−−

−=

Estimador Media Varianza Distribución

Varianzas conocidas

2

22

1

21

nn

σ+

σ

−−σ

+

−−σ

1N

nN

n1N

nN

n 2

22

2

22

1

11

1

21 )1,0(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121

σ+σ

µ−µ−−=

Varianzas desconocidas e iguales

2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1S

21

222

2112

p21

2p −+

−+−=

+

)2nn(

21

2p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t −+

+

µ−µ−−=

Varianzas desconocidas y diferentes

21 XX − 21 µ−µ

2

22

1

21

n

S

n

S+

−−+

−−

1N

nN

n

S

1N

nN

n

S

2

22

2

22

1

11

1

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

+

µ−µ−−= donde

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

−

+−

+

=

d D n

S2d ( )1n

d

t~n/S

Ddt −

−=

22

2 s/s1 ( )1n,1n21

22

22

21

21F~

S

SF −−σ

σ•=

21 pp − 21 pp − 2

22

1

112pp n

qp

n

qp21

+=σ −

q1 = 1- p1 q2 = 1- p2

)1,0(N~

n

qp

n

qp

)pp()pp(z

2

22

1

11

2121

+

−−−=



ESTIMACIÓN Y PRUEBA DE HIPOTESIS Parámetro Intervalos de Confianza Estadístico de Prueba

Varianza conocida Varianza desconocida µ

nz x)(IC 2/1

_ σ±=µ α− n

st x)(IC 2/,1n(

_

α−±=µ )1,0(N~n/

xz

_

σµ−= )1n(

_

t~n/S

xt −

µ−=

2σ 2)2/-1 ,1n(

22

2)2/ ,1n(

22 S)1n(

)(LSCS)1n(

)(LICα−α− χ

−=σχ

−=σ 2)1n(2

22 X~

S)1n(−σ

−=χ

p p1qn

)p1(pzp)p(IC )2/1( −=−±= α−

)1,0(N~

n

)p1(p

ppz

−−=

Varianzas conocidas

2

22

1

21

)2/1(2121 nnz)xx()(IC

σ+σ±−=µ−µ α− )1,0(N~

nn

)()xx(z

2

22

1

21

2121

σ+

σ

µ−µ−−=

Varianzas desconocidas pero iguales

2nn

S)1n(S)1n(Sdonde

n

1

n

1St)xx()(IC

21

222

2112

p

21

2p)2/ ,2nn(

_

2

_

1 2121

−+−+−

=

+±−=µ−µ α−+

)2nn(

21

2p

21

_

2

_

1

21t~

n

1

n

1S

)()xx(t −+

+

µ−µ−−=

Varianzas desconocidas y diferentes

21 µ−µ

+±−=µ−µ α

2

22

1

21

)2/,v(

_

2

_

1 n

S

n

St)xx()(IC

21 )v(

2

22

1

21

2121 t~

n

S

n

S

)()xx(t

+

µ−µ−−=

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

v

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

−

+−

+

=

D n

st d)D(IC d

)2/,1n( α−±= ( )1nd

t~n/S

Ddt −

−=



Parámetro Intervalos de Confianza Estadístico de Prueba

22

2 /1 σσ )v,v2/(2

2

212

221

)v,v,2/(22

212

221

12

21

,f.S

S)/(LSC

f

1.

S

S)/(LIC

α

α

=σσ

=σσ

1nv 11 −= 1nv 22 −=

( )1,1

22

21

22

21

21~

1−−•= nnF

S

SF

σσ

21 pp −

( )

( )

22

11

2

22

1

112/12121

2

22

1

112/12121

p1q

p1q

:donde

n

qp

n

qpzpp)pp(LSC

n

qp

n

qpzpp)pp(LIC

−=−=

++−=−

+−−=−

α−

α−

a) 0pp:H 210 =−

)1,0(N~

n

1

n

1)p1(p

ppz

21

21

+−

−=

21

2211

nn

pnpnpdonde

++=

b) Kpp:H 210 =− y K ≠ 0

)1,0(N~

n

qp

n

qp

K)pp(z

2

22

1

11

21

+

−−=

TAMAÑO DE MUESTRA

2

2/1

e

zn

σ= α−

2

2/1

e

SZn

= α− 2

22/1

e

qpzn α−=

N

nn

no

+=

1 , donde on = n corregido

PRUEBA JI CUADRADO

[ ]∑=

α−−∼−

=k

1i

2),1c)(1r(

i

2ii2 X

e

)eo(X

.l.g)1mk(vconX~e

)eo(X 2

k

1i i

2ii2 −−=

−= α

=∑

k = # de clases, m = # parámetros desconocidos

( )∑

=

∼−−

=k

1i

2

i

2

ii2 Xe

5.0eoX



ANÁLISIS DE REGRESIÓN

xˆyˆ

xxn

yxyxnˆ

10

2n

1ii

n

1i

2i

n

1ii

n

1iii

n

1ii

1

β−=β

−

−

=β

∑∑

∑∑∑

==

===

Coeficiente de correlación

∑∑

∑

==

=

−−

−−==

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

''

)yy(n

1.)xx(

n

1

)yy)(xx(n

1

S.S

)Y,Xcov(r

yx

Suma de cuadrados

.SSRSSTSSE −=

( )

( )

−β=

−=

∑∑

∑∑

n

xxˆ.SSR

n

yySST

2

i2i

21

2

i2i

Coeficiente de determinación

SST

SSRr 2 =

Coeficiente de determinación corregido

−−−−==

pn

1n)r1(1rr 222

.correg

Cuadrados medios

pn

SSECME

1p

.SSRCMR

−=

−=

donde p: N° de parámetros a estimar (p = k + 1) k: N° de variables independientes Prueba conjunta

),,1(~ αpnpFCME

CMRF −−=

Inferencia para 1β

xx

nS

st 2/,21

ˆαβ −±

)(1111 ~

ˆˆ

1

pnb

xx

tS

S

st −

−=

−=

ββββ

donde:

( )

( ) 2

21

2

2

2

1ˆ

)(

xxx

i

i

ixx

SnSSR

S

xxn

xxS

−==

−=−=∑ ∑∑

β

CMEpn

SSEsss x.ye =

−===

Inferencia para 0β

xx

2i

2/0 nS

xstˆ ∑

α±β )2(2

00 ~ˆ

−

∑−

= n

xx

i

t

nS

xs

tββ

Prueba de hipótesis para el coeficiente de correlación lineal

Pronósticos Valor medio

xx

20

)2/,2n(0 S

)xx(

n

1sty

−+± α−

Valor individual

xx

20

)2/,2n(0 S

)xx(

n

11sty

−++± α−

Modelos no lineales Potencia: LnxLnLnyoxy 100

1 β+β=β= β

Exponencial: xLnLnyoey 10x

01 β+β=β= β

Polinomio de grado m: mm

2210 xˆ...xˆxˆˆy~ β++β+β+β=

a) 0:H0 =ρ

)2n(2t~

r1

2nrt −

−

−=

b) 00 :H ρ=ρ

)1,0(N~)1)(r1(

)1)(r1(ln

2

3nZ

0

0

ρ+−ρ−+−=



ANOVA DE UNA VIA Fuente de variación

Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio Fc Ftab

Tratamientos k – 1 •=

−=∑ n

y

n

y)Tr(SS

2..

k

1i i

2.i

1

)()(

−=

k

TrSSTrCM

Error n. – k )Tr(SSSSTSSE −= kn

SSECME

−=

•

Total

n. – 1

donde

=∑

=•

k

1iinn •= =

−=∑∑ n

yySST

2..

k

1i

n

1j

2ij

CME

)Tr(CMF =

),.,1( αknkF −−

k: N° tratamientos

Prueba Diferencia Mínimas Significativas (DMS) Se plantea las siguientes hipótesis:

ji1

ji0

:H

:H

µ≠µ

µ=µ ∀ i ≠ j

α Se rechaza H0 si:

+>− −

jiknji nn

CMEtyy11

|| )2/,( α



ANOVA DE DOS VIAS SIN INTERACCIÓN

Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio Fc Ftab

Tratamientos a - 1 ab

y

b

y)Tr(SS

2..

a

1i

2.i −=∑

=

1a

)Tr(SS)Tr(CM

−=

CME

)Tr(CMFT = ]),1b)(1a(,1a[F α−−−

Bloques b - 1 aby

a

ySSB

2..

b

1j

2j. −=∑

=

1b

SSBCMB

−=

CME

CMBFB =

]),1b)(1a(,1b[F α−−−

Error (a - 1)(b - 1) SSB)Tr(SSSSTSSE −−= )1b)(1a(

SSECME

−−=

Total ab - 1 ∑∑= =

−=a

1i

2..

b

1j

2ij ab

yySST

a: N° tratamientos b: N° bloques



ANÁLISIS DE DOS FACTORES CON INTERACCIÓN

Fuente de variación

Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio Fc Ftab

A a - 1 abn

yy

bn

1SSA

2...

a

1i

2..i∑

=

−= 1a

SSA

−

CME

CMA ],)1n(ab,1a[F α−−

B b - 1 abn

yy

an

1SSB

2...

b

1j

2.j.∑

=

−= 1b

SSB

−

CME

CMB ],)1n(ab,1b[F α−−

AB (a - 1)(b - 1)

SSBSSASSSSAB

abn

yy

n

1SS

subtotales

2...

a

1i

b

1j

2.ijsubtotales

−−=

−= ∑∑= =

)1b)(1a(

SSAB

−−

CME

CMAB

],)1n(ab,)1b)(1a[(F α−−−

Error ab(n - 1) SSABSSBSSASSTSSE −−−= )1n(ab

SSE

−

Total abn - 1 ∑∑∑= = =

−=a

1i

b

1j

n

1k

2...2

abn

yySST

ijk



Suavización Exponencial ( ) ttt YYY ˆ1ˆ1 αα −+=+

Medición del Error de los Pronósticos

YYe ttˆ−=

n

YYDAM

n

tt∑

=

−= 1

ˆ

( )n

YY

EMC

n

tt∑

=

−= 1

2ˆ

n

Y

YY

PEMA

n

t t

t

∑=

−

= 1

ˆ

( )

n

Y

YY

PME

n

t t

t∑=

−

= 1

ˆ

( )DAM

YYRastreodeSeñal

n

ttt∑

=−

= 1

ˆ


Tablas estadísticas 14

TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 C20 4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9 9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0 0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4 9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4 1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9 2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7 6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7 1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8 4 5 8 1 1 4 5 6 7 9 9 9 2 1 3 2 3 7 7 9 0 0 3 6 9 6 5 0 6 4 7 9 8 1 2 4 4 8 3 6 7 2 4 5 4 1 2 4 4 6 9 2 6 6 6 5 2 0 0 4 4 9 3 4 4 2 4 5 9 0 8 7 4 8 4 2 1 2 5 4 6 1 2 8 1 3 3 2 0 2 6 0 7 2 7 9 1 4 6 5 9 3 4 0 8 1 3 3 7 3 2 4 8 6 7 9 0 6 2 8 1 8 7 1 3 4 3 9 3 1 7 8 3 7 3 3 0 8 3 5 0 2 1 4 7 5 7 3 1 1 9 3 3 8 7 4 8 0 2 5 3 6 3 4 1 9 8 1 0 9 0 1 1 0 9 3 6 8 6 0 9 4 6 7 6 7 9 1 2 2 7 2 3 9 3 4 6 9 8 1 5 9 9 8 4 4 5 9 1 5 4 7 3 0 6 8 1 6 8 1 8 1 8 8 2 3 9 1 4 2 4 9 1 4 0 6 0 3 2 8 0 5 3 8 0 4 3 9 4 6 0 8 8 3 8 7 1 2 2 3 9 7 1 4 2 7 5 5 2 8 6 6 3 5 5 9 9 0 6 8 6 9 5 9 4 9 1 8 2 0 2 5 3 9 1 2 0 3 0 8 7 4 9 1 4 8 8 6 6 8 5 9 4 8 5 7 7 9 6 7 3 8 1 2 2 4 0 1 4 5 7 7 4 0 4 8 9 4 7 0 9 9 9 7 8 0 0 9 3 2 7 0 5 0 2 7 8 7 3 6 4 8 1 5 8 5 5 1 4 9 6 4 4 4 7 4 5 7 5 0 8 6 7 3 6 1 7 1 1 3 5 5 7 4 4 7 6 7 2 8 4 7 1 4 0 3 6 2 4 4 4 4 0 3 6 3 4 1 2 8 6 5 5 8 8 4 3 4 8 9 0 6 7 6 0 0 8 6 8 4 9 2 0 9 8 2 8 3 4 3 2 8 9 4 8 7 9 4 9 4 1 3 7 9 4 8 3 7 0 8 6 6 6 8 4 1 1 3 1 3 3 3 2 5 6 7 6 1 6 6 1 7 6 5 8 1 6 2 2 7 9 9 9 8 2 8 8 1 9 1 6 2 7 5 1 8 6 1 4 4 1 7 5 4 0 9 5 7 8 7 5 0 8 6 6 2 5 3 2 3 2 7 1 7 8 8 3 8 6 9 9 2 7 4 5 9 5 6 6 6 6 0 9 2 6 1 5 1 2 3 1 8 1 2 0 8 6 4 4 0 3 3 6 3 4 9 6 4 4 9 8 5 7 3 3 4 2 3 2 8 0 1 9 7 9 7 9 4 4 1 6 6 7 7 0 7 9 8 6 8 4 7 1 5 3 7 0 9 2 5 2 1 0 0 4 0 4 6 8 8 7 8 9 9 6 8 5 6 8 1 9 2 7 5 1 7 0 1 5 5 2 2 3 3 1 8 1 9 8 4 2 8 5 2 8 1 7 6 4 6 2 6 6 4 1 4 8 1 0 6 0 1 3 4 0 9 1 2 8 6 5 1 9 0 3 9 1 6 1 7 8 8 2 8 0 7 8 4 8 0 9 0 5 8 4 9 2 2 3 9 8 5 9 5 7 8 4 9 9 4 8 6 1 9 2 5 0 0 7 9 0 0 7 4 5 4 8 6 2 3 1 9 1 0 9 7 5 1 2 7 1 9 4 8 4 8 9 6 6 9 5 6 0 6 1 3 3 5 2 1 0 1 9 2 8 0 2 6 6 3 8 6 9 9 8 0 8 1 8 2 6 6 8 4 0 7 8 2 5 1 3 1 6 1 0 5 7 5 7 0 6 3 0 4 1 4 0 3 0 8

Formulas EPE Tablas 201102

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