ESTADÍSTICA

Por: Oscar Raúl Rojas Guere Derecho y Ciencias Políticas

1. ¿Cuál es la definición clásica de probabilidad?

Esta definición es conocida como DEFINICIÓN CLÁSICA DE LAPLACE O "A PRIORI", es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones:

1. El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.2. Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.

Bajo estas condiciones y si A es el evento formado por n(A) resultados del espacio muestra y, el número total de resultados posibles es n(S), entonces

Ejemplo: Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3, 10, J, Q, K; 13 son tréboles); y 26 son rojas (13

corazones y 13 diamantes), la probabilidad de que la carta sea un as es porque el evento de "extraer un as" consta de 4 de los 52 resultados igualmente

probables. La probabilidad de que la carta sea negra es y la probabilidad

de que sea un diamante es .

2. ¿Qué es la probabilidad frecuencial o empírica?

La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Por desgracia, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y la definición de Laplace no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente probables. Por ello se necesita un concepto más general de probabilidad. Una forma de dar respuesta a estas preguntas es obtener algunos datos empíricos en un intento por estimar las probabilidades.

Supongamos que efectuamos un experimento n veces y que en esta serie de n ensayos el evento A ocurre exactamente r veces, entonces la frecuencia

relativa del evento es ,o sea,

Si continuamos calculando esta frecuencia relativa cada cierto número de ensayos, a medida que aumentamos n, las frecuencias relativas

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correspondientes serán más estables; es decir; tienden a ser casi las mismas; en este caso decimos que el experimento muestra regularidad estadística o estabilidad de las frecuencias relativas. Esto se ilustra en la siguiente tabla, de una moneda lanzada al aire 1000 veces.

# de lanzamientos

# de

caras

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Frecuencia acumulada

relativa

1 - 100 52 0.52 52 0.520

100 - 200 53 0.53 105 0.525

200 - 300 52 0.52 157 0.523

300 - 400 47 0.47 204 0.510

400 - 500 51 0.51 255 0.510

500 - 600 53 0.53 308 0.513

600 - 700 48 0.48 356 0.509

700 - 800 46 0.46 402 0.503

800 - 900 52 0.52 454 0.504

900 -1000 54 0.54 508 0.508

Total: 1000 508 0.508

En un total de 1000 lanzamientos ocurrieron 508 caras, es decir la frecuencia relativa es aproximadamente 0.50.

Tres investigadores realizaron experimentos y obtuvieron los siguientes resultados

Investigador Número de lanzamientos

Número de caras

Frecuencia relativa

Buffon 4040 2048 0.5069

K. Pearson 12000 6019 0.5016

K. Pearson 24000 12012 0.5005

La mayoría de experimentos aleatorios de importancia práctica tienen estabilidad, por esto podemos sospechar que prácticamente será cierto que la frecuencia relativa de un evento E en un gran número de ensayos es aproximadamente igual a un determinado número P(E), o sea, la probabilidad del evento E es

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Obsérvese que este número es una propiedad que no depende solamente de E, sino que se refiere a un cierto espacio muestra S y a un experimento aleatorio. Entonces, decir que el evento E tiene probabilidad P(E) significa que si efectuamos el experimento muchas veces, es prácticamente cierto que la frecuencia relativa de E, fr(E) es aproximadamente igual a P(E).

Cuando se usa la definición frecuencial, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos:

I. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real.

II. Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación.

III. La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definición depende de que las condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente.

3. ¿Qué es la probabilidad condicionada?

Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio.

La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define

Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad.

Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.

Ejemplo:

Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad?

Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la

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misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad

p(A) = 1/4 = 0,25

La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY} la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior

p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5

Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral

p(A|B) = 1/2 = 0,5

4. ¿Qué es la probabilidad subjetiva?

Tanto la definición clásica como la frecuentista se basan en las repeticiones del experimento aleatorio; pero existen muchos experimentos que no se pueden repetir bajo las mismas condiciones y por tanto no puede aplicarse la interpretación objetiva de la probabilidad.

En esos casos es necesario acudir a un punto de vista alternativo, que no dependa de las repeticiones, sino que considere la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado de creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el suceso ocurra.

Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente válidos.

5. Definir el Teorema de Bayes

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

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La fórmula del Teorema de Bayes es:

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.

Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.

¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?

La respuesta que nos da el teorema de bayes es que esa información adicional hace que la probabilidad sea ahora 0,595.

Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.

Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.