116

GUÍA DE MATEMÁTICAS I

A B C D E F

1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 =

unidad mitades tercios sextos medios cuartos

44

22

66

33

22

LECCIÓN 11

Lección 11: Fracciones .Equivalencia y orden

Fracciones equivalentesNo siempre podemos trabajar con unidades divididasdecimalmente; con frecuencia nos conviene partir de otramanera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos dedistintas maneras a veces necesitamos saber cuánto tenemosen total. En esta lección vamos a trabajar sobre estosconceptos.

Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es elrectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formaspero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidadque tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitado medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo

expresamos como 1 = . Si partimos la unidad en 3 partes

iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida

en 3 tercios. Eso se expresa como 1 = . En el dibujo de

abajo también hemos partido la unidad en sextos y encuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en quequeda partida la unidad y el nombre de las partes.

33

22

117

LECCIÓN

En la forma en que estamos expresando estas particiones elnúmero de abajo sirve para decir en cuántas partes igualesse fraccionó la unidad y el número de arriba para decircuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba sellama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajodenominador (el que da nombre), y la expresión se llamacompleta fracción o quebrado. En las figuras de arriba soniguales el numerador y el denominador porque tomamostodas las partes que forman la unidad.

Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad conrespecto al entero usamos la misma notación. Por ejemplo, enla figura siguiente tenemos las mismas particiones que antespero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I dossextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cadadibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada.

Observe que en las figuras G, J y K se marcó la misma cantidadde área aunque la manera de partir es distinta. En este casose dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significaque expresan la misma cantidad. Lo mismo sucede con lasfiguras H e I.

En las figuras G y J tenemos dos maneras de partirla unidad en dos partes iguales y en cada figura marcamosun medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro partesiguales pero hemos tomado dos de ellas y juntas tambiénson la mitad del rectángulo; esto se expresa como

A G H I J K

1 24

12

26

13

12

118

GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 11

= . En las figuras H e I tenemos = pero hay muchas

otras maneras de tener esa misma cantidad. Observe lassiguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad;en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchasmaneras:

En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte delárea del rectángulo U con diversas fracciones.Estas fracciones son equivalentes porque expresan la mismacantidad, un tercio:

= = =

Observe que podemos obtener todas estas fracciones de untercio multiplicando numerador y denominador por el mismonúmero:

= = = =

= = 8 24

1 ´ 813

4 12

1 ´ 413

26

1 ´ 213

8 24

4 12

26

13

26

13

24

12

1 4 12

26

13

8 24

26

8 24

4 12

U

119

LECCIÓN

Estas operaciones corresponden a obtener una partición másfina, de partes más pequeñas.

a

De esta manera es posible obtener todas las fraccionesequivalentes que se quiera. Tomamos una fracción ymultiplicamos numerador y denominador por el mismonúmero natural. Por ejemplo, dos diecisieteavos ese q u i v a l e n t e a dieciséis ciento-treinta-y-seis-avos porque2 ´ 8 = 16 y 17 ´ 8 = 136:

= = 16 136

2 ´ 8 2 17

8 24

13

4 12

13

26

13

Observe también que si el numerador y el denominador deuna fracción son divisibles por un mismo número, entoncesal hacer esas divisiones obtenemos una fracción equivalente.Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en unamayor. Por ejemplo:

= =

Sise obtienen fracciones equivalentes con este proceso se diceque se simplifica o que se reduce una fracción. Cuando elnumerador y el denominador de una fracción no tienen divi-sores en común se dice que la fracción es irreductible,es decir que no se puede reducir. Por ejemplo, podemossimplificar la fracción cuarenta y ocho sesentavos dividiendoentre dos, dos veces, y luego entre tres, una vez. Obtenemosuna fracción que ya no se puede simplificar más:

= = = = = =

Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil, s o b r etodo para comparar fracciones y para hacer operaciones conellas. Por ejemplo, si queremos saber qué es más grande,tres quintos o cuatro séptimos, buscamos una manera dedividir la unidad que permita expresar tanto séptimos comoquintos y vemos cuál es mayor directamente. Veamoscómo hacer esto.

Si queremos tener quintos debemos partir en 5 o enun múltiplo de 5, y si queremos tener séptimos debemospartir en 7 o en un múltiplo de 7. Necesitamos entoncesun múltiplo común de 7 y 5; puede ser cualquiera de sus

45

12 ¸ 31215

24 ¸ 22430

48 ¸ 24860

26

4 12

26

4 ¸ 2 4 12

120

GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 11

{{

121

LECCIÓN

múltiplos en común pero, si no queremos acabar trabajandocon números muy grandes, conviene que sea el mínimocomún múltiplo de estos números, mcm {5, 7}. Como 5 y 7son números primos, no tienen divisores en común, yentonces mcm {5, 7} = 5 ´ 7 = 35. Debemos entoncesescribir los dos quebrados con denominador 35:

Cuandotenemos un quebrado con el numerador más chico que eldenominador, tenemos menos que una unidad ydecimos que es una fracción propia. Por ejemplo,

, y son fracciones propias. Sin embargo podemos

tener un quebrado con el numerador mayor que eldenominador; en ese caso tenemos más que una unidady decimos que es una fracción impropia. Por ejemplo,

y son fracciones impropias. También podemos

escribir las fracciones impropias como los enteros que formany una fracción propia. Por ejemplo, en siete quintos tenemosun entero y dos quintos; esto se acostumbra escribir como

= 1 y se lee un entero dos quintos. Cuando tenemos

enteros y fracciones en esta forma decimos que es una f ra c c i ó n

mixta. Por ejemplo, 5 y 14 son fracciones mixtas.38

7 25

25

75

13225

2310

32 360

1120

47

Aquí vemosdirectamente que

es mayor que

porque 21 es

mayor que 20.

47

35

= = = = 2135

3 ´ 735

2035

4 ´ 547

122

GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 11

En las siguientes figuras el rectángulo R es la unidad. Digaqué parte de la unidad es la parte sombreada de cada unode los otros rectángulos. Encuentre todas las fraccionesequivalentes que haya en estas figuras.

R

A B

C D E

F G H

123

LECCIÓN

En las siguientes figuras cada rectángulo es la unidadde referencia. Escriba qué parte del entero es la partesombreada en cada caso y encuentre tres fraccionesequivalentes a la que dio.

Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracciónirreductible:

a) b) c) d) e) f)

De las siguientes parejas de fracciones diga cuál es más grande:

a) y b) y c) y d) y 304

486

1215

3645

3430

4660

35

49

72 360

85 180

486

11 121

3660

8 12

A B C D E

124

GUÍA DE MATEMÁTICAS I

Quebrados y fracciones decimalesPara expresar partes de una unidad hemos trabajadocon números fraccionarios en el sistema de numeracióndecimal posicional y también con quebrados con cualquierdenominador. Es conveniente ver la relación entre estas dosmaneras de escritura.Observe que podemos escribir las fracciones decimales comoquebrados o como números decimales, por ejemplo:

un décimo = 0.1

un centésimo = 0.01

un milésimo = 0.001

un diezmilésimo = 0.0001

un cienmilésimo = 0.00001

un millonésimo = 0.000001

un diezmillonésimo = 0.0000001

un cienmillonésimo = 0.00000001

En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlobasta para saber cómo se puede escribir como un quebrado.Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos.Sabemos entonces que se puede escribir como 23 partesde un entero partido en cien pedazos iguales. Es decir:

0.23 = . Observe que el denominador de la fracción

que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifrasdecimales.

23 100

1 100000000

110000000

1 1000000

1 100000

1 10000

11000

1 100

1 10

LECCIÓN 11

125

LECCIÓN

Este procedimiento para escribir un número decimal comoquebrado se puede usar siempre que el número tengaexpansión decimal finita. Se pone como numerador la partedecimal del número y como denominador un uno con tantosceros como decimales tenga nuestro número.

Veamos un par de ejemplos:

14.876 = 642.28349 = 642

Veamos ahora el procedimiento inverso: escribir un quebradocomo un número decimal. Si tenemos un quebrado condenominador distinto de una potencia de diez, por ejemplocuatro quintos, quiere decir que partimos la unidad en cincopartes iguales y de ellas tomamos cuatro. Si queremosexpresar esta misma cantidad con una fracción decimalpodemos buscar una fracción equivalente con denominador10, que es la potencia de 10 inmediatamente más grandeque 5. En este ejemplo, si multiplicamos el numerador y eldenominador por dos, obtenemos ocho décimos que es unafracción con denominador 10, y la podemos expresar comoquebrado o como decimal.

= = = 0.8

Observe que, para encontrar la fracción decimal quenecesitábamos, usamos el 10 que divide a 8.

Cuando tenemos un quebrado con denominador a unapotencia de 10, podemos usar el procedimiento anterior.Por ejemplo, si queremos expresar siete veinticincoavoscomo un decimal, multiplicamos numerador y denominadorpor 4 y obtenemos veintiocho centésimos. Este número sepuede escribir directamente como quebrado o como decimal:

= = = 0.28 28 100

7 ´ 4 7 25

8 10

4 ´ 245

28349 100000

876 1000

El procedimiento anterior se puede usar si tenemos unquebrado con denominador que divide a una potencia de diezpero puede ser complicado. Observe que si en los ejemplosanteriores dividimos 4 entre 5, obtenemos 0.8 y si dividimos7 entre 25, obtenemos 0.28. Esta es otra manera de encontrarun número decimal equivalente al quebrado que tenemos yse puede usar aunque el denominador no divida a unapotencia de diez.

Por ejemplo, si queremos expresar tres octavos comoun número decimal no podemos encontrar una fracciónequivalente con denominador que sea una potencia de diez.Pero podemos dividir tres entre ocho sin problema paraencontrar su equivalente en notación decimal que es 0.375.

Con este procedimiento es posible encontrar el númerodecimal equivalente a cualquier quebrado. Desde luegoencontraremos distintas expansiones decimales, algunasde ellas finitas y algunas de ellas periódicas.

126

GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 11

0. 8 0. 2 83 4 2 5 7

4 0 7 00 2 0 0

0

0. 3 7 58 3

= 0.375 3 06 0

4 00

38

Encuentre el número decimal equivalente a cada uno de lossiguientes quebrados:

a) b) c) d) e) f)

g) h) i) j) k) l)

Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de lossiguientes números decimales:

a) 0.12 b) 1.34 c) 9.75 d) 71.1 e) 82.7 f) 38.44

g) 0.75 h) 0.25 i) 1.20 j) 5.5 k) 21.83 l) 8.90

José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismotamaño y decidieron que cada uno pintara una pared. En 3

horas José pintó de la pared que le correspondía y Fermín .

a) Represente gráficamente las paredes y la parte de cadauna que ya está pintada.

b) Exprese las porciones de pared pintadas por cada unocon fracciones de igual denominador.

23

35

34

1 12

1 11

1 10

19

18

17

16

15

14

13

12

127

LECCIÓN

c) ¿Quién pintó más, José o Fermín?

d) ¿Terminarán de pintar en 2 horas más de trabajo almismo ritmo? ¿Por qué?

Se

extrajeron del contenido de un depósito de agua que

estaba lleno.

a) Represente gráficamente el depósito y la parte de aguaque se extrajo.

b) Exprese con un quebrado la parte del contenido quequedó en el depósito.

c) ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupamás o menos de la mitad de su capacidad?

7 11

128

GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 11