Propagacin de Fractura. Un modelo experimental.

A. Figueroa Soto, M. Cerca Martnez y F. Ramn Ziga.

Centro de Geociencias, UNAM. Apdo Postal 1-742, Centro Queretaro, Quertaro, C.P. 76001, Mexico

Resumen. En el presente trabajo se revisa la teora de propagacin de micro fracturas evidenciando la fsica que lo gobierna estimando la energa disipada, as como un arreglo experimental que se desarroll para ilustrar dicho proceso mediante la propagacin de fractura en muestras de vidrio comercial. El experimento se llevo a cabo sometiendo el material a una presin constante, sobre una fractura preexistente en ambas superficies del vidrio.

Considerando la expresin para la energa total almacenada en una roca, se obtiene una expresin para la liberacin de energa, y asumiendo que el esfuerzo esta linealmente relacionada a un desplazamiento y asumiendo una cada de esfuerzo promedio sobre la falla, as como considerando que la energa disponible para la radiacin es aproximadamente igual a la energa total menos la energa perdida por calor debido a la friccin y un parmetro de propagacin de fractura g.

Se hace una discusin sobre la propagacin de fractura y la influencia de fracturas preexistentes durante la misma, haciendo grfico el proceso mediante el experimento desarrollado en el Laboratorio de Mecnica Multiescalar de Geosistemas.

I. PROPAGACIN DE FRACTURA, ENERGA Y FRENTE DE FRACTURA.

Para tratar la dinmica de propagacin de fractura, Aki & Richard (1980) dividen en dos casos dicho anlisis, el primero considera que la velocidad de ruptura es fija y con un valor constante. El segundo caso considera que el fallamiento de corte es una proceso espontneo y que la velocidad de ruptura es en si misma una incgnita (y probablemente variable), que se determinar como parte de la solucin del problema.

Conforme la fractura se va propagando, ocurren deslizamientos transversales al plano de falla en el frente de fractura.

Si despreciamos la friccin como primera aproximacin, la traccin sobre el plano de falla desaparece sobre la parte donde el deslizamiento est ocurriendo. Se ha visto, por lo tanto, que no hay trabajo realizado sobre una fractura excepto por el trabajo contra la friccin.

Una vista ms de cerca revela que una cantidad finita de trabajo por unidad de distancia se hace en el frente de fractura de la propagacin.

Desde que se comienza a propaga la fractura, no es obvio como calcular este trabajo.

Se deriva una formula general para fracturas propagndose en dos dimensiones siguiendo el mtodo de Freund (1972).

Consideramos que la fractura se propaga en el plano 2 0x = y comienza a propagarse desde la punta hacia la direccin 1x+ con una velocidad (Figura 1)

v

Figura 1. Modelo de propagacin de Fractura.

(Aki et al. 1980)

Consideremos una superficie externa fija sobre el cuerpo slido, con una superficie de fractura pre existente y una superficie interna

encerrando y viajando con el frente de fractura.

eS

cS

tS

En el volumen V encerrado por estas tres superficies el cuerpo obedece la ley de Hooke,

2x

1x

V eS

tS

cS

cS

1

con las siguientes ecuaciones de movimiento y desplazamiento deformacin:

ij ijkl klc e = i iu j =

1 ( )2ij ij ji

e u u= +

Donde ij , e , y u son las componentes del esfuerzo, deformacin, constantes elsticas y desplazamiento. No se han considerado fuerzas de cuerpo.

ij ijklc i

Sobre las superficies y , la traccin T esta dada por:

eS tS i

i ijT n j= Donde estamos considerando la notacin de Einstein y jn es la normal a las superficies.

La tasa de trabajo de las tracciones sobre la superficie , las tasas de incremento de energa cintica K y de la energa de deformacin U en el volumen V son respectivamente:

eS

e

i iS

W Tu d= S 12 i iV

dK u udt

= dV 12 ij ijV

dU edt

= dV

t=

El flujo de energa dentro del frente de fractura puede obtenerse como el lmite del flujo dentro de la superficie dado por:

g

tS

0lim[ ]tS

g W K U= + (4)

Podemos reconocer que se mueve a lo largo

del frente de fractura, por lo que V V . Derivando las expresiones anteriores y considerando que la contribucin de

desaparece porque , se puede demostrar que:

tS( )

cS0nv =

0

1 1lim ( )2 2t

t

ij j i ij ij n i i nSS

g n u u v u u u = + + v dS

II. CRITERIO DE FRACTURA

Considerando a un sistema de referencia movindose con la fractura ( ', )x y como se muestra:

Figura 2. Modelo de propagacin de Fractura con un sistema de referencia desplazndose con el

frente de fractura

y

'

Donde se ha considerado una superficie rectangular (Fig 2) de dimensiones tS 2 2 . Si consideramos que en el lmite cuando 0 desaparecen las contribuciones de los lados x = y las velocidades en los lados nvy = . Por lo que el flujo de energa en el frente

de fractura puede expresarse como:

0lim ( ',0) [ ( ', 0) ( ', 0)] 'g T x u x u x

= + dx

Que considerando el caso de propagacin sobre un plano, se obtiene (Aki & Richard, 1980) la expresin:

x x vt=

2

22vKg = (5)

Donde 2

21 v = , y velocidad de la onda S y la razn de Poisson respectivamente y K es la intensidad de esfuerzos definido para muchos materiales frgiles por:

I ak a = Donde el subndice indica el modo de fractura (Irwin, 1957) y nos indica que el desplazamiento relativo de las superficies de la fractura producen un movimiento de apertura. La intensidad de esfuerzo es una medicin de la magnitud de los esfuerzos locales y fue formulado por G. R. Irwin (1950).

Un modelo de avance de fractura fue realizado por A. A. Griffith en 1920, donde asumi la existencia de zonas de debilidad en la forma de fracturas.

Para crear nuevas fracturas se requiere un incremento en la energa libre superficial G donde:

2gGv

= El criterio de fractura se Griffith se basa en el balance de energa consumida y el suministro de energa mecnica para un incremento infinitesimal virtual en la longitud de la fractura.

El criterio de fractura de Griffith es equivalente a la existencia del factor de intensidad de esfuerzos

. Si el factor de intensidad de esfuerzo excede el valor crtico, la fractura se propagar, a esta deduccin se le llama el criterio de Irwin.

k

De la ecuacin (5) podemos observar que el flujo de energa dentro del frente de fractura, est determinado por el factor de intensidad de esfuerzos y la velocidad de propagacin de fractura . Por lo que al iniciar la extensin de la fractura, cuando , el flujo de energa y el factor de intensidad de esfuerzos estn relacionados demostrando la equivalencia de los modelos de Irwin y Griffith.

kv

0v =

La mecnica de fractura contempornea est basada en el concepto de tenacidad a la fractura en lugar del criterio de fractura. Una funcin de distribucin estadstica alternativa fue sugerida por Neville (1987), considerando que la falla de alguna parte del material cerca del frente de fractura conduce a la falla total a lo largo del

frente de la grieta, y la variabilidad de la resistencia es debido a la micro estructura no homognea.

La teora probabilstica de trayectorias admisibles para una fractura propagndose fue desarrollada por Balankin y Susarrey (1992 - 2000) que expresada como una probabilidad depende del exponente de rugosidad de la grieta.

0

( ) ( , )P X P Z X dZ

= Donde:

( , ) ( , , ( 0.5), ( ))P Z X f H X H D= +

Esta teora probabilstica de propagacin de fracturas proporciona una prediccin ms confiable de probabilidad de falla.

V. MODELO EXPERIMENTAL PARA ANALIZAR LAS VARIACIONES EN LA PROPAGACIN DE UNA FRACTURA EN UN MEDIO HOMOGNEO

Se realiz un modelo experimental utilizando muestras de vidrio comercial. Para este material, la resistencia a la traccin en condiciones normales y con una superficie perfectamente libre de toda fisura, es de unos 900 bar ( 90 GPa) segn Wilkelman & Schott. Esta gran resistencia se ve fuertemente disminuida por imperfecciones en la superficie del objeto, por pequeas que estas sean. Como una comparacin, las rocas tienen un mdulo de Young en el rango de 10 a 100 Gpa.

El proceso consisti en iniciar una fractura inicial (Zona de debilidad) de 2.5cm en ambas caras de cada muestra de vidrio, sobre la cul se traz una malla para poder cuantificar la propagacin. Video. 1. En los modelos MA la fractura inicial se coloc a 1cm de uno de los bordes para analizar la propagacin unilaterial; para los modelos PF la fractura inicial de introdujo en medio de cada muestra, para analizar la propagacin bilateral. Se experiment con dos tipos de muestras de vidrio de 9 x 8 cm. de rea. Se utiliz este material porque se comporta de manera elstica perfecta ante la velocidad de propagacin de la fractura. De estas muestras 9 fueron de 3mm de grosor (MA001 MA009) y 9 muestras de vidrio de 6mm de grosor (MA101-MA107 y PF205 PF206).

3

Video 1. Experimento de propagacin de Fractura.

(Ver video)

Se aplic gradualmente una carga casi puntual sobre la fractura inicial de 10Kg para el caso del vidrio de 3mm y de hasta 26KG para el vidrio de 6mm de grosor y para registrar la velocidad de propagacin, se utiliz una cmara digital con un dispositivo de procesamiento digital de imgenes que proporcion aproximadamente 4 imgenes por segundo con una resolucin de 320 x 240. Para aplicar la carga, en los experimentos MA se utiliz un punzn con un dimetro de 2 mm y para los modelos PF se us un punzn mas fino de mm de dimetro. La finalidad de este punzn fue el de proporcionar el esfuerzo de compresin sobre la fractura inicial e iniciar el proceso de ruptura.

0.51 0.5

Fig. 2. Modelo MA102. Muestra el patrn de

propagacin de fractura observado para los modelos MA002, MA004 - MA107.

Fig 3. El modelo MA003 fue el nico que se propag de

forma lineal a la red marcada en la muestra.

Fig. 4. En los modelos PF201 PF206 esta tendencia de propagacin de la fractura no se observa, muy

probablemente debido a que la fractura inicial se coloc justo en medio de cada muestra.

La taza de muestreo de la cmara fue de 350 imgenes en 83.937 seg. De esta forma, la transicin entre cada imagen fue en un tiempo de aproximadamente:

0.2398 0.0102t seg =

VI. RESULTADOS

Solo para dos de las muestras (MA005, MA103, PF205 y PF206), fue posible registrar la velocidad de propagacin, debido a la baja tasa de captura fotogrfica por segundo y a la alta velocidad de propagacin como causa de un incremento alto en la carga.

Fue claramente visible la propagacin de la fractura y su variacin de velocidad en el medio as como al acercarse a la frontera de la muestra.

Es importante mencionar que se observ un patrn en los primeros experimentos, que consisti principalmente en una tendencia de la propagacin de la fractura, debido muy probablemente a la configuracin del equipo y a los efectos de borde.

En los segundos experimentos, se utiliz una punta mas fina para producir el desplazamiento inicial, y este efecto ya no fue caracterstico en los resultados.

Analizando los modelos MA005, MA103, PF205 y PF206, fue posible hacer una medicin de velocidades as como un estimado del valor de la intensidad de esfuerzos en tres zonas principales donde la velocidad cambia.

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Tabla 1. Modelo MA005

Tabla 2. Modelo MA103

Tabla 3. Modelo PF205

Tabla 4. Modelo PF206

Es importante hacer notar que durante el desarrollo del experimento PF206, fue posible observar, pero no cuantificar, la propagacin primero hacia el interior de la muestra, para despus proyectarse a la superficie. Este proceso se ejemplifica en el video 5.

Video 5. Modelo de propagacin de Fractura en tres dimensiones observada en el modelo experimental

PF206. (Ver video)

Para estimar la intensidad de esfuerzos en las zonas de variacin de velocidad, consideramos la longitud de la fractura en cada intervalo de cambio de velocidad considerando el esfuerzo

a constante y producido por la carga inicial en un rea igual a la punta del punzn. En las tablas de la 1 a la 4 se muestra este valor.

En las figuras 6 se muestran las zonas de cambio de velocidad para el modelo MA005.

Video 6. Marcas sobre el modelo MA005 donde se muestra el cambio de la intensidad de esfuerzos.

(Ver video)

(Ver video 7)

transicin x (cm) v (cm/s) Intensidad (KPa/m1/2 )

error intensidad

33-34 4.2378 17.6722 33.747213 0.199110

34-35 1.6632 6.9358 21.141701 0.317802

35-36 0.6267 2.6133 12.977383 0.517722

36-37 0.8226 3.4304 14.868325 0.451881

37-38 1.6898 7.0467 21.310093 0.315291

transicin x (cm) v (cm/s) Intensidad (KPa/m1/2 )

error intensidad

199-200 2.2044 9.1927 60.848923 0.690103

200-201 0.7271 3.0321 34.946587 1.201585

201-202 0.3817 1.5917 25.320296 1.658397

202-203 0.5233 2.1822 29.647157 1.416365

203-204 0.4041 1.6852 26.052663 1.611778

204-205 0.2327 0.9704 19.769964 2.123981

205-206 0.2988 1.2460 22.402577 1.874386

206-207 - - - -

transicin x (cm) v (cm/s) Intensidad (KPa/m1/2 )

error intensidad

1358-1359 0.6108 2.5471 49.966268 2.045187

1359-1360 0.5537 2.3088 47.572292 2.148104

1360-1361 0.4108 1.7131 40.977486 2.493807

1361-1362 2.6105 10.8860 103.29764 0.989320

1362-1363 - - - -

transicin x (cm) v (cm/s) Intensidad (KPa/m1/2 )

error intensidad

448-449 - - - -

449-450 0.5461 2.2773 47.246201 2.16293

450-451 0.3959 1.6510 40.228078 2.540263

451-452 0.4320 1.8016 42.022594 2.431787

452-453 1.0769 4.4908 66.346533 1.540266

453-454 2.6171 10.9136 103.42864 0.988067

454-455 - - - -

5

(Ver video 8)

La estimacin del error se realiz usando derivadas parciales para cada relacin usada y considerando los errores en las mediciones directas en laboratorio.

VII. DISCUSIN Y CONCLUSIONES

Las asperidades son porciones sobre una falla en las cuales ocurren grandes deslizamientos, y las barreras son parches donde se impide el movimiento de deslizamiento.

Considerando la radiacin de la energa liberada, es difcil de distinguir entre estos dos procesos, lo que implicara medir esfuerzos directamente. Sin embargo los dos modelos resultan ser complementarios (Tavera, Hernando, 1992).

Las discontinuidades que resultan de una barrera son las caractersticas del desplazamiento que generan altas frecuencias y son visibles en registros de acelero gramas obtenidos de campo cercano (Bernard y Madariaga, 1984)

El modelo de asperezas est fundamentado en la presencia de gaps ssmicos, que se encuentran representados en grandes zonas de subduccin (Kanamori, 1981).

Las asperezas y barreras reflejan la heterogeneidad de esfuerzos, las propiedades de fracturas preexistentes y su geometra, adems juegan un papel importante en el cese del movimiento de deslizamiento.

En el experimento, estas barreras y/o asperidades son las principales causantes del cambio de la velocidad en la propagacin del frente de fractura y estn relacionadas directamente con las zonas de debilidad del material al momento de su fabricacin.

La constancia de las intensidades de esfuerzo y el cambio de velocidad revela que dichas asperezas contribuyen a la variacin del parmetro g a lo largo de la propagacin de la fractura.

Se podra extrapolar el anlisis de propagacin de fractura a tres dimensiones, para modelar el frente de fractura considerando el cambio con la energa libre superficial frente a este tipo de barreras y/o asperezas en un perfil dos dimensional. Para esto, futuros experimento pueden ahora enfocarse a la medicin de la

propagacin de la factura sobre el espesor de las muestras.

Finalmente sera importante analizar la probabilidad de propagacin de fractura, considerando las intensidades de esfuerzo calculadas y un coeficiente de rugosidad o de Hurst considerado para muchos materiales con un valor de 0.8.

REFERENCIAS A. Combescure, A. GRavouil, D. Grgoire, J. Rthore. X-FEM a good candidate for energy conservation in simulation of brittle dynamic crack propagation. Comptut. Methods Appl. Mech. Engrg. ScienceDirect. 2008

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Irwin G.R. "Relation of Stress Near a Crack to the Crack Extension Force". Proc. 9thInt. Congr.Appl. Mech., V.VIII., 1957. Neville DJ. "A New Statistical Distribution Functionfor Fracture Toughness".Proc. Royal Society, London, A 410. 1987.

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Kanamori, Hiroo. Earthquake physics and real-time seismology. Nature Vol. 451-17. January 2008. Tavera, Hernando. El Proceso de Ruptura Ssmica: Barrera o Aspereza?. Boletn de la Sociedad Geolgica de Per. V 83. p 69-73. 1992

Zuiga, Francisco Ramn. A Study of Earthquake Source Parameters and Stress Processes. Thesis for the degree of Doctor of Philosophy. University of Colorado. 1987

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