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Profesor: Ignacio J. GeneralEscuela de Ciencia y Tecnología

UNSAM

Física 2Física 2

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Física 2Física 2

OndasOndas

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Ondas

Las ondas son fenómenos muy comunes en la naturaleza:

Física 2 – Ondas, óptica y electromagnetismo – UNSAM

Ondas creadas por el viento

Ondas creadas por una piedra

cayendo al agua

Onda de sonido, creada por el parlante empujando aire

Ondas en una cuerda

Ondas electromagnéticas (por ej, luz)

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Ondas

Tipos de ondas, por medio de propagación:Tipos de ondas, por medio de propagación:

MecánicasMecánicas: son las que se propagan en un medio material

ElectromagnéticasElectromagnéticas: son campos electromagnéticos que se propagan en el vacío.

Tipos de ondas, por dirección de desplazamiento material:Tipos de ondas, por dirección de desplazamiento material:

LongitudinalesLongitudinales: se propagan desplazando el medio hacia adelante y atrás.

TransversalesTransversales: se propagan desplazando el medio hacia los costados.


Tipo sonido ola cuerda

Medio aire agua cuerda

Tipo luz rayos-x microondas

Medio vacío vacío vacío

Dirección de movimiento de la onda y de las partículas del medio

Dirección de movimiento de la onda

Dirección de movimiento de las partículas del medio

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Ondas

LongitudinalesLongitudinales

TransversalesTransversales

Combinación Combinación

Física 2 – Ondas, óptica y electromagnetismo – UNSAMhttps://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html

https://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html




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Ondas

Onda armónica:

● Son aquellas cuya forma se puede describir con una función seno/coseno

● Imaginemos una foto de una onda en una cuerda:

● Podemos describirla matemáticamente como:


λ

A

λ

cresta

valle

A

x

y (x)=A sen(kx) k=2π /λ (número de onda)

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Ondas

Ondas armónicas viajeras:

● Si ahora imaginamos a dicha onda viajando hacia la derecha, de manera que su forma se mantiene, podemos escribir:

● Si la onda viaja con una velocidad v, el tiempo que un punto dado tarda en repetir su posición es el periodo de la onda, T. Por lo tanto,

● Notar que en la onda hay dos velocidades: la de la onda y la de los puntos materiales.


λ

A

λ

cresta

valle

A

vonda

vpunto

y

x

v=λT

=λ f =ω k

y (x , t )=A sen(kx−wt )k=2π /λ (número de onda)

ω=2π f (frecuencia angular)

(v es función del medio en el cual la onda viaja)

A sen(kx+wt )para la onda

viajando hacia la izquierda

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Ondas en una interfase

Cuando una onda viajera (incidenteincidente) llega a un límite (separación con otro medio), varias cosas ocurren:

● Una parte de la onda puede continuar hacia el otro medio (onda transmitidatransmitida)

● Otra parte puede rebotar (onda reflejadareflejada), invirtiéndose o no.

● Como la velocidad de la onda depende del medio, en general la incidente y reflejada tendrán la misma velocidad, y la transmitida otra.

● Notar que la onda reflejada se invirtió.

● ¿Y qué paso en la 3ra imagen, donde la onda se aplano?


vi

vr =v

i vt

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Cuando una onda viajera (incidenteincidente) llega a un límite (separación con otro medio), varias cosas ocurren:

● Una parte de la onda puede continuar hacia el otro medio (onda transmitidatransmitida)

● Otra parte puede rebotar (onda reflejadareflejada), invirtiéndose o no.

● Como la velocidad de la onda depende del medio, en general la incidente y reflejada tendrán la misma velocidad, y la transmitida otra.

● Notar que la onda reflejada se invirtió.

● ¿Y qué paso en la 3ra imagen, donde la onda se aplano? → InterferenciaInterferencia


vi

vr =v

i vt

incidente

reflejada

https://ophysics.com/w2.html


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Consideremos un pulso de onda propagándose hacia la derecha, y su reflexión en el extremo:

Caso 1) El extremo final está fijo: Caso 2) El extremo final es móvil:

El pulso se invierte al reflejarse El pulso no se invierte en este caso



v

v

v

v

t

extremofijo

extremomóvil


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Para ciertas frecuencias con las que se haga vibrar la cuerda, se generarán ondas ondas estacionariasestacionarias: ondas con nodos (puntos fijos)

● https://ophysics.com/w3.html

● https://ophysics.com/w7.html

Ejemplo: cuerda de longitud L con sus extremos fijos:


3ra armónica

4ta armónica

2da armónica

Modo fundamental(1ra armónica)

nodosantinodo

λ=2 L

λ=L

λ=23

L

λ=12

L

λ=2 L1

λ=2 L2

λ=2 L3

λ=2 L4

λ n=2 Ln

v=λ f f n=vλ

=v n2 L

f n=n f 1



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Matemáticamente:

● Sumemos una onda yendo hacia la derecha y otra hacia la izquierda, ambas con la misma amplitud y fase 0:

● Si permitimos que las fases no sean 0 (caso más general):


z (x , t )= y1(x)+ y2(x)=A sen(kx−ω t )+ A sen(kx+ω t )

z (x , t )=A [ sen(kx)cos(ω t )−cos(kx)sen(ω t )+sen(kx)cos(ω t )+cos(kx)sen(ω t ) ]

z (x , t )=A ' sen(kx)cos(ω t )

z (x , t)= A [ sen(kx)cos(ω t )+ sen(kx )cos(ω t) ] =

Expresión de una onda estacionaria con nodos en

z (x , t )=A ' sen(kx+δ )cos (ω t+ϕ )

x i=n πk

( z (xi , t )=0)

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¿Cómo obtener la relación λ vs L de ondas estacionaria en forma analítica?

Condiciones de contorno (C.C.) para cuerda fija en ambos extremos (x=0 y x=L):

● Las C.C. definen los λ de las ondas estacionarias que pueden existir en la cuerda


y (x=0, t )=0

y (x)=A sen(k x+δ )cos(ω t+ϕ )

0=A sen(δ )cos(ω t+ϕ )

0=sen(δ )

0=δ

0=A sen(kL)cos(ω t+ϕ )

0=sen(k L)

k L=nπ ⇒ k=nπ

L→ λ n=

2 Ln

y (x=L ,t )=0

(1) (2)

(1)

(2)

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Ecuación de onda

Existe una ecuación general que describe a las ondas viajeras; es la llamada ecuación ecuación de ondade onda:

● Sus soluciones son las ondas que ya vimos,

o, equivalentemente,

● Una propiedad de la ecuación de onda es la linealidad linealidad (o principio de superposiciónprincipio de superposición)

Dadas dos soluciones particulares de la ecuación, y1 e y

2, su

combinación lineal, ay1+by

2, también es solución.

Esta propiedad hace posible la interferencia interferencia de ondas:


∂2 y

∂ x2=

1

v2

∂2 y

∂ t2

Francis W. Sears [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)]

Interferencia constructiva

y1, y

2

y1 + y

2

Interferencia destructiva

y (x)=A sen(kx∓ω t )+B cos(kx∓ω t )y (x)=A sen(kx∓ω t+ϕ )

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Sonido

El sonido es la compresión y descompresión de un medio (típicamente aire):

Pero esto puede modelarse como:

O sea, el sonido es una onda longitudinal—donde la amplitud de la onda representa la densidad del medio—y cumple con la ecuación de onda. Por lo tanto, ya sabemos como tratarlo.


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Sonido: Reflexión y refracción

Las ondas (no solo de sonido) son reflejadasreflejadas y refractadasrefractadas (o transmitidas) al llegar a una interfase, de acuerdo a las siguientes leyes:


θreflejada=θincidente

sen(θincidente)

v incidente

=sen(θrefractado)

vrefractado

θrefractado

θreflejado

θincidente

(v es la velocidad de la onda en ese medio)

vmedio1

vmedio2

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Sonido: Reflexión y refracción

Ejemplo) Una onda de ultrasonido incide sobre el abdomen de un paciente, con un angulo de 20°. El ultrasonido se aplica sobre un gel (v

gel=1400 m/s) y luego pasa al tejido

del paciente (vtejido

=1570 m/s).

a) Calcular el ángulo de refracción.

b) Si un cálculo renal se encuentra a 5 cm de profundad, ¿cuál deberá ser el valor de x de manera que la onda lo alcance?


x

5 cm

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Sonido: Batidos

Ejemplo) Consideremos dos ondas de sonido de igual amplitud y con frecuencias muy cercanas (pero distintas). ¿Qué escucharíamos si nuestros oídos reciben las ondas al mismo tiempo? Tomemos nuestra posición como x=0. Entonces:

Su superposición resulta en:

Tomando ω1=ω

2+Δω, con Δω muy chico, y llamando ω a la frecuencia angular promedio:


y1=A sen(ω1t ) y2=A sen(ω 2 t )

y= y1+ y 2= A [ sen(ω1 t )+ sen(ω2 t) ]=2 A cos [ 12(ω1−ω2)t ]sen [ 1

2(ω1+ω2)t ]

sen(α )+sen(β )=2 cos[ 12(α−β )] sen[ 1

2(α +β )]

y=2 A cos( 12

Δω t) sen (ω t ) y=[2 A cos(12Δ ω t)]sen(ω t)

amplitud variable

La frec. angular de la onda cos es ωcos=Δω2

ωsen=ωLa frec. angular de la onda sen es

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Sonido: Batidos


La onda resultante (batidobatido) se ve como una onda armónica cuya amplitud oscila con frecuencia Δω

Interferencia constructiva

y1, y

2

y1 + y

2

Interferencia destructiva

Francis W. Sears [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)]

https://ophysics.com/waves10.html

y=[ 2 A cos( 12Δω t) ] sen(ω t )

frecuencias angulares de cada “sub-onda”

T sen=2πωT cos=

4 πΔω

ωcos=Δω/2 ωsen=ω

períodos de cada una

Δω es mucho menor que ω: el período del cos es mucho mayor que el del sen

sen

cos

https://ophysics.com/waves10.html

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Sonido: Batidos


Los batidos son una forma usual de afinar instrumentos musicales. Usando tonos estándar, se ajusta el instrumento de manera de escuchar una frecuencia de batido lo más larga posible (se lleva la amplitud a ser constante), es decir con Δω~0.

*De Yrithinnd assumed (based on copyright claims), CC BY 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=813453

Diapasón de 440 Hz *

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Sonido: Efecto Doppler


Ejemplo: Un policía enciende la sirena de su patrulla cuando el auto va a 120 km/h. El policía escucha el sonido emitido, con una frecuencia de 1000Hz. Una persona (A), parada en un punto hacia el cual se acerca el patrullero oye la sirena, pero con una frecuencia de 1096 Hz. Y otra persona (B) en un lugar desde el cual el patrullero se aleja, oye una frecuencia de 904 Hz.

Es decir, la frecuencia que se percibe depende de la frecuencia original, pero también del estado de movimiento relativomovimiento relativo entre la fuente (sirena) y el detector (conductor del auto). Este es el efecto Dopplerefecto Doppler. No solo es válido para sonido, sino también para cualquier otro tipo de ondas.

¿Por qué la frecuencia depende del estado de movimiento de la fuente y detector?¿Por qué la frecuencia depende del estado de movimiento de la fuente y detector?

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Zappys Technology Solutions

f '= fv±v D

v±vF

f = frecuencia emitida por la fuentef’ = frecuencia detectada por el detectorv = velocidad del sonidov

f= velocidad de la fuente

vD

= velocidad del detector

Los signos se pueden determinar sabiendo que f’ debe crecer si fuente y detector se acercan, y debe decrecer si se alejan.

mayor frecuencia(más crestas de onda)

menor frecuencia(menos crestas de onda)



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q

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Sonido: Ultrasonido (ecografías)


● Se llama ultrasonido a las ondas sonoras con frecuencia mayor a 20.000 Hz (inaudible para el oído humano).

● En una ecografía, el emisor de ultrasonido envía una onda a un órgano, y esta onda viaja hasta encontrar una interfase, donde es reflejada y transmitida. Un detector recibe la señal que fue reflejada, y tomando el tiempo entre la emisión y recepción de la señal, puede determinar que tan lejos estaba esa interfase.

● También se pueden comparar las frecuencias emitida y recibida, y así calcular la velocidad de la interfase (Doppler).

vmedio1

vmedio2

vmedio3

X.Compagnion [Public domain]

By Nevit Dilmen (talk)Own work, CC BY-SA 3.0 Dexcel at English Wikipedia. [CC BY 2.5]

carótida ventrículoizquierdo

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