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PROYECTO CURRICULAR

Proyecto curricular

MATEMÁTICAS APLICADASA LAS CIENCIAS SOCIALES II

SEGUNDO CURSO

BACHILLERATO

Autores:

Mónico Cañada Gallardo

Julia Gómez Nadal

Manuel Gordillo Bardón

Lourdes Moreno Balconero

José Ángel Ortega Dato

Juan Francisco Ortega Dato

Ana Josefa Pérez López

Proyecto curricular Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II, 2º Bach. Pág. 1

PROYECTO CURRICULAR


ÍNDICE

PRESENTACIÓN: ASPECTOS DIDÁCTICOS Y METODOLÓGICOS

OBJETIVOS GENERALES DE ETAPA

CONTENIDOS. DISTRIBUCIÓN UNIDADES DIDÁCTICAS.

PROGRAMACIONES DE AULA

PROPUESTA DE TEMPORALIZACIÓN

CRITERIOS DE EVALUACIÓN


PRESENTACIÓN

ASPECTOS DIDÁCTICOS Y METODOLÓGICOS

A medida que el mundo actual ha ido interrelacionando los diversos campos del conocimiento humano, las Matemáticas han ido ampliando su perspectiva y diversificando el tipo de problemas y de situaciones que aborda, de manera que no hay duda de que las Matemáticas impregnen cualquier actividad de la sociedad actual.

En particular, por medio de la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales, se pretende que el alumno mire la realidad social en sus diferentes manifestaciones económicas, sociales, artísticas, humanísticas, etc., desde una perspectiva matemática, aportando la creatividad, el lenguaje y los métodos de expresión propios de esta ciencia, y explorando continuamente los métodos de resolución de problemas que le son inherentes.

Trabajando en este contexto, considerando a las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, es como se ha realizado este proyecto. Partiendo de los tres ejes o bloques en los que se estructura la materia: Álgebra, Análisis y Estadística y Probabilidad, se han reforzado contenidos de primer curso para tener una base sólida en la que abordar otros contenidos que serán finalmente completados en un primer curso universitario o en un ciclo superior de Formación profesional. Sirvan como ejemplo la estadística inferencial o el cálculo diferencial como ampliación de los contenidos de esta etapa educativa.

El texto que se presenta aquí pretende ser una herramienta útil a varios propósitos:

En primer lugar pretende ayudar a los alumnos a mejorar su competencia matemática, proporcionándole métodos directos y cercanos de trabajo, animándoles a confiar en sus propias capacidades, y detectando en su caso aquellos aspectos que pueden mejorar por sí mismos.

Además, queremos que el profesor de matemáticas cuente con un material completo y actualizado con el que impulsar la formación matemática de sus alumnos. La presentación de los contenidos de una forma novedosa, siempre apoyados en ejemplos concretos y sin perder de vista el trasfondo conceptual y formal de nuestra materia, proporciona pautas metodológicas y de actuación en el trabajo diario.

Así, como principios metodológicos generales en el desarrollo de las distintas unidades se apuntan, entre otros:


PRESENTACIÓN Agrupación de unidades en tres bloques de contenido, presentando cada bloque en

páginas iniciales de bloque y resumiéndolo en páginas finales.

Desarrollo de los nuevos contenidos haciendo referencia a aquellas capacidades previas necesarias para abordarlos con garantías.

Realización dentro de cada unidad de variados problemas que han aparecido en las pruebas de acceso a la universidad, con indicación de todas y cada una de las dificultades a las que se pueden enfrentar, e indicaciones para resolverlas.

Propuesta de multitud de actividades, tanto en cada unidad como de final de bloque, que permiten tanto a los alumnos como al profesor elegir aquellas que mejor se adecuan a sus necesidades. El Proyecto incluye el solucionario de todas las actividades.

Apoyo en las herramientas que nos proporcionan las nuevas tecnologías, proporcionando pautas de actuación con programas informáticos de carácter matemático.

Fomento de la propia iniciativa del alumno, facilitándole un texto que, debido a su claridad expositiva, puede ser seguido por un estudiante medio.

Inclusión de tablas, esquemas y resúmenes con el objeto de hacer la teoría estudiada un recurso cercano al alumno, y en ocasiones de inmediata utilización en la resolución de problemas.

Propuesta de problemas contextualizados, extraídos del mundo social, económico, cultural e informativo cercano al alumnado, cuya resolución les permite desarrollar sus capacidades críticas y de elección de estrategias de pensamiento.

En este Proyecto Curricular se parte de los objetivos y criterios de evaluación que para la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II fija el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, sobre implantación del Bachillerato; se propone una distribución de contenidos en 13 unidades didácticas, y se aportan programaciones de aula para cada una de ellas, así como una temporalización aproximada de las mismas.

Corresponde a cada Departamento de Matemáticas, y a cada profesor de área, la tarea de adecuar todos los elementos de esta propuesta a las características particulares del Centro en cuestión y del grupo de alumnos, además de elegir aquellos elementos del texto que mejor se ajusten a lo legislado en la Comunidad Autónoma de referencia.


OBJETIVOS GENERALES DE ETAPA

1. Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar

fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual.

2. Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la necesidad

de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al contexto, las

apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como

un reto.

3. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando

tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con

precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de

enriquecimiento.

4. Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de

problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza

en sí mismo y creatividad.

5. Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar

procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y

detectar inconsistencias lógicas.

6. Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el

tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera,

humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados

obtenidos de ese tratamiento.

7. Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones

matemáticos. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones

susceptibles de ser tratadas matemáticamente.

8. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad, estableciendo

relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico y apreciando su

lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura.


CONTENIDOS. DISTRIBUCIÓN EN UNIDADES DIDÁCTICAS

BLOQUE I. ÁLGEBRA

Unidad 1. Matrices.Las matrices como expresión de tablas y grafos. Operaciones con matrices. Rango de una matriz. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales.

Unidad 2. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss.Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos de resolución. Método de Gauss para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Discusión de sistemas. Resolución de problemas e interpretación de las soluciones.

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché.Determinantes. Resolución matricial de un sistema de ecuaciones. Cálculo del rango de una matriz por determinantes. Teorema de Rouché.

Unidad 4. Inecuaciones lineales. Programación linealInecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones.

BLOQUE II. ANÁLISIS

Unidad 5. FuncionesAspectos globales del estudio de una función real de variable real. Utilización de las funciones como herramienta para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos sociales y económicos. Identificación de la expresión analítica y gráfica de funciones diversas.

Unidad 6. Límites y continuidadAproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los distintos tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información.

Unidad 7. Derivadas. Aplicaciones de las derivadasDerivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de las funciones habituales y a la resolución de los problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.

Unidad 8. Representación gráfica de funcionesEstudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades locales y globales.


CONTENIDOS. DISTRIBUCIÓN EN UNIDADES DIDÁCTICAS

Unidad 9. Integral. Área bajo una curva.Aproximación al concepto de integral indefinida a partir de la operación inversa a la derivación. Métodos de integración en casos sencillos. El problema del área bajo una curva. Cálculo de áreas sencillas.

BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Unidad 10. ProbabilidadProfundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes.

Unidad 11. Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad discretas y continuas. Distribución binomial y distribución normal. Implicaciones prácticas del teorema de aproximación de la Binomial a la Normal.

Unidad 12. Muestreo e inferenciaProblemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida.

Unidad 13. Contrastes de hipótesisContraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.



Unidad 1: Matrices

Objetivos Utilizar las matrices para expresar informaciones contenidas en tablas y grafos.

Identificar los distintos tipos de matrices: fila, columna, nula, cuadrada, triangular superior, triangular inferior, diagonal e identidad.

Realizar correctamente operaciones con matrices: sumas de matrices, productos de un número por una matriz y productos de matrices.

Reconocer cuándo dos matrices se pueden sumar o multiplicar, y qué dimensión tiene la matriz resultante.

Aplicar de forma adecuada las propiedades de las operaciones con matrices.

Utilizar el método de Gauss para calcular el rango de una matriz.

Calcular la matriz inversa de una dada cuando exista.

Resolver ecuaciones matriciales.

Contenidos Definición de matriz.

Aplicaciones a tablas y grafos.

Igualdad de matrices.

Tipos de matrices: matriz fila, matriz columna, matriz nula, matriz cuadrada, matriz triangular, matriz diagonal, matriz identidad.

Operaciones con matrices.

Suma de matrices. Propiedades.

Producto de un número por una matriz. Propiedades.

Producto de matrices. Propiedades.

Potencias de una matriz cuadrada.

Transposición de matrices. Matriz simétrica.

Rango de una matriz.

Matriz escalonada.

Cálculo del rango de una matriz por el Método de Gauss.

Matriz inversa.

Matriz regular y matriz singular.

Método directo para el cálculo de la matriz inversa.

Método de Gauss-Jordan.


PROGRAMACIONES DE AULA Ecuaciones matriciales.

Criterios de evaluación Utilizar el lenguaje matricial para expresar información contenida en tablas y grafos, y

para resolver problemas relacionados con las ciencias sociales.

Aplicar las operaciones con matrices en situaciones reales en las que hay que transmitir información.

Operar correctamente con matrices e interpretar adecuadamente los resultados obtenidos.

Calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss.

Aplicar el método de Gauss-Jordan o el método directo para calcular la matriz inversa de una matriz regular.

Plantear y resolver ecuaciones matriciales.

TemporalizaciónA esta unidad se le puede dedicar 2 semanas.

Sugerencias metodológicasComenzamos el bloque de álgebra con esta primera unidad dedicada al estudio de las matrices. Estos objetos matemáticos resultan imprescindibles para abordar las siguientes unidades de álgebra, en las que las matrices se utilizan constantemente: resolución de sistemas lineales por el método de Gauss, determinante de una matriz, utilización del rango de matrices para estudiar los sistemas de ecuaciones, etc.

Aunque es en este curso cuando se introduce por primera vez el concepto de matriz, a los alumnos no les suele resultar muy complicado operar con matrices y aplicarlas a la resolución de problemas relacionados con las ciencias sociales.

Quizás las mayores dificultades se encuentren en la aplicación del método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa, debido a que es necesario realizar muchos cálculos para aplicar las transformaciones elementales, sobre todo en matrices de orden 3.

En la resolución de ecuaciones matriciales, cuando se trata de despejar la incógnita, se debe hacer hincapié en la aplicación correcta de las propiedades de las operaciones con matrices y, en particular, en la no conmutatividad del producto de matrices.



Unidad 2: Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

Objetivos Reconocer un sistema de ecuaciones lineales y qué significa su solución.

Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones en compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.

Reconocer cuando dos sistemas lineales son equivalentes y las transformaciones elementales que conducen a ellos.

Utilizar las transformaciones elementales para simplificar un sistema lineal, acercándonos a su solución.

Identificar un sistema escalonado y hallar su solución por sustitución regresiva.

Resolver un sistema lineal por distintos métodos algebraicos y por el método de Gauss con matrices.

Discutir y resolver sistemas lineales con parámetros.

Resolver problemas de enunciado mediante el planteamiento y resolución de sistemas lineales.

Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas relacionados con las ciencias sociales.

Contenidos Ecuaciones lineales. Ecuaciones equivalentes.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.

Sistemas equivalentes. Transformaciones elementales.

Resolución de sistemas por métodos algebraicos.

Sistemas escalonados. Método de sustitución regresiva.

El método de Gauss.

El método de Gauss con matrices.

Discusión y resolución de sistemas con parámetros.

Problemas de enunciado.

Criterios de evaluación Resolver un sistema lineal por el método de Gauss con matrices u otros métodos

algebraicos.

Plantear un sistema lineal a través de operaciones con matrices.

Discutir un sistema lineal con parámetros mediante el método de Gauss.

Resolver un sistema lineal con parámetro cuando sea compatible.


PROGRAMACIONES DE AULA Utilizar un sistema lineal para resolver un problema de enunciado.

TemporalizaciónA esta unidad se le puede dedicar de 3 semanas.

Sugerencias metodológicas

En el primer curso de bachillerato los alumnos ya resuelven sistemas lineales de hasta tres ecuaciones con tres incógnitas, utilizando los métodos algebraicos tradicionales de sustitución, reducción e igualación, así como también el método de Gauss. Al comienzo de esta unidad consideramos conveniente repasar estos métodos para, a continuación, avanzar en el estudio de los sistemas lineales.

Con la ayuda de las matrices, ahora es el momento de agilizar los cálculos de resolución de los sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss con matrices. Para mecanizar la aplicación del método de Gauss, es necesario que los alumnos lo practiquen con muchos ejemplos. Y, una vez escalonado el sistema, que reconozcan de forma rápida si es incompatible o compatible (determinado o indeterminado). Se debe prestar una especial atención a la resolución en el caso de compatible indeterminado, porque suele ser el que presenta mayores apuros para los alumnos.

La discusión y resolución de sistemas con parámetros es, con frecuencia, el apartado de la unidad que entraña más dificultad. Suele ser necesario practicar con varios ejemplos para que los alumnos lleguen a realizar correctamente las transformaciones elementales en las que interviene el parámetro.

La aplicación de los sistemas lineales para resolver problemas de enunciado es el apartado más interesante de la unidad. En la resolución de estos problemas los alumnos llegan a captar la utilidad y eficiencia del álgebra.



Unidad 3: Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché

Objetivos Calcular el valor de un determinante de orden 3 mediante la regla de Sarrus.

Hallar el valor de un determinante de hasta orden 4 por el método del pivote.

Aplicar correctamente las propiedades de los determinantes para simplificarlos.

Hallar el rango de una matriz utilizando determinantes.

Hallar la matriz inversa de una matriz regular mediante determinantes.

Resolver mediante matrices un sistema lineal cuadrado.

Reconocer cuándo un sistema es de Cramer y resolver estos sistemas por la regla de Cramer.

Aplicar el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad de un sistema lineal, y resolverlo en el caso de que sea compatible.

Analizar, discutir y resolver sistemas lineales con parámetros mediante el teorema de Rouché y la regla de Cramer.

Contenidos Determinante de una matriz cuadrada.

Determinantes de orden 2.

Determinantes de orden 3. Regla de Sarrus.

Determinante de una matriz de cualquier orden.

Menor complementario y adjunto de un elemento.

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

Propiedades de los determinantes.

Cálculo de determinantes de cualquier orden. Método del pivote.

Cálculo del rango de una matriz por el método del menor orlado.

Cálculo de la matriz inversa mediante determinantes.

Resolución de matricial de un sistema lineal cuadrado.

Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.

Teorema de Rouché.

Discusión de un sistema lineal general.

Criterios de evaluación Hallar el valor de un determinante de hasta orden 4, aplicando las propiedades de los

determinantes si es necesario.


PROGRAMACIONES DE AULA Calcular el rango de una matriz, hasta de orden 5, mediante el método del menor orlado.

Hallar la inversa de una matriz regular de orden 3 utilizando determinantes.

Resolver un sistema lineal cuadrado por cálculo matricial.

Resolver un sistema de Cramer mediante la regla de Cramer.

Utilizar el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales, y resolverlo en el caso de que sea compatible.

Discutir y resolver sistemas lineales con parámetros mediante el teorema de Rouché y la regla de Cramer.

Temporalización

A esta unidad se le puede dedicar de 3 semanas.

Sugerencias metodológicasCon esta unidad se culmina el estudio de los sistemas lineales, iniciado en la unidad anterior, introduciendo un nuevo concepto: el determinante de una matriz cuadrada.

La utilización de determinantes nos permite abordar con mayor eficiencia el cálculo del rango de una matriz para, a continuación, discutir los sistemas lineales mediante la regla de Cramer y el teorema de Rouché. La ventaja de estos métodos frente al de Gauss se aprecia con mayor claridad cuando se trata la discusión y resolución de sistemas con parámetros, cuestión esta en la que se debe insistir en clase.

Es importante tener en cuenta que los contenidos de esta unidad no se ajustan a lo legislado en algunas Comunidades Autónomas, por lo que corresponde a cada Departamento de Matemáticas, y a cada profesor, la tarea de adecuarlos a las características particulares de su Instituto, suprimiendo, en su caso, alguno de los apartados o, incluso, dejando de impartir esta unidad.



Unidad 4. Inecuaciones lineales. Programación lineal

Objetivos Resolver correctamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una o dos

incógnitas.

Reconocer situaciones extraídas de las Ciencias Sociales en las que se precise optimizar una función lineal en dos variables.

Identificar aquellos problemas que se resuelven por métodos de Programación lineal bidimensional, estableciendo sus elementos.

Saber calcular y clasificar la región factible correspondiente a un sistema de restricciones dado.

Resolver un problema de programación lineal por métodos algebraicos, evaluando la función objetivo en los puntos adecuados.

Elaborar las líneas de nivel de una función objetivo, facilitando así su resolución por métodos gráficos.

Distinguir los problemas de programación lineal según sus soluciones, reconociendo aquellos que no tienen solución y analizando las causas.

Analizar un problema en su totalidad, desde su consideración en un contexto real, hasta el estudio de sus posibles soluciones.

Contenidos Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Región factible de un sistema de inecuaciones.

Programación lineal. Planteamiento del problema.

Método analítico y método gráfico en la resolución de un problema de programación lineal.

Programación lineal entera.

Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos.

Interpretación de las soluciones.

Criterios de evaluación Plantear el sistema de restricciones y la función objetivo de un problema de

programación lineal real extraído de las ciencias sociales.

Hallar la región factible correspondiente a un sistema de restricciones expresado mediante inecuaciones.


PROGRAMACIONES DE AULA Resolver un problema de programación lineal por el método analítico y por el método

gráfico.

Resolver problemas de programación lineal que requieren una solución entera.

Interpretar adecuadamente el resultado de un problema de programación lineal, incluyendo aquellos problemas en que se da la no existencia de valor óptimo.

TemporalizaciónEsta unidad requiere un tiempo aproximado de dos semanas.

Sugerencias metodológicasLa unidad, eminentemente práctica, está vertebrada en torno a ejemplos concretos de problemas de programación lineal de máximo y de mínimo. Estos ejemplos sirven para clarificar las distintas fases en la resolución del problema.

Debe incidirse en la correcta realización de la región factible en un problema dado, ya que un error en este primer paso puede invalidar posteriores acciones.

Después, es importante que el alumno elija adecuadamente el método a seguir para cada problema (analítico o gráfico). Para ello, debe ponderar las dificultades de tipo algebraico (analítico) con la elaboración de las líneas de nivel para la función objetivo (gráfico).

Todo esto, junto a la necesidad de interpretar adecuadamente las soluciones obtenidas, o la ausencia de solución, hacen que el alumno vaya adquiriendo estrategias de selección de diversos métodos y a la vez aprenda a razonar de manera crítica y constructiva.

Por otro lado, en esta unidad, las nuevas herramientas tecnológicas pueden ser de gran utilidad en la determinación de regiones factibles y en la comprobación gráfica y analítica de los resultados.



Unidad 5 – Funciones

Objetivos Realizar cualquier tipo de operaciones con funciones, fundamentalmente la

composición, así como el cálculo de la función inversa.

Definir una función en cualquiera de sus formas (mediante tablas, expresión analítica, por medio de una frase…) a partir de una relación entre dos magnitudes.

Estudiar las propiedades de una función y extraer conclusiones válidas en el ámbito de las ciencias sociales.

Calcular los puntos más singulares de una función, así como su comportamiento local y global.

Conocer las familias de funciones elementales.

Contenidos Funciones reales de variable real. Definiciones básicas. Operaciones con funciones.

Composición de funciones. Función inversa a una dada.

Características de las funciones. Propiedades. Puntos de corte, acotación, monotonía, extremos relativos.

Representación gráfica aproximada de cualquier función.

Principales familias de funciones elementales.

Criterios de evaluación Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser

descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características.

Temporalización2 SEMANAS

Sugerencias metodológicasCon esta unidad comenzamos el bloque de Análisis, por ello y debido al tipo de alumnado y al itinerario seguido para cursar esta materia, hemos considerado oportuno introducir este tema de repaso y consolidación de conceptos básicos relacionados con el análisis en general y las funciones en particular.

Pretendemos, por tanto, que cuando el alumno acabe este tema esté preparado para poder abordar el resto del bloque. Conceptos tan importantes como el de límite, continuidad,


PROGRAMACIONES DE AULAderivabilidad e integrabilidad de una función es necesario abordarlos con la seguridad de que el alumno controla los conceptos más básicos de esta rama de la matemática.


PROGRAMACIONES DE AULAUnidad 6 – Límites y continuidad

Objetivos Comprender el concepto de límite de una función en un punto de forma gráfica y

analítica.

Determinar la continuidad de una función en un punto, en un intervalo o en todo su dominio de definición.

Diferenciar los distintos tipos de discontinuidades que puede presentar una función en un punto.

Contenidos Límite de una función en un punto. Límites laterales, límites laterales infinitos.

Asíntotas verticales.

Límite de una función en el infinito. Asíntotas horizontales.

Cálculo de límites. Indeterminaciones más usuales.

Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades.

Continuidad de una función en un intervalo.

Criterios de evaluación Calcular de forma gráfica y analítica límites de funciones, incluyendo aquellos

casos en los que sea necesarios calcular los límites laterales.

Resolver las principales indeterminaciones surgidas a la hora del cálculo del límite de una función en un punto.

Interpretar el valor del límite de una función en un punto, en el infinito, independientemente de que este valor sea un número real o infinito.

Estudiar la continuidad de una función en un punto, un intervalo o en todo su dominio de definición.

Resolver problemas de límites y continuidad de funciones aplicados a las ciencias sociales.




PROGRAMACIONES DE AULAEs conveniente comenzar a introducir el concepto del límite de una función en un punto de forma gráfica, haciendo hincapié en la diferencia entre este concepto y el valor de la función en un punto. Para ello es recomendable utilizar las funciones definidas a trozos.

Aprovechando el estudio de límites laterales infinitos y de límites en el infinito, debemos introducir respectivamente, el concepto de asíntota vertical y de asíntota horizontal. Para esto será fundamental que el alumno entienda lo que esto supone de forma gráfica.

Todo lo expresado anteriormente toma una vital importancia a la hora de abordar la segunda parte de esta unidad: la continuidad de una función.

Teniendo en cuenta la filosofía de esta materia, desde el primer momento se deben ir poniendo ejemplos con problemas contextualizados al ámbito de las ciencias sociales.



Unidad 7 – Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

Objetivos Entender el concepto de derivada de una función en un punto.

Interpretar geométricamente la derivada de una función en un punto. Recta tangente

Aplicar el concepto de función derivada, así como el de derivadas sucesivas y las reglas de derivación para la resolución de problemas contextualizados en el campo de las ciencias sociales.

Contenidos Derivada de una función en un punto. Concepto e interpretación geométrica.

Función derivada de una función. Derivadas sucesivas.

Reglas de derivación. Derivadas de las funciones elementales. Derivadas de las operaciones. Regla de la cadena.

Aplicaciones de la derivada. Recta tangente.

Aplicaciones de la derivada. Monotonía de una función. Extremos relativos.

Aplicaciones de la derivada. Curvatura de una función. Puntos de inflexión.

Optimización de funciones. Aplicaciones al campo de las ciencias sociales.

Criterios de evaluación Calcular la derivada de funciones elementales, así como la aplicación correcta de las

reglas de derivación.

Obtener la recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado.

Utilizar la primera derivada para el cálculo de los extremos relativos de una función, así como para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma.

Utilizar la segunda derivada para calcular los puntos de inflexión de una función, así como para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la misma.

Resolver problemas de optimización de funciones, fundamentalmente del ámbito de las ciencias sociales.




PROGRAMACIONES DE AULAProponemos comenzar este tema explicando de forma somera que la derivada de una función en un punto es la tasa de variación instantánea en ese punto.

Posteriormente le haremos ver al alumno que se puede obtener una función a partir de otra sin más que asignar a cada punto la pendiente de la recta tangente.

Creemos que hay que intentar que el alumno consigas destrezas en el cálculo de derivadas, aplicando las reglas de derivación pertinentes. Para ello proponemos que se realicen un buen número de ejercicios de cálculo de derivadas de funciones.

A la hora de resolver problemas de optimización debemos hacer hincapié en la diferencia entre extremo relativo y extremo absoluto



Unidad 8 – Representación gráfica de funciones

Objetivos

Representar gráficamente funciones a partir del estudio de sus propiedades locales y globales basándonos en informaciones extraídas de la propia función, de su derivada y de su segunda derivada.

Contenidos Información extraída de la función. Dominio, simetría, continuidad, cortes con los ejes,

intervalos de signo constante y asíntotas.

Información extraída de la primera derivada. Extremos relativos y monotonía de una función.

Información extraída de la segunda derivada. Puntos de inflexión y curvatura de una función.

Criterios de evaluación Calcular el dominio, la simetría, la continuidad, los puntos de corte con los ejes, los

intervalos de signo constante y las asíntotas a partir del estudio de una función dada.

Calcular los extremos relativos y determinar los intervalos de crecimiento a partir del estudio de la primera derivada de una función dada.

Calcular los puntos de inflexión y determinar los intervalos de concavidad y convexidad a partir de la segunda derivada de una función dada.

Representar gráficamente una función dada como conclusión del estudio realizado de la función, la primera y la segunda derivada.

Aplicar la representación gráfica de una función a la resolución de problemas.


Sugerencias metodológicasNuestro objetivo en esta unidad es que los alumnos sepan representar gráficamente funciones. Para ello proponemos dividir el estudio de las propiedades de una función extrayendo información de la propia función, de su derivada y de su segunda derivada exclusivamente.

Creemos que el alumno debe aprender a distinguir aquellas funciones en las que no sea necesario realizar el estudio completo para su representación. Por este motivo, es importante


PROGRAMACIONES DE AULAincidir en el tipo de función que van a representar, pues ello les da una idea de la complejidad del estudio a realizar, previamente a la representación gráfica.

Proponemos comenzar con funciones polinómicas, incidiendo sobre todo en las cuadráticas y cúbicas, para terminar representando funciones racionales sencillas en las que los grados del numerador y del denominador no excedan del dos.



Unidad 9. Integral. Área bajo una curva

Objetivos Relacionar cálculo diferencial y cálculo integral para resolver integrales inmediatas sencillas.

Utilizar el concepto de integral definida para calcular áreas delimitadas por funciones elementales.

Contenidos Primitiva de una función.

Cálculo de primitivas mediante técnicas elementales.

Utilización de las propiedades de la integral.

Utilización de la tabla de integrales inmediatas.

Métodos de integración elementales: integración por partes y cambio de variable.

Integral definida. Regla de Barrow.

Aplicación de la regla de Barrow para el cálculo del área encerrada bajo una curva.

Aplicación de la regla de Barrow para el cálculo del área encerrada por dos funciones.

Valoración de la importancia fundamental que ha tenido el cálculo integral en el desarrollo de diversas disciplinas, en particular, de la Física.

Criterios de evaluación Aplicar el cálculo de las integrales en la medida de regiones planas limitadas por rectas y

curvas sencillas que sean fácilmente representables.

Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso.

TemporalizaciónAl desarrollo de esta unidad se le dedicarán 3 semanas.

Sugerencias metodológicasEste tema finaliza el bloque de análisis y por tanto es frecuente que los problemas que aparecen requieran del conocimiento y uso de conceptos anteriores.

Para el buen desarrollo del tema es fundamental tener bien afianzados el concepto y el cálculo de derivadas


PROGRAMACIONES DE AULAEl cálculo de las integrales indefinidas se debe trabajar secuenciando la introducción de las mismas de modo que cada integral ya conocida nos permita calcular otra nueva.

Es muy interesante el apoyo de programas gráficos para la representación de las funciones que aparecen en el cálculo de áreas. En este sentido el programa GRAPH puede ser de gran utilidad, si bien cabe recordar que en la inmensa mayoría de las PAU se pide tanto la representación gráfica como el cálculo de áreas.



Unidad 10. Probabilidad

Objetivos Conocer y aplicar el lenguaje de los sucesos y la probabilidad, así como sus operaciones

y propiedades.

Calcular probabilidades de sucesos mediante la regla de Laplace o a partir de diagramas de árbol.

Resolver problemas relacionados con la probabilidad compuesta, condicionada y la probabilidad total.

Contenidos Experimentos aleatorios. Sucesos y frecuencias de sucesos. Operaciones con sucesos.

Propiedades.

Probabilidad de un suceso. Frecuencia y probabilidad. Regla de Laplace.

Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes. Diagramas en árbol. Tablas de contingencia.

Probabilidad condicionada.

Probabilidad total.

Teorema de Bayes.

Criterios de evaluación Expresar un enunciado mediante las operaciones con sucesos.

Aplicar las leyes de la probabilidad y las operaciones con sucesos para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros.

Asignar e interpretar probabilidades a sucesos compuestos, dependientes e independientes, utilizando técnicas de cuenteo directo, diagramas de árbol y tablas de contingencia.

Calcular probabilidades totales o “a posteriori” utilizando el Teorema de la probabilidad Total y el Teorema de Bayes.

TemporalizaciónEl desarrollo de esta unidad requiere aproximadamente 2 semanas

Sugerencias metodológicasEs importante hacerle ver a los alumnos que desde la antigüedad los hombres han estado interesados por los juegos de azar. Precisamente este tipo de juegos han dado lugar a la


PROGRAMACIONES DE AULAmoderna teoría de probabilidades que sigue siendo hoy día, como se muestra en la unidad, herramienta de importantes teorías científicas y de las ciencias sociales.

Se puede comenzar la unidad recordando lo que ya conocen los alumnos sobre experiencias aleatorias, sucesos y las operaciones entre ellos. A partir de la regla de Laplace, como herramienta básica para el cálculo de probabilidades a priori, y los axiomas fundamentales de la probabilidad, se pueden abordar problemas complejos de probabilidad compuesta, condicionada y total.

En prácticamente la totalidad de pruebas PAU se proponen problemas sobre probabilidad de diferente grado de complejidad.



Unidad 11 – Distribuciones de probabilidad

Objetivos Asignación de probabilidades a sucesos. Plantear variables aleatorias.

Identificar variables aleatorias discretas y continuas y formalizar su estudio.

Reconocer, manejar e interpretar las distribuciones binomial y normal.

Contenidos Variable aleatoria

Variable aleatoria discreta. Función de probabilidad y de distribución.

Parámetros de una variable aleatoria discreta.

Distribución binomial.

Variable aleatoria continua. Función de densidad y de distribución.

Distribución normal.

Aproximación de la distribución binomial a la normal.

Criterios de evaluación Utilizar las variables aleatorias para asignar probabilidades a los diferentes sucesos de

un espacio muestral.

Utilizar las distribuciones de probabilidad binomial y normal para determinar la probabilidad de sucesos, analizando cada situación y decidiendo por la opción más adecuada.

Temporalización2 semanas

Sugerencias metodológicasEn la resolución de problemas en la unidad anterior se puede hacer ver a los alumnos que frecuentemente existen situaciones que por su similitud se pueden agrupar y formalizar definiendo un modelo teórico llamado distribución de probabilidad.

Dichas distribuciones de probabilidad en este nivel educativo vienen representadas por los dos grandes paradigmas de la probabilidad, en las distribuciones discretas se ejemplifica con la distribución binomial y en las distribuciones continuas con la distribución normal que se relacionan al final de la unidad en la aproximación de la binomial a la normal.


PROGRAMACIONES DE AULAAunque estos contenidos han sido trabajados en el curso anterior conviene repasarlos con los alumnos para poder abordar las siguientes unidades en las cuales las distribuciones binomial y normal son imprescindibles para el trabajo con muestras estadísticas y en inferencia estadística.



Unidad 12 – Muestreo e inferencia

Objetivos Conocer el papel de las muestras y valorar su representatividad, sus características, el

proceso del muestreo y los diferentes modos de obtener muestras aleatorias.

Conocer y saber utilizar las distribuciones de probabilidad de los diferentes parámetros muestrales: media, proporciones, y diferencia de medias.

Comprender la necesidad estimar los parámetros poblacionales a partir de los parámetros muestrales. Intervalos de confianza.

Conocer, comprender y aplicar la relación que existe entre el tamaño de la muestra, el nivel de confianza y el error máximo admisible en la construcción de intervalos .e confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias.

Contenidos Muestreo. Tipos de muestreo.

Distribución muestral de medias, proporciones y diferencia de medias.

Inferencia. Estimación puntual y por intervalos de confianza.

Intervalos de confianza para la media poblacional, la proporción poblacional y la diferencia de medias poblacionales.

Tamaño de la muestra.

Criterios de evaluación Diferenciar entre el colectivo poblacional y las muestras y razonar porqué se debe

recurrir a una muestra en una circunstancia concreta.

Comprender que una muestra ha de ser aleatoria y de un tamaño adecuado a las circunstancias de la experiencia.

Describir la distribución de las medias muestrales y calcular probabilidades relativas a ellas.

Describir la distribución de las proporciones muestrales y calcular probabilidades relativas a ellas.

Describir la distribución de la diferencia de las medias muestrales y calcular probabilidades relativas a ellas.

Construir un intervalo de confianza para la media para un determinado nivel de confianza.

Construir un intervalo de confianza para la proporción para un determinado nivel de confianza.

Construir un intervalo de confianza para la diferencia de medias para un determinado nivel de confianza.


PROGRAMACIONES DE AULA Calcular el tamaño mínimo que debe tener la muestra para conseguir un nivel de

confianza y un error determinado en la estimación de los diferentes parámetros poblacionales a partir de los intervalos de confianza.


Sugerencias metodológicasEl alumno ha trabajado en cursos anteriores la rama de las matemáticas correspondiente a la estadística descriptiva, que se ocupa de ordenar, representar y calcular los parámetros de los datos obtenidos en un conjunto concreto y determinado de elementos. Ahora, debemos hacerle comprender que lo realmente interesante y necesario es extraer información de un conjunto determinado de elementos, al que tenemos fácil acceso y denominamos muestra, para después aplicar las conclusiones obtenidas a una gran población por diferentes motivos inaccesible. Con tal fin, debemos estudiar la inferencia estadística.

En todas las pruebas PAU pedirán resolver problemas sobre inferencia estadística. Deberá “estimar”, “inducir”, sacar conclusiones sobre algún parámetro estadístico y medir en términos de probabilidad el grado de certeza o incertidumbre de la



Unidad 13: Contraste de hipótesis

Objetivos Conocer, comprender y aplicar contrastes de hipótesis para la proporción de una

distribución binomial y para la media y diferencia de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.

Contenidos Contraste de hipótesis. Hipótesis nula e hipótesis alternativas.

Contrastes unilaterales y contrastes bilaterales.

Nivel de significación y nivel de confianza. Zona de aceptación.

Fases de un contraste de hipótesis.

Contraste para la media de una población, para la proporción y para la diferencia de medias.

Posibles errores en el contraste de hipótesis.

Criterios de evaluación Interpretar correctamente el significado de contraste de hipótesis.

Resolver situaciones reales en las que haya que aceptar o rechazar una hipótesis a partir de la información obtenida de una muestra.

Distinguir entre contraste unilateral y bilateral y su influencia a la hora de hallar la región de aceptación o rechazo.

Identificar, en una información dada, la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

Calcular la región de aceptación y de rechazo para un nivel de significación dado.

Conocer las distintas fases de un contraste de hipótesis.

Aceptar o rechazar una hipótesis a partir de los resultados de una muestra.

Identificar posibles errores en el contraste de una hipótesis estadística.



Se puede comenzar la unidad aclarando al alumno el porqué, para qué y las diferencias entre las distintas ramas de la estadística. Los problemas de contrastes de hipótesis, que aparecen


PROGRAMACIONES DE AULAfrecuentemente en las pruebas PAU de todas las comunidades autónomas se sitúan en la estadística hipotético deductiva.

La estadística descriptiva, extrae conclusiones referentes únicamente al grupo de elementos estudiado. La inferencia estadística, o estadística inferencial, nos permite extraer conclusiones sobre una población a partir del estudio realizado en una muestra. La inferencia estadística, a su vez, tiene dos ramas: la estadística inductiva, que pretende estimar un valor o un conjunto de valores de la población a partir de los valores de la muestra y la estadística hipotético deductiva, cuyo objetivo es comprobar hipótesis realizadas sobre el valor de alguna característica de la población a partir de lo observado en una muestra aleatoria de la misma.

Es importante también, como colofón del bloque de estadística y probabilidad, ofrecer al alumno la aplicación frecuente que, hoy en día, se hace de la misma, no sólo en ciencias naturales, sino en humanidades y ciencias sociales. Es habitual el uso de la inferencia estadística en psicología, en medicina e incluso en ciencias sociales y geografía, ofreciendo ejemplos concretos de estas aplicaciones. En general, en cualquier investigación se pretende llegar a conclusiones válidas para toda una población a partir de la información contenida en dos o más teorías.


PROPUESTA DE TEMPORALIZACIÓN

La distribución temporal dependerá de la programación hecha por el departamento. Nosotros proponemos a modo de orientación la siguiente:

Bloque I. Aritmética y Álgebra

Unidad 1. Matrices 2 semanas

Unidad 2. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 3 semanas

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché 3 semanas

Unidad 4. Inecuaciones lineales. Programación lineal 2 semanas

Bloque II. Análisis

Unidad 5. Funciones 2 semanas

Unidad 6. Límites y continuidad 2 semanas

Unidad 7. Derivadas. Aplicaciones de la derivada 3 semanas

Unidad 8. Representación gráfica de funciones 2 semanas

Unidad 9. Integral. Área bajo una curva 3 semanas

Bloque III. Probabilidad y Estadística

Unidad 10. Probabilidad 2 semanas

Unidad 11. Distribuciones de probabilidad 2 semanas

Unidad 12. Muestreo e inferencia 2 semanas

Unidad 13. Contrastes de hipótesis 2 semanas


CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de situaciones que manejen datos estructurados en forma de tablas o grafos.

Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, ecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas.

Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características.

Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función y resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social.

Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o tablas de contingencia.

Diseñar y desarrollar estudios estadísticos de fenómenos sociales que permitan estimar parámetros con una fiabilidad y exactitud prefijadas, determinar el tipo de distribución e inferir conclusiones acerca del comportamiento de la población estudiada.

Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones.

Reconocer la presencia de las matemáticas en la vida real y aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, utilizando y contrastando distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento.


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