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PROYECTO CURRICULAR

Proyecto curricular

MATEMÁTICAS APLICADASA LAS CIENCIAS SOCIALES

PRIMER CURSO

BACHILLERATO

Autores: José María Martínez Mediano

Proyecto curricular Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales, 1º Bach. Pág. 1/45

PROYECTO CURRICULAR

Rafael Cuadra López

Francisco Javier Barrado Chamorro


ÍNDICE

PRESENTACIÓN: ASPECTOS DIDÁCTICOS Y METODOLÓGICOS

OBJETIVOS GENERALES DE ETAPA

OBJETIVOS DEL CURSO

DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOS

TEMPORALIZACIÓN

CRITERIOS DE EVALUACIÓN


PRESENTACIÓN

ASPECTOS DIDÁCTICOS Y METODOLÓGICOS

A medida que las Matemáticas han ido ensanchando y diversificando su objeto y su perspectiva, han sido también crecientemente consideradas como un lenguaje aplicable a los más distintos fenómenos y aspectos de la realidad, un lenguaje universal por su estructura y uso, y, además, sumamente eficaz. Con ello las Matemáticas se han convertido en un potente y apreciado instrumento de intercomunicación entre los conocimientos. En relación con esta funcionalidad e instrumentalidad suya como lenguaje, como vehículo de expresión de las realidades de que tratan los saberes, es conveniente que los alumnos de la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales, adquieran un buen dominio de determinadas destrezas y expresiones matemáticas.

La idea de la Matemática como instrumento potente y capaz de resolver problemas en los ámbitos más diversos nos parece de primera importancia. A la vez, pensamos, que no se debe descuidar su dimensión formativa, pues, las matemáticas han de contribuir al establecimiento y consolidación de destrezas de carácter general; hábitos de trabajo, curiosidad por investigar y resolver problemas, creatividad en la formulación de conjeturas, etcétera.

Este texto es un instrumento para que los alumnos, ayudados por sus profesores, se acerquen a los objetivos enunciados. Para ello, a la vez que se desarrollan teóricamente los contenidos, se hace un notable hincapié en la resolución de problemas, con el propósito de que los alumnos adquieran el convencimiento de que aprendan practicando Matemáticas.

El libro, por sí mismo e independientemente de sus contenidos, que serán descritos más adelante, pretende:

Ayudar a los alumnos en su aprendizaje matemático; animándoles a un estudio-trabajo atractivo y eficaz, y capaz de progresar de manera autónoma, pues, cada alumno y alumna, es el verdadero protagonista de su aprendizaje.

Ayudar a los profesores en su tarea docente, facilitándoles un material con el que impulsar la formación de los alumnos. Todo ello, sin menoscabo de la necesaria apertura del currículo a la realidad del entorno, de los alumnos y del mismo profesor. A él corresponde, junto a los demás miembros de sus departamentos, reflexionar y seleccionar los objetivos y contenidos de una manera abierta y flexible, de modo que atienda las características propias y peculiares de cada alumno, de cada centro y de cada comunidad educativa.

Estructura del libro:

La presentación de conceptos y procedimientos en el libro de texto se lleva a cabo de manera secuencial y ordenada, partiendo de un nivel inicial básico y siguiendo un orden de dificultad creciente. A lo largo de la unidad se presenta gran cantidad de actividades que el alumnado puede ir realizando día a día, dentro o fuera del aula. Estas actividades estan clasificadas en tres grupos o grados de dificultad o complejidad, según se va avanzando en la unidad:


PRESENTACIÓNPara repasar (nivel básico). Para afianzar (nivel medio). Para profundizar (nivel avanzado).

Se pretende que a medida que el alumno va resolviendo ejemplos vaya adquiriendo las capacidades y conocimientos necesarios para cumplir los objetivos marcados en cada unidad. Cada epígrafe va seguido de varias actividades propuestas similares a los ejemplos resueltos.

Los márgenes contienen elementos de repaso de cursos pasados, ejemplos, pequeñas demostraciones, notas históricas que contienen anécdotas y extractos históricos sobre matemáticos y científicos, referencias de páginas web.

Al final de cada unidad se dedican varias páginas a resolver y plantear problemas. Cada unidad contiene entre 10 y 15 problemas resueltos, clasificados por tipos y que abracan todos los conceptos desarrollados en la unidad. Los problemas resueltos no son para estudiarlos: el alumno debe intentar hacerlos sin mirar la solución, recurriendo a ella sólo cuando falle en su intento.

Los Problemas propuestos son para que el profesor recomiende los que considere más oportunos o para que el alumno se proponga retos para afianzar su aprendizaje. En cada unidad se proponen entre 30 y 50 problemas, también clasificados por tipos. Todos los problemas llevan su solución, salvo los que requieran una gráfica para ello.

La última página de cada unidad se centra en la propuesta de 10 cuestiones básicas, que son preguntas cortas y concretas, concebidas a modo de autoevaluación. Al final se sugieren 2 cuestiones para investigar, con la idea de que los alumnos puedan profundizar en algún aspecto que les llame la atención; para ello se recurre frecuentemente a Internet.

Para facilitar el desarrollo de cada unidad se dispone de la Guía del profesor que contiene orientaciones pedagógicas y recursos didácticos con actividades complementarias resueltas. También se facilita el Solucionario de todas las actividades y problemas propuestos en el libro del alumno.


OBJETIVOS GENERALES DE ETAPA

Adquirir y aplicar los conocimientos matemáticos a situaciones diversas que puedan presentarse en fenómenos propios de las ciencias sociales.

Utilizar y contrastar diversas estrategias para resolver problemas.

Adaptar los conocimientos matemáticos adquiridos a la situación problemática planteada con el fin de encontrar la solución.

Mostrar actitudes propias de la actividad matemática como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la exigencia de contrastar apreciaciones intuitivas.

Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de notaciones y términos matemáticos.

Establecer relaciones entre las matemáticas y el medio social, cultural y económico, reconociendo su valor como parte de nuestra cultura.

Servirse de los medios tecnológicos que se encuentran a su disposición, haciendo un uso racional de ellos y descubriendo las enormes posibilidades que ofrecen.

Aprovechar los cauces de información facilitados por las nuevas tecnologías, seleccionando aquello que pueda ser más útil para resolver problemas.

Desarrollar hábitos de trabajo, así como curiosidad, creatividad, interés y confianza en sí mismos para investigar y resolver situaciones problemáticas nuevas y desconocidas.

Como se indica en el Real Decreto, la enseñanza de las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales en el Bachillerato tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:

Aplicar los conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos, en particular, en la interpretación de fenómenos y procesos de las ciencias sociales y humanas.

Formular hipótesis; diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas, de forma que les permita enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza en sí mismos y creatividad.

Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar críticamente opiniones, datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento.

Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la necesidad de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como un reto.


OBJETIVOS GENERALES DE ETAPAUtilizar un discurso racional para plantear los problemas: justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas.

Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticos. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente.

Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico y apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura.

Hacer uso de variados recursos en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística, algebraica y financiera, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento.

Aplicar sus competencias matemáticas para analizar y valorar fenómenos sociales con el fin de propiciar actitudes de compromiso personal ante los retos que plantea la sociedad actual.


OBJETIVOS DEL CURSOConocer, distinguir y clasificar las diferentes clases de números. Utilizar las representaciones decimales de las fracciones. Saber el concepto de valor absoluto. Conocer y definir las distintas clases de intervalos en (R, ) y el concepto de entorno. Manejar números aproximados. Usar e interpretar la notación científica. Conocer y operar potencias. Saber qué son radicales equivalentes y semejantes. Racionalizar expresiones radicales. Realizar operaciones con polinomios. Dividir polinomios con coeficientes reales. Dividir P(x) : (x a) usando la regla de Ruffini.

Distinguir entre los distintos tipos de ecuaciones. Discutir y resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a dos con como máximo dos raíces no enteras. Distinguir las soluciones extrañas al resolver ecuaciones racionales e irracionales. Resolver sistemas de hasta tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, utilizando los métodos de sustitución, igualación, reducción y de Gauss. Plantear y resolver problemas con sistemas de ecuaciones lineales.

Entender el concepto de función como relación de dos magnitudes. Aprender a representar gráficamente funciones sencillas, a partir de su tabla de valores. Interpretar el dominio y la imagen de la función, sobre todo desde un punto de vista gráfico. Saber realizar operaciones con funciones, en particular, la composición de funciones. Entender el concepto de función inversa. Operar con funciones polinómicas, conociendo y usando las propiedades de la suma, producto y cociente de funciones. Componer funciones polinómicas. Saber los conceptos de interpolación y de extrapolación. Representar los datos de una tabla y estimar, en primera aproximación, una función que los pueda representar razonablemente. Calcular funciones de interpolación. Hacer la estimación de fiabilidad de interpolaciones y extrapolaciones. Resolver ejercicios de interpolación lineal y parabólica. Conocer la irracionalidad y el valor aproximado del número e. Conocer la gráfica y principales propiedades de las funciones logarítmicas. Definir logaritmo en base a de un número. Representar funciones exponenciales y logarítmicas. Aplicar al cálculo la definición y propiedades de los logaritmos. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicos sencillos. Aplicar logaritmos y exponenciales a problemas económicos.

Expresar cualquier ángulo en medidas sexagesimales y en radianes. Conocer las razones trigonométricas, sus relaciones entre ellas y calcular cualquiera de ellas utilizando la geometría del triángulo rectángulo. Saber y utilizar la relación fundamental de la trigonometría en ejercicios de justificación de identidades trigonométricas. Resolver triángulos rectángulos.

Expresar de forma intuitiva los conceptos de límite de una sucesión. Distinguir los tres tipos de sucesiones atendiendo a su límite. Conocer y saber expresar correctamente el número e. Repasar las progresiones. Aplicar las progresiones geométricas a problemas de carácter económico.

Conocer y saber diferenciar los términos población y muestra. Saber las clases de variables estadísticas. Conocer, saber calcular y tabular frecuencias absolutas y relativas y acumuladas. Manejar datos agrupados y determinar las marcas de clase. Representar gráficamente las frecuencias tabuladas de una variable estadística. Saber cuáles son, qué son, qué miden y calcular los parámetros de dispersión. Conocer los parámetros de posición, qué son y qué miden.


OBJETIVOS DEL CURSOComparar dispersiones relativas de dos series de datos usando el coeficiente de dispersión de Pearson. Conocer y diferenciar los conceptos de dependencia funcional y estadística. Saber el concepto de covarianza y qué mide. Definir la regresión lineal.

Definir el coeficiente de correlación lineal. Saber que las rectas de regresión se cortan en el punto cuyas coordenadas son las medias de las distribuciones marginales. Dibujar la nube de puntos de los datos de una tabla bidimensional. Calcular la covarianza de una distribución bidimensional. Calcular las ecuaciones de las rectas de regresión. Calcular el coeficiente de correlación de una regresión lineal.

Saber operar con sucesos. Expresar correctamente y aplicar al cálculo de probabilidades la Regla de Laplace. Definir probabilidad condicionada y aplicar la definición a ejercicios y problemas. Definir variables aleatorias y sus clases. Definir distribución binomial y aplicarlo a la identificación de distribuciones. Establecer el concepto de función de densidad de una distribución normal. Establecer las funciones de probabilidad y de distribución de una variable aleatoria binomial. Calcular los parámetros de una distribución binomial. Tipificar la variable normal. Calcular probabilidades en ejercicios y problemas de distribuciones binomiales y normales. Aproximar, haciendo un análisis previo de lo que procede, una distribución binomial por una normal.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSUnidad 1. Resolución de problemasConsideraciones previas:Resolver problemas es quizá la tarea más común en Matemáticas. Muchas veces es la más entretenida, la más vistosa y útil; otras, la más enigmática y difícil. Resulta evidente que resolver problemas no consiste en saber una serie de fórmulas o trucos, que convertirían a la Matemática en algo rutinario, identificado con la facilidad para calcular, para hacer cuentas. La resolución de problemas es mucho más que eso. Es una actitud mental, esencial, abierta y creativa, y siempre lógica. Es una actitud que lleva a utilizar y contrastar diversas estrategias en función de la diversa naturaleza de los problemas. Es una capacidad que permite enfrentarse a situaciones nuevas con confianza y autonomía, independientemente de los conocimientos matemáticos que cada uno posea. Es pues, algo al alcance de todos, aunque, como cualquier hábito humano, hay que esforzarse para conseguirlo.

Esta es la filosofía que hemos querido dar a esta primera unidad del libro. Por eso, algunas veces nos adelantamos a conceptos que se estudiaran después, provocando la búsqueda de soluciones personales, que pueden ser tan válidas como las ya establecidas. Y por lo mismo sabemos que no es tarea fácil, pues la consecución de actitudes requiere un empeño personal constante.

Lo dicho hasta ahora no excluye de la necesidad de conocer una serie de conceptos matemáticos básicos, ni de aprender algunas técnicas y estrategias de reconocida eficacia. Por ello, en la Unidad 1, recordaremos algo de lo hay que saber y desarrollaremos un método para la resolución de problemas.

Por último, conviene decir que esta unidad no es algo aislado de los demás, pues está presente en cada una de las unidades del libro, ya que la resolución de problemas no es un objetivo a conseguir en una o dos semanas; es un objetivo para todo un año, y para siempre. Por lo mismo, no es necesario empezar el curso por esta unidad: puede posponerse o no darse; pero empezar por ella puede poner a los alumnos ante su verdadero nivel matemático y animar a alguno a recomenzar su estudio con deseos de poner cimientos más sólidos que los que posee.

ObjetivosAnalizar los conocimientos matemáticos personales.

Animar a superar las dificultades y lagunas en ese conocimiento.

Insistir en la necesidad del esfuerzo personal en todo aprendizaje.

Aprender a analizar los datos de un problema.

Decidir alguna estrategia para su resolución.

Analizar si para llevar a buen término esa estrategia cuenta con los datos necesarios. En caso contrario, reiniciar todo el proceso.

Emprender, por sí mismo, el aprendizaje de los conceptos o métodos que considere necesarios para resolver el problema que tiene planteado.

Desarrollar la confianza en sí mismos para enfrentarse a problemas nuevos.

Reflexionar de forma sistemática sobre sus propios procesos de pensamiento.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSEjercitar la imaginación y la creatividad en el análisis de la realidad.

Saber que su progreso en la resolución de problemas depende de una base matemática mínima, pero sólida, y de su trabajo personal.

En definitiva, generar hábitos y actitudes propios del modo de hacer matemático, de manera que sepan transferir las técnicas de resolución de problemas a otras áreas de conocimiento y a otros aspectos de su vida cotidiana.

Contenidos

ConceptosFases más usuales en la resolución de un problema: detección, comprensión, elaboración de conjeturas, selección de estrategias, reflexión sobre el proceso e interpretación de las posibles soluciones.

Estrategias usuales para los diversos tipos de problemas: simplificación, fragmentación, analogía, búsqueda de regularidades, razonamiento por contradicción, inversión del proceso, etc.

Análisis de los conocimientos matemáticos relacionados con cada problema concreto.

Para el estudio de los contenidos anteriores se precisan algunos conceptos ya sabidos, pero que se actualizan dependiendo del contexto. Algunos de estos conceptos son: suma de los ángulos de un triángulo, teoremas de Pitágoras y de Thales, proporcionalidad, propiedades de las igualdades, etcétera.

ProcedimientosEnumeración de posibles dificultades que el alumno ha podido encontrarse en el estudio de las matemáticas.

Planteamiento de problemas atractivos y fácilmente comprensibles para los alumnos.

Interpretación correcta, tanto desde el punto de vista lingüístico como matemático, de todos los términos del enunciado del problema.

Descripción de las diferentes partes de un problema: qué me dan y qué me piden.

Descripción de algunos aspectos que facilitan la superación de las dificultades encontradas: repasar, aprender determinados conceptos, plan de trabajo individual, etc.

Elaboración de conjeturas acordes con los datos y las preguntas.

Ejecución y revisión del plan trazado para hallar la solución.

Utilización de técnicas y métodos diversos: razonamiento por contradicción, inversión del proceso, recursos gráficos, demostraciones falsas, paradojas, etcétera.

ActitudesDisposición abierta ante la Matemática.

Reconocimiento de las lagunas conceptuales y disposición para superarlas.

Confianza en su capacidad personal para aprender las matemáticas necesarias para desenvolverse con soltura en sus futuros estudios.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSDisposición al trabajo en grupo, a dar y a pedir ayuda.

Gusto por la aplicación de estrategias personales para la resolución de problemas.

Audacia, coherencia y espíritu crítico en la elaboración de conjeturas.

Disposición optimista ante las dificultades.

Valoración de la matemática como herramienta útil para la resolución de problemas cotidianos.

Disposición a valorar e interpretar críticamente las soluciones obtenidas.

Criterios de evaluaciónEn esta unidad no pueden fijarse unos objetivos mínimos con carácter general. El hecho de que estos objetivos deben alcanzarse a lo largo de todo el curso y el tratamiento individualizado que hacerse así lo aconseja. No obstante, pensamos que todos los alumnos deben llegar a saber:

Distinguir claramente las partes de un problema.

Proceder de una manera lógica en sus deducciones.

Resolver problemas fáciles asociados a cada una de las unidades del curso.

Analizar si un resultado es correcto.

TemporalizaciónA esta unidad se le puede dedicar entre 2 y 4 horas lectivas. Puede optarse también por proponer en distintos momentos del curso algún problema de los aquí estudiados.

Sugerencias metodológicasHay que tener en cuenta que esta unidad abre el curso. Los alumnos suelen estar ilusionados con aprender. Esa actitud puede verse reforzada porque, además, se empieza el Bachillerato. Por tanto, hay que procurar que esas buenas disposiciones se hagan duraderas.

El comienzo debe ser muy participativo. Que los alumnos describan sus intereses, lagunas, dificultades y desazones asociados a su aprendizaje matemático.

Convendría hacer un análisis personalizado de la situación. Para ello, quizá sea útil proponer una prueba inicial de conocimientos, que recomendamos que sea fácil y muy concreta; similar a las 10 cuestiones básicas de la página final de la unidad.

La mayoría de los ejemplos, ejercicios y problemas puede resolverlos los alumnos por sí solos. Convendría que así lo hicieran en clase, por grupos o individualmente.

Fomentar las soluciones personales. Muchas veces serán buenas como las nuestras (o mejores).

Insistir en la lectura comprensiva de los enunciados; en que terminen de leer el problema antes de comenzar a resolverlo; en que entiendan todos y cada uno de los términos empleados; en saber lo que se quiere hacer antes de comenzar a hacer.

No es necesario ser exhaustivo en esta unidad. Cinco o seis problemas, analizados y resueltos pormenorizadamente, pueden ser suficientes.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSEn todo caso, esta unidad debe tratarse de manera diversa, individualizando cada caso y proponiendo a cada alumno tareas adecuadas a su formación matemática.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSUnidad 2 Conceptos algebraicos básicosObjetivos

Repasar las operaciones con números, especialmente con fracciones y con potencias.

Identificar las expresiones algebraicas que reciben el nombre de polinomios.

Realizar correctamente sumas, productos y cocientes de polinomios.

Aplicar la regla de Ruffini para la obtención del cociente en los casos en que sea posible.

Utilizar todos los recursos algebraicos conocidos para descomponer factorialmente un polinomio.

Resolver ecuaciones e inecuaciones muy simples en las que sea necesario descomponer en factores.

Simplificar fracciones racionales mediante la descomposición factorial de los polinomios numerador y denominador.

Contenidos

ConceptosOperaciones con fracciones.

Operaciones con potencias.

Expresiones algebraicas. Polinomios.

Operaciones con polinomios.

Suma de polinomios.

Producto de dos polinomios. Identidades notables.

Cociente de polinomios.

Regla de Ruffini para dividir un polinomio por (x – a).

Ceros de un polinomio.

Factorización de polinomios.

Fracciones algebraicas.

ProcedimientosReglas de las operaciones elementales: propiedades, signos, paréntesis.

Propiedades de las operaciones con potencias.

Ordenación de un polinomio.

Cálculo del valor numérico de un polinomio.

Realización de sumas, productos y cociente de polinomios.

Expresión del resultado de un cociente de polinomios.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSDivisión de un polinomio por el método de Ruffini.

Cálculo de los ceros o raíces de un polinomio.

Factorización de polinomios mediante la identificación de identidades notables.

Descomposición de un polinomio en producto indicado de binomios.

ActitudesValorar la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje del álgebra.

Reconocer y valorar las relaciones entre el lenguaje gráfico y el lenguaje algebraico.

Tener sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en problemas y cálculos numéricos.

Criterios de evaluaciónOperar correctamente con fracciones y con potencias.

Reconocer un polinomio, ordenarlo e indicar su grado.

Calcular el valor numérico de un polinomio para cualquier valor real que quiera darse a la incógnita.

Sumar, multiplicar y dividir polinomios.

Descomponer polinomios sacando factor común, localizando las llamadas identidades notables y hallando divisores de la forma (x – a).

Resolver ecuaciones de grado superior a dos cuando es posible descomponer en factores.

Simplificar fracciones racionales.

TemporalizaciónAproximadamente dos semanas.

Sugerencias metodológicasEste capítulo trata de enseñar a manejar la principal herramienta del álgebra: los polinomios.

En 4.º de ESO todos los alumnos han practicado ya las operaciones más elementales que pueden hacerse con polinomios de primer y segundo grado.Se trata ahora de adquirir soltura con estas operaciones. Es muy importante que los alumnos consigan seguridad en los cálculos, para ello conviene utilizar ejercicios que no sean demasiado largos con el fin de evitar el aburrimiento que produce la monotonía.

Se debe evitar la confusión entre polinomios y ecuaciones que suele ser frecuente entre los estudiantes.

Otra de las grandes dificultades de los estudiantes es comprender las razones que llevan a querer descomponer en factores un polinomio. Por eso es importante que se


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSaplique esta descomposición para resolver ecuaciones, descomponer fracciones racionales o simplificarlas.



Unidad 3. Introducción al número realObjetivos

Conocer, distinguir y clasificar las diferentes clases de números.

Reconocer los órdenes (R, <) y (R, ) y manejar sus propiedades.

Saber el concepto de valor absoluto.

Conocer y definir las distintas clases de intervalos en y saber operar con ellos.

Definir y saber aplicar los conceptos de distancia y entorno en el conjunto ordenado de los números reales.

Manejar números aproximados: truncamiento, redondeo, errores.

Usar e interpretar la notación científica; cifras significativas.

Conocer y operar potencias de exponente natural, entero o racional.

Saber qué son radicales equivalentes y semejantes.

Conocer y aplicar en sus operaciones las propiedades de los radicales.

Racionalizar expresiones radicales.

Utilizar correctamente la calculadora en cálculos con números reales.

Construir sobre la recta real números radicales irracionales.

Contenidos

ConceptosLos números reales.

Operaciones con números reales.

La recta real.

Orden en el conjunto R.

Valor absoluto.

Redondeos.

La notación científica.

Radicales.

Propiedades con radicales.

ProcedimientosClasificación, expresión en diferentes formas y representación de números reales. Uso correcto de los conceptos de valor absoluto y distancia.

Manejo de intervalos y entornos en la recta real.

Operaciones con números aproximados; determinación de errores.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSUso de la notación científica, del redondeo y de las cifras significativas de una expresión numérica.

Operaciones con potencias y radicales. Simplificación de resultados.

Racionalización de expresiones radicales.

ActitudesReceptividad y sensibilidad hacia la realidad inevitable del cálculo aproximado en R, con la posibilidad de acotar el error, tanto como se quiera.

Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje del álgebra.

Compresión y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico y el lenguaje algebraico.

Criterios de evaluaciónDistinguir, expresar, clasificar, ordenar y representar en la recta real las diferentes clases de números.

Operar en sus diversas expresiones números reales e irracionales.

Utilizar técnicas de aproximación, operar con números aproximados y acotar errores.

Manejar las diferentes clases de intervalos y entornos.

Calcular y simplificar resultados de expresiones operativas con potencias de exponente racional y radicales.

TemporalizaciónProponemos que a esta Unidad se le dedique un máximo de dos semanas.

MetodologíaNo parece fácil encontrar significatividad «directa» en la didáctica de esta Unidad, tan importante e instrumental como separada de la espontánea cotidianidad de los intereses de los alumnos.

Sin embargo, la motivación inicial para su estudio puede provocarse presentando brevemente la pelea que la Humanidad ha tenido con esos números, que «no servían para contar».Parece importante que los alumnos adquieran una razonable seguridad y rapidez en el manejo de los intervalos y entornos reales, así como en los cálculos con potencias de exponente racional y radicales.

También, seguramente, es conveniente que los alumnos adquieran un sentido crítico en la realización y estimación de los resultados con números aproximados, utilizando adecuadamente redondeos y truncamientos, reconociendo el error cometido.

Se sugiere atención al uso correcto de la calculadora por parte de los alumnos.



Unidad 4. Ecuaciones e inecuacionesObjetivos

Aplicar los procedimientos para resolver ecuaciones lineales.

Plantear y resolver algunos problemas clásicos de ecuaciones lineales.

Resolver ecuaciones cuadráticas con métodos algebraicos y gráficos.

Plantear y resolver problemas asociados a las ecuaciones de segundo grado.

Resolver algunas ecuaciones reducibles a cuadráticas: bicuadradas e irracionales sencillas.

Trabajar con ecuaciones de tercer grado y con ecuaciones racionales sencillas.

Conocer el concepto y propiedades de las inecuaciones lineales con una y con dos incógnitas.

Resolver inecuaciones lineales con una y dos incógnita y representar sus soluciones.

Saber el concepto y propiedades de las inecuaciones de primer y segundo grado.

Resolver inecuaciones de segundo grado con una y con dos incógnitas.

Contenidos

ConceptosIgualdades y ecuaciones.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Aplicación de las ecuaciones a la resolución de problemas.

Ecuaciones de segundo grado. Resolución: casos particulares.

Ecuaciones reducibles a cuadráticas: bicuadradas e irracionales.

Ecuaciones de grado superior a dos.

Ecuaciones racionales.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Propiedades de las inecuaciones.

Inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Inecuaciones lineales racionales con una y dos incógnitas.

Inecuaciones de segundo grado.

ProcedimientosAplicación de las propiedades de las igualdades para resolver la ecuación lineal.

Planteamiento y resolución de diversos tipos de problemas; buscar situaciones reales y cercanas a los alumnos.

Empleo de fórmulas para resolver la ecuación de segundo grado.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSInterpretación gráfica de las soluciones de la ecuación cuadrática.

Uso del discriminante para evaluar el número y tipo de las soluciones de la ecuación de segundo grado.

Resolución de ecuaciones de grado superior a dos mediante la descomposición en factores

Empleo de las operaciones con radicales para transformar ecuaciones irracionales.

Uso de las propiedades algebraicas: igualdades; operaciones combinadas; reglas de los signos; etc.

Empleo de la calculadora para hacer comprobaciones.

Resolución de inecuaciones lineales.

Representación de las soluciones de inecuaciones lineales en una recta real.

Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Representación de las soluciones de inecuaciones con dos incógnitas lineales en una recta real.

Resolución de inecuaciones lineales racionales con una incógnita.

Resolución de inecuaciones de segundo grado. Actitudes

Valoración de las ecuaciones e inecuaciones como instrumento útil para estudiar la realidad.

Gusto por el uso de estrategias personales en el planteamiento de problemas.

Disposición a criticar y mejorar las soluciognes obtenidas.

Reconocimiento de la importancia del orden en la resolución de ecuaciones.

Gusto por incorporar el lenguaje gráfico, que aporta belleza y sugiere nuevas soluciones, a su trabajo habitual.

Criterios de evaluaciónQué es una ecuación de primer grado y cómo se resuelve.

Plantear y resolver problemas de ecuaciones de primer grado.

Qué es una ecuación de segundo grado y cómo se resuelve. Número de soluciones.

Plantear problemas resolubles mediante la ecuación de segundo grado.

Resolver ecuaciones de grado superior a dos con un máximo de dos soluciones no enteras.

Resolver ecuaciones irracionales sencillas.

Resolver ecuaciones racionales que den lugar a ecuaciones de segundo grado.

Utilizar el concepto y propiedades de las inecuaciones lineales con una y con dos incógnitas para resolver inecuaciones lineales y representar sus soluciones.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSUtilizar el concepto y propiedades de las inecuaciones de primer y segundo grado y resolver problemas mediante el uso de este tipo de inecuaciones.

TemporalizaciónA esta Unidad se le puede dedicar entre 2 y 3 semanas. (Como parte de los procedimientos que se emplean en esta unidad se han visto en la unidad 2, por ejemplo la descomposición factorial de un polinomio, el tiempo que se emplee en aquella unidad puede recuperarse aquí, o viceversa.)

Sugerencias metodológicasHay que tener en cuenta que los alumnos habrán manejado en la ESO las ecuaciones de primer y segundo grado; por tanto, no es necesario ser exhaustivo en las explicaciones. En cambio, interesa el planteamiento y resolución de problemas anejos.

La descomposición factorial de la ecuación de segundo grado, la resolución de casos particulares y la interpretación geométrica de sus soluciones es interesante; algo de ello se dijo en la Unidad 2.

El apartado de ecuaciones reducibles a cuadráticas debe tratarse de una manera diversa.

En todos los casos se insistirá en la comprobación y crítica de las soluciones.

En esta Unidad, tal vez fuera conveniente intentar crear en el alumno un cierto rigor en el uso del simbolismo algebraico, por ejemplo, diferenciando la inclusión de la pertenencia, usando y evitando el abuso del signo de equivalencia, empleando una atenta utilización de los paréntesis y corchetes, para indicar los extremos de intervalos, etc.

Si el clima de aula y el tiempo de desarrollo lo permite, podría presentarse a los alumnos el laborioso proceso de la Humanidad en la consecución del simbolismo algebraico claro, concreto, conciso y universal, que usamos ahora.



Unidad 5. Sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones

ObjetivosSaber expresar y representar las infinitas soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.

Conocer la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales, en función de sus posibles soluciones.

Hacer la discusión de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Interpretar geométricamente las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolver sistemas de hasta tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, utilizando los métodos de sustitución, igualación, reducción y de Gauss.

Resolver sistemas de dos ecuaciones, una lineal y otra de segundo grado.

Plantear y resolver problemas asociados con sistemas de ecuaciones lineales.

Conocer el concepto y propiedades de los sistemas de inecuaciones lineales con una y con dos incógnitas.

Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas y representar sus soluciones.

Contenidos

ConceptosSistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

Discusión de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Interpretación geométrica de las soluciones de un sistema.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Sistemas de ecuaciones no lineales.

Sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas.

Sistemas de varias inecuaciones lineales con dos incógnitas.

ProcedimientosRepresentación gráfica de las soluciones de ecuaciones lineales con dos incógnitas.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSPlanteamiento de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que presenten diferentes situaciones de compatibilidad y de incompatibilidad.

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales en función del número de sus soluciones.

Discusión de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.

Resolución gráfica de sistemas de dos o tres ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolución de sistemas de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas por los métodos de sustitución, igualación y reducción y de Gauss.

Resolución de sistemas de una ecuación lineal y otra de segundo grado.

Planteamiento y solución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales.

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Representación de las soluciones de los sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas en el plano.

ActitudesInterés por la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones.

Confianza en las propias capacidades para afrontar la resolución de problemas cotidianos.

Interés por la aplicación de este tipo de problemas a casos reales.

Gusto por la representación gráfica y solución de este tipo de problemas.

Reconocimiento de la importancia de un método para la resolución de sistemas.

TemporalizaciónEntre dos y tres semanas aproximadamente.

Criterios de evaluaciónResolver sistemas de dos y de tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas utilizando los métodos de resolución estudiados.

Discutir las soluciones de los sistemas estudiados.

Interpretar geométricamente las diferentes clases de compatibilidad, así como las posibles soluciones de los sistemas estudiados.

Plantear y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales o de una ecuación lineal y otra de segundo grado.

Conocer el concepto y propiedades de los sistemas de inecuaciones lineales con una y con dos incógnitas y solucionar este tipo de inecuaciones representando sus soluciones.

Metodología


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSAdemás de la proposición de abundantes ejercicios que permitan a los alumnos soltura operativa en esta Unidad, sería conveniente que los alumnos tuvieran presente

en todo momento la interpretación geométrica –traducción gráfica– de lo que están haciendo «con letras y números».

Parece necesario la proposición de problemas de enunciados significativos en el entorno cotidiano de los alumnos, en los que vean la utilidad de los conocimientos de esta unidad.

Conviene insistir en la comprobación y discusión crítica de la solución hallada al resolver problemas, pues alguna vez la solución carecerá de sentido.

El método de resolución más apropiado para la resolución de sistemas lineales es el de reducción, pues permite su generalización a sistemas con mayor número de ecuaciones, método de Gauss; no obstante, el sistema en concreto sugiere muchas veces el método más eficaz.

Parece útil preparar, para el próximo curso, la Programación lineal.



Unidad 6. Funciones y gráficasObjetivos

Entender el concepto de función como relación de dos magnitudes.

Aprender a representar gráficamente funciones sencillas, a partir de su tabla de valores.

Interpretar el dominio y la imagen de la función, sobre todo desde un punto de vista gráfico.

Saber realizar operaciones con funciones, en particular, la composición de funciones.

Entender el concepto de función inversa y su significación gráfica.

Aprender a interpretar fenómenos a partir de la gráfica de la función.

Saber modelizar situaciones (problemas aproximadamente reales) mediante relaciones de carácter funcional.

Contenidos

ConceptosConcepto de función.

Dominio e imagen de una función.

Tablas y gráficas.

El dominio y la imagen en la gráfica.

Funciones definidas a trozos.

Simetrías.

Crecimiento y decrecimiento.

Tasa de variación y tendencias.

Máximos y mínimos.

Idea de continuidad.

Operaciones con funciones.

Composición de funciones.

Función inversa.

Interpretación de una gráfica.

Simetrías, traslaciones y dilataciones de una función.

ProcedimientosTraducción a fórmula de funciones expresadas mediante una regla.

Cálculo de dominios de funciones sencillas.

Obtención de gráficas a partir de tablas de valores.

Determinación de un dominio e imagen gráficamente.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSRealización de operaciones algrebraicas con funciones.

Cálculo de la función inversa y obtención de su gráfica.

Determinación del tipo de simetría de una función.

Cálculo de máximos y mínimos gráficamente y con tablas de valores.

Interpretación de la gráfica de una función como modelo de una situación práctica.

Transformaciones (traslaciones y dilataciones) de la gráfica de una función.

ActitudesAbordar con curiosidad e interés el planteamiento y la resolución de problemas, mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que se estudian.

Desarrollar hábitos de investigación sistemática.

Tener disposición para incorporar el lenguaje gráfico al tratamiento y análisis de la información.

Criterios de evaluaciónConocer el concepto de función.

Calcular el dominio de algunas funciones sencillas.

Saber representar una función sencilla a partir de una tabla de valores.

Saber efectuar operaciones elementales con funciones.

Calcular composiciones de funciones.

Saber representar gráficamente la inversa de una función dada, caso de que exista.

Interpretar gráficamente una función: observando sus simetrías, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos.

TemporalizaciónA esta unidad deberían dedicársele al menos dos semanas. Todo el tiempo que se invierta en una mejor introducción del concepto de función y su gráfica, puede ahorrar tiempo en las unidades posteriores a la hora de analizar gráficas de funciones concretas.

Metodología

Todas las ideas relacionadas con el concepto de función tienen una expresión gráfica, que suele ser más fácil de entender por el alumno. Habría que hacer uso del recurso gráfico continuamente, antes que de formalizaciones que pueden resultar complicadas para una primera aproximación.



Unidad 7. Funciones polinómicas y racionales7.1 Objetivos

Representar gráficamente rectas y parábolas.

Esbozar las gráficas de funciones polinómicas de grado superior a dos y, siempre que se pueda, averiguar los puntos de corte y el signo de la función.

Reconocer las funciones racionales y hallar sus dominios de definición.

Interpretar las funciones de proporcionalidad directa e inversa.

Expresar de forma analítica funciones que describan situaciones sencillas.

Representar la gráfica de funciones definidas a trozos así como de funciones en las que aparezca el valor absoluto.

7.2 Contenidos

ConceptosFunción lineal: rectas.

Funciones cuadráticas: parábolas.

Funciones polinómicas de grado superior.

Función de interpolación. Interpolación lineal y cuadrática.

Una aplicación a la economía. Funciones de oferta y demanda.

Funciones racionales.

Funciones radicales.

ProcedimientosIdentificación de funciones polinómicas.

Obtención de la imagen mediante una función de un número real.

Cálculo de la suma, resta, producto, cociente y composición de funciones.

Expresión de la función inversa de una dada.

Reconocimiento e interpretación de funciones de proporcionalidad directa.

Representación gráfica de parábolas.

Esbozo de la gráfica de funciones polinómicas de grado superior a dos.

Representación gráfica de funciones racionales.

Estudio de situaciones económicas asociadas a las funciones lineales y cuadráticas: oferta, demanda, ingresos, costos y beneficios.

Estudio de los puntos de discontinuidad en una función racional.

Representación de funciones definidas a trozos.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSActitudes

Gusto por la interpretación gráfica de funciones.

Valoración de las funciones lineal y cuadrática para modelizar fenómenos de carácter social.

Reconocimiento de la utilidad de las funciones anteriores para estudiar relaciones económicas.

Identificación de representación de funciones con problemas reales.

Interpretación adecuada de las gráficas de una función.

TemporalizaciónEntre dos y tres semanas.

Criterios de evaluaciónRepresentar gráficamente y con soltura rectas y parábolas.

Esbozar las gráficas de funciones polinómicas de grado superior a dos y, siempre que se pueda, averiguar los puntos de corte, los extremos y el signo de la función.

Reconocer las funciones racionales y hallar su dominio de definición.

Interpretar las funciones de proporcionalidad directa e inversa.

Expresar de forma analítica funciones que describan situaciones sencillas.

Representar la gráfica de funciones sencillas que estén definidas a trozos.

Interpretar una función que contenga un valor absoluto.

Interpretar gráficas de funciones polinómicas.

Saber interpolar linealmente.

MetodologíaLocalizar el vértice, los puntos de corte con los ejes y el eje de simetría debe ser un trabajo habitual cuando el estudiante se encuentre con la ecuación de una parábola.

Las calculadoras gráficas y los ordenadores dibujan las gráficas de las funciones, por tanto es más importante que reconozcan propiedades de las funciones polinómicas más sencillas que el que consigan dibujar gráficas más complejas.

Se pueden presentar gráficas y expresiones analíticas de funciones y pedir al alumno que sea capaz de asociar unas con las otras.

Cuando se trabaja con funciones racionales es aconsejable insistir en la diferencia que hay entre un cero del denominador y un valor que anule a la vez a los dos términos de la fracción.

Se tendrá siempre presente que se trata de alumnos de Ciencias Sociales, y que es más importante que vean la utilidad práctica de funciones de expresiones sencillas que complicar demasiado los cálculos algebraicos.



Unidad 8. Funciones exponenciales y logarítmicas8 Objetivos

Conocer el criterio, gráfica y principales propiedades de las funciones exponenciales.

Conocer la irracionalidad y el valor aproximado del número e.

Reconocer las funciones logarítmicas como inversas de las exponenciales.

Conocer la gráfica y principales propiedades de las funciones logarítmicas.

Definir logaritmo en base a de un número.

Representar funciones exponenciales y logarítmicas.

Aplicar al cálculo la definición y propiedades de los logaritmos.

Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Plantear y resolver problemas con funciones exponenciales y logarítmicas en contextos demográficos y de matemática financiera.

Contenidos

ConceptosFunciones exponenciales.

Propiedades de las funciones exponenciales.

Ecuaciones exponenciales.

Función exponencial natural.

Logaritmo de un número.

Funciones logarítmicas.

Propiedades de las funciones logarítmicas.

Logaritmos decimales y neperianos o naturales.

Propiedades de los logaritmos.

Ecuaciones logarítmicas.

Aplicaciones de exponenciales y logaritmos a fenómenos de carácter social.

ProcedimientosIdentificación y representación gráfica de funciones exponenciales y logarítmicas.

Análisis de la monotonía de funciones exponenciales.

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Estudio de la función exponencial natural.

Planteamiento y resolución de problemas demográficos y financieros usando las funciones exponenciales.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSCálculos logarítmicos aplicando las propiedades de la función logarítmica.

Representación de funciones logarítmicas con distintas bases.

Uso de logaritmos naturales y cambios de base.

Planteamiento y resolución de problemas usando las funciones logarítmicas.

Descripción de fenómenos que se puedan generalizar con ayuda de las funciones exponenciales y logarítmicas: cuentas bancarias; el crecimiento de una población; la escala de Richter, etcétera.

Uso de la calculadora para hacer cálculos logarítmicos.

ActitudesValoración de las matemáticas y, en concreto, de las funciones exponencial y logarítmica para analizar, describir e interpretar la realidad.

Reconocimiento de la utilidad de las funciones anteriores para estudiar procesos ecológicos y económicos.

Creación y desarrollo de hábitos de investigación sistemática.

Capacidad para formularse problemas nuevos, explorando al máximo una situación.

Respeto e interés frente a estrategias y soluciones a problemas numéricos distintas de las propias.

Curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución atenta de problemas y confianza en la propia capacidad resolutiva.

Criterios de evaluaciónHacer cálculos logarítmicos.

Representar funciones exponenciales y logarítmicas.

Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas (sencillas y con ayuda de la calculadora).

Hallar las soluciones de sistemas sencillos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Plantear y resolver problemas sencillos mediante la utilización de las funciones exponencial y logarítmica.

TemporalizaciónEntre dos y tres semanas.

MetodologíaNo sería desacertado iniciar la Unidad presentando un par de problemas reales de contexto demográfico o científico que, tras el estudio de la Unidad, podrán abordarse con éxito.

También se sugiere dar una motivación histórica, valorando a los alumnos el ingente trabajo de los que nos han precedido: por ejemplo, si se tienen a mano, mostrar las


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSmonumentales, viejas y entrañables Tablas de Scröm, seguramente llamará la atención de los alumnos.

Intercalar entre los necesarios ejercicios para afianzar seguridad de cálculo, problemas de aplicación; puede resultar gratificante para los alumnos.

Si hay posibilidades convendría utilizar calculadoras gráficas u ordenadores.



Unidad 9. Sucesiones de números reales y aplicaciones económicasObjetivos

Saber reconocer sucesiones numéricas y calcular el término general cuando se presenten regularidades.

Saber cuándo una sucesión es creciente o decreciente, y el concepto de sucesión acotada.

Introducir al alumno el concepto de límite de una sucesión y aplicarlo en los casos más frecuentes y fáciles.

Conocer y saber expresar correctamente el número e.

Estudio de las progresiones aritméticas y geométricas; y su aplicación a fenómenos de carácter económico.

Contenidos

ConceptosSucesiones.

Introducción al concepto de límite de una sucesión en un punto.

El número e.

Progresiones aritméticas y geométricas.

Suma de los n términos en una progresión.

Aplicaciones económicas de las progresiones geométricas.

ProcedimientosAnálisis de la convergencia de sucesiones y calcular términos.

Uso de la calculadora para obtener términos de sucesiones.

Planteamiento de problemas reales (planes de pensiones, hipotecas) en los que el uso de las progresiones sea necesario.

Uso de ordenadores (hojas de cálculo) para calcular las cantidades y valores asociados a un determinado proceso económico.

ActitudesValorar la potencia del cálculo matemático en la resolución de problemas de la vida real.

Reconocer y valorar el papel de la matemática en el estudio de los cambios de un proceso natural o social de la realidad.

Tener sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos realizados.



Criterios de evaluaciónAnalizar sucesiones y calcular su término general.

Calcular límites de sucesiones en casos fáciles. (En general, este concepto puede considerarse optativo.)

Saber hallar el término general de una progresión.

Conocer las aplicaciones económicas indicadas en el texto.

Saber utilizar la calculadora para determinar valores asociados a una fórmula.


MetodologíaDesde el punto de vista metodológico resulta útil plantear una serie de sucesiones numéricas para que los alumnos determinen su término general, su crecimiento y acotación y su límite si es el caso.

El planteamiento de problemas aproximadamente reales (hipotecas, planes de pensiones, compra a plazos, etc) facilita la comprensión de los alumnos y pone de manifiesto la importancia de las matemáticas en el mundo real.

No es necesario que los alumnos sepan demostrar fórmulas, pero sí parece importante que aprendan a utilizarlas y que conozcan el significado de los parámetros que intervienen.



Unidad 10. Funciones periódicas y trigonometríaConsideraciones previas:Aunque el currículo mínimo de Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales no hace mención explícita de las funciones trigonométricas hemos considerado oportuno incluir esta unidad. Pensamos que todo alumno de Bachillerato debe tener una idea clara de los fenómenos periódicos, tan frecuentes en la vida real, y conocer que tales fenómenos pueden modelizarse con ayuda de la matemática. Por ello no nos parece inoportuno tratarla y sugerir que se le dedique una semana a su estudio. (De cualquier manera, esta unidad puede considerarse optativa; como también puede suponerse conocida, pues los alumnos la han estudiado en Secundaria).

ObjetivosReconocer y determinar fenómenos periódicos.

Recordar las funciones trigonométricas.

Asociar las funciones trigonométricas a los fenómenos periódicos.

Estudiar las funciones periódicas usuales.

Representar, con ayuda de calculadora, las funciones seno y coseno y sus transformadas.

Resolver, con calculadora, ecuaciones trigonométricas sencillas.

Aplicar la trigonometría a la resolución de triángulos rectángulos.

Contenidos

ConceptosÁngulos. Medida de ángulos.

Razones trigonométricas.

Relación fundamental de la trigonometría.

Resolución de triángulos rectángulos.

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.

Reducción de las razones trigonométricas.

Funciones trigonométricas.

Funciones seno, coseno y tangente.

Funciones trigonométricas inversas.

Resolución de ecuaciones trigonométricas con la calculadora.

Aplicaciones de la trigonometría a la resolución de problemas.

ProcedimientosExpresión de cualquier ángulo en medidas sexagesimales y en radianes.

Cálculo en el triángulo rectángulo de las funciones trigonométricas de sus ángulos agudos.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSJustificación de identidades trigonométricas.

Resolución de triángulos rectángulos.

Cálculo de las razones trigonométricas de ángulos mayores de /2 radianes.

Reducción de razones trigonométricas: uso de las relaciones de las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, diferenciados en radianes, opuestos y mayores de 2 radianes.

Determinación de la amplitud y el periodo de funciones trigonométricas sencillas.

Representación de funciones trigonométricas por traslaciones de las funciones seno o coseno.

Determinación del dominio de funciones trigonométricas racionales.

Cálculo de imágenes en las correspondencias inversas de las funciones seno, coseno y tangente, usando la calculadora o aplicando –si es el caso– el valor conocido de las razones trigonométricas de ángulos notables.

Planteamiento y resolución de problemas susceptibles de ser tratados con los contenidos de esta unidad.

ActitudesValoración de las funciones periódicas para analizar, describir e interpretar la realidad.

Reconocimiento de la frecuencia de los fenómenos periódicos en la vida ordinaria.

Capacidad para realizar deducciones partiendo de la periodicidad de un fenómeno.

Gusto por el tratamiento gráfico de los fenómenos periódicos.

Aprecio de los medios informáticos para el tratamiento de estos fenómenos.

Curiosidad por los cálculos trigonométricos.

Gusto por la interpretación de problemas de aplicación a casos reales.

TemporalizaciónEntre una y dos semanas.

Criterios de evaluaciónHacer cálculos trigonométricos sobre el triángulo rectángulo.

Reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Resolver triángulos rectángulos.

Hallar la amplitud y periodo de funciones trigonométricas sencillas.

Representar funciones trigonométricas, trasladando las gráficas correspondientes de las funciones seno o coseno.

Usar la calculadora para la búsqueda de imágenes en funciones trigonométricas y en sus correspondencias inversas.

Plantear y resolver problemas mediante el uso de los conocimientos adquiridos en esta Unidad.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSMetodologíaAun cuando no se formaliza el tratamiento de las razones trigonométricas sobre la llamada circunferencia goniométrica, de radio unidad, tal vez el uso de las líneas trigonométricas, colocadas en los cuadrantes, ayudarían a recordar el signo de las razones.

Dependiendo del clima de aula y de la tensión de aprendizaje, podría afinarse la corruptela del lenguaje usual, al llamar funciones a los arcos seno, coseno o tangente, si no se acotan sus dominios de definición.

Una vez más, como son los que se proponen en el texto, los enunciados de los problemas han de cuidarse: que sean sugerentes, reales y próximos –hasta donde sea posible– al mundo real o de relación de los alumnos.



Unidad 11. Estadística básica

ObjetivosConocer y saber diferenciar los términos población y muestra.

Saber las clases de variables estadísticas.

Conocer, saber calcular y tabular frecuencias absolutas y relativas y acumuladas.

Manejar datos agrupados y determinar las marcas de clase.

Representar gráficamente las frecuencias tabuladas de una variable estadística.

Saber cuáles son, qué son, para qué sirven y hacer el cálculo de los parámetros de centralización.

Saber cuáles son, qué son, qué miden y calcular los parámetros de dispersión.

Conocer los parámetros de posición, qué son y qué miden.

Aprender a manejar números índices.

Comparar dispersiones relativas de dos series de datos usando el coeficiente de dispersión de Pearson.

Analizar la representatividad de los parámetros en relación a valorar el fenómeno a que se refieren.

Contenidos

ConceptosEstadística descriptiva.

Tablas de frecuencias.

Gráficos estadísticos.

Medidas de centralización.

Medidas de posición.

Números índice.

Medidas de dispersión.

ProcedimientosPresentación de informes estadísticos relacionados con las Ciencias Sociales.

Elaboración de algún trabajo de investigación de carácter estadístico: determinar el fin que se persigue, clasificar las variables estadísticas, elegir muestra, confeccionar cuestionario, decidir la estrategia a seguir, etcétera.

Presentación de los resultados de ese trabajo con la ayuda de tablas y gráficos.

Uso de los diagramas de tallo y hojas.

Dibujo de diferentes gráficos estadísticos: diagramas de barras, de sectores, histogramas y polígonos de frecuencias.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSCálculo de los parámetros de centralización y de dispersión de los datos de una variable estadística.

Cálculo de medidas de posición: percentiles y cuartiles.

Ver distintas aplicaciones de los números índice.

Utilización de los gráficos de cajas y bigotes.

Comparación de la dispersión relativa de dos distribuciones estadísticas usando el coeficiente de variación.

Utilización de distintas fuentes documentales (anuarios, revistas especializadas, bancos de datos, etc.) para obtener información de tipo estadístico.

Planificación y realización individualmente y en equipo de la toma de datos, utilizando técnicas elementales de encuestas.

Empleo sistemático de la calculadora para hallar los parámetros estadísticos.

ActitudesValoración de la estadística como instrumento útil para describir y valorar la realidad, y como medio de comunicación.

Desarrollo de hábitos de orden para realizar trabajos de carácter estadístico.

Actitud crítica ante las informaciones presentadas a través de gráficos estadísticos.

Valoración crítica de los resultados hallados: media, moda, desviación típica, etcétera.

Aprecio de la calculadora como instrumento útil para el cálculo de los parámetros estadísticos.

Reconocer y valorar el trabajo en equipo como la manera de realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabajos de la aplicación a situaciones reales de carácter estadístico.

Tener sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos estadísticos realizados.

TemporalizaciónEntre una y dos semanas, dependiendo de si los alumnos conocen o no suficientemente bien los concepto desarrollados en esta unidad. (Apuntamos que no es infrecuente que los temas de Estadística no sean estudiados en Secundaria por falta de tiempo).

Criterios de evaluaciónTabular, representar y calcular los parámetros estadísticos de los datos de una variable estadística.

Saber leer gráficos estadísticos.

Confeccionar tablas de números índices.

Conocer el significado de los parámetros estadísticos más frecuentes.

Comparar la dispersión relativa de dos series de datos estadísticos.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSMetodologíaUna vez sentadas las bases de la Unidad, y de haberse ejercitado los alumnos en la realización de los cálculos y gráficos estadísticos para aprehender conceptos y ensayar técnicas, suele ser motivador y provechoso ofertar pequeños trabajos estadísticos «completos» a grupos de alumnos que han de diseñar la toma de datos, hacer el reparto del trabajo y presentar correctamente el resultado de la elaboración en equipo.

El uso de la calculadora científica debe ser un recurso permanente: que aprendan a manejarla en el modo estadístico.



Unidad 12. Distribuciones bidimensionalesObjetivos

Estudiar distribuciones bidimensionales ligadas a fenómenos de carácter social.

Distinguir entre relaciones funcionales y estadísticas.

Describir, con ayuda de diagramas, el tipo de relación existente entre las variables estudiadas.

Conocer el concepto de correlación lineal.

Estimar el valor de la correlación y de la recta de regresión a partir de la nube de puntos.

Definir la regresión lineal.

Saber el concepto de correlación lineal.

Definir el coeficiente de correlación lineal.

Utilizar la recta de regresión para estimar una variable a partir de otra, interpretando el resultado.

Discernir, a partir del valor del coeficiente de correlación, si una estimación hallada es fiable.

Contenidos

ConceptosVariable estadística bidimensional.

Distribuciones bidimensionales.

Tablas de frecuencias bidimensionales. Gráficos.

Parámetros de una distribución bidimensional. La covarianza.

Correlación lineal. Coeficiente de determinación.

Regresión lineal.

ProcedimientosEnumeración de fenómenos sociales en los que aparezcan dos variables correlacionadas

Dibujo de la nube de puntos asociada a esa distribución.

Construcción de la tabla de frecuencias de una distribución.

Formulación de conjeturas sobre la posible relación y el grado de dependencia entre las variables representadas.

Ajuste de una recta a la nube de puntos: fiabilidad y limitaciones.

Confección de tablas que ayuden a calcular el coeficiente de correlación y la recta de regresión.

Utilización de la calculadora para hallar los valores anteriores.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSActitudesValoración de la estadística como instrumento útil para describir y explicar la realidad.

Desarrollo de hábitos de investigación ante fenómenos asociados a la estadística.

Actitud crítica ante las relaciones aparentes entre dos variables estadísticas.

Tendencia a consultar varias fuentes para analizar una situación.

Valoración de los métodos gráficos como medio de estudio de realidades sociales.

Aprecio de la calculadora como instrumento útil para la realización de trabajos estadísticos.


Criterios de evaluaciónDibujar la nube de puntos de una variable estadística bidimensional.

Construir tablas de doble entrada con las distribuciones marginales, para una variable (X, Y).

Calcular frecuencias marginales.

Construir tablas de cálculo.

El significado de la correlación entre variables.

Interpretar el sentido y la fuerza de la correlación entre dos variables a partir de la nube de puntos asociada.

Calcular, con ayuda de la calculadora, el coeficiente de correlación lineal.

Interpretar el valor de r.

Calcular, con ayuda de la calculadora, la recta de regresión.

Utilizar dicha recta para hacer estimaciones y criticarlas.

Sugerencias metodológicasEsta Unidad tiene claramente dos vertientes pedagógicas: la de la paciencia, orden, método y rigor en los cálculos, y la reflexiva de interpretación de los parámetros en términos del problema y enjuiciar la situación técnica o social que se ha analizado.

Si se comparte esta opinión, sería bueno insistir y poner de manifiesto a los alumnos esos dos claros objetivos de aprendizaje.

También parece formativo para los alumnos la utilidad del trabajo en grupo, en este tipo de problemas, en que se pueden diseñar tareas compartidas.

Los resúmenes biográficos de Francis Galton y de Karl Pearson que, como material de apoyo, se incluyen en los recursos, pueden servir de estímulo al interés de los alumnos por la construcción de la Matemática Estadística.También se incluye una pequeña nota histórica sobre la génesis y evolución de esta parte de la Matemática.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSPodría comenzarse proponiendo, y pidiendo a los alumnos que propongan, ejemplos de fenómenos sociales en los cuales dos variables estén correlacionadas. Trabajar a partir de esos ejemplos.

El enfoque gráfico, mediante los diagramas de dispersión, es muy clarificador. Hay que procurar que, intuitivamente, a ojo, sean capaces de determinar la mayor o menor fuerza del coeficiente de correlación asociado a una nube de puntos. Y lo mismo, respecto a la recta de regresión.

Pensamos que no es necesario que se sepan las fórmulas, pero sí utilizarlas.



Unidad 13. La distribución binomialObjetivos

Conocer operativamente los términos propios del álgebra de sucesos.

Saber operar con sucesos.

Expresar correctamente y aplicar al cálculo de probabilidades la Regla de Laplace.

Conocer los números combinatorios y alguna de sus aplicaciones al cálculo de probabilidades.

Conocer y aplicar al cálculo las propiedades de la probabilidad.

Definir probabilidad condicionada y aplicar la definición a ejercicios y problemas.

Saber qué son sucesos independientes y analizar si dos sucesos son o no independientes, en ejercicios y problemas.

Conocer y saber calcular los parámetros de distribuciones aleatorias.

Definir la distribución binomial y aplicarlo a problemas.

Calcular los parámetros de una distribución binomial.

Saber cuándo y cómo puede ajustarse una distribución binomial a un experimento aleatorio.

Contenidos

ConceptosExperimentos y sucesos aleatorios.

Probabilidad de un suceso.

Probabilidad condicionada.

Distribuciones de probabilidad.

Variables aleatorias.

Parámetros de distribución.

Números combinatorios.

Distribución binomial.

Ajuste de una distribución binomial.

ProcedimientosAnálisis de sucesos y establecimiento de espacios muestrales.

Operaciones con sucesos.

Aplicación de la Regla de Laplace.

Planteamiento y realización de experimento aleatorios que den lugar a sucesos dependientes e independientes.

Establecimiento de variables aleatorias discretas y continuas; tabulaciones de sus funciones de probabilidad y representación gráfica de sus distribuciones.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSCálculo de los parámetros de distribuciones binomiales.

Cálculo de ejercicios y planteamiento y desarrollo de problemas con la distribución binomial.

Utilización de las tablas de la binomial para calcular probabilidades.

Optativo. Cálculo de probabilidades de sucesos mediante la binomial haciendo uso del Triángulo de Tartaglia.

ActitudesValoración de la probabilidad como instrumento útil para explicar el comportamiento de algunos fenómenos.

Valoración de la iniciativa personal y de la actitud inventiva y lúdica en el diseño de proyectos de investigación.

Valorar el trabajo en equipo como la manera de realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabajos de la aplicación de modelos probabilísticos a situaciones reales estadísticas.

Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos estadísticos realizados.

Ensayar la aceptación de la responsabilidad en la aplicación correcta de las técnicas de muestreo y estimaciones estadísticas, en situaciones reales de decisión.

Cautela y sentido crítico ante las aparentes soluciones intuitivas.

Valoración de la esperanza matemática para la asunción de riesgos.

Reconocimiento de la frecuencia de aparición de fenómenos dicotómicos.

Reconocimiento de la eficacia de la distribución binomial para la toma de decisiones rigurosas ante dichos fenómenos.


Criterios de evaluaciónCalcular probabilidades de sucesos simples y compuestos.

Calcular probabilidades condicionadas.

Calcular parámetros de distribuciones aleatorias.

Desarrollar ejercicios y plantear y resolver problemas referidos a la distribución binomial.

Calcular probabilidades de sucesos asociados a fenómenos dicotómicos con ayuda de la tabla binomial.

MetodologíaParece conveniente iniciar el desarrollo de la Unidad con un breve recordatorio de los sucesos y sus operaciones.


DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOSNo parece oportuna la formalización axiomática de la probabilidad; sin embargo, al menos, convendría advertir a los alumnos de que la socorrida Regla de Laplace no es una definición, y que funciona sólo si los sucesos son equiprobables e incompatibles.

Se trata de un tema que, en este nivel de aprendizaje, resulta vidrioso en sus fundamentos, por lo que se sugiere una actividad de aula dirigida más a la práctica que a la teoría.

La idea de esperanza matemática es interesante, ayuda a asumir riesgos probables con espíritu crítico.

La distribución de probabilidad binomial puede explicarse a partir de multitud de fenómenos sociales. Para que lo entiendan bien los alumnos puede ser útil recurrir a diagramas de árbol.

La asignación de probabilidades se hará generalmente con ayuda de la tabla binomial. También puede recurrirse, excepcionalmente, a técnicas combinatorias. En este sentido, el apéndice de números combinatorios puede servir de referencia. En todo caso, esta unidad se presta a aplicar criterios de diversidad.



Unidad 14. Distribuciones continuas. La distribución normalObjetivos

Aprender a reconocer las distribuciones continuas de probabilidad.

Conocer y saber calcular los parámetros de distribuciones aleatorias.

Establecer el concepto y la función de densidad, con sus características, de una distribución normal.

Saber cómo se reparte la probabilidad en una distribución normal.

Manejar las tablas de la distribución N (0, 1).

Tipificar la variable normal.

Calcular probabilidades de sucesos asociados a distribuciones normales.

Aproximar, previo análisis de lo que procede, una distribución binomial por una normal.

Contenidos

ConceptosDistribuciones de probabilidad continuas.

Función de densidad: media y varianza.

Distribución normal.

Distribución normal estándar. Tipificación.

Ajuste de una ley normal a una distribución empírica

La normal como aproximación de la binomial.

ProcedimientosEnumeración de fenómenos aleatorios de variable continua.

Obtención gráfica de una función de densidad a partir de histogramas.

Empleo de las funciones de densidad para el cálculo de probabilidades en intervalos.

Observación de la influencia de la media y la varianza en la forma de la función de densidad.

Cálculo de funciones de distribución a partir de las de densidad de variables aleatorias continuas.

Tipificación de la variable de una distribución normal.

Cálculo de probabilidades en una distribución normal.

Aproximación de una distribución binomial por la normal que sea procedente.

Asignar probabilidades a sucesos de carácter binomial por aproximación normal.Proyecto curricular Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales, 1º Bach. Pág. 46/45


ActitudesAprecio por la distribución normal dada su presencia permanente en los fenómenos sociales.

Valoración de la distribución normal como instrumento adecuado para la toma de decisiones.

Interés en la realización correcta de la recogida de datos.

Disposición favorable a la utilización de instrumentos informáticos para la modelización de fenómenos asociados a comportamientos normales.

Actitud crítica ante las decisiones tomadas, calibrando siempre la probabilidad de error.


Criterios de evaluaciónConocer las características básicas de la distribución normal.

Utilizar la tabla normal tipificada para asignar probabilidades.

Tipificar una variable N(μ, σ) y calcular probabilidades asociadas a ella.

Calcular la probabilidad de sucesos de origen binomial con ayuda de la normal.

MetodologíaPartiendo de ejemplos reales y cercanos a los alumnos debe insistirse en la esencia de la distribución de probabilidad de variable continua.

Para que los alumnos adquieran el concepto de función de densidad deben proponerse ejemplos de fácil representación.

Insistir en que sólo puede calcularse probabilidades asociadas a un intervalo; y que la probabilidad de que x [a, b] viene dada por el área bajo la función de densidad desde a hasta b.

Gráficamente puede verse cómo influyen los valores de μ y σ en la forma de f(x).Todo lo anterior cobra mayor importancia si nos referimos a la distribución normal N(μ, σ).

Conviene hacer un tratamiento gráfico completo, sobre todo para que entiendan el uso de la tabla normal.

La tipificación de una variable se entiende bien con ayuda de la Figura 14.15.


TEMPORALIZACIÓN

La distribución temporal dependerá de la programación hecha por el departamento. Nosotros proponemos a modo de orientación la siguiente:

Unidad 1. Resolución de problemas.………………………… 1 semana

Bloque I. Aritmética y álgebra 9 semanas

Unidad 2. Conceptos algebraicos básicos.………………..... 2 semanas

Unidad 3. Introducción a los números reales.……………… 2 semanas

Unidad 4. Ecuaciones e inecuaciones……………………… 2.5 semanas

Unidad 5. Sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones... 2,5 semanas

Bloque II. Funciones y gráficas 11 semanas

Unidad 6. Funciones y gráficas………………………………. 2 semanas

Unidad 7. Funciones polinómicas y racionales.......………... 2,5 semanas

Unidad 8. Funciones exponenciales y logarítmicas………… 2,5 semanas

Unidad 9. Sucesiones de números reales y aplicaciones económicas…………………………………………………… 2,5 semanas

Unidad 10. Funciones periódicas y trigonometría………….. 1,5 semanas

Bloque III. Probabilidad y estadística. 8 semanas

Unidad 11. Estadística básica……………………………….. 2 semanas

Unidad 12. Distribuciones bidimensionales………………… 2 semanas

Unidad 13. La distribución binomial…………………………. 2 semanas

Unidad 14. Distribuciones continuas. La distribución normal…. 2 semanas


Manejar los números racionales e irracionales, sus notaciones, operaciones y procedimientos asociados, para presentar e intercambiar información y resolver problemas y situaciones extraídos de la realidad social y de la vida cotidiana.

Representar sobre la recta diferentes intervalos. Expresar e interpretar valores absolutos y desigualdades en la recta real.

Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas para resolverlos e interpretar las soluciones de forma acorde con el contexto.

Reconocer las familias de funciones más frecuentes en los fenómenos económicos y sociales relacionando sus gráficas con ellos. Interpretar, cuantitativa y cualitativamente, las situaciones presentadas mediante relaciones funcionales expresadas en tablas numéricas, gráficas o expresiones algebraicas.

Utilizar las tablas y gráficas ante situaciones empíricas relativas a fenómenos sociales. Analizar funciones que no se ajusten a ninguna fórmula algebraica y que propicien el uso de métodos numéricos para obtener valores desconocidos.

Elaborar e interpretar informes sobre situaciones reales susceptibles de representación mediante gráficas o expresiones polinómicas o racionales sencillas, teniendo en cuenta intervalos de crecimiento y decrecimiento, continuidad, máximos y mínimos y tendencias de evolución.

Interpretar el grado de correlación entre las variables de una distribución estadística Bidimensional y obtener las rectas de regresión necesarias para hacer predicciones estadísticas ante problemas de ámbito económico y social.

Asignar a los resultados de un experimento los posibles valores de la variable aleatoria e identificarla como discreta o continua. Determinar la función de probabilidad de dicha variable.

Interpretar y explicar situaciones reales que precisen el estudio y análisis de variables aleatorias discretas o continuas. Aplicar, en cada caso, y cuando sea posible, las propiedades de la distribución binomial o de la distribución normal y calcular las probabilidades de uno o varios sucesos.

Elegir y aplicar convenientemente el modelo de distribución que permita resolver un problema estadístico. Reconocer y analizar los casos en los que una distribución Binomial pueda tratarse como una distribución Normal. Calcular mediante tablas las probabilidades de uno o varios sucesos.


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