FUERZA ENTRE CARGAS EN REPOSO. LEY DE COULOMB La ley de Coulomb dice: La fuerza con que dos cargas en reposo se atraen o repelen, según sean sus signos, es proporcional en módulo al productos de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de la fuerza es según la recta que une las cargas y el sentido atractivo si las cargas tienen distinto signo y repulsivo si tienen el mismo.

r2 ur

q́qKF rr ⋅=

• rur es un vector unitario en la dirección de la línea que une los centros de las

cargas y el sentido, como se hacía en el campo gravitatorio, se toma desde la carga que crea el campo hacia la otra.

• Observa que, a diferencia de la ley de gravitación de Newton, esta expresión no

lleva signo menos y ello se debe a la existencia de dos tipos de carga. El signo “menos” se interpretaba como una fuerza atractiva, es decir que tiene la dirección del vector unitario rur− . Ahora no es necesario, porque cuando se trate de dos cargas positivas, o dos cargas negativas, al sustituir resultará un vector en dirección y sentido de rur , es decir se repelen. Cuando se trate de una carga positiva y otra negativa resultará un vector en la dirección y sentido de rur− , es decir se atraen.

A este respecto es importante tener en cuenta que si queremos calcular el vector fuerza debemos sustituir los valores de las cargas con su signo incluido que es precisamente quién nos dará el sentido de la fuerza. Sin embargo si solamente queremos calcular el valor del módulo de la fuerza entonces será suficiente con sustituir el valor de las cargas en valor absoluto.

• K es una constante de proporcionalidad llamada “constante de Coulomb” y hace

un papel similar al que hacía G en la ley de gravitación universal, aunque a diferencia de aquella ésta no es realmente una constante porque depende del medio en el que están situadas las cargas.

πε41K =

ε es una constante específica de cada medio que se llama permitividad o constante dieléctrica. Su valor para algunos medios es:

Medio ε (C2/N.m2) Vacío 121085,8 −⋅Aire 121085,8 −⋅Agua 121085,716 −⋅Vidrio 121000,53 −⋅Mica 121000,35 −⋅

Las unidades de K se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula de Coulomb y su valor para el caso del vacío o del aire es:

229 C/mN109K ⋅⋅=

Es importante tener en cuenta que, lo mismo que con las masas, la fuerza actúa tanto sobre una carga como sobre la otra y que son iguales y de sentidos opuestos, es decir, una es la de acción y la otra de reacción:

2112 FFrr

−=

2112 FF =

Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que actúa sobre el testigo, por ese motivo a la que actúa sobre la masa que crea el campo no le prestaremos atención, sin que ello quiera decir que no exista. Podrías preguntarte porqué en el encabezamiento dice: fuerzas entre cargas en reposo. Como ya sabes, una carga eléctrica siempre crea a su alrededor un campo eléctrico, pero si está en movimiento, entonces, además crea otro magnético como veremos mas adelante y por tanto la cosa cambia. Ejemplo: Dos cargas fijas C3q1 µ−= y C6q2 µ−= están separadas en el vacío una distancia de 0,3m. Calcular la fuerza que se ejercen entre ellas. ¿Dónde deberíamos colocar una carga C1q µ+= para quede en reposo? a) La fuerza con que se repelen las dos cargas, puesto que tienen el mismo signo, viene dada por la ley de Coulomb:

221

2112 rqqKFF ⋅

==

N8,1)3,0(

106103109F 2

669 =

⋅⋅⋅=

−− o

b) Para que una carga quede en reposo deberemos colocarla en la línea que une las cargas en un punto en la fuerza con que la atrae la carga q1 se compense con la fuerza con que la atrae la carga q2:

21 FF =

22

22

1

1

rqqK

rqqK ⋅=

⋅

2

6

2

6

)x3,0(q106K

xq103K

−⋅⋅

=⋅⋅ −−

m12,0x =

INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de Coulomb nos da la fuerza con que se atraen dos cargas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras cargas. Ello nos lleva al principio de superposición: “Si una carga se encuentra en el campo creado por varias cargas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada carga, por separado, ejerza sobre ella.” También podría decirse que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.

∑= itotal FFrr

∑= itotal EqFrr

es decir que ∑= itotal EErr

Ejemplo: Tres cargas eléctricas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a como se indica en la figura ¿Qué fuerza actúa sobre la carga q? Dar el resultado en función de +q, +Q, -Q y a. Sencillamente no hay más que aplicar el principio de superposición, así que calcularemos la fuerza que cada carga hace por separado sobre +q y luego las sumamos vectorialmente.

La fuerza que la carga +Q ejerce sobre +q es repulsiva por tener el mismo signo y en la dirección de la recta que une ambas cargas. Su módulo de acuerdo con la ley de Coulomb es:

21 aqQKF ⋅

=

La fuerza que la carga –Q ejerce sobre +q es atractiva por tener distinto signo y en la dirección de la recta que las une, y el módulo (recuerda que para calcular el módulo solo tomamos las cargas en valores absolutos)

22 aqQKF ⋅

=

Ahora solo hay que sumar dos vectores. Para ello elegimos un sistema de referencia cualquiera, aunque parece apropiado uno como el de la figura:

el siguiente paso es descomponer los vectores según los ejes del sistema de referencia elegido, y luego se escriben vectorialmente las fuerzas:

j60senFi60cosFF 111

rrr+=

j60senFi60cosFF 222

rrr−=

j60sen)FF(i60cos)FF(F 2121

rrr−++=

Teniendo en cuenta que como hemos visto antes 221 aqQKFF ⋅

== nos quedaría que

i60cosa

qQK2F 2

rr ⋅= y como cos60=1/2 i

aqQKF 2

rr ⋅=

NOCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL En general, el vector Intensidad de campo, o simplemente campo, en un punto, se definió como la fuerza, en ese punto, por unidad de agente sensible, con objeto tener una magnitud que solamente dependa de la posición del punto en el campo, y no dependa del testigo:

cFIr

r=

Particularizando para el campo eléctrico, donde el testigo es una carga, tendremos que:

r2 urqK

q́FE rr

r==

Como puede verse el valor de la Intensidad de campo eléctrico solamente depende de la carga q que crea el campo y de r, es decir de la posición del punto. Como el testigo siempre se toma como una carga unidad y positiva, el vector intensidad de campo eléctrico en un punto, P, apunta hacia la carga que crea el campo si es negativa, (las cargas negativas son sumideros) y si la carga que crea el campo es positiva apuntaría hacia fuera (las cargas positivas son fuentes).

Por otro lado, hemos visto que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.

∑= itotal EErr

es decir se cumple el principio de superposición.

Ejemplo: Una partícula de masa m y carga -10-6

C se encuentra en reposo al estar sometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C-1

de la misma dirección. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa. b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C-1

y determine su aceleración. a) Obviamente para que la partícula cargada esté en equilibrio, la fuerza peso debe contrarrestarse con la eléctrica. Como sabemos las líneas de fuerza tienen el sentido en que se movería una carga positiva (ese fue el criterio que se adoptó) así que como la fuerza eléctrica debe ir hacia arriba para compensar al peso y como la carga es negativa, el campo eléctrico debe ir hacia abajo. (recuerda que al multiplicar un vector ( E

r) por un escalar

negativo (q) el resultado es un vector ( Fr

) en la misma dirección y sentido contrario). Podemos prescindir del carácter vectorial de las magnitudes ya que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión, por tanto nos limitaremos a igualar los módulos de las fuerzas y en ese caso recuerda que el valor de la carga se sustituye en valor absoluto.

gravitelectr FF =

qEmg =

1001010m 6 ⋅=⋅ −

Kg10m 5−=

De hacer el tratamiento vectorial, habríamos planteado que ∑ = 0F

r, es decir que:

0Eqgm =+

rr ⇒ 0)j(100)10()j(10m 6 =−⋅−+−⋅ −rr

⇒ Kg10m 5−= b) Si el campo eléctrico aumenta de valor, la fuerza eléctrica será mayor que el peso y en consecuencia habrá una fuerza neta, y por tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia arriba, es decir, en la dirección y sentido de la fuerza resultante. Aplicando la segunda ley de Newton:

amFFF gravitelectrrrrr

=+=∑

amgmEq rrr=+

a10)j(1010)j(12010 556 rrr

−−− =−⋅+−⋅−

a10j10j102,1 544 rrr−−− =−⋅

2s/mj2arr

=

Ejemplo: a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido. b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta. a) Analogías:

• Los dos son campos de fuerzas centrales, y por tanto conservativos • Todas las expresiones de uno y otro son semejantes. (El papel que la constante

de gravitación universal y las masas hacen en el campo gravitatorio, en el eléctrico lo hacen la constante de Coulomb y las cargas.

• Las líneas de fuerza en estos campos son abiertas, es decir, no se cierran sobre sí mismas como suceda en el campo magnético.

Diferencias:

• Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas y solo una clase de masas. • Como consecuencia de lo anterior la fuerza entre dos cargas puede ser atractiva

o repulsiva, mientras que en las masas siempre es atractiva • Consecuencia directa de lo anterior es el signo menos que aparece en las

expresiones del campo gravitatorio • La constante de gravitación universal G es una constante, mientras que la

constante de Coulomb realmente no lo es puesto que depende del medio: πε4/1K = ya que depende de ε que es la constante dieléctrica del medio en que

se encuentran las cargas. b) Como hemos dicho antes, hay solo una clase de masas, así que siempre podremos encontrar un punto en la línea que une dos masas donde el campo gravitatorio sea nulo, pero en el caso de las cargas eso solo será posible si las dos cargas tienen el mismo signo, (las dos positivas o las dos negativas), pero si tienen signo contrario en cualquier punto de la línea que une las cargas los campos creados por cada carga tendrán el mismo sentido, siendo imposible que se anulen:

ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UNA CARGA EN PRESENCIA DE OTRA. SUPERPOSICIÓN. Como sabemos, el campo eléctrico es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial. Se definió diferencia de energía potencial (ddp) de una partícula, entre dos puntos B y A, como el trabajo realizado por nosotros para llevar la partícula del punto A al B.

campoBAABnosotrosBA WEpEpEpW ,, →→ −=∆=−= También vimos que el trabajo realizado por nosotros para llevar una partícula de un punto a otro es igual y de signo contrario al que hace el campo, así que:

BAcampoBA EpEpEpW −=∆−=→ , podríamos decir que el trabajo (o la circulación de la fuerza) que hace el campo eléctrico para llevar una carga de un punto A hasta otro B es igual a diferencia de energía potencial entre los puntos A y B, y solo depende de la posición de los puntos A y B. Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial eléctrica, para ello no hay mas que calcular el trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga desde el punto A al B:

∫∫∫ ⋅⋅

=•⋅

=•==− →

B

A2

B

Ar2

B

Aelectrcampo,BABA dr

rq́qKrdu

rq́qKrdFWEpEp rrrr

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario

rur y el vector desplazamiento rdr tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1.

Teniendo en cuenta además, que r

drr

112 −=∫ nos

quedaría que:

BABA

B

Acampo,BA EpEp

r1

r1q́qK

r1q́qKW −=

−⋅⋅=

−⋅⋅=→

−⋅⋅=−

BABA r

1r1q́qKEpEp

Energía potencial eléctrica en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la carga q´ desde uno a otro), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial en un punto, entonces podremos habar de energía potencial absoluta en un punto. Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A. Dicho de otra manera: La energía potencial de una carga q´ en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la carga q´ desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una carga q´ en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la carga desde el infinito hasta ese punto)

∞

−⋅⋅=− ∞1

r1q́qKEpEpA

A

como 01 =∞

nosotros,AAA

A Wr

q́q4

1r

q́qKEp →∞=⋅

=⋅⋅

=πε

donde rA es la distancia que separa las dos cargas. Como puedes ver la energía potencial eléctrica en un punto no es siempre negativa como pasaba a la gravitatoria. En este caso solo será negativa si las cargas tienen signo contrario. Cuando las cargas tienen el mismo signo, la Ep es positiva porque para llevar la carga q´ desde el infinito hasta al punto A tenemos que hacer realmente un trabajo. La carga q´ no iría sola puesto que se repelen. Por el contrario, cuando las cargas tienen distinto signo (como pasaba con las masas) la carga q´ iría sola desde el infinito hasta el punto A y por eso su Ep es negativa, porque el trabajo no lo haríamos nosotros sino el campo creado por la carga q. La Ep eléctrica tiene su “máximo valor positivo si las cargas son del mismo signo” (o “máximo valor negativo si las cargas son de distinto signo”) en la superficie de la carga que crea el campo y va disminuyendo (o aumentando) al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito. En cualquier caso, en el infinito la Ep es cero.

Energía potencial “de una carga” debida al campo creado por una asociación de cargas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la debida al campo que independientemente cada carga crea sobre ella, así que:

∑ ==⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

=i

in1i

n

n

2

2

1

1

rqKq

rqqK

rqqk

rqqKEp

Energía potencial de una asociación de cargas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de cargas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:

++=

23

32

13

31

12

21

rqq

rqq

rqqKEp

∑=ij

ji

rqq

KEp

Ejemplo: Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C- 1

el hilo forma un ángulo de 15º con la vertical. a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera y determine su carga eléctrica. b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico. g = 10 m s-2

a) Se trata de un péndulo ideal que se encuentra probablemente entre las armaduras de un condensador plano, entre las que se crea un campo eléctrico uniforme (salvo en los bordes). La masa del péndulo está sometida por una lado a su peso y por otro lado, al estar cargada, a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico. Suponiendo que la carga sea positiva, el campo iría hacia la derecha, ya que en tal caso la fuerza y el campo tienen la misma dirección y sentido: EqF

rr=

Para que el péndulo esté en equilibrio, es preciso que la suma de las fuerzas sea nula, así que eligiendo un sistema de referencia como el de la figura no hay más que descomponerlas e igualar las componentes en el eje X.

αα cosqEsenmg ⋅=⋅ ⇒ =⋅⋅

=⋅

=1000

15tg10002,0Etgmgq α C1036,5 6−⋅

Las componentes en eje Y también dan resultante nula: αα senqEcosmgT ⋅+⋅= b) Como hemos visto al aplicar el campo eléctrico la bola cargada se desplaza de la posición de equilibrio. Ahora el trabajo realizado por el campo eléctrico está guardado en forma de energía potencial gravitatoria. Como vemos en la figura, si tomamos nivel cero de Ep la que tiene en la posición de equilibrio (punto A), el punto B está por encima una altura αcosLLh −=

)cosLL(mgmghEp gravit,B α−==

J1036,1)15cos2,02,0(10002,0Ep 4gravit,B

−⋅=−⋅=

POTENCIAL ELÉCTRICO Ya hemos visto que la circulación de la fuerza del campo (trabajo) para llevar una partícula desde un punto A hasta el B solamente depende de la posición de los puntos, siendo igual a Ep∆−

campoBA

B

campoAcampoBA WrdFEpEp ,

,→=•=− ∫

rr (*)

si tenemos en cuenta que IcFrr

= , podríamos decir que la circulación del vector Intensidad de campo, igualmente, solo depende de la posición de los puntos A y B. De esta forma podemos definir una función análoga a la Ep, pero que además no dependa del testigo y a la que llamaremos Potencial (V)

∫ •=−B

campoABA rdIVV

,

rr

cEpEpVV BA

BA−

=−

Como puede verse la diferencia de Potencial entre dos puntos es igual a la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad. Para el caso concreto del campo eléctrico, donde el testigo es la carga q´ podemos obtener la expresión específica de la ddp entre los puntos A y B utilizando cualquiera de las dos expresiones, es decir, integrando al vector E

r o bien dividiendo la expresión de

la diferencia de energía potencial por la carga q´.

∫∫∫ ⋅=•=•=−B

campo,A2

B

campo,Ar2

B

campo,ABA dr

rqKrdu

rqKrdEVV rrrr

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario

rur y el vector desplazamiento rdr tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1.

Teniendo en cuenta además, que r

drr

112 −=∫ nos

quedaría que:

−⋅⋅=

−⋅⋅=−

BA

B

ABA r

1r1qK

r1qKVV

−⋅⋅=−

BABA r

1r1qKVV

Al mismo resultado llegaremos, como ya hemos dicho, si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo q´ ya que la ddp entre dos puntos es igual a la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:

−⋅⋅=

−=−

BA

BABA r

1r1qK

q́EpEpVV

Es obvio que lleguemos al mismo resultado, ya que en realidad hemos hecho lo mismo. En el primer caso hemos calculado la circulación de E

r y en el segundo hemos dividido la

circulación de Fr

por q´ (acuérdate que la circulación de Fr

es BA EpEp − . Mira más arriba (*) La ddp se mide en voltios, y teniendo en cuenta que:

)VV´(qW BAcampo,BA −=→ o bien que:

Vq́)VV´(qW ABnosotros,BA ∆=−=→ El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q´ se mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0 y VA>VB entonces W>0. (lo contrario puede decirse para la carga negativa) Una partícula con carga positiva tenderá a moverse libremente en el sentido de potenciales decrecientes, es decir, desde zonas de potencial mayor hacia zonas de potencial menor. Podemos decir que: entre dos puntos, A y B, hay una ddp de 1 Voltio cuando el trabajo que hemos de realizar para llevar una carga de 1 Culombio de uno a otro es de 1 Julio. Potencial eléctrico en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como la circulación de E

r entre

esos dos puntos), pero si por acuerdo asignamos cero al potencial en un punto, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo.

Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que q́

WVV campo,BA

BA→=− podemos decir que:

El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una carga de 1C desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una carga de 1C desde el infinito hasta ese punto).

∞

−⋅⋅=− ∞1

r1qKVVA

A

como 01 =∞

AA r

qKV ⋅=

donde rA es la distancia que separa la carga que crea el campo del punto A. Como puedes ver, el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo, dependiendo el valor de la carga, sin embargo el potencial gravitatorio siempre es negativo.

Potencial de una distribución de cargas: En el caso de que el campo sea debido a la presencia de más de una carga, el potencial en un punto A, aplicando el principio de superposición será la suma de los potenciales debidos a cada carga, y por tanto:

∑=

+++=

iA

i

A3

3

A2

2

A1

1A r

qK...rq

rq

rqKV

Para terminar, te recomiendo que asocies el vector intensidad de campo en un punto con el potencial en ese punto y a la fuerza que actúa sobre un testigo colocado en un punto con la energía potencia que tiene. Por supuesto son conceptos distintos, pero realmente nos permiten definir un campo de cualquiera de las dos formas: Vectorialmente, mediante los vectores fuerza e intensidad de campo, o escalarmente mediante la energía potencial y el potencial. Ejemplo: Cuatro cargas eléctricas qo se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado a. ¿Qué trabajo hay que realizar para llevar una quinta carga qo desde A hasta B. Véase la figura. Sencillamente lo que hay que hacer es calcular el potencial en el punto A y luego el potencial en el punto B y luego tener en cuenta que el trabajo que hacemos nosotros para llevar la carga qo es igual al valor de la carga por la ddp entre esos puntos:

)VV(qW ABonosotros,BA −=→ Vamos ahora con las operaciones, y para poder distinguir las cargas, porque son iguales, mejor las llamaremos con nombres diferentes. Las distancias entre las cargas y los puntos son fáciles de calcular son más que aplicar el teorema de Pitágoras.

a5)2054(Kq

2aq

2aq

25a

q

25a

qKrq

rq

rq

rqKV ooooo

A4

4

A3

3

A2

2

A1

1A

−=

−

+−

++=

+++=

fíjate que si hiciéramos operaciones, el potencial en el punto A es negativo, porque )2054( − es negativo.

0

22a

q

22a

q

22a

q

22a

qKrq

rq

rq

rqKV oooo

B4

4

B3

3

B2

2

B1

1B =

−

+−

++=

+++=

El trabajo que nosotros tenemos que hacer para llevar una carga qo desde el punto A hasta el B será:

+=−

−=

−−=−=→ a5

)2054(Kqa5

)2054(Kq0q)VV(qW2oo

oABonosotros,BA

Debes darte cuenta de que el trabajo que tenemos que hacer es positivo, indicando esto que realmente debemos hacer trabajo para llevar la carga qo desde A hasta B. Efectivamente esto era de esperar, puesto que si te fijas en la distribución de cargas, nunca la carga se moverá hacia B de forma espontánea, ya que esta siendo atraída por las cargas negativas y sería repelida por las dos positivas de arriba. RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO Si te das cuenta el campo ( E

r) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su

correcta relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial. Teniendo en cuenta la definición de ddp, y si nos limitamos a unos puntos en los el campo puede considerarse constante, entonces podemos sacarlo de la integral:

( ) dErrErdEVV AB

B

campo,ABA ⋅=−=•=− ∫

rr

Dice que la ddp entre dos puntos es igual al valor del campo, supuesto constante, por la distancia entre esos puntos. La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo de E

r y la del potencial V en un punto:

2A

A rqKE ⋅

=

AAA r.EV =

AA r

qKV ⋅=

Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del punto a la carga que crea el campo se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle importante:

• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( gr o )Er

podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m´ o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente el módulo de la fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que gmF rr

= o bien EqF

rr= )

• Sin embargo, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se moverán hacia donde disminuya su energía potencial.

Ejemplo: El potencial eléctrico en un punto P, creado por una carga Q situada en el origen, es 800 V y el campo eléctrico en P es 400 N C-1. a) Determine el valor de Q y la distancia del punto P al origen. b) Calcule el trabajo que se realiza al desplazar otra carga q = 1,2·10-6 C desde el punto (3, 0) m al punto (0, 3) m. Explique por qué no hay que especificar la trayectoria seguida. K = 9 ·109

N m2C−2

2P

P rQKE ⋅

= 2P

9

rQ109400 ⋅

=

C1078,1Q 7−⋅= ; m2rP =

PP r

QKV ⋅=

P

9

rQ109800 ⋅

=

b) Para calcular el trabajo que tenemos que hacer solo hay que calcular el potencial en el punto A y luego el potencial en el punto B y tener en cuenta que:

)VV(qW ABnosotros,BA −=→

FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS El teorema de Gauss no da la expresión del flujo de la Intensidad de campo a través de una superficie cerrada de forma cualquiera. Según vimos el flujo elemental del campo viene dado por el producto escalar del vector Intensidad de campo por el vector superficie:

SdIdrr

•=φ donde Sd

res un vector perpendicular a la superficie y módulo igual al área de la

superficie (o del elemento de superficie en este caso) Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el resultado es general) y que en su interior encierra una carga q. El flujo a través de la superficie sería:

SdEdrr

•=φ Según la definición de producto escalar, y teniendo en cuenta que α=0º

dSEcosdSEd ⋅=⋅⋅= αφ

El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:

εππφ qKq4r4

rqKdS

rqKdS

rqKdSE 2

2S

2S

2S

==⋅===⋅= ∫∫∫

donde hemos tenido en cuenta que la integral de superficie como representa a todos los sumandos elementales de la esfera, su solución será la superficie de ésta, es decir 4πr2 y posteriormente que πε4/1K = En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias cargas, el flujo total sería la suma del debido a cada una de ellas, lo que se conoce como ley de Gauss, y es una de las 4 ecuaciones de Maxwell fundamentales del electromagnetismo:

εφ ∑= iq

Es muy importante tener en cuenta que:

• Solamente contribuyen al flujo las cargas (o masas en el caso del gravitatorio) que estén encerradas en el interior de la superficie.

• El flujo es independiente de la posición de las cargas en el interior de la superficie, ya que su expresión no depende de r.

• Como puede verse, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada debido a las cargas que encierra en su interior puede ser positivo o negativo, dependiendo del signo de las cargas, mientras que en el caso del campo gravitatorio siempre era negativo ( Gm4πφ −= ).

Mediante la ley de Gauss podemos calcular muy fácilmente el valor de la intensidad de campo eléctrico creada por una distribución de cargas, siempre que podamos calcular el valor de la superficie gausiana. Ejemplo: Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo eléctrico creado por una carga q a una distancia r de la misma. ¿Qué fuerza actuará sobre una carga q´ colocada en dicho punto? Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la carga una superficie cerrada que va a ser una esfera cuya distancia a la carga será r. Según la ley de Gauss:

ε

φ q=

es decir que:

εqSdE

S

=•∫rr

Como:

• El vector Er

y el vector Sdr

forman ángulo de 0º • El módulo de E es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie

esférica en todos sus puntos dista igual a la carga q.

εqdSE

S

=∫ ⇒ ε

π qr4E 2 =⋅

y despejando:

22 rqK

rq

41E ==πε

Si en el punto P colocamos una carga q´ sobre ella actuará una fuerza dada por:

2rq́qKEq́F ⋅

==

que es la ley de Coulomb y que como vemos puede demostrarse fácilmente a partir de la ley de Gauss. Procediendo de forma análoga, si la carga q en lugar de ser puntual hubiese tenido forma esférica el resultado habría sido el mismo, lo que nos indica que es como si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro. Por esa razón cuando medimos las distancias entre dos cargas (o masas) lo hacemos desde centro a centro. Ejemplo: Calcular el campo eléctrico a una distancia r de un hilo indefinido cargado uniformemente con una densidad lineal de carga λ. La dirección del campo eléctrico creado por el hilo cargado, por razones de simetría, es perpendicular al hilo, por tanto elegiremos como superficie de gauss un cilindro de radio r y una altura h cualquiera.

El teorema de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada, el cilindro en este caso, es igual a la carga que encierra en su interior dividido por la constante dieléctrica:

εqSdE

S

=•∫rr

El flujo a través de todo el cilindro es igual al flujo a través de las tapas más el flujo a través de la envoltura. El flujo de E

r a través de las tapas es nulo, porque como vemos

en la figura Er

y Sdr

forman ángulo de 90º y su producto escalar es nulo porque cos90º=0. Nos queda entonces que el flujo total será el que atraviesa la envoltura lateral del cilindro: en ese caso E

r y Sd

r tienen la misma dirección. Teniendo en cuenta que el área

de la envoltura es hr2 ⋅π

επ qhr2ESdE

S

=⋅⋅=•∫rr

⇒ hr2

qE⋅⋅

=πε

Teniendo en cuenta ahora que λ es la densidad lineal de carga, es decir, la carga por unidad de longitud. La carga que hay encerrada en el cilindro de altura h será hq ⋅= λ y por tanto, sustituyendo nos quedaría que:

r2E

⋅=

πελ

Ejemplo: Obtener la expresión del campo eléctrico creado por una chapa delgada de superficie infinita y que se encuentra cargada con una densidad superficial de carga σ.

Por simetría, la dirección del campo eléctrico es perpendicular a la chapa. Elegimos una superficie gausiana, por ejemplo, cilíndrica como la de la figura, cuyas tapas tienen una superficie igual a A. Como sabemos:

εqSdE

S

=•∫rr

Y puesto que como se ve en la figura, la única contribución al flujo es a que tiene lugar a través de las tapas anterior y posterior, donde E

r y Sd

r tienen la misma dirección, así

que:

εqAEAE =⋅+⋅

Teniendo en cuenta ahora que σ es la densidad superficial de carga, es decir, la carga por unidad de área. La carga que hay encerrada en el cilindro será Aq ⋅=σ y por tanto, sustituyendo nos quedaría que:

εσ AA2E ⋅

=⋅ ⇒ εσ2

E =

Observa como el valor de la intensidad de campo es el mismo para todos los puntos a ambos lados de la chapa. El resultado también es válido para el caso de que la chapa tenga dimensiones finitas, aunque no valdría en los bordes de la chapa.

Ejemplo: Calcular el valor del campo eléctrico entre las placas de un condensador plano de superficie A. Un condensador es un dispositivo formado por dos placas (llamadas armaduras) muy próximas, cargadas igualmente pero con cargas de signo contrario. Recordando que la dirección del campo es la que tomaría una carga positiva, podemos dibujar el campo:

Como puedes ver la intensidad de campo eléctrico fuera del condensador es nula porque el campo creado por una placa se anula con el que crea la otra armadura. Solo dentro del condensador el campo tiene un valor distinto de cero. Para calcular el campo dentro del condensador elegimos una superficie gausiana como si se tratara de una caja de cerillas que pase por medio de la armadura, como se ve en la figura:

El flujo de E

r a través de todas las caras de la caja de cerillas es nulo salvo de la cara

interior. La explicación es sencilla:

• en las caras superior e inferior es nulo porque Er

y Sdr

formarían ángulo de 90º y su producto escalar es nulo.

• En la cara que pasa por medio de la armadura el flujo es nulo, porque como veremos más adelante el campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo.

• Solo queda la cara que está entre las armaduras, donde Er

y Sdr

tiene la misma dirección.

εqSdE

S

=•∫rr

⇒ εqAE =⋅ ⇒

AqE⋅

=ε

El campo eléctrico dentro del condensador no depende de la distancia a las placas, y por tanto tiene el mismo valor en todos los puntos entre ellas (salvo en los bordes). Se dice entonces que es uniforme.

PROPIEDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA La carga, como hemos visto, es una magnitud que se introduce para explicar los fenómenos eléctricos. Las propiedades más importantes de la carga son: 1. Hay dos tipos de carga: positiva y negativa. Esta denominación corresponde al físico Benjamín Franklin, que le asignó carga negativa al electrón y positiva al protón, aunque ninguno de ellos tienen nada intrínseco que les haga ser negativo o positivo. Simplemente se les asignó de esa forma. Como sabes, un cuerpo cargado negativamente es aquel que tiene un exceso de electrones, mientras que un cuerpo cargado positivamente es aquel que ha perdido los electrones. Los electrones son los que se ganan o se pierden, pero nunca los protones, ya que si así fuera los elementos dejarían de ser los que son y se transformarían en otros. 2. La carga está cuantificada. Esto quiere decir que no puede tomar cualquier valor, sino que siempre debe ser múltiplo de un valor discreto. Esto es fácil de entender ya que como un cuerpo se carga porque gana o pierde electrones es obvio que su carga siempre será múltiplo entero de la carga del electrón, porque un cuerpo puede ganar dos o tres electrones, pero nunca dos y medio. Dicho de otra forma, la carga del electrón 19106,1 −⋅ Culombios es la carga elemental. 3. La carga se conserva. Quiere decir que no aparece ni desaparece, solamente se traspasa de unos cuerpos a otros. Quiere decir que si un cuerpo tiene 2 electrones de más habrá otro que será quien se los ha cedido. Como ejemplo podemos ver, por ejemplo, la desintegración del uranio 238: El uranio tiene 92 protones y se desintegra emitiendo una partícula alfa, que tiene dos. La conservación de la carga exige que se forme un elemento con 90 protones, como así sucede:

42

23490

23892 ThU α+→

A continuación vamos a describir el experimento de Millikan para determinar la carga del electrón. Ejemplo: Una gota de aceite cargada eléctricamente y de masa 2,5.10-7 Kgr está situada entre las placas de un condensador plano con las placas paralelas horizontales, de 0,0175 m2 de superficie. Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5.10-7 C y la inferior igual, aunque negativa, la gota se mantiene en equilibrio. ¿cuál es su carga? Desprecia las fuerzas viscosas y el empuje. Datos: ε = 8,85.10-12 C2/N.m2

Millikan utilizó un dispositivo como el de la figura. La tapa superior tiene una pequeña abertura por donde se introducen gotas de aceite cargadas, lo que se consigue irradiándolas con rayos X. Las armaduras están conectadas a una pila variable, mediante la cual se puede ajustar la ddp adecuada entre las placas hasta conseguir que la gota quede en equilibrio, lo que se puede ver a través de un visor. La gota de aceite al encontrarse en el campo eléctrico creado entre las placas del condensador estará sometida, si despreciamos el rozamiento y el empuje, al peso y a la fuerza eléctrica que deben ser iguales para que la gota se equilibre.

mgEq́ =⋅ Teniendo en cuenta que la intensidad de campo eléctrico entre las placas del condensador es S/qE ε= , (donde q es la carga del condensador y S el área de sus armaduras), sustituyendo nos queda que :

C106,8105,4

0175,01085,810105,2q

Smgq́ 137

127−

−

−−

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=

ε

El valor de la carga tendría signo menos por deberse a un exceso de electrones. Millikan comprobó que los valores de las cargas eran siempre múltiplos de una carga elemental, la del electrón. Por consiguiente pudo medir la carga eléctrica que posee un electrón. Este valor es: e = 1,602 × 10-19 CONDUCTORES Y ALISLANTES Conductores eléctricos son aquellos cuerpos en los que las cargas (los electrones) pueden moverse libremente. Unos conductores excelentes son los metales, porque en la redes metálicas los electrones de la última capa electrónica no están ligados a ningún átomo en particular sino que pertenecen a todo el metal y pueden moverse libremente por él. Los electrones libres se mueven aleatoriamente como lo hacen las moléculas de un gas contenido en un recipiente. Pero si entre los extremos del conductos establecemos una ddp, en el interior del conductor metálico se establece un campo eléctrico constante y

los electrones modifican sus movimientos aleatorios, siendo arrastrados en sentido opuesto al campo eléctrico E

r porque sobre ellos actúa una fuerza EqF

rr=

Por el contrario, cuando en un cuerpo los electrones está muy ligados a sus átomos decimos que se trata de un aislante, sin embargo no existe el aislante perfecto, puesto que siempre podremos establecer una ddp para la cual el campo eléctrico sea suficiente para arrancarlos de los átomos y en consecuencia hacer que se vuelva conductor. Como aclaración mira algunos voltajes que aplicados a aislantes de 1 cm de espesor los volvería conductores:

Mica 300.000 a 2.000.000 V Vidrio 300.000 a 1.500.000 V Aire (a 1 atm) 30.000 V

Además de estos tipos de cuerpos hay otros llamados semiconductores, porque su capacidad para conducir la electricidad es intermedio. Los semiconductores son prácticamente aislantes a bajas temperaturas, pero a medida que aumenta se comportan casi como conductores, aunque sin llegar a tanto. Ejemplos de ellos son el silicio y el germanio. PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO Se dice que un conductor está en equilibrio cuando o hay movimiento macroscópico de cargas en él. Las propiedades son: 1. El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo: 0E =

r. En

efecto, ya que de no ser así sobre los electrones actuaría una fuerza EqFrr

= y entonces se moverían, dejando de estar en equilibrio. 2. Si cargamos un conductor y esperamos a que alcance el equilibrio, las cargas se distribuirán en la superficie, y aunque el campo en su interior deba ser nulo para que haya equilibrio, en la superficie no lo es, aunque es absolutamente necesario que la dirección del campo en la superficie sea normal al conductor.

εqSdE

S

=•∫rr

⇒ Si en el interior E=0 ⇒ q=0

Por otro lado, si la dirección de E

r no fuese normal a la superficie, tendría una

componente en la dirección a la superficie y las cargas se moverían a lo largo de ella, dejando entonces de estar en equilibrio.

3. Todo el conductor en equilibrio es una superficie equipotencial: V=cte. En efecto, esto debe ser así ya que teniendo en cuenta la relación entre el campo eléctrico y el potencial:

∫ •=−B

campo,ABA rdEVV rr

es evidente que si rdE rr

⊥ ello implica su producto escalar sea cero y que por tanto BA VV = lo que quiere decir que V=cte, es decir que en todo el conductor el potencial es

el mismo.