Fun Varias Variables

Matemtica IIIFunciones reales de Varias

VariablesVladimiro Contreras Tito

[email protected]

15 de mayo de 2012

Resumen

En esta parte estudiaremos funciones reales de varias variables.

ndice

ndice 1

1. Funciones reales de varias variables 31.1. Dominio, rango de las funciones reales de varias variables . . . . . 31.2. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Operaciones con funciones reales de variables variables . . . . . . 6

2. Nociones de topologa en Rn 72.1. Distancia euclidea en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Bola abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Bola cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Clasificacin de los puntos de un conjunto 73.1. Punto interior. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Punto exterior. Exterior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Punto frontera. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Punto adherente. Adherente de un conjunto . . . . . . . . . . . . 83.5. Punto de acumulacin. Conjunto derivado . . . . . . . . . . . . . 8

1

NDICE

3.6. Punto aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.7. Conjunto abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.8. Conjunto cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Conjuntos acotados,compactos y conexos 94.1. Conjunto acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3. Conjunto conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4. Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. limites de funciones de varias variables 95.1. Regla de las dos trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2. Limites parciales iterados reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Continuidad de funciones de varias variables 14

7. Ejercicios 16

V. Contreras T. Pgina 2

1 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

1. Funciones reales de varias variablesDefinicin 1.1. Una funcin de varias variables definida sobre un D Rn esuna regla de correspondencia f que asocia a cada punto X = (x1, x2, ...xn) Dun nico nmero real z = f(x1, x2, ...xn)

Figura 1: Funcin real de varias variables

1.1. Dominio, rango de las funciones reales de varias vari-ables

Sea f una funcin de varias variables de R en Rn. Se define el dominio de fdenotado por Domf como:

Domf = {X = (x1, x2, ...xn) Rn / X Rn z = f(X)} Rn

Se define el rango de f denotado por Ran f como:

Ran f = {z R / X = (x1, x2, ...xn) Rn z = f(X)} R

Ejemplo 1.1. Sea f(x, y) =sen(x2 + y2). Halle el dominio y rango de la

funcin f y grafique el dominio.

SolucinSe tiene sen(x2+y2) 0 0 sen(x2+y2) 1 2kpi x2+y2 (2k+1)pi

para todo k = 0, 1, 2, ...Luego

Domf = {(x, y) R2 / 2kpi x2 + y2 (2k + 1)pi , k = 0, 1, 2, ...}

Por otro lado, como 0 sen(x2+y2) 1 0 sen(x2 + y2) 1 0 z 1Luego

Ran f = [0, 1]



Figura 2: Grfica del do-minio de f

Figura 3: Grafica de la funcinf(x, y) =

sen(x2 + y2)

1.2. Graficas

La grafica de una funcin f : R2 R es el conjunto de todos los puntos en elespacio con coordenadas (x, y, z) que satisface la ecuacin z = f(x, y).

La grfica de z = f(x, y) representa alguna superficie en el espacio tridimen-sional. Similarmente la grafica de w = f(x, y, z) representa uns hipersuperficieen un espacio fsico de cuatro dimensiones, que no podemos visualizar por laslimitaciones que tenemos, pero no hay ningun impedimento para poder extendery generalizar el anlisis matemtico a cuatro o ms dimensiones.

Figura 4: Grfica de la superficie: f(x, y) = 2senx2 + y2 + 3

1.3. Curvas de nivel

La interseccin del plano horizontal z = k con la superficie z = f(x, y) es lacurva de contorno de altura k sobre la superficie. La proyeccin vertical de estacurva de contorno en el plano XY es la curva de nivel f(x, y) = k de la funcin



f . Las curvas de nivel proporcional una forma bidimensional de representar unasuperficie tridimensional z = f(x, y).

Figura 5: Curvas de nivel

Ejemplo 1.2. Halle las curvas de nivel de la superficie f(x, y) = y2 x2.SolucinLas curvas de nivel de la superficie f(x, y) = y2 x2 son: y2 x2 = k para

todo k R

Figura 6: Grfica de lasuperficie f(x, y) = y2x2

Figura 7: Grafica de lascurvas de nivel y2x2 =k



1.4. Operaciones con funciones reales de variables variables

Definicin 1.2. Consideremos dos funciones de n variables f , g : Rn R condominios Domf y Domg respectivamente, entonces definimos las operacionessiguientes:

1. (f g)(X) = f(X) g(X) , X Dom(f g) = Domf Domg2. (f g)(X) = f(X) g(X) , X Dom(f g) = Domf Domg3. (f

g)(X) = f(X)

g(X), X Dom(f g) = Domf Domg {X/g(X) = 0}

Definicin 1.3. Consideremos f : Rn R y g : R R dos funciones condominios Domf y Domg respectivamente con Domf Domg 6= 0, entoncesdefinamos la funcin compuesta por:

(g f)(X) = g(f(X)) , X Dom(g f)

donde

Dom(g f) = {X = (x1, x2, ..., xn) / X Domf f(X) Domg}

Ejemplo 1.3. Dado g(x) = arc cosx y f(x, y) =x2 + y2 16. Halle la

funcin g f y su dominio.SolucinPrimero hallemos el dominio de g f .Se tiene que: Domf = {(x, y) R2 / x2 + y2 16} y Domg = [1, 1]Entonces

Dom(g f) = {(x, y) R2 / x2 + y2 16 1 x2 + y2 16 1}

= {(x, y) R2 / x2 + y2 16 0 x2 + y2 16 1}= {(x, y) R2 / x2 + y2 16 16 x2 + y2 17}

Dom(g f) = {(x, y) R2 / 16 x2 + y2 17}

Finalmente

Dom(g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(x2 + y2 16) = arc cos

x2 + y2 16

para todo (x, y) Dom(g f)


3 CLASIFICACIN DE LOS PUNTOS DE UN CONJUNTO

2. Nociones de topologa en Rn

2.1. Distancia euclidea en Rn

Definicin 2.1. Sean X = (x1, x2, ..., xn) y Y = (y1, y2, ..., yn) puntos en Rn. Ladistancia euclidea de X a Y est dada por

d(X, Y ) =

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + ...+ (xn yn)2 = X Y

2.2. Bola abierta

Definicin 2.2. Sea a Rn y r > 0.La bola abierta de centro a y radio r, quese denota B(a, r), es el conjunto

B(a, r) = X Rn / d(X, a) = X a < r.Ejemplo 2.1. Si n = 2 y a = (0, 0), B(a, 2) es el interior del circulo centradoen el origen de coordenadas y radio 2.

2.3. Entorno de un punto

Definicin 2.3. Sea a Rn. Un subconjunto A Rn es un entorno de a siexiste una bola abierta de centro a contenida en A.

2.4. Bola cerrada

Definicin 2.4. Sea a Rn y r > 0.La bola cerrada de centro a y radio r, quese denota B(a, r), es el conjunto

B(a, r) = X Rn / d(X, a) = X a r.Ejemplo 2.2. Si n = 2 y a = (0, 0), B(a, 2) es el interior del circulo de centro(0, 0) y radio 2 junto con la circunferencia contorno.

3. Clasificacin de los puntos de un conjuntoConsideremos Rn con la distancia euclidea.

3.1. Punto interior. Interior de un conjunto

Definicin 3.1. Un punto a Rn es interior a A si existe r > 0 tal que B(a, r) A.

Se llama interior de un conjunto A, denotndose , al conjunto de todos lospuntos interiores a A.


3 CLASIFICACIN DE LOS PUNTOS DE UN CONJUNTO

3.2. Punto exterior. Exterior de un conjunto

Definicin 3.2. Un punto a Rn es exterior a A si es interior a su complemen-tario Ac, o lo que es lo mismo, B(a, r) A = .

Se llama exterior de un conjunto A, al conjunto de todos los puntos exterioresa A, denotandose ExtA.

3.3. Punto frontera. Frontera de un conjunto

Definicin 3.3. Un punto a Rn es punto frontera a A si para todo r > 0,B(a, r) A 6= y B(a, r) Ac 6= .

Es decir, un punto es frontera de A si no es ni interior ni exterior a A.Se llama frontera de un conjunto A al conjunto de todos sus puntos frontera,

denotndose Fr A.

3.4. Punto adherente. Adherente de un conjunto

Definicin 3.4. Un punto a Rn es adherente a A si para todo r > 0 se tieneB(a, r) A 6=

Se llama adherencia de un conjunto A al conjunto de todos los puntos adher-entes a A, denotndose A.

3.5. Punto de acumulacin. Conjunto derivado

Definicin 3.5. Un punto a Rn es de acumulacin de A si para todo r > 0 setiene

[B(a, r) A] {a} 6= Se llama conjunto derivado de A al conjunto de todos los puntos de acumu-

lacin de A, denotndose A.

3.6. Punto aislado

Definicin 3.6. Un punto a Rn es punto aislado de A si existe r > 0 tal queB(a, r) A = {a}NOTA 3.1.

Un punto aislado de A pertenece al conjunto A pero no es punto de acumu-lacin de A.

3.7. Conjunto abierto

Definicin 3.7. Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores.Ejemplo 3.1. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos pero no todo conjuntoabierto es una bola abierta.


5 LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3.8. Conjunto cerrado

Definicin 3.8. Un conjunto es cerrado si su complemeto es abierto.

Ejemplo 3.2. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados pero hay conjunto cer-rados que no son bolas cerradas.

4. Conjuntos acotados,compactos y conexos

4.1. Conjunto acotado

Definicin 4.1. Un conjunto A Rn es acotado si y solo si existe r > 0 tal queX < r para todo X A.

4.2. Conjunto compacto

Definicin 4.2. Un conjunto A Rn es compacto si es cerrado y acotado.

4.3. Conjunto conexo

Definicin 4.3. Un conjunto A Rn es conexo si no es posible encontrar dosconjuntos abiertos B y C no vacios, con A B 6= y A C 6= tales queA B C, con C B = y C B = .NOTA 4.1.

La idea de un conjunto conexo es que sea de una pieza.

4.4. Dominio

Definicin 4.4. Un conjunto A Rn es un dominio si es que es un conjuntoabierto y conexo.

5. limites de funciones de varias variablesSea f una funcin definida en un conjunto D Rn a valores en R. La idea

intuitiva de limite de f cuando X tiende a un punto A Rn es el de la existenciade un l R tal que los valores de f(X) estn arbitrariamente prximos a l siempreque se tome X D, X 6= A suficientemente prximo a A.Definicin 5.1. Sea f una funcin definida en un conjunto D Rn a valoresen R y sea A Rn un punto de acumulacin de D. Diremos que el limite de fcuando X tiende a A es l R (denotado por lmXA f(X) = l ) si para cada



> 0 es posible hallar un > 0 tal que | f(X) A |< siempre que X D y0 < X A < . Simblicamente:lmXA

f(X) = l > 0 > 0 /X D 0 < X A < | f(X) l |< Ejemplo 5.1. Usando definicin demuestre que:

lm(x,y)(0,0)

x2 + y2x2 + y2 + 22 = 2

2

SolucinSea f(x, y) = x

2+y2x2+y2+22

con dominio Domf = R2 {(0, 0)}. De la defini-cin se tiene que:

> 0 > 0 / (x, y) Domf 0 < (x, y) (0, 0) < | f(x, y) 22 |<

| x2 + y2

x2 + y2 + 22 22 | = | (x

2 + y2) (x2 + y2 + 2 +

2)

x2 + y2 2

2 |

= |x2 + y2 + 2

2 |

= | x2 + y2

x2 + y2 + 2 +2|

= | x2 + y2 | | 1x2 + y2 + 2 +

2| ()

Como 0 < (x, y) (0, 0) < 0 < x2 + y2 < . Ahora acotemos| 1

x2+y2+2+2|.

Dado que2 2 +x2 + y2 + 2 1

x2+y2+2+2 1

2Reemplazando

estos ltimos resultados en (*) se tiene: | x2+y2x2+y2+22

22 |< 2 12=

Por lo tanto: =

2

Teorema 5.1. Sea f una funcin definida en un conjunto D Rn a valores enR y sea A Rn un punto de acumulacin de D. Si existe lmXA f(X), ste esnico.

Teorema 5.2. Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D Rn a val-ores en R y sea A Rn un punto de acumulacin de D. Si existen lmXA f(X) =l1 , lmXA g(X) = l2 entonces

lmXA

(f g)(X) = l1 l2lmXA

(f g)(X) = l1 l2

Si adems g(x) es no nulo para todo X y l2 6= 0,

lmXA

f(X)

g(X)=

l1l2



5.1. Regla de las dos trayectorias

Teorema 5.3. Sea la funcin f : D Rn R y P0 = (x01, x02, ..., x0n) unpunto de acumulacin de D = Domf . Si dos trayectorias, digamos (t) =(x1(t), x2(t), ..., xn(t)) y (t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) que pasa por P0 = (t0) =(t1) producen dos valores limites diferentes para f entonces lm

XP0f(X) no existe.

Corolario 5.4. Se cumple que lm(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = l si y solo si para toda trayec-

toria (t) = (x(t), y(t)) que pasa por P0 = (x0, y0), esto es, P0 = (t0), se tiene

lm(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = lmtt0

f(x(t), y(t)) = l

Ejemplo 5.2. Calcule lm(x,y)(0,0)

3x2y

x4 + y2

SolucinSean las trayectorias:

(t) = (t, 0) ; (t0) = (t0, 0) = (0, 0) t0 = 0

lm(x,y)(0,0)

3x2y

x4 + y2= lm

t03t2(0)

t4 + 02= 0

(t) = (t, t2) ; (t0) = (t0, t20) = (0, 0) t0 = 0

lm(x,y)(0,0)

3x2y

x4 + y2= lm

t03t2 t2

t4 + t2=

3

2

Por el teorema anterior, no existe lm(x,y)(0,0)

3x2y

x4 + y2

Ejemplo 5.3. Calcule lm(x,y)(0,0)

x2 y

x2 + y2

SolucinConsideremos los caminos diferentes que contenga a (0, 0).Sea A = {(x, y) R2 / y = kx , k R}

lm(x,y)(0,0)

x2 y

x2 + y2= y = k x = lm

x0k x3

x2(1 + k2)= 0 k R

Esto no prueba en absoluto que el valor del limite sea cero. Un argumentoque termina con esta incertidumbre es la definicin del limite, esto es probemosque

lm(x,y)(0,0)

x2 y

x2 + y2= 0.

Sea f(x, y) = x2 y

x2+y2con dominio Domf = R2 {(0, 0)}. De la definicin se

tiene que:

> 0 > 0 / (x, y) Domf 0 < (x, y) (0, 0) < | f(x, y) 0 |<



| x2 y

x2 + y2| = | x |2 | y

x2 + y2|

| x |2 | y | 1| x |2= | y |< =

El ltimo resultado se obtiene gracias a que 0 < (x, y) (0, 0) < implica| y |


Ejemplo 5.5. Demuestre que el siguiente lmite no existe.

lm(x,y)(0,0)

x2 y2x2 + y2

solucin

lmx0

[lmy0x 6=0

x2 y2x2 + y2

] = lmx0

x2 0x2 + 0

= 1

lmy0

[lmx0y 6=0

x2 y2x2 + y2

] = lmy0

0 y20 + y2

= 1

luego el limite doble no existe.

Ejemplo 5.6. Demuestre que el siguiente lmite existe y sin embargo no existenninguno de los iterados.

lm(x,y)(0,0)

(x sen(1

y) + y sen(

1

x))

solucinEl limite doble existe

lm(x,y)(0,0)

(x sen(1

y) + y sen(

1

x)) = 0.funcin acotada+ 0.funcin acotada = 0

Mientras que los lmites iterados no existen, en efecto:

lmx0

[lmy0x 6=0

(x sen(1

y) + y sen(

1

x))] = lm

x0[no definido+ 0] = No definido

lmy0

[lmx0y 6=0

(x sen(1

y) + y sen(

1

x))] = lm

y0[0 + no definido] = No definido

Teorema 5.5. Relacin entre los diferentes tipos de limtes.

1. Si existe el limite en un punto P D de una funcin f : D R2 R yvale l, entonces existe el lmite segn cualquier subconjunto en dicho puntoP vale l.

2. Sea f : D R2 R y P = (x0, y0) D. Si en P existe el limite y loslimites reiterados de f , entonces los tres coinciden.


6 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

NOTA 5.1.

Para el clculo del lmite doble suele ser usual el paso a coordenadas polarescon origen en P = (x0, y0).

El cambio a coordenadas polares dado por las relaciones

x = x0 + rcos , y = y0 + rsen

convierte lm(x,y)(x0,y0)

f(x, y) en lmr0

F (r, ). Si por ejemplo la funcin F (r, ) es tal

que verifica F (r, ) = g(r)h() con lmr0

g(r) = 0 y la funcin h() est acotadapara [0, 2pi) entonces podemos asegurar que

lm(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = 0

Ejemplo 5.7. Estudie la existencia del lmite:

lm(x,y)(0,0)

x2 y2

(x2 + y2)32

SolucinPasando a coordenadas polares x = x0 + rcos , y = y0 + rsen se tiene

lm(x,y)(0,0)

x2 y2

(x2 + y2)32

= lmr0

r4 sen2 cos2

r3= lm

r0r sen2 cos2 = 0

Notemos que la funcin sen2 cos2 est acotada y lmr0

r = 0

6. Continuidad de funciones de varias variablesDefinicin 6.1. Sea f : D Rn R una funcin definida en el conjuntoabierto D de Rn y sea X0 D. Se dice que f es una funcin continua en X0 si,

lmXX0

f(X) = f(X0).

Observacin 6.1.

1. Si no existe f(X0), pero se verifica que el limite existe, lmXX0

f(X) = l donde

l R, puede prolongarse f por continuidad ampliando el dominio de defini-cin de la funcin f al punto X0 haciendo f(X0) = l. En este caso se diceque la discontinuidad es evitable.

2. Si l 6= f(X0) se puede redefinir la funcin en X0 haciendo f(X0) = l y lafuncin as definida es continua en X0.


6 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3. Se establece que si X0 es un punto aislado de D entonces f es continua enX0.

Ejemplo 6.1. Estudie si las funciones,

1. f(x, y) =

{(senx)2 seny

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

2. g(x, y) = x3+y3

x2+y2

son continuas. Estudiar su posible prolongacin por continuidad donde no estndefinidas.

Solucin

1. Domf = R2

a) Si (x, y) 6= (0, 0)La funcin f(x, y) es continua, ya que es cociente de funciones contin-uas.

b) Si (x, y) = (0, 0) Se tiene que

lm(x,y)(0,0)

(senx)2 seny

x2 + y2= lm

(x,y)(0,0)(senx)2

x2seny

y

x2 y

x2 + y2= lm

(x,y)(0,0)x2 y

x2 + y2

y pasando a coordenadas polares,

lm(x,y)(0,0)

x2 y

x2 + y2= lm

r0r3 cos2sen

r2= lm

r0r cos2 sen = 0

Entonces f es continua en (0, 0).

De a) y b) concluimos que f es continua.

2. Domg = R2 (0, 0). Notemos que la funcin g no est definida en (0, 0).Veamos entonces si g se puede prolongar por continuidad al punto (0, 0).Para esto, estudiemos el limite de la funcin g(x, y) en (0, 0).

lm(x,y)(0,0)

x3 + y3

x2 + y2= lm

r0r3 (cos3 + sen3)

r2= lm

r0r (cos3 + sen3) = 0

Se concluye que g se puede redefinir como

g(x, y) =

{x3+y3

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

de tal manera que es continua.


7 EJERCICIOS

7. Ejercicios1. Demuestre aplicando la definicin de limite :

a) lm(x,y)(0,1)

x2 y2x2 + y2

= 1.

b) lm(x,y)(0,0)

x2 sen(x2 + y2) = 0.

c) lm(x,y)(1,2)

((x 1)2 + (y 2)2) = 0.

2. halle si existen los lmites siguientes:

a) lm(x,y)(0,2)

x3sen(y2 4)(y + 2)senx

.

b) lm(x,y)(0,0)

(1 cos(xy)) sen(x)x2 + y2

.

c) lm(x,y)(0,0)

exy 1senx ln(y + 1)

.

d) lm(x,y)(0,0)

tanx seny

x2 + y2.

e) lm(x,y)(0,0)

x2

y 1 .

3. Calcule, si existen, los siguientes limites iterados y el limite doble de lasfunciones:

a) f(x, y) =x2 y4x2 + y4

en (0, 0)

b) g(x, y) =x2 y2

x4 + y4en (0, 0)

c) h(x, y) = y2 sen1

xen (0, 0)

4. Halle si existe,

a) lm(x,y,z)(0,0,0)

y2z

x2 + y2 + z2, lm

(x,y)(1,1)Lnx tan(y 1)xy x y + 1

b) lm(x,y,z)(0,0,0)

y2z

x2 + y2 + z2

c) lm(x,y,z)(0,0,0)

yz

x2 + y2 + z2

d) lm(x,y,z)(0,0,0)

f(x, y, z) donde f(x, y, z) ={

x2 + y2 x 0x2 + z2 x < 0


7 EJERCICIOS


7 EJERCICIOS


ndiceFunciones reales de varias variablesDominio, rango de las funciones reales de varias variablesGraficasCurvas de nivelOperaciones con funciones reales de variables variables

Nociones de topologa en RnDistancia euclidea en RnBola abiertaEntorno de un puntoBola cerrada

Clasificacin de los puntos de un conjuntoPunto interior. Interior de un conjuntoPunto exterior. Exterior de un conjuntoPunto frontera. Frontera de un conjuntoPunto adherente. Adherente de un conjuntoPunto de acumulacin. Conjunto derivadoPunto aisladoConjunto abiertoConjunto cerrado

Conjuntos acotados,compactos y conexosConjunto acotadoConjunto compactoConjunto conexoDominio

limites de funciones de varias variablesRegla de las dos trayectoriasLimites parciales iterados reiterados

Continuidad de funciones de varias variablesEjercicios

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