Funcion de Varias Variables

Clculo diferencial e integral de una variable

1

Funciones Reales de

Varias Variables


2

Funciones de Varias Variables.

Definicin: Una funcin f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de nmeros reales (x,y) de un

conjunto D, un nmero real nico denotado por f(x,y).

El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de

valores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(


3

Ejemplos.

1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafquelos.

2a) f (x,y) y x

2 2 4b) f x,y ln x y

1Ln( x y)c) f (x,y)

y x

2. Evalu la funcin del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta.

inicio


4

Grfica de una funcin de dos variables.

Definicin: Si f es una funcin de dos variables con dominio D, entonces la grfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z)

de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) est en D.


5

Ejemplo

inicio

2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen.

2 24a) f (x,y) y x

2 29b) z x y


6

Curvas de nivel.


7

x

O

Definicin: Las curvas de nivel de una funcin f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es

una constante (que pertenece a la imagen de f).


1. Se selecciona la zona cuyo relieve se quiere representar y se toman los

datos a partir de la interpretacin de fotografas areas y de otras medidas

obtenidas de los satlites. Antiguamente, se tomaban los datos

directamente del terreno.

ASI SE HACE UN MAPA TOPOGRAFICO


2. Se determinan las curvas de nivel y se representan sobre una

superficie a escala.


3. El resultado es el mapa topogrfico .


11

Ejemplos

2 2a) f (x,y) x y

2 2b) f (x,y) x y

3. Trace la grfica y las curvas de nivel de:

4. Una lamina de metal plana est situada en un plano XY y la temperatura T (en grados centgrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen. a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados centgrados, encuentre una ecuacin de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centgrados.


12

Ejemplos

5. Describa y trace las superficies de nivel de la funcin:

2 22f (x,y,z) x y z

inicio


13

-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1

-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455

-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759

-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829

0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841

0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829

0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759

1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455

TABLA1 Valores de f(x,y)

-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1

-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000

-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600

-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923

0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000

0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923

0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600

1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000

TABLA 2 Valores de f (x ,y )

Lmites

2 22 2

1sen x y

f (x,y)x y

2 2

2 22

x yg(x,y)

x y


14

Lmites

Definicin: Sea f una funcin de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces

decimos que el lmite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)

es L y escribimos

tal que siempre que

y

0,0 f x,y L

x,y D 2 2

0 x a y b

x ,y a,blim f x,y L


15

Interpretacin geomtrica de los lmites

X

Z

L

L L


16

Determina la no existencia del lmite de una funcin real.

Definicin: Si cuando por una trayectoria C1 y cuando por

otra trayectoria C2,, donde , entonces

no existe.

1f x,y L

1 2L L

x ,y a,blim f x,y

x,y a,b 2f x,y L x,y a,b

a

b

y


17

Ejemplos

inicio

6. Muestre que no existe 2 40 0x ,y ,

xylim

x y

7. Muestre que no existe 2 20 0x ,y ,

xylim

x y

5. Muestre que no existe

2 2

2 20 0x ,y ,

x ylim

x y


18

Continuidad

Definicin: Una funcin f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si

Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto

(a,b) de D

bayxf

bayx,,lim

,,

Nota:

Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio

2 2

1 2

2 2

2 21 0

x ,y ,

x ,y ,

lim x xy y

x ylim

x y

inicio


19

Derivadas parciales.

Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La funcin f(x, y0) depende solamente de x y est definida alrededor de x0.

Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por

00 ,

00 ,yxx

zyx

x

f


20

Definicin de derivada parcial con respecto a x.

0 0 0 00 0

0x

f x x,y f x ,yfx ,y lim

x x


21

Del mismo modo, la derivada de f con respecto a

y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene

dejando x fija (x=x0).

0 0 0 0

0 0 0 00

yy

f x ,y y f x ,yff x ,y x ,y lim

y y

Definicin de derivada parcial con respecto a y.


22

Ejemplos

1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos nmeros como pendientes.

3 2 2a) f (x,y) (x y )

2yb) f (x,y) xe ysenx

3 2xc) f (x,y,z) xe z xz ln(yz)

2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f


23

Derivadas parciales respecto a x y a y.

Fin

Funcion de Varias Variables

Documents

Transcript of Funcion de Varias Variables