Funciones reales Funciones reales dede varias variablesvarias variables

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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS

UPC

http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml

Gráficas de algunas superficies

Funciones reales de dos

variables Sea D contenido en R2.

Una función f:D R (x,y) z=f(x,y)es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)

Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k, cte. real

Gráfica de una función:Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}

DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) parael cual tiene sentido la regla que define a f.

http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/levelcurve/

Curvas de nivel

),( yx

hyxf x

y)f(x,-y)h,f(x lim ),(

0h

DERIVADA PARCIAL RESPECTO X

Y

X

Z

http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/partialderivs.shtml

Interpretación geométrica de

derivada parcial

Ejemplo: Si 222 34x ),( yyxyxf

Entonces:

yxyxf

xyxyxf

y

x

23),(

68),(2

Otras notaciones z = f(x,y)

fff x x11 D D f x

z

x

f

fff y y22 D D f y

z

y

f

Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

x

v

x

x )

u

vua

x

vu

x

u v

x

(uv) )

b

2x

uv

x

)v

x

vu

v

uc

x

u un

x ) 1-n

nud

xu

e x

) u

uee

xu

1

un x

)

ulf

Ejemplo: hallar fx y fy si

ln(xy) e ),( xyxf

y

eyxf

x

exyeyxf

x

y

xx

x

),(

)ln(),(

Derivadas parciales de segundo orden

2

2

2

2

11xxf x

z

x

f

x

f

xff xx

xy

z

xy

f

x

f

yff yx

22

12xyf

Derivadas parciales de segundo orden

yx

z

yx

f

y

f

xff

xy

22

21yxf

2

2

2

2

22yyf y

z

y

f

y

f

yff

yy

Ejemplo hallar

Si32 3 x ),( xyyyxf

. f ,f , yxxy yyxx fyf

292),( , 2),( yxyxfyyxf xyxx

292),( , 18),( yxyxfxyyxf yxyy

Teorema de Clairaut

Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

DERIVADAS DIRECCIONALES

),( yxx

y

z

u

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Interpretación geométrica de

derivada direccional

Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por:

h

y)f(x, - ) huy ,hu x( f lim y)f(x, 21

0h

u

D

si el límite existe.

Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, u

D

Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).

5

2

)2,1(5

1)1,2(),(

y

xyxyxfDu

GRADIENTE

jyxfiyxfyxf yx ),(),(),(

x),( yx

),( yxf

y

z

del sen término direccional Derivada

uyxfyxfDu

),(),(

Q(3,2) a P(2,2)

dedirección laen )2,2( b)Halle

mente.geométrica

lorepreséntey )2,2( ea)Encuentr

),( Sea :Ejemplo 22

fD

f

yxyxf

u

Teorema

a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0).

b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.

Corolario

a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0)

b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .