1

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FUNCIONES

¿Por qué debemos aprender funciones?

Las funciones se pueden emplear para modelar y resolver problemas de la vida

real. Por ejemplo, se puede emplear para modelar la fuerza del agua contra la

cara de una presa.

Figura No 1

Las funciones son realmente fundamentales para las matemáticas. De manera

usual decimos: ‘‘el funcionamiento del mercado de valores es una función de la

confianza de los consumidores ’’; ‘‘la presión sanguínea del paciente es una

función de los medicamentos prescritos ’’; ‘‘la demanda del consumidor de carne

es una función del precio actual del mercado’’. En cada caso, la palabra función

expresa la idea de que el conocimiento de cierta información nos lleva al

conocimiento de otra. En matemáticas, las funciones más importantes son

aquellas en las que el conocimiento de un número nos indica otro número. Por

ejemplo, si conocemos la longitud del lado de un cuadrado, podemos determinar

su área; si conocemos la circunferencia de un círculo, podemos determinar su

radio.

2

1. Definición de Función

Una función f , de un conjunto A a un conjunto B, es una regla de que asigna a

cada elemento, x del conjunto A, exactamente, un elemento y , del conjunto B. El

conjunto A(o conjunto de entrada) es el dominio de la función f y el conjunto B (o

conjunto de salida), contiene al rango de f .

Nota. Usualmente al dominio de una función f se le denota con la expresión

( )Dom f (o simplemente ( )D f ) y al rango de f con ( )Rang f (o simplemente

( )R f ).

Para ayudar a comprender esta definición observe la función que asocia la hora del

día con la temperatura en la figura 2

Esta función se puede representar mediante los pares ordenados siguientes, en los

que la primera ordenada (valor de x ) es la entrada y la segunda coordenada (valor

y ) es la salida

(1,9 ),(2,13 ),(3,15 ),(4,15 ),(5,12 ),(6,10 )

Luego, el domino de f es el conjunto ( ) 1,2,3,4,5,6Dom f y el rango

( ) 9 ,13 ,12 ,15 ,10Rang f

Figura N0 2

3

2. Características de una función del conjunto A al conjunto B

1. Cada elemento de A debe estar relacionado con un elemento de B

2. Algunos elementos de B, tal vez, no se pueda relacionar con algunos elementos

de A.

3. Es posible que dos, o más, elementos de A se relacionen con un mismo elemento

de B.

4. Un elemento de A (el dominio), no se puede relacionar con dos elementos

distintos de B.

3. Notación de Función

Con frecuencia es conveniente expresar una relación funcional con una ecuación

( )y f x , y en este contexto, ,x y se denominan variables. En particular, como el valor

numérico de y se determinó por el valor de x , entonces se dice que y es la variable

dependiente y que x es la variable independiente. Por ejemplo, se sabe que la relación 21y x describe a y como una función de x . Suponga que a esta función se le

designa con f , entonces se puede usar la siguiente notación:

2( ) ( ) 1

Entrada Salida Ecuación

x f x f x x

El símbolo ( )f x se lee el valor de f en x o, simplemente, f de x . El símbolo

( )f x corresponde al valor de y para una x dada. Tenga en cuenta que f es el nombre

de la función, en tanto que ( )f x es el valor de la función en x .

Puede ser útil pensar que la función es como una transformación de los números

de A en los números de B o como una máquina que toma un número dado de A y lo

convierte en un número de B a través de un proceso indicado por la regla funcional.

Figura No 3

Nota. Por lo general, se emplea la letra f para designar una función y la letra x

para la variable independiente; sin embargo, se pueden emplear otras letras, por

ejemplo:

2 2 2( ) 3 1 , ( ) 3 1 , ( ) 3 1f x x x f t t t g s s s

4

Observación.- Muchas veces el dominio se encuentra incluido en un conjunto que

no necesariamente la función f la puede evaluar. En este caso, el dominio y rango

de una función definen como sigue

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN:

D f x A y B y f x A * *( ) / ; ( )

RANGO DE UNA FUNCIÓN:

( ) / ( ) ( )R f y B x Dom f y f x B

Ahora uniendo esta última observación con la definición de función podemos dar

algunos ejemplos que solidifiquen más la idea de función.

Ejemplos:

(a) No es función (b) Sí es función (c) Sí es

función

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: Se llama gráfica de f al conjunto de todos los

pares ordenados de la forma ( , ( ))x f x tal que x está en el dominio de f .

( ) ( ; ) / ( ) ( )G f x y x Dom f y Rang f

y=f(x)

A B

f

x Dom f Ran. f

– 1

0

2

3

5

2

4

5

7

A B

f

– 1

0

2

3

5

2

4

5

7

A B

f

– 1

0

2

3

5

2

4

5

7

A B

f

5

Figura No 4

Prueba de la recta vertical

De acuerdo con la definición de función, solo un valor y corresponde a un valor x ,

dado. Esto significa que la gráfica de una función no puede tener dos, o más, puntos

distintos con la misma coordenada x ; o sea; que dos puntos de la gráfica de una función

no pueden estar verticalmente; es decir, que no puede estar uno debajo del otro.

Entonces, se deduce que una recta vertical puede intersecar la gráfica de una función a

lo más una vez.

Figura No 5

Ejemplo: Hallar el valor de k para que la relación sea función. Hallar rango de f

)12,4(),12,7(),2,2(),,4( kkkkf .

Solución:

De la definición de función tenemos:

(4, k) = (4, 2k-1), 2 1 1K K K

Luego ( , ), ( , ), ( , )f 4 1 2 2 7 3 . Por lo tanto el rango de f es ( ) 1,2,3rang f

( )f x

x x

6

DEFINICIÓN: Si f: R R es una función, el dominio de f es el conjunto de todos

los números reales x tales que f(x) es un número real. Simbólicamente:

Dom( ) ( )f x f x

DEFINICIÓN: Si f: R R es una función, la imagen de f es el conjunto de todos

los resultados de f(x). Simbólicamente:

Ima( ) ( ) Dom( )f f x x f

DEFINICIÓN: Si f: R R es una función, la gráfica de f es el conjunto de todos

los pares ordenados que pueden representarse en el plano cartesiano. Simbólicamente:

( ) ( , ( )) Dom( )Gr f x f x x f

Figura No 6

Imagen de f

Dominio de f

Gráfica de f

Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son

conjuntos de números reales, ésta función es llamada una función (de valor) Real

de una variable real.

7

FUNCIONES ESPECIALES

1. FUNCIONES LINEALES

Probablemente las funciones que se usan con más frecuencia sean las funciones

lineales, cuyas gráficas son las líneas rectas.

Marcas Olímpicas y mundiales

Durante los primeros años de los Juegos Olímpicos, la altura ganadora del salto con

garrocha masculino aumentó aproximadamente ocho pulgadas cada cuatro años. La

tabla 1.1 muestra que la altura se inició en 130 pulgadas en 1900 y aumentó en un

equivalente de dos pulgadas entre 1900 y 1912. Entonces, la altura fue una función

lineal del tiempo

Año 1900 1904 1908 1912

Altura(pulgadas) 130 138 146 154

Tabla 1.1 Altura ganadora (aproximada) para el salto masculino con garrocha

Si y es la altura ganadora en pulgadas, t el número de años desde 1900, podemos

escribir

( ) 130 2y f t t

Como ( )y f t aumenta con t , decimos que f es una función creciente. El coeficiente

2 nos indica la razón, en pulgadas por año, a la cual aumenta la altura. Esta razón es la

pendiente de la recta de la figura 7. La pendiente está dada por la razón

146 138 82

8 4 4

Aumento de la alturaPendiente pulgadas/año

Intervalo de tiempo

El cálculo de la pendiente usando otros puntos sobre la recta dará el mismo valor.

¿Y qué hay de la constante 130? Ésta representa la altura inicial en 1900, cuando 0t .

Geométricamente, 130 es la ordenada en el origen.

Figura N

o 7

8

En general, una función lineal tiene la forma

( )y f x mx b

Su gráfica es una recta donde

m es la pendiente, o la razón de cambio de y respecto de x .

b es la ordenada en el origen o el valor de y cuando x es cero.

Hay dos casos especiales de funciones lineales.

Si la pendiente, m , es cero, tenemos y b , una recta horizontal llamada función

constante. (Fig 8)

Si 1m y la ordenada al origen es cero se tiene y x , la cual es llamada

función identidad. (Fig. 9)

Fig. 8 Función Constante. Fig. 9 Función Identidad

Debido a que la función lineal tiene una relación directa con la recta, a continuación

haremos un estudio de esta.

Definición .- La recta es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que si se toman dos,

cualesquiera de ellos, la razón entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de las abscisas

es constante; esto es

1x2x

1y2y

es constante.

El ángulo de inclinación será aquel formado por la recta dirigida hacia arriba y la parte

positiva del eje X (ver figura 10).

Figura No 10

9

Definición.- La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación , es

decir:

m = tan( )

Teorema 1

La recta que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2), donde x1x2 tiene pendiente:

m = tan() =

1x2x

1y2y

Ejemplos1 (Determinación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos)

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,1) (8,5)P y Q

Solución

Puesto que dos puntos cualesquiera determinan una recta, sólo una recta pasa por esos

dos puntos. De acuerdo con la definición, la pendiente es

2 1

2 1

5 1 4 2

8 2 6 3

y ym

x x

Figura No 11

Esto quiere decir que por cada 3 unidades que nos movamos hacia la derecha, el desplazamiento

vertical es de 2 unidades.

OBSERVACION

1. Si las ordenadas de los puntos son iguales, la recta es paralela al eje x y su pendiente es

igual a cero.(Función constante)

2. Si las abscisas de los puntos son iguales, la recta es paralela al eje y y su pendiente es

infinita.

Teorema 2 (FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA) a) Dos puntos: La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) es:

1xx

1x2x

1y2y

1yy

b) Punto-pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto P(x1,y1) y cuya

pendiente es m es: y-y1 = m(x-x1)

c) Pendiente intercepto con el eje y: La ecuación de la recta que tiene pendiente m y corta

al eje y en el punto b es: y = mx + b

10

d) General: Una ecuación lineal, con variables x, y, es de la forma Ax + By + C = 0,

donde A, B, C son constantes arbitrarias. De esta manera la pendiente es m = -A/B, B0.

Ejemplo2.- (Determinación de la ecuación de la recta mediante un punto y la pendiente)

Encuentre una ecuación de la recta que pasa por (1, 3) y tiene pendiente 1

2 y grafique.

Solución.

Aplicando la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente dada con

1 1

1, 1 , 3

2m x y , obtenemos una ecuación de la recta

13 ( 1)

2

2 6 1

2 5 0

y x

y x

x y

Ejemplo3.- (Determinación de la ecuación de la recta por medio de dos puntos)

Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 1,2) (3, 4)P y Q

Solución.- La pendiente de la recta es

2 1

2 1

4 2 6 3

3 ( 1) 4 2

y ym

x x

Al aplicar la ecuación de una recta que pasa por un punto y conocemos la pendiente con

1 1x y 1 2y , tenemos

32 ( 1)

2

2 4 3 3

3 2 1 0

y x

y x

x y

11

Corolario

Si las rectas L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces:

2. L1//L2 m1 = m2

3. L1 L2 m1.m2 = -1

Ejemplo4 (Determinación de la ecuación de una recta paralela a una recta dada.)

Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto (5,2) que es paralela a la recta

4 6 5 0x y .

Solución

Primero escribimos la ecuación de la recta dada en la forma de pendiente y ordenada en el

origen.

4 6 5 0

6 4 5

2 5

3 6

x y

y x

y x

Por lo que la recta tiene la pendiente 2

3m . Como la recta requerida es paralela a la

recta dada, tiene también la pendiente 2

3m . De acuerdo con la ecuación de una recta

que pasa por un punto y se conoce su pendiente obtenemos:

22 ( 5)

3

3 6 2 10

2 3 16 0

y x

y x

x y

12

Ejemplo5 (Rectas Perpendiculares)

Determinación una ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4 6 5 0x y y

que pasa por el punto (-2,3)

Solución

Del ejercicio 4 tenemos que la pendiente de la recta 4 6 5 0x y es 2

3m . Por

consiguiente, la pendiente de una recta perpendicular es la pendiente 1

3

2m . Puesto

que la recta requerida pasa por el punto (-2,3), utilizaremos la ecuación de la recta

punto- pendiente, es decir

33 ( ( 2))

2

2 6 3 6

3 2 12 0

y x

y x

x y

13

APLICACIONES: PENDIENTE COMO RAZÓN DE CAMBIO

Cuando una recta se utiliza como modelo de la relación entre dos cantidades, la

pendiente de la recta es la razón de cambio de una cantidad con respecto a la otra

Fig. 1. a Fig. 1. b

Por ejemplo, la gráfica de la figura 1(a) da la cantidad de gas de un tanque que se está

llenando. La pendiente entre los puntos indicados es

6galones2galones por minuto

2minutosm

La pendiente es la razón a la cual el tanque se está llenando, 2 galones por minuto. En

la figura 1. (b), el tanque se está vaciando a la razón de 0.03 galones por minuto y la

pendiente es -0.03.

Ejemplo 6 (Pendiente como razón de cambio)

Una presa está construida sobre un río para obtener un embalse. El nivel de agua w en el

embalse está dado por la ecuación

4.5 28w t

Donde t es la cantidad de años desde que la presa se construyo y w se mide en pies.

a) Trace una gráfica de esta ecuación

b) ¿Qué representa la pendiente y la intersección con el eje w de esta gráfica?

Solución

a) Esta ecuación es lineal, de modo que su gráfica es lineal, es una recta. Como dos

puntos definen una recta, localizamos dos puntos que están sobre la gráfica y

dibujamos una recta que los una.

Cuando 0t , entonces 4.5(0) 28 28w , por lo que (0,28) está sobre la recta.

Cuando 2t , entonces 4.5(2) 28 37w , por lo que (2,37) está sobre la recta.

La recta definida por estos puntos de muestra a continuación

14

b) La pendiente es 4.5m ; representa la tasa de cambio del nivel de agua con

respecto al tiempo. Esto quiere decir, que el nivel de agua se incrementa 4.5 pies

por año. La intersección con el eje w es 28y ocurre cuando 0t , de modo que

representa el nivel del agua cuando la presa fue construida.

EJERCICIOS

1. Encuentre la ecuación de las líneas rectas que satisfacen las condiciones dadas a

continuación. Haga una gráfica en cada caso.

a) Pasa a través del punto (3,2) y tiene pendiente 2 .

b) Pasa por el punto (1,3) y tiene pendiente 3 .

c) Pasa por los puntos ( 3, 5) y tiene pendiente 7

2

d) Pasa por los puntos (3; -1) y (4; 5)

e) Tiene pendiente 31 y ordenada al origen –4

f) Tiene pendiente 3 e intercepto 0

g) Tiene pendiente 2 e intercepto 5

h) Pasa por el punto (2;-1) y es paralela a la recta 023 yx

i) Pasa por el punto (1; 3) y es paralela a la recta 032 yx

j) Pasa por (0; -1) y es paralela a la recta determinada por (3; 5) y (1; 9)

k) Pasa por (1,4) y es paralela a la recta que pasa por (-3,2) y (2,6).

l) Pasa por 1 2

( ; )2 3 y es perpendicular a la recta 2 5 8 0x y

m) Pasa por (3; 4) y es perpendicular a la recta 0432 yx

n) Pasa por (2; 3) y es perpendicular a la recta determinada por (1; 2) y (5; 0).

o) Pasa por el punto (-1,2) y es perpendicular a la recta 3x-4y+1=0.

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PROBLEMA DE APLICACIÓN

1. La cuota mensual de un servicio de recolección de basura es de $32 por 100kg de

desecho, y de $48 por 180kg de desecho.

a) Encuentre una fórmula lineal para el costo, C, de basura recolectada como una

función del número de kilogramos de desechos, w .

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta calculada en el inciso a)? Dé las unidades e

interprete su respuesta en términos del costo de recolección de basura.

c) ¿Cuál es la ordenada en el origen de la recta determinada en el inciso a)? Dé las

unidades con su respuesta e interprételas en términos del costo de recolección de

basura.

2. El número de especies de plantas en las dunas costeras de Australia disminuye a

medida que a la latitud, en So, aumenta. Existen 34 especies a 11

oS y 26 especies a

44oS.

a) Encuentre una fórmula para el número, N , de especies de plantas de las dunas

costeras en Australia como función lineal de la latitud, l , en So.

b) Dé las unidades e interprete la pendiente y la ordenada en el origen de esta

función.

c) Trace la gráfica de esta función entre 11 Sl y 44 Sl .(Australia está entre

estas latitudes).

3. Un controversial estudio danés de 1992(‘‘Investigating the Next Silent Spring’’ en

US News and World Report, ) indicó que el número promedio de espermatozoides en

seres humanos ha disminuido de 113 millones por mililitro en 1940 a 66 millones por

mililitro en 1990

a) Exprese el número promedio de espermatozoides, S, como una función lineal del

número de años, t , desde 1940.

b) La fertilidad del hombre resulta afectada si su cantidad de espermatozoides

disminuye por debajo de 20 millones por mililitro. Si el modelo lineal que se

formuló en el inciso (a) es adecuado, ¿en qué año cayó el promedio de

espermatozoide por debajo de dicho nivel?

4. Depreciación lineal Un pequeño negocio adquiere un equipo de $875. Transcurridos

5 años el equipo será obsoleto, carente de valor.

a) Escribir una ecuación lineal que proporcione el valor de y del equipo en

términos del tiempo ,x 0 x 5

b) Encontrar el valor del equipo cuando x 2 .

c) Calcular el momento en el que el valor del equipo es de $200.

5. Advertencia Mundial.- Algunos científicos opinan que la temperatura superficial

promedio del mundo está aumentando en forma constante. La temperatura superficial

promedio se expresa mediante

0.02 8.5T t

Donde T es la temperatura en o C y t es años desde 1990.

a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección con el eje T?

b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura superficial promedio del mundo

en 2010.

16

6. Dosis de Medicamentos Si la dosis de un medicamento que se recomienda para un

adulto es D en mg, entonces para determinar la dosis aceptable c para un niño de

edad a, los farmacéuticos usan la ecuación

0.0417 ( 1)c D a

Suponga que la dosis para un adulto es de 200 mg.

a) Determine la pendiente. ¿Qué representa?

b) ¿Cuál es la dosis para un recién nacido?

7. Depreciación. Una pequeña empresa compra una computadora en 4000 dólares.

Después de 4 años, el valor esperado de la computadora será de 200 dólares. Para

cuestiones de contabilidad, la empresa aplica la depreciación lineal para evaluar el

valor de la computadora en un tiempo dado. Esto significa que si V es el valor de la

computadora en el tiempo t, entonces se usa una ecuación lineal para relacionar V y

t.

a) Determine una ecuación lineal que relacione V y t.

b) Grafique la ecuación lineal.

c) ¿Qué representa la pendiente y la intersección con el eje V de la gráfica?

d) Calcule el valor depreciado de la computadora tres años después de la fecha de la

compra.

8. Utilidades. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al

precio de $ 20 cada uno. Le cuesta $ 12 producir cada artículo por los materiales y

la mano de obra, y tiene un costo adicional de $ 6 000 al mes con el fin de operar la

planta.

Si el número de artículos producidos se designa por x

a) Represente en una gráfica los ingresos como una función I(x)

b) Represente en una gráfica los costos como una función C(x)

c) Represente en una gráfica las ganancias como una función G(x)

d) ¿Cuál es el número de unidades que deben producirse y venderse para no

obtener perdidas ni ganancias (punto de equilibrio)?

e) ¿Cuál es el número de unidades que deben producirse y venderse para obtener

una utilidad de $ 5 000 al mes?

9. Costos por manejar un automóvil. El costo mensual de manejar un automóvil

depende de la cantidad de millas recorridas. Lynn observa que, en mayo, el costo de

manejo fue de 380 soles por 480 millas y que en junio el costo fue de 460 soles por

800 millas. Suponga que hay una relación lineal entre el costo mensual C por

manejar un automóvil y la distancia recorrida d.

a) Calcule una ecuación lineal que relacione C y d.

b) Use el inciso a) para predecir el costo por manejar 1500 millas al mes

c) Trace la gráfica de la ecuación lineal. ¿Qué representa la pendiente de la recta?

d) ¿Qué representa la ordenada en el origen de la gráfica?

10. Utilidades. La ganancia de un fabricante de bicicletas (en dólares) se puede

aproximar mediante la fórmula 60 80000y x donde x es el número de

bicicletas producidas y vendidas.

a) Trace una gráfica de la ganancia contra el número de bicicletas vendidas (hasta

5000 bicicletas).

b) Estime el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía solo

recupere sus gastos.

17

c) Estime el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía

obtenga una ganancia de $ 150 000.

11. (Función de costo) una empresa que fabrica radio receptores tiene costos fijos de

$3000 y el costo de mano de obra y del material es de $15 por radio. Determine la

función de costo, es decir, el coto total como una función del número de radios

producidos. Si cada radiorreceptor se vende por $25, encuentre la función de

ingresos y la función de utilidades.

12. Alquiler de apartamentos Una agencia inmobiliaria maneja un complejo de 50

apartamentos. Cuando el alquiler es de $580 mensuales, los 50 apartamentos están

ocupados. Sin embargo, cuando el alquiler es de $625, el número promedio de

apartamentos ocupados desciende a 47. Suponga que la relación entre el alquiler

mensual p y la demanda x es lineal (demanda se entiende como numero de

apartamentos ocupados)

a) Escribir una ecuación lineal que proporcione la demanda x en términos del

alquiler p.

b) (Extrapolación) Utilizar el resultado anterior para pronosticar el número de

apartamentos alquilados si el alquiler aumenta a $655.

c) (Interpolación) Pronosticar el número de apartamentos ocupados si el alquiler

baja a $595.

13. Reclutamiento por internet. El porcentaje de empresas de Fortune Global 500 que

reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar

con ( ) 26.5 194.5P x x por ciento, donde x es el número de años que han pasado

desde 1990. (Fuente: Time, 16 de agosto de 1999)

a) Considerando P como una función de x. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica de

esta función?

b) Interprete está pendiente como una tasa de cambio.

c) Explique por qué el modelo no es válido hasta 1998. (Analice los valores de

(7) y (8)P P ).

14. Hombres de Fuerza laboral. Se puede hacer una aproximación del número de

hombres en la fuerza laboral (en millones) para las décadas seleccionadas de 1890 y

1990 mediante el modelo lineal determinado por la línea que conecta (1890,18.1) y

(1990,68.5) (Fuente: 1998 World Almanac)

a) Escriba la ecuación de la línea que conecta estos dos puntos para encontrar un

modelo lineal para estos datos.

b) Interprete la pendiente de esta recta como una tasa de cambio

15. Una agencia de renta de automóviles compra autos nuevos cada año para usarlos en la

agencia. Los autos nuevos cuestan $15000. Se usan por 3 años, después de los cuales se

venden en $4500. El propietario de la agencia estima que los costos variables de la

18

operación de los autos, aparte de la gasolina, son $0.18 por milla. Se rentan los autos a

una tarifa sencilla de $0.33 por milla (sin incluir gasolina).

a) Formule la función del ingreso total asociado con la renta de uno de los autos por un

total de x millas en un periodo de tres años.

b) Formule la función costo total asociada con la renta de un auto por un total de x

millas en tres años.

c) Formule la expresión de la utilidad

d) ¿Qué millaje se requiere para tener una utilidad de cero en tres años?

16. Durante una sequia, los residentes del condado de Marin, California, enfrentaron

una severa escasez de agua. Para evitar el uso excesivo de agua, la oficina de agua

del condado inicio incrementos drásticos en las tarifas. La tarifa mensual para una

familia de cuatro personas era de $1.22 por cada 100 pies cúbicos de agua para los

primeros 1200 pies cúbicos, $10 por cada 100 pies cúbicos para los siguientes

1200 pies cúbicos y $50 por cada 100 pies cúbicos más. Exprese el valor del recibo

mensual para una familia de cuatro personas como una función de la cantidad de

agua utilizada.

Nota.- Para mayor información sobre este tema revisar los libros que están en la

biblioteca

510 BUDN

2007 Budnick, Frank S.

Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales

515.15 LARS Larson, Ron Cálculo

515 LARS

Ron Larson, Robert Hostetler Précalculo

515HUDH HUDHES-HALLET Calculo aplicaddo