CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

Universidad Diego PortalesFacultad de Economa y Empresa

Universidad Diego Portales

FACULTAD DE ECONOMIA Y EMPRESA

Material de nivelacin matemtica Funcin lineal y elementos de la lnea rectaSANTIAGO, CHILE, U.D.P., Marzo de 2014

Anlisis de Funciones Reales.

Funciones Lineales

Probablemente el tipo de funcin ms simple, y una de las ms tiles, sea la funcin lineal.

Definicin:Se llama Funcin Lineal a toda funcin de la forma , donde m y n son nmeros reales y .

La representacin grfica de la Funcin Lineal es una lnea recta. Al valor de se le denomina pendiente, y al valor se le llama coeficiente de posicin. La restriccin en la definicin de una funcin lineal implica que la grfica no es una recta horizontal. Si , la funcin lineal es una lnea recta creciente, si , la funcin lineal es una lnea recta decreciente.

Hay dos tipos de rectas que no son grficas de funciones lineales Una recta vertical con ecuacin no pasa la prueba de la recta vertical y no puede definir a una funcin. Si , en la frmula anterior, entonces , la cual es una funcin constante y no es una funcin lineal sin embargo pasa la prueba de la recta vertical y define a una funcin

Representacin de la Grfica de una Funcin Lineal:Funcin Lineal Creciente:

Pendiente Positiva.

Funcin Lineal Decreciente:

Pendiente Negativa.

La Lnea RectaElementos de Geometra Analtica:

1.1. Pendiente entre dos puntos:

La Pendiente m de una recta L que pasa por los puntos , y , esta dada por:

Ejemplo:

Calcular la pendiente entre los puntos: , y .

Solucin:

1.2. Ecuacin Punto Pendiente:

La ecuacin de la recta L que pasa por el punto y cuya pendiente dada es m, se determina por la ecuacin:

Ejemplo:

Determinar la ecuacin de la recta que tiene pendiente y que pasa por el punto de coordenadas:

Solucin:

Utilizando la frmula punto pendiente de la lnea recta con y se obtiene:

Expresada como funcin lineal ser:

La ecuacin de la recta encontrada que tiene pendiente y que pasa por el punto , tambin puede escribirse de la forma: , denominada ecuacin general de la lnea recta. En nuestro ejemplo ser:

Recordemos que el punto de coordenadas es donde la grfica de la recta intercepta al eje vertical y la ordenada de dicho punto es llamado coeficiente de posicin. Si se conoce la pendiente y el coeficiente de posicin de una lnea recta, una ecuacin para dicha recta (utilizando la frmula punto-pendiente con ) ser la siguiente:

Resolviendo para la variable se obtiene la ecuacin , llamada ecuacin particular de la lnea recta, y ella representa la ecuacin de una lnea recta que tiene pendiente y que intercepta al eje vertical en un punto cuya ordenada es .

Ejemplo:Encontrar la ecuacin de una recta con pendiente y que intercepta al eje vertical en el punto de coordenadas

Solucin:

Utilizando la ecuacin particular de la lnea recta con y , se obtiene:

EMBED Equation.3 1.5.Rectas Paralelas:

Dos rectas cualesquiera y cuyas pendientes son y , son paralelas si se cumple .

Lo anterior se puede expresar como, dos rectas son paralelas si tiene la misma pendiente o bien son verticales.

1.6.Rectas Perpendiculares:

Dos rectas cualesquiera y cuyas pendientes son y son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a , es decir

Lo anterior se puede expresar de la siguiente forma: Dos rectas con pendientes y (no nulas) son perpendiculares s y slo s:

Adems, una recta horizontal y una recta vertical son perpendiculares entre s.

Ejemplo:Determine la ecuacin de la recta paralela a la recta de ecuacin y que pasa por el punto .

Solucin:

La pendiente de la recta dada es y como la recta pedida pasa por , ella tiene esta misma pendiente, entonces la ecuacin de la recta pedida se obtiene utilizando la frmula punto pendiente:

Ejemplo:Determine la ecuacin de la recta perpendicular a la recta y que pasa por el punto .

Solucin:Como la pendiente de la recta dada es , entonces la pendiente de la recta perpendicular ser , luego la ecuacin de la recta pedida se obtiene utilizando la frmula punto pendiente que es:

Ejercicio 1:Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por C (3,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (3,-2) y D (-6,5).

Ejercicio 2:Hallar la ecuacin de la recta que pasa por P (-1,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por Q(-2,3) y R (-5,-6).

Ejercicio 3:Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de las rectas de ecuaciones: L:

y L:

, y sea perpendicular a la recta L. Grafique las tres rectas.

Ejercicios Propuestos:

1.Hallar la pendiente m de la recta que pasa por los puntos:

a)P1(6,1)

yP2(1,-4).

b)P1(-3,2)

yP2(4,-1).

2.Hallar las ecuaciones de las rectas que pasen por el punto P y que tengan las pendientes dadas:

a) Pasa por P (-1,-2) ; m = 3/4.

b) Pasa por P (0,-3) ; m = -2.

3.Obtener la ecuacin de las rectas que pasan por los puntos dados:

a) A (-7,-2) y B (-2,-5).

b) A (-4,1) y B (3,-5).

4.Encuentre las intersecciones con ejes coordenadas de las siguientes rectas y utilice dichos puntos para trazar su grfica:

a)

.

b)

.

5.Determine la pendiente m, de las siguientes rectas:

a)

.

b)

.

6. Determine la ecuacin de la recta que pasa por la interseccin de las rectas L:

y L:

; y sea perpendicular a la recta cuya ecuacin es:

.7. Los recursos (en pesos) que cada da debe disponer un consultorio es una funcin lineal de las personas que en l se atienden diariamente. Se sabe que el Lunes 20 de Junio para atender a 24 personas se dispondr de $ 84.000, y que el Martes 21 de Junio, para atender a 35 personas se dispondr de $ 117.000.

a. Determine la funcin lineal (de la forma ).

b. Si el mircoles 22 de Junio se dispone de $ 72.500. Cuntas personas se proyecta atender?

Resumen de Frmulas:

Pendiente:

Ec. Pto. Pendiente:

Distancia:

Ec. Particular:

Ecuacin General:

APLICACIONES DE LAS RECTAS EN ECONOMIA Y ADMINISTRACIN

CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA LINEALES

En la prctica, algunas ecuaciones que representan funciones de oferta y demanda son aproximadamente lineales en el intervalo en que ellas estn definidas; otras son no lineales. An en estos ltimos casos, las ecuaciones lineales suelen proporcionar representaciones razonablemente precisas de la oferta y la demanda en un intervalo de nmeros reales limitado.

En lo que sigue las ecuaciones de oferta y demanda lineales se utilizan para mayor simplicidad y claridad al ilustrar ciertos tipos de anlisis

La figura (1) (izquierda) muestra una representacin ms general de las curvas de oferta y demanda. La figura (2) (derecha) representa la oferta y la demanda como funciones lineales.

Debe notarse que solo los segmentos de las funciones que estn en el primer cuadrante son pertinentes al anlisis econmico. Esto es as, porque oferta, precio y cantidad son, en general, positivas o a lo menos cero.

Por ejemplo, en formas ms simples del anlisis econmico podemos considerar que:

a. Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado, sea porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio satisfactorio.

b. Un precio negativo, implica que se paga a los compradores para que se lleven los bienes del mercado.

c. Una cantidad demandada negativa, implica que los precios son tan altos como para impedir la actividad del mercado hasta que se ofrezcan cantidades a precio satisfactorio.

Dichos casos pueden ocurrir pero su incidencia es poco frecuente y slo se consideran en anlisis econmico ms avanzado.

CURVAS DE DEMANDA LINEAL

La cantidad x de cualquier bien o artculo que ser adquirido por los consumidores depende del precio en que el artculo est disponible. Una relacin que especifique la cantidad de un artculo determinado que los consumidores estn dispuestos a comprar, a varios niveles de precio se denomina Ley de la Demanda. La ley ms simple es una relacin del tipo:

(1)

donde p es el precio por unidad del artculo y la letra m y n representan nmeros reales constantes.

La grfica de una ley de demanda se llama Curva de demanda. Obsrvese que p se ha expresado en trminos de x: cantidad. Esto nos permite calcular el nivel de precio en que cierta cantidad x del artculo o bien puede venderse.

En el caso general la curva de demanda representa a una lnea recta con pendiente negativa, es decir, a medida que el precio aumenta, la cantidad demandada disminuye y viceversa.

Es un hecho perfectamente conocido que si el precio de por unidad de un artculo aumenta, la demanda disminuye, porque menos consumidores podrn adquirirlo, mientras que si el precio por unidad disminuye, es decir, el artculo se abarata, la demanda se incrementa.

En otras palabras, la pendiente m de la relacin de demanda de la ecuacin (1) es negativa. De modo que la grfica de la ecuacin tiene una inclinacin que baja hacia la derecha. Puesto que el precio p por unidad y la cantidad x demandada no son nmeros negativos, la grfica de la ecuacin (1) slo debe de dibujarse en el primer cuadrante.

En algunos casos, la pendiente de una curva de demanda puede ser cero (precio constante sin considerar la demanda). En otros casos la pendiente puede no estar definida, ello ocurre cuando se tiene una representacin de recta vertical (demanda constante sin importar el precio) La figura siguiente ilustra los casos.

De acuerdo con la informacin disponible, puede resultar ms conveniente utilizar varias frmulas de la lnea recta para obtener la ecuacin o funcin de demanda respectiva.

Ejemplo 1.Un comerciante puede vender 20 ampolletas al da al precio de $250 cada una, pero puede vender 30 si les fijas un precio de $200 a cada ampolleta. Determine la ecuacin de la demanda, suponiendo que es lineal.

Ejemplo 2.Cuando el precio es de $ 100.000 no se vende ningn televisor de 14 pulgadas; cuando son gratis, la demanda es de 100 televisores. Cul es la ecuacin de la demanda, suponiendo que es lineal?

Ejemplo 3.Por considerarse necesarios para la seguridad nacional, se compran anualmente 50 grandes generadores elctricos, sin importar su precio. Cul es la ecuacin de la demanda, si ella es lineal?

CURVAS DE OFERTA LINEALEn el caso ms comn, la pendiente de la curva de oferta es positiva, es decir, que al aumentar el precio aumenta el abastecimiento y decrece al decrecer el precio. En ciertos casos la pendiente de una curva de oferta puede ser cero lo que indica un precio constante e independiente de la oferta. En otros casos la pendiente de la curva puede no estar definida (oferta constante e independiente del precio).

Al igual que en el anlisis de las curvas de demanda, p representa el precio y x representa la cantidad abastecida, en unidades apropiadas cada una. Como se dijo anteriormente, slo interesan valores positivos de x y p. Ntese que para la curva de oferta en el primer grfico de la izquierda, la ordenada de la interseccin con el eje vertical puede ser positiva, negativa o cero. En este caso representa un precio bajo del cual los proveedores no ofrecern el artculo.

La abscisa de la interseccin con el eje horizontal puede ser negativa y por tanto quedar fuera del intervalo de inters. Esto es razonable puesto que los productores cesan de ofrecer un artculo antes de que el precio baje a cero.

En sntesis la cantidad de un artculo determinado que sus proveedores estn dispuestos a ofrecer depende del precio al cual puedan venderlo. La relacin que especifica la cantidad de cualquier artculo que los fabricantes(o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina Ley de la Oferta.

La grfica de una ecuacin de la oferta (o ley de la oferta) se conoce como Curva de la Oferta. En general, los proveedores inundarn el mercado con una gran cantidad de artculos, si pueden ponerle un precio alto, y con una cantidad ms pequea de artculos si el precio obtenido es ms bajo. En otras palabras, la oferta aumenta al subir el precio

Ejemplo 1.Cuando el precio es de $ 50.000, hay disponibles 50 cmaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio es de $ 75.000, hay disponibles 100 cmaras. Cul es la ecuacin de la oferta, suponiendo que es lineal?

Ejemplo 2.De acuerdo con el contrato entre la empresa CiC y la Telefnica, la empresa CiC pagar a la telefnica $ 500.000 al mes por las llamadas de larga distancia al extranjero sin lmite de tiempo. Cul es la ecuacin de la oferta?

Ejemplo 3.A un precio de $ 2.500 por unidad, una empresa ofrecer 8.000 camisetas al mes; a $ 4.000 cada unidad, la misma empresa producir 14.000 camisetas al mes. Determine la ecuacin de la oferta, suponiendo que es lineal.

PUNTO DE EQUILIBRIO DEL MERCADOSi el precio de cierto artculo es demasiado alto, los consumidores no lo adquirirn, mientras que si es demasiado bajo, los proveedores no lo vendern. En un mercado competitivo, cuando el precio por unidad depende slo de la cantidad demandada y de la oferta, siempre existe una tendencia del precio a ajustarse por si mismo, de modo que la cantidad demandada por los consumidores iguale la cantidad que los consumidores estn dispuestos a ofrecer. Se dice que el punto de equilibrio de mercado ocurre en un precio cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de interseccin de las curvas de la oferta y de la demanda.

La coordenada p de este punto (el precio de equilibrio) es el precio de mercado al cual la oferta iguala a la demanda; esto es, el precio de mercado al que no habr ni excedente ni escasez del artculo.

La ley de la oferta y de la demanda afirma que en una situacin de competitividad pura, un artculo tender a ser vendido a su precio de equilibrio. Si el artculo es vendido a mayor precio de equilibrio, habr un excedente no vendido en el mercado y los vendedores al por menor tendern a bajar sus precios. Por otra parte, si el artculo se vende por menos precio de equilibrio, la demanda exceder a la oferta y los vendedores al por menor se inclinarn a alzar sus precios.

Algebraicamente, el precio de equilibrio del mercado p y al cantidad de equilibrio x se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de la oferta y de la demanda simultneamente para x y p. Ntese que el precio y la cantidad de equilibrio slo tienen sentido cuando no son negativas.

Ejercicio 1.Si las ecuaciones de la demanda y la oferta son, respectivamente: 3p + 5x = 22 y la oferta es: 2p 3x = 2, determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado.

Ejercicio 2.Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de la oferta y la demanda dada por las siguientes ecuaciones: D: p = 25 2xO: p = 3x + 5.

Ejercicio 3.Las funciones lineales de oferta y demanda de un cierto artculo son O(x) = 4x + 200 y D(x) = -3x + 480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente nmero de unidades ofertadas y demandadas, y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo sistema de coordenadas.

Ejercicio 4.Un comerciante puede vender 200 unidades de cierto artculo al da a $ 30 por unidad y 250 unidades a $ 27 por unidad. La ecuacin de la oferta para tal artculo esta dada por 6p = x + 48.

a) Determine la ecuacin de la demanda para el artculo, suponiendo que es lineal.

b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.

Ejercicio 5.A un precio de $ 2.400, la oferta de cierto artculo es de 120 unidades, mientras que la demanda es de 560 unidades. Si el precio se eleva a $ 2700 por unidad, la oferta y la demanda sern de 160 unidades y 360 unidades, respectivamente.

a) Determine las ecuaciones de la demanda y al oferta, suponiendo que ambas son lineales

b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.

CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA NO LINEALES

Las porciones que quedan en el primer cuadrante de varios tipos de parbolas, son adecuadas para representar funciones de oferta y demanda no lineales. La porcin en el primer cuadrante de una hiprbola equiltera se usa para representar una funcin de demanda.

Ejemplo En cada uno de los siguientes pares de ecuaciones (1) determinar cual ecuacin representa una curva de demanda y cual una de oferta, (2) determinar algebraicamente el precio y la cantidad de equilibrio en el mercado, y (3) comprobar geomtricamente el punto de equilibrio.

a.

b.

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