Funciones

FuncionesPresentado por: Tammy Roterman y

Orli Glogower, Melany Cerda

Ultimas modificaciones : Jorge De Luque

Funciones

Definición

Características

Formas de expresar

Funciones Inyectivas,

Sobreyectivas y Biyectivas

Funciones Pares e Impares

Tipos

Función

• Definición• Una función es una relación entre

un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el rango) de manera que a cada elemento x del dominio le corresponda uno y solo un elemento del rango f(x).

• A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.

Función

La Respuesta correcta es B

Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de 4 distintas formas:

Enunciado

Algebraicamente

Gráfica

Tabla

Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y.

X 0 2 8 10 12

Y 3 4 2 8 10

Ejemplo:

Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.

Ejemplo: Una función, es la relación entre los elementos del dominio y los del rango.

Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y.

f(x)= 2X + 4f(x)= 4X2 – 3X + 8

f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3

Ejemplo:

Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano.

Ejemplo:

Variable dependiente

Variable independiente

Imagen

Pre Imagen

Conjunto de salida Conjunto de llegada

Dominio

Rango

Punto de corte con X

Punto de corte con Y

Crecimiento

Periodicidad

Máximos y mínimos

Características de las funciones

Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y.

Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama

X.

Características

• Los elementos principales de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables. Estos valores son llamados Imágenes y Pre Imágenes.

Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Los valores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada.

a 1

b 2

c 3

4

YX

f

Características

Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada que están relacionadas con un valor del conjunto de salida.

Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que están relacionadas con algún elemento del conjunto de llegada.

Características

• Luego para la función f denotada:

– Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}

– Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

– Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

abcde

1234567

A Bf

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

Función

La Respuesta correcta es D

Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes.

Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes.

Características

Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, o se factorisa.

Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0.

Características

Crecimiento:Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y.Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y.

Periodicidad:Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante.Periodo: Longitud del intervalo que se repite.

Máximos y mínimos:Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos.Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos.

Características

• Funciones Inyectivas:

• Una función es Inyectiva si a cada valor del dominio le corresponde un valor del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen.

• Funciones Sobreyectivas o epiyectiva:

• Una función es Sobreyectiva si cada elemento del rango es como mínimo la imagen de un elemento del domino.

1

2

3

D

B

C

A

X Y

1

2

3

4

D

B

C

X Y

Función Biyectiva:

• Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva).

1

2

3

4

D

B

C

A

X Y

Función

La Respuesta correcta es E

• Función Impar:

• Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que:

• Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas.

• Ejemplo:• f(x)= X3

• f(2)=8• f(-2)=-8

• Todas las funciones impares cumplen la ecuación:

• Función Par:

• Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que:

• Se produce una simetría con respecto al eje y.

• Ejemplo:• f(x)= X2

• f(-2)= 4• f(2)= 4

• Todas las funciones pares cumplen la ecuación:

Tipos de funciones

Trigonométricas

Por Partes o A Trozos

Valor Absoluto

Exponencial

Logarítmica

RacionalPolinómicas

Grado Impar

Funciones polinómicas

Cuadrática

Grado ParConstante

Lineal

Cúbica

Afín

Idéntica

Generalidades de una función polinómica

• Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios.

• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en:

• En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones:

• Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).• Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).• Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).

Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d

Función Constante

• Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable.

• Se define por la ecuación: y= a

Dominio= IRRango= aConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con x= no existePunto de corte con y= a

EJEMPLO

Análisis:y= 6Dominio-Conjunto de salida= IRConjunto de llegada= IRRango= {6}Punto de corte con y= 6

Constante

Función Afín

• La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n

• Donde X y Y son las variables• m es la pendiente• n es la ordenada en el origen

• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con y= n

La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces:Si m<0 decrecienteSi m>0 creciente Si m=0 constantem se calcula:

EJEMPLO

Análisis:y= 6x +2Dominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 2Punto de corte con x= -1/3Pendiente= 6

Afín

I. Función Lineal

I) II)

X

Y

n

m > 0n > 0

X

Y

n m < 0n > 0

X

Y

n

m > 0n < 0

X

Y

n

m < 0n < 0

III) IV)

I. Función Lineal

• Evaluación de una función lineal:

Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.

Ejemplo

La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es:

f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos

f(x): costo en pesos

3 km = 3000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:

f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650

Por 3 kilómetros se pagan $2650.

I. Función Lineal

Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:

2250 = 0.8x + 250 / -250

2000 = 0.8x / :0.8

2500 = x

Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

Funciones de grado par

• Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par.

• Se definen por la ecuación:

EJEMPLO

y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e

grado par

y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8

Función Cuadrática

• Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

• Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a.

• El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación:

• Dominio= IR• Rango= (máximo o mínimo relativo, • Conjunto de salida= IR• Conjunto de llegada= IR• Punto/s de corte con x: y= 0, se

halla/n mediante la formula cuadrática:

• Punto de corte con y= c

EJEMPLO

Análisis:y= x2 + 3x – 4Dominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= -4Punto de corte con x= {-4, 1}Mínimo relativo= -3/2

Cuadrática

Funciones de grado impar

• Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar.

• Se definen por la ecuación:

EJEMPLO

y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e

grado impar

y= 3x3 + 2x2 – x + 4

Función Lineal

Es la función que se define por la ecuación: y= mx

Dominio= IRRango= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con Y= 0Punto de corte con X= 0

EJEMPLO

Análisis:y= 4xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0Pendiente= 4

Lineal

Función Idéntica

• Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento.

• Se define por la ecuación: y= x• Su pendiente es m=1• Su gráfica es la recta bisectriz

de los cuadrantes primero y tercero.

EJEMPLO

• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con X y Y= 0

Análisis: y= xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0

Idéntica

III. Función Parte Entera Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se

designa por [x]. Ésta se escribe:

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir:

Ejemplos:

[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1

f(x) = [x]

[x] ≤ x < [x+1]

Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

III. Función Parte Entera

Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n € Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

Función Cúbica

• Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

con a ≠ 0 , a,b,c,d IR∈

EJEMPLO

Dominio= IRConjunto de Salida= IRRango= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con y= d

Análisis:y= x3 + 3x2 + 4x + 6Domino-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 6Punto de corte con x= -2.5

Cúbica

IV. Función Valor Absoluto

– a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.


– b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.


• Propiedades:

– a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0

– b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a

– c. |xy| = |x| · |y|

– d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)


• La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.


• Ejercicios:

– Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación:

• a. |x – 3| ≤ 2

Aplicando la primera propiedad:

-2 ≤ x – 3 ≤ 2

-2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3

1 ≤ x ≤ 5

x € [1, 5]


La Respuesta correcta es B

V. Función Exponencial

• Es la función inversa del logaritmo natural y se denota equivalentemente como: x e^x o x exp(x)

La función exponencial f con base a se define como

f(x) = a Si a > 0 ^ a ≠ 1, x € IR x


• Propiedades:

– El dominio de la función exponencial está dado por los números IR.

– El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.

– El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).

– La función no intercepta el eje X.


• Crecimiento y decrecimiento exponencial:

– Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.

Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.


• Crecimiento y decrecimiento exponencial:

– Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR


• Ejercicio:– Determinar la función que representa en número de bacterias que hay en

una población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias y que la población se triplica cada una hora.

Solución:

Cantidad inicial = 10.000

Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000

Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000

… Después de x horas = 10.000· 3

Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función:

f(x) = 10.000 · 3

x

x

V. Función Logarítmica

• La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por log .

– Está dada por la siguiente ecuación:

a

y = log x si x = ay

a


• Propiedades

– El dominio de la función logarítmica está dado por los números IR, la función no está definida para x ≤ 0.

– El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).

– La función no intercepta el eje Y.


• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

– Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a


• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

– Si 0 < a < 1, f(x) = log x es decreciente para x > 0.a


• Ejercicios:– Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la función

f(x) = log x, determine f(6).

Solución:

f(6) = log (6)

Donde

log 6 = log (2 · 3)

Por Propiedad

log (2 · 3) = log 2 + log 3

= 0.3010 + 0.4771

= 0.7781

Por lo tanto:

Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0.7781

Referencias de consulta• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar

• http://www.x.edu.uy/lineal.htm

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm• http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par• http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar• http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm• http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf• http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf• http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html• http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/

Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva

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