ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DE CHIMBORAZO

ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRNICA EN CONTROL Y REDES

ESCUELA SUPERIO POLITECNICA

DE CHIMBORAZO

INFORMATICA Y ELECTRONICA

EIE-CRI

MATEMATICA I

INTEGRANTES:

lvaro Tapia

Juan Nez

Reychelt Salazar

Javier Bonilla

Semestre: Primero c

GRAFICAS DE FUNCIONES RACIONALES

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuacin:

.

Sus grficas son hiprbolas. Tambin son hiprbolas las grficas de las funciones.

Graficas de funciones poli nmicas

Unafuncin polinmicaes unafuncinasociada a unpolinomioconcoeficientes

Donde es un polinomio definido para todo nmero real es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:

Tipos de funcione poli nmicas:

Grado

Nombre

Expresin

0

funcin constante

y = a

1

funcin lineal

y = ax + b es unbinomiodel primer grado

2

funcin cuadrtica

y = ax + bx + c es untrinomiodelsegundo grado

3

funcin cbica

y = ax + bx + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

Funcin Constante:

Aquellafuncin matemticaque toma el mismo valor para cualquier valor de lavariable independiente

Dominio:

Recorrido:

Simetra: par

Funcin Lineal

Es unafuncin poli nmicade primer grado; es decir, unafuncincuya representacin en elplano cartesianoes unalnea recta

F(x) =mx+b

Dondemybson constantesrealesyxes una variable real. La constantemes lapendientede la recta, ybes el punto de corte de la recta con el ejey.

Dominio:

Recorrido:

Simetra: Es impar

Funcin Cuadrtica

Unafuncin cuadrticaofuncin de segundo gradoes unafuncin poli nmicadefinida por:

Con.

Lasraces(o ceros) de una funcin cuadrtica, como en toda funcin, son los valores dex, para los cuales

Son denotadas habitualmente como:y, dependiendo del valor deldiscriminante definido como.

Dos solucionesrealesy diferentes si el discriminante es positivo,

Corta la parbola al eje X en dos puntos diferentes. Una solucin real(o solucindoble) si el discriminante es cero,

La parbola es tangente al eje X.

La parbola no corta al eje X.

Dominio:

Recorrido:

Simetra: Es par

Funcin Cubica

Unaecuacin de tercer gradooecuacin cbicacon una incgnita es unaecuacin algebraicadegrado tres1que se puede poner bajo laforma cannica:

,

Dondea, b, cyd(a 0) son nmeros que pertenecen a uncuerpo, elcuerpo de los nmeros realeso el de losnmeros complejos, aunque con frecuencia son nmeros racionales

Dominio:

Recorrido:

FUNCIONES EXPONENCIALES

La funcin exponencial, es conocida formalmente como la funcin real ex, donde e es el nmero de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta funcin tiene por dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma funcin. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la funcin inversa del logaritmo natural.

La funcin se define para todos los valores reales de x. Cuando x es negativa, podemos aplicar la definicin de los exponentes negativos. As, para x = -2,

El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales.

Para todos los reemplazos, de x, la funcin adquiere un valor positivo. O sea, 2x no puede representar jams un nmero negativo y tampoco es posible que 2x se haga igual a cero. El rango de la funcin es el conjunto de los nmeros reales positivos.

Por ltimo, como ayuda para elaborar la grfica, se pueden localizar unos cuantos pares ordenados de nmeros especficos.

La funcin creciente y la curva resulta cncava hacia arriba. El eje de las x es una asntota horizontal, extendida hacia la izquierda.

Si se desea, la exactitud de esta grfica se puede mejorar usando ms puntos. Por ejemplo, tomamos en cuenta valores racionales de x, como o :

Se da el valor correcto de con aproximacin hasta dcimos, tomando de la tabla I del apndice.

Usar valores irracionales para x como o , constituye una cuestin completamente diferente. (Recuerde usted que nuestro desarrollo de los exponentes se detuvo en los racionales.) Dar un significado preciso a uno de estos nmeros queda fuera del alcance de este curso. Resulta, empero, que la forma indicada de la curva correspondiente a y = 2x es correcta y puede lograr que se acomoden en la curva las definiciones formales de ciertos valores, como .

Se puede usar una calculadora para entender mejor los nmeros como . Por ejemplo, verifique usted estas potencias de 2, con aproximacin hasta diezmilsimos.

(xy = 2x......-41/16-31/8-21/4-11/201122438416......)Estudio general de la Funcin Exponencial

La funcin exponencial y = ax con a>1

La siguiente tabla muestra las potencias de 2 tomando como exponentes nmeros negativos y positivos. Representamos los pares de puntos obtenidos

Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, por ejemplo

20,75 = 1,681..., por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos.

(y = 3xy = 5xy = 10x)La grfica obtenida es la de la funcin exponencial de ecuacin y = 2x .

Procediendo de igual forma, representamos las siguientes funciones:

y = 3x

y = 5x

y = 10x

En las funciones exponenciales de ecuacin: y=ax

Se verifica que a cada nmero real x (exponente) le corresponde un nico nmero y (potencia).

Leyendo las grficas de estas funciones se observa que, funciones de la forma y = ax, con a > 1, tienen las siguientes propiedades

Su dominio es toda la recta real.

Su recorrido son los nmeros reales positivos.

Son crecientes y continuas en todo su dominio.

Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a cero.

Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a +

La funcin exponencial y = ax (0 < a < 1).

La tabla siguiente muestra las potencias de tomando como exponentes nmeros negativos y positivos.

(y = (1/3)xy = (1/5)xy = (1/10)x)Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, como por ejemplo , por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos. La grfica obtenida es la de la funcin

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.Funcin Seno:

La funcin seno es la funcin definida por: f(x)= sen x.

-Caractersticas de la funcin seno:

1. Dominio: IR

Recorrido: [-1, 1]

2. El perodo de la funcin seno es 2 .

3. La funcin y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.

4. La grfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n . para

todo nmero entero n.

5. El valor mximo de senx es 1, y el mnimo valor es -1. La amplitud de la funcin

y=senx es 1.

Funcin coseno:

La funcin coseno es la funcin definida por: f(x)= cos x.

Caractersticas de la funcin coseno

1. Dominio: IR

Recorrido: [-1, 1]

2. Es una funcin peridica, y su perodo es 2 .

3. La funcin y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.

La grfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =(/2) + n,

para todo nmero entero n.

5. El valor mximo de cos x es 1, y el valor mnimo valor es -1. La amplitud de la

Funcin y=cosx es 1.

Funcin tangente:

La funcin tangente es la funcin definida por: f(x)= tan x..

Caractersticas de la funcin tangente

La funcin tangente es una funcin peridica, y su perodo es .

La funcin y=tan x es una funcin impar, ya que tan(-x)=-tan x.

La grfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n , para

todo nmero entero n.

Las otras tres funciones trigonomtricas: cotangente, secante y cosecante son tambin

funciones peridicas.

Las funciones trigonomtricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes haba

Dado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y sistemtico a las funciones trigonomtricas. La periodicidad de estas funciones y la introduccin de la medida de los ngulos por radianes, fue realizada por Euler en su Introducido in Analysis Infinitorum en 1748.

Funcin Cotangente

Funcin cotangente: asocia a cada nmero real, x, el valor de la cotangente del ngulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = cotg x

Propiedades de la funcin cotangente

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Perodo:

Decrecienteen:

Mximos: No tiene.

Mnimos: No tiene.

Impar:cotg(x) = cotg x

Cortes con el eje OX:

FUNCION SECANTE

Lafuncin secanteasocia a cada nmero real, x, el valor de la secante del ngulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = sec x

Propiedades de la funcin secante

Dominio:

Recorrido:(- , -1][1, )

Perodo:

Continuidad: Continua en

Creciente en:

Decreciente en:

Mximos:

Mnimos:

Par:sec(-x) = sec x

Cortes con el eje OX:No corta

FUNCION COSECANTE:

Lafuncin cosecanteasocia a cada nmero real, x, el valor de la cosecante del ngulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = cosec x

Propiedades de la funcin cosecante

Dominio:

Recorrido:(- , -1][1, )

Perodo:

Continuidad: Continua en

Creciente en:

Decreciente en:

Mximos:

Mnimos:

Impar:csc(-x) = -csc x

Cortes con el eje OX:No corta

Transformaciones de grficas de funciones trigonomtricas

Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la grfica de una funcin se pueden aplicar a las funciones trigonomtricas, recordadas en el siguiente diagrama:

A = Amplitud

B = Periodo

C = Desplazamiento horizontal

D = Desplazamiento vertical

Amplitud:

La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda.

Amplitud

A > 1

A < 1

-A se invierte

Amplitud

2.2 Periodo:

El tiempo que tarda en cumplir un ciclo.

En la funcin seno el periodo es 2

Formula: B > 1 T

Periodo B < 1 T

T = -B Funcin se invierte

T =

fx = sen(x)

Desplazamiento Horizontal.

Es el valor donde comienza el ciclo que comenzaba en 0 (tambin se conoce como desfase)

Desfase =

Desfase = = -/2 = -90O

D- = adelante

D+ = atrasado

Desfase = = = 60o

Desplazamiento vertical:

La grfica de la ecuacin de la formay = f(x) + kes la grfica de y = f(x)desplazada hacia arriba si k es positivaydesplazada hacia abajo si k es negativa.De manera que, la grfica de y = f(x) + k se puede obtener de la grfica de y = f(x) altrasladar verticalmentela grfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

Ejercicios resueltos

y = sen (5x)

Dominio:Dom(f) =R

Recorrido:Im(f) = [-1 , 1]

Periodicidad: Como la funcin seno es peridica de perodo 2, la funcin f(x) = sen (5x) es peridica de perodo

2= 5xx = 2/5

Es peridica de perodo 2/5.

Aplicando la frmula

Periodo = 2/5

Puntos de corte:

Puntos de corte con el eje Y:

Six = 0y = sen 0y = 0(0 , 0)

Puntos de corte con el eje X:

Siy = 00 = sen (5x)5x = 05x =x = 0x =/5(0 , 0),(/5 , 0)

Mximos y mnimos:Los puntos mximos de la funcin vendrn dados por la ecuacin:

1 = sen (5x)5x =/2x =/10(/10 , 1)

Los puntos mnimos de la funcin vendrn dados por la ecuacin:

-1 = sen (5x)5x = 3/2x = 3/10(3/10 , -1)

GRAFICA

y = 3 + 2cos(x/2)

Dominio:Dom(f) =R

Recorrido: Sabemos que el recorrido de la funcin coseno es [-1 , 1], por tanto el de cos(x/2) es tambin[-1 , 1] .

Es decir:- 1 cos(x/2) 1

Para obtener nuestra funcin en el miembro intermedio: multiplicamos por 2 y sumamos 3 unidades en cada miembro de la desigualdad.

- 1 cos(x/2) 1- 2 2cos(x/2) 2

- 2 + 3 3+ 2 cos(x/2) 2 + 31 3+ 2 cos(x/2) 5

Luego:Im(f) = [1 , 5]

Periodicidad

Puntos de corte:

Puntos de corte con el eje Y:

Six = 0y = 3 + 2 cos 0y = 3 + 2 = 5(0 , 5)

Puntos de corte con el eje X:

Siy = 00 = 3 + 2 cos(x/2)cos(x/2) = -3/2

Pero sabemos que el recorrido de cos(x/2) es [-1 , 1] , es decir:-1 cos(x/2) 1

Sin embargo, -3/2 [-1 , 1]

Por tanto, no hay puntos de corte con el eje X.

Mximos y mnimos:

Calculamos los mximos y mnimos que se encuentran dentro del primer perodo de la funcin.

Los puntos mximos de la funcin vendrn dados por la ecuacin:

5 = 3 + 2 cos(x/2)1 = cos(x/2)x/2 = 0x/2 = 2

x = 0x = 4(0 , 5),(4, 5)

Los puntos mnimos de la funcin vendrn dados por la ecuacin:

1 = 3 + 2 cos(x/2)-1 = cos(x/2)x/2 =x = 2(2, 1)

GRAFICA

y = tg(x/4)

Dominio: La funcin tangente no est definida en:(2k + 1)/2,k Z

Por tanto, nuestra funcin tampoco estar definida en:

x/4 = (2k + 1)/2k Zx = 2(2k + 1),k Z

Luego:Dom(f) = R - {2(2k + 1) | k Z}

Recorrido:Im(f) =R

Periodicidad:

Puntos de corte:

Puntos de corte con el eje Y:

x = 0y = tg(x/4)y = tg(0)y = 0(0 , 0)

Sabemos que la funcin tangente corta al eje X en:0 = tg(x)x = 0x =

En nuestro caso:0 = tg(x/4)x = 0x/4 =x = 0x =4

Como el perodo de nuestra funcin es4, los puntos de corte con el eje X en el primer perodo son:(0, 0),(4, 0)

Mximos y mnimos:

La funcin tangente no tiene mximos ni mnimos, por tanto, f(x) = tg(x/4) tampoco los tiene.

GRAFICA

FUNCIONES LOGARTMICAS

La funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

Propiedades de las funciones logartmicas

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Tiene un punto fijo o constante que es (1, 0)

Es inyectiva

Creciente si a>1.

Decreciente si 0