FuncionesI. Relación (R).

Para saber que es una función es necesario comprender el concepto de “Relación”: Dado dos conjuntos A y B, podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre todos y algunos elementos del primer conjunto con uno más elementos del segundo conjunto.

En donde R ={(1;a); … ; (2;b); …}

II. Función

Es una relación en la cual cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada.

1. Método Práctico para identificar funciones: se traza una recta paralela al eje y, si dicha recta corta en dos puntos la gráfica “NO ES FUNCIÓN”.

2. Tipos de funciones:

1.2.3.

a.b.c.

AB

((x) = )X f=

Sí es función.

a. Función Inyectiva: Es aquella función que tiene elementos distintos en el dominio a los cuales les corresponde elementos distintos del rango.

Una forma sencilla de identificar una función inyectiva es trazando líneas paralelas a la abscisa, si ésta corta en dos puntos, “NO ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA”.

b. Función Sobreyectiva : es la función en la cual el rango es igual al dominio.

c. Función Biyectiva: es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

3. Funciones Especiales a. Función Constante: es aquella función en la que los valores del eje y siempre van a ser

el mismo.FORMA: y=ax+b; donde a=0 / y=b

Ejemplo: y=2

b.

Función Identidad: es aquella función en la que tanto los valores del eje x como del eje y son iguales.

FORMA: y=ax+b; donde a=1 / b=0 / y=x

X Y-1 20 21 22 23 2

D(f)={R}R(f)={2}

1.2.3.

a.b.c.d.

AB

1.2.3.

1.2.3.

A B

Ejemplo: y=x

c. Función Lineal:

FORMA: y=ax+b; donde aЄR / bЄR

Caso 1: y=2x

ObObservación: Cuando el coeficiente es mayor que 1, la gráfica se junta al eje y.

Caso 2: y=x/2

Observación: Cuando el coeficiente es menor que 1 se aleja del eje y.

X Y-1 -10 01 12 23 3

D(f)={R}R(f)={R}

X Y-1 -20 01 22 43 6

D(f)={R}R(f)={R}

D(f)={R}R(f)={R}

X Y-1 -0.50 01 0.52 1

Caso 3: y=x+2

Observación: Si a la función se le suma un valor cualquiera, la gráfica subirá.

Caso4: y=2x+1

Observación: Si la función se ve afectada por un coeficiente y además se le suma cualquier número, la gráfica tiende a tomar la forma del eje y.

X Y-1 10 21 32 4

D(f)={R}R(f)={R}

X Y-1 10 11 32 5

D(f)={R}R(f)={R}

III. Composición de Funciones

1. Definición: dada dos funciones f: A B y g: B C, dónde la imagen de f está contenida en

g, se define la composición , para todos los elementos de

NOTA: , se lee, Composición de f con g.

Ejemplo: f(x)= 2x / g(x)=3x+1

(gof)(x) = g (f(x))

= 3 (2x) + 1

= 6x + 1

(fog)(x) = f (g(x))

= 2x (3x+1)

= 6x + 2

2. Propiedades: Si: f(x)= 3x+2 / g(x)= x+3 / h(x)= 2x-1

a. La Composición de Funciones cumple la propiedad Asociativa.

b. La Composición de Funciones no cumple la propiedad conmutativa

-1.0.1.

-2.0.2.

-5.-1.7.

6x+8 = 6x+8

3x+11 = 3x+5

IV. Funciones Reales de Variables Reales

1. Definición: Una función se llamará FUNCION REAL DE VARIABLE REAL cuando tanto el conjunto de partida como el de llegada sean subconjuntos de los Números Reales.

2. Dominio: Es el conjunto de todas las primeras componentes, se ubica en el eje de las abscisas.

3. Rango: Es el conjunto de todas las segundas componentes, se ubica en el eje de las ordenadas.

4. Casos de Dominios: a. Primer Caso: Cuando el dominio está enunciado explícitamente no hay nada que

calcular.

Sea la función: f(x)= -4; x Є [-4; ]

Dominio= [-4; ]

b. Segundo Caso: Es aquel caso en el cual los valores de x deben ser diferentes de cero.

Sea la función: f(x)= x ≠ 0

Dominio= R – {0}

c. Tercer Caso: Es aquel caso en el cual la función está afectada por una raíz.

Sea la función: f(x)= x ≥ 9

Dominio= [9; [

V. Función Cuadrática 1. Definición: La función cuadrática es aquella función de:

FORMA: f(x)=a + bx + c; donde a ≠ 0

2. Propiedades: a. Todos los valores de la función son mayores o iguales a cero.b. Cada número de x cumple: f(x) = f(-x).c. El menor valor de la función es cero.

3. Características: a. Las parábolas son crecientes y decrecientes. Además tienen un punto máximo o mínimo.b. Son continuas porque no presentan cortes en su trazo.

c. Son simétricas.4. Casos de Funciones Cuadráticas:

a. Caso 1: FORMA: y= ; donde si a > 1, la abertura de la parábola será hacia arriba y si a

< 1, la abertura de la parábola será hacia abajo.

Ejemplo: y=

b. Caso 2: FORMA: y=

; donde si “a”

es una

fracción, la parábola tiende a acercarse al eje x.

Ejemplo: y= -

X Y-2 -2-1 -0.50 01 -0.52 -2

D(f)={R}

R(f)={ }

X Y-2 8-1 20 01 22 8

c. Caso 3: Forma: y= +c; donde “c” indicará cuanto debe de subir la gráfica.

Ejemplo: y= 3 +1

d. Caso 4 :

FORMA: y= +bx + c; donde si se le aumenta una cantidad que se encuentra dentro de

un exponente cuadrático, la parábola se desplaza a la derecha o izquierda según convenga.

Ejemplo: y=

D(f)={R}

R(f)={ }

X Y-2 13-1 40 01 42 13

D(f)={R}

R(f)=[1; [

VI. Función Raíz Cuadrada

1. Definición: Se define como: y= ; donde x ≥ 0.

X Y-2 -2-1 -10 01 12 2

D(f)={R}

R(f)={ }

D(f)={ }

R(f)={ }

No olvides que puedes hallar el intercepto en el eje x e y igualando cada variable a cero, es

decir: x = 0 e y = 0.

2. Característica: El valor que está dentro de la raíz cuadrada siempre será mayor o igual a cero, ya que de lo contrario no pertenecería a los reales.

3. Ejemplos:

a. y =

b. y =

c. y = -

X Y1 1.42 28 4

D(f)={ }

R(f)={ }

X Y-1 03 28 315 4

D(f)=[-1; [

R(f)={ }

X Y-1 00 -11 -1.43 -2

D(f)=[-1; [

R(f)={ }

VII. Función Valor Absoluto 1. Definición: La función valor absoluto asocia a cada número su valor absoluto, es decir,

su valor sin tener en cuenta el signo.FORMA: y = |x|

De acuerdo con la definición, “x” puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales. Las imágenes de “x” corresponden a los números positivos, por lo que el rango está determinado por los reales positivos.

Cuando el signo negativo antecede a la función, ésta se invierte.y= - |x|

D(f)={R }

R(f)={ }

X Y-1 00 -11 -1.43 -2

D(f)={R }

R(f)={ }

2. Casos de Funciones Valor Absoluto: a. Caso 1: Cuando se le suma o resta unidades, fuera del valor absoluto, la gráfica sube

o baja respectivamente.

+

b. Caso 2: Si un signo negativo antecede a la función, la gráfica se invierte.

X Y-1 30 21 3

X Y-1 -10 -21 -1

D(f)={R }

R(f)={ [D(f)={R }

R(f)={ [

X Y-2 -7-1 -60 -51 -62 -7

X Y-2 3-1 40 51 42 3

D(f)={R }

R(f)={ [

D(f)={R }

R(f)={ [

y= |x|+ 2y= |x|- 2y= |x|+ 2

y= -|x|+ 5 y= -|x|- 5

c.

c.

c.

c. Caso 3: Cuando se le suma o resta unidades a la función, dentro del valor absoluto, la gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda respectivamente.

d. Caso 4: Cuando se multiplica un número a la función, dentro del valor absoluto, la gráfica se separa del eje y.

X Y-4 3-3 4-2 5-1 40 31 42 5

X Y-4 3-3 4-2 5-1 40 31 42 5

D(f)={R }

R(f)={ }D(f)={R }

R(f)={ }

X Y-2 6-1 30 01 32 6

X Y-2 10-1 50 01 52 10

D(f)={R }

R(f)={ }D(f)={R }

R(f)={ }

y= |x+3|

y= |x-3|

y= |3x| y= |5x|

VIII. Función Máximo Entero 1. Definición: Es aquella función que usa el número entero no mayor que el mismo número.

a. Ejemplo: y =

En general, si “K” es un entero cumple: = K.

Para hallar los intervalos a los que pertenece “x”: K ≤ x< K+1.

2. Casos de Funciones Máximo Entero: a. Caso 1: Cuando se multiplica un número fuera del valor máximo entero.

Ejemplo: y= 2 , donde y= 2x

b. Caso 2: Cuando se multiplica un número dentro del valor máximo entero.

Ejemplo: y=

D(f)={R }R(f)={Z }

K=2; 2 ≤ x < 3K=1; 2 ≤ x < 2K=0; 2 ≤ x < 1K=-1; 2 ≤ x < 0K=-2; 2 ≤ x < -1

K=2; 2 ≤ x < 3; y=4K=1; 2 ≤ x < 2; y=2K=0; 2 ≤ x < 1; y=0K=-1; 2 ≤ x < 0; y=-2K=-2; 2 ≤ x < -1; y=-4

D(f)={R }R(f)={2n; nЄZ }

c. Caso 3: Cuando se le suma un valor dentro del valor máximo entero.

Ejemplo: y=

d. Caso 4: Cuando se le suma un valor fuera del valor máximo entero.

Ejemplo: y = +1

K=2; 2 ≤ x < 1.5K=1; 2 ≤ x < 1K=0; 2 ≤ x < 0.5K=-1; 2 ≤ x < 0K=-2; 2 ≤ x < -0.5

D(f)={R }R(f)={Z }

K=2; 2 ≤ x < 2K=1; 2 ≤ x < 1K=0; 2 ≤ x < 0K=-1; 2 ≤ x < -1K=-2; 2 ≤ x < -2

D(f)={R }R(f)={Z }

e. Caso 5: Cuando se le suma el mismo valor que está dentro del máximo entero.

Ejemplo: y= +x

K=2; 2 ≤ x < 3; y=3K=1; 2 ≤ x < 2; y=2K=0; 2 ≤ x < 1; y=1K=-1; 2 ≤ x < 0; y=0K=-2; 2 ≤ x < -1; y=-1

D(f)={R }R(f)={Z }

K=2; 2 ≤ x < 3; y=2+x; 4 ≤ x < 5K=1; 2 ≤ x < 2; y=1+x; 2 ≤ x < 3K=0; 2 ≤ x < 1; y=x; 0 ≤ x < 1K=-1; 2 ≤ x < 0; y=-1+x; -2 ≤ x < -1K=-2; 2 ≤ x < -1; y=-2+x; -4 ≤ x < -5

D(f)={R }R(f)={…[4; 5[ u [2; 3[ }