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Funciones reales

Dr. Yoel GutiérrezUNEXPO - Puerto Ordaz

1 Funciones reales de variablereal

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Un subconjuntodel producto cartesiano AxB, es una función de Aen B si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Para todo elemento a de A, existe un elemento bde B, tal que, el par ordenado (a; b) pertenece alsubconjunto.

2. Si (a; b) y (a; c) pertenecen al subconjunto, en-tonces b = c. En otras palabras, el subconjuntono debe contener dos pares ordenados distintoscon el mismo primer elemento.

Toda función de A en B es un subconjunto del pro-ducto cartesiano AxB, pero no todo subconjunto deAxB es una función de A en B.Las funciones se suelen denotar con letras minús-

culas tales como: f; g; h; i; y; : : :, en ocasiones se usanmayúsculas: F;G;H; I; Y; : : :. También suelen usarsesubíndices cuando se trabajan con varias funcionesdistintas: f1; f2; f3; : : :.Para denotar que f es una función de A en B uti-

lizaremos las expresiones

f : A �! B óf

A �! B

que se lee "f es una función de A en B".En lugar de escribir (x; y) 2 f escribiremos y =

f(x) y leeremos:

"y es la imagen de x mediante f""y es el valor de la función f en x""x es la preimagen de y según f"

La expresión y = f(x), representa la regla que per-mite asignar a cada elemento del conjunto A, su cor-respondiente en el conjunto B.Dados dos conjuntos A y B en las cuales se estable-

cen las funciones f y g, ambas de A en B, decimos

que f es igual a g si para todo elemento x de A, suimagen según f y según g es la misma. Es decir

f = g ! (8x 2 A) : f(x) = g(x):

Trataremos funciones en la cuales, tanto el con-junto A como el conjunto B dados en la de�niciónson subconjuntos de R. Tales funciones se llamanfunciones reales de variable real.

1.1 Dominio y rango de una función

Sea f una función tal que

f : A �! B ^ f(x) = y

1. El conjunto A se llama dominio de la función fy se denota por Domf . Es decir

Domf = A

2. El conjunto B se llama codominio.

3. El conjunto que contiene solo todas las imágenesde los elementos del dominio de la función f sellama rango de la función f y se denota porRagf:Es decir

Ragf = ff(x) : x 2 Domfg

Observaciones

1. Como en la mayoría de los casos se asumeque el codominio de las funciones es R, eshabitual de�nir una función indicando sudominio y la regla que permite asociar ele-mentos del dominio con su correspondienteelemento en el codominio, lo cual se expresaen los siguientes términos:f es una función tal que f(x) = y yDomf = A:

2. A veces no se da explícitamente el dominiode una función, y entonces, si es de nuestrointeres, hay que determinarlo. En este caso,si el dominio no se restringe explícitamentemás, se sobreentiende formado por todosaquellos números reales xpara los cuales lade�nición tiene sentido. Es decir

Domf = fx 2 R : f(x) 2 Rg

3. Nótese que Domf = A y Ragf no necesari-amente es igual al conjunto B o codominiode la funciónf . Es decir

Domf = A y Ragf � B

1.2 Operaciones algebraicas con fun-ciones

Sean f y g dos funciones cualesquiera tal que .D =Domf \Domg 6= ?:

1. La suma de f y g es la función f + g tal que

(f + g)(x) = f(x) + g(x) y x 2 D

2. La diferencia de f y g es la función f � g tal que

(f � g)(x) = f(x)� g(x) y x 2 D

3. El producto de f y g es la función f:g tal que

(f:g)(x) = f(x):g(x) y x 2 D

4. El cociente de f y g es la función fg tal que�

f

g

�(x) =

f(x)

g(x)y x 2 D � fx : g(x) 6= 0g

En la de�nición de suma de funciones debemosseñalar que el símbolo + en f+g no signi�ca lo mismoque en la expresión f(x)+g(x). En el primer caso rep-resenta la suma de dos funciones, que hemos de�nidocomo otra función, en el otro caso representa la sumade dos números reales, cuyo resultado es un númeroreal. Algo análogo ocurre en la de�nición de diferen-cia, producto y cociente de funciones.La de�nición de suma y producto de funciones se

puede generalizar a un número �nito cualquiera defunciones.Algunos hechos de la suma, la diferencia, el pro-

ducto y el cociente de funciones, son consecuenciasinmediatas de hachos acerca de sumas, diferencias,productos y cocientes de números reales.

Llamaremos función polinómica a toda función ftal que

f(x) = anxn+an�1x

n�1+ :::+a1x+a0; x 2 R

donde an; an�1;...a1; a0 son constantes reales y n esun entero no negativo.Gran mayoría de las funciones que trataremos se

pueden expresar en términos de suma, diferencia,producto, cociente o raíces de funciones polinómicas.Tales funciones se llaman funciones algebraicas.Además de las funciones algebraicas, estudiaremos

una clase más amplia de funciones. Por ejemplo

f(x) = senx x 2 Rf(x) = log x x > 0

Tales funciones se llaman funciones trascendentes.

1.3 Composición de funciones

Sean A y B subconjuntos de R y consideremos lasfunciones

f : A �! R ^ f(x) = y

g : B �! R ^ g(x) = y

Supongamos que , Ragf\B 6= ?, entonces existex 2 A tal que f(x) 2 B: Así, a este elemento f(x) lepodemos aplicar g para obtener g(f(x)):Consideremos una función gof dada por

(gof) (x) = g(f(x)):Esta función gof asocia el elemento x 2 A con

g(f(x)) y recibe el nombre de función compuesta def y g.El símbolo o corresponde entonces a una nueva op-

eración entre funciones que llamaremos composiciónde funciones. cumpliéndose que gof (la cual se lee:g compuesta con f) es la función tal que

(gof)(x) = g(f(x)); x 2 D � A

donde

D = Dom(gof)

= fx 2 A : f(x) 2 Bg= fx 2 Domf : f(x) 2 Domgg

Ejercicios

1. Hallar el dominio de cada una de las sigu-ientes funciones

(a) f(x) =p1� x2

(b) f(x) =pp

x+ 1� x(c) f(x) =

p1�p1� x2

(d) f(x) = x+1x3�9x

(e) f(x) =px

x2�3x+2(f) f(x) = 1p

x2�4�2(g) f(x) = 2x�1p

jxj�1

2. Hallar el dominio y el rango de cada una delas siguientes funciones

(a) f(x) = x+12x�1

(b) f(x) = x2+1x

(c) f(x) =p25� x2

(d) f(x) =px� x2

(e) f(x) = 1p9+x2

(f) f(x) = 4p2�x2

3. Hallar el rango de cada una de las siguientesfunciones

(a) f : (�2; 3] �! R ^ f(x) = 4x� 1(b) f ; (2; 6) �! R ^ f(x) = x2 � 1

4. Para cada una de las siguientes parejas defunciones

(a) f(x) =px y g(x) = 1

x2

(b) f(x) = x+ 1x y g(x) = x� 1

x

(c) f(x) =px� 2 y g(x) = x2 � 1

(d) f(x) =px2 � 1 y g(x) =

px� 1

(e) f(x) =px y g(x) = x2

Determinar

(a) La regla de correspondencia de las fun-ciones: f + g; f � g; f � g; f

g ; fog ygof

(b) El dominio de cada una de las funcionesdadas en (a)

5. Si f es una función de�nida por f(x) =1

x+1 ;hallar:

(a) f(�x)(b) f(

px)

(c) f�1x

�(d) f(f(x))(e) 1

f(x)

(f) f(x+h)�f(x)h

(g) f(x)�f(1)x�1

6. Dada la función f de�nida por f(x) = 1x�1

(a) ¿Cuál es el dominio de f?(b) ¿Cuál es el dominio de fof?(c) ¿Cuál es el dominio de fofof?(d) Demuestre que (fofof) (x) = x; para

cada x en el dominio de fofof:

2 Representación grá�ca deuna función

consideraremos un sistema de coordenadas carte-sianas, y f una función tal que

f : A �! B ^ f(x) = y

con A y B subconjuntos de R.A cada elemento (x; f(x)) de f , le asociamos un

punto del plano cartesiano, como se ilustra en la�gura.

En este eje colocamos loselementos del rango

f(x)

En este eje colocamos loselementos del dominio

x

(x , f(x))

X

Y

Si este procedimiento lo seguimos con todos los el-ementos de f; obtenemos en el plano cartesiano undibujo denominado, representación grá�ca (o grá�ca)de la función f:La representación grá�ca de una función no puede

contener dos puntos situados sobre una misma verti-cal. Esta conclusión se desprende inmediatamente dela de�nición de función; dos puntos sobre la mismavertical corresponden a pares de la forma (a; b) y (a; c)y, por de�nición, una función no puede contener(a; b)y (a; c) si b 6= c . Viceversa, si un conjunto de puntosdel plano tiene la propiedad de que no hay dos puntossituados sobre la misma vertical, entonces dicho con-junto corresponde a la representación grá�ca de unafunción.Existen funciones cuyas representaciones grá�cas

no son dibujables y esto de un modo espectacular.Por ejemplo, la representación grá�ca de la función fde�nida por

f(x) =

�0 si x 2 I1 si x 2 Q

debe contener in�nitos puntos sobre el eje horizontaly también in�nitos puntos sobre una recta paraleleal eje horizontal , pero no debe contener totalmenteninguna de estas rectas.Entender el signi�cado de la representación grá-

�ca de una función, saberla construir e interpre-tarla adecuadamente, permite entender los conceptos

matemáticos que se desarrollan a partir de la funciónreal.

3 Funciones polinómicas

La presente sección nos proporcionará criterios queserán de mucha utilidad para la representación grá-�ca de ciertas funciones polinómicas, en especial lasfuncioes lineales, cuadráticas y potancias. Tambiénmostraremos aplicaciones en las que aparecen estasfucniones.Muchas de las propiedades que mostraremos, se

pueden aplicar para el estudio de cualquier funciónreal.

3.1 Función lineal

Llamaremos función lineal a toda función f tal que

f(x) = mx+ b;

siendo m y b constantes reales cualesquiera..De la geometría analítica sabemos que la ecuación

y = mx+ b representa una recta de pendiente m quecorta al eje Y en el punto (0; b). Por esto, la funciónf de�nida anteriormente recibe el nombre de funciónlineal.Una recta en el plano queda determinada por dos

puntos distintos, por lo cual, para trazar la repre-sentación grá�ca de una función lineal basta con cono-cer dos elementos de tal función.Podemos distinguir varios casos particulares de la

función lineal f de�nida de la forma

f(x) = mx+ b;

1. Si m = 0, la función f es tal que f(x) = b, yse llama función constante. La representacióngrá�ca de esta función es una recta paralela aleje X, que corta al e je Y en el punto (0; b): Lafunción constante f de�nida porf(x) = 0 se suelellamar función nula.

2. Si m = 1 y b = 0, la función f queda de�nida dela forma f(x) = x y se llama función identidad.

3. Si m 6= 0 y b = 0, entonces f(x) = mx y la rep-resentación grá�ca de la función f es una rectaque pasa por el origen.

3.2 Funciones como modelosmatemáticos

En cálculo y aplicaciones a la ingeniería con frecuen-cia se requiere expresar una situación práctica en tér-

minos de una relación funcional. La función obtenidarepresenta un modelo matemático de tal situación.Si y es una función lineal de x, entonces y = mx+b

para algunas constantes m y b, y se dice que x e y es-tán relacionadas linealmente. Las relaciones linealesentre variables aparecen frecuentemente en las apli-caciones.

3.3 Función valor absoluto

Llamaremos función valor absoluto a toda función ftal que

f(x) = jxj ; x 2 R

Sabemos que

jxj =�

x; x � 0�x; x < 0

Luego, la representación grá�ca de la función valorabsoluto f , es como la que se muestra en la �gura.

52.502.55

5

3.75

2.5

1.25

x

y

x

y

Si se conoce la grá�ca de una función f , entoncesla grá�ca de la función g tal que

1. g(x) = jf(x)j ; es la misma que la de la funciónf excepto en los puntos donde f toma valoresnegativos, en los cuales se debe cambiar el signode la ordenada y dejar la abscisa igual.

2. g(x) = �f(x); es una re�exión, respecto al eje x,de la grá�ca de f .

3. g(x) = f(�x); es una re�exión, respecto al eje y,de la grá�ca de f .

3.4 Traslaciones horizontales y verti-cales de la grá�ca de una función

Si se conoce la grá�ca de una función f y c es una con-stante real positiva, entonces la grá�ca de la funcióng tal que

1. g(x) = f(x) + c; es una traslación de la grá�cade f , c unidades hacia arriba.

2. g(x) = f(x) � c; es una traslación de la grá�cade f , c unidades hacia abajo.

3. g(x) = f(x + c); es una traslación de la grá�cade f , c unidades a la izquierda.

4. g(x) = f(x � c); es una traslación de la grá�cade f , c unidades a la derecha.

3.5 Función cudrática

Llamaremos función cuadrática a toda función f talque,

f(x) = ax2 + bx+ c; x 2 R

siendo a, b y c constantes reales y a 6= 0:De la geometría analítica sabemos que la ecuación

y = ax2 + bx+ c; a 6= 0

representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y .Así, para trazar la grá�ca de la función cuadrática fes importante conocer algunas propiedades que per-miten trazar la parábola dada por la ecuación ante-rior.

1. Completando cuadrado con respecto a x en laecuación y = ax2 + bx+ c; a 6= 0; obtenemos�

x+b

2a

�2=1

a

�y +

b2 � 4ac4a

�Así, el vértice de la parábola es

�� b2a ;

4ac�b24a

�:

2. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y de estemodo f tiene un valor mínimo y lo toma en elpunto donde x = � b

2a ; como se muestra en la�gura

x=b/2a

3. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo y de estemodo f tiene un valor máximo y lo toma en elpunto donde x = � b

2a , como se ilustra en la�gura.

x=b/2a

4. Otra información de interes para trazar laparábola dada por la ecuación y = ax2+ bx+ c;a 6= 0; lo constituyen los puntos de cortes conlos ejes coordenados. El punto de corte con eleje Y es (0; c):El corte con el eje X es un puntode la forma (x; 0). Como este punto satisface laecuación y = ax2 + bx+ c; a 6= 0, entonces

ax2 + bx+ c = 0

Así, la parábola corta al ejeX en dos, uno o ningúnpunto, dependiendo de que la ecuación anterior tengados, una o ninguna raíz real respectivamente.

3.6 Función potencia

Una función f tal que

f(x) = axn; x 2 R

donde a es un número real diferente de cero y n es unentero positivo, se llama función potencia.

3.7 Función par e impar

3.7.1 Función par

Una función f es par si para cada x 2 Domf secumple que �x 2 Domf y .f(�x) = f(x)Si fes una función par. Para cada x 2 Domf es

inmediato que los puntos (�x; f(�x)) y (�x:f(x))son iguales, por lo tanto, A(�x; f(x)) y B(x; f(x))pertencen a la representación grá�ca de f , y sonsimétricos uno del otro respecto al eje Y . Así, cadapunto de la representación grá�ca de una función partiene su simétrico respecto al eje Y .

Para trazar la representación grá�ca de una fun-ción par basta conocer la representación grá�ca dela función en el primer y/o cuarto cuadrante, pues,la parte correspondiente al segundo y/o tercer cuad-rante se obtiene por la simetria.

3.7.2 Función impar

Una función f es impar si para cada x 2 Domf secumple que �x 2 Domf y .f(�x) = �f(x)Sea f una función impar. Para cada x 2 Domf es

inmediato que los puntos (�x; f(�x)) y (�x:� f(x))son iguales, por lo tanto, A(�x;�f(x)) y B(x; f(x))pertenecen ambos a la representación grá�ca de f, y uno es el simétrico del otro respecto al origendel sistema de coordenadas. Así, cada punto de larepresentación grá�ca de una función impar tiene susimétrico respecto al origen del sistema de coorde-nadas.Para trazar la representación grá�ca de una función

impar basta con conocer la representación grá�ca dela función en el primer y/o cuarto cuadrante, pues,la parte correspondiente al segundo y/o tercer cuad-rante se obtiene por la simetria respecto al origen delsistema de coordenadas.

3.8 Función creciente y decreciente

Sea f una función tal que Domf � R y un intervaloI tal que I � Domf

1. f es creciente en I si para cada x1; x2 2 I secumple que si x1 < x2; entonces f( x1) < f(x2):Es decir. f es creciente en I, si y sólo si,

(8x1; x2 2 I) : (x1 < x2 �! f(x1) < f(x2))

2. f es decreciente en I si para cada x1; x2 2 I secumple que si x1 < x2; entonces f( x1) > f(x2):Es decir. f es decreciente en I, si y sólo si,

(8x1; x2 2 I) : (x1 < x2 �! f(x1) > f(x2))

No siempre ocurre que una función f sea estricta-mente creciente (o estrictamente decreciente) en todoun intervalo I en el cual la función esté de�nida. Sif es estrictamente creciente (o estrictamente decre-ciente) en I; se dice que f es monótona en ese inter-valo.

3.9 Función acotada

Sea f una función tal que Domf � R y un intervaloI tal que I � Domf:

1. f es acotada superiormente en I; si existem 2 R

f(x) � m; 8x 2 I

2. f es acotada inferiormente en I; si existe n 2 R

f(x) � n; 8x 2 I

3. f es acotada en I, si f es acotada superior einferiormente en I: Esto es, si existen n;m 2 Rtal que

n � f(x) � m; 8x 2 I

Otra de�nición de función acotada, equivalente ala anterior, es la siguiente:Sea f una función con Domf � R y un intervalo

I � Domf: f es acotada en I, si existe M 2 R+ talque

jf(x)j �M; 8x 2 I

Ejercicios

1. Trazar la representación grá�ca y, determine eldominio y el rango de cada una de las siguientesfunciones

(a) f(x) = 1� x�12

(b) f(x) = � jxj(c) f(x) = x� j2x+ 1j

(d) f(x) = x+jxj2

(e) f(x) = x2 � 2x+ 3(f) f(x) =

��2x2 + 5x� 3��(g) f(x) = x jxj

(h) f(x) =��1 si x es etero1 si x no es entero

(i) f(x) = 3� (2� x)4

(j) f(x) =

8<: 1 si x � 0x+ 1 si 0 < x < 2x2 � 1 si x � 2

2. El depreciamiento de la maquinaria de cierta em-presa sigue un modelo lineal de tal manera queal cabo de 20 años el valor de la maquinaria esde Bs 5000. Si la maquinaria costó inicialmenteBs 40000:

(a) Expresar el valor de la maquina en funciónde su antiguedad.

(b) Hallar el valor de la maquinaria al cabo de10 años de uso.

(c) Hallar el número de años después de loscuales la máquina se ha depreciado total-mente.

3. Hace 5 años la población p de una pequeña co-munidad era de 15000 personas. Debido al de-sarrollo industrial, la población creció a 21000.Suponiendo que la población está relacionada lin-ealmente con el tiempo t, expresar a p como fun-ción de t. ¿Cuándo llegará la población a 30000personas?.

4. La relación entre la temperatura t del aire (en�F ) y la altura h (en metros sobre el nivel delmar) es aproximadamente lineal. La temper-atura a nivel de mar es de 60 �F: Si la altitudaumenta 500 metros, la temperatura del aire de-crece alrededor de 18 �F:

(a) Expresar t como función de h

(b) ¿Cuál es la temperatura del aire a una alti-tud de 1500 metros?

5. Se calcula que asistirán 14000 personas a unjuego de baloncesto en el cual se tendrá un preciode admisión de 50 Bs. Por cada 5 Bs. que se leaumenten a las entradas, la asistencia disminuiráen 280 personas.

(a) Expresar el ingreso en la taquilla, en funciónde la cantidad de veces que se agregan los 5Bs.

(b) ¿Qué precio de las entradas producirá elmáximo ingreso en la taquilla?

(c) ¿Cuántas personas se calcula que asistiránal juego si el precio de admisión es de 70Bs.?.

6. Un hotel tiene 80 habitaciones. Se sabe que sise cobra Bs 5000 por habitación, todas seránalquiladas y que, por cada Bs 100 de aumento,una habitación queda vacante.

(a) Expresar el ingreso en función del númerode habitaciones alquiladas.

(b) ¿Cuál es el alquiler que máximiza el in-greso?.

(c) ¿Cuál es ese ingreso máximo?.

7. Un productor de tomate quiere cosechar su pro-ducto tan pronto comience el período de lluviapara obtener el mejor precio. Si él cosecha elprimer día de abril puede recoger 200 guacalesde tomates, que los vende al precio de 900 Bs.

por guacal. Si él espera, su cosecha aumentaen 10 guacales por cada semana que pasa; peroel precio baja a razón de 30 Bs. el guacal porsemana. ¿Cuántas semanas debe esperar el pro-ductor para obtener el máximo ingreso?.

8. Se desea construir una pista de carrera de 40 met-ros de perímetro, la pista debe estar formada porun rectángulo con dos semicírculos localizados endos lados opuestos del rectángulo. ¿Cuáles debenser las dimensiones del rectángulo si se quiere queel área de este sea máxima?

9. Demuestre que la única función que es par e im-par a la vez es la función nula

10. Demuestre que toda función f tal que para cadax 2 Domf; �x 2 Domf se puede escribir comola suma de una función par y una impar.

11. Para cada una de las funciones dadas a contin-uación determine su es par, impar o ninguna deestas

(a) f(x) = 3x4 � 2x2 + 5(b) f(x) = 2x5 � 7x3 + 4x

(c) f(x) =�

1 si x � 0�1 si x < 0

12. Si f es una función polinómica, con término degrado cero nulo, y los coe�cientes de todas laspotencias impares de x son cero, demuestre quef es una función par.

13. Si f es una función polinómica, con término degrado cero nulo, y los coe�cientes de todas laspotencias pares de x son cero, demuestre que fes impar.

14. Demostrar que el producto de dos funcionespares o de dos funciones impares es una funciónpar. Mientrás que el producto de una funciónimpar por otra impar es una función impar.

15. Para cada una de las siguientes funciones, deter-mine los intervalos donde son crecientes y dondeson decrecientes

(a) f(x) = (x� 2)2

(b) f(x) = jxj � x

16. Sea f una función de�nida por

f(x) =

�2� jxj si jxj � 24� x2 si jxj > 2

(a) Trazar la representación grá�ca.

(b) Identi�car un intervalo donde la función seamonótona creciente y uno donde sea monó-tona decreciente.

(c) ¿Es una función acotada superiormente?.¿Acotada inferiormente?. ¿Acotada?.

(d) Determine si es par, impar o ninguna deestas.

4 Función racional

Sean f y g dos funciones polinómicas, llamaremosfunción racional a toda función h de�nida de la forma

h(x) =f(x)

g(x); g(x) 6= 0

Mostraremos las grá�cas de algunas funcionesracionales

1. f(x) = 1x

52 .502 .55

5 0

2 5

0

2 5

5 0

x

y

x

y

2. f(x) = 1x2

52 .502 .55

50

37 .5

25

12 .5

0

x

y

x

y

Tomando como refrencia las dos funciones ante-riores y los principos de traslaciones se puedengra�car funciones de�nidas de la forma

f(x) =ax+ b

cs+ d;

g(x) = a+b

c(x+ d)2

5 Funciones de�nidas explícitae implícitamente

Consideremos la circunferencia dada por la ecuación

(x� 1)2 + y2 = 4

Si despejamos y, de la ecuación anterior, obtenemos

y = �q4� (x� 1)2

La ecuación anterior no representa a y como fun-ción de x, pues, para cada valor de x pueden obtenersedos valores para y. Sin embargo, las expresiones

y = f(x) =

q4� (x� 1)2

y

y = g(x) = �q4� (x� 1)2

si representan funciones. El dominio de cada una esnx 2 R : 4� (x� 1)2 � 0

o= [1; 7]

Las repreentaciones grá�cas de las funciones f y gse muestran a continuación

f(x) =

q4� (x� 1)2

32101

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

g(x) = �q4� (x� 1)2

32101

0

0.5

1

1.5

2

x

y

x

y

Las expresiones y =

q4� (x� 1)2 e y =

�q4� (x� 1)2 de�nen explícitamente a las fun-

ciones f y g, respectivamente, y la ecuación(x� 1)2 + y2 = 4 de�ne implícitamente a las mis-mas funciones f y g:

6 Función parte entera

La parte entera de un número real x, denotada por[jxj] ; es el mayor entero menor o igual a x, es decir,

[jxj] = n ! n � x < n+ 1

Así, llamaremos función parte entera a la función ftal que

f(x) = [jxj] ; x 2 R

La representación grá�ca de la función parte enterase muestra a continuación

o

o

o

o

o

o. .. .. .3 2 1 0 1 2 3 4

.

.

.

.

. 1

2

3

1

2

3

Es inmediato que Ragf = Z:

Ejercicios

1. Trace la grá�ca y, determine el dominio yel rango de cada una de las siguientes fun-ciones

(a) f(x) = x2�3x�105�x

(b) f(x) =px2 � 1

(c) f(x) = 35

p25� x2

(d) f(x) =p�x

(e) f(x) =p4x� 2x2

(f) f(x) = [j�xj](g) f(x) = x+ [jxj](h) f(x) = 2� [jx� 1j]

(i) f(x) =

8<:x+ 5 si x < �5p

25� x2 si � 5 � x � 55� x si x > 5

(j) f(x) =�

x2�11�x si x 6= 12 si x = 1

(k) f(x) =�

47 jx+ 3j si x < 1

21x si x � 1

2

(l) f(x) =�� 12p4� x2 si jxj � 2

4� x2 si jxj > 2(m) f(x) = 1

(x�2)2 + 3

(n) f(x) = 2� 3x�2

(o) f(x) = 2x�1x+2

2. Cada una de las ecuaciones siguientes de�neexplícitamente a una o más funciones de laforma y = f(x): Hallar tales funciones ytrazar la grá�ca de cada una

(a) x2 + y2 = 9(b) x2 � 6x+ y2 = 0(c) 4x2 + 9y2 = 36(d) x2 � 2xy + y2 = 1(e) 4x2 � 9y2 = 36(f) xy � y � 1 = 0

3. Trace la grá�ca de la función f de�nida por

f(x) =

8<: � (x+ 3)2 si x � �22� jx� 1j si � 2 < x < 3p

x� 3 si x � 3

y demuestre que si �2 < h < �1, entonces

4 + f (h� 1)1� f (h) = 4 + h

4. Para cada una de las funciones dadas acontinuación determine si es par, impar oninguna de estas

(a) f(x) = x3�xx2+1

(b) f(x) = x2�1x2+1

(c) f(x) = jxjx2+1

(d) f(x) =p1 + x+ x2 �

p1� x+ x2

(e) f(x) = 3

q(x+ 1)

2+

3

q(x� 1)2

(f) f(x) = ax�bb�ax

5. Demuestre que cada una de las funcionesde�nidas a continuación son monótonas

(a)px2 � 9; x � 3

(b)px2 � 9; x � �3

(c) - 3px� 1

6. Indicar los intervalos donde la funciónf(x) = 1

x2+1 es creciente o decreciente

7. Sea f una función de�nida por

f(x) =

�2� jxj ; si jxj � 2�px2 � 4 si jxj > 2

(a) Trazar la grá�ca(b) Indicar un intervalo donde la función

sea creciente y uno donde sea decre-ciente.

(c) ¿Es f una función acotada superior-mente? ¿Inferiormente? ¿Acotada?

(d) Determine si es par, impar o ningunade estas.

7 Funciones inversas

7.1 Función biyectiva

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una funcióntal que f : A �! B

1. Diremos que f es inyectiva si a cada par de el-ementos diferentes del dominio les correspondenimágenes diferentes. Es decir , f es inyectiva siy sòlo si

(8x1; x2 2 A) : (x1 6= x2 �! f (x1) 6= f (x2))

o, en forma equivalente, f es inyectiva si y sòlosi

(8x1; x2 2 A) : (f (x1) = f (x2) �! x1 = x2)

2. Diremos que f es sobreyectiva si todo elementodel codominio es imagen de algùn elemento deldominio. Es decir, f es sobreyectiva si y sòlo si

(8y 2 B) (9x 2 A) : f(x) = y

o, en forma equivalente, f es sobreyectiva si ysòlo si

Ragf = B

3. Diremos que f es biyectiva si es, a la vez, inyec-tiva y sobreyectiva.

Observaciones

1. Según la de�nición anterior, una función biyec-tiva queda caracterizada por las pripiedades sigu-ientes:

(a) Cada par de elementos diferentes del do-minio tiene imágenes diferentes.

(b) Todo elemento del codominio es imagen dealgún elemento del dominio.

Lo descrito, es lo que comúnmente se conocecomo función biunívoca, nombre que tambiénidenti�ca a las funciones biyectivas.

2. Partiendo de la representación grá�ca de unafunción f , se puede decidir s if es inyectiva: lacondición f (x1) 6= f (x2) para x1 6= x2 signi�caque ninguna recta horizontal corta a la repre-sentación grá�ca de f dos veces o más.

7.2 Restricción y extensión de unafunciòn

Sean f y g dos funciones, si se cumplen las siguientescondiciones:

1. Domf � Domg con Domf 6= Domg y

2. f(x) = g(x) 8x 2 Domf

diremos que f es una restricciòn de g y que g esuna extensiòn de f .

7.3 Función inversa

Sea f una funciòn, tam que

f : A �! B ^ f(x) = y

Supongamos que existe una funciòn h, tal que

h : B �! A ^ h(y) = x

y satisface las siguientes condicines:

1. h (f (x)) = x; x 2 A

2. f (h (y)) = y; y 2 B

Para que tal funciòn h exista, la funciòn f debeser biyectiva.Supongamos que f no es inyectiva, entonces existe

un par de elementos en A; x1 y x2 diferentes, talque sus imágenes son iguales, esto es f (x1) = f (x2) :Como la función h cumple la condiciòn (1), entoncesh (f (x1)) = x1 y h (f (x2)) = x2; por lo tanto,existe y = f (x1) = f (x2) tal que h (y) = x1 yh (y) = x2.Pero, sabemos que, una función no puede asignar

dos imágenes diferentes a un mismo elemento deldominio. Naturalmente esto es una contradicción,que proviene de haber supuesto que f no es inyec-tiva. Entonces, para que exista una función h tal que,h (f (x)) = x; x 2 A, la función f debe ser inyectiva.

Supongamos que f no es sobreyectiva, esto quieredecir que existe un elemento en el conjunto B, dig-amos y, que no es imagen de ningún elemento deldominio. Como h es una función de B en A, entoncesexiste un elemento x en A tal que h (y) = x. Además,por la condiciòn (2) f (h (y)) = y, entonces f(x) = y .Pero esto es una contradicción, pues, y no es imagen,mediante f; de ningún elemento del conjunto A. Estacontradicción proviene de haber supuesto que f no essobreyectiva.En resumen, dada una función f de A en B, para

que exista una función h de B en A tal que se cum-plan las condiciones (1) y (2) , es necesario que f seabiyectiva.Si para una función fexiste una función h con las

propiedades anteriores, diremos que h es la funcióninversa de f .La función inversa de f la denotaremos con f�1 ,

en lugar de h. Utilizando esta notación, tenemos que:

1. f�1 (f (x)) = x; x 2 A

2. f�f�1 (y)

�= y; y 2 B

Observaciones

1. Si f es una funciòn biyectiva, tal que

f : A �! B ^ f(x) = y

f es invertible, y su inversa f�1 se de�ne como

f�1 = f(y; x) 2 BxA : f(x) = yg

2. De la observaciòn anterior se desprende que

Domf = Ragf�1 y Ragf = Domf�1

3. Si f es una funciòn biyectiva, con inversa f�1;entonces f�1 es biyectiva con inversa f . Estoes�f�1

��1= f: Las funciones f y f�1 son

mutuamente inversas.

4. Existe una interesante relaciòn entre lareprersentaciòn grá�ca de una funciòn f ysu inversa inversa f�1: Dado que a = f(b)signi�ca lo mismo que b = f�1(a); entonces elpunto (a; b) està en la grà�ca de f , si y sòlo si,el punto (b; a) està en la grà�ca de f�1: Por lotanto, Las grà�cas de las funciones f y f�1

son simétricas una de otra respecto de la rectacuya ecuaciòn es y = x:

5. Es de hacer notar que en la expresiòn f�1(x),el número -1 no es un exponente negativo. enconsecuencia

f�1(x) 6= 1

f(x)

El inverso multiplicativo de f(x) se puede es-cribir como [f(x)]�1 :

6. No todas las funciones son invertibles, pero,muchas de ellas se pueden restringir de tal formaque se obtenga una nueva función que si admiteinversa.

Ejercicios

1. Decida si las funciones correspondientes son in-yectivas, sobreyectivas, biyectivas o ninguna.

(a) f : R �! R ^ f(x) = jxj(b) f : R �! R ^ f(x) = 1

1+x2

(c) f : R �! R ^ f(x) = 1 + x3

2. Restringir convenientemente el dominio de cadafunciòn para que exista la funciòn inversa. En-cuentre después f�1(x):

(a) f(x) = x2 + 1

(b) f(x) = 12

p4� x2

(c) f(x) = 1� 1x2

3. Demuestre que la función f de�nida por f(x) =p16� s2 es su propia inversa.

4. Determinar el valor de la constante k de maneraque la función f de�nida por f(x) = x+5

x+k sea supropia inversa.

5. Determine si la funciòn dada tiene inversa. sila inversa existe haga lo siguiente: (a) Obten-gala y señale su dominio y su rango, (b) Trace lagrà�ca de f y de f�1 en el mismo sistema de co-ordenadas, (c) Demuestre que

�f�1of

�(x) = x

y�fof�1

�(x) = x: Si la funciòn carece de in-

versa, muestre que una recta horzontal corta a lagrà�ca de f en más de un punto.

(a) f(x) = jxj+ x(b) f(x) = (2x� 1)2 ; x � 1

2

(c) f(x) =p9� x2; 0 � x � 3

6. Demuestre que una función que es monótona enun intervalo I, es inyectiva en ese intervalo.

7. Suponga que la función f es creciente en el in-tervalo [a; b] y que f : [a; b] �! [f(a); f(b)] : sif�1 : [f(a); f(b)] �! [a; b] es su inversa, de-muestre que f�1 es creciente en [f(a); f(b)] :

8. Suponga que la función f es decreciente en elintervalo [a; b] y que f : [a; b] �! [f(b); f(a)] :si f�1 : [f(b); f(a)] �! [a; b] es su inversa, de-muestre que f�1 es creciente en [f(b); f(a)] :

8 Razones trigonométricas

8.1 Ángulo y medida de ángulos

Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectascon un mismo origen llamado vértice. Las semirrectasse llaman lados.

Un ángulo se designa por una letra mayúscula situ-ada en el vértice, una letra griega en el interior delángulo o tres letras mayúsculas de manera que quedeen el medio la letra que está situada en el vértice delángulo. A continuación se muestran varios ángulos

A

N M

PQ

<

<

<A

PNM

Existen varias maneras de medir los ángulos, lasmás comunes son los grados y los radianes.

Un grado sexagesimal se obtiene así: Se consideraa la circunferencia dividida en 360 partes iguales y unángulo de un grado es el que tiene el vértice en el cen-tro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas.Cada división de la circunferencia se llama tambiéngrado

1360

partes dela circunferencia.Un grado.1º

Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden unarco cuya longitud es igual al radio de la circunferen-

cia y cuyo vértice es el centro de la circunferencia.

r

rUn radián

Como la longitud de una circunferencia de radio r es2�r; entonces un ángulo de 360o equivale a 2� radi-anes. Esto es,

2� radianes = 360o

Por lo tanto, si representamos por S la medida de unángulo en grados sexagesimales y por R la medidaddel ,mismo ángulo en radianes, podemos establecerque

S

360=R

2�Simpli�cando

S

180=R

�

8.2 Razones trigonométricas de un án-gulo agudo de un triángulo rectán-gulo

Consideremos el triángulo rectángulo M ABC y elángulo agudo �

A

B

C

a

b

c

Las razones trigonométricas de � son las siguientes:

1. Seno de �: Es la razón entre el cateto opuesto yla hipotenusa

sen� =a

c

2. Coseno de �: Es la razón entre el cateto adya-cente y la hipotenusa

cos� =b

c

3. Tangente de �: Es la razón entre el cateto op-uesto y y el cateto adyacente

tag� =a

b

4. Cotangente de �: Es la razón entre el cateto ady-acente y el cateto opuesto

ctg� =b

a

5. Secante de �: Es la razón entre la hipotenusa yel cateto adyacente

sec� =c

b

6. Cosecante de �: Es la razón entre la hipotenusay el cateto opuesto

csc� =a

c

8.3 Razones trigonométricas de un án-gulo cualquiera

Consideremos una circunferencia de centro O, unasemirrecta �ja

�!OA y una semirrecta movil

��!OC

Supongamos que la semirrecta��!OC gira alrededor

del punto O, en sentido contrario a las agujas delreloj. Entonces

��!OC; en cada posición engendra un

ángulo, el ángulo < AOC, por ejemplo.

o A

C

Los rayos�!OA y

��!OC se llaman lados inicial y ter-

minal del ángulo < AOC; respectivamente.Cuando

��!OC coincide con

�!OA, el ángulo es nulo;

cuando��!OC comienza a girar, el ángunlo aumenta a

medida que��!OC gira. Al coincidir

��!OC de nuevo con�!

OA; a engendrado un ángulo completo (360o o 2�radianes), pero

��!OC puede seguir girando y engendrar

un ángulo de un valor cualquiera.Arbitrariamente se ha convenido que los ángulos

engendrados en sentido contrario a las manecillas del

reloj, se toman como positivos y los ángulos engen-drados en el mismo sentido de las agujas del reloj seconsideran negativos.

o A

C

B

Consideremos un ángulo � en un sistema de coorde-nadas, que tiene como vétice el origen del sistema decoordenadas y como lado inicial la parte positiva deleje X: (Llamamos a � un ángulo en posición normal)Tomemos un punto A(a; b) en el lado terminal y

consideremos su distancia al origen c =pa2 + b2:

0 X

Y

A

a

b

c

Las razones trigonométricas del ángulo � se de�nenasí.

sen� =b

c

cos� =a

c

tag� =b

a

ctg� =a

b

sec� =c

a

csc� =c

b

Considerando la distancia de un punto cualquieraal origen del sistema de coordenadas siempre es pos-

itiva, los signos de las razones trigonométricas en losdistintos cuadrantes, se muestran en la siguiente tabla

I II III IVsen + + - -cos + - - +tag + - + -ctg + - + -sec + - - +csc + + - -

A continuación se muestran los valores de las ra-zones trigonométricas de los ángulos que limitan loscuadrantes

0o 90o 180o 270o 360o

sen 0 1 0 -1 0cos 1 0 -1 0 1tag 0 1 0 1 0ctg 1 0 1 0 1sec 1 1 -1 1 1csc 1 1 1 -1 1

Observación

La tangente y la secante de 90o no existen porqueno se puede dividir entre cero. Se representan por elsímbolo 1 (se lee in�nito) para indicar que estas ra-zones trigonométrica toma valores cada vez mayores(menores) , llegando a ser tan grandes (pequeñas)como uno quiera, a medida que el ángulo se acerca a90o tomando siempre valores mayores (menores) que90o. No hay que olvidar que1 no es un número, sinoun símbolo.En la siguiente tabla se resumen los valores de las

razones trigonométricas de 30o, 45o y 60o.

30o 45o 60o

sen 12

p22

p32

cosp32

p22

12

tagp33 1

p3

ctgp3 1

p33

sec 2p3

3

p2 2

csc 2p2 2

p3

3

8.4 Identidades fundamentales

A continuación mostraremos algunas identidades fun-damentales. Es importantes que aprendas a recnocer-las

tag� = sen�cos�

ctg� = cos�sen�

sec� = 1cos�

csc� = 1sen�

sen2�+ cos2 � = 1

tag2� = sec2 �� 1

ctg2 csc2 �� 1

sen (�� ) = sen� cos� � sen� cos�

cos (�� ) = cos� cos� � sen�sen�

tag (�� ) = tag��tag�1�tag�tag�

sen (2�) = 2sen� cos�

cos (2�) = cos2 ��sen2� = 1�2sen2� = 2 cos2 ��1

tag (2�) = 2tag�1�tag2�

sen2� = 1�cos(2�)2

cos2 � = 1+cos(2�)2

tag2� = 1�cos(2�)1+cos(2�)

sen�2 = �q

1�cos(2�)2

cos �2 = �q

1+cos(2�)2

tag�2 =sen�

1+ cos� =1� cos�sen�

Ejercicios

1. Convierta de grados radianes. Deja las respues-tas en términos de �

(a) 45o

(b) 60o

(c) 90o

(d) 180o

(e) 270o

(f) 360o

(g) 150o

2. Convierta de radianes a grados.

(a) �2

(b) �

(c) 3�2

(d) 2�

(e) �3

(f) 5�9

(g) �6

3. Un péndulo de 40 cm de largo oscila formandoun ángulo de 15o. Determine la longitud del arcorecorrido por el extremo inferior del péndulo.

4. Utilice la información dada para determinar elcuadrante que contiene el lado �nal del án-gulo de � radianes y calcule las demás razonestrigonométricas.

(a) tag� = 1; sen� = �p22

(b) cos� = � 12 ; csc� = 2p3

5. En cada uno de los siguientes ejercicios se dandos lados del triángulo M ABC donde ]C es elángulo recto. Utilice el teorema de Pitágora paradeterminar el tercer lado y determine las seis ra-zones trigonométricas de los ángulos ]A y ]B:

(a) a = 6; b = 8

(b) a = 3; c = 4

(c) b = 2; c = 5

6. La cuerda de una cometa forma un ángulo de 42o

con el suelo, cuando la longitud de la cuerda mide74 m. ¿Cuál es la altitud del cometa, suponiendoque la cuerda forma una línea recta?

7. Uno de los cables que sostiene un poste telefónicomide 15 metro de longitud y se �ja al piso a 5metros de la base del poste. Determine el ánguloque forma el cable con el suelo.

8. Si P (�1; 2) es el punto del lado �nal de un ángulo� dado en posición normal, determine las razonestrigonométricas de dicho ángulo.

9. Rexuelva cada ecuación para � en el intervalo[0; 2�) ;

(a) sen�(cos�+ 1) = 0

(b) (cos�� 1)(2sen�+ 1) = 0(c) sen�+ cos� = 0

(d) sen��p3 cos� = 0

(e) sec�+ tag� = 0

(f) 2 cos2 ��p3 cos� = 0

(g) 2tag� = sen�

(h) sen2�+ sen�� 2 = 0(i) 2

�cos2 �� sen2�

�=p2

9 Funciones trigonométricas

9.1 Función priódica

Sea f una funciòn real cuyo dominio es A � R: Se diceque f es una función periódica si existe un númeroreal P 6= 0; si para toda x en el dominio de f , secumple que x+ P también está en el dominio de f yf(x + P ) = f(x): El número P se denomina períodode f:Si P es un período de la función f;entonces 2P es

también un período de f . en efecto

f(x+ 2P ) = f((x+ P ) + p) = f(x+ P ) = f(x)

En general, para toda n 2 Z, se demuestra quesi P es un período de una función f;entonces nP estambién un período de f , esto es

f(x+ nP ) = f(x); 8x 2 Domf

El mínimo período positivo de la función f sedenomina perìodo fundamental de f , o simplementeperìodo.

9.2 Circunferencia unitaria otrigonométrica

El conjunto de puntos (x; y) del plano cartesiano quesatisfacen la ecuaciòn x2+y2 = 1, la cual respresentauna ciercunferencia de centro el origen y radio igual auno, se llama circunferencia unitaria o trigonométricay se denota por C: Es decir

C =�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 = 1

Cada punto P (x; y) de C determina un ángulo en

posición normal, que mediremos en radianes.

X

Y

P(x,y)

0

t

Nótese que:

1. Una misma posición del punto P determina in-�nitos ángulos, a saber t con medidad un real delintervalo [�2�; 2�] ; que también representamospor t y todos los de la forma t+2k�: con k 2 Z:

2. Cualquier número real puede interpretarse comola medida en radianes de un ángulo t en posiciónnormal.

9.3 Funciones coseno y seno

Sea C la circunferencia unitaria y t 2 R la medida enradianes de un ángulo en posición normal, cuyo ladoterminal pasa por el punto P (x; y) de C: La funcióncoseno, la cual se denota por cos; se de�ne como

cos(t) = cos t = x

y la función seno, la cual se denota por sen; se de�necomo

sen(t) = sent = y

Observaciones

1. De la de�nición anterior se ve que cos t y sentestán de�nidas para cualquier valor de t. Por lotanto, el dominio de las funciones coseno y senoes el conjunto de todos los números reales.

2. Se tiene que (x; y) es un punto de la circunferen-cia unitaria C, por lo tanto, se cumple que

jxj � 1 e jyj � 1

Esto es

jcos tj � 1 y jsentj � 1; 8t 2 R

Así, el rango de las funciones coseno y seno es elintervalo cerrado [�1; 1] :

3. Las funciones coseno y seno no son inyectivas.¿Por qué?

4. Supongamos que el lado terminal de un ánguloen posición normal que mide t radianes pasa porel punto (x; y) de la circunferencia unitaria, en-tonces el lado terminal del ángulo en posiciónnormal que mide -t radianes pasa por el punto

(x;�y)

X

Y

(x,y)

0

t

t

(x,y)

De ésto se concluye que

cos t = cos(�t) = x

ysent = y e sen(�t) = �y

Por lo tanto

cos t = cos(�t) y sent = �sen(�t) 8t 2 R

De ésto se sigue que la función coseno es par yla función seno es impar.

5. Si el lado terminal de un ángulo en posición nor-mal que mide t radianes pasa por el punto (x; y)de la circunferencia unitaia; entonces el lado ter-minal de un ángulo en posición normal que midet+2� radianes también pasa por el punto (x; y):Por lo tanto, para todo número real t se cumpleque

cos(t+ 2�) = cos t y sen(t+ 2�) = sent

Más general, para todo número real t y todonúmero entero n se cumple que

cos(t+ 2n�) = cos t y sen(t+ 2n�) = sent

Por lo tanto, las funciones coseno y seno son per-iódicas, de período 2�:

Con el objeto de trazar las grá�cas de las funcionescoseno y seno, utilizaremos el símbolo x, en vez de t,para referirnos a los elementos del dominio de cadafunción y el símbolo y, para referirnos a los valoresde cada función.Con esta nueva notación se tiene que las funciones

coseno y seno, son funciones reales tales que

cos : R �! R � cosx = y

ysen : R �! R � senx = y

Como estas funciones son periódicas, de período2�; basta con determinar la porción de la grá�ca decada función para 0 � x � 2�; pues, estas porcionesse repiten en intervalos de longitud 2� en el eje X:De modo que es de interés el comportamiento de losvalores de estas funciones cuando 0 � x � 2�:La siguiente tabla muestra este comportamiento en

cada uno de los cuadrantes cuando x crece desde 0hasta 2�

Cuando x crece de cosx va de senx va de0 a �

2 1 a 0 0 a 1�2 a � 0 a -1 1 a 0� a 3�

2 -1 a 0 0 a -13�2 a 2� 0 a 1 -1 a 0

Así, las grá�cas de las funciones coseno y seno soncomo las que se muestran a continuación

y = cosx

6420

1

0.5

0

0 .5

1

x

y

x

y

y = senx

6420

1

0.5

0

0.5

1

x

y

x

y

Observe que ambas curvas tienen la misma forma.En realidad, la grá�ca de la función seno puede obten-erse trasladando la grá�ca de la función coseno �

2unidades a la derecha. Esto es

senx = cos(x� �2)

Estas curvas se conocen como curvas o ondassenoidales. La porción de cada curva en un períodose denomina ciclo.Otras ondas senoidales se obtienen de las funciones

de�nidas por ecuaciones de la forma

y = a cos(bx+ c) e y = asen(bx+ c)

donde a; b y c son números reales con a 6= 0 y b 6= 0.Para conocer como los valores de las constantes a;b y c afectan la forma de la onda senoidal de�nidapor una de estas ecuaciones, consideremos las ondassenoidales

g(x) = asen(bx) y f(x) = asen(bx+ c)

donde a; b y c son números reales con a 6= 0 y b 6= 0.La amplitud de cada onda senoidal es jajComo la función seno es periódica, de período 2�;

un ciclo de la onda senoidal de�nida por la funcióng se obtiene en el intervalo cerrado que contiene sólolos números reales x tal que

0 � bx � 2�

y un ciclo de la onda senoidal de�nida por la funciónf se obtiene en el intervalo cerrado que contiene sólolos números reales x tal que

0 � bx+ c � 2�

Nótese que

g(x) = asen(b(x+2�

b)) = g(x+

2�

b)

y

f(x) = asen(b(x+2�

b) + c) = f(x+

2�

b)

Así, las funciones g y f son periódicas de período 2�jbj :

Por otra parte, se tiene que

f(x) = asen(b(x+c

b)) = g(x+

c

b)

Por lo tanto, la grá�ca de la función f es unatraslación horizontal,

�� cb

�� unidades, de la grá�ca dela función g. El número

�� cb

�� se llama corrimiento defase asociado a la función f .Un análisis similar se obtiene para la función h

de�nida de la forma

h(x) = a cos(bx+ c)

donde a; b y c son números reales con a 6= 0 y b 6= 0.

Observaciones

1. Las funciones de�nidas por ecuaciones de laforma

f(t) = a cos(bt� c) e g(t) = asen(bt� c)

son modelos matemáticos que describen elmovimiento vibratorio u oscilatorio denominadomovimiento armónico simple. Un ejemplo de unmovimiento armónico simple ocurre cuando sesuspende un cuerpo de un resorte que vibre ver-ticálmente. Las constantes a; b y c están determi-nadas por el peso del cuerpo y el resorte así comopor la forma en que se ponga en movimiento elcuerpo.

2. Si un alambre doblado en la forma de un ractán-gulo gira entre los polos norte y sur de un imán,se genera una corriente electrica alterna. Con-forme el alambre efectúe una rotación completa,la corriente �uye en un sentido y despues en elotro, lo cual se repite durante cada rotación, demanera que la corriente es periódica. Esta corri-ente puede describirse mediante una ecuación dela forma

I(t) = asenb(t� c)

donde I(t) amperes es la corriente en t segundosque produce un generador.

3. Cuando una onda sonora llega al oído, ocurreuna vibración de las partículas aéreas en el tím-pano. Esta vibración puede describirse mediantela variación de la presión del aire. Un sonidosimple es aquel que produce en un osciloscopiouna onda que puede describirse mediante unaecuación de la forma

f(t) = asen(bt)

dondef(t) dinas por centímetros cuadrados es ladiferencia de presión afmosférica y de presión deaire en el tímpano a los t segundos. Los val-ores positivos de f(t) corresponden a la presióninterna y los valores negativos a la presión ex-terna. La ecuación anterior es una ecuación dela onda sonora. La constante a da la amplitudde la presión.

9.4 Función tangente

La función tangente se denota por tag y de de�necomo

tagx =senx

cosx; cosx 6= 0

De la de�nición se concluye que:

1.

Dom(tag) = fx 2 R: cosx 6= 0g

=nx 2 R : x 6= �

2+ n�; n 2 Z

o2. Como �1 � cosx � 1 y �senx � 1 entoncesjtagxj puede hacerse tan grande como se deseetomando valores de x de manera que cosx seaproxime lo su�ciente a cero. Por lo tanto, elrango de la función tangente es el conjunto delos números reales.

3. La función tangente toma valores positivos en elprimer y tercer cuadrante , y valores negativosen el segundo y cuarto cuadrante.

4. La función tangente es impar, en efecto

tag(�x) = sen(�x)cos(�x) =

�senxcosx

= tagx

y periódica, de período �, en efecto

tag(x+ �) =sen(x+ �)

cos(x+ �)=�senx� cosx = tagx

En general, si x 2 R y n es un entero positivo,entonces

tag(x+ n�) = tagx; x 6= �

2+ n�

Con todas las observaciones anteriores y el mismoprocedimiento utilizado para obtener las representa-ciones grá�cas de las funciones coseno y seno podemosobtener la representación grá�ca de la función tan-gente, la cual se muestra a continuación

52.502.55

50

25

0

25

50

x

y

x

y

La familia de rectas dadas por la ecuación

x =�

2+ n�; n 2 Z

contiene todas las rectas, y sólo aquellas rectas queson asíntotas verticales de la representación grá�cade la función tangente.Las representaciones grá�cas de funciones más gen-

erales, de�nidas de la forma

f(x) = atag(bx+ c)

donde a; b y c son números reales con a y b diferentesde cero, pueden analizarse en forma semejante a comose analizaron las representaciones grá�cas de las fun-ciones más generales en donde intervienen el seno y elcoseno. Sin embargo, para estas funciones no existeamplitud.

9.5 Funciones cotangente, secante ycosecante

Existen otras funciones trigonométricas llamadas:cotangente, secante y cosecante; las cuales se denotanrespectivamente por: ctg, sec y csc. Estas funcionesse de�nen en término de las funciones: coseno, senoy tangente como:

ctagx =1

tagx; tagx 6= 0

secx =1

cosx; cosx 6= 0

cscx =1

senx; senx 6= 0

Le dejamos a ustedes la tarea de trazar la repre-sentación grá�ca de cada una de estas funciones.

9.6 Funciones trigonométricas inver-sas

Las funciones trigonométricas no son inyectivas, demodo que hace falta restringir los dominios de cadauna a intervalos convenientes. Los intervalos que gen-eralmente se eligen son:

[0; �] para el cosenoh��2;�

2

ipara el seno�

��2;�

2

�para la tangente

porque son los mayores intervalos que contienen alnúmero 0 y en el cual la función correspondientees inyectiva. Las inversas de las demas funcionestrigonométricas son de poco uso.La inversa de la función

f : [0; �] �! [�1; 1] ^ f(x) = cosx

se denomina función inversa del coseno y se designapor arccos. Así, se tiene que

y = arccosx ! x = cos y; 0 � y � �

A continuación se muestran las representaciónes grá-�cas de f y su inversaf(x) = cosx, 0 � y � �

32.521.510.50

1

0.5

0

0.5

1

x

y

x

y

f�1(x) = arccosx; �1 � x � 1

10.500.51

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

El dominio de la función arccos es [�1; 1] y el rango[0; �] :

La notación cos�1 x se evita porque tiene ladesventaja de que podría ser interpretada como 1

cos x :

La inversa de la función

g :h��2;�

2

i�! [�1; 1] ^ g(x) = senx

se denomina función inversa del seno y se designa porarcsen. Así, se tiene que

y = arcsenx ! x = seny; � �2� y � �

2

A continuación se muestran las representaciónes grá-�cas de g y su inversag(x) = sinx; ��2 � x �

�2

1.510.500.511.5

1

0.5

0

0.5

1

x

y

x

y

g�1(x) = arcsenx; �1 � x � 1

10.500.51

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

x

y

x

y

El dominio de la función arcsen es [�1; 1] y el rango��2 ;

�2

�:

Por último, la inversa de la función

h :��2;�

2

��! R ^ h(x) = arctagx

se denomina función inversa de la tangente y se des-igna por arctag. Así, se tiene que

y = arctagx ! x = tagy; � �2< y <

�

2

A continuación se muestran las representaciónes grá-�cas de h y su inversa

y = tanx; ��2 < x <�2

1.510.500.511.5

10

5

0

5

10

x

y

x

y

h�1(x) = arctanx; �1 < x <1

52 .502 .55

1

0 .5

0

0 .5

1

x

y

x

y

El dominio de la función arctag es R y el rango��2 ;

�2

�:

Ejercicios

1. Trazar la representación grá�ca de cada función.Determine, siempre que sea posible, amplitud,periodo, corrimiento de fase, dominio y rango decada función.

(a) f(x) = 4senx

(b) f(x) = cos(4x)

(c) f(x) = � 13 cosx(d) f(x) = sen( 13x)

(e) f(x) = 2 + 3 cos(3x+ �2 )

(f) f(x) = sen jxj(g) f(x) = 1 + jcosxj

2. Hallar el dominio de cada una de las siguientesfunciones

(a) f(x) =psenx

(b) f(x) = arccos(5�x)p5�x

(c) f(x) = arsen(�4�x)p�x�2

(d) f(x) = arccos�2x1+x

�3. Restringir convenientemente el dominio de cadauna de las siguientes funciones, para que admitainversa, y trazar la grá�ca de la correspondienteinversa.

(a) f(x) = ctgx

(b) f(x) = secx

(c) f(x) = cscx

10 Funciones exponenciales ylogarítmicas

10.1 función exponencial

Sea a 2 R+�f1g ;llamaremos función exponencial debase a, a la función real f tal que

f(x) = ax; x 2 R

A continuación se muestran las formas que tienenlas grá�cas de las funciones exponenciales para 0 <a < 1 y a > 1:

y = ax; 0 < a < 1

52 .502 .55

30

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

y = ax; a > 1

52 .502 .55

30

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

Los resultados observados en los ejemplos anteri-ores nos permiten conocer algunas propiedades de lafunción exponencial f(x) = ax:

1. Domf = R y Ragf = R+:

2. La grá�ca de f no intersecta al eje X.

3. La grá�ca de f intersecta al eje Y en el punto decoordenadas (0; 1):

4. El eje X es una asíntota horizontal de la grá�cade f .

5. La función es decreciente si 0 < a < 1

6. La función es creciente si a > 1:

7. La función es inyectiva en todo su dominio.

Las funciones exponenciales mantienen las mismaspropiedades algebraicas de los exponentes: Si x e yson números reales cualesquiera y, a y b son realespositivos, entonces:

1. axay = ax+y

2. (ax)y = axy

3. (ab)x = axby

4.�ab

�x= ax

bx

5. ax

ay = ax�y

En los cursos de matemáticas y las investigacionesde muchos fenómenos físicos, se presenta en formamuy frecuente el número irracional

e = 2; 718281828459:::

Es usual trabajar con la función f de�nida por

f(x) = ex

A continuación estudiaremos algunas funciones queaparecen con mucha frecuencia en la modelación desituaciones físicas:

1. f(x) = 2�x2

Para esta función se tiene que

(a) domf = R

(b) si jxj crece, los valores de f se apróximan acero, por lo tanto el eje X es una asíntotahorizontal.

(c) El valor máximo de f es uno, y ocurrecuando x = 0:

(d) f es par ¿Por qué?(e) La grá�ca de f es como la que se muestra a

continuación

52.502.55

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

Funciones de este tipo aparecen en la teoríade las probabilidades, la cual es una ramaimportante de las matemáticas.

2. g(t) = e�tsen(2t)

Se sabe que

jsen(2t)j � 1 y e�t > 0 8t 2 R

Por lo tanto

�e�t � e�tsen(2t) � e�t 8t 2 R

Por lo tanto la grá�ca de g se encuentra entre lasgrá�cas de las funciones

h(t) = �e�t y i(x) = e�t

Los valores de t para los cuales la grá�ca de gcorla la grá�ca de h son

t =3�

4+ n�; n 2 Z

Los valores de t para los cuales la grá�ca de gcorla la grá�ca de i son

t =�

4+ n�; n 2 Z

Los valores de t para los cuales la grá�ca de gcorla al eje X son

t =n�

2; n 2 Z

A continuación se muestran las grá�cas de lasfunciones g; h e i:

53 .7 52 .51 .2 50

1

0 .5

0

0 .5

1

tt

Esta función g estudiada es de utilidad para de-scribir los movimientos armónicoa amortiguados. Eneste caso, el movimiento se está describiendo medi-ante la función seno y la función exponencial e�t; de-nominada el factor de amortiguamiento. Este factores lo que ocaciona la disminución en la amplitud.Los movimiento armónicos amortiguados son im-

portantes en el diseño de edi�caciones, puentes y ve-hículos. Por ejemplo, a �n de anortiguar la oscilacióncuando un automóvil se encuentra con un obstáculoen el camino, se utilizan los amortiguadores.Para el movimiento armónico amortiguado, la am-

plitud decrece a cero conforme transcurre el tiempo.si la amplitud crece sin límites conforme transcurre eltiempo, entonces se presenta la resonancia. La sigu-iente función presenta un modelo matemático que de-scribe la resonancia.

3 j(t) = 2t cos(4t)

Siguiendo el mismo procedimiento dado en elejemplo anterior, se muestra que la grá�ca dej en el intervalo [0;1) es como la que se ilustraa continuación.

53 .7 52 .51 .2 50

25

12 .5

0

1 2 .5

2 5

tt

Frecuentemente en análisis se presentan ciertascombinaciones de funciones exponenciales que mere-cen que se les de nombres especiales y que se les es-tudie como ejemplo de nuevas funciones. Estas fun-ciones se denominan funciones hiperbólicas.

Las funciones hiperbólicas que usualmente sepresentan se denominan coseno hiperbólico y senohiperbólico, las cuales se denotan por cosh y senh,respectivamente, y se de�nen como:

coshx =ex + e�x

2; x 2 R

senhx =ex � e�x

2; x 2 R

Para la función cosh se tiene que:

1. Está de�nida para todo número real x.

2. Es par. ¿Por qué?

3. Se puede escribir como la suma de las funcionesf y g de�nidas por

f(x) =ex

2y g(x) =

e�x

2

4. Su grá�ca no corta al eje X y corta al eje Y enel punto de coordenadas (0; 1).

Con estas observaciones y las grá�cas de las fun-ciones f y g, se obtiene la grá�ca de la función cosh

52.502.55

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

Nótese que la grá�ca de la función cosh es asin-tótica con respecto a las grá�cas de las funciones f yg:La curva obtenida se llama catenaria.La función senhx satisface las siguientes

propiedades:

1. Está de�nida para todo número real x.

2. Es impar. ¿Por qué?

3. Se puede escribir como la suma de las funcionesf y g de�nidas por

f(x) =ex

2y g(x) = �e

�x

2

4. Su grá�ca corta a ambos ejes en el punto de co-ordenadas (0; 0).

Así, la grá�ca de la función senhx se muestra acontinuación

52.502.55

7.5

5

2.5

0

2.5

5

7.5

x

y

x

y

Se demuestra que para cada número real t, el puntode coordenadas (cosh t; senht) pertenece a la hipér-bola cuya ecuación es x2 � y2: Esto muestra porqueel cali�cativo de hiperbólicas para las dos funcionesde�nidas anteriormente.

Existen otras funciones hiperbólicas llamadas: tan-gente hiperbólico, cotangente hiperbólico, secantehiperbólico y cosecante hiperbólico; las cuales se de-notan respectivamente por tagh; ctgh; sech y csch:Estas funciones se de�nen en término de las funcionescosh y senh como:

taghx =senhx

coshx=ex � e�xex + e�x

; x 2 R

ctghx =coshx

senhx=ex + e�x

ex � e�x ; x 6= 0

sechx =1

coshx=

2

ex + e�x; x 2 R

cschx =1

senhx=

2

ex � e�x ; x 6= 0

10.2 Función logarítmica

Sea f una función tal que

f : R �! R+ ^ f(x) = ax; a 2 R+ � f1g

Esta función f es inyectiva, en consecuencia, ftiene inversa.

La función inversa de f se de�ne como

f�1 : R+ �! R ^ f�1(x) = loga x;

y se llama función logarítmica de base a. De estemodo podemos decir que

y = loga x ! x = ay

se lee: "y es el logaritmo de x en la base a".

Siendo las grá�cas de las funciones f y f�1 simétri-cas con respecto a la recta cuya ecuación es y = x;podemos obtener la grá�ca de la función logarítmicaf �1, por re�exión respecto a la mencionada recta apartir de la grá�ca de la funión expeonencial f .

En la siguinete �guar se muestra la grá�ca de lafunción logarítmica f �1(x) = loga x; para 0 < a < 1

52.502.55

5

2.5

0

2.5

5

x

y

x

y

La grá�ca de la función logarítmica f �1(x) =loga x; para a > 1 esy = log x

52.502.55

7.5

5

2.5

0

2.5

5

7.5

x

y

x

y

La función logarítmica f �1(x) = loga x satisfacelas siguientes propiedades:

1. Su dominio es el conjunto de loes reales positivosy su rango es el conjunto de todos los númerosreales.

2. Su grá�ca no intersecta al eje Y e intersecta aleje X en el punto de coordenadas (1; 0):

3. El eje Y es una asíntota vbertical de la grá�cade f �1:

4. Si 0 < a < 1 la función es decreciente, esto es

(0 < a < 1 ^ x1 < x2) �! loga x1 > loga x2

5. Si a > 1 la función es creciente, esto es

(a > 1 ^ x1 < x2) �! loga x1 < loga x2

6. Es inyectiva en todo su dominio.

La función logarítmica satisface las siguientespropiedades algebraicas: Si x; y; a y b son realespositivos con a 6= 1 y b 6= 1; y r es un número realcualquiera, entonces

1. loga(xy) = loga x+ loga y

2. loga (xr) = r loga x

3. loga�xy

�= loga x� loga y

4. aloga x = x

5. loga x =logb xlogb a

6. loga (ax) = x; x 2 R

Las dos bases más usuales para el cálculo de log-aritmos son la base 10 y la base e. A los logarítmosde base 10 se les llaman logaritmos decimales o log-aritmos comunes, y a los logarítmos de base e se lesllama logaritmos naturalesales. Se utilizan los símbo-los log x y lnx como abreviatura de log10 x y loge x;respectivamente.

10.3 Aplicaciones

En muchos campos de aplicación se emplean mode-los matemáticos que implican a la función exponen-cial natural y a la función logarítmica. Alguno deestos modelos comprenden a lo que se conoce comocrecimiento exponencial o bien decrecimiento expo-nencial.Una función f de�nida de la forma

f(t) = Aekt; t � 0

donde A y k son constantes positivas se dice quetiene crecimiento exponencial. A continuación semuestra la grá�ca de esta función.

A

y

t

Una función de�nida por una ecuación de la forma

f(t) = Ae�kt; t � 0

donde A y k son constantes positivas se dice que tienedecrecimiento exponencial. A continuaciób se mues-

tra la forma que tiene la grá�ca de esta función.

A

y

t

Otro modelo matemático en que intervienen poten-cias de e se da en la función f de�nida por

f(t) = A(1� e�kt); t � 0

donde A y k son constantes positivas. Esta funciónde�ne el crecimiento limitado. Su grá�ca se muestraa continuación

A

t

y

El crecimiento limitado también se describemebiante una función f de�nida por

f(t) = A�Be�kt; t � 0

donde A; B y k son constantes positivas. La grá�carespectiva se muestra a continuación

A

AB

t

y

Considérese ahora el crecimiento de una poblaciónque es afectada por el ambiente que impone un límitesuperior sobre su tamaño. Un modelo que toma encuenta factores ambientales está dada por la funciónde�nida como

f(t) =A

1 +Be�Akt; t � 0

donde A; B y k son constantes positivas. A contin-uación se muestra la grá�ca de esta función

A____1+B

y

A

t

Ejercicios

1. Trazar la grá�ca de cada una de las siguientesfunciones y, hallar el dominio y el rango

(a) f(x) = 4� 2x+1

(b) f(x) = 2�jxj

(c) f(x) =�43

��x(d) f(x) = e�

x2

(e) f(x) = 2 + senhx

(f) f(x) = e�3xsen(2x)

(g) f(x) = e2x cosx

(h) f(x) = ln jxj(i) f(x) = 1� ln(�x)

2. Demostrar que las siguientes expresiones alge-braicas corresponden a las reglas de correspon-dencias de las inversas de las funciones hiperbóli-cas indicadas, en el dominio especi�cado. Trazarla grá�ca de cada función inversa.

(a) arccoshx = ln(x+px2 � 1); x � 1

(b) arcsenhx = ln(x+px2 + 1); x 2 R

3. Hallar el dominio de cada función

(a) f(x) =p3x2�25 ln x

(b) f(x) = logpln [log(x� 1)]

(c) f(x) = xln(x�2)

(d) f(x) = logqlog�1x2

�(e) f(x) = x

ln x�2

(f) f(x) = lnq

x�1x+5

4. Hallar el dominio y el rango de cada función

(a) f(x) = ln�

1x�3

�

(b) f(x) =qlnx� 9

ln x

(c) f(x) =q1� 1

ln x

(d) f(x) =p1� log(x+ 2)

(e) f(x) = �1 + ln(x+ 2)

5. Para cada una de las funciones dadas a contin-uación, determinar si es par, impar o ninguna.

(a) f(x) = ex2+1

(b) f(x) = lnpjx2 � 1j

(c) f(x) = log�1+x1�x

�(d) f(x) = log(x+

p1 + x2)

6. Resolver cada ecuación

(a) 32x+2 = 7299x+1

(b) 2x � 2�x = 2�x

(c) log8 x = �3(d) log2 16 = x

(e) ln(3� x)� ln(12� x) = �1(f) 2 ln(x� 2) = 4(g) (ex+2 � 1) ln(1� 2x) = 0(h) ln(x2 + x� 2) = lnx+ ln(x� 1)

7. El valor de una máquina t años después de sucompra es V (t) = Be�0;3t , donde B es una con-stante. La máquina se compro hace 8 años en170.000 Bs y se reemplazará cuando su valor sea10.000 Bs. (a) ¿Cuál es el valor actual de lamáquina?. (b) ¿Cuando se adquirirá una nuevamáquina?.

8. Si se detuviera de repente la contaminación dellago Erie, se ha determinado que el nivel de con-taminación decrecería de acuerdo con la fórmulaf(t) = Be�0;3821t, en la que t está en años y Bes el nivel de contaminantes cuando se dejo decontaminar. ¿Cuántos años tomará eliminar el50% de los contaminantes?.

9. Si f(t) gramos de una sustancia radiactiva es-tán presentes después de t segundos, entoncesf(t) = Be�0;3t, donde B es una constante. Si ini-cialmente hay 100 gramos de sustancia: (a) ¿Quécantidad habrá después de 5 segundos?. (b) ¿De-spués de que tiempo estarán presentes 88 gramosde sustancias radiactivas?.

10. En una cierta ciudad de población A, el 20% delos residentes escucharon un anuncio por radioacerca de un escándalo político local. Después det horas f(t) personas sabían el comentario, dondef(t) = A

1+Be�Akt. Si el 50% de la población

supo en escándalo en una hora, ¿cuánto tiempotranscurrió hasta que el 80% de la población seentero de la noticia?.

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