Funciones reales de variables real

Funciones Reales de

Variable Real

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemticas

Matemticasde

2 de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrtico de matemticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2004

Funciones Reales de

Variable Real

Javier Carroquino Caas

Matemticas de 2 de bachillerato

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnologa

Funciones Reales De

Variable RealPor

Javier Carroquino CaasCatedrtico de matemticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemticas

Ceuta 2004

Javier Carroquino CaasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemticas)Funciones Reales de Variable Real

Depsito Legal : CE&68&2004

ISBN : 84&6888&8199&6

Nmero de Registro : 6296704

Ceuta 2004

Prlogo

Es el concepto y el estudio de las funciones realesde variable real uno de los temas de matemticasque mayor aplicacin tiene en las ciencias aplicadas dediversa ndole, tales como Fsica, Tecnologa,Astronoma, Economa, etc, para conseguir alguno delos tradicionales objetivos que el ser humano intentaalcanzar, esto es, conocer, descubrir, predecir, etc.

Por eso, no debe sorprender al estudiante queenfoque sus estudios posteriores hacia alguna de lasdisciplinas mencionadas, que se encuentre, en muchoscasos, con un programa exhaustivo sobre este tema queiniciamos en estos apuntes enfocados para estudiantes debachillerato y que sern la antesala que habilita para unestudio ms profundo en temas y cursos superiores.

Aunque el concepto de funcin, en su origen, estrelacionado con aquellos fenmenos naturales en los quedos o ms variables estn sujetas a cambios que seinfluyen entre s, no es hasta el siglo XIX cuando PeterGustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) define elconcepto de funcin como una relacin entre dosvariables, definicin que se acepta hasta hoy da.

En este tema de iniciacin se desarrollan losconceptos tericos suficiente para introducir al alumnoen el mundo de las funciones en sus aspectos generalescon el fin de que adquiera unos conocimientos y unadestreza suficientes para asimilar con facilidad lo quesera posteriormente un estudio profundo sobreautnticas funciones que puedan aparecer en el desarrollode un verdadero problema real correspondiente a uno delos campos mencionados anteriormente, por ejemplo, eltecnolgico.

IMatemticas de 2 de bachillerato Funciones reales de variable real

ndice

Pgina

1.Funcin real de variable real ......................... 1Ejemplo 1 .......................................... 2Ejemplo 2 .......................................... 3Ejemplo 3 .......................................... 4

2.Grafo de una funcin real de variable real ............. 4Ejemplo 4 ........................................... 5

3.Dominio de una funcin real de variable real ........... 6Ejemplo 5 ........................................... 6Ejemplo 6 ........................................... 7Ejemplo 7 ........................................... 7Ejemplo 8 ........................................... 7

4.Imagen o recorrido de una funcin real de variable real.. 8Ejemplo 9 ........................................... 8Ejemplo 10 .......................................... 9Ejemplo 11 .......................................... 9

5.La funcin cero ........................................ 106.La funcin unidad ...................................... 107.La funcin identidad ................................... 118.Operaciones con funciones .............................. 11

8.1.Suma de funciones ............................... 11Ejemplo 12 .................................... 12

8.2.Propiedades de la suma de funciones ............ 128.2.1.Ley de composicin interna .............. 128.2.2.Asociativa .............................. 138.2.3.Conmutativa ............................. 13

Ejemplo 13 .............................. 138.2.4.Existencia de elemento neutro ........... 138.2.5.Existencia de elemento opuesto o simt... 14

Ejemplo 14 .............................. 148.3.El grupo conmutativo de las funciones .......... 148.4.Resta de funciones .............................. 15

Ejemplo 15 .................................... 158.5.Producto de funciones ........................... 15

Ejemplo 16 .................................... 168.6.Propiedades del producto de funciones ........... 17

8.6.1.Ley de composicin interna .............. 178.6.2.Asociativa .............................. 178.6.3.Conmutativa ............................. 178.6.4.Existencia de elemento neutro ........... 188.6.5.Existencia de elemento inverso .......... 18

Ejemplo 17 ............................... 188.7.Cociente de funciones .......................... 19

Ejemplo 18 .................................... 198.8.Potencia de exponente natural de una funcin ... 20

Ejemplo 19 .................................... 208.9.Potencia de exponente entero de una funcin .... 20

Ejemplo 20 .................................... 218.10.Raz de ndice n de una funcin ............... 21

Ejemplo 21 .................................... 21

IIMatemticas de 2 de bachillerato Funciones reales de variable real

Pgina

8.11.Potencia de exponente racional de una funcin... 21Ejemplo 22 ..................................... 22

8.12.Producto de un nmero real por una funcin ..... 22Ejemplo 23 ..................................... 22

8.13.Propiedades del producto de n real por funcin. 238.13.1.Ley de composicin externa .............. 238.13.2.Asociatividad respec.del produc. de nos.. 23

Ejemplo 24 ............................... 238.13.3.Asociat. respec.del produc.de func...... 23

Ejemplo 25 ............................... 238.13.4.Distributividad respec.de la suma de nos. 24

Ejemplo 26 ............................... 248.13.5.Distribut. respecto de la suma de func.. 24

Ejemplo 27 ............................... 258.14.El espacio vectorial de las funciones .......... 25

9.Composicin de dos funciones............................. 25Ejemplo 28 .......................................... 269.1.Propiedades de la composicin de funciones ...... 26

9.1.1.Asociativa ............................... 269.1.2.Elemento neutro .......................... 27Ejemplo 29 ..................................... 27

9.2.Dominio de la funcin composicin de dos func.... 27Ejemplo 30 ..................................... 28

10.Correspondencia inversa o recproca de una funcin...... 29Ejemplo 31 .......................................... 29Ejemplo 32 .......................................... 30Ejemplo 33 .......................................... 30Ejemplo 34 .......................................... 30Ejemplo 35 .......................................... 31Ejemplo 36 .......................................... 31Ejemplo 37 .......................................... 3210.1.Propiedades de una funcin y su recproca....... 32

Ejemplo 38 ..................................... 3311.Imgenes borrosas de valores borrosos .................. 33

Ejemplo 39 .......................................... 35Ejemplo 40 .......................................... 36Ejemplo 41 .......................................... 37Ejemplo 42 .......................................... 38Ejemplo 43 .......................................... 39Ejemplo 44 .......................................... 39Ejemplo 45 .......................................... 40Ejemplo 46 .......................................... 40

12.Formas explcita e implcita de la expresin de una funcin. 41Ejemplo 47 .......................................... 41Ejemplo 48 .......................................... 42

13.Clasificacin de las funciones ........................ 42Ejemplo 49 .......................................... 43

Matemticas de 2 de bachillerato Pgina 1 Funciones reales de variable real

fx f x y

siendo

f la funciones el conjunto inicial y final

x es la real es decir xy es la imagen de x mediante f y

:( )

., ,

" " ( )

R R Rvariable R

R

=

fx f x y

siendo

f la funciones el conjunto inicial y el final


:( )

., ,

" " ( )

A R A Rvariable A

R

=

CC omenzamos este tema dedicado a las funciones reales de variable real definiendoel concepto de funcin y los elementos ms importantes que las caracterizan.Continuaremos con las distintas operaciones que pueden realizarse con lasfunciones para posteriormente iniciarnos en algunos conceptos intuitivos que permitir en temassucesivos adquirir una destreza en la visin y representacin grfica de una funcin, dejando unaformalizacin ms terica para temas posteriores en los que se requerirn conceptos tales comolmites y derivadas. Finalizaremos con una clasificacin de las funciones.

1.Funcin real de variable real.-

3 Sea el conjunto de los nmeros reales.3 Una funcin real de variable real es una aplicacin del conjunto , o un subconjunto de

, en . Esto significa que a cada elemento x (de o de Ad) le corresponde otroelemento de .

3 La idea del punto anterior se expresa de la siguiente forma:

La expresin anterior nos indica que todos los nmeros x de o nicamente una partede los nmeros reales tienen imagen mediante la funcin f. Una funcin real de variable real tambin puede expresarse de la siguiente forma:

En este caso A es un subconjunto de ( Ad ) y la funcin f est definida en A, lo cualnos advierte de antemano que nicamente los nmeros x0A pueden tener imagenmediante f , esto es, nos garantiza que si x0 y xA, entonces f (x) no existe (o no estdefinido).Puede ocurrir que al definir una funcin deseemos expresar de una forma concreta losconjuntos inicial (de donde parte la funcin) y final (a donde llega la funcin), es decir,que tambin deseamos especificar por donde se mueven las imgenes de f . Veamos:

Funciones reales de variable real


fx f x y

siendo

f la funciones el conjunto inicial y el final


:( )

., ,

" " ( )

A B A Bvariable A

B

=

f

x f x xx

:

( )

R R =

2

1

( )

( ) ( )

La imagen de x es f la imagen de es



La imagen de es f

= = = =

= = = =

= = = =

= =

0 0 00 1

01

0 0 0

2 2 22 1

41

4 2 4

19

10

2 22

2 12

2 1

2

2

32

32

32

2

32

94

52

32

910

2

( ) " "

( ) " "

( ) " "

f x NO tiene imagen mediante f( )1 11 1

10

12

= = =R

En este caso la definicin nos indica, adems de que x0Ad, las imgenes de loselementos de A pertenecen al conjunto B, es decir, f (x) = y0Bd, esto es, fuera de Bno hay imgenes de elementos x.

Ejemplo 1.-

Definamos la funcin que transforma a cada nmero real en su cuadrado, dividido pors mismo menos uno:

Hallemos la imagen de algunos nmeros:

Nos hacemos la siguiente pregunta: Todos los nmeros reales tienen imagen mediante f ?Vamos a ver que x = 1 no la tiene:

En este ejemplo hemos definido una funcin de la forma y observado que no todosf :R Rlos elementos del conjunto inicial tienen imagen. Si queremos expresar la funcin indicando quetodos los nmeros del conjunto inicial tienen imagen, podemos expresarlo del siguiente modo:Sea el subconjunto de , . Definimos la funcin:{ }A R= 1


f

x f x xx

Notese que x A f x existe:

( ), ( ) .

A R =

21

[ ][ ]

[ ]

Llamamos

V Volumen de mercurio Identificamos Vx litros xf es la funcion que buscamosf x y peso recipiente peso mercurio

Definimos la funcion pedidaf

x f x x

= ==

= = +

= +

. ,

. ,.

( ):

: ,( )

0 6

0 6

0 61 5 13 6

R

para x l la funcion no esta definida aunque fpara x l la funcion no esta definida por ser x litros negativos

= = = =

8 8 110 32

, ( )

f kg( ) .2 4 1 5 13 6 2 4 34 14 = + =

f x y es una funcion generica nof x x es una funcion concreta

( ) ( ).( ) .

== +

determinada1 5 13 6

y f x siendox la iable independientey la iable dependiente su valor depende de xf es la funcion

=

( )varvar ( )

.

Ejemplo 2.-Imaginemos un recipiente preparado para contener y transportar mercurio que tiene una

capacidad de seis litros y cuyo peso vaco es de 15 kg. Sabemos que la densidad del mercurioes de 136 kg/dm3. Queremos definir la funcin que relaciona el peso total del recipiente segnla cantidad de mercurio que contenga.

Veamos:Considerando que 1 dm3 = 1 litro y que un litro de mercurio pesa 136 kilos:

Ntese en este ejemplo que la funcin est definida nicamente en los valores quepermite la capacidad del depsito, es decir:

Si queremos saber el peso del recipiente cuando contiene 24 litros:

3 En general, una funcin que tenemos determinada mediante la frmula que relaciona elvalor de x con su imagen y, se expresa abreviadamente mediante esa frmula, es decir:

3 En una funcin y = f (x), llamaremos:

3 A partir de ahora, emplearemos el trmino funcin para referirnos de un modoabreviado a funcin real de variable real.


f x g x h x t x etcF x G x H x I x etc

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; .... .( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; .... .

x g= = + =+ =+ = =24 24 24 2 3 2 6 2 6 2 63 2 2( )

[ ) [ )gx g x x

Notese que todo numero de tiene imagen: ,

( ), .

00

+ = +

+ R

{ }R R R R = ( , ) ,x y x y

{ }G x y f x yf = =( , ) ( )R R

Entoncesx y G si f x yx y G si f x y

f

f

:( , ) ( )( , ) ( )

=

3 En general a las funciones se las identifica utilizando letras minsculas del alfabeto,aunque en muchos casos se emplean las misma letras en maysculas, es decir:

Ejemplo 3.-Sea la funcin . Contestemos a las siguientes preguntas:g x x( )=+

Cul es la imagen de 24?

Encuentra algn nmero que no tenga imagen.Si x entonces g x x Los numeros negativos no tienen imagenPor ejemplo x no tiene imagen mediante g

< =+ =

01( ) . .

, .R

Definir la funcin de modo que todo elemento del conjunto inicial tenga imagen.

Hallemos la imagen de x = 53( )g 5 5 5 1 307660483 3 6= + =+ = .....

2.Grafo de una funcin real de variable real.-

Sea una funcin real de variable real.f R Rx f x y

:( )

=

Consideremos el producto cartesiano , es decir:

Recordemos que a los elementos de , es decir, a los (x,y) se les denomina paresordenados. Al elemento x se le llama primera componente del par y a y segundacomponente del par

Consideremos ahora el conjunto formado por todos los elementos de tales que lasegunda componente (y) sea la imagen de la primera (x), es decir, todos los paresordenados (x,y) tales que f (x) = y.Pues bien! A dicho conjunto se le denomina Grafo de la funcin f . Se expresa:

Aclaremos el punto anterior.

Supongamos un par ordenado cualquiera (x,y)0.


( ) ( )( )12

87

12

87

12

12

12

1 62

72

2 53

1 5 4 87

,

+

== + =

= = G h Debemos ver si esta igualdad es Verdad o Falsa

h La igualdad propuesta es Verdad

h

( ) ( )( )2 2

2 2 2 52 3

4 55

15

14

14

14, =

= + = =

G h Debemos ver si esta igualdad es Verdad o Falsa

h La igualdad propuesta es Falsa

h

( ) ( )( )54

54

54

54

54

54

52

522 5

35

5 512

12

, .b G h b Debemos hallar la imagen de y obtenemos b

h b

h == + =

= = =

( )( )a G h a La imagen de a debe ser

a G aa

Se trata de una ecuacion de incognita a

solvemos a a a a

h

h

, ( )

,

Re : ; ;

83

83

83

83

2 53

83

6 15 8 24 2 39 392

19 5

= + =

= + = = =

( )( )

= = + =

3 3 3

3 2 3 53 3

110

3 3

, ( ) .

( ) ( ) ,

y G h y Debe ocurrir que tenga imagen

h No existe imagen de y G

h

hR

Ejemplo 4.-

Sea la funcin . Contestemos a las siguientes preguntas:h x xx

( ) = +2 5

3a) Pertenece el par ordenado al grafo de la funcin h?( )12 87,

Veamos:

Por tanto: ( )12 87, Ghb) Pertenece el par ordenado al grafo de la funcin h?( )2 14,

Veamos:

Por tanto: ( ) ( )2 214 14, , R R pero Ghc) Qu valor debe tomar b para que ?( )54 ,b Gh

Veamos:

d) Halla el valor de a sabiendo que ( )a Gh, 83 Veamos:

Por tanto ( ) 392 83, Ghe) Algn par del grafo tiene como primera componente a &3?

Es decir: (&3 , y)0Gh ? Veamos:


Puede ocurrirque x tenga imagen es decir f x existe

oque x no tenga imagen es decir f x no existe

:( , ( ) )

( , ( ) )

{ } { }D x f(x) existe x f(x) f = = R R RDos formas de expresarlo.

x D f x existex D f x no existe

f

f

( )( )

232

52

72

2 12

0 1 2 3

232

52

72

2 12

0 1 2 3

; ; ; ; ...... ; ( ) ; ..... , , , ,.....

; ; ; ; ...... ; ( ) ; ..... , , , ,.....

k k

k k

+ = + =

{ } { }D x tg x existef = = =

R R

2

32

52

72

32 2 2 2 2

32

32

52

, , , ,......

...... ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .......

3.Dominio de una funcin real de variable real.-

Sea f : 6 una funcin real de variable real. Sea x un nmero real, es decir, x0

Es decir, habr nmeros reales que tengan imagen y nmeros que no tengan imagenmediante la funcin f (puede ocurrir que todos la tengan).

Pues bien! Al conjunto formado por todos los nmeros que tienen imagen se ledenomina Dominio de la funcin f. Se expresa de la forma: Df

Por tanto:

En definitiva:

Ejemplo 5.-Sea la funcin (tangente de x). Contestemos a algunas cuestiones:t x tg x( ) =

a) Pertenece al dominio de t el nmero real ? (ntese que x son radianes).x = 4Veamos: t tg tg Dt( ) 4 4 445 1= = = R

b) Pertenece al dominio de t el nmero real ?x = 2Veamos: t tg tg Dt( ) 2 2 290= = RRecurdese que no existe la tangente de 90.

c) Qu nmeros no tienen imagen mediante la funcin t ?Recordando la razones trigonomtricas de un ngulo, sabremos que los ngulos:

no tiene tangente.d) Determinar el dominio de la funcin t

Ya sabemos qu nmeros no tiene imagen. El resto s tienen y por tanto constituyen eldominio de la funcin t. Vamos a expresarlo de distintas formas:


{ }D x f x Conjunto de numeros con imagenf = =R R( ) &x tiene imagen f x x x ( ) R R2 85 2 85 0

2 85

0 52 8

55 0 2 8 0 2 8 8 0 8 2 8

12

212

8 4

x xx x x

x x Solucion de la inecuacion

+ +

; ; ; ;

; & .

{ } [ )D x R xf = = + 4 4,

x no tiene imagen g x g x x = =( ) ( )R 30 2 4 0

x x x Solucion ecuacionxx

2 2 1

2

4 0 4 4 22

2 = = = = = =

; ; .

{ } ( ) ( ) ( )Dg = = + R 2 2 2 2 2 2, , , ,

Obsrvese de que modo hemos expresado el conjunto todo excepto los nmeros queno tiene imagen

Ejemplo 6.-Sea la funcin . Queremos determinar su dominio.f x x( )=+ 2 85Veamos:

Ahora veremos que nmeros tienen imagen:

Es decir, tienen imagen los nmeros x tales que verifican la inecuacin 2 85 0x Resolvamos la inecuacin:

Por tanto: El dominio de f est formado por todos los nmeros reales mayores o iguales que 4.

Ejemplo 7.-Sea la funcin . Hallemos el dominio de g. g x

x( ) = 3 42

En este caso, en lugar de hallar los nmeros que tienen imagen, comenzaremos por hallarlos que no tienen. Es decir:

Por tanto: No tienen imagen los nmeros x tales que verifican la ecuacin x2 4 0 =Resolvamos la ecuacin:

El dominio estar formado por todos los nmeros reales excepto &2 y 2.

Ejemplo 8.-Sea la funcin . Hallemos el dominio de h.h x

x( ) = +3 42

En este caso observamos que x0, h(x)0 , por lo que Dh = = (&4 , 4)


{ }f g f y x que verifique f x y( ) Im ( ) ( )R R R= = =

y RSi x R f x y entonces y g fSi x R f x y entonces y g f

= / =

( ) Im ( )

( ) Im ( )

( )x y G x Df x y g ff

f,( ) Im ( )

=

g a b a b a b a b

b

( ) = = = + =

+5 4 5 4 45

es un numero supuestamente conocido

Buscamos a g a Es decir a buscamos aa a a a

= = = = + = =

R ( ) . ( ); ; ;

113

113

113

113

233

2315

5 45 4 5 4 5

Img R( ) ( , )g = = +

4.Imagen o recorrido de una funcin real de variable real.-

Sea f : 6 una funcin real de variable real.Al conjunto formado por todos los nmeros reales (del conjunto final) que son imagen

de algn elemento del conjunto inicial, se le denomina Conjunto imagen o recorrido de f. Seexpresa por Img(f) o tambin f () o f (A) (en este ltimo caso si el conjunto inicial es A).

Matemticamente se define:

Ntese que tanto el dominio como la imagen de una funcin son subconjuntos de .Resumiendo:

Ntese tambin lo siguiente:

Nota: Si b es la imagen de a, se dice que a es la antiimagen de b.

Ejemplo 9.-

Sea la funcin definida de la forma: Cul es su recorrido?g R R

x g x x:

( ) =

5 4Veamos:Imaginemos un nmero cualquiera b0. Nos preguntamos: a 0 * g(a) = b ?

Es decir,si consideramos un nmero cualquiera b, su antiimagen mediante la funcin g se obtienesumndole 4 y dividiendo por 5 "

Por ejemplo: De qu numero es la imagen 11/3 ? Veamos:

Es decir, , es decir, la antiimagen de 11/3 es 23/15.g( )2315 113=Conclusin: Todo nmero real y es imagen de algn x. Esto nos indica que la imagen

o recorrido de la funcin g es todo .


a a a a2 2 25 1 1 5 4 4+ = = = = ; ; ; R

a a a aa

a2 2 2 1

2

5 10 10 5 5 55

5+ = = = = ==

; ; ;

( ) ( )p p5 5 10= =

p a b a b a b a b( ) ; ; ;= + = = = 2 25 5 5

b b es decir bR 5 0 5, ,

x sen x x x arcsenSabemos que x rad arcsen x rad arcsen

x rad arcsen x rad arcsenx rad arcsen x rad arcsen

= == = = = = == = = = = == = = = = =

R R12 121 6

12 2 6

12

356

12 4

56

12

313

612 4

136

12

30 30150 150390 390

? ?: ;

; ;

Puede ocurrir que un mismo nmero b sea imagen de dos o mas nmeros (incluso deinfinitos). Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 10.-Sea la funcin . Contestemos a las siguientes cuestiones:p x x( )= +2 5

a) Qu nmero tiene por imagen a 1? Veamos:Buscamos un nmero a tal que p(a) = 1, es decir, a2 + 5 = 1 (ecuacin de 2 grado).Resolvamos la ecuacin:

Es decir, no existe ningn nmero a real tal que p(a) = 1, esto es, ningn nmero tienepor imagen a 1.

b) Qu nmero tiene por imagen a 10? Veamos:Buscamos un nmero a tal que p(a) = 10, es decir, a2 + 5 = 10 (ecuacin de 2 grado)Resolvamos la ecuacin:

Por tanto, hay dos nmeros que tiene por imagen a 10, , es decir:5 5y

c) Hallemos la imagen o recorrido de la funcin p.Para ello debemos averiguar que nmeros son imagen de alguien, es decir:

Esto significa lo siguiente: Si b es un nmero tal que b&5 $0 entonces hay dos nmeroscuyas imgenes son b. Esos nmeros son a b y a b1 25 5= = Por tanto, los nmeros que son imagen de otro u otros son:

De este modo: { } [ )Img( ) ,p y R y= = + 5 5Ejemplo 11.-

Sea la funcin y = sen x (funcin seno). Contestemos a algunas preguntas.a) Es y = 05 la imagen de algn x ? Veamos:

Observamos que existen infinitos nmeros cuyas imgenes son iguales a 05. Es decir,


x ky

x kcon k y sus opuestos

= +

= +

=

6

56

2

20 1 2 3( , , , ,....)

[ ] [ ] =

y existe un angulo arco xtal que sen x y

1 1 0 2, , ( ) ,

Ox O x

Es decir x es O x:

( ), ( )

R R R

=

=

00

( )O O O O O O( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 17 0127 3= = = = = =

{ }G x xO = ( , )0 R R R

Ux U x

Es decir x es U x:

( ), ( )

R RR

=

=

11

todos los nmeros:

b) Hallemos el dominio y el recorrido de la funcin y = sen x :Dando por hecho que conocemos la funcin y = sen x, sabemos que cualquier nmeroreal x (ngulo en radianes) tiene seno, es decir, existe sen x.Por tanto: Dominio = D = = (&4 , + 4)Sabemos que x 0 se verifica que &1 #sen x #1, es decir, el recorrido debe ser [&1,1]o estar contenido en ese intervalo.Ahora bien, debemos saber que (recordar el crculo trigonomtrico y la funcin seno) que

Por tanto: Imagen = Img = [&1 , 1]

c) Es y = 2 imagen de algn nmero?.Acabamos de ver que el conjunto imagen de la funcin y = sen x es [&1 , 1]. Como severifica que 2[&1 , 1], la respuesta es no.

5.La funcin cero.-

Se denomina funcin cero a aquella que transforma todo nmero real en el cero, es decir,la imagen de cualquier nmero x es igual a 0. La expresaremos por O(x). Por tanto:

Por ejemplo:

Segn lo visto, podemos poner que DO = e Img(O)={0}Adems, el grafo de la funcin estar formado por todos los pares ordenados tales que

la segunda componente es cero, es decir:

6.La funcin unidad.-

Se llama funcin unidad a aquella funcin que transforma todo nmero real en el uno,es decir, la imagen de cualquier nmero x es igual a 1. La expresaremos por U (x). Por tanto:


{ }G x xU = ( , )1 R R R

{ }G x xI = ( , ) R R

Ix I x x

Es decir x es I x x:

( ), ( )

R RR

=

=

( )f

x f xy

gx g x

son dos funciones

f gx f g x

de que f g x f x g x

:( )

:( )

:( )( )

( )( ) ( ) ( )

R R R R

R Rmodo

+

+

+ = +

Segn la definicin de funcin unidad, podemos poner que DU = e Img(U)={1}Adems, el grafo de esta funcin estar formada por todos los pares tales la segunda

componente sea 1, es decir:

7.La funcin identidad.-

Se llama funcin identidad a aquella funcin que transforma todo nmero real en smismo, es decir, la imagen de x es el propio x. La expresamos como I(x). Por tanto:

Por ejemplo: ( ) ( )I I I I I etc( ) ; ( ) ; ( ) ; ; ; .0 0 1 1 1 1 33 331123 1123 5 5= = = = =Como todo nmero x tiene imagen y es el propio x, podemos poner que DI = e Img(I) =

Dado que la imagen de un nmero coincide con su antiimagen (x = y), el grafo estarformado por todos los pares ordenados tales que la primera y segunda componentes son iguales.

8.Operaciones con funciones.-

Ya sabemos lo que es una funcin real de variable real y elementos que las caracterizan,tales como su grafo, dominio y recorrido o imagen. En este apartado veremos algunasoperaciones que se pueden realizar con funciones, tales como suma, resta, producto, cociente,producto de un nmero real por una funcin y composicin de dos funciones.

8.1 Suma de funciones.-3 Sean dos funciones reales de variable real.f R R y g R R: : 3 Definimos la suma f + g ( f ms g ) como la funcin que acta( )f g R R+ :

del siguiente modo:

E sdecir: La imagen de x mediante f + g es igual a la imagen de x mediante f ms la imagen de x mediante g

3 Obsrvese lo siguiente:En la definicin de suma de dos funciones aparece dos veces el smbolo % , pero debeentenderse que corresponden a dos operaciones totalmente distintas, es decir, mientrasla que aparece a la izquierda de la igualdad f + g es suma de funciones, la que


fx f x x x

gx g x x x x

:( )

:( )

R R R R = +

= +

5 2 2 12 23 54 3 23 2

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

f g R Rx f g x

tal que f g x f x g x

f g x f x g x x x x x x

x x x x x xf x g x

+ +

+ = +

+ = + = + + + =

= + + + + = + + +

:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

5 2 2 1

5 2 2 1 1

2 23

54

3 23

2

54

3 23

2 23

54

3 133

2 43

1 244 344 1 2444 3444

( )f g+ = + + + = + + + = + = + =( )2 54 23 133 22 43 2 1 10 523 83 1 11 603 11 20 31

{ }F = f f R R:

aparece a la derecha f (x) + g (x) es suma de nmeros reales.3 Puede apreciarse que la funcin suma de dos funciones f y g se construye sumando

las imgenes de f y g, es decir, f (x) y g (x).

Ejemplo 12.-Consideremos las siguientes funciones reales de variable real:

Vamos a construir la funcin suma de ambas, es decir, f + g :

Por tanto:

H a g a m o salgunas comprobaciones. Para ello consideremos un valor cualquiera, por ejemplo x = 2.T La imagen de x = 2 mediante f es : f ( )2 5 2 2 2 20 22 23 43 623= + = + =T La imagen de x = 2 mediante g es : g( )2 2 2 2 2 1 10 354

3 23

2 83

313= + = + =

T La imagen de x = 2 mediante f + g es:

Obsrvese que: { { ( ){6232

3132 2

62 313

933

31f g f g( ) ( ) ( )

+ = + = =+

8.2 Propiedades de la suma de funciones.-

Llamemos F al conjunto de todas las funciones reales de variable real, es decir:

Hemos definido la suma de funciones, es decir, la suma en el conjunto F. Ahora veremosque propiedades tiene esta operacin.

8.2.1. Ley de composicin interna.-La suma de dos funciones reales de variable real es otra funcin real de variable real.

( )f g x x x x+ = + + +( ) 54 3 133 2 43 1


( )[ ] ( ) [ ]( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

f g h x f g x h x f x g x h x f x g x h x

f x g h x f g h x f g h f g h c q dsuma de tres numeros

+ + = + + = + + = + + =

+ + = + + + + = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . . .

1 2444 3444

( ) ( )f g x f x g x g x f x g f x f g g f c q dsuma de dos numeros

+ = + = + = + + = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . .1 24 34

+ = + =

O f se verifica que f O O f f

Es la funcion cero

F F

&

( ) ( )f O x f x O x f x f x O f x f xPor f O O f f c q d

+ = + = + = + = + =+ = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . .

0 0tanto

Matemticamente se expresa del siguiente modo: f, g 0 F, se verifica que ( f + g ) 0 F

8.2.2. Asociativa.-La suma de funciones es asociativa, es decir:

f, g , h 0 F, se verifica que ( f + g ) + h = f + ( g + h)Demostracin:Debemos demostrar que [( f + g ) + h](x) = [f + ( g + h)](x) x que tenga imagen.Veamos:

8.2.3. Conmutativa.-La suma de funciones es conmutativa, es decir: f, g 0 F, se verifica que f + g = g + fDemostracin:Debemos demostrar que x que tenga imagen es ( f + g )(x)=( g + f )(x)Veamos:

Ejemplo 13.-Sean las funciones . Vamos comprobar laf x y g x xxx( ) ( )= = ++2 3 1 4

propiedad conmutativa.

( ) ( )f g x f x g x xx

x xx

xg x f x g f x+ = + = + + + = + + + = + = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 4 1 4 2 3

8.2.4. Existencia de elemento neutro.-Existe una funcin que es neutra para la suma de funciones, es decir, cualquier funcin

f sumada con ella es igual a f. Esa funcin es la funcin cero. Expresemos esta propiedadmatemticamente.

Demostracin:Debemos demostrar que x que tenga imagen es ( f + O )(x)=( O + f )(x) = f (x)Veamos:


+ =f f f f O funcion ceroF F, ( ) ( ) ( )

f R Rx f x

x f xEsta funcion transforma los numeros en:

( )( )

( )

=

f R Rx f x f x

x f xEsta funcion transforma los numeros en:

( ) ( )( )

( )[ ]Si x D f entonces f f x f x f x f x f x + = + = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 R

( ) ( ) = = = ++ + f x f x xx xx funcion opuesta de f( ) ( ) .3 35 47 5 47

( )x f

x f

= = + = =

= = + + = + =

4 4 3 5 4 44 733 16

111711

4 4 35 4 44 7

33 1611

1711

( )

( )

8.2.5. Existencia de elemento opuesto o simtrico.-Para cualquier funcin, existe otra funcin tal que sumando ambas el resultado es la

funcin cero. Si f es la funcin, la funcin que cumple la propiedad mencionada se expresa &f y se

denomina funcin opuesta o simtrica de f . Matemticamente se expresa del siguiente modo:

Dada una funcin f, veamos como se obtiene su opuesta:

Veamos como acta la funcin opuesta de f :

Es decir, la funcin f transforma al nmero x en el nmero f (x) y la funcin&f transforma al mismo nmero x en el nmero opuesto de f (x), es decir, & f (x).

Demostracin:Debemos demostrar que f + (&f ) = O (funcin cero). Veamos:

Es decir, la funcin f + (&f ) transforma todo nmero real (que tenga imagen) en el cero,es decir, f + (&f ) = O c.q.d.

Observacin: Si &f es la funcin opuesta o simtrica de f , tambin f es la opuesta de &f.

Ejemplo 14.-Dada la funcin , queremos hallar su opuesta o simtrica. Veamos:f x xx( ) = +3 5 47

Ntese que :

8.3.El grupo conmutativo de las funciones.-

L Hemos considerado el conjunto de las funciones reales de variable real, al que hemosllamado F.

L Hemos definido la operacin suma de funciones, es decir, suma en F.


{ }F ,+ Grupo conmutativo de las funciones

( ) [ ]

f R R

x f x

g R R

x g x

g R R

x g x

La funcion f g se construye

f g x f g x f x g x f x g x

:

( )

:

( )

:

( )( )

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= + = + =

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x xx

x

x

x x x

x

x x x

x

x

x

cuerdese que x x x

= =

++ = +

=

+

=

= +

( ) ( ) ( )

Re ( ) ( )

2

2 1

2

1

2 2 12 1

2 2 2

2 1

22 1

2 1 1 1

L Hemos visto las propiedades de la suma en F : Ley de composicin interna, asociativa,conmutativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento opuesto.

L Pues bien: El conjunto F con la operacin suma y las propiedades mencionadas, se diceque es una estructura de grupo abeliano o grupo conmutativo. Se expresa de forma:

8.4.Resta de funciones.-

e Sean f y g dos funciones reales de variable real.e Se define la resta f menos g y se expresa f & g como la suma de f con e l opuesto de g.

Matemticamente:

e Resumiendo: ( f &g )(x) = f (x) & g (x)

Ejemplo 15.-

Dadas las funciones , queremos hallar f & gf x xx

y g xxx

( ) ( )=

= ++2

2 1

21

Veamos:

Por tanto:

8.5.Producto de funciones.-

Sea f y g dos funciones reales de variable real. Se define el producto de la funcin f por la funcin g, expresndose de forma f g como

aquella funcin que transforma cada nmero x (que tenga imagen) en su transformado

( )( )f g xx

x =

22 1


( )( ) ( )

f

x f xy

g

x g xdos funciones

f g

x f g xsiendo f g x f x g x

:

( )

:

( ).

:

( )( ) ( ) ( )

R R R R

R R

=

{ }g x x Por x D Dg g( ) . ; = = = R tanto R2 0 0 0

( )f g x f x g xsiendo

producto de funcionesproducto de numeros

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ):

( ): .( ): .

1 2

12

( ) ( ) ( )( )( )( )

f g x f x g xxx

xx

x x

x xx x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

= = + + =

++ =

+ +

=

= +

+= +

+

( ) ( ) ( )4 25 1

2 12

4 2 2 1

5 1 24 3 2 2 4 2

10 2 2

2 2 3 2 2 1

2 5 22 3 2 2 1

5 2

( )x

f

g

f g

= = == =

= =

++

+ +

2

2

2

2

4 2 25 2 1

611

2 12 2

54

2 2 2 2 2 15 2 2

1522

2

3 2

2

( )

( )

( )

mediante f por su transformado mediante g. Es decir:

Ntese que en la ltima expresin aparecen dos productos. Debe quedar claro que:

Ejemplo 16.-

Sean las funciones .f xxx

y g xx

x( ) ( )= + =

+4 25 1

2 12

Hallemos la funcin producto f g :

Por tanto:

Hallemos la imagen de x =2 mediante f , g y f g :

Obsrvese que ( ) { {f g f g = = = = =( ) ( ) ( ) ;2 2 2

1522

611

54

6 511 4

3 511 2

1522

1522

611

54

1 24 34

Hallemos el dominio de cada una de las funciones f , g y f g :

( )f g x x x xx x

= + +

( )2 3 2 2 1

5 2


( )[ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ]

( ) ( )

f g h x f g x h x f x g x h x f x g x h x

f x g x h x f x g h x f g h x c q d

f g h f g h

producto de tres numeros

= = = =

= = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . .

:

1 244 344

Por tanto

( ) ( )f g x f x g x g x f x g f x c q df g g f

oducto de numeros

= = =

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . .Pr1 24 34

Por tanto

{ }( )

{ } ( )

f x Por x= D D

f g x x x solvamos esta ecuacion

x x x xx es una solucion

si x x x

Por to D

f f

f g

( ) ;

( ) ; Re & :

;&

; ;

tan : , ( , ) , ( , )( )

=

+ =

+ = = =

= =

= = +

R 5x +1 = 0. tanto R

R

R

15

15

5 0

5 0 50

0 5 1 15

0 0 0

2

2 2

15

15

15

8.6. Propiedades del producto de funciones.-

Hemos visto una nueva operacin que podemos hacer con los elementos del conjunto F,es decir, con las funciones, la operacin producto. Ahora veremos qu propiedades tiene estaoperacin.

8.6.1. Ley de composicin interna.-El producto de dos funciones reales de variable real es otra funcin real de variable real.

Matemticamente se expresa: f, g 0 F , se verifica que (f g) 0 F

8.6.2. Asociativa.-El producto de funciones es asociativo, es decir:

f, g, h 0 F , se verifica que [(f g) h] = [f (g h )]Demostracin:Debemos demostrar que [(f g) h](x) = [f (g h )](x) x que tenga imagen.

Veamos:

OBSERVACIN: En la demostracin anterior puede apreciarse que se mezclan lasoperaciones producto de funciones y producto de nmeros,debindose distinguir en cada momento cada una de ellas. Es decir:f g = producto de funciones. f (x) g(x) = producto de nmeros.

8.6.3. Conmutativa.-El producto de funciones es conmutativo, es decir: f, g 0 F , es f g = g fDemostracin:Debemos demostrar que (f g)(x) = (g f )(x) x que tenga imagen.


( ) ( )( ) ( )

f U x f x U x f x f x f x U x f x U f xes decir f U x U f x f x f U U f f c q d

= = = = = = = = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . . .

1 1

f

x f xes una funcion

f

x f xf x

es la inversa de f:

( ).

:

( )( )

.R R

R R

=

1

1 1

( )f f x f x f x f x f x f xf x f f Usiempre que f x

= = = = =

1 1 11 1

0

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

8.6.4. Existencia de elemento neutro.-Existe una funcin que es neutra para el producto, es decir, cualquier funcin f

multiplicada por ella, da como resultado f. Esa funcin es la funcin unidad U.Matemticamente:

U0 F * f 0 F se verifica que f U = U f = fDemostracin:Debemos demostrar que (f U) (x) = (U f )(x) = f (x) x0Df

8.6.5. Existencia de elemento inverso.-Para toda funcin (excepto para la funcin cero) existe otra funcin tal que multiplicadas

ambas el resultado es la funcin unidad. Si f es la funcin dada, la funcin que aseguramos que existe la expresaremos f &1 y se

denomina funcin inversa de f . Es decir: f 0 F , f &1 0 F * f f &1 = f &1 f = U

Veamos como se obtiene la funcin inversa de una funcin f :

Ntese que la imagen de x mediante la funcin f &1 es igual al cociente entre 1 y la

imagen de x mediante f, es decir, , lo cual nos indica que si f(x) = 0 entoncesf xf x

=1 1( )( )

f &1 (x) no existe.

Demostracin:Debemos demostrar que x0Df con f (x)0 es (f f &1)(x) = U (x) =1

Ejemplo 17.-Sea la funcin definida de la forma . Contestemos a los siguientesf x x( ) = +6 8

apartados:a) Determina el dominio de f.b) Halla la funcin inversa de f.c) Halla el dominio de la inversa de f.d) Comprueba que el producto de ambas funciones es la funcin unidad en todo

excepto en los nmeros x en que f (x) = 0Veamos:


6 8 0 8 66

834

0 75+ = = = = = x x x

( ) ( )( )

f f x f x f x xx

xx

x R x

Notese que si x es f f

= = + + =++ =

= = + + =

1 1 34

34

1 34

343

4

6 8 16 8

6 86 8

1

6 86 8

00

( ) ( ) ( )

( ) R

fg

f g fg

En forma abreviada fg

x f xg x

f xg x

f x g x

= =

= = =

1

1

1

1: ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

fg

x f xg x

x x xx x

x x xx x

x xx

xx

= = =

+ + =

+ +

++

( ) ( )( )

3 5 56

2 1

2 3 2

2

2 3 5 5 2 16

6 7 5 56

a) Est claro que x0, f (x) = 6 + 8 x es tambin un nmero real. Por tanto, Df = b) La funcin inversa de f es : f x f x x

+= =1 1 16 8( ) ( )

c) Observamos que un nmero x no tiene imagen mediante f &1 si 6+8 x = 0. Es decir:

Por tanto: { } ( ) ( )Df = = + 1 0 75 0 75 0 75R , ,d)

8.7.Cociente de funciones.-

Sean dos funciones reales de variable real f y g.

Se define el cociente o divisin f partido por g y se expresa como el productofg

de la funcin f por la inversa de la funcin g , es decir:

Ejemplo 18.-

Sean las funciones . Hallemos f x x xx

y g x xx

( ) ( )= + = +3 5 5

6 2 1

2fg

Veamos:

Por tanto: fg

x x x xx x

=

+ +( )

6 7 5 56

3 2

2


fx f x y una funcion esdecir f y n

f f f f f

f R R

x f x yAclaremos esta

f x f f f f x f x f x f x f x

n

n veces

n

n n

n

n veces n veces

:( )

& ,

:

( )& :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

R RN

expresion

=

=

=

= = =

F

F1 244 344

1 244 344 1 24444 34444 [ ]f x yn n( ) =

( ) ( )( ) ( ) ( )

f x f f x f x f x x x x x x

f x f f f x f f x f x f x x x x

x x x

2 2 2

3 2 2 2

3 2

2 3 2 3 2 3 4 12 9

4 12 9 2 3

8 36 18 27

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = = = = += = = = + =

=

8.8.Potencia de exponente natural de una funcin.-

Sea f una funcin y n un nmero natural, es decir, f 0 F y n 0 .Se define la potencia f elevado a n como el producto de la funcin f por s misma

n veces. Se expresa f n . Matemticamente::

Por tanto, la funcin f n transforma el nmero real x en el nmero f (x) elevado a n.

Ejemplo 19.-Sea la funcin . Hallemos las funciones f 2 y f 3. f x x( ) = 2 3

Por tanto: f x x xf x x x x

2 2

3 3 2

4 12 98 36 18 27

( )( )

= +=

Por conveniencia, definimos que:

8.9.Potencia de exponente entero de una funcin.-

Imaginemos ahora que el exponente de la funcin f es un nmero entero negativo, esdecir, n 0 y tenemos f &n . En este caso se define la potencia del siguiente modo:

f U es decir f x y U x funcion unidadf x f x y

0 0 0

1

1= = = == =, , ( ) ( )

( ) ( )


ff

es decir f xf

xf x

nn

nn n

= = =

1 1 1, , ( ) ( )( )

[ ] ( )g x g x g x g x xx

xx

xx x

= = = =

= = +2

2 2 2

2

2 2

4

4

2

1 1 1 15

15 10 25

( ) ( )( ) ( )

( )f R R

x f x yfuncion

f R R

x f x f x y

n

n n n

:( )

:

( ) ( ) =

= =

( ) ( )r R R

x r x h x h x x x x

Por to r x x

:

( ) ( ) ( )

tan : ( )

= = = = =

=3 3 63 2

33 2

2

27 3 3

3

Ejemplo 20.-

Sea la funcin . Hallemos la funcin g&2g x xx

( ) = 52

Por tanto:

8.10.Raz de ndice n de una funcin.-

Sea f una funcin y n un nmero natural, es decir, f 0 F y n 0.Definimos la funcin raz n-sima de f y se expresa , de la siguiente forma:fn

Ntese que la imagen de x mediante es la raz n-sima de la imagen de x mediante ffn

Ejemplo 21.-Sea la funcin . Hallemos la funcin h x x( ) = 27 6 r h= 3

8.11.Potencia de exponente racional de una funcin.-

Sea f una funcin y un nmero racional, es decir, f 0F y 0Q.nk nkDefinimos la funcin f elevado a y se expresa por , de la siguiente forma:nk f

nk

g x xx x

= +2

4

2 10 25( )


( )

=

R R R

fse define la funcion

fx f x f xF

:( ) ( )

( )f f es decir f x f x f xnk nknk nk nk= = =( ) ( ) ( )

( )g x f x f x x x x x xPor g x x

( ) ( ) ( )

( )

= = = = = = ==

23 23 23 2 23 23 23 63 23 23

23

8 8 8 2 4

4tanto

( ) ( )3 3 3 6 2 5 3 18 6 15 93 2 3 2f x f x x x x x x x( ) ( )= = + = +f ( )2 6 2 2 2 5 2 3 333 2= + =

( ) ( )f x

f xObservamos que f x f x

( )( )

( ) ( )==

= = =33

3 993 3 3 33 99

Ejemplo 22.-

Sea la funcin . Hallemos la funcin f x x( ) = 8 g f= 23

Por ejemplo: x g= = = = =1 1 4 1 4 1 4 1 423 3( ) ( )

8.12.Producto de un nmero real por una funcin.-

Sea un nmero real y f una funcin real de variable real. Definimos el producto del nmero real por la funcin f y lo expresamos de la forma

f o simplemente f como la funcin que transforma a cualquier nmero x (deldominio de f ) en el producto de por f (x). Es decir:

La funcin f se llama funcin producto de por f o simplemente por f Ntese que en la expresin f tenemos el producto de un nmero por una funcin,mientra que la expresin f (x) es el producto de dos nmeros.

Ejemplo 23.-Sea la funcin y el nmero = 3.f x x x x( ) = +6 2 5 33 2Vamos a construir la funcin f :

Hallemos la imagen de x =2 mediante f :

Hallemos la imagen de x =2 mediante 3f : ( )3 2 18 2 6 2 15 2 9 993 2f ( ) = + =Comprobemos que ( )3 3f x f x( ) ( )=


R y f se verifica que fF F

( ) ( ) =

f f

es producto de numeroses producto de numero por funcion

( ) &( ) & &

( ) ( ) ( ) ( )

12

1 2 2 2

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]2 5 10 10 10 3 2 30 20

2 5 2 5 2 5 2 5 3 2 2 15 10 20 20

2 5 2 5 30 20

= = = = = = = = =

= =

f x f x f x x x

f x f x f x x x x

Notese que f x f x x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

& . ( ) ( )

( ) ( ) = R y f g se verifia que f g f g, F

8.13. Propiedades del producto de nmero real por funcin.-

El producto de un nmero real por una funcin tiene las siguientes propiedades:

8.13.1. Ley de composicin externa.-El producto de un nmero real por una funcin da como resultado una funcin. Es

decir:

8.13.2. Asociatividad respecto del producto de nmeros.-( ) ( ) = , R y f se verifica que f fF F

Ntense las operaciones que aparecen en la ltima igualdad:

Ejemplo 24.-Sea la funcin . Hallemos las funciones (25) f y 2 (5 f ) :f x x( ) = 3 2

8.13.3. Asociatividad respecto del producto de funciones.-

Demostracin:

( )[ ] ( ) [ ] ( ) ( )[ ] f g x f g x f x g x f x g x f x g x f g xproducto de numeros

= = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 244 344

Es decir: c.q.d.( ) ( ) f g f g = Ejemplo 25.-

Sean las funciones y el nmero = 4f x x y g xx

( ) ( )= =2 1 1

L Hallemos la funcin : f g ( ) ( )f g x f x g x xx

xx

= = = ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1


( )[ ] ( )4 4 4 2 1 8 4f g x f g x xx xx = = = ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )4 4 8 4 1 8 4f g x f x g x x x xx = = = ( ) ( ) ( )

+ = + , ( )R

fse verifica que f f f

F

[ ] ( )( ) ( ) ( ) + = + f x f f x x que tenga imagen[ ]

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) (

+ = + = + = + =

= + = + = +

f x f x f x f x f x f x

f x f x f x f x fproducto de numeros suma de numeros suma de numeros

producto y suma de numeros productodenumero por funciony suma de numeros

1 244 344 1 2444 3444 1 2444 3444

1 2444 3444 1 2444 3444 f x)( )

( )[ ] ( ) ( )g x f x f x f x x x( ) ( ) ( ) ( )= + = = = = 5 3 8 8 8 5 4 40 32

( )

+ = + R f g

se verifica que f g f g, F

L Hallemos la funcin : ( )4 f g

L Hallemos la funcin : 4 f ( ) ( )4 4 4 2 1 8 4f x f x x x( ) ( )= = = L Hallemos la funcin :( )4 f g

Ntese que : ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )4 4 4 4f g x f g x f g f g = = ( ) ( )8.13.4. Distributividad respecto de la suma de nmeros.-

Demostracin:Debemos demostrar que

Veamos:

Ejemplo 26.-Dados los nmeros 5 y 3 y la funcin f (x) = 5&4x , construir la funcin g = (5+3) f

Veamos:

Por tanto: g x x( ) = 40 32

8.13.5. Distributividad respecto de la suma de funciones.-

Demostracin:Debemos demostrar que:


[ ] [ ]( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . . .

f g x f g x f x g x f x g x

f x g x f g x c q dproducto de numeros suma y producto de numeros

+ = + = + = + =

= + = +1 244 344 1 244 344

( )( )

32

32

32

32

3 2 32 1

9 62

32 1

1 9 6 32 1

9 6 9 6 32 1

3 9 3 62 2

2 2

2 2 3 3 2

2

f g x f x g x xx

xx

xx

xx

x x x xx x

x x x xx x

x x xx x

+ = + = + +

=

+ + =

= + + + = + +

+ =+ +

+

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )g f R R

x g f xsiendo g f x g f x

oo o

:( )

( ) ( )

=

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )f g x f g x x que tiene imagen+ = + Veamos:

Ejemplo 27.-Dadas las funciones , construir la funcin f x y g xxx x x( ) ( )= = +3 2 1 2 ( )32 f g+

Veamos:

Por tanto: [ ]32 3 2 23 9 3 62 2( ) ( )f g x x x xx x+ = + + +8.14. El espacio vectorial de las funciones.-

El conjunto de las funciones reales de variable real (F) con las operaciones suma defunciones y producto de un nmero real por una funcin y las propiedades vistas, se diceque una estructura de Espacio Vectorial sobre . Se expresa de la forma: {F , + , }

9. Composicin de dos funciones.-Sean f y g dos funciones reales de variable real, es decir: R R R Rf gy Definimos la funcin composicin f y g y se expresa de la forma g B f como la funcin queacta de la siguiente forma:

Es decir:3 Tenemos un nmero x 03 Sobre ese nmero x acta la funcin f y obtenemos su imagen mediante f, f (x) = y03 Sobre esta imagen f (x) = y acta la funcin g y obtenemos z : g (f (x)) = g (y) = z 03 En realidad, g B f es una funcin que transforma el nmero x en el nmero z.3 Por tanto (g B f )(x) = zEsquemticamente puede expresarse del siguiente modo:


R Rx f x x x

yR Rx g x x

f g = +

=

( ) ( )3 2 52 2

( ) ( ) ( )g f x g f x g y y x x x x xHemos llamado y f x x x

o ( ) ( ) ( )

( )

= = = = + = + +

= = +

2 2 2 4 3 2

2

5 3 2 5 9 12 4 5

3 2

( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

h g f x h g f x h g y h g y h z t

h g f x h g f x h g f x h g y h z t

o o o oo o o

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= = = = == = = = =

El objetivo es encontrar la expresin de la funcin g B f , es decir, la expresin quepasa directamente de x a z. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 28.-Sean las funciones f y g definidas de la siguiente forma:

Vamos a determinar la funcin composicin f y g, es decir, g B f . Veamos:

Por tanto:

Hagamos alguna comprobacin. Supongamos que deseamos hallar la imagen de x = 3 mediantela funcin g B f , es decir, queremos hallar (g B f )(3) .Podemos actuar de dos formas:Una forma: ( ) ( )g f g f go ( ) ( ) ( )3 3 33 33 5 1089 5 10842= = = = = Otra forma: ( )g fo ( )3 9 34 12 33 4 32 5 729 324 36 5 1084= + + = + + =Ntese que en se ha utilizado un paso intermedio, es decir, se ha obtenido la imagen de 3mediante f, que es 33, y posteriormente se ha obtenido la imagen de 33 mediante g. En se haobtenido la imagen de 3 directamente con la funcin g B f .Es evidente que ( ) ( )g f g fo ( ) ( )3 3 1084= =

9.1. Propiedades de la composicin de funciones.-La composicin de funciones tiene las siguientes propiedades:

9.1.1. Asociativa.- Si f, g y h son tres funciones, se verifica que (fBg)Bh = fB(gBh)Demostracin:

Es decir, [(fBg)Bh](x) = [fB(gBh)](x) x 0 que tenga imagen.

( )g f x x x xo ( ) = + + 9 12 4 54 3 2


( )( ) ( )

f I x f I x f x f I fI f x I f x f x I f fo oo o

( ) ( ( )) ( )

( ) ( ) ( )

= = == = =

R Rx f x x x

yR Rx g x x

f g = +

=

( ) ( )3 2 52 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

f g x f g x f y y y x x

x x x x x x x x

o ( ) ( ) ( )= = = + = + == + + = + + = +

3 2 3 5 2 5

3 10 25 2 10 3 30 75 2 10 3 28 65

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2

9.1.2. Elemento neutro.-La funcin identidad es neutra para la composicin de funciones, es decir:

f 0 F se verifica que f BI = IBf = f Por tanto, al componer una funcin cualquiera con la funcin identidad, obtenemos esa

funcin.Demostracin:

Quede claro que la composicin de funciones no es conmutativa, es decir, en general:Si f y g son dos funciones, ocurre que f Bg gBf

Para demostrar esto es suficiente con un ejemplo en el que se compruebe la noconmutatividad. Veamos:

Ejemplo 29.-Sean las funciones f y g definidas en el ejemplo 28:

En dicho ejemplo obtuvimos la funcin g B f . Ahora obtendremos la funcin f B g(composicin de g y f ). Veamos:

Por tanto:

Puede observarse que son dos funciones distintas.

9.2. Dominio de la funcin composicin de dos funciones.-Supongamos dos funciones f y g tales que sus dominios sean Df y Dg. Consideremos la composicin de f y g, es decir, gBf. Nos preguntamos: Cmo ser el dominio de la funcin gBf ?

Veamos:

( )( )g f x x x x

f g x x x

oo

( )

( )

= + + = +

9 12 4 5

3 28 65

4 3 2

4 2


R Consideremos un x0Df , es decir, existe f (x) y llamamos f (x) = yi Puede ocurrir que y 0Dg. En este caso existe g(y) = z y por tanto tambin existe

g (f (x)) = (gBf )(x). Esto significa que x0DgBf i Puede ocurrir que y Dg. En este caso no existe g(y) y por tanto tampoco puede

existir (gBf )(x). En definitiva, x DgBf R Consideremos un xDf , es decir, no existe f (x) y por tanto no puede existir g(f (x)), o

sea, no existe (gBf )(x). Esto significa que x DgBf .

Conclusin:

La siguiente figura ilustra de un modo grfico lo expresado anteriormente, es decir, comoel dominio de gBf est formado por los nmeros reales que pertenecen al dominio de f y cuyasimgenes (mediante f ) pertenecen al dominio de g :

Ejemplo 30.- Sean las funciones . Queremos determinarf x x y g x L x( ) ( ) ( )= + + = 5 2

el dominio de la funcin gBf.Veamos:

El dominio de la funcin f es: { } { } [ )D x f(x) x R xf = = = + R R 5 5,Esto nos indica que , es decir, D Dg f fo [ )Df + 5,

Para que un pertenezca tambin a DgBf , debe ocurrir que su[ )x Df + =5,imagen f x x Dg( ) = + + 5

Veamos el dominio de g : { } { } ( )D y R y y R yg = > = > = + 2 0 2 2, Segn el apartado anterior, f (x) = y pertenece al dominio de la funcin g si ocurre que

, es decir, si ocurre que , esto es, x >&1.( )f x x y( ) ,= + + = + 5 2 x + >5 4Conclusin: El dominio de la funcin gBf est formado por el conjunto de todos los nmeros

reales tales que pertenecen al dominio de f y adems sus imgenes f (x)pertenecen al dominio de g.

{ }D x x D y f x Dg f f go = R ( )


{ } ( )D x R x D y f x Dg f f go = = + ( ) ,110. Correspondencia inversa o recproca de una funcin.-

Si A y B son dos conjuntos (pueden ser de nmeros u otro tipo de objetos), unacorrespondencia de A en B es una relacin que se establece entre los elementos del conjunto Ay del conjunto B, de tal modo que a cada elemento de A le hacemos corresponder algnelemento de B (entindase que puede ser ninguno, uno, dos, tres, ....). Las correspondencias entreconjuntos se suelen expresar con letras tales como f , g, h, etc. En la expresin correspondenciade A en B, al conjunto A se le llama conjunto inicial y al conjunto B se le llama conjunto final.Veamos un ejemplo:

Ejemplo 31.- Consideremos un conjunto A formado por cinco estudiantes y un conjunto B formado por

cuatro asignaturas :A={lvaro, elena, ins, olga, ugo } y B={ciencias, dibujo, lengua, mates}Establecemos la correspondencia de A en B que hace corresponder a cada estudiante

las asignaturas que ha suspendido:

En este caso observamos que lvaro no ha suspendido ninguna asignatura (no lecorresponde ningn elemento de B), elena ha suspendido una asignatura (le corresponde lengua),a ins le corresponden dos elementos de B, etc.

Una correspondencia de A en B se dice que es una aplicacin si a cada uno deelementos de A (conjunto inicial) le corresponde un slo elemento de B (conjunto final).

Segn la definicin de aplicacin, podemos decir que la correspondencia del ejemplo 31no es una aplicacin de A en B, puesto que no a todos los elementos de A les corresponde algnelemento de B (por ejemplo a lvaro) y hay elementos de A a los que les corresponde ms de unelemento de B (por ejemplo a olga).

Una funcin real de variable real f es una correspondencia de en , ya que hacecorresponder nmeros reales con nmeros reales. Ahora bien, si consideramos como conjuntoinicial el dominio de f ( Df ), entonces tenemos que a cada elemento de Df le corresponde unnico elemento de , por lo que una funcin f es una aplicacin de su dominio ( Df ) en .

Veamos un ejemplo de una correspondencia entre dos conjuntos que tambin es unaaplicacin entre ellos:


A B correspondencia del conjunto A en B

B A correspondencia del conjunto B en A

f

f

1

A B a A a es f a ff aplic. inyectiva , , ( ) ( )

Ejemplo 32.- Consideremos ahora la siguiente correspondencia entre los mismos conjuntos tratados

en el ejemplo 31:

Ejemplo 33.-

Sea la funcin f

x f x x:

( )R R = +

2 5Se trata de una correspondencia de en que tambin es aplicacin, ya que todo nmero

real tiene imagen ( x 0, x2 + 5 existe ) y adems esa imagen es nica.

Ejemplo 34.-

La funcin es una correspondencia de en que no esf

x f x x

:

( )

R R = +

1aplicacin, ya que los nmeros menores que 1 no tienen imagen (no les corresponde ningnnmero). Ahora bien, si consideramos como conjunto inicial el dominio de la funcin, es decir,Df = [1 , 4) tendremos una aplicacin :[ ) [ )f

x f x xes una aplicacion de en

: ,

( ),

1

11

= +

R R

En una aplicacin f de A en B, si a0A se corresponde con b0B, decimos que b es laimagen de a mediante la aplicacin f. Se expresa f (a) = b.

Una aplicacin entre dos conjuntos A y B se dice que es inyectiva cuando todos loselementos del conjunto inicial A tiene imgenes distintas. Dicho de otra forma: dos elementosde A, que sean distintos, tienen imgenes distintas. Es decir:

Supongamos que ahora en una correspondencia f de A en B intercambiamos losconjuntos inicial y final manteniendo la correspondencia entre sus elementos, es decir, cadaelemento de B que era correspondiente de alguno o algunos elementos de A, se siguecorrespondiendo con esos elementos, pero siendo ahora origen mientras los de A son finales. Aesta correspondencia se le denomina correspondencia recproca o inversa de f y se expresa f&1.

Es decir:

En este caso la correspondenciade A en B es tambin unaaplicacin ya que a cada elementode A le corresponde un sloelemento de B


f x y f y x Buscamos y = =1( ) ( )

Si a0A se corresponde con b0B mediante la correspondencia f, entonces b0B secorresponde con a0B mediante la correspondencia f &1.

Las correspondencias f y f &1 son mutuamente recprocas o inversas.Si f es una correspondencia no aplicacin, puede ocurrir que f &1 sea correspondencia

y aplicacin. Tambin puede ocurrir que f sea aplicacin y f &1 no lo sea.

Ejemplo 35.- Construyamos la correspondencia recproca de la expresada en el ejemplo 32.

Podemos apreciar que esta correspondencia, recprocade la del ejemplo 32, no es una aplicacin ya que hayun elemento del conjunto inicial (dibujo) que no secorresponde con nadie del conjunto final. Adems, hayelementos del conjunto inicial que se correspondencon dos elementos del conjunto final.Tenemos as el caso de una correspondenciaaplicacin cuya recproca no es aplicacin.

Hemos dicho que una funcin real de variable real es una aplicacin de su dominio D(conjunto inicial) en (conjunto final). Su recproca ser una correspondencia de en D quepodr ser o no una aplicacin. Veamos como se halla la correspondencia recproca de unafuncin:

Sea f

x f x y una funcion Buscamosf

x f x y

:( ) .

:

( )

R R R R =

=

1

1

f x y f y x

f

= =

1

1

( ) ( )

Buscamos la expresion que determina a la funcionEl desarrollo de esta ltima expresin nos permitir determinar la correspondencia f &1

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 36.-

Sea la funcin f

x f x x:

( )R R = +

2 5

Buscamos Es decir, buscamos f &1 = frmula.f

x f x

=

1

1

:

( ) ?

R R

Veamos:

Observa que esta funcin transforma cadanmero real en su doble ms cinco.


f y y y x y x yx

( ) ; ; ;= + + = = = 2 5 2 5 2 5 52

x f f transforma en

x f f transforma en

= = + = + == = = =

8 8 2 8 5 16 6 21 8 21

21 2121 5

2162

8 21 81 1

( )

( )

f x y Buscamos y formula

f x y f y x

y x

y x

= = =

==

1

1

2

( ) ( )

( ) ( )

Por tanto: es la funcin recproca de la funcin ,f x x( ) = +2 5es decir, la recproca transforma cada nmero x en lamitad de x&5.

Hagamos alguna comprobacin:

Es decir: f f( ) ( )8 21 21 81= =Ntese en este caso que tanto f como f &1 son funciones, puesto que son aplicaciones de en .

Ejemplo 37.-Sea la funcin . Hallemos la correspondencia recproca (o inversa) de f yf x x( ) = 2

comprobemos si se trata o no de una funcin:

Es decir: Esta es la correspondencia recproca de f x x( ) = 2Ntese que es una correspondencia que hace correspondera cada nmero real x0[0 , +4) dos nmeros, su raz positivay su raz negativa. No es una funcin, ya que un nmero no

puede tener dos imgenes.

Por ejemplo: x f ff f= = = = =

5 5 5 25 25 2555

2 11( ) ( )

10.1. Propiedades de una funcin y su recproca.-

Sea f una funcin y f &1 su recproca. Recordemos que I es la funcin identidad.Se verifica lo siguiente:

a) f Bf &1 = I b) f &1 B f = I En efecto, vamos a demostrarlo:

f xx = 1 5

2( )

f x x = 1( )


a) Sea x0 (que tenga imagen). Llamemos f &1(x) = yRecordemos que f x y f y x = =1( ) ( )Apliquemos la funcin composicin f Bf &1 a x : (f Bf &1 )(x) = f (f &1(x)) = f (y) = xEs decir, la funcin f Bf &1 transforma cada nmero x en x.Por tanto: f Bf &1 = I c.q.d.

b) De manera anloga demostramos este apartado:Llamaremos f (x) = yRecordemos que f x y f y x( ) ( )= =1Apliquemos la funcin composicin f &1 B f a x : (f &1 B f )(x) = f &1 ( f (x)) = f &1 (y) = x

Es decir, la funcin f &1 B f transforma cada nmero x en x.Por tanto: f &1 B f = I c.q.d.

Ejemplo 38.-Sea la funcin . Contestemos a las siguientes cuestiones:g x x( ) = 43 52a) Hallar la recproca de g. Es una funcin?b) Hallar la imagen de x = 6 mediante g, es decir, g(6)c) Hallar la imagen de g(6) mediante g&1, es decir, g&1(g(6)).d) Comprobar que g&1(g(6)) = 6

Veamos:a) Buscamos g&1(x) = y , es decir, g&1(x) = frmula.

g x y g y x Buscamos y

g y y

y x y x y yx x

+ +

= ==

= = + = =

1

43

52

43

52

43

52

43

2 52

6 158

( ) ( )

( )

; ; ;Por tanto:

Es la recproca de la funcin g. Puedeobservarse que se trata de una funcin,ya que todo nmero real tiene una solaimagen.

b) g( )6 6 8 5 54352

52

16 52

112= = = = =

c) g g g = = + = + = =1 1 1121126

6 158

33 158

488

6( ( )) ( )

d) Observamos que ( )g g g = =1 1 1126 6( ( ))

11. Imgenes borrosas de valores borrosos.-

En matemticas, la expresin x = 3 se refiere a que la variable x toma un valor concreto,el 3, esto es, est perfectamente determinada. Ahora bien, podemos referirnos a x como unnmero muy prximo o infinitamente prximo a 3, es decir, no nos referimos a un valor concreto

g xx = +1 6 15

8( )


y determinado, sino a un nmero o nmeros que estn infinitamente prximos a 3, esto es, unvalor ambiguo no concreto. Por tanto, podemos expresar la idea:

x = n infinitamente prximo a 3Este concepto est dentro de lo que en matemticas se llama borroso puesto que seran

valores factibles para x, por ejemplo, los siguientes:x = 3001 ; x = 30001 ; x = 30000025 ; x = 300000000094 ; ....... etc. (1)

o tambin:x = 2999 ; x = 299999 ; x = 299999999045 ; x = 29999999999999 ; ..... etc. (2)

entendiendo que el trmino nmero muy o infinito prximo a 3" es un trmino subjetivo puestoque si comparamos entre los nmeros x = 2999 y x = 299999999999, no cabe duda de queel segundo est mucho ms prximo a 3 que el primero.

Obsrvese que en la lista (1) los nmeros estn muy prximos a 3 pero un poco mayoresque 3, es decir, estn a la derecha de 3". Los nmeros de la lista (2) son menores que 3 y sedice que estn a la izquierda de 3".

Expresaremos estos conceptos de la siguiente forma:

Expresa la idea de nmeros muy o infinitamente prximos a 3 por su derecha, esdecir, un poco mayores que 3.

Expresa la idea de nmeros muy o infinitamente prximos a 3 por su izquierda, esdecir, un poco menores que 3.

Grficamente se representara en la recta real del siguiente modo:

En general, si a es un nmero real, consideraremos que:

Expresa la idea de nmeros muy o infinitamente prximos a a por su derecha.

Expresa la idea de nmeros muy o infinitamente prximos a a por su izquierda.

Del mismo modo que hemos expresado la idea de nmero infinitamente prximo a otro,podemos expresar la idea de nmero infinitamente grande positivo y nmero infinitamentegrande negativo. Debe comprenderse que ambas ideas estn dentro de lo que hemosdenominado conceptos borrosos. Dichas ideas las expresaremos del siguiente modo:

Expresa la idea de nmeros muy grandes o infinitamente grandes positivos.Estaran dentro de esta idea, por ejemplo: 1025 ; 2108 ; e39 ; 99.896.175.047 ; etc.Debe entenderse que considerar a estos nmeros infinitamente grandes positivoses subjetivo (por eso el concepto de valor borroso).Expresa la idea de nmeros muy grandes o infinitamente grandes negativos.Ejemplo se estos nmeros: &1025 ; &2108 ; &e39 ; &99.896.175.047 ; etc. Debe

x = 3+

x = 3 &

x = a+

x = a&

x = %4

x = &4


entenderse que considerara estos nmeros infinitamente grandes positivos essubjetivo (por eso el concepto de valor borroso).

Tambin podemos expresar la idea de que una sucesin de nmeros se aproxima cada vezms a otro nmero fijo por su derecha o por su izquierda. Veamos:

Expresa la idea de que x no es un valor fijo, sino una sucesin de infinitos nmerosque se aproximan cada vez ms al nmero a por la derecha de este. Estaaproximacin es tanta como podamos imaginar, sin llegar a ser x = a.

Expresa la idea de que x no es un valor fijo, sino una sucesin de infinitos nmerosque se aproximan cada vez ms al nmero a por la izquierda de este (son menoresque a). Esta aproximacin es tanta como podamos imaginar, sin llegar a ser x = a.

Del mismo modo:Expresa la idea de que x son los nmeros de una sucesin que cada vez se acercams a %4, siendo esta aproximacin tanta como podamos imaginar.

Expresa la idea de que x son los nmeros de una sucesin que cada vez se acercams a &4, siendo esta aproximacin tanta como podamos imaginar.

Ejemplo 39.-Una sucesin de nmeros que concuerde con la idea x 6 25% podra ser:

{ 251 , 2501 , 25001 , 250001 , 2500001 , 25000001 , ....... } 6 25%

Una sucesin de nmeros que concuerde con la idea x 6 25& podra ser: { 249 , 2499 , 24999 , 249999 , 2499999 , 24999999 , ....... } 6 25&

Una sucesin de nmeros que concuerde con la idea x 6%4 podra ser:

{ 54 , 504 , 5004 , 50004 , 500004 , 5000004 , 50000004 , 500000004 , ....... } 6 %4Ntese que en esta sucesin siempre habr un elemento mayor que cualquier nmero quenosotros podamos imaginar, por muy grande que este sea.

Una sucesin de nmeros que concuerde con la idea x 6&4 podra ser:{ x = &10 n * n0 } 6&4

Ntese que es una forma abreviada de expresar la sucesin:{-1 , -10 , -100 , -1000 , -10000 , -100000 , -1000000 , ...... } 6&4

Si f (x) es una funcin real de variable real y consideramos para la variable x valoresborrosos, es decir, valores no concretos, tendremos que las imgenes de esos valores o no existeo sern borrosos. Veamos:

Significa que para valores de x infinitamente prximos a a por su derecha, lasimgenes de esos valores son infinitamente grandes positivas. Cuanto mscerca est x de a, mayor es la imagen y tan grande como podamos imaginar.

Significa que para valores de x infinitamente prximos a a por su derecha, lasimgenes de esos valores son infinitamente grandes negativas. Cuanto mscerca est x de a, mayor es la imagen y tan grande (negativa) como podamos

x 6 a%

x 6 a&

x 6 %4

x 6 &4

f (a%) = %4

f (a%) = &4


{ } ( ) ( )Df = = + R 0 0 0, ,

imaginar. Significa que para valores de x infinitamente prximos a a por su izquierda,las imgenes de esos valores son infinitamente grandes positivas. Cuanto mscerca est x de a, mayor es la imagen y tan grande como podamos imaginar. Significa que para valores de x infinitamente prximos a a por su izquierda,las imgenes de esos valores son infinitamente grandes negativas. Cuanto mscerca est x de a, mayor es la imagen y tan grande negativa como imaginemos

Significa que para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imgenesson infinitamente grandes positivas. Cuanto mayor sea x, mayor es su imagen,la cual puede ser tan grande como queramos. Significa que para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imgenesson infinitamente grandes negativas. Cuanto mayor sea x, menor es suimagen, la cual puede ser tan grande negativa como imaginamos.

Significa que para valores de x infinitamente prximos a a por su derecha, lasimgenes estn infinitamente prximas a b por su derecha. Cuanto msprximo est x de a, ms lo estar su imagen de b. Esta aproximacin es tantacomo podamos imaginar, sin llegar a ser f (a+) = b.

Significa que para valores de x infinitamente grandes positivos, las imgenesestn infinitamente prximas a b por su derecha. Cuanto ms se aproxime xa %4, ms se aproxima f (x) a b. Esta aproximacin es tanta como podamosimaginar. Significa que para valores de x infinitamente grandes negativos, lasimgenes estn infinitamente prximas a b por su izquierda. Cuanto ms seaproxime x a &4, ms se aproxima f (x) a b. Esta aproximacin es tanta comopodamos imaginar.

De forma similar podemos interpretar las siguientes expresiones:f (a+) = b& ; f (a&) = b+ ; f (a&) = b& ; f (&4) = +4 ; f (&4) = &4 ; f(%4) = b& ; f(&4) = b+

Ejemplo 40.-Sea la funcin . Observamos que el dominio es todo excepto 0, es decir:f x

x( ) = 5

Esto significa que para x = 0 no existe imagen, es decir: f ( )0 50= RNos hacemos la siguiente pregunta:

Para x = 0 no existe la funcin, pero qu ocurre en las proximidades de x = 0?, es decir,qu ocurre cuando x = 0+ y x = 0&?

Contestemos a esta pregunta:x f

x f

= = = +

= = =

+ ++

0 05

0

0 05

0

( )

( )

Es decir: Para x = 0 no existe imagen, pero para valores de x infinitamente prximos a 0 por suderecha las imgenes se hacen infinitamente grandes positivas y para valores de x infinitamenteprximas a 0 por su izquierda, las imgenes de hacen infinitamente grandes negativas.

f (a&) = %4

f (a&) = &4

f (%4) = &4

f (%4) = %4

f (a+) = b+

f (%4) = b+

f (&4) = b&


( )( )( )

( )

x

x f

x f

x f

etc

x

x f

x f

=

= = =

= = =

= = =

=

= = =

=

+

0

0 1 0 15

0 150

0 01 0 015

0 01500

0 001 0 0015

0 0015000

0

0 1 0 150 1

50

0 01 0

.

( )( )

015

0 01500

0 001 0 0015

0 0015000

= =

= = =

x f

etc.

x f

x f

= + + = == = =

++

( )

( )

5

5

0

0

Hagamos algunas comprobaciones con calculadora:

Observa que si queremos que una imagen sea mayor (o menor) que un nmero que imaginemos,solo tenemos que tomar un valor para x que est suficientemente prximo a 0.

Veamos ahora qu le ocurre a la funcin si tomamos valores para x infinitamente grandes:

Hagamos algunas comprobaciones con la calculadora:

x

x f

x f

x fetc

x

x f

x f

x f= +

= = = = = = = = =

= = = = = = = =

100 100 0 05

1000 1000 0 005

10000 10000 0 0005

100 100 0 05

1000 1000 0 005

10000 10000

5100

51000

510000

5100

51000

( )

( )

( )

( )

( )

( ) = =

510000 0 0005

etc

Podemos observar que una imagen f (x) puede aproximarse a 0 tanto como podamos imaginar.

Ejemplo 41.-

Sea la funcin . Observamos que g(4) no existe, es decir, 4Dgg x x( ) =24

Cmo se comporta la funcin en las proximidades de x = 4?

Veamos:x g

negativopositivo

x gnegativonegativo

= = = = =

= = = = = +

+ ++ +

4 42

4 42

0

4 42

4 42

0

( )

( )

Cmo se comporta la funcin g(x) en el infinito?

Es decir, si la variable x toma valores infinitamente grandespositivos, las imgenes estn infinitamente prximas a 0 por suderecha y si toma valores infinitamente grandes negativos, lasimgenes estn infinitamente prximas a 0 por si izquierda.

Si x est infinitamenteprximo a 4 por su derecha,l a s i m g e n e s s o ninfinitamente grandesnegativas y si x lo est ......


x g

x g

x g

x g

= = = =

= = =

=

= = = =

= = =

=

4 0001 4 00012

4 0001 42

0 000120000

3 9999 3 99992

3 9999 42

0 000120000

10004 100042

10004 42

100000 0002

9996 99962

9996 42

100000 0002

( )

( )

( ).

( ).

( ) ( )( ) ( )

x hnegativopositivo

x hnegativopositivo

= = +

= = = =

= = +

= = = =

+ ++

+

+

+

++

++

3 33

3 3

3

0

30

3 33

3 3

3

0

30

2 2

2 2

( )

( )

Veamos:

x g

x g

= + + = + =+ =

= = = =

+

( )

( )

24

20

24

20


Ejemplo 42.-Sea la funcin . Aprciese como ( )h x

xx

( ) = + 3 2 ( )h( ) =

+ = 3 3

3 33

02R

Vemos que &3 no tiene imagen. Veamos qu ocurre en las proximidades de &3.

Veamos que ocurre cuando x toma valores infinitamente grandes.

( )

( ) ( )

x hpositivopositivo

x hnegativopositivo

= + + = ++ + =++ = =

= = + = =

+ = =

+

( )

( )

30

30

2 2

2 2 2


( ) ( )( )

x h

x h

= = + = =

=

= = + = = =

3 0001 3 00013 0001

3 0001 3

3 0001

0 0001

3 00010 00000001

300010000

997 997997

997 3997

1000997

10000000 000997

2 2

2 2

( )

( )

Cuando x toma valores infinitamente grandespositivos, las imgenes estn infinitamente prximas a0 por su izquierda y si x toma valores infinitamentegrandes negativos, las imgenes estn infinitamenteprximas a 0 por su derecha.

En estas comprobacionespuede apreciarse lacoherencia de losresultados con la ideaexpresada sobre elcomportamiento de lafuncin. Aprciese comoc u a n t o m s n o sacercamos a 4, msgrande (positiva onegativa) es la imagen.

En este caso se verificaque cuando x toma valoresinfinitamente prximos a&3, por su derecha o porsu izquierda, lasi m g e n e s s o ninfinitamente grandesnegativas.

Ntese que en ambos casosel numerador y eldenominador son infinitos,pero el denominador esinfinitamente mayor que elnumerador, por lo que elcociente es cero.


( ) ( )f xx

x xx xx x

podemos simplificar siempre y cuando xxx

( )( )

( ) ( )( )

( )= =+ = =

+

2 255 1

5 55 1

551

( )f ( ) ( )55 25

5 5 5 100

2

= = R

f xxx

si x

no existe si x( ) =

+

=

51

5

5

x f no sabemos si o

x f no sabemos si o

= = + =

= = + =

+ +++

++

+

+

5 55 55 1

104

2 5 2 5 2 5

5 55 55 1

104

2 5 2 5 2 5

( ) ( )

( ) ( )

x f

x f

= = + = =

= = + = =

+

5 001 5 0015 001 55 001 1

10 0014 001

2 499625094 2 5

4 999 4 9994 999 54 999 1

9 9993 999

2 500375094 2 5

( ) ( )

( ) ( )

x f= + + = + ++ + =+( )

21

1

Ejemplo 43.-

Sea la funcin . Observamos que x = 5 no tiene imagen, ya que:( )f xx

x x( )

( )=

2 255 1

Veamos lo que ocurre en las proximidades de x = 5:

Es decir, la funcin f (x) puede definirse del siguiente modo:

Veamos qu ocurre cuando x = 5+ y cuando x = 5& :

Hagamos alguna comprobacin con calculadora:

NOTA Es posible en este ejemplo determinar a simple vista que f (5+)=25& y f (5&)=25+ con un poco de habilidad.

Ejemplo 44-Sea la funcin . Queremos saber:f x

xx

( ) = ++21

a) Cmo se comporta la funcin cuando x se hace infinitamente grade positivo?b) Cmo se comporta la funcin cuando x se hace infinitamente grade negativo?

Veamos:a) Cuando x es un nmero infinitamente grande positivo, el numerador x + 2 y el

denominador x +1 son dos nmeros aproximadamente iguales (cuanto mayor seax, ms iguales sern x + 2 y x + 1). No obstante, el numerador ser un pocomayor que el denominador. Considerando este razonamiento:

En cualquier caso,para valores de xi n f i n i t a m e n t eprximos a 5 porsu derecha oizquierda, lasimgenes estni n f i n i t a m e n t eprximas a 25.


x f

x f

= = =

= = =

1000 100010021001

1 000999

10000 100001000210001

1 0000999

( ) .....

( ) .....

x f

x f

= = =

= = =

1000 1000998999

0 99899899

10001 1000199991000

0 9999

( ) .....

( )

( )( )

x g e

x g ee

= + + = = = + = = = = = + =

+ +

+ +

+

( ) ....

( )....

2 718281821 1

2 71828182

10

x f= = + + =( )

21

1

Es decir, para valores de x infinitamente grandes positivos, las imgenes son nmerosque estn infinitamente prximos a 1, pero un poco mayores que 1".

Comprobemos:

b) Cuando x es un nmero infinitamente grande negativo, el numerador x + 2 y eldenominador x + 1 son dos nmeros negativos aproximadamente iguales (cuantomayor sea x, ms iguales sern x + 2 y x + 1). No obstante, el numerador serun poco mayor que el denominador (el numerador est a la derecha deldenominador). Considerando este razonamiento (teniendo en cuenta que es uncociente entre nmeros negativos):

Es decir, para valores de x infinitamente grandes negativos, las imgenes sonnmeros que estn infinitamente prximos a 1, pero un poco menores que 1".Comprobemos:

Ejemplo 45-Sea la funcin . Queremos saber su comportamiento para valores de xg x ex( ) =

infinitamente grandes positivos y negativos.Veamos:

Por tanto: Para valores de x infinitamente grandes positivos, las imgenes soninfinitamente grandes positivas y para valores de x infinitamente grandesnegativos, las imgenes son nmeros infinitamente prximos a cero, peropositivos.

Ejemplo 46-

Sea la funcin . Cmo se comporta cuando x = +4 y x= &4?h x ex

x

( ) =


x he= + + = + =

+ =

++ = +

+ +( )

( ....)2 71828182

x he

ee= = = = = = = =

+

+( )1

21 1 1 1

0

x he

x he

con calculadora= = =

= = =

100 100100

2 688117142 10

100 100100

3 720075976 10

10041

10046

( )

( )

y x

y xx y

= += + + =

53

12

6 10 310 6 3 0

forma explicita

forma implicita

Veamos:

Aclaremos este caso: Tanto el numerador como el denominador son infinitamentegrandes positivos, pero el infinito del numerador es infinitamentemayor que el del denominador. Esto hace que el cociente sea %4.

Cuando x toma valores infinitamente grandes negativos, las imgenes estn infinitamenteprximas a 0 por su izquierda.

Hagamos alguna comprobacin:

Debe entenderse que e

Funciones reales de variables real

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