FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES · 2021. 4. 14. · FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES...

UNIDAD 1

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Libro de referencia principal:

Cálculo de varias variables(7ma Edición)

Autor:

James Stewart

Plataforma virtual del curso: https://calculo2-unsl-1c2019.weebly.com

CLASE 1 :UNSL - 1o Cuatrimestre 2021 ()CÁLCULO II / ANÁLISIS MATEM. II CLASE 1 : 1 / 15

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALESINTRODUCCIÓN

En CÁLCULO I / ANÁLISIS MATEMÁTICO I se han estudiado lasfunciones reales (esto es, que toman valores en R) que tienen sólo unavariable independiente (también real).

Sin embargo, es fácil observar que, en nuestro mundo, no son pocos losproblemas que requieren tener en cuenta dos o más variablesindependientes. (A continuación, consideraremos algunos ejemplos...)

En esta clase se introducen las funciones reales con dos o másvariables independientes (también reales).

UNSL - 1o Cuatrimestre 2021 ()CÁLCULO II / ANÁLISIS MATEM. II CLASE 1 : 2 / 15


Supongamos, por ejemplo, que deseamoscalcular el volumen V de un cilindrocircular recto.

Dicho volumen depende de dos dimensiones independientes entre sí:

el radio rla altura h

En efecto, tenemos la conocida fórmula: V = πr2h

Por lo tanto, podemos considerar a V como una función f de las dosvariables r y h, o bien, del par (r , h), y escribir:

V = f (r , h)



Como segundo ejemplo, consideremos la temperatura T de lospuntos de nuestro planeta que se encuentran al nivel del mar, en uninstante dado (�jo).

El valor de T en cierto punto P depende de su �ubicación�, la cual quedadeterminada al especi�car dos números reales independientes entre sí:

la longitud x de P

la latitud y de P

De este modo, podemos pensar a T como una función f de las dosvariables x e y , o bien, del par (x , y), y escribir:

T = f (x , y)



Supongamos ahora que, en el mismo instante dado, puede ocurrirque los puntos cuya temperatura deseamos conocer no seencuentren al nivel del mar.

Entonces, para obtener el valor de T en cierto punto P resulta necesarioespeci�car un tercer número real independiente de los dos antesmencionados:

la altitud z de P

Con esto en mente, podemos ver a T como una función f de tres variablesy escribir:

T = f (x , y , z)



Por último, imaginemos que resulta también de interés latemperatura de dichos puntos en diferentes momentos.

En este caso, se incorpora a nuestro problema una nueva variable:

el instante t en que se realiza la medición (de la temperatura)

Luego, podríamos decir que T es una función f de cuatro variables yescribir:

T = f (x , y , z , t)


FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALESFUNCIONES DE DOS VARIABLES: De�niciones básicas

De�niciónUna función (real) f de dos variables (reales) es una regla que asigna acada par ordenado (x , y) en cierto subconjunto D de R2 un único númeroreal que se denota por f (x , y).

El conjunto D se llama dominio de f .El número f (x , y) se llama valor de f en (x , y) o imagen de (x , y)bajo f .El conjunto de todos los valores que toma f (simbólicamente:ff (x , y) j (x , y) 2 Dg) se llama rango o contradominio de f .A veces se escribe z = f (x , y) para �explicitar� el valor que toma fen el punto (x , y). En este caso:

z es llamada variable dependientex e y son las variables independientesse dice que �z (o f ) es una función de x e y�.


FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALESFUNCIONES DE DOS VARIABLES: Representación algebraica

Una función de dos variables se puede representar de varias maneras...

Mediante una fórmula explícita (o implícita).

EJEMPLO 1 a) (p. 878): f (x , y) =px+y+1x�1

�o bien, z =

px+y+1x�1

�En este caso, para obtener el valor de f en un punto dado, simplementereemplazamos en la fórmula dada. Por ejemplo:

f (3, 2) =p3+2+13�1 =

p62 .

En esta forma de representación, cuando no se especi�ca dominio alguno,se entiende que éste consiste de todos los pares (x , y) en R2 para loscuales dicha fórmula tiene sentido en R. En nuestro ejemplo:

D = f(x , y) j x + y + 1 � 0, x 6= 1g


FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALESFUNCIONES DE DOS VARIABLES: Representación numérica

Por medio de una tabla de valores.

EJEMPLO 2 (p. 879): La siguiente tabla muestra el índice de sensacióntérmica S como una función de la temperatura real T y de la rapidez delviento v . De este modo, podemos escribir S = f (T , v). En particular, porejemplo, f (�5, 50) = �15 y se interpretará que cuando la temperaturareal es de 5�C y el viento se desplaza a 50 km/h, subjetivamente sesentirá tanto frío como si la temperatura fuera de -15�C sin viento.


FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALESFUNCIONES DE DOS VARIABLES: Representación "visual"

Mediante un diagrama de �echas, una grá�ca o curvas de nivel.

En un diagrama de �echas el dominio se representa por puntos en elplano xy , y el contradominio, por puntos en la recta real, la cual se suelemostrar como un tercer eje (z) al costado de dicho plano.

Por ejemplo, si f (x , y) representa latemperatura en un punto (x , y) de unaplaca metálica plana con la forma de D[ver �gura], podemos considerar al eje zcomo un termómetro que muestra elregistro de temperatura de ciertos puntos.

NOTA: Esta representación resulta más adecuada cuando el dominio de fes un conjunto �nito o cuando sólo interesa visualizar su comportamientoen unos �pocos�puntos.



La grá�ca de f es la representación, en un sistema de coordenadasrectangulares tridimensional, de todos los puntos (x , y , z) tales que (x , y)pertenece al dominio de f y z = f (x , y).

Dicha grá�ca es, en general, una super�cie Sde ecuación z = f (x , y) [ver �gura].

Leer EJEMPLO 5 y EJEMPLO 6 (p. 881).



Las curvas de nivel de f son las grá�cas en el plano xy de las ecuacionesde la forma f (x , y) = k, donde k es una constante en el contradominio def .

Un ejemplo común de la utilización de curvas de nivel se encuentra en losmapas topográ�cos de regiones montañosas [ver �guras a continuación].



Observaciones:

Cuando un punto (x , y) en el dominio de f �se mueve� sobre unamisma curva de nivel, los valores f (x , y) de la función no cambian,(por lo tanto, tampoco cambia la �altura�o el �nivel�correspondiente a estos puntos en la grá�ca de f )

La curva de nivel con ecuación f (x , y) = k no es otra cosa que latraza de la grá�ca de f en el plano horizontal z = k, proyectada en elplano xy .

Dibujando varias curvas de nivel (en el plano xy) y trasladando oimaginando cada una de ellas a la altura indicada por la constantecorrespondiente, nos podemos formar una imagen mental de la grá�cade la función f (x , y). Para ello, generalmente resulta convenientetomar valores equidistantes de k.


FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALESFUNCIONES DE TRES VARIABLES INDEPENDIENTES

La teoría desarrollada en esta sección se generaliza de maneracompletamente análoga para funciones de tres o más variables. Sinembargo, debemos tener en cuenta algunas consideraciones:

Si f es una función de tres variables, digamos x , y y z , las grá�cas(tridimensionales) de las ecuaciones de la forma f (x , y , z) = k con ken el contradominio de f , se llaman super�cies de nivel de f . LeerEJEMPLO 15, p. 887.

No se puede esbozar una �grá�ca� (en el sentido antes de�nido) defunciones de tres o más variables (ya que nuestro espacio estridimensional y esto implicaría �dibujar� en cuatro dimensiones omás).


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