FUNCIONES ELEMENTALES

• LA PARÁBOLA.

• FUNCIONES CUADRÁTICAS.

• FUNCIONES A TROZOS CON RECTA Y

PARÁBOLAS.

• HIPÉRBOLAS.

• FUNCIONES RADICALES.

• FUNCIONES EXPONENCIALES.

• FUNCIONES LOGARITMICAS.

2.- LA PARÁBOLA

La función y = x2

x y

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

-1 1

-2 4

-3 9

-4 16

-5 25

CARACTERÍSTICAS DE LAS PARÁBOLAS

•Un vértice.

–Máximo o mínimo.

•Dos ramas.

–Una creciente y otra decreciente.

•Eje de simetría.

•Función continua.

•D = R

Gráfica de y = 2x2

x

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

yy

0

2

8

18

32

50

2

8

18

32

50

Gráfica de y = x21

2x

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

yy

0

0.5

2

4.5

8

12.5

0.5

2

4.5

8

12.5

x

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

Gráfica de y = -x2

yy

0

-1

-4

-9

-16

-25

-1

-4

-9

-16

-25

x

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

Gráfica de y = -2x2

y

0

-2

-8

-18

-32

-50

-2

-8

-18

-32

-50

y

Gráfica de y = x21

2

x

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

yy

0

-0.5

-2

-4.5

-8

-12.5

-0.5

-2

-4.5

-8

-12.5

Gráfica de y = x2 - 2x

x

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

yy

0

-1

0

3

8

15

3

8

15

24

35

Gráfica de y = x2 + 2x+31

2

x

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

yy

3

4,5

5

4,5

3

0,5

0,5

-3

-7,5

-13

-19,5

LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

•Cuanto mayor es |a| más estrecha es la parábola.

•Una parábola tiene mínimo y es abierta hacia arriba si el

coeficiente a es positivo mientras que si a es negativo la

parábola tiene un máximo y es abierta hacia abajo.

•Las funciones cuadráticas tienen un máximo o un mínimosituado en el vértice de la parábola.

•Las funciones cuadráticas tienen dos ramas una creciente y

otra decreciente.

•Cada parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje de

ordenadas, eje OY.

•Las funciones que responden a la fórmula y = ax2 + bx + c(con a no nulo) o funciones cuadráticas y sus gráficas sonparábolas.

REPRESENTACIÓN DE

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Puntos próximos al vértice.

Puntos de corte con los ejes de

coordenadas.

Vértice de la parábola.

Otros puntos si con los

anteriores no es suficiente.

Vértice de la parábola

Resolviendo el sistema

2y ax bx c

y c

2ax bx 0, x(ax b) 0

Soluciones: x = 0,b

xa

x

bV

2a

•Una vez halla la coordenada x del vértice

(Vx), su coordenada y se determina hallando

la imagen de Vx.

•Para hallar puntos próximos al vértice se da a

x valores próximos a Vx.

Puntos de corte con los ejes:

Se da a x el valor cero

para hallar el punto de la

parábola situado sobre el

eje OY.

Se da a y el valor cero

para hallar el punto de la

parábola situado sobre el

eje OX.

Copiad el siguiente ejemplo

Parábola2

y x 3x 4

3 3

2 2

23 3 3

3· 42 2 2

9 9 9 18 16 254

4 2 4 4

3 25V ,

2 4

•Vy = f

•Vx =

Parábola

• Puntos próximos al vértice V(1’5, -6’25)

2y x 3x 4

x y

1 -6

2 -6

0 -4

3 -4

Parábola2

y x 3x 4

•Puntos corte con el eje OX:

•Punto corte con el eje OY:

•Soluciones: x = 4, x = -1

x = 0, y = -4

Punto (0,-4)

Puntos (4,0), (-1,0)

y = 0, x2 – 3x – 4 = 0

Parábola2

y x 3x 4

• La abscisa (coordenada x) del vértice de la parábola,y = ax2 + bx + c, se calcula:Vx = -b/2a

• La ordenada del vértice se obtiene hallando la imagen deVx.

• Para hallar puntos próximos al vértice se da a x valorespróximos a Vx.

• Los puntos de corte con los ejes se hallan de la siguienteforma:

• El punto o los puntos de corte con el eje de abscisas (ejeOX) se halla sustituyendo y por cero en la expresión de lafunción.

• El punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY) se hallasustituyendo x por cero en la expresión de la función.

• Ejercicios página 115 nº 1 y 2.

RECTAS Y PARÁBOLAS

• Los puntos de corte o intersección de rectas y parábolas se obtienen resolviendoel sistema formado por las ecuaciones de las rectas y las parábolas.

Intersecciones entre rectas y parábolas:

2

y

y

2x

x x 6

2

y

y

2x

x x 6

x2 – x – 6 = -2x, x2 – x – 6 +2 x = 0,

x2 + x – 6 = 0,

21 1 4·1·( 6)

x2·1

1 1 24

2

1 5

2

x1 = -3,

x2 = 2,

y1= 6

y2 = -4

Puntos de intersección: (-3 , 6), (2 , -4)

Ejemplos de sistemas con recta y parábolas

Sistema compatible con

dos soluciones

Sistema compatible con

una solución

Sistema incompatible,

sin solución

Ejercicios Pág. 109: 3 y 4; Pág. 117: 8, 9 y 10; Pág. 119: 25

3.- FUNCIONES DE

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Gráfica de la función y = 1

xx

0

0’25

0’5

1

2

3

-0’25

-0’5

-1

-2

-3

yy

No

4

2

1

0’5

1/3

-4

-2

-1

-0’5

-1/3

CARACTERÍSTICAS

La curva obtenida se

llama hipérbola Tiene

dos ramas infinitas que

se aproximan al eje de

abscisas (eje OX) y

otras dos que se

aproximan al eje de

ordenadas (eje OY).

Por esto los ejes de

coordenadas son

asíntotas de la

hipérbola.

Gráfica de y =2

x

x

0’25

0’5

1

2

3

-0’25

-0’5

-1

-2

-3

yy

8

4

2

1

2/3

-8

-4

-2

-1

-2/3

3

x

x

0’25

0’5

1

2

3

-0’25

-0’5

-1

-2

-3

yy

12

6

3

3/2

1

-12

-6

-3

-3/2

-1

Gráfica de y =

Gráfica de y =4

x

x

0’25

0’5

1

2

4

-0’25

-0’5

-1

-2

-4

yy

16

8

4

2

1

-16

-8

-4

-2

-1

Gráficas y = , a > 0a

x

Gráfica de y =1

x

x

0’25

0’5

1

2

3

-0’25

-0’5

-1

-2

-3

yy

-4

-2

-1

-1/2

-1/3

4

2

1

1/2

1/3

Gráfica de y =2

x

x

0’25

0’5

1

2

3

-0’25

-0’5

-1

-2

-3

yy

-8

-4

-2

-1

-2/3

8

4

2

1

2/3

Gráfica de y =3

x

x

0’25

0’5

1

2

3

-0’25

-0’5

-1

-2

-3

yy

-12

-6

-3

-3/2

-1

12

6

3

3/2

1

Gráfica de y =4

x

x

0’25

0’5

1

2

3

-0’25

-0’5

-1

-2

-3

yy

-16

-8

-4

-2

-4/3

16

8

4

2

4/3

Gráficas y = , a < 0a

x

• Las funciones que responden a la expresión

y = se llaman funciones de proporcionalidad

inversa. Sus gráficas son hipérbolas situadas en

los cuadrantes 1º y 3º si a > 0 y en el 2º y 4º

cuadrante si a < 0

• Cuanto mayor es |a| más separadas están las

ramas de la hipérbola de origen de coordenadas.

• Sus dominios de definición son D = R – {0}

a

x

Funciones relacionadas con y = a

xGráficas de las funciones y = , y = , y =

1

x

x

0

1/4

1/2

1

2

3

-1/4

-1/2

-1

-2

-3

1

x 1

1y

x

1y

x 1

1

x 2

1y

x 2

NO

4

2

1

1/2

1/3

-4

-2

-1

-1/2

-1/3

-1

-2/3

-1/2

NO

1

1/2

-4/5

-2/3

-1/2

-1/3

-1/4

-1/2

-4/7

-2/3

-1

NO

1

-8/9

-2/5

-1/3

-1/4

-1/5

Gráficas de las funciones y = , y = , y =2

x

2

x 1

2

x 2

x

0

1/4

1/2

1

2

3

-1/4

-1/2

-1

-2

-3

2

yx

2y

x 1

2y

x 2

NO

8

4

2

1

2/3

-8

-4

-2

-1

-2/3

2

8/5

4/3

1

1

1/2

8/3

4

NO

-2

-1

1

8/9

4/5

2/3

1/2

2/5

8/7

4/3

2

NO

-1

Gráficas de las funciones y = , y = , y =2

x

21

x

22

x

x

0

1/4

1/2

1

2

3

-1/4

-1/2

-1

-2

-3

2

yx

2

y 1x

2

y 2x

NO

8

4

2

1

2/3

-8

-4

-2

-1

-2/3

NO

7

3

1

0

-1/3

-9

-5

-3

-2

-5/4

NO

6

2

0

-1

-4/3

-10

-6

-4

-3

-9/4

Gráficas de las funciones y = , y = , y =1

x

x

0

1/4

1/2

1

2

3

-1/4

-1/2

-1

-2

-3

11

x

1y

x

1y 1

x

12

x

1y 2

x

NO

-4

-2

-1

-1/2

-1/3

4

2

1

1/2

1/3

NO

-3

-2

0

1/2

2/3

5

3

2

3/2

4/3

NO

-2

-1

-

3/2

5/3

6

4

3

5/2

7/3

Las gráficas de las funciones y = están desplazadas k unidades

hacia la derecha, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas

son las rectas x = k y el eje de abscisas (eje OX, y = 0).

a

x ka

x

Las gráficas de las funciones y = están desplazadas k unidades

hacia la izquierda, con respecto a las gráficas de y = . Sus

asíntotas son las rectas x = -k y el eje de abscisas (eje OX, y = 0).

a

x + ka

x

Las gráficas de las funciones y = están desplazadas b unidades

hacia la arriba, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas

son las rectas y = b y el eje de ordenadas (eje OY, x = 0).

a

x+ b

a

x

Las gráficas de las funciones y = están desplazadas b unidades

hacia abajo, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas son

las rectas y = -b y el eje de ordenadas (eje OY, x = 0).

a

xb

a

x

Indica las asíntotas de las siguientes funciones

3 2 1 8 x 2y 1, y 4, y 2 , y 3, y

x 2 x 3 x 5 7 x x 5

4.- FUNCIONES RADICALES

Gráfica de la función y = X

x

0

1

4

9

16

25

-1

-4

-9

-16

-25

yy

0

1

2

3

4

5

No

No

No

No

No

CARACTERÍSTICAS

La curva obtenida es media parábola con el eje situado sobre el

eje de abscisas, eje OX.

Su dominio de definición son los números reales mayores o

iguales que cero. D = [0 , )

Gráfica de y = 2 x

x

0

1

4

9

16

25

yy

0

2

4

6

8

10

D = [0 , )

x

0

1

4

9

16

25

yy

0

3

6

9

12

15

Gráfica de y = 3 x

D = [0 , )

x

0

1

4

9

16

25

yy

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

D = [0 , )

Gráfica de y =

1 xGráfica de y =

x

0

1

4

9

16

25

yy

1

2

3

4

5

6

D = [0 , )

Gráfica de y =2 x

x

0

1

4

9

16

25

yy

2

3

4

5

6

7

D = [0 , )

2 x

x

0

1

4

9

16

25

yy

-2

-1

0

1

2

3

D = [0 , )

Gráfica de y =

Gráfica de y = x

x

0

-1

-4

-9

-16

-25

yy

0

1

2

3

4

5

D = (- , 0]

1 x

x

0

-1

-4

-9

-16

-25

yy

1

2

3

4

5

6

D = (- , 0]

Gráfica de y =

Gráfica de y = x 1

x

-1

0

3

8

15

24

yy

0

1

2

3

4

5

D = [-1 , )

Gráfica de y = x 2

x

2

3

6

11

18

27

yy

0

1

2

3

4

5

D = [2 , )

Gráficas

comparativas

Gráfica de y = 3 x

x

0

1

8

27

-1

-8

-27

yy

0

1

2

3

-1

-2

-3

D = R

CONCLUSIÓN:

Las funciones , , se representan mediante medias

parábolas. Sus dominios de definición son, respectivamente , .

La gráfica de la función se obtiene desplazando verticalmente k

unidades la gráfica de la función .

y a x b y a x b

b, ,b

La gráfica de la función se obtiene desplazando k unidades

hacia la izquierda (si k >0) la gráfica de la función .

y k ax

y ax

y a( x k )

y ax

Las funciones están definidas en todo R. 3y p( x )