FuncionesFunciones exponencialesexponenciales

yy logaritmicaslogaritmicas

FuncionesFunciones exponencialesexponenciales

yy logaritmicaslogaritmicas

1

Doc. Luis Hernando Carmona RDoc. Luis Hernando Carmona R

FuncionesFunciones ExponencialesExponenciales

22

EjemplosEjemplos::xxf 2)(

Es una función exponencial con base 2.

82)3( 3 f

Veamos con la rapidez que crece:

3

82)3( 3 f

10242)10( 10 f

824,741,073,12)30( 30 f

FuncionesFunciones ExponencialesExponenciales

La función exponencial con base a sedefine para todos los números reales x por:

xaxf )(

donde 0;0 aa

4

donde 0;0 aa

Ejemplos de funciones exponenciales:

xxf 2)( xxh 3)(

xxq 10)(

Base 2 Base 3 Base 10

FunciónFunción ExponencialExponencial NaturalNatural

LaLa funciónfunción exponencialexponencial naturalnatural eses lala funciónfunción exponencialexponencial

xexf )(

con base ee. Es común referirse a ella como la función exponencial.

5

xexf )(

EjemploEjemplo::ModeloModelo exponencialexponencial parapara lala diseminacióndiseminación de un virusde un virus

Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en unaciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, elnúmero de personas que ha sucumbido al virus se modelamediante la función:

tetv

97.012455

10000)(

6

tetv

97.012455

10000)(

Contesta:a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)

b) Calcule el número de personas infectadas despues de undía y depués de cinco días.

c) Grafique la función y describa el comportamiento.

SoluciónSolución::EjemploEjemplo anterioranterior

a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).

81250

10000

12455

10000)(

0

etv

8 personas tienen inicialmente la enfermedad.

b) Calcule el número de personas infectadas después de un día ycinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)

7

b) Calcule el número de personas infectadas después de un día ycinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)

Días Personas infectadas

1 212 545 678

SoluciónSolución::EjemploEjemplo anterior (cont)anterior (cont)

c) Grafique la función y describa el comportamiento.

2000

8

El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luegose estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.

0 12

FuncionesFunciones LogarítmicasLogarítmicas

9

DefiniciónDefiniciónde lade la funciónfunción logarítmicalogarítmica• Sea a un número positivo con . La

función logarítmica con base a, denotada por

, se define

Así, es el exponente al que se debeelevar la base a para que de el número x.

1a

alog

xayx ya log

• Sea a un número positivo con . Lafunción logarítmica con base a, denotada por

, se define

Así, es el exponente al que se debeelevar la base a para que de el número x.

10

xayx ya log

xalog

ComparaciónComparaciónComparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica

xa y

Logarítmica: Exponencial:

yxa log

Exponente Exponente

11

xa y yxa log

Base Base

En ambas formas la base es la misma..

EjemploEjemploFormasFormas logarítmicaslogarítmicas yy exponencialesexponenciales

FormaForma LogarítmicaLogarítmica FormaForma ExponencialExponencial5100000log10

38log2

100000105

823

12

38log2

32

1log2

rs 5log

823

8132

sr 5

PropiedadPropiedad de losde los logarítmoslogarítmos

Propiedad Razón

Se debe elevar a a la potencia 0para obtener 1.

01log a

1log aa

© copywriter 13

Se debe elevar a a la potencia 1para obtener a.

Se debe elevar a a la potencia xpara obtener .

es la potencia a la cual sedebe elevar a para obtener x.

xalog

1log aa

xa xa log

xa xa log

EjemploEjemploAplicaciónAplicación dede laslas propiedadespropiedades logarítmicaslogarítmicas

125

85log

15log

01log

12log

85

5

5

5

Propiedad 1

Propiedad 2

14

125

85log

15log

01log

12log

85

5

5

5

Propiedad 3

Propiedad 4

EjemploEjemploGraficaciónGraficación dede funcionesfunciones logarítmicaslogarítmicas

xxf 2log)(

Traza la gráfica de

Solución:

xxf 2log)(

x3

x2log32

Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para xcomo potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad suslogaritmos.

15

xxf 2log)( 3

2

1

0

-1

-2

-3

32

2212

120 12

22

32

FamiliaFamilia dede FuncionesFuncionesLogarítmicasLogarítmicas

xy 2log

xy 3log

xy 10logxy 5log

16

LogarítmosLogarítmos ComunesComunesVeamosVeamos logarítmoslogarítmos con base 10con base 10

Definición:

LogarítmoLogarítmo comúncomún

El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y sedenota omitiendo la base:

17

El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y sedenota omitiendo la base:

xx 10loglog

De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:

log 10 = 1

log 100 = 2

Cómo se calcula log 50?

No tenemos un número tal que , 1 es pequño y 2 esdemasiado grande.

5010 y

18

250log1

Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da losvalores de manera directa de los logaritmos comunes.

Propiedades de los logarítmos naturales

Propiedad Razón

xe

xe

e

x

x

ln

ln

1ln

01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0para obtener 1.

Se tiene que elevar e a la potencia 1para obtener e.

19

xe

xe

e

x

x

ln

ln

1ln

01ln

ln x es la potencia a la cual e debeser elevada para obtener x.

Se tiene que elevar e a la potencia xpara obtener .xe

FuncionesFunciones LogarítmicasLogarítmicas

20

LeyesLeyes de losde los logarítmoslogarítmos

Leyes de los logarítmosSea a un número positivo, con . Sea A, B y C númerosreales cualesquiera con .

Ley Descripción

1a00 yBA

ACA

BAB

A

BAAB

ac

a

aaa

aaa

loglog)3

logloglog)2

loglog)(log)1

El logarítmos de un producto denúmeros es la suma de loslogarítmos de los números.

El logarítmo de un cociente denúmeros es la diferencia de loslogarítmos de los números.

El logarítmo de una potencia deun número es el exponentemultiplicado por el logarítmo denúmero.

21

ACA

BAB

A

BAAB

ac

a

aaa

aaa

loglog)3

logloglog)2

loglog)(log)1

El logarítmos de un producto denúmeros es la suma de loslogarítmos de los números.

El logarítmo de un cociente denúmeros es la diferencia de loslogarítmos de los números.

El logarítmo de una potencia deun número es el exponentemultiplicado por el logarítmo denúmero.

EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones

Evalúe cada expresión:

8log3

1)

5log80log)

32log2log)

22

44

c

b

a

22

8log3

1)

5log80log)

32log2log)

22

44

c

b

a

EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones

364log

)32.2(log

4

4

32log2log) 44 a

23

BAAB aaa loglog)(log)1

Propiedad utilizada:

EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones

5log80log) 22 b

416log5

80log

2

2

24

BAB

Aaaa logloglog)2

Propiedad utilizada:

EjemploEjemploUsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones

8log3

1) c

301.0

)2log()1log(2

1log

2

1

2

1

8

1

8

1log

8log

3 3331

31

25

301.0

)2log()1log(2

1log

2

1

2

1

8

1

8

1log

8log

3 3331

31

ACA ac

a loglog)3

Propiedad utilizada:

EjemploEjemploExpandirExpandir expresionesexpresiones logarítmicaslogarítmicas

Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cadaexpresión.

3

635

2

ln)

log)

)6(log)

c

abc

yxb

xa

cba

cba

cab

yx

yx

x

ln3

1lnln

lnlnln

ln)ln(

log6log3

loglog

log6log

31

3

55

35

35

22

Ley 1

Ley 1

Ley 3

Ley 2

Ley 1

Ley 3

26

3

635

2

ln)

log)

)6(log)

c

abc

yxb

xa

cba

cba

cab

yx

yx

x

ln3

1lnln

lnlnln

ln)ln(

log6log3

loglog

log6log

31

3

55

35

35

22

Ley 1

Ley 1

Ley 3

Ley 2

Ley 1

Ley 3

EjemploEjemploCombinarCombinar expresionesexpresiones logarítmicaslogarítmicas

)1log(2

1log3) xxa

Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:

213

213

)1(log(

)1log(log

xx

xx

)1ln(4ln2

1ln3) 2 ttsb

27

)1ln(4ln2

1ln3) 2 ttsb

42

3

42213

42213

1ln

)1ln()ln(

)1ln(lnln

t

ts

tts

tts

CambioCambio de basede base

• Sea:

• Entonces se forma de manera exponencial:

• Se toma el logarítmo base a en cada lado:

• Ley 3 de logarítmo:

• Se divide entre ambos logarítmos:

xy blog

xb y

• Sea:

• Entonces se forma de manera exponencial:

• Se toma el logarítmo base a en cada lado:

• Ley 3 de logarítmo:

• Se divide entre ambos logarítmos:

28

xb ay

a loglog xby aa loglog

b

xy

a

a

log

log

FórmulaFórmula dede cambiocambio de basede base

b

xy

a

a

log

log

Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmulase convierte en:

1log aa

29

ba

ab log

1log

FórmulaFórmula dede cambiocambio de basede baseEvaluarEvaluar logarítmoslogarítmos con lacon la fórmulafórmula dede cambiocambio de basede base

20log)

5log)

9

8

b

aSe usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:

77398.08log

5log5log

10

108 Nota: Se tiene la

misma respuesta sise usa ó ln.

10log

30

20log)

5log)

9

8

b

a

Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:

36342.19ln

20ln20log9

EcuacionesEcuaciones ExponencialesExponenciales yyLogarítmicasLogarítmicas

EcuacionesEcuaciones ExponencialesExponenciales yyLogarítmicasLogarítmicas

31

EcuacionesEcuacionesexponencialesexponenciales yy logarítmicaslogarítmicas• Una ecuación exponencial es aquella en la que

la variable ocurre en el exponente.

• Por ejemplo:

• La variable x representa una dificultad por que esta en elexponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo encada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.

Veamos:

72 x

• Una ecuación exponencial es aquella en la quela variable ocurre en el exponente.

• Por ejemplo:

• La variable x representa una dificultad por que esta en elexponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo encada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.

Veamos:32

72 x

EcuacionesEcuacionesexponencialesexponenciales yy logarítmicaslogarítmicas

7ln2ln

7ln2ln

x

x

72 x

33

7ln2ln

7ln2ln

x

x

807.22ln

7lnx

Recuerde la regla 3

NormasNormas parapara resolverresolver ecuacionesecuaciones exponencialesexponenciales

1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la

ecuación.

2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes

de los logarítmos para “bajar el exponente”.

3) Despeje la variable.

1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la

ecuación.

2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes

de los logarítmos para “bajar el exponente”.

3) Despeje la variable.

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EjemploResolver una ecuación exponencial

Encuentre la solución de:

Solución:

73 2 x

7log)3log( 2 x

73 2 x Si verificas en tu calculadora:

73 2)228756.0(

35

7log)3log( 2 x

7log3log)2( x

3log

7log)2( x

228756.023log

7logx

EjemploEjemploResoluciónResolución dede unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial

Resuelva la ecuación:

Solución:

208 2 xe

208 2 xe

8

202 xe

Ojo:El, ln e = 1

Si verificas en tu calculadora:

208)458.0(2 e

36

8

202 xe

5.2lnln 2 xe

5.2ln2 x

458.02

5.2lnx

208)458.0(2 e

EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial en formaen forma algebraicaalgebraica yy hazhazlala gráficagráfica

Resuelva la ecuación: AlgebraicamenteAlgebraicamente

Solución (1):

423 xe

423 xe

4lnln 23 xe

4lnln23 ex

37

4lnln23 ex

14ln23 x

4ln32 x

807.0)4ln3(2

1x

EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial en formaen forma algebraicaalgebraica yy hazhazlala gráficagráfica

Resuelva la ecuación:

Solución (2):Se gráfican las ecuaciones, y

423 xe

xey 23 4y

4

3

2

1

0

4y

38

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6

4y

xey 23

EjemploEjemploUnaUna ecuaciónecuación exponencialexponencial dede tipotipo cuadráticocuadrático

Resuelva la ecuación:

Solución:

062 xx ee

062 xx ee

06)( 2 xx ee

39

0)2)(3( xx ee

03 xe o 02 xe

3xe 2xe

EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial

Resuelva la ecuación:

Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

03 2 xx exxe

0)3( xxex03 2 xx exxe

Se divide entrexe

40

0)3( xx

0x 03 x3x

Las soluciones son:

EcuacionesEcuaciones LogarítmicasLogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de lavariable.

5)2(log 2 x

3023222 5 x

Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.

Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cadala de ecuación.

41

Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cadala de ecuación.

5)2(log 22 2 x

522 x30232 x

Los pasos se resumen a continuación.

Normas para resolver ecuaciones logarítmicas

1) Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación;podría ser necesario combinar primero los términoslogarítmicos.

2) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la basea cada lado de la ecuación).

3) Despeje la variable.

42

1) Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación;podría ser necesario combinar primero los términoslogarítmicos.

2) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la basea cada lado de la ecuación).

3) Despeje la variable.

EjemploEjemploResolverResolver ecuacionesecuaciones logarítmicaslogarítmicas

De cada ecuación despeje x.

3)25(log)

8ln)

2

xb

xa8ln x

8ex 2981x

43

3)25(log)

8ln)

2

xb

xa

3225 x825 x

17825 x

EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuacionecuacion logarítmicalogarítmica

Resuelva la ecuación: 16)2log(34 x

SoluciónSolución: Se: Se aíslaaísla primeroprimero elel términotérmino logarítmicologarítmico.. EstoEsto permitepermiteescribirescribir lala ecuaciónecuación en formaen forma exponencialexponencial..

16)2log(34 x416)2log(3 x

44

16)2log(34 x416)2log(3 x

12)2log(3 x

4)2log( x4102 x

100002 x5000x

EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación logarítmicalogarítmica dede maneramaneraalgebraicaalgebraica yy gráficagráfica

Resuelva la ecuación (1): 1)1log()2log( xx

1)1)(2(log xx

10)1)(2( xx

1022 xx

45

1022 xx

0122 xx

0)3)(4( xx

3,4 xx

EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación logarítmicalogarítmica dede maneramaneraalgebraicaalgebraica yy gráficagráfica

Resuelva la gráfica (2): 01)1log()2log( xx

1)1log()2log( xxy

4

3

2

1

0

46

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6

EjemploEjemploResolverResolver unauna ecuaciónecuación dede maneramanera gráficagráfica

Resuelva la ecuación: )2ln(22 xx

SoluciónSolución:: PrimeroPrimero sese muevenmueven todostodos loslos términostérminos a una un ladolado de lade laecuaciónecuación..

0)2ln(22 xxLuegoLuego sese hacehace lala gráficagráfica:: )2ln(22 xxy

47

LuegoLuego sese hacehace lala gráficagráfica:: )2ln(22 xxy

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 64 3 2 1