Funciones Hiperbólicas [v0.8]

Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaProf. Miguel Walker Urena

Dpto. Matematica AplicadaCiclo 2-2014

Funciones Hiperbolicas[ version 0.8, compilado el 8/8/2014 ]

Contenidos

1 Introduccion a las Funciones Hiperbolicas 21.1 Funciones Hiperbolicas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Recprocos de las Funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 El Calculo con Funciones Hiperbolicas 92.1 Lmites con funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Derivadas con funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Integrales con funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Graficas de funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Funciones Hiperbolicas Inversas 253.1 Funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Funciones Hiperbolicas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Ecuaciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Inversas de los recprocos hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Derivadas de funciones hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Sustituciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Referencias 43

1

Funciones Hiperbolicas 2

1 Introduccion a las Funciones Hiperbolicas

1.1 Funciones Hiperbolicas Basicas

Definicion 1.1 (Funciones Hiperbolicas). Las siguientes son llamadas funciones hiperbolicas

(a) Seno Hiperbolico: Es la funcion senh : IR IR tal que

senh(x) =ex ex

2=e2x 1

2ex

(b) Coseno Hiperbolico: Es la funcion cosh : IR [ 1,+[ tal que

cosh(x) =ex + ex

2=e2x + 1

2ex

(c) Tangente Hiperbolico: Es la funcion tanh : IR ] 1, 1[ tal que

tanh(x) =senh(x)

cosh(x)=ex exex + ex

=e2x 1e2x + 1

Ejemplo 1.1.

senh(0) =e0 e0

2=

0

2= 0 cosh(0) = e

0 + e0

2=

1 + 1

2= 1

Ejemplo 1.2.

senh(ln 2) =eln 2 e ln 2

2=

2 122

=4 1

4=

3

4

Ejemplo 1.3. Calcule el valor numerico de

cosh[2 ln(3) + ln(5)

]Solucion:

cosh[2 ln(3) + ln(5)

]= cosh

[ln(32) + ln(5)

]= cosh

[ln(32 5)]

= cosh [ln(45)]

=e2x + 1

2ex

x=ln(45)

=e2 ln(45) + 1

2eln(45)

=452 + 1

2 45=

1013

45

Nota 1.1.

senh[ln(a)] =a2 1

2a cosh[ln(a)] = a

2 + 1

2a tanh[ln(a)] = a

2 1a2 + 1


Ejemplo 1.4 (Ejercicio). Use la Definicion 1.1 para verificar las igualdades de la Nota 1.1.

Ejemplo 1.5. Calcule el valor numerico de la expresion

2 senh(ln(2)) cosh [ ln(4) 3 ln(2) + 1]Solucion: Recordando que 1 = ln(e) tenemos que

2 senh(ln(2)) cosh [ ln(4) 3 ln(2) + 1] = 2 4 12 2 cosh

[ln

(4e

23

)]=

3

2(e2

)2+ 1

2 ( e2)=

3

2 e

2 + 4

4e

=6e e2 4

4e

Ejemplo 1.6. Demuestre la siguiente igualdad

senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)

Solucion:

senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x) e4x 12e2x

= 2 e2x 12ex

e2x + 1

2ex

e4x 12e2x

= 2 (e2x 1)(e2x + 1)

4e2x

e4x 12e2x

=e4x 1

2e2x(X)

1.2 Recprocos de las Funciones Hiperbolicas

Definicion 1.2 (Recprocos de las funciones hiperbolicas). Las siguientes son las funciones hiperbolicasrecprocas

(a) Cosecante Hiperbolico: Es la funcion csch : IR \ {0} IR \ {0} tal que

csch(x) =1

senh(x)=

2

ex ex =2ex

e2x 1

(b) Secante Hiperbolico: Es la funcion sech : IR ]0, 1 ] tal que

sech(x) =2

ex + ex=

2ex

e2x + 1

(c) Cotangente Hiperbolico: Es la funcion coth : IR \ {0} IR \ [1, 1] tal que

coth(x) =1

tanh(x)=

cosh(x)

senh(x)=ex + ex

ex ex =e2x + 1

e2x 1



1 + sech(ln(5)) coth[ln(2) +

1

2ln(3)

]Solucion:

1 + sech[ln(5)] coth[ln(2) +

1

2ln(3)

]= 1 +

1

cosh[ln(5)] 1

tanh[ln(2

3)]

= 1 +2 5

25 + 1(2

3)2

+ 1(2

3)2 1

= 1 +10

26 12 + 1

12 1= 1 +

5

13 13

11

=13 11 + 5 11 132

13 11=

29

143 Ejemplo 1.8. Demuestre la siguiente igualdad

sech2(x) + tanh2(x) = 1

Solucion:

sech2(x) + tanh2(x) = 1 1cosh2(x)

+senh2(x)

cosh2(x)= 1

1 + senh2(x)

cosh2(x)= 1

1 + senh2(x) = cosh2(x)

1 +[e2x 1

2ex

]2=

[e2x + 1

2ex

]2 1 + e

4x 2e2x + 14e2x

=e4x + 2e2x + 1

4e2x

4e2x + e4x 2e2x + 1 = e4x + 2e2x + 1 2e2x = 2e2x (X )

1.3 Propiedades

Teorema 1.1 (Paridad). La funcion senh es impar y la funcion cosh es par, o sea

senh(x) = senh(x) cosh(x) = cosh(x)Prueba.

senh(x) = ex e(x)

2=ex ex

2= senh(x)

igualmente

cosh(x) = ex + e(x)

2=ex + ex

2= cosh(x)


Teorema 1.2 (Identidad pitagorica).

cosh2(x) senh2(x) = 1Prueba.

cosh2(x) senh2(x) =[e2x + 1

2ex

]2[e2x 1

2ex

]2=e4x + 2ex + 1 (e4x 2ex + 1)

4e2x

=e4x + 2ex + 1 e4x + 2ex 1

4e2x

=4e2x

4e2x

= 1

Teorema 1.3 (Formulas de la suma).

(a)

senh(a+ b) = senh(a) cosh(b) + cosh(a) senh(b)

senh(a b) = senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)

(b)

cosh(a+ b) = cosh(a) cosh(b) + senh(a) senh(b)

cosh(a b) = cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b)

(c)

tanh(a+ b) =tanh(a) + tanh(b)

1 + tanh(a) tanh(b)

tanh(a b) = tanh(a) tanh(b)1 tanh(a) tanh(b)

Ejemplo 1.9. Verifique la formula


Solucion:


e2(a+b) 1

2ea+b=e2a 1

2ea e

2b + 1

2eb+e2a + 1

2ea e

2b 12eb

e2a+2b 12ea+b

=(e2a 1)(e2b + 1) + (e2a + 1)(e2b 1)

4ea+b

e2a+2b 1 = e2a+2b + e2a e2b 1 + e2a+2b e2a + e2b 1

2

e2a+2b 1 = 2e2a+2b 2

2

e2a+2b 1 = e2a+2b 1 (X )


Ejemplo 1.10. Pruebe la formula


Solucion:


senh(a b)cosh(a b) =

senh(a)cosh(a) senh(b)cosh(b)

1 senh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b)

senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b) =

senh(a) cosh(b)cosh(a) senh(b)senh(a) cosh(b)

cosh(a) cos(b)senh(a) sen(b)cosh(a) cosh(b)

senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b) =

senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b)

(X)

Ejemplo 1.11 (Ejercicio). Demuestre las partes del Teorema 1.3 que no hayan sido demostradas.

Ejemplo 1.12. Pruebe la formula

senh(a) cosh(b) =senh(a+ b) + senh(a b)

2

Solucion:

senh(a+ b) + sen(a b) = senh(a) cosh(b) + cosh(a) senh(b) + senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)= 2 senh(a) cosh(b)

luego

senh(a) cosh(b) =senh(a+ b) + senh(a b)

2

Teorema 1.4 (Productos de hiperbolicas).

(a) senh(a) cosh(b) =senh(a+ b) + senh(a b)

2

(b) senh(a) senh(b) =cosh(a+ b) cosh(a b)

2

(c) cosh(a) cosh(b) =cosh(a+ b) + cosh(a b)

2

Ejemplo 1.13 (Ejercicio). Pruebe las partes (b) y (c) del Teorema 1.4.

Teorema 1.5 (Formulas del argumento doble).

(a) senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)

(b) cosh(2x) = senh2(x) + cosh2(x)

(c) tanh(2x) =2 tanh(x)

1 + tanh2(x)


Prueba.

senh(2x) = senh(x+ x)

= senh(x) cosh(x) + cosh(x) senh(x)

= 2 senh(x) cosh(x)

igualmente

cosh(2x) = cosh(x+ x)

= cosh(x) cosh(x) + senh(x) senh(x)

= cosh2(x) + senh2(x)

= senh2(x) + cosh2(x)

finalmente

tanh(2x) = tanh(x+ x)

=tanh(x) + tanh(x)

1 + tanh(x) tanh(x)=

2 tanh(x)

1 + tanh2(x)

Ejemplo 1.14. Pruebe quesenh(3x) = 3 senh(x) + 4 senh3(x)

Solucion:

senh(3x) = senh(x+ 2x)

= senh(x) cosh(2x) + cosh(x) senh(2x)

= senh(x) [ senh2(x) + cosh2(x) ] + cosh(x) [ 2 senh(x) cosh(x) ]= senh3(x) + senh(x) cosh2(x) + 2 senh(x) cosh2(x)

= senh3(x) + 3 senh(x) cosh2(x)

= senh3(x) + 3 senh(x)[ 1 + senh2(x) ]

= senh3(x) + 3 senh(x) + 3 senh3(x)

= 3 senh(x) + 4 senh3(x)

Teorema 1.6 (Cuadrados de las hiperbolicas).

senh2(x) =cosh(2x) 1

2 cosh2(x) = cosh(2x) + 1

2

Prueba. Recuerde que cosh2(x) senh2(x) = 1 , entonces

cosh(2x) = senh2(x) + cosh2(x) cosh(2x) = senh2(x) + senh2(x) + 1 cosh(2x) = 2 senh2(x) + 1 cosh(2x) 1 = 2 senh2(x) senh2(x) = cosh(2x) 1

2


igualmente

cosh(2x) = senh2(x) + cosh2(x) cosh(2x) = cosh2(x) 1 + cosh2(x) cosh(2x) = 2 cosh2(x) 1 cosh(2x) + 1 = 2 cosh2(x) cosh2(x) = cosh(2x) + 1

2

Ejemplo 1.15. Verifique la igualdad

cosh4(x) =3

8+

cosh(2x)

2+

cosh(4x)

8

Solucion:

cosh4(x) =[cosh2(x)

]2=

[cosh(2x) + 1

2

]2=

cosh2(2x) + 2 cosh(2x) + 1

4

=cosh(4x)+1

2 + 2 cosh(2x) + 1

4

=cosh(4x) + 1 + 4 cosh(2x) + 2

8

=3 + 4 cosh(2x) + cosh(4x)

8

=3

8+

cosh(2x)

2+

cosh(4x)

8

Ejemplo 1.16. Halle una formula para senh(x/2)

Solucion: Por el Teorema 1.6, tenemos que

senh2(x/2) =cosh(x) 1

2= senh(x/2) =

cosh(x) 1

2


2 El Calculo con Funciones Hiperbolicas

2.1 Lmites con funciones hiperbolicas

Nota 2.1. Las funciones senh y cosh estan definidas y son continuas en todo IR, por lo que paratodo a IR

limxa senh(x) = senh(a) limxa cosh(x) = cosh(a)

Ejemplo 2.1.

limx3

2 senh[ln(x)] + cosh(x)

7 x =2 senh[ln(3)] + cosh(3)

7 3=

2 916 + cosh(3)4

=83 + cosh(3)

4

=8 + 3 cosh(3)

12

Nota 2.2. Cuando tenemos un lmite indeterminado con funciones hiperbolicas, puede ser util expresarel lmite en terminos de exponenciales.

Ejemplo 2.2.

limx0

senh(x)

x=

0

0

por otro lado

limx0

senh(x)

x= lim

x0e2x 12xex

, esto es 0/0

LH=

1

2limx0

2e2x

ex + xex

=1

2 2

1 + 0

= 1

Ejemplo 2.3.

limx4

tanh(x 4)(x 4) cosh(x 4) =

0

0= indeterminado

por otro lado

limx4

tanh(x 4)(x 4) cosh(x 4) = limx4

senh(x 4)(x 4) cosh2(x 4)

= limx4

senh(x 4)(x 4) , pues cosh(0) = 1 6= 0

= 1

Nota 2.3. Recordemos quelim

x+ ex = + lim

x ex = 0

De manera informal se puede escribir: e+ = + e = 0


Igualmentelim

x+ ex = 0 lim

x ex = +

Ejemplo 2.4.

limx+ senh(x) = limx+

ex ex2

=e+ e

2

=+ 0

2= +

Ejemplo 2.5.

limx tanh(x) = limx

e2x 1e2x + 1

=e 1e + 1

=0 10 + 1

= 1

Teorema 2.1.

(a)lim

x+ senh(x) = + limx senh(x) =

(b)lim

x+ cosh(x) = limx cosh(x) = +

(c)lim

x+ tanh(x) = 1 limx tanh(x) = 1

Ejemplo 2.6 (Ejercicio). Verifique los lmites del Teorema 2.1.


Ejemplo 2.7.

limx+ tanh(x) [csch(x) + 3] = limx+ 1

[1

senh(x)+ 3

]=

1

+ + 3= 0 + 3

= 3

Ejemplo 2.8.

limx

cosh(x)

csch(x) + senh(x)= lim

xcosh(x)

1senh(x) + senh(x)

= limx

senh(x) cosh(x)

1 + senh2(x)

= limx

senh(x) cosh(x)

cosh2(x)

= limx

senh(x)

cosh(x)

= limx tanh(x)

= 1

Ejemplo 2.9.

limx+

cosh(x) sen [ sech(x)]tanh(3x)

= limx+ cosh(x) sen

[sech(x)

], pues tanh(+) = 1 6= 0

= limx+

sen[

sech(x)]

sech(x)

= lim0

sen()

, pues = sech(x)

x+ 0

= 1

Ejemplo 2.10.lim

x+[senh(x) cosh(x)] = ++ = indeterminadoPor otro lado

limx+[senh(x) cosh(x)] = limx+[senh(x) cosh(x)]

senh(x) + cosh(x)

senh(x) + cosh(x)

= limx+

senh2(x) cosh2(x)senh(x) + cosh(x)

= limx+

1senh(x) + cosh(x)

=1

++ +=1+

= 0


2.2 Derivadas con funciones hiperbolicas

Teorema 2.2. Para todo x IR[senh(x)

]= cosh(x)

[cosh(x)

]= senh(x)

Prueba. [senh(x)

]=

[ex ex

2

]=ex + ex

2= cosh(x)

igualmente [cosh(x)

]=

[ex + ex

2

]=ex ex

2= senh(x)

Teorema 2.3. Algunas derivadas de uso frecuente

1. [tanh(x)

]= sech2(x)

[coth(x)

]= csch2(x)

2. [sech(x)

]= sech(x) tanh(x)

[csch(x)

]= csch(x) coth(x)

Ejemplo 2.11. Verifique la igualdad[sech(x)

]= sech(x) tanh(x)

Solucion: [sech(x)

]=[ 1

cosh(x)

]= senh(x)cosh2(x)

= tanh(x)cosh(x)

= sech(x) tanh(x)

Ejemplo 2.12 (Ejercicio). Verifique las igualdades del Teorema 2.3.

Ejemplo 2.13. Calcule

D =[

cosh8[x3 sen(3x) ] + 2ex tanh(6x) x3 + 5]

Solucion:

D =[

cosh8[x3 sen(3x) ]]

+ 2[ex tanh(6x)

] 3x2= 8 cosh7[x3 sen(3x) ] senh[x3 sen(3x) ] [ 3x2 3 cos(3x) ] + 2

[ex tanh(6x) + 6ex sech2(6x)

] 3x2


Ejemplo 2.14.

limx0

1 cosh(x) + 2xln(1 + x)

=0

0= indeterminado

por otro lado

limx0

1 cosh(x) + 2xln(1 + x)

LH= lim

x0 senh(x) + 2

(1 + x)1

=0 + 2

1= 2


2.3 Integrales con funciones hiperbolicas

Nota 2.4. El hecho de saber que

d

dxsenh(x) = cosh(x) d

dxcosh(x) = senh(x)

nos facilita el calculo de integrales que contienen funciones hiperbolicas.

Teorema 2.4. Como consecuencia del segundo teorema fundamental del calculo, para todo x IRsenh(x) dx = cosh(x) + C

cosh(x) dx = senh(x) +D

siendo C,D IR constantes arbitrarias.Ejemplo 2.15. Calcule

I =

x3 senh(x4) dx

Solucion:Note que

u = x4 = du = 4x3 dxluego

I =1

4

senh(u) du =

1

4cosh(u) + C =

cosh(x4)

4+ C

Nota 2.5 (Integracion por Sustitucion). Recuerde que

f[g(x)

] g(x) dx = f(u) du, donde u = g(x)igualmente b

af[g(x)

] g(x) dx = g(b)g(a)

f(u) du, donde u = g(x)


I =

ln 50

tanh(x) dx

Solucion:

I =

ln 50

senh(x)

cosh(x)dx

=

13/51

du

u, si u = cosh(x) du = senh(x) dx

= ln(u)13/51

= ln(13/5) ln(1)= ln(13/5)


I =

senh(x)cosh3(x)

dx


Solucion: Haciendou = cosh(x) = du = senh(x) dx

obtenemos

I =

u3/2 du =

u3/2+1

3/2 + 1 + C =u1/2

1/2 + C =2

cosh(x)+ C

Nota 2.6 (Integracion por Partes). Recuerde que, para cualquier a en el dominio de f

f(x) g(x) dx = f(x) g(x)f (x) g(x) dx

o lo que es lo mismo u dv = uv

v du

igualmente baf(x) g(x) dx = f(x) g(x)

ba

baf (x) g(x) dx


I =

ln(4)0

x senh(x) dx

Solucion:Resolvemos por partes [ u = x dv = senh(x) ]luego

I = x cosh(x)

ln(4)0

ln(4)0

cosh(x) dx

= ln(4) cosh[ln(4)] 0 1 senh(x)ln(4)0

= ln(4) 16 + 18 0 1 senh[ln(4)] + senh(0)

=17 ln(2)

4 16 1

8

=17 ln(2)

4 15

8

Ejemplo 2.19. Calcule sech(x) dx

Solucion: sech(x) dx =

1

cosh(x)dx

=

cosh(x)

cosh2(x)dx

=

cosh(x)

1 + senh2(x)dx

=

du

1 + u2, haciendo u = senh(x)

= arctan(u) + C

= arctan[ senh(x) ] + C


Nota 2.7. El ejemplo anterior tambien puede ser resuelto usando la forma exponencial de sech:sech(x) dx =

2ex

e2x + 1dx

= 2

du

u2 + 1, haciendo u = ex

= 2 arctan(u) +K

= 2 arctan[ ex ] +K

esto significa que

arctan[ senh(x) ] 2 arctan[ ex ] = C K = , es constanterecordando que

tan(a b) = tan(a) tan(b)1 + tan(a) tan(b)

tan(2) = 2 tan 1 tan2()

y por el hecho de que tan[arctan()] = , obtenemos que

tan() =senh(x) tan[2 arctan(ex)]

1 + senh(x) tan[2 arctan(ex)]

=e2x12ex 2e

x

1e2x1 + e

2x12ex 2e

x

1e2x

=

e4x2ex+1+4e2x2ex(e2x1)

1 1=

O sea que = pi/2 es en efecto una constante.En particular,

arctan[senh(0)] 2 arctan[e0] = arctan(0) 2 arctan(1) = 0 2 pi4

= pi2

entonces = pi2Nota 2.8. Recuerde que

F (x) = f(x) f(x) dx = F (x) + C

Ejemplo 2.20. Demuestre quesech3(x) dx =

senh(x)

2 cosh2(x)+

1

2arctan

[senh(x)

]+ C

Solucion: Sea

F (x) =senh(x)

2 cosh2(x)+

1

2arctan

[senh(x)

]entonces

F (x) =1

2 cosh

3(x) 2 senh2(x) cosh(x)cosh4(x)

+1

2 cosh(x)

1 + senh2(x)

=1

2 cosh(x) senh

2(x)

cosh3(x)+

cosh(x)

2 [1 + senh2(x)]


Hay que demostrar que F (x) = sech3(x), y es cierto si y solo si

sech3(x) =1

2 cosh(x) senh

2(x)

cosh3(x)+

cosh(x)

2 [1 + senh2(x)]

1 = cosh3(x)

2 cosh(x) cosh

3(x) senh2(x)cosh3(x)

+cosh4(x)

2 [1 + senh2(x)]

1 = cosh2(x)

2 senh2(x) + cosh

4(x)

2 [1 + senh2(x)]

1 = cosh2(x)

2 senh2(x) + cosh

4(x)

2 [cosh2(x)], pues cosh2(x) senh2(x) = 1

1 = cosh2(x)

2 senh2(x) + cosh

2(x)

2 1 = cosh2(x) senh2(x) (X )

Como F (x) = sech3(x), entonces sech3(x) dx = F (x) + C

quedando demostrada as la igualdad.

Teorema 2.5. Algunas integrales de uso frecuente

1. tanh(x) dx = ln[cosh(x)] + C

coth(x) dx = ln | senh(x)|+ C

2. sech2(x) dx = tanh(x) + C

csch2(x) dx = coth(x) + C

3. sech(x) dx = arctan[ senh(x) ] + C

csch(x) dx =

1

2ln

[cosh(x) 1cosh(x) + 1

]+ C



I =

tanh[ ln(x) ]

xdx

Solucion:Haciendo

u = ln(x) = du = dxx

obtenemos

I =

tanh(u) du = ln[ cosh(u) ] + C = ln

[cosh

(ln(x)

) ]+ C = ln

[x2 + 1

2x

]+ C

Nota 2.9. Recuerde quecosh2(w) senh2(w) = 1

lo que nos permite imitar metodos de integracion analogos a los trigonometricos.



I =

cosh5(x) senh4(x) dx

Solucion:

I =

[cosh2(x)

]2senh4(x) cosh(x) dx

=

[1 + senh2(x)

]2senh4(x) cosh(x) dx

=

[1 + u2

]2u4 du, donde u = senh(x)

=

[1 + 2u2 + u4

]u4 du

=

[u4 + 2u6 + u8

]du

=u5

5+ 2

u7

7+u9

9+ C

=senh5(x)

5+

2 senh7(x)

7+

senh9(x)

9+ C

Nota 2.10. Recuerde que

senh2(w) =cosh(2w) 1

2 cosh2(w) = cosh(w) + 1

2


I =

1/30

cosh2 [ 3 arctan(x) ]

1 + x2dx

Solucion:

Hagamos

u = arctan(x) = du = dx1 + x2

note que{x = 0 = u = arctan(0) = 0x = 1/

3 = u = arctan(1/3) = pi/6


luego

I =

pi/60

cosh2(3u) du

=

pi/60

cosh(6u) + 1

2du

=1

2

pi/60

cosh(6u) du+1

2

pi/60

du

=1

2 senh(6x)

6

pi/60

+1

2 upi/60

=senh(pi) senh(0)

12+

1

2(pi

6 0)

=senh(pi) + pi

12

Ejemplo 2.25. Demuestre que

4 cosh3(x) = cosh(3x) + 3 cosh(x)

y usar la igualdad anterior para calcular la integral

I =

senh(x)

6

cosh(3x) + 3 cosh(x)dx

Solucion:

4 cosh3(x) = cosh(3x) + 3 cosh(x)

4 cosh3(x) = cosh(2x+ x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = cosh(2x) cosh(x) + senh(2x) senh(x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = [senh2(x) + cosh2(x)] cosh(x) + 2 senh(x) cosh(x) senh(x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = [2 cosh2(x) 1] cosh(x) + 2 senh2(x) cosh(x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = 2 cosh3(x) cosh(x) + 2 senh2(x) cosh(x) + 3 cosh(x) 2 cosh3(x) = 2 senh2(x) cosh(x) + 2 cosh(x) cosh2(x) = senh2(x) + 1 (X )


luego

I =

senh(x)

6

cosh(3x) + 3 cosh(x)dx

=

senh(x)

6

4 cosh3(x)

dx

=16

4

du6u3, donde u = cosh(x)

=13

2

duu

=13

2 2u+ C

=2

cosh(x)3

2+ C


2.4 Graficas de funciones Hiperbolicas

Grafica 1 (Seno hiperbolico). La grafica G del seno hiperbolico

IR IR

es el conjunto de puntos (x, y) tales que

y = senh(x)

La grafica del Seno Hiperbolico pasa por el origen pues senh(0) = 0Note que no esta acotada

limx+ senh(x) = + limx senh(x) =

Es siempre creciente pues y = cosh(x) > 0Ademas, como y = senh(x) {

G es ^ x > 0G es _ x < 0

Grafica 2 (Coseno hiperbolico). La grafica G del cosenohiperbolico

IR [ 1,+[es el conjunto de puntos (x, y) tales que

y = cosh(x)

La grafica del Coseno Hiperbolico pasa por el punto (0, 1).Note que esta acotada inferiormente por 1 pero no esta acotada superiormente

limx+ cosh(x) = limx cosh(x) = +

Como y = senh(x) {G es x > 0G es x < 0

Es siempre ^ pues y = cosh(x) > 0


Grafica 3 (Tangente hiperbolico). La grafica G del tangentehiperbolico

IR] 1, 1[es el conjunto de puntos (x, y) tales que

y = tanh(x)

La grafica del Tangente Hiperbolico pasa por el origen pues tanh(0) = 0Hay dos asntotas horizontales: y = 1

limx+ tanh(x) = 1 limx tanh(x) = 1

Es siempre creciente pues y = sech2(x) > 0Ademas, como y = 2 sech2(x) tanh(x){

G es ^ x < 0G es _ x > 0

Note ademas que G esta acotada entre 1 y 1

Grafica 4 (Cosecante hiperbolico). La grafica G del Cosecantehiperbolico

IR \ {0} IR \ {0}es el conjunto de puntos (x, y) tales que

y = csch(x)

La grafica del Cosecante Hiperbolico tiene asntota vertical x = 0

limx0+

csch(x) = + limx0

csch(x) =

y asntota horizontal y = 0 pues

limx+ csch(x) = limx csch(x) = 0


Es siempre decreciente pues y = csch2(x) cosh(x) < 0Ademas, como y = csch(x)

[csch2(x) + coth2(x)

]{G es ^ x > 0G es _ x < 0

Grafica 5 (Secante hiperbolico). La grafica G del Secantehiperbolico

IR ]0, 1 ]es el conjunto de puntos (x, y) tales que

y = sech(x)

La grafica del Secante Hiperbolico pasa por el punto (0, 1) y tiene asntota horizontal y = 0 pues

limx+ sech(x) = limx+ sech(x) = 0

Ademas, como y = sech2(x) senh(x){G es x < 0G es x > 0

Es siempre _ pues y = sech(x) [

tanh2(x) sech2(x)]< 0 siempre.

Secante Hiperbolico esta acotado entre 0 y 1.

Grafica 6 (Cotangente hiperbolico). La grafica G delCotangente hiperbolico

IR \ {0} ],1 [ ]1,+[

es el conjunto de puntos (x, y) tales que

y = coth(x)

La grafica del Cotangente Hiperbolico tiene asntota vertical x = 0:

limx0+

coth(x) = + limx0

coth(x) =


y tiene asntotas horizontal y = 1 pues

limx+ coth(x) = 1 limx coth(x) = 1

Es siempre decreciente pues y = csch2(x) < 0Ademas, como y = 2 csch3(x) cosh(x){

G es ^ x > 0G es _ x < 0


3 Funciones Hiperbolicas Inversas

3.1 Funciones invertibles

Recordemos que

Definicion 3.1 (Funcion Inversa). Una funcion f : A B es invertible si y solo si existe una funcion

f1 : B A

tal que x A, f1 [f(x)] = x.O lo que es lo mismo

y = f(x) f1(y) = xf1 es llamada funcion inversa de f .

Notas 3.1. Recuerde que:

1. f : A B es funcion x A, ! y B t.q. y = f(x)2. f : A B es inyectiva si: f(x1) = f(x2) x1 = x23. f : A B es sobreyectiva y B, x A t.q. y = f(x).

O sea, f(A) = Img(f) = B

4. f : A B es biyectiva f es inyectiva y sobreyectiva.Entonces f es biyectiva y B, !x A t.q. y = f(x).

5. f : A B es invertible f es una funcion biyectiva.En tal caso y0 = f(x0) f1(y0) = x0.

Nota 3.2. Considere C : y = f(x) una curva en el plano IR2

tal que f invertible.Si D : y = f1(x) es la curva correspondiente a la inversa de f ,D es generado por la reflexion de los puntos de C con respectoa la recta identidad ` : y = x.O sea,

(x0, y0) C (y0, x0) D

Ejemplo 3.1. Si f(x) = ex, entonces f1(x) = lnx, a continuacion las representaciones graficas de las


curvas que se generan:

Nota 3.3. Una funcion f es invertible en un intervalo ]a, b[ si y solo si f es monotona en ]a, b[.Decir que f es monotona en ]a, b[ significa que f siempre o f siempre en ]a, b[, o sea

x ]a, b[, f (x) > 0 x ]a, b[, f (x) < 0


3.2 Funciones Hiperbolicas Inversas

Nota 3.4. La funcion senh es monotonamente creciente en todo su dominio, por lo que es invertibleen todo IR.

Definicion 3.2 (Arcoseno Hiperbolico). El Arcoseno Hiperbolico

arcsenh : IR IR

corresponde a la funcion inversa de la funcion senh : IR IR .En tal caso se escribe

y = arcsenh(x) = senh1(x) senh(y) = x

Teorema 3.1. Para todo x IR

arcsenh(x) = senh1(x) = ln[x+

x2 + 1

]Prueba. Para todo x IR

senh1(x) = ln[x+

x2 + 1

] x = senh

[ln[x+

x2 + 1

] ]

x = e2u 12eu

u=ln[x+

x2+1 ]

x =[x+x2 + 1

]2 12[x+x2 + 1

] x = x

2 + 2xx2 + 1 + x2 + 1 1

2x+ 2x2 + 1

x = 2x2 + 2x

x2 + 1

2x+ 2x2 + 1

= x 2x+ 2x2 + 1

2x+ 2x2 + 1

x = x

Queda entonces verificado que la igualdad es correcta.


Nota 3.5. La funcion cosh es invertible cuando se redefine su dominio, diremos que el cosenohiperbolico es invertible como una funcion monotonamente creciente

[ 0,+[ [ 1,+[

Definicion 3.3 (Arcocoseno Hiperbolico). El Arcocoseno Hiperbolico

arccosh : [ 1,+[ [ 0,+[

corresponde a la funcion inversa de la funcion redefinida cosh : [ 0,+[ [ 1,+[ .En tal caso se escribe

y = arccosh(x) = cosh1(x) cosh(y) = x

Teorema 3.2. Para todo x [ 1,+[

arccosh(x) = cosh1(x) = ln[x+

x2 1

]Ejemplo 3.2 (Ejercicio). Demuestre el Teorema 3.2.

Nota 3.6. La funcion tanh es monotona creciente en todo su dominio, por lo que es invertible entodo IR.


Definicion 3.4 (Arcotangente Hiperbolico). El Arcotangente Hiperbolico

arctanh : ] 1, 1[ IRcorresponde a la funcion inversa de la funcion tanh : IR ] 1, 1[ .

En tal caso se escribe

y = arctanh(x) = tanh1(x) tanh(y) = x

Teorema 3.3. Para todo x ] 1, 1[

arctanh(x) = tanh1(x) =1

2ln

[1 + x

1 x]

Ejemplo 3.3 (Ejercicio). Demuestre el Teorema 3.3.


senh[tanh1(1/3)

]Solucion:

senh[tanh1(1/3)

]= senh

[1

2ln

(1 + 1/3

1 1/3)]

= senh

[ln

4/3

2/3

]= senh

[ln

2]

=2 12

2

=1

2

2


Ejemplo 3.5. Halle una formula explcita para la expresion

cosh[2 senh1(x)

]Solucion:

cosh[2 senh1(x)

]= cosh

[2 ln

(x+

x2 + 1

)]= cosh

[ln(x+

x2 + 1

)2]

=

(x+x2 + 1

)4+ 1

2(x+x2 + 1

)2

Ejemplo 3.6. Demuestre que

cosh1(x) = ln[x+

x2 1

]Solucion:

cosh1(x) = ln[x+

x2 1

] x = cosh

{ln[x+

x2 1

]}

x =[x+x2 1

]2+ 1

2[x+x2 1

] 2x = x

2 + 2x2 1 + x2 1 + 1x+x2 1

2x = 2x2 + 2x

x2 1

x+x2 1

2x = 2x(x+x2 1)

x+x2 1

2x = 2x (X )


3.3 Ecuaciones hiperbolicas

Definicion 3.5. Una ecuacion de la forma

F (senh(x), cosh(x)) = 0

o equivalente a una forma como la anterior, es llamada ecuacion hiperbolica.Si una ecuacion hiperbolica esta escrita en terminos de otras funciones hiperbolicas distintas de seno y

coseno hiperbolico, se recomienda trasformarla y simplificarla en terminos de senos y cosenos hiperbolicos.Para su solucion podemos descomponer la ecuacion a su forma exponencial, o utilizar formulas de

funciones hiperbolicas inversas.senh1(x) = ln

[x+

x2 + 1

], x IR

cosh1(x) = ln[x+

x2 1

], x [ 1,+[

tanh1(x) =1

2ln

[1 + x

1 x]

, x ] 1, 1[

Nota 3.7 (Ecuaciones Hiperbolicas Elementales). Tomar en cuenta que

senh(x) = a x = senh1(a) = ln[a+

a2 + 1

], a IR

cosh(x) = a x = cosh1(a) = ln[a+

a2 1

], a [ 1,+[

tanh(x) = a x = tanh1(a) = 12

ln

[1 + a

1 a]

, a ] 1, 1[

Ejemplo 3.7. Halle el valor de x tal que

tanh(x) =1

3

Solucion:Opcion 1: Usando las formulas

x = tanh1(1/3) =1

2ln

[1 + 1/3

1 1/3]

=1

2ln

[4/3

2/3

]=

ln(2)

2

Opcion 2: Usando exponenciales

tanh(x) =1

3 e

2x 1e2x + 1

=1

3

3e2x 3 = e2x + 1 2e2x = 4 e2x = 2 2x = ln(2) x = ln(2)

2


Ejemplo 3.8. Resuelva la ecuacion

senh(x) tanh(x) 1 = 4 sech(x)Solucion:

senh(x) tanh(x) 1 = 4 sech(x) senh(x) tanh(x) + sech(x) = 5

senh2(x)

cosh(x)+

1

cosh(x)= 5

senh2(x) + 1

cosh(x)= 5

cosh2(x)

cosh(x)= 5

cosh(x) = 5 x = cosh1(5) = ln [5 +25 1 ] = ln [5 +24]

O de otra manera

cosh(x) = 5 e2x + 1

2ex= 5

e2x + 1 = 10 ex e2x 10 ex + 1 = 0 w2 10w + 1 = 0, para w = ex

luego

ex = w =10100 4

2

=1096

2

=104 24

2

= 5

24

Se concluye entonces que

ex = 5

24 x = ln[5

24]

Note que

ln[5 +

25] = ln

[1

5 +

24

]= ln

[52425 24

]= ln

[5

25]

Al final el conjunto solucion de la ecuacion es

S ={ ln

[5 +

25], ln

[5 +

25] }

Nota 3.8. Recordemos que

aw2 + bw + c = 0 w = bb2 4ac

2a


Ejemplo 3.9. Halle el conjunto solucion de la siguiente ecuacion hiperbolica:

3 cosh2(x) + senh(x) = 15 + 2 senh2(x)

Solucion: La ecuacion es hiperbolica cuadratica, como hay un termino senh lineal, es convenienteexpresar toda la ecuacion en terminos de senh usando la identidad pitagorica:

3 cosh2(x) + senh(x) = 15 + 2 senh2(x) 3[ 1 + senh2(x) ] + senh(x) = 15 + 2 senh2(x) 3 + 3 senh2(x) + senh(x) 15 2 senh2(x) = 0 senh2(x) + senh(x) 12 = 0 w2 + w 12 = 0, donde w = senh(x)

luego

w =11 + 4 12

2=149

2=

{6/2 = 3

8/2 = 4o simplemente factorizamos

w2 + w 12 = 0 (w 3)(w + 4) = 0 w = 3 w = 4

Tenemos entonces

senh(x) = 3 senh(x) = 4x = senh1(3) x = senh1(4)

x = ln[3 +

9 + 1] x = ln [4 +16 + 1 ]

x = ln[3 +

10] x = ln

[4 +

17]

El conjunto solucion corresponde a

S ={

ln[3 +

10], ln

[4 +

17]}


3.4 Inversas de los recprocos hiperbolicas

Nota 3.9. La funcion csch es monotonamente decreciente en todo su dominio, por lo que es invertibleen todo IR \ {0}.

Definicion 3.6 (Arcocosecante Hiperbolico). El Arcocosecante Hiperbolico

arccsch : IR \ {0} IR \ {0}

corresponde a la funcion inversa de la funcion csch : IR \ {0} IR \ {0} .En tal caso se escribe

y = arccsch(x) = csch1(x) csch(y) = x

Teorema 3.4. Para todo x IR \ {0}

arccsch(x) = csch1(x) = senh1(1/x) = ln

[1

x+

1

x2+ 1

]

Prueba.

y = csch1(x) csch(y) = x 1

senh(y)= x

senh(y) = 1x

y = senh1(1/x) = ln[

1

x+

1

x2+ 1

]

Nota 3.10. La funcion sech es invertible cuando se redefine su dominio, diremos que el secantehiperbolico es invertible como una funcion monotonamente decreciente

[ 0,+[ ] 0, 1 ]


Definicion 3.7 (Arcosecante Hiperbolico). El Arcosecante Hiperbolico

arcsech : ] 0, 1 ] [ 0,+[corresponde a la funcion inversa de la funcion redefinida sech : [ 0,+[ ] 0, 1 ] .En tal caso se escribe

y = arcsech(x) = sech1(x) sech(y) = x

Teorema 3.5. Para todo x [ 0,+[

arcsech(x) = sech1(x) = cosh1(1/x) = ln

[1

x+

1

x2 1

]


Nota 3.11. La funcion coth es monotonamente decreciente en todo su dominio, por lo que es invertibleen todo IR \ {0}.

Definicion 3.8 (Arcocotangente Hiperbolico). El Arcocotangente Hiperbolico

arccoth : IR \ [1, 1] IR \ {0}corresponde a la funcion inversa de la funcion coth : IR \ {0} IR \ [1, 1] .

En tal caso se escribe

y = arccoth(x) = coth1(x) coth(y) = x


Teorema 3.6. Para todo x ],1[ ]1,+[

arccoth(x) = coth1(x) = tanh1(1/x) =1

2ln

[x+ 1

x 1]



3.5 Derivadas de funciones hiperbolicas inversas

Teorema 3.7 (Derivadas de las funciones hiperbolicas inversas).

(a) [senh1(x)

]=

1x2 + 1

[cosh1(x)] = 1x2 1

[tanh1(x)

]=

1

1 x2

(b)

[csch1(x)

]=

1|x|1 + x2

[sech1(x)

]=

1x

1 x2 [coth1(x)

]=

1

1 x2

Ejemplo 3.12. Calcule [cosh1

(x4)]

Solucion: [cosh1

(x4)]]

=1

(x4)2 1 4x3

=4x3x8 1

Ejemplo 3.13. Demuestre la igualdad [

senh1(x)]

=1

x2 + 1

Solucion: Podemos calcular directamente usando la formula del senh [senh1(x)

]=[ln(x+

x2 + 1

)]=

(x+x2 + 1

)x+x2 + 1

=1 + 2x

2x2+1

x+x2 + 1

=

x2 + 1 + x

x2 + 1

(x+x2 + 1

)=

1x2 + 1

Nota 3.12 (Teorema de la funcion inversa). Recordemos que si f es invertible y derivable[

f1(x)]

=1

f [ f1(x) ]

Ejemplo 3.14. Calcule la derivada [senh1(x)

]usando el teorema de la funcion inversa.


Solucion: [senh1(x)

]=

1

senh[senh1(x)

]=

1

cosh[senh1(x)

]note que

cosh2(w) senh2(w) = 1 = cosh(w) =

1 + senh2(w)

entonces [senh1(x)

]=

1

cosh[senh1(x)

]=

11 + senh2

[senh1(x)

]=

11 + x2


Teorema 3.8 (Primitivas Hiperbolicas Inversas).

(a) dx

1 x2 ={

tanh1(x) + C , si x ] 1, 1[coth1(x) + C , si x ],1[ ]1,+[

=1

2ln

1 + x1 x+ C

(b) dx

1 + x2= senh1(x) + C = ln

(x+

x2 + 1

)+ C

dxx2 1 = cosh

1(x) + C = ln(x+

x2 1)+ C

(b) dx

x

1 x2 = sgn(x) sech1(|x|) + C

= ln (1/|x|+1/x2 1 )+ Csiendo

sgn(x) =

1 si x > 0

0 si x = 0

1 si x < 0


Ejemplo 3.16. Calcule la integral

I =

pi/60

sec2()

1 tan2() d

Solucion: Seax = tan() = dx = sec2() d{

= 0 = x = tan(0) = 0 = pi/6 = x = tan(pi/6) = 1/3

luego

I =

1/30

dx

1 x2

= tanh1(x)1/3

0

= tanh1(1/

3) tanh1(0)

=1

2ln

[1 + 1/

3

1 1/3

] 1

2ln

[1 + 0

1 0]

=1

2ln

[3 + 13 1

]


3.6 Sustituciones Hiperbolicas

Nota 3.13. Comocosh2(z) senh2(z) = 1

obtenemos las siguientes igualdades

(a) 1 + senh2(z) = cosh2(z)

(b) cosh2(z) 1 = senh2(z)(c) 1 tanh2(z) = sech2(z)

Definicion 3.9 (Sustituciones Hiperbolicas). Se tienen las siguientes sustituciones hiperbolicas sugeridas:

(a) Cuando una integral tiene la forma

I =

F[x,a2 + x2

]dx

hacer

x = a senh(z) ={dx = a cosh(z) dza2 + x2 = a cosh(z)

luego

I =

F[a senh(z), a cosh(z)

] a cosh(z) dz(b) Cuando una integral tiene la forma

I =

F[x,x2 a2

]dx

hacer

x = a cosh(z) ={dx = a senh(z) dzx2 a2 = a| senh(z)|

luego

I =

F[a cosh(z), a| senh(z)| ] a senh(z) dz

(c) Cuando una integral tiene la forma

I =

F[x,a2 x2

]dx

hacer

x = a tanh(z) ={dx = a sech2(z) dza2 x2 = a sech(z)

luego

I =

F[a tanh(z), a sech(z)

] a sech2(z) dz


Ejemplo 3.17. Calcule usando una sustitucion hiperbolica adecuada

I =

x dx

25 + x2

Solucion: Sea x = 5 senh(z), entonces

dx = 5 cosh(z) dz

25 + x2 = 5 cosh(z)

luego

I =

5 senh(z) 5 cosh(z) dz

5 cosh(z)

= 5

senh(z) dz

= 5 cosh(z) + C

= 5 cosh [arcsen(x/5)] + C

= 5

1 + senh2 [arcsen(x/5)] + C

= 5

1 + (x/5)2 + C

=

25 + x2 + C


I =

9 x2x

dx

Solucion: Sea x = 3 tanh(z), entonces

dx = 3 sech2(z) dz

9 x2 = 3 sech(z)luego

I =

3 sech(z) 3 sech2(z)

3 tanh(z)dz

= 3

dz

senh(z) cosh2(z)

= 3

senh(z) dz

senh2(z) cosh2(z)= 3

senh(z) dz

[cosh2(z) 1] cosh2(z)= 3

dw

(w2 1)w2 , donde w = cosh(z) = dw = senh(z) dz

= 3

1 w2 + w2(w2 1)w2 dw

= 3

[1w2

+1

w2 1]dw

=3

w+

3

2ln

[w 1w + 1

]+ C, pues w = cosh(z) 1


Pues1

w2 1 =1

2

w + 1 (w 1)(w 1)(w + 1) =

1

2

[1

w 1 1

w + 1

]Finalmente

I =3

cosh(z)+

3

2ln

[cosh(z) 1cosh(z) + 1

]+ C

donde

z = tanh1[x/3] =1

2 ln[

1 + x/3

1 x/3]

=1

2 ln[

3 + x

3 x]

Ejemplo 3.19 (Ejercicio). Utilice sustituciones hiperbolicas para calcular las integrales indefinidas

(a) I =

x+ 21 + x2

dx

R/ I =1

2

[(x+

x2 + 1)2 + 1

x+x2 + 1

]+ 2 ln(x+

x2 + 1) + C

(b) I =

3 dx

xx2 1

R/ I = 3 arctan

[(x+

x2 1)2 1

2(x+x2 1)

]+ C


I =

x2 + 6x+ 2 dx

Solucion: Completando cuadrados

I =

x2 + 6x+ 9 9 + 2 dx =

(x+ 3)2 7 dx

Seax+ 3 =

7 cosh(z) = dx =

7 senh(z) dz

luego

I =

7 cosh2(z) 7

7 senh(z) dz

= 7

| senh(z)| senh(z) dz

= 7 sgn(z)

senh2(z) dz

= 7 sgn(z)

cosh(2z) 1

2dz

= 7 sgn(z) [

senh(2z)

4 z

2

]+ C

donde

z = cosh1(x+ 3

7

)= ln

(x+ 3

7+

(x+ 3)2

7 1

)


note tambien que

senh(2z) = senh

{2 ln

(x+ 3

7+

(x+ 3)2

7 1

) }

= senh

ln(x+ 3

7+

(x+ 3)2

7 1

)2 =

(x+37

+

(x+3)2

7 1)4 1

2

(x+37

+

(x+3)2

7 1)2

Referencias

[1] Larson R., Hostetler, Calculo y Geometra Analtica, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1989

[2] Edwards C. H., Advances Calculus of Several Variables, Academic Press Inc., New York, USA 1973

[3] Spiegel M. R., Manual de formulas y tablas matematicas, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1970

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