TEMA23. Funciones circulares e hiperbólicas

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 23. Funciones circulares e hiperbólicas

TEMA23. Funciones circulares e hiperbólicas

1. Introducción

La noción de función que actualmente manejamos empezó a gestarse en el siglo XIV cuan-

do los filósofos escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir las variaciones

de ciertas magnitudes respecto a otras, como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la

diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico.

El apoyo gráfico, que tanta importancia tiene en nuestros días, basado en los ejes carte-

sianos fue introducido por Rene Descartes en el siglo XVII.Es en los siglos XVIII y XIX cuando el

concepto de función se desarrolla ampliamente para llevar adelante todo el desarrollo científi-

co y tecnológico. Las funciones y el análisis diferencial surgen para dar apoyo a los problemas

físicos, estudiados en especial por Newton. Leibniz y los hermanos Bernoulli empezaron a utili-

zar la palabra función en un sentido parecido al actual con funciones particulares, como po-

tencias y funciones circulares, aunque no usaron la notación funcional moderna.

Las funciones circulares tiene su origen en la geometría de los triángulos y dela circunfe-

rencia (razones trigonométricas). Su origen se remonta la Grecia clásica, y su uso se extiende

desde entonces a todo el mundo.

El concepto analítico de las razones trigonométricas, lo que hoy llamamos funciones circu-

lares, se forja en el siglo XVIII de manos del matemático suizo Euler, quien relacionó las funcio-

nes circulares con las exponenciales de forma analítica y no geométrica como hasta entonces.

2. Funciones circulares

2.1. Definición geométrica de las razones trigonométricas

Si bien las razones trigonométricas se verán en temas de geometría creemos importante

introducirlas brevemente por ser las funciones circulares una extensión de estas en todo ℝ.

Veamos las dos definiciones de razones trigonométricas, con triángulos y el circunferencia:

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

(ángulo α∈[0,π/4)): los griegos se dieron cuenta

que en los triángulos rectángulos semejantes

(ángulos iguales) la razón de los lados era constan-

te, y quedaba determinado por el valor de uno de

los dos ángulos no rectos del triángulo. Elaboraron

tablas de las razones trigonométricas según el valor

del ángulo. Su definición puede verse en esquema

de la izquierda.

Razones trigonométricas en la circunferencia unidad: son una

extensión de las razones trigonométricas cuando el ángulo pue-

de tomar cualquier valor α∈[0,2π). Si tomamos una circunfe-

rencia a de radio 1 y un segmento con origen en el centro de la

circunferencia y que corta a la misma en P, se define:

• sen(x)=Py (coordenada y de P)

• cos(x)=Px (coordenada x de P)

• tg(x)=Py/Px



α

x=α

1

P

P

M(1,0)

x=0

M(Mx, My)

x=ππππ/2

1

M(1,0)

x=0

M(0,1)

M(0,-1)

x=ππππ x=3π/2π/2π/2π/2

M(0,-1)

x=2ππππ

M(1,0)

2.2. Definición analítica de las funciones circulares

Para poder definir las funciones circulares tendremos que definir el significado de la varia-

ble independiente, variable x, de las mismas. Es por esto que vamos a definir el radián e identi-

ficar el espacio recorrido por una circunferencia que rueda sin deslizar con este ángulo.

El radián es el ángulo en una circunferencia en el que el valor del arco coincide con el valor

del radio de la circunferencia. Como la longitud de una circunferencia es de 2πr, el ángulo de

toda la circunferencia es 2π. Si el radio de la circunferencia es 1 el arco de la circunferencia

coincidirá con el ángulo de la misma. La equivalencia con los grados en 2πrad=360o.

Si un circulo de radio unidad rueda sin deslizar

se cumple que el espacio recorrido por la misma es

igual al ángulo que forma el punto de contacto con

respecto el eje vertical. Cuando avanzamos más de

una vuelta, es decir recorremos más de 2π enton-

ces al ángulo del punto de contacto le tendremos

que sumar 2π·n siendo n las vueltas que da el cir-

culo. Si hubiéramos girado en el otro sentido po-

demos considerar el ángulo negativo. Mediante

esta equivalencia podemos ver que tenemos un

“ángulo” que toma valores cualquier valor real.

Con este nuevo significado de ángulo podemos definir las funciones circulares a partir de

las coordenadas respecto los ejes coordenados situados en el centro de la circunferencia del

punto M, situado inicialmente en x=0 en M(0,1)

• cos(x)=My=coordenada OY del punto M cuando la circunferencia avanza x

• sen(x)=Mx= coordenada OX del punto M cuando la circunferencia avanza x

Veamos algunos valores de seno y coseno para determinados valores de x:

x=0 x=π/2 x=π x=3π/2 x=2π

sen(x) 0 1 0 -1 0

cos(x) 1 0 -1 0 1

Otra forma de definir las funciones circulares es a partir de los valores de las razones trigo-

nométricas repitiéndolos de forma periódica con periodo T=2π.



Otras funciones trigonométricas definidas a partir del sen(x) y cos(x):

• tg(x)=)cos(

)(

x

xsen •

)(

)cos(

)(

1)(cot

xsen

x

xtgxg ==

• )cos(

1)sec(

xx = •

)(

1)(cos

xsenxec =

2.3. Propiedades de las funciones circulares.

Propiedades más importantes e inmediatas de las funciones circulares:

1. Periódicas de periodo T=2ππππ� sen(x+n·2π)=sen(x) y cos(x+n2π)=cos(x)

2. sen2(x)+cos

2(x)=1

3. Seno tiene simetría impar� sen(-x)=-sen(x)

4. Coseno tiene simetría par� cos(-x)=cos (x)

Demostraciones: a partir de la definición de seno y coseno

1. Cuando x avanza un múltiplo de 2π la circunferencia gira vueltas completas y por

tanto el punto M situado en la misma posición, y por tanto mismas coordenadas.

2. sen(x) y cos(x) son las coordenadas de M respecto a los ejes centrados en el centro

de la circunferencia se cumple Mx2+My

2=1 pues M pertenece a la circunferencia

3. Si desplazamos la circunferencia hacia la izquierda (x<0) M gira en sentido horario

en vez de antihorario, la coordenada My es la misma pero la coordenada Mx es jus-

to la contraria.

2.4. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares

Continuidad:

Las funciones sen(x) y cos(x) son claramente continuas en ℝ, pues tal como son defini-

das el giro del punto M es continuo y por tanto la variación de sus coordenadas (funciones

circulares) también los son.

Las demás funciones tg(x), cotg(x), sec(x) y cosec(x) no son continuas, por haber puntos

que no son del domino al anularse el denominador. En estos valores de x tendremos asín-

totas verticales

• Dom(tg(x))=Dom(sec(x))=ℝ-{x:cos(x)=0}= ℝ-{x=(2n+1)·π/2 ∀n∈ℤ}

• Dom(cotg(x))=Dom(cosec(x))=ℝ-{x:sen(x)=0}= ℝ-{x=n·π ∀n∈ℤ}

Derivabilidad:

Antes de ver la derivabilidad veamos el valor de las derivadas de y=sen(x) y de y=cos(x) a

partir de las cuales podemos hallar las derivadas de las demás funciones circulares:

• (sen(x))’=cos(x) • (cos(x))’=-sen(x)

• (tg(x))’=1+tg2(x)=1/cos

2(x) • (cotg(x))’=1+cotg

2(x)=1/sen

2(x)

• (sec(x))’=sen(x)/cos2(x) • (cosec(x))’=-cos(x)/sen

2(x)



Demostraciones: haremos solo sen(x) y cos(x) las otras se calculan por reglas de derivación

)()()(

lim

)()()()cos()cos(lim

)cos()cos(lim

))(cos(

)cos()()cos(

lim

)()()cos()cos()(lim

)()(lim

))((

0

00

0

00

xsenh

hsenxsen

h

xsenhsenxsenhx

h

xhx

dx

xd

xh

hsenx

h

xsenhsenxhxsen

h

xsenhxsen

dx

xsend

h

hh

h

hh

−=−=

=−−

=−+

=

==

=−+

=−+

=

→

→→

→

→→

Donde hemos aplicado las propiedades del ángulo suma y que

1)cos(lim0

=→

hh

(cos(0)=1 y es continua) y el infinitésimo

1)(

lim0

=→ h

hsen

h que ahora demostraremos de forma geométrica:

Se cumplen las siguientes relaciones de las áreas:

Area(OQP)≤AreaOAP)≤area(OAT)�2

)(

22

))·cos(( htghhhsen≤≤

Inverso y entre sen(h)/2� )cos()(

)cos(

1h

h

hsen

h≥≥ . Si h�0 cos(h)�1 y 1

)(lim

0=

→ h

hsen

h

2.5.Gráficas de las funciones circulares

��

� ��

� ��

� �� π �

� ��

� ��

� ��

� 2π

��

��

��

��

��

��

��

π

��

��

��

��

��

��

��

2π

cos(x)

h

OQ=sen(h) PQ=cos(h)

AT=tg(g)



Gráfica función tg(x) y cotg(x)

Gráfica función sec(x) y cosec(x)

Donde las asíntotas verticales de las funciones tg(x) y sec(x) vienen dadas por los valores

de x que anulan el denominador, es decir cos(x)� AV= k·2

ππ

+ con k∈ℤ

Las asíntotas verticales de cotg(x) y cosec(x) es donde se anula su denominador, en este

caso sen(x) � AV=π·k con k∈ℤ



2.6. Desplazamientos verticales, variación amplitud y periodo.

En el apartado anterior hemos visto las funciones circulares básicas, podemos modificar

algún parámetro, obteniendo una expresión genérica: y=y0+ A·cos(p·(x-x0)):

• yo es el desplazamiento vertical

• x0 es desplazamiento horizontal

• A variación amplitud

• p modificación periodo (T=2π/p)

Ejemplo: y=1+3·cos(2(x-π/4))

3. Funciones inversas a las funciones circulares

3.1. Definición

Las funciones inversas son las funciones que compuestas con las circulares se convierten

en la función identidad (y=x). Para que exista inversa la función tiene que ser inyectiva por lo

que sólo existe inversa para un rango de x donde las imágenes no se repitan:

• sen(x) es inyectiva por ejemplo en [-π/2,π/2) siendo su inversa� arcsen(x)=sen-1

(x)

• cos(x) es inyectiva por ejemplo en [0,π) siendo su inversa� arccos(x)=cos-1

(x)

• tg(x) es inyectiva por ejemplo en [-π/2,π/2) siendo su inversa� arctg(x)=tg-1

(x)

El dominio de las funciones inversas es el recorrido de las funciones circulares y al revés:

• Dom(arcsen(x))=[-1,1], Rec(arcsen(x))= [-π/2,π/2)

• Dom(arccos(x))=[-1,1], Rec(arccos(x))= [0,π)

• Dom(arctg(x))=ℝ, Rec(arctg(x))= [-π/2,π/2)

3.2. Continuidad y derivabilidad funciones circulares inversas

Dado a que las funciones circulares son continuas y derivables (la tangente en [-π/2, π/2)

también) sus funciones inversas serán también continuas y derivables. Calculemos sus deriva-

das a partir de conocer las derivadas de las funciones circulares:

A=3

y0=1

T= ππ

=2

2

x0=π/4

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

TEMA 23.

( )21

1')(

xxarcsen

−=

Demostraciones:

arccos(

)(

1))((

)cos(

1))(arccos(

)(

1))((

dx

xtgddx

xarctgd

dx

xddx

xd

dx

xsenddx

xarcsend

arctg

=

=

=

3.3. Gráfica de las funciones

Para representar las funciones inversas a las circulares aplicaremos la propiedad que las r

laciona con la gráfica de la función inversa (las propias circulares)

respecto a la función identidad y=x (ya que la variable x pasa a ser la y, y al revés).

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)


( )21

1')arccos(

xx

−−= ( )')(xarctg =

22

)(

2

)arccos(

2

)(

1

1

))((1

1

(arccos(cos1

1

))(arccos(

1

((1

1

))(cos(

1

xxarctgtg

xsen

arcsensenxarcsen

xarctg

x

xarcsen

+=

+=

−−=

−=

−==

Gráfica de las funciones inversas a las circulares

Para representar las funciones inversas a las circulares aplicaremos la propiedad que las r

laciona con la gráfica de la función inversa (las propias circulares) y nos dice que son simétricas


7

21

1

x+=

2

2

1

1

))(arccos(

1

1

))(

xx

xx

−−=

−=

Para representar las funciones inversas a las circulares aplicaremos la propiedad que las re-

y nos dice que son simétricas




4. Funciones Hiperbólicas

4.1. Definición

Las funciones hiperbólicas son funciones que basadas en las funciones exponenciales re-

ales, siendo análogas a la definición de las funciones circulares cuando estas se expresan en

función de exponentes complejos. Al igual que las funciones circulares se pueden poner a par-

tir de las exponenciales lo mismo las exponenciales se pueden poner en función de las

hiperbólicas. Definiciones de las funciones hiperbólicas:

2)()(

xx eexshxsenh

−−==

xx eexech

−−=

2)(cos

2)()cosh(

xx eexchx

−+==

xx eexh

−+=

2)(sec

xx

xx

ee

eexthx

−

−

+

−== )()tanh(

xx

xx

ee

eex

−

−

−

+=)coth(

4.2. Propiedades de las funciones hiperbólicas

Veremos en este punto las propiedades más importantes desde el punto de vista funcio-

nal, las relaciones algebraicas como ángulo suma, ángulo medio, etc son semejantes a las tri-

gonométricas salvo algún signo. Las demostraciones de las propiedades se hacer utilizando la

definición de las funciones hiperbólicas y las propiedades de las funciones exponenciales.

Propiedades analíticas más importantes:

1. Simetría impar del seno hiperbólico: sh(-x)=-sh(x)

2. Simetría par del coseno hiperbólico: ch(-x)=ch(x)

3. Signo de las funciones hiperbólicas: ch(x)>0 ∀x∈ℝ; sh(x)>0 si x>0 y sh(x)<0 si x<0

4. ch2(x)-sh

2(x)=1 (relación algebraica fundamental)

5. ∞==∞→∞→

)(lim)(lim xchxshxx

; −∞=−∞→

)(lim xshx

; ∞=−∞→

)(lim xchx

6. ∞==++ →→

)(cotlim)(coslim00

xghxechxx

; −∞==−− →→

)(cotlim)(coslim00

xghxechxx

4.3. Continuidad y derivabilidad de las funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas estas definidas a partir de operaciones algebraicas con ex y e

-x,

funciones que son continuas y derivables (de clase C∞), así que estas también serán continuas y

derivables excepto en los valores de x que anulen los denominadores. Así sh(x), ch(x), cotgh(x)

y sech(x) continuas y derivables en ℝ , siendo tgh(x) y cosech(x) continuas y derivables en ℝ*

Para calcular las derivadas de las funciones hiperbólicas aplicaremos las reglas de deriva-

ción y (ex)’=(e

x).

• (sh(x))’=ch(x) • (ch(x))’=sh(x)

• (th(x))’=1-th2(x)= • (cotgh(x))’=1-cotgh

2(x)

• (sech(x))’=-sh(x)/ch2(x) • (cosech(x))’=-ch(x)/sh

2(x)


TEMA 23.

4.4. Gráficas de las funciones hiperbólicas

Aunque las propiedades de las funciones circulares e hiperbólicas sean parecidas no así sus

gráficas, pues las primeras acotadas y periódicas no así las hiperbólicas. A partir delas propi

dades vistas con anterioridad y apoyándose en las gr

tiva y negativa las gráficas de las funciones hiperbólicas son las siguientes:



Gráficas de las funciones hiperbólicas


gráficas, pues las primeras acotadas y periódicas no así las hiperbólicas. A partir delas propi

dades vistas con anterioridad y apoyándose en las gráficas de las funciones exponenciales pos

tiva y negativa las gráficas de las funciones hiperbólicas son las siguientes:

y=cosh(x)

9


gráficas, pues las primeras acotadas y periódicas no así las hiperbólicas. A partir delas propie-

áficas de las funciones exponenciales posi-

y=cosh(x)



5. Funciones inversas de las funciones hiperbólicas

5.1. Definición

Las funciones hiperbólicas impares sh(x) y th(x) son inyectivas en ℝ siendo su imagen tam-

bién todos los reales, por lo que podemos definir la inversa en todo su dominio, siendo tanto el

dominio como el recorrido de las inversas todo ℝ. La función ch(x) en cambio no es inyectiva,

pues cos(x)=cos(-x) así que para definir la inversa tendremos que hacerla de la mitad de su

dominio, es decir para ℝ+∪{0} o para ℝ-∪{0}. A diferencia de las funciones circulares, cuyas

inversas no tiene expresión algebraica. podemos obtener la expresión de las funciones inver-

sas a partir de la función ln(x) (que es la inversa de ex). Calculemos las inversas hiperbólicas.

1. y

yydespejamos

yyxporycambiamos

xx

e

ex

eex

eexshy

·2

1

22)(

2 −= →

−= →

−−==

−

)1ln(101··2 22º22 ++=→+±= →=−− xxyxxeexe yeengradoecyyy

Hemos no considerado la solución con – al no existir logaritmos negativos.

Luego � �� = �� = �� + �� + ��

2. y

yydespejamos

yyxporycambiamos

xx

e

ex

eex

eexchy

·2

1

22)(

2 += →

+= →

+==

−−

)1ln(101··2 22º22 −±=→−±= →=+− xxyxxeexe yeengradoecyyy

Luego � �� = �� = �� ± �� + �� (+ definida en ℝ+ y – en ℝ-

)

3. 1

1)(

2

2

+

−= →

+

−= →

+

−==

−

− y

yydespejamos

yy

yyxporycambiamos

xx

xx

e

ex

ee

eex

ee

eexthy

)1

1ln(

1

12

x

xy

x

xe y

−+

=→−+

=

Luego � �� = �� = �� !

6. Aplicaciones y situaciones reales donde aparecen

6.1. Funciones circulares

Las soluciones circulares íntimamente ligadas a fenómenos periódicos, siendo solución de

ecuaciones diferenciales de la siguiente forma:

1. )()()cos()()()( 2

2

2

ϕωϕωω +=+=→−= tAsentfotAtftfdt

tfd (1 dimensión)

2. )3()·cos()()(·)(22 sDimensionerkArfrfkrf −+=→−=∇ ϕ

rrrrr

3. )()·cos(),(),(1

),(2

2

2 acopladask

vtrkAtrft

trf

vtrf

ωϕω =+−=→

∂∂

−=∇rrr

rr

Podíamos haber usado el coseno en vez del seno sin más que variar la fase. Se denominan

" a la frecuencia, k=vector de ondas y ϕ es el fase en t=0.


TEMA 23.

1. Oscilador armónico:

como en la ley de Hook la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la part

cula es � dt

xd−=

2

2

m

K=ω y donde A y la fase

cidad)

La solución de oscilador armónico es muy útil pues se utilizar en péquelas variaciones

de la posición de equilibrio de cualquier mínimo de energía. Aquí podemos desarrollar

la energía por desarrollo de Taylor en torno al mínimo E’(x

cuadrática y por tanto con comportamiento de oscilador

2. Ondas electromagnéticas:

describen el comportamiento de

yes de Maxwell. A partir de estas se deduce que

ε =constante dielécrica y

ecuación de Maxwell nos dice que B es perpendicular a E, por lo que las ondas ele

tromagnéticas cumple: E=E

3. Corriente eléctrica: la corriente alterna generada en las centrales

des bobinas en torno a un campo magnético. Utilizando la ley de Faraday se cumple

que el potencial eléctrico generado será:

·cos(··(

dt

SBnd

dt

dφε =−=

Siendo N=nº espiras, S= superficie de las espiras, B=el campo magnético,

angular del giro de las espiras (en España

4. Transformadas de Fourier:

señal continua f(t) a partir de suma de funciones circulares (digital). Se utiliza mucho

para el transporte de información.



: cuando tenemos una fuerza central de la forma F=

o en la ley de Hook la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la part

xm

K− , cuya solución es por tanto )( = Atx

y donde A y la fase ϕ se saca de las dos condiciones iniciales (posición y vel

solución de oscilador armónico es muy útil pues se utilizar en péquelas variaciones


sarrollo de Taylor en torno al mínimo E’(x0)=0 siendo una expresión

cuadrática y por tanto con comportamiento de oscilador 0)()( xExE =

Ondas electromagnéticas: En electromagnetismo las ecuaciones diferenciales que

describen el comportamiento de las ondas electromagnéticas son conocidas por las l

yes de Maxwell. A partir de estas se deduce que 2

·

1),( trE =∇

µ=constante dielécrica y µ =permiabilidad magnética (en el vacio

ecuación de Maxwell nos dice que B es perpendicular a E, por lo que las ondas ele

tromagnéticas cumple: E=E0·sen(k(z-vt))·ux y B=B0·sen(k(z-vt))uy

la corriente alterna generada en las centrales haciendo girar gra


que el potencial eléctrico generado será:

)(·)(·))·cos(

0 tsentsennBSdt

tωεωω

ω==

N=nº espiras, S= superficie de las espiras, B=el campo magnético,

angular del giro de las espiras (en España ω =2π·f=100·π rad/s)

Transformadas de Fourier: es una herramienta matemáticas usada para expresar una


para el transporte de información. ∑∑ +=n

n

n

n senbtnatf ·)···cos()( ω

11

cuando tenemos una fuerza central de la forma F=-k·x (E=kx2)

o en la ley de Hook la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la partí-

)cos( ϕω +tA con

se saca de las dos condiciones iniciales (posición y velo-

solución de oscilador armónico es muy útil pues se utilizar en péquelas variaciones


)=0 siendo una expresión

2

02

2

)( xxdx

Ed−+

En electromagnetismo las ecuaciones diferenciales que

las ondas electromagnéticas son conocidas por las le-

2

2 ),(

·

1

t

trE

∂

∂ε

con

=permiabilidad magnética (en el vacio 00· εµ =c2). Otra

ecuación de Maxwell nos dice que B es perpendicular a E, por lo que las ondas elec-

haciendo girar gran-


N=nº espiras, S= superficie de las espiras, B=el campo magnético, ω frecuencia

herramienta matemáticas usada para expresar una


tnsen )··(ω



6.2. Funciones Hiperbólicas

Son soluciones de las ecuaciones diferenciales de la forma tkdt

tdf·

)(= y tk

dt

tfd·

)( 22

= ,

son soluciones también de estas ecuaciones las funciones exponenciales ekx

y e-kx

.

1. Soluciones de la ecuación de Schodinguer: En las zonas prohibidas clásicamente don-

de (E-V0)<0 la solución de la ecuación de probabilidad de la partícula viene descritar

por las funciones hiperbólicas: )·(·)()·( 02

22 xkchBkxAshVEdt

d+=→−=− ψψ

ψh

con 2

0

h−

−=

VEk

2. Ecuación de la catenaria: si hacemos un estudio de la ecuación de un cable libremente

cuando lo dejamos suspendido entre sus extremos la solución que rige su forma es lo

que se denomina catenaria, siendo esta un coseno hiperbólico: y=A·ch(x/a) siendo a

una constante que depende de la tensión y de la densidad de la cuerda.

7. Contexto con secundaria.

En el curso 4º de la ESO se estudia introduce en Matemáticas B la representación de la

funciones circulares. No es hasta bachillerato en la de ciencias que no se estudia con más pro-

fundidad las funciones circulares. Las funciones hiperbólicas no se estudian en la ESO y Bachi-

llerato.

TEMA23. Funciones circulares e hiperbólicas

Documents

Transcript of TEMA23. Funciones circulares e hiperbólicas