Funciones polinómicas

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Función de potenciasUna función de potencia es una función

• con un solo término

• es el producto de un coeficiente y una variable

elevada a un número real fijo.

Ejemplo: La fórmula para calcular el área de un

círculo es una función de potencia.

A(r) = 𝜋𝑟2

Una función de potencia se puede representar en la

forma f (x) = kxp

donde k y p son números reales, y k se conoce como

el coeficiente.

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Funciones Polinómicas

• La ecuación general de una función polinómica de

grado n con coeficientes reales está dada por

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0x

0, an ≠ 0 .

• Por ejemplo,

𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟕

𝒈 𝒙 = −𝟑𝒙𝟔 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝟗

Funciones Polinómicas

• Los casos n = 0, 1, y 2 ya se han discustido:

Gráficas de funciones polinómicas

• Las funciones polinómicas son contínuas.

• Las gráficas de las funciones polinómicas son curvas

suaves, sin huecos ni filos.

Teorema del Valor Intermedio

los ceros reales de f(x) son interceptos en x; la función cambia de signo en los extremos del intervalo

• Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos

un valor x= c entre a y b tal que f(c) = 0 .

Si f tiene un cero en [1,3], entonces f(1) y f(3) tendrán signos diferentes.

f(1) = 1 + 1 – 4 – 4 = - 6f(3) = 27 + 9 – 12 – 4 = 20

Como f(1) y f(3) tienen signos opuestos, concluímos que f(x) = 0 para algún valor de x en [1,3].

Usando el teorema de valor intermedioMostrar que f(x) tiene un cero en [1,3]:

Características de polinomios de grado 3; grado impar

𝒂𝒏 > 𝟎 𝒂𝒏 < 𝟎

puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento;

son A LO MAS n – 1, donde n es el grado del polinomio.

interceptos en x: son A LO MAS n, donde n es el grado del polinomio.

)2)(5()( xxxxf

Esta es la factorización final del polinomio. Los interceptos en x de la gráfica de f(x) son:

El intercepto en y es:f(0) = 0, el punto (0,0).

)107()( 2 xxxxf

Gráficas de polinomios de grado > 2

)0,2(y (5,0) 0,0)(

xxxxf 107)( 23

Trace la gráfica del polinomio:

Solución: Factorizamos el polinomio para hallar los interceptos en x.

)2)(5()( xxxxf

Ejemplo (cont.) xxxxf 107)( 23

Como 𝒂𝒏 > 𝟎, en el extremos izquierdo𝒇 𝒙 → −∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → −∞

extremo derecho𝒇 𝒙 → ∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → ∞

Puntos adicionalesen (0,2)f(1) =

en (2, 5)f(3)=

Características de polinomios de grado 3; grado par

puntos de retorno: donde la

gráfica cambia de forma de

crecimiento; son A LO MAS

n – 1, donde n es el grado del

polinomio.

interceptos en x: son A LO

MAS n, donde n es el grado

del polinomio.

comportamiento en los

extremos: Si a>0, la gráfica es

decreciente en el extremo

izquierdo y creciente en otro.

Si a <0, la gráfica es creciente

en el extremo izquierdo y

decreciente en otro.

¿Qué sabemos?

• La ecuación está en su forma factorizada.

• grado:

• número de interceptos en x:

• número de puntos de retorno:

• 𝒂𝒏 =

• Los ceros son:

• Los interceptos en x:

• El intercepto en y es:

Trace la gráfica del polinomio:

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

Trace la gráfica del polinomio:

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)¿Qué sabemos?• grado es

o Par

• coeficiente principal eso positivo

• comportamiento en los extremoso misma dirección (↑)

o 𝒇 𝒙 → ∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → −∞

o 𝒇 𝒙 → ∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → ∞

• Los interceptos en x sono (-1,0), (1,0), (-3,0), (2,0)

• El intercepto en y eso (0,6)

• puntos de retornoo a lo más 3

• evaluar para x en -3<x<-1 o f(-2)= - 12

• evaluar para x en -1<x<1 o f(0) = 6

• evaluar para x en 1<x< 2o f(1.5) ≈ −𝟑

Multiplicidad

• Si c es un cero real multiplicidad m , entonces

o uno de los factores de f(x) es (x – c)m y

o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c .

• El comportamiento que tiene la gráfica de f cerca

de (c, 0) se describe en la siguiente pantalla.

Multiplicidad (cont)

Ejemplo• Para la función polinómica

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

Los ceros de la función y sus multiplicidades son:

x = -1 tiene multiplicidad 2

x = 1, x = -3 y x = 2 tienen multiplicidad 1

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Hallar una posible ecuación para la gráfica

¿Qué sabemos?

• grado es

• coeficiente principal es

• comportamiento en losextremos

• Los interceptos en x son

• El intercepto en y es

𝑔 𝑥 = 𝑘(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

Hallar una posible ecuación para la gráfica

Para obtener k, sustituir(0,6) y despejar para k.

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

6= 𝑘 0 + 1 2 0 − 1 0 + 3 0 − 26= 𝑘(1) −1 3 −26= 6𝑘k = 1

𝑔 𝑥 = 𝑘(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

División Sintética• Dividir un polinomio entre x – c se puede realizar

mediante un algoritmo conocido como división

sintética.

• Para dividir anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , entre

x – c utilizando división sintética , trabajamos

únicamente con los coeficientes del polinomio

como se muestra:

Colocar «0» cuando falta alguna potencia de x

r

se suma

Ejemplo: Dividir f(x) = 2x2 – 5x – 1 entre x – 3

Coeficientes de f(x) 2 – 5 – 1

c 3

Se opera:2 – 5 – 1

3

Hemos obtenido que: f(x) = 2x2 – 5x – 1 = (2x + 1 ) (x – 3) + 2

2

6 3

21

se multiplica por c

División Sintética: dividirentre x - c

r

se suma

Ejemplo: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 14 entre x + 2

Coeficientes de P 2 – 7 – 4 14

c – 2

Se opera:2 – 7 – 4 14

– 2

Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 14 = (2x2 – 11x +18) (x + 2) + (-22)

2

– 4 22 -36

-22–11 18

se multiplica por c

División Sintética: dividirentre x - c

Ejemplo: Factorizar f(x) = x4 + 3x3 – x2 – 3x

Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3)

Factorizar: x3 + 3x2 – x – 3

Para factorizar probamos con los divisores positivos y

negativos de 3 ±3,±1 , eligiendo cualquiera de ellos.

1 3 –1 -31 1 4 3

1 4 3 0

Factorizar x2 +4x + 3

f(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 3)

División Sintética parafactorizar

x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 1)(x2 + 4x + 3)

x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)

Teoremas

• Los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente

teorema.

• Como consecuencia de este teorema tenemos:

Teorema del Factor• Demostrar que x – 2 es un factor de

f(x)= x3 - 4x2 + 3x + 2

• f(2) = 8 – 16 + 6 + 2 = 0

• Por el teorema del factor, x – 2 es un factor de f(x).

• También podemos dividir f(x) entre x – 2, usando

división larga o división sintética.

1 -4 3 22 2

1 -2-4-1

-20

La división sintética nos dice que un factor es (x – 2) y otro factor es: x2 – 2x - 1

Ceros Racionales• Las posibilidades para los ceros racionales de un

polinomio con coeficientes enteros se limitan a

valores racionales,𝒄

𝒅donde

o c es un factor del término constante a0

o d es un factor del coeficiente principal an

Ceros racionales

𝑷𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 =𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝟎𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒏

Ejemplo: Hallar los posibles ceros racionales de

f(x) = x3 – 4x – 2

factores de ao : 2, -2, 1, -1

factores de an : 1, -1

posibles ceros: 𝟐

𝟏,−𝟐

𝟏,𝟏

𝟏,−𝟏

𝟏,𝟐

−𝟏,−𝟐

−𝟏,𝟏

−𝟏,−𝟏

−𝟏

ó 𝟐,−𝟐, 𝟏, −𝟏

esto es, 𝟐,1

EjemploEjemplo: Demostrar que f(x) = x3 – 4x – 2

NO tiene ceros racionales

Teorema del FactorEjemplo: Hallar un polinomio, f(x), de grado 3 cuyos

ceros son 2, -1 y 3 y que cumple la condición que

f(1)=8.