REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” SEDE BARCELONA

Matemáticas I

Relaciones, Funciones y Clasificación de la función

Barcelona, Octubre de 2015.

Relaciones: en matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos

conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un

elemento del segundo conjunto.

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se

habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a

su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio,

mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las

relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el plano

cartesiano.

Supongamos que el dominio se llama M y el rango, N. Una relación matemática de

M en N será un subconjunto del producto cartesiano M x N. Las relaciones, en

otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de M con

elementos de N.

Si M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de M x N serán los siguientes

pares ordenados:

M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}

Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relación

matemática del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R =

{(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}

Otra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares

cuyo segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}.

Funciones: una función f de un conjunto A a un conjunto B es una regla que

asigna a cada elemento de A exactamente un elemento de B. el conjunto A se

denomina dominio de la función y el rango de la función es un subconjunto de B

formado por todos los valores asignados.

Clasificación de la función:

Inyectiva: una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le

corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de. Es decir, a cada

elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no

puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto

que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a

los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene

una función inyectiva.

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos y, entre los cuales existe una función inyectiva tienen

cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva, entonces puede probarse que existe

una aplicación biyectiva entre A y B.

Sobreyectiva: En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva,

suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio,

es decir, cuando la imagen, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento

de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Biyectiva: En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo

inyectiva y sobreyectiva. Formalmente, para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada

elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva

Teorema

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.